STATISTICA INTERVALE DE INCREDERE VERIFICAREA IPOTEZELOR

Transcript

1 CURSUL II STATISTICA INTERVALE DE INCREDERE VERIFICAREA IPOTEZELOR

2 STATISTICĂ ATEATICĂ ŞI BIOSTATISTICĂ Saca maemacă ee rcala alcaţe a eore robablăţlor Procedeele ace coau, î eeţă, î elaborarea uor coclu lauble rvoare la colecvăţ mar de feomee, e baa cuoaşer uu umăr rerâ dre aceea ş eraolăr reulaelor Legle care au la baa ac ş care erm acee geeralăr u eorema lmă cerală ş legea umerelor mar Îr-o ermare uvă, avem reulaul că, dacă o varablă aleaoare ξ ee uma uu umăr mare de varable aleaoare deedee, fecare varablă aleaoare avâd o odere mcă î umă, auc fucţa de rearţe a varable aleaoare ξ ee foare aroaă de o fucţe de rearţe ormală Erma ma rguro ş ma geeral, avem urmăoarea eoremă: Teorema lmă cerală (ALeauov) Fe ξ, ξ,, ξ varable aleaoare deedee ξ a, D ξ 3 ş ( ξ m ) 3 Fe ( ) ( ) k k k k 3 3 Noăm ( ), ρ ( ) ρ ( ) ρ câd k, ρ( ) Dacă lm 0, auc fucţa de rearţe a varable k ( a a ) ξ ξ ξ a ( ) de, câd, căre fucţa Φ ( ) a lu Lalace k k Φ ( ) e d π Teorema lmă cerală ee eorema fudameală a eore erorlor Lalace, Gau ş alţ maemace, udd rearţa erorlor, au aju la coclua că fucţa de rearţe ormală oae f luaă dre model eorec eru cercearea robablcă a aroae uuror feomeelor aur Teorema lu Cebâşev Dacă ζ ζ,, ζ, u varable aleaoare (dcree au coue) deedee ale căror der u ma mc decâ o coaă C, auc orcare ar f umărul ov ε, robablaea egalăţ Cur

3 ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) ζ ζ ζ ε de căre, auc câd umărul varablelor aleaoare de căre f Demoraţe: Să coderăm varabla aleaoare oeraorulu de calcul a mede avem ( ζ ) ζ ζ ζ ζ ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) Alcâd egalaea lu Cebâşev varable aleaoare ζ e obţe: Avâd î vedere laraea ζ ζ ζ D ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) ε ζ ζ ζ P a deare, d roreăţle oeraorulu D Dec ( ζ ) D( ζ ) D( ) ζ ζ ζ D ζ C C C D ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) ζ ζ ζ P ε Trecâd la lma eru C ε obţem ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) ζ ζ ζ lm P ε ş cum robablaea u oae deăş, ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) ζ ζ ζ lm P ε ε C Cel ma frecve, î raccă, varablele aleaoare ζ au aceaş mede µ ş coclua eoreme deve lm ζ ζ ζ P µ ε Î eeţă, eorema lu Cebâşev ableşe că, deş varablele aleaoare deedee o lua valor îdeărae faţă de medle lor, meda armecă a uu umăr ufce de mare de afel de C Cur 3

4 varable aleaoare a cel ma robabl valor aroae de u umăr coa ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) (au µ auc câd medle varablelor u egale îre ele) Ca urmare, îre comorarea fecăre varable aleaoare ş comorarea medlor lor eă dfereţă eeţală Puem ue foare rec ce valoare va lua meda armecă a aceor varable aleaoare Elcaţa aceu fa coă î aceea că abaerle dverelor varable aleaoare u de eme dfere ş, ca urmare, e comeeaă îre ele TEORIA SELECŢIEI Poulaţ ş elecţ Ifereţa acă Î raccă avem adeea evoe ă facem judecăţ aura uor mar colecţ de reulae oble eermeal or a alor caăţ, dar u uem au ee erem de cum, ă eamăm oae acee dae Î afel de caur, î loc ă eamăm îregul e de dae e care îl umm î cele ce urmeaă oulaţe, ragem coclule duă eamarea a o are d ele, alee la îâmlare, are e care o umm elecţe Procedeul de obţere a robelor ee um o elecţe, ar rocedeul de eraolare a coclulor la îreaga oulaţe ee cuocu ca fereţa acă Vom codera că o caracercă daă a oulaţe ee o varablă aleaoare e u câm de robablae (, K, P) Ω î care elemeele lu Ω u char elemeele oulaţe, ar P ee o robablae cuocuă au u Eumerarea valorlor obervae ale caracerc urmăre ş a frecveţelor lor relave defeşe rearţa acă a elecţe Teorema lu Leauov, umă ş eorema fudameală a ac maemace, care jufcă ularea meode elecţe ableşe că fucţa de rearţe acă a caracerclor elecţlor de la fucţa eorecă de rearţe a caracerc udae câd volmul elecţe de la Eemlu Puem dor ă ragem coclu dere evoluţa reee ue ul de germe aologe la u medcame da ş, î ace co, eamăm reulaele abogramelor făcue îr-u eşao de ale îr-o eroadă receă (lule de ară), comaraă cu aceeaş eroadă a aulu recede Deş reulaele obţue e referă la ale ş ma rec uma la o are d ele, coclule le edem la cara îreg oulaţ Cur 4

5 Eemlu Reulaele rvd aborbţa uu medcame duă admrarea orală r deermarea velurlor d lama ale medcameulu la u lo de voluar ăăoş le coderăm ca reulae robable eru îreaga oulaţe ce clude ş oeţal aceţ Poulaţa oae f fă au fă, î ulmul ca, umărul dvlor oulaţe N- e ma umeşe ş volumul oulaţe Î mod mlar, umărul de dv au valor d cadrul ue robe ee deum volumul robe au volumul eşaoulu Valablaea coclulor dere oulaţe dede de rereeavaea robe Peru oulaţ fe aceaa îeamă că fecare membru al oulaţe are aceeaş şaă ă fe eleca, câd uem că elecţa ee o elecţe la îâmlare au elecţe aleaoare Degur că elecţa uor voluar ăăoş eru deermarea aramerlor farmacocec a uu medcame u ee d ace uc de vedere o elecţe rereeavă Î caurle î care avem move ă credem că aologa cărea e adreeaă medcameul u afeceaă fucţle meabolce ş de ecreţe, aceaă aromare ee acceaă eru movul că o elecţe corecă ar mlca lour mul ma mar cu cheluel ş m de lucru mul crecue Î raccă, î udle de boechvaleţă, eru reducerea volumulu lourlor e care e fac eărle, e admreaă amâdouă medcameele la oţ membr loulu, î două eroade dfere Fecare comoe al loulu rmeşe uul d medcamee î rma eroadă ş celălal î a doua eroadă Deoarece eroada de admrare oae flueţa ş ea reulaul eermeulu, alegerea dvlor care vor rm î rma eroadă rmul medcame e face î mod aleaor Î caul câd u ma mule eroade, de eemlu I-IV, ş ma mule medcamee A, B, C, D e alcăueşe u abel de felul I II III IV A B D C B C A D C D B A D A C B Cur 5

6 aşa ul ăra la, ude obervăm că fecare leră aare o gură daă î fecare le ş î fecare coloaă Se umeşe ăra la deoarece, cum e va araa ma deare, î caul î care ma erve ş o ală varablă, de eemlu doa d fecare medcame, e foloec ş lere grece, alcăudu-e ărae greco-lae Deaemeea, udle de boechvaleţă e fac o e voluar ăăoş, ord de la oea că modfcărle de bodoblae aocae ărlor aologce u aceleaş eru cele două medcamee eae, ceea ce, evde, ee uma î are adevăra Î oae eermeele bologce, lafcarea eermeulu rebue făcuă î aşa fel îcâ dfereţele î raame ă u cocdă cu dfereţe î vâră, e, au alţ aramer Dacă, de eemlu, femele d lo rmec rmul medcame ş bărbaţ al dolea, e ue ca dfereţele de e u cofudae cu dfereţele de raame Î ace ca u e oae ue dacă dfereţele obţue e daoreaă raameulu au dfereţe de e Paramer de elecţe a ue varable aleaoare : Dacă rr-u rocedeu oarecare cuafcăm răuul culurlor mcrobee la abocele d eemlul, au dacă luăm î coderaţe coceraţle de medcame î âge, d al dolea eemlu, ş robablăţle ca valorle ă aarţă uor ervale dfere, obţem o varablă aleaoare aocaă cu reulaul eermeulu coreuăor oulaţe Paramer acee varable aleoare u deumţ, r abu de lmbaj, aramer a Dacă î eemlul al dolea ee coceraţa de medcame î âgele bolavulu, la o oră de la admrare, la rmul voluar uem obţe o valoare, eru al dolea voluar o valoare, ec Î ace fel găm valorle, ale varblelor aleaoare deedee,,,,, eda de elecţe ee o varablă aleaoare: Dacă drbuţa lu ee ormală - N ( µ, ), aceaş eru fecare, daoră learăţ oeraorulu E care defeşe meda, obţem ( ) µ µ adcă valoarea eru meda mede de elecţe ee meda oulaţe Dacă la daele eermeale e adaugă o coaă, ( ) a aceeaş coaă: W a a, meda de elecţe creşe cu Cur 6

7 Cur 7 Smlar, dacă fecare valoare e îmulţeşe cu o coaa k Z, meda de elecţe Z e îmulţeşe cu aceeaş coaă: k k Z Dera de elecţe Ca o măură a abaer daelor faţă de meda de elecţe, e roduce oţuea de dere de elecţe ( ) S Î alcaţle racce, eru reducerea umărulu de calcule, formula e aduce la o ală formă ş aume: ( ) ( ) Dacă k a k Îr-adevăr ( ) ( ) Z k a k a k Z e umeşe abaerea adard de elecţe au devaţe adard, câd u ee ercol de cofue rvd varabla aleaoare la care e referă folodu-e ş oaţa d Se ma uleaă î raccă ş oţule: Dera oulaţe ( ) ş reecv Devaţa adard a oulaţe, recum ş abaerea adard a mede (recurarea SE adard error of mea) defă r raorul SE recum ş coefceul de varae *00 v Covaraa de elecţe Covaraa de elecţe e defeşe r formula ( )( ) Y y Y

8 Se obervă că aceaa e ma oae cre ş ub ală formă, ma ulă î eul mlfcărlor de calcul î aume alcaţ Y ( y y Y Y ) ( y Y Y Y ) ( ) y y Y y Coefceul de corelaţe de elecţe Coefceul de corelaţe de elecţe e defeşe r formula ρ (, y) ( )( ) y Y y Y Y Y ( ) ( y Y ) ( )( ) ( ) ( y Y ) Proreăţ ale caracerclor de elecţe Prooţe Demoraţe: ( ) Prooţe Coderăm î couare o elecţe de volum dr-o oulaţe cu meda µ dera eda mede de elecţe ee egală cu meda oulaţe ( ) µ ( ) ( ) µ µ eda dere de elecţe ee egală cu dera oulaţe ( ) Demoraţe: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dar, ma deare ( ) ( ) µ Cur 8

9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j ( ) ( j ) j µ µ µ ş îlocud î erea lu ( ) obţem ( ) Prooţe Varabla aleaoare µ Z de, câd ( ) µ µ căre o varablă N ( 0,) Aceaa ee o coecţă a eoreme lmă cerală ş ee alcablă aâ varablelor coue câ ş celor dcree Îr-adevăr alcâd eorema lu Leauov eru varablele aleaoare ( µ µ ) µ µ µ de căre o varablă aleaoare N ( 0,) Prooţe,,,, obţem că: Dacă varabla aleaoare ee ormal drbuă, auc varabla aleaoare V ( ) ee rearaă ( ) Demoraţe: V ( ) ( ) [( µ ) ( µ )] ( µ ) ( µ )( µ ) ( µ ) ( µ ) ( µ )( µ ) ( µ ) ( µ ) ( µ ) µ µ Cur 9

10 Dar varabla aleaoare µ µ D( ) ( µ ) D, ar cerală ee rearaă N ( 0,) deoarece Dec, V ee o umă de - ărae de varable de N ( 0,) Prooţe Dacă ( ) µ µ ee reaaă o N ( 0,) î coformae cu eorema lmă, ee o elecţe dr-o oulaţe ormal drbuă, auc varabla aleaoare,, µ T ee rearaă Sude cu grade de lberae Demoraţe: ude Z µ µ µ µ ( ) ( ) ee rearaă ( 0,) Z V ( ) Dec, T ee rearaă Sude cu - grade de lberae Prooţe N, ar V ee rearaă ( ) Dae fd două elecţ aleaoare deedee,,,,,, d oulaţ ş ormal drbue N ( µ, ) ş ( µ, ) Sedecor F (, ) Demoraţe: N, varabla aleaoare S F ee rearaă Fher S Cur 0

11 S Avem îr-adevar F S rooe 354, reecv ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ş ar umăraorul ş umorul u rearae, coform ( ) Emaţ Teora emaţe urmăreşe evaluarea aramerlor ue rearţ î geeral cuocue Valorle umerce obţue e umec emaţ au emaor Se obţ emaţ ucuale î caul î care e foloec daele elecţe eru a obţe valorle aramerlor ş emaţ ale ervalelor de îcredere î caul î care e deermă u erval î care e află, cu o aumă robablae valoarea emaă U emaor al aramerulu θ e va oa cu θˆ O emaţe ee edelaaă dacă ( ˆ θ ) adcă meda emaţe ee egală char cu valoarea eorecă a aramerulu ema θ, Coform roreăţ 35, ( ) µ adcă meda de elecţe ee u emaor edelaa al mede, ar coform roreăţ 35, ( ) edelaa al dere adcă dera de elecţe ee u emaor Problema emăr ervalelor e reduce la gărea uu erval de îcredere ( θ L, θ U ) cu u coefce de îcredere Ee de dor ca afel îcâ P ( θ θ θ ) L U ă fe câ ma mare (de obce ee cur îre 0,9 ş 0,99) ar ervalul ( θ L, θ U ) ă fe câ ma mc Î ablrea ervalelor e uleaă caracercle umerce cuale Se umec cuale de ord β valoarea a varable aleaoare eru care F ( ) P( ) β β β β adcă valoarea varable aleaoare care are la âga e ara β ub curba deăţ de robablae Evde: P P P Cur

12 Peru a ema u erval e alege, e cec d abelele cualele, de eemlu ş ş e receaă ervalul Î realabl, î fucţe de mărmea eru care e cauă ervalul e receaă cu care d rearţle cuocue rebue lucra Emarea ervalelor de îcredere eru med Caul câd e cuoae dera Se coderă o oulaţe rearaă ormal N ( µ, ) faul că N ( 0,) Evde µ ee rearaă N ( 0,) Dacă e cuoaşe dera e oae folo Se oeaă cu cuala de ordul eru rearţa P F F Aşadar ervalul, ee u erval de emare cu coefceul de îcredere D aume uce de vedere ee recomadabl ă e ulee acele ervale care laă aâ la dreaa câ ş la âga lor aceeaş are, egală cu Deoarece rearţa N ( 0,) ee mercă faţă de aa Oy avem relaţa D relaţle µ * µ * * µ * reulă Aşadar ervalul căua ee µ Cur

13 ( θ ) L, θu, ărmea E E oară umele de eroare ş erveşe la calculul umărulu de eereţe auc câd ee muă eroarea ş e alege u coefce eoda decră ma oae f alcaă ş î caul î care u ee rearaă ormal deoarece ee rearaă ( 0,) N dfere de rearţa varablelor,,, (eorema lmă cerală) Caul câd dera ee ecuocuă Dacă u e cuoae dera î emarea ervalelor e uleaă dera de elecţe care ee u emaor edelaa al dere deoarece ( ) Se coderă E, o elecţe dr-o oulaţe de ul ( µ, ),, N Coform celor arăae aeror mărmea T µ ee rearaă ( ) T ş, ca urmare P ε T ε F F,,,, Deoarece reara Sude ee mercă faţă de orge ş îlocudu-l e T î relaţa aeroară, e obţe µ P T P,,,, ş µ,, Ca urmare ervalul căua ee ( θ ) L, θu,,, Î ace ca eroarea ee,, Cur 3

14 E, Dacă umărul de eereţe ee 30, e oae folo aromaţa, Emarea ervalulu de îcredere eru dfereţe a două med µ, N µ, Se coderă două elecţ d oulaţ ormal rearae N ( ) ş ( ) Caul derlor, cuocue Coderăm o elecţe aleaoare,,, dr-o oulaţe ( ),,, Coderâd varabla aleaoare ( ) ( ) ( ) µ µ co că d oulaţa ( ) N µ, ş o elecţe N µ, Emaor edelaaţ a medlor µ ş µ u:, ea ee ormal rearaă ar emaţa ş dera e vor f ş D( ) D( ) D( ) ş u deedee ( ) ( µ µ ) a deare, varabla aleaoare D( ) N(0,) ude am ţu ( ) ( µ µ ) ee rearaă Deoarece, P ş reul ( ) µ µ ( ) Aşadar, ervalul de emaţe eru dfereţa medlor ee ( ) ( ) ( ) Θ Θ,, Cur 4

15 Î ace ca, eroarea ee E Der ecuocue dar reuue egale Î caul î care u cuoaşem derle dar şm că u egale oderaă de elecţe ( ) ( ) ( ) ( ) ulăm dera ca u emaor edelaa eru Avem îr-adevăr, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( µ µ ) Î couare vom arăa că mărmea T Se obervă că deoarece T ( ) ( µ µ ) ee rearaă T ( ) ee raorul îre o varabla aleaoare rearaă N(0,) ş varabla ( ) ( ) ( ) ee de ul ( ) Cur 5

16 Cur 6 Dar ee reara ( ) ar ee reara ( ), dec T ee reara ( ) T ş,, T P Deoarece rearţa Sude ee mercă,, reulă că,, µ µ Dec, ( ) Θ Θ,,,, cu eroarea, E Emarea ervalelor de îcredere eru dere Coderăm o elecţe de volum dr-o oulaţe ormală ( ) µ, N Coform celor arăae aeror varabla aleaoare ( ) v ee rearaă ( ) ş ca urmare,, v P Dec, ( ),, ( ) ( ),, Emarea ervalulu de îcredere raorul a două der Se coderă elecţa aleaoare,,, dr-o oulaţe ( ) µ,, N ş o elecţe,,, dr-o oulaţe ( ) µ, N

17 Coform cu cele arăae aeror, raorul F ee reara (, ) F ş dec P f F f,,,, Reulă că f,, f,,, ar ervalul de emaţe eru raorul derlor ee: ( ) Θ Θ L, U f, f,,,, Alcaţe: Ularea ervalelor de îcredere î udle de comarare a bodoblăţ medcameelor La roducerea î erae de căre u roducăor a uu medcame ce rereă o reroducere a alu medcame deja î u, e ue roblema comarăr bodoblăţ aceora Î raccă e cere ca raorul arlor de ub curbele coceraţlor lamace ale celor două medcamee ă e afle ervalul 0,8 -,5 T µ AUC 0,8, 5 R µ AUC ude dcele T e referă la medcameul ea ş R deemeaă medcameul referţă Auc îă câd arle de ub curbă reă varablăţ ra ş erdvduale coderable (deermărle de bodoblae e fac e lour de crca 0 0 de voluar ăăoş) ee de refera a e deerma u erval de îcredere eru meda are realaă de medcameul ou Pord de la faul ca T ( R T ) ( µ R µ T ) erval de îcredere cu robablaea eru µ T µ R µ µ T R T R T R R T ee rearaă T ( ) R e deduce u T Cur 7

18 ude am oa R T Duă cum e va arăa ma deare, aceaă emare ee uţ ulă î ca că rereă racc ervarablaea, ar erchmbablaea care eceă boechvaleţă rebue ă e baee e ravarablaea Cur 8

19 STATISTICĂ ATEATICĂ ŞI BIOSTATISTICĂ Saca maemacă ee rcala alcaţe a eore robablăţlor Procedeele ace coau, î eeţă, î elaborarea uor coclu lauble rvoare la colecvăţ mar de feomee, e baa cuoaşer uu umăr rerâ dre aceea ş eraolăr reulaelor Legle care au la baa ac ş care erm acee geeralăr u eorema lmă cerală ş legea umerelor mar Îr-o ermare uvă, avem reulaul că, dacă o varablă aleaoare ξ ee uma uu umăr mare de varable aleaoare deedee, fecare varablă aleaoare avâd o odere mcă î umă, auc fucţa de rearţe a varable aleaoare ξ ee foare aroaă de o fucţe de rearţe ormală Erma ma rguro ş ma geeral, avem urmăoarea eoremă: Teorema lmă cerală (ALeauov) Fe ξ, ξ,, ξ varable aleaoare deedee ξ a D ξ 3 ş ( ξ m ) 3 Fe ( ), ( ) k k k k 3 3 Noăm ( ), ρ ( ) ρ ( ) ρ câd k, ρ( ) Dacă lm 0, auc fucţa de rearţe a varable k ( a a ) ξ ξ ξ a ( ) de, câd, căre fucţa Φ ( ) a lu Lalace k k Φ ( ) e d π Teorema lmă cerală ee eorema fudameală a eore erorlor Lalace, Gau ş alţ maemace, udd rearţa erorlor, au aju la coclua că fucţa de rearţe ormală oae f luaă dre model eorec eru cercearea robablcă a aroae uuror feomeelor aur Teorema lu Cebâşev Dacă ζ ζ,, ζ, u varable aleaoare (dcree au coue) deedee ale căror der u ma mc decâ o coaă C, auc orcare ar f umărul ov ε, robablaea egalăţ Cur 9

20 ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) ζ ζ ζ ε de căre, auc câd umărul varablelor aleaoare de căre f Demoraţe: Să coderăm varabla aleaoare oeraorulu de calcul a mede avem ( ζ ) ζ ζ ζ ζ ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) Alcâd egalaea lu Cebâşev varable aleaoare ζ e obţe: Avâd î vedere laraea ζ ζ ζ D ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) ε ζ ζ ζ P a deare, d roreăţle oeraorulu D Dec ( ζ ) D( ζ ) D( ) ζ ζ ζ D ζ C C C D ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) ζ ζ ζ P ε Trecâd la lma eru C ε obţem ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) ζ ζ ζ lm P ε ş cum robablaea u oae deăş, ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) ζ ζ ζ lm P ε ε C Cel ma frecve, î raccă, varablele aleaoare ζ au aceaş mede µ ş coclua eoreme deve lm ζ ζ ζ P µ ε Î eeţă, eorema lu Cebâşev ableşe că, deş varablele aleaoare deedee o lua valor îdeărae faţă de medle lor, meda armecă a uu umăr ufce de mare de afel de C Cur 0

21 varable aleaoare a cel ma robabl valor aroae de u umăr coa ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) (au µ auc câd medle varablelor u egale îre ele) Ca urmare, îre comorarea fecăre varable aleaoare ş comorarea medlor lor eă dfereţă eeţală Puem ue foare rec ce valoare va lua meda armecă a aceor varable aleaoare Elcaţa aceu fa coă î aceea că abaerle dverelor varable aleaoare u de eme dfere ş, ca urmare, e comeeaă îre ele TEORIA SELECŢIEI Poulaţ ş elecţ Ifereţa acă Î raccă avem adeea evoe ă facem judecăţ aura uor mar colecţ de reulae oble eermeal or a alor caăţ, dar u uem au ee erem de cum, ă eamăm oae acee dae Î afel de caur, î loc ă eamăm îregul e de dae e care îl umm î cele ce urmeaă oulaţe, ragem coclule duă eamarea a o are d ele, alee la îâmlare, are e care o umm elecţe Procedeul de obţere a robelor ee um o elecţe, ar rocedeul de eraolare a coclulor la îreaga oulaţe ee cuocu ca fereţa acă Vom codera că o caracercă daă a oulaţe ee o varablă aleaoare e u câm de robablae (, K, P) Ω î care elemeele lu Ω u char elemeele oulaţe, ar P ee o robablae cuocuă au u Eumerarea valorlor obervae ale caracerc urmăre ş a frecveţelor lor relave defeşe rearţa acă a elecţe Teorema lu Leauov, umă ş eorema fudameală a ac maemace, care jufcă ularea meode elecţe ableşe că fucţa de rearţe acă a caracerclor elecţlor de la fucţa eorecă de rearţe a caracerc udae câd volmul elecţe de la Eemlu Puem dor ă ragem coclu dere evoluţa reee ue ul de germe aologe la u medcame da ş, î ace co, eamăm reulaele abogramelor făcue îr-u eşao de ale îr-o eroadă receă (lule de ară), comaraă cu aceeaş eroadă a aulu recede Deş reulaele obţue e referă la ale ş ma rec uma la o are d ele, coclule le edem la cara îreg oulaţ Cur

22 Eemlu Reulaele rvd aborbţa uu medcame duă admrarea orală r deermarea velurlor d lama ale medcameulu la u lo de voluar ăăoş le coderăm ca reulae robable eru îreaga oulaţe ce clude ş oeţal aceţ Poulaţa oae f fă au fă, î ulmul ca, umărul dvlor oulaţe N- e ma umeşe ş volumul oulaţe Î mod mlar, umărul de dv au valor d cadrul ue robe ee deum volumul robe au volumul eşaoulu Valablaea coclulor dere oulaţe dede de rereeavaea robe Peru oulaţ fe aceaa îeamă că fecare membru al oulaţe are aceeaş şaă ă fe eleca, câd uem că elecţa ee o elecţe la îâmlare au elecţe aleaoare Degur că elecţa uor voluar ăăoş eru deermarea aramerlor farmacocec a uu medcame u ee d ace uc de vedere o elecţe rereeavă Î caurle î care avem move ă credem că aologa cărea e adreeaă medcameul u afeceaă fucţle meabolce ş de ecreţe, aceaă aromare ee acceaă eru movul că o elecţe corecă ar mlca lour mul ma mar cu cheluel ş m de lucru mul crecue Î raccă, î udle de boechvaleţă, eru reducerea volumulu lourlor e care e fac eărle, e admreaă amâdouă medcameele la oţ membr loulu, î două eroade dfere Fecare comoe al loulu rmeşe uul d medcamee î rma eroadă ş celălal î a doua eroadă Deoarece eroada de admrare oae flueţa ş ea reulaul eermeulu, alegerea dvlor care vor rm î rma eroadă rmul medcame e face î mod aleaor Î caul câd u ma mule eroade, de eemlu I-IV, ş ma mule medcamee A, B, C, D e alcăueşe u abel de felul I II III IV A B D C B C A D C D B A D A C B Cur

23 aşa ul ăra la, ude obervăm că fecare leră aare o gură daă î fecare le ş î fecare coloaă Se umeşe ăra la deoarece, cum e va araa ma deare, î caul î care ma erve ş o ală varablă, de eemlu doa d fecare medcame, e foloec ş lere grece, alcăudu-e ărae greco-lae Deaemeea, udle de boechvaleţă e fac o e voluar ăăoş, ord de la oea că modfcărle de bodoblae aocae ărlor aologce u aceleaş eru cele două medcamee eae, ceea ce, evde, ee uma î are adevăra Î oae eermeele bologce, lafcarea eermeulu rebue făcuă î aşa fel îcâ dfereţele î raame ă u cocdă cu dfereţe î vâră, e, au alţ aramer Dacă, de eemlu, femele d lo rmec rmul medcame ş bărbaţ al dolea, e ue ca dfereţele de e u cofudae cu dfereţele de raame Î ace ca u e oae ue dacă dfereţele obţue e daoreaă raameulu au dfereţe de e Paramer de elecţe a ue varable aleaoare : Dacă rr-u rocedeu oarecare cuafcăm răuul culurlor mcrobee la abocele d eemlul, au dacă luăm î coderaţe coceraţle de medcame î âge, d al dolea eemlu, ş robablăţle ca valorle ă aarţă uor ervale dfere, obţem o varablă aleaoare aocaă cu reulaul eermeulu coreuăor oulaţe Paramer acee varable aleoare u deumţ, r abu de lmbaj, aramer a Dacă î eemlul al dolea ee coceraţa de medcame î âgele bolavulu, la o oră de la admrare, la rmul voluar uem obţe o valoare, eru al dolea voluar o valoare, ec Î ace fel găm valorle,, eda de elecţe ee o varablă aleaoare:,,, ale varblelor aleaoare deedee, Dacă drbuţa lu ee ormală - N ( µ, ), aceaş eru fecare, daoră learăţ oeraorulu E care defeşe meda, obţem ( ) µ µ adcă valoarea eru meda mede de elecţe ee meda oulaţe Dacă la daele eermeale e adaugă o coaă, ( ) a aceeaş coaă: W a a, meda de elecţe creşe cu Cur 3

24 Cur 4 Smlar, dacă fecare valoare e îmulţeşe cu o coaa k Z, meda de elecţe Z e îmulţeşe cu aceeaş coaă: k k Z Dera de elecţe Ca o măură a abaer daelor faţă de meda de elecţe, e roduce oţuea de dere de elecţe ( ) S Î alcaţle racce, eru reducerea umărulu de calcule, formula e aduce la o ală formă ş aume: ( ) ( ) Dacă k a k Îr-adevăr ( ) ( ) Z k a k a k Z e umeşe abaerea adard de elecţe au devaţe adard, câd u ee ercol de cofue rvd varabla aleaoare la care e referă folodu-e ş oaţa d Se ma uleaă î raccă ş oţule: Dera oulaţe ( ) ş reecv Devaţa adard a oulaţe, recum ş abaerea adard a mede (recurarea SE adard error of mea) defă r raorul SE recum ş coefceul de varae *00 v Covaraa de elecţe Covaraa de elecţe e defeşe r formula ( )( ) Y y Y

25 Se obervă că aceaa e ma oae cre ş ub ală formă, ma ulă î eul mlfcărlor de calcul î aume alcaţ Y ( y y Y Y ) ( y Y Y Y ) ( ) y y Y y Coefceul de corelaţe de elecţe Coefceul de corelaţe de elecţe e defeşe r formula ρ (, y) ( )( ) y Y y Y Y Y ( ) ( y Y ) ( )( ) ( ) ( y Y ) Prooţe Demoraţe: ( ) Prooţe Proreăţ ale caracerclor de elecţe Coderăm î couare o elecţe de volum dr-o oulaţe cu meda µ dera eda mede de elecţe ee egală cu meda oulaţe ( ) µ ( ) ( ) µ µ eda dere de elecţe ee egală cu dera oulaţe ( ) Demoraţe: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dar, ma deare ( ) ( ) µ Cur 5

26 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j ( ) ( j ) j µ µ µ ş îlocud î erea lu ( ) obţem ( ) Prooţe Varabla aleaoare µ Z de, câd ( ) µ µ căre o varablă N ( 0,) Aceaa ee o coecţă a eoreme lmă cerală ş ee alcablă aâ varablelor coue câ ş celor dcree Îr-adevăr alcâd eorema lu Leauov eru varablele aleaoare ( µ µ ) µ µ µ de căre o varablă aleaoare N ( 0,) Prooţe,,,, obţem că: Dacă varabla aleaoare ee ormal drbuă, auc varabla aleaoare V ( ) ee rearaă ( ) Demoraţe: V ( ) ( ) [( µ ) ( µ )] ( µ ) ( µ )( µ ) ( µ ) ( µ ) ( µ )( µ ) ( µ ) ( µ ) ( µ ) µ µ Cur 6

27 Dar varabla aleaoare µ µ D( ) ( µ ) D, ar cerală ee rearaă N ( 0,) deoarece Dec, V ee o umă de - ărae de varable de N ( 0,) Prooţe Dacă,, ( ) µ µ ee reaaă o N ( 0,) î coformae cu eorema lmă, ee o elecţe dr-o oulaţe ormal drbuă, auc varabla aleaoare µ T ee rearaă Sude cu grade de lberae Demoraţe: ude Z µ µ µ µ ( ) ( ) ee rearaă ( 0,) Z V ( ) Dec, T ee rearaă Sude cu - grade de lberae Prooţe N, ar V ee rearaă ( ) Dae fd două elecţ aleaoare deedee,,,,,, d oulaţ ş ormal drbue N ( µ, ) ş ( µ, ) Sedecor F (, ) Demoraţe: N, varabla aleaoare S F ee rearaă Fher S Cur 7

28 S Avem îr-adevar F S rooe 354, reecv ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ş ar umăraorul ş umorul u rearae, coform ( ) Emaţ Teora emaţe urmăreşe evaluarea aramerlor ue rearţ î geeral cuocue Valorle umerce obţue e umec emaţ au emaor Se obţ emaţ ucuale î caul î care e foloec daele elecţe eru a obţe valorle aramerlor ş emaţ ale ervalelor de îcredere î caul î care e deermă u erval î care e află, cu o aumă robablae valoarea emaă U emaor al aramerulu θ e va oa cu θˆ O emaţe ee edelaaă dacă ( ˆ θ ) adcă meda emaţe ee egală char cu valoarea eorecă a aramerulu ema θ, Coform roreăţ 35, ( ) µ adcă meda de elecţe ee u emaor edelaa al mede, ar coform roreăţ 35, ( ) edelaa al dere adcă dera de elecţe ee u emaor Problema emăr ervalelor e reduce la gărea uu erval de îcredere ( θ L, θ U ) cu u coefce de îcredere Ee de dor ca afel îcâ P ( θ θ θ ) L U ă fe câ ma mare (de obce ee cur îre 0,9 ş 0,99) ar ervalul ( θ L, θ U ) ă fe câ ma mc Î ablrea ervalelor e uleaă caracercle umerce cuale Se umec cuale de ord β valoarea a varable aleaoare eru care F ( ) P( ) β β β β adcă valoarea varable aleaoare care are la âga e ara β ub curba deăţ de robablae Evde: P P Cur 8

29 P Peru a ema u erval e alege, e cec d abelele cualele, de eemlu ş ş e receaă ervalul Î realabl, î fucţe de mărmea eru care e cauă ervalul e receaă cu care d rearţle cuocue rebue lucra 4Caul câd e cuoae dera Emarea ervalelor de îcredere eru med Se coderă o oulaţe rearaă ormal N ( µ, ) faul că N ( 0,) Evde µ ee rearaă N ( 0,) Dacă e cuoaşe dera e oae folo Se oeaă cu cuala de ordul eru rearţa P F F Aşadar ervalul, ee u erval de emare cu coefceul de îcredere D aume uce de vedere ee recomadabl ă e ulee acele ervale care laă aâ la dreaa câ ş la âga lor aceeaş are, egală cu Deoarece rearţa N ( 0,) ee mercă faţă de aa Oy avem relaţa D relaţle µ * µ * * µ * reulă µ Cur 9

30 Aşadar ervalul căua ee ( θ ) L, θu, ărmea E E oară umele de eroare ş erveşe la calculul umărulu de eereţe auc câd ee muă eroarea ş e alege u coefce eoda decră ma oae f alcaă ş î caul î care u ee rearaă ormal deoarece ee rearaă ( 0,) N dfere de rearţa varablelor,,, (eorema lmă cerală) Caul câd dera ee ecuocuă Dacă u e cuoae dera î emarea ervalelor e uleaă dera de elecţe care ee E u emaor edelaa al dere deoarece ( ) Se coderă, o elecţe dr-o oulaţe de ul ( µ, ),, N Coform celor arăae aeror mărmea T µ ee rearaă ( ) T ş, ca urmare P ε T ε F F,,,, Deoarece reara Sude ee mercă faţă de orge ş îlocudu-l e T î relaţa aeroară, e obţe µ P T P,,,, ş µ,, Ca urmare ervalul căua ee ( θ ) L, θu,,,,, Cur 30

31 Î ace ca eroarea ee E, Dacă umărul de eereţe ee 30, e oae folo aromaţa, Emarea ervalulu de îcredere eru dfereţe a două med µ, N µ, Se coderă două elecţ d oulaţ ormal rearae N ( ) ş ( ) Caul derlor, cuocue Coderăm o elecţe aleaoare,,, dr-o oulaţe ( ),,, Coderâd varabla aleaoare ( ) ( ) ( ) µ µ co că d oulaţa ( ) N µ, ş o elecţe N µ, Emaor edelaaţ a medlor µ ş µ u:, ea ee ormal rearaă ar emaţa ş dera e vor f ş D( ) D( ) D( ) ş u deedee ( ) ( µ µ ) a deare, varabla aleaoare D( ) N(0,) ude am ţu ( ) ( µ µ ) ee rearaă Deoarece, P ş reul ( ) µ µ ( ) Aşadar, ervalul de emaţe eru dfereţa medlor ee ( ) ( ) ( ) Θ Θ,, Cur 3

32 Î ace ca, eroarea ee E Der ecuocue dar reuue egale Î caul î care u cuoaşem derle dar şm că u egale oderaă de elecţe ( ) ( ) ( ) ( ) ulăm dera ca u emaor edelaa eru Avem îr-adevăr, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( µ µ ) Î couare vom arăa că mărmea T Se obervă că deoarece T ( ) ( µ µ ) ee rearaă T ( ) ee raorul îre o varabla aleaoare rearaă N(0,) ş ( ) ( ) ( ) varabla ee de ul ( ) Cur 3

33 Cur 33 Dar ee reara ( ) ar ee reara ( ), dec T ee reara ( ) T ş,, T P Deoarece rearţa Sude ee mercă,, reulă că,, µ µ Dec, ( ) Θ Θ,,,, cu eroarea, E Emarea ervalelor de îcredere eru dere Coderăm o elecţe de volum dr-o oulaţe ormală ( ) µ, N Coform celor arăae aeror varabla aleaoare ( ) v ee rearaă ( ) ş ca urmare,, v P Dec, ( ),, ( ) ( ),, Emarea ervalulu de îcredere raorul a două der Se coderă elecţa aleaoare,,, dr-o oulaţe ( ) µ,, N ş o elecţe,,, dr-o oulaţe ( ) µ, N

34 Coform cu cele arăae aeror, raorul F ee reara (, ) F ş dec P f F f,,,, Reulă că f,, f,,, ar ervalul de emaţe eru raorul derlor ee: ( ) Θ Θ L, U f, f,,,, Alcaţe: Ularea ervalelor de îcredere î udle de comarare a bodoblăţ medcameelor La roducerea î erae de căre u roducăor a uu medcame ce rereă o reroducere a alu medcame deja î u, e ue roblema comarăr bodoblăţ aceora Î raccă e cere ca raorul arlor de ub curbele coceraţlor lamace ale celor două medcamee ă e afle ervalul 0,8 -,5 T µ AUC 0,8, 5 R µ AUC ude dcele T e referă la medcameul ea ş R deemeaă medcameul referţă Auc îă câd arle de ub curbă reă varablăţ ra ş erdvduale coderable (deermărle de bodoblae e fac e lour de crca 0 0 de voluar ăăoş) ee de refera a e deerma u erval de îcredere eru meda are realaă de medcameul ou Pord de la faul ca T ( R T ) ( µ R µ T ) erval de îcredere cu robablaea eru µ T µ R µ µ T R T R T R R T ee rearaă T ( ) R e deduce u T Cur 34

35 ude am oa R T Duă cum e va arăa ma deare, aceaă emare ee uţ ulă î ca că rereă racc ervarablaea, ar erchmbablaea care eceă boechvaleţă rebue ă e baee e ravarablaea WJWelake: Ue of cofdece erval aaly of comarave bovalably ral, J Pharm Sc, 6 (8), 340, 97 Cur 35