Elemente de teoria probabilitatilor

Transcript

1 Elemete de teora probabltatlor CONCEPTE DE BAZA VARIABILE ALEATOARE DISCRETE DISTRIBUTII DISCRETE VARIABILE ALEATOARE CONTINUE DISTRIBUTII CONTINUE ALTE VARIABILE ALEATOARE Spatul esatoaelor, pucte esato, evemete Spatul esatoaelor e reprezetat de spatul tuturor puctelor esato: ω Ω Exemplul Arucarea baulu: Ω = { CP, } Exemplul Arucarea zarulu: Ω={,,3,4,5,6} Exemplu 3 Numarul de clet tr-o coada: Ω = {0,,, } Exemplul 4 Tmpul de ocupare a le( call holdg tme): Ω= { x R x> 0}

2 Spatul esatoaelor, pucte esato, evemete Evemetele A, BC,, Ω esatoae d Ω reprezta subsetur masurable de Exemplul : Aparta umerelor pare la arucarea zarulu : A = {,4,6} Exemplul : Lpsa cletlor coada de asteptare : A = {0} Exemplul 3: Tmpul de ocupare a le telefoce ma mare dect 3 m A= { x R x> 3} Spatul esatoaelor, pucte esato, evemete Ψ Fe spatul tuturor evemetelor A Ψ Evemetul sgur: Este reprezetat de spatul esatoaelor: Ω Ψ Evemetul mposbl: Este reprezetat de setul care u cote c u evemet: φ Ψ

3 Combat de evemete Reuuea de evemete: A sau B : A B= { ω Ωω Asauω B} Itersecta evemetelor: A s B : A B= { ω Ωω Asω B} Evemetul complemetar lu A: C A = { ω Ωω A } Evemetele A s B sut dsjucte daca: A B =Φ U set de evemete { B, B, } reprezta o partte petru A daca () () B B =φ, petrutot j j B = A Probabltat Probabltatea evemetulu A este otata pr P( A), P( A) [0,] P : Ψ [0,] Propretat () 0 P( A) () () (v) (v) (v) (v) (v) P( φ ) = 0 P( Ω ) = C P( A ) = P( A) P( A B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) A B =φ P( A B) = P( A) + P( B) { B } este o partte a lu A P( A) P( B ) A B P( A) < P( B) =

4 Probabltat codtoate Presupuem ca P(B) > 0 Defte: probabltatea codtoata a evemetulu A, poteza ca evemetul B se produce este: P( A B) PAB ( ) = PB ( ) Rezulta: P( A B) = P( B) P( A B) = P( A) P( B A) Teorema probabltat totale Fe {B } o partte pe spatul esatoaelor Ω Rezulta ca {A B } reprezta o partte petru evemetul A. Astfel: P( A) = P( A B ) Sa presupuem ma departe ca P(B ) > 0 orcare ar f. Rezulta cof slde at: PA ( ) = PB ( ) PAB ( ) Aceasta reprezta teorema probablta totale

5 Teorema lu Bayes Fe {B } o partte pe spatul esatoaelor Ω Sa presupuem ca P(A) > 0 s P(B ) > 0 petru toate valorle PA ( B ) P( B) P( A B) PB ( A) = = PA ( ) PA ( ) Coform teoreme probablta totale avem: PB ( ) PAB ( ) PB ( A) == PB ( j ) PAB ( j ) j Aceasta reprezta Teorema lu Bayes Probabltatle P(B ) se umesc probablta apror ale evemetelor B Probabltatle P(B A) se umesc probabltat aposteror ale evemetulu B Idepedeta statstca a evemetelor Defte: Evemetele A s B sut depedete daca: Rezulta: P( A B) = P( A) P( B) PA ( B) PAPB ( ) ( ) P( AB) = = = P( A) PB ( ) PB ( ) I mod corespuzator avem: PA ( B) PAPB ( ) ( ) PBA ( ) = = = PB ( ) PA ( ) PA ( )

6 Varable aleatoare Defte: Varabla aleatoare reala este o fucte reala s masurabla defta pe Ω, : Ω R Care asocaza fecaru puct esato ω, valoarea reala (ω) Masurabltatea seama ca toate seturle de tpul { x}: = { ω Ω ( ω) x} Ω apart setulu de evemete Ψ: { x} Ψ Probabltatea uu astfel de evemet este otata cu: P { x} Exemple O moeda e arucata de tre or Spatul esatoaelor este acest caz Ω= {( ω, ω, ω3) ω { CP, }, =,,3} Fe varabla aleatoare care e da umarul total de apart a pajure acest caz: ω CCC CCP CPC PCC CPP PCP PPC PPP (ω) 0 3

7 Fe A Ψ u evemet arbtrar Idcator de evemete Defte: Idcatorul evemetulu A este o varabla aleatoare defta dupa cum urmeaza:, A( ω ) = 0, ω A ω A Rezulta: P( = ) = P( A) A P( = 0) = P( A ) = P( A) A C Fucta de dstrbute cumulatva - Fucta de repartte Fucta de repartte a varable aleatoare este o fucte F : R [0,] defta astfel: F = P { x} Ea determa dstrbuta varable aleatoare, adca probabltatea ude B R s { B} Ψ Propretat: P{ B} ) F este edescrescatoare ) F este cotua la dreapta ) F ( ) = 0 Iv) F ( ) =

8 Idepedeta statstca a varablelor aleatoare Varablele aleatoare s Y sut depedete daca petru tot x s y au loc urmatoarele relat: P( x, Y y) = P ( xpy ) ( y) Varablele aleatoare,, sut total depedete petru toate valorle s x daca are loc relata: P( x,, x ) = P( x ) P( x ) Valorle maxma s mma ale varablelor aleatoare depedete Fe varablele aleatoare,, total depedete max Sa otam: : = max{,, }. Avem: max P{ x} = P{ x,, x} = P{ x} P{ x} m Sa otam: : = m{, }. Avem: m P{ > x} = P{ > x,, > x} = P{ > x} P{ > x}

9 A R Varable aleatoare dscrete Defte: Setul este umt dscret daca este: A = { x, x, x } Ft: sau Ift umarabl A= { x, x, } Defte: Varabla aleatoare este dscreta daca exsta u set dscret astfel cat P ( S ) = S R Rezulta: S P( = x) 0 petru tot x S P( = x) = 0 petrutot x S S este umt setul de valor Probabltat puctuale Fe o varabla aleatoare dscreta Dstrbuta lu este determata de probabltatle puctuale. p = P{ = x}, x S Defte: fucta destate de probabltate a lu este o fucte defta astfel: p x= x S p ( x): = P{ = x} = 0, x S, Fucta de dstrbute este acest caz o fucte trepte: p p : R [0,] F = P{ x} = p x : x

10 Exemple Fucta destate de probabltate Fucta de repartte S = { x, x, x, x } 3 4 Idepedeta varablelor aleatoare dscrete Varablele aleatoare dscrete s Y sut depedete daca s uma daca petru tot x S s tot y j SY avem: P{ = x, Y = y } = P{ = x} P{ Y = y } j j

11 Meda statstca-sperata matematca- Mometul de ordul ta Defte: Sperata (valoarea mede) lu se defeste astfel; Nota : meda exsta uma daca: Nota : daca putem admte ca Propretat: μ : = E [ ]: = P { = xx } = p ( xx ) = px x S x S p x < p x = E [ ] = () () c R, E[ c] = ce[ ] E [ + Y] = E [ ] + EY [ ] () s Y sut depedete EY [ ] = EEY [ ] [ ] Varata matematca Defte: Varata lu se defeste astfel; Se poate demostra usor ca: σ : = D [ ]: = Var[ ]: = E[( E( )) ] D [ ] = E[ ] E[ ] Propretat: () c R, D [ c] = c D [ ] () s Y sut depedete D [ + Y] = D [ ] + D [ Y]

12 Covarata Defte: Covarata tre s Y se defeste; Se poate demostra usor ca: Propretat: σ Y : = Cov[, Y ]: = E[( E( )( Y E( Y )] Cov[, Y ] = E[ Y ] E[ ] E[ Y ] () () () Cov[, ] = Var[ ] Cov[, Y ] = Cov[ Y, ] Cov[ + Y, Z] = Cov[, Z] + Cov[ Y, Z] (v) s Y sut depedete Cov[, Y ] = 0 Alt parametr a dstrbutlor Defte: Devata stadard a lu se defeste; Coefcetul varate a lu : σ : = D[ ]: = D [ ] = Var[ ] c [ ]: = C [ ]: = D [ ] E[ ] Defte: mometul de ord k al lu, k =,,, e deft de: k μ [ ]: = E [ ] k

13 Valor med ale varablelor IID Fe,,, varable aleatoare depedete s detc dstrbute (IID) cu meda μ s varata σ σ : = D[ ]: = D [ ] = Var[ ] Se defeste meda ( meda esatoaelor): Ma au loc urmatoarele relat: : = = E [ ] =μ [ ] D [ ] D σ = σ = Legea umerelor mar Fe,,, varable aleatoare depedete s detc dstrbute (IID) cu meda μ s varata σ Legea slaba a umerelor mar: petru tot ε > 0 are loc relata: P{ μ>ε} 0 Legea tare a umerelor mar: cu probabltate egala cu are loc relata: μ

14 Dstrbut dscrete Dstrbuta Beroull Beroull( p), p (0,) Descre u expermet aleator cu doua posble realzar: succes () s succes (0): arucarea baulu Succesul este caracterzat de probabltatea p s succesul de probabltatea -p Setul de valor: S = {0,} Probabltatle puctuale: P ( = ) = p, P ( = 0) = p Meda: E [ ] = ( p) 0+ p = p Mometul de ordul al-ii-lea: E [ ] = ( p)0 + p = p Varata: D [ ] = E[ ] E[ ] = p p = p( p) Dstrbut dscrete Dstrbuta Bomala B(, p), {,, }, p (0,) Descre umarul succeselor tr-o sere depedeta de expermete aleatoare smple (de tp Beroull), = + + cu Beroull( p) = umarul total de expermete p = probabltatea succesulu tr-u expermet dvdual Setul de valor: S Probabltatle puctuale: = {0,,, }! P ( = ) = Cp ( p), C =!( )! Meda: Varata: E [ ] = E [ ] + E [ ] + E [ ] = p D [ ] = D [ ] + D [ ] = p( p)

15 Dstrbut dscrete Dstrbuta Geometrca Geom( p), p (0,) Descre umarul succeselor paa la prmul succes tr-o sere depedeta de expermete aleatoare smple (de tp Beroull) p = probabltatea succesulu tr-u expermet dvdual Setul de valor: S = {0,, } Probabltatle puctuale: P ( = ) = p( p) Meda: E[ ] = p ( p) = p/ ( p) Mometul de ordul al II lea: Varata: E [ ] = p( p) = D [ ] = E[ ] E[ ] = p/( p) p( p+ ) ( p) Propretatea memoryless a Dstrbute Geometrce Dstrbuta geometrca are propretatea de a f fara memore: petru tot are loc relata:, j {0,, } P{ + j } = P{ j} Petru demostrate trebue tut cot de relata: P( ) = p

16 Mmul varablelor aleatoare cu dstrbute geometrca Fe Geom( p ) s Geom( p ) doua varable depedete. Atuc s m : = m{, } Geom( p, p ) m p P { = } =, {,} pp Dstrbut dscrete Dstrbuta Posso Posso( a), a > 0 Lmta ue dtrbut bomale cad s p 0 astfel cat Setul de valor: Probabltatle puctuale: Meda: p a E [ ]. S = {0,, } = a a P { = } = e! a Mometul de ordul al-ii-lea: E [ ] = a + a Varata: D [ ] = E[ ] E[ ] = a

17 Exemple Sa presupuem ca 00 aboat sut coectat la o cetrala locala. Trafcul caracterstc fecaru aboat este de 0.0 erl Aboat se comporta depedet Numarul apelurlor actve este I cazul ue leg de tp Posso Probabltat puctuale: B(00,0.0) p = C p ( p) Posso(.0) a = p = = p a = e! a B(00, 0.0) Posso(.0) Propretat Dstrbuta Posso () Suma: Fe Posso( a ) s Posso( a ) doua varable depedete. Atuc: Posso( a) + Posso( a + a ) () Fe varabla care defeste umarul de elemete tru set s Y varabla care desemeaza marmea uu elemet aleator d acest set (fecare elemet fd luat depedet cu probabltatea p). Atuc: Y Posso( pa) Sortarea aleatoare: Fe s Y coform propretat (), s Z = Y. Atuc Y s Z sut depedete ( fd dat ecuoscut) s. Z Posso(( p) a)

18 Varable aleatoare cotuue Defte: Varabla aleatoare este cotua daca; exsta o fucte tegrabla f : astfel cat petru tot R R + x R x Fucta este umta fucte destate de probabltate(pdf) Setul S, petru care f > 0 este umt setul de valor () () (v) f F( x): = P{ x} = f( y) dy Propretat: () P { = x} = 0 petru tot x R P{ a< < b} = P{ a b} = f ( x) dx P { A} f dx = A P { R} = f dx= f dx= S b a Exemple Fucta destate de probabltate S = [ x, x ] 3 Fucta de repartte

19 Sperata matematca s alt parametr Defte: Sperata matematca a varable aleatoare este defta astfel: μ : = E[ ] = xf( x) dx Nota : Meda exsta uma daca: Nota : Daca xf ( xdx ) = atuc admtem ca: Meda are aceleas propretat ca s cazul dstrbutlor dscrete Celalt parametr (varata, covarata, ) se defesc ca s cazul dstrbutlor dscrete xf ( xdx ) < E [ ] = Dstrbut cotue Dstrbuta Uforma U( a, b), a< b Echvaleta arucar zarulu Setul de valor: S = ( a, b) Fucta destate de probabltate: Fucta de repartte: Meda: b f ( x) =, x ( a, b) b a x a F ( x): = P{ x} =, x ( a, b) b a E [ ] = x/( b adx ) = ( a+ b)/ a Mometul de ordul al-ii-lea: Varata: b = = + + a E [ ] x /( b adx ) ( a ab b)/3 D[ ] = E [ ] E [ ] = ( b a) /

20 Dstrbut cotue Dstrbuta expoetala Echvaleta cotua a dstrbute geometrce (probabltatea succesulu) λdt Setul de valor: Fucta destate de probabltate: Fucta de repartte: Meda: Mometul de ordul al-ii-lea: Varata: S = (0, ) 0 E [ ] = λ xe dx= / λ Exp( λ), λ> 0 λx F ( x): = P{ x} = e, x> 0 λx D [ ] = E[ ] E[ ] = / λ λx f ( x) =λ e, x> 0 λx = λ = λ 0 E [ ] xe dx / Dstrbut cotue Dstrbuta expoetala Descre tervalele de tmp tre evemete cadrul uu proces Posso, u proces care evemetele se produc cotuu s depedet, cu o rata mede costata. Dstrbuta expoetala poate f vazuta ca s echvaletul cotuu al dtrbute geometrce care descre umarul cercarlor Beroull ecesare tr-u proces dscret petru schmbarea star. Astfel, dstrbuta expoetala exprma tmpul ecesar uu proces cotuu petru schmbarea star. I lumea reala rata costata reprezta o presupuere rar talta. De, exemplu ratele de sosre ale apelurlor dfera pe durata ue zle. Dar daca e fxam asupra uu terval aume, cum ar f de la 0-6 zlele lucratoare, dstrbuta expoetala poate f utlzata ca o bua aproxmare petru tervalul de tmp tre apelur. I teora cozlor de asteptare tmp de servre a cletlor uu sstem sut adesea modelat cu ajutorul varablelor aleatoare dstrbute expoetal.( Tmp ter sosr sut modelat pr dstrbut Posso, ar lugmea procesulu (prvta ca o secveta de proceses depedete) este modelata de o varabla ce urmeaza o dstrbute Erlag( care reprezta dstrbuta ue sume de varable aleatoare depedete dstrbute expoetal)

21 Propretatea de memoryless a dstrbute expoetale Dstrbuta expoetala are propretatea de a f fara memore: Asta seama ca daca este dtrbuta expoetal, atuc probabltatea e codtoata satsface relata: petru tot xy, (0, ) Demostrate: P{ > x+ y > x} = P{ > y} PA ( B) PAB ( ) = PB ( ) λu PB ( ) = P { > x} = λ e du= e λx λu λ ( x+ y) PA ( ) = P { > x+ y} = λ e du= e x x+ y P( A B) = P{ > x+ y s > x} = P{ > x+ y} = e λ ( x+ y) e λy P { > x+ y> x} = = e λx e λ ( x+ y) Aplcat: Propretatea de memoryless a dstrbute expoetale Sa presupuem ca tmpul de ocupare al ue l telefoce este dstrbut expoetal cu meda h (m); Sa presupuem ca u apel are deja o tarzere de g mute. Datorta propretat de memoryless aceasta formate u e spue mc despre tmpul de ocupare care a ramas: acesta e dstrbut ca s tmpul tal de ocupare s mede tarze tot h mute. x= g y = h Exemplu umerc: T = g = 30 m y = 0 m PT { > 40 T> 30} = PT { > 0}

22 Mmul varablelor aleatoare expoetale Exp( λ ) Fe s Exp( λ) depedete. Atuc: m : = m{, } Exp( λ +λ ) s m λ P { = } = {,} λ +λ P { > x} = e λx Dstrbut cotue Dstrbuta ormala (Gaussaa) stadard N(0,) Lmta sume ormalzate a varablelor IID cu meda 0 s varata Setul de valor: S = (, ) Fucta destate de probabltate: f ( x) =ϕ ( x): = e π x Fucta de repartte: F ( x): = P{ x} =Φ ( x): = ϕ( y) dy x Meda: E [ ] = 0 Varata: D [ ] =

23 Dstrbut cotue Dstrbuta ormala (Gaussaa) N( μ, σ ), μ R, σ> 0 Daca ( μ)/ σ N(0,) Setul de valor: S = (, ) Fucta destate de probabltate: ' x μ f( x) = F ( x) = ϕ( ) σ σ Fucta de repartte: μ x μ x μ F ( x): = P{ x} = P{ } =Φ( ) σ σ σ Meda: E [ ] =μ+σe[( μ)/ σ ] =μ Varata: D [ ] = σ D [( μ)/ σ ] =σ Propretat Dstrbuta ormala (Gaussaa) () trasformare lara: fe N( μσ, ) s αβ, R Y : =α +β N( αμ+β, α σ ) () Suma: fe N( μ, σ ) s N( μ, σ ) + μ +μ σ +σ N(, ) () meda esatoaelor: fe varablele IID: Are loc relata: : = N(, ) μ σ = N( μσ, ), =,,

24 ,, Teorema lmta cetrala Fe: varable IID cu mede s varata μ σ Teorema lmta cetrala: Rezulta: σ / ( μ) N(0,) N( μ, σ ) Alte varable aleatoare Pe laga var aleatoare dcrete s cele cotuue exsta asa umtele varable aleatoare mxte Cotad atat elemete cotuue cat s dscrete Exemple: Tmpul de asteptare al uu clet W tr-o coada de asteptare are o M / M / valoare dscreta la zero ( PW= { 0} = ρ> 0 ) dar rest dstrbuta e cotua