1. Paisksalvestuse meetod (hash)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. Paisksalvestuse meetod (hash)"

Transcript

1 1. Paisksalvestuse meetod (hash) Kas on otsimiseks võimalik leida paremat ajalist keerukust kui O(log n)? Parem saaks olla konstantne keerukus O(1), mis tähendaks seda, et on kohe teada, kust õige kirje võtta. Kui struktuur, millega tegeletakse ei pea võimaldama muud kui lisamist, otsimist ja kustutamist, on paisktabel mõistlik lahendus. Otsimise jaoks on kirjes fikseeritud mingi võtmeväärtus, mis peab üle kõigi andmete olema unikaalne - arvete numbrid, isikukoodid jne. Kui arvete numbrid oleksid vahemikus , siis saaks teha tabeli ja paigutada andmed tabeli lahtritesse vastavalt arve numbrile. Kirjeldatud meetod sobib juhul, kui võtmeid on vähe. Meetodit kutsutakse otsene adresseerimine (direct-addressing). Tabelit, kuhu andmed salvestatakse, nimetatakse otseadresseerimisega tabeliks (direct-address table). Kirjed võivad olla salvestatud otse tabelisse või on tabelis vastava kirje aadress. Kui aga arveid on küll 100, aga numbrid on vahemikus , siis paigutada neid andmeid lahtriga tabelisse, kus enamik lahtreid tühjaks jääb, on ilmne raiskamine. Arve numbritele tuleks rakendada mingit arvutust, et tegelikest väärtustest saaks väärtused vahemikus Leitud väärtuse järgi paigutatakse kirje tabelisse. Kui võtmete väärtused oleksid 100, 200, 300, , 10000, siis rakendades tehet Võti div 100 saame väärtused vahemikus 1, 2, 3,..99, 100 ja nende väärtuste järgi on andmed paigutatavad tabeli lahtritesse Meetodit kutsutakse paisksalvestamiseks (hashing). Igas kirjes eraldatakse üks väli, mis on võtmeks (key). Sellele võtmele rakendatakse paiskfunktsiooni (hash function), mis vastavalt võtme väärtusele arvutab indeksi e tabeli lahtri aadressi. Paiskfunktsioon tuleb valida selliselt, et arvutuse tulemus mahuks tabeli indeksite vahemikku. Paisksalvestamiseks paigutatakse andmed paisktabelisse (hash table), mida saab realiseerida massiivina. Kui mingi võtmega kirjet on vaja otsida, siis tehakse võtmega arvutus, saadakse indeks ja vaadatakse tabelisse. Võib tekkida olukord, kus kaks erinevat võtmeväärtust arvutatakse samaks indeksiks. Näiteks on võtmed 500 ja 588. Kui mõlemale võtmele rakendada täisarvulist jagamist 100ga, on tulemuseks 5, st mõlemad kirjed tuleks paigutada lahtrisse indeksiga 5, mis pole võimalik. Sellist olukorda kutsutakse vastuoluks ehk kollisiooniks ehk põrkeks (collision). Vastuolude lahendamiseks tuleb midagi ette võtta, sest tavaliselt pole saabuvate võtmete väärtused täpselt teada ja seetõttu on raske leida paiskfunktsiooni, mis garanteeritult kollisioonivabalt töötaks. Ülihea funktsioon võib väga keeruline olla ja arvutamine kaua aega võtta. Paisksalvestuse realiseerimisel on seega kaks võtmeprobleemi: 1. Milline on hea paiskfunktsioon? 2. Kuidas lahendada kollisioone? 1.1. Paiskfunktsioon Hea paiskfunktsioon peab: olema kiirelt ja kergelt arvutatav suutma salvestatavad kirjed võimalikult ühtlaselt tabelisse ära jagada (st arvutama aadressid, mis ühtlaselt jaotuvad), et vähendada vastuolusid. Paiskfunktsiooni h(k) väärtused peavad paiknema vahemikus: 0 <= h(k) < M kõigi võimalike võtmete K jaoks (M on tabeli pikkus). Võti, mille järgi andmeid tabelisse paiskama hakatakse, ei pruugi algselt olla arv. Kui on tegemist tekstiga, siis saab seda teisendada arvuks kooditabeli järgi, kasutada arvu leidmiseks sõnast osa tähti või siis muutes kogu sõna tekitava bitijada kahendarvuks. Näiteks kasutatakse paisksalvestuse meetodit kompilaatorites muutujate nimede paigutamiseks tabelisse. Eraldi teooriad tegelevad küsimusega, kuidas valida sobivaid teisendusi tekstist arvuks. On leitud, et kollisioonid hakkavad tekkima tõenäosusega üle 0,5, kui tabelisse pikkusega N on paigutatud sqrt(pi*n/2) κirjet. (Sünnipäevade paradoks 23 juhuslikult valitud inimese hulgast on kahel inimesel ühel kuupeäval sünnipäev tõenäosusega 0,5; 43 inimese puhul on tõenäosuseks 0,9; tabeli pikkuseks on 365) Jäägi meetod (division method) Leitakse jääk, mis tekib võtme täisarvulisel jagamisel tabeli pikkusega. Tekkiv jääk mahub garanteeritult tabelisse. Funktsioon on lihtne. Seega paiskfunktsioon selle meetodi jaoks on: Inga Petuhhov TLÜ 1/7

2 h(k)=k mod M, kus k on võti ja M on paisktabeli suurus. Täpsemalt on paisktabelis kohad 0..M-1. Oluline on tabeli suuruse M valik. Halbadeks M-ideks peetakse arvu, mis on võtmeks oleva arvu arvusüsteemi alus (näit 10, ka 2), samuti arvu, mis sellest arvust väga vähe erineb, paarisarve, kahe astmeid jms. Sobivaks M-iks on algarvud, mis aga vastavad ka eelmistele tingimustele (ei ole liiga lähedal arvusüsteemi alusele, kahe astmele) Korrutamise meetod (multiplication method) Võti korrutatakse mingi irratsionaalarvuga (0<A<1) ja täisosa lõigatakse ära. Järgi jääb arv vahemikus 0 kuni 1. Arvude 1,2,3,..n on selliselt saavutatav ühtlane jaotus vahemikku [0,1]. Leitud arv korrutatakse tabeli pikkusega M, tulemusest jäetakse alles täisosa. See täisosa mahub alati 0 ja M-1 vahele. Milline on hea arv, millega korrutada? Jättes kõrvale kõik tõestused, mida targad inimesed on teinud, võib väita, et leidub üks tore arv, millega korrutades head tulemused saavutatavad on, selleks arvuks on nn. kuldlõige, mis vahemiku pikkusega 1 jaoks on: T = 5 1 =0, Paiskfunktsioon on järgmine: h(k)=[m(k*t - [k*t])] kus kandilised sulud tähistavad täisosa eraldamist (täisosa jääb järgi). Kui näiteks võtmed on ja tabeli maht M on 10, siis rakendades vastavat funktsiooni saame järgmised arvud: Võti Paiskfunktsiooni rakendamine Tulemus 1 [10*(1*T - [1*T])] 6 2 [10*(2*T - [2*T])] 2 3 [10*(3*T - [3*T])] 8 4 [10*(4*T - [4*T])] 4 5 [10*(5*T - [5*T])] 0 6 [10*(6*T - [6*T])] 7 7 [10*(7*T - [7*T])] 3 8 [10*(8*T - [8*T])] 9 9 [10*(9*T - [9*T])] 5 10 [10*(10*T - [10*T])] 1 Peale toodud meetodite on paiskfunktsioone veelgi välja mõeldud, kuid vastavalt tehtud uuringutele peaks jäägiga jagamise meetod kõige paremad tulemused andma Lõplik paisksalvestus (perfect hashing) ja üldine paisksalvestus (universal hashing) Parimal juhul on algoritmi kiiruseks nii võtme lisamisel, kustutamisel kui ka otsimisel O(1). Halvim olukord tekib siis, kui kõigi võtmete jaoks arvutatakse sama paiskväärtus. Sel juhul kiiruseks O(N), sõltumata kollisioonide lahendamise meetodist. Lõplik paisksalvestus on olukord, kus kõik võtmed paigutuvad paisktabelisse oma positsioonidele kohe ja lõplikult ilma et tekiks mingeid vastolusid. See olukord oleks võimalik juhul, kui kõik võtmed K on eelnevalt teada ja sellest lähtuvalt saaks koostada sobiva paiskfunktsiooni. Tavaliselt kõik võtmed kohe teada ei ole. On selge, et erinevaid paiskfunktsioone kasutades tekivad erinevad tabelid. Kui andmed (võtmed) on erinevatel töötlemisetel sarnased (näit. sarnased muutujate nimed programmis), siis sama paiskfunktsiooni kasutades tekivad alati samasugused vastuolud ja pole välistatud alati halvima olukorra tekkimine. Sellest ülesaamiseks nähakse võimalust lõpliku hulga (koguse) paiskfunktsioonide kasutusele võtmises, millest iga kord valitakse juhuslikult üks funktsioon. Nii peaks loodetavasti tekkima olukord, et kui ükskord sellise võtmete hulga puhul tekkis liiga palju vastuolusid, siis teine kord teist paiskfunktsiooni kasutades seda ei teki (st. üks kord läheb paremini ja teine korda halvemini). Inga Petuhhov TLÜ 2/7

3 Paisksalvestus on üldine, kui kahe suvalise võtme jaoks võtmete hulgast suurusega M, tekib vastuolu paiskfunktsioonide hulgast 1/M juhul. Valides suvalise paiskfunktsiooni sellest hulgast on tõenäosus kollisiooni tekkimiseks 1/M (M on võtmete arv). Näiteks, olgu meil 7 võtit vaja paigutada tabelisse, siis võiks kõigist paiskfunktsioonidest vastuoluni viia vaid 1/7 funktsioone (so 7st 1, 14st 2 jne.) Kui vastuolud tekivad rohkemate funktsioonide puhul, ei saa me rääkida üldisest paisksalvestusest Vastuolude lahendamine Enne vastuolude lahendamist tuleb vähendada kollisiooniohtu. Selleks on võtted järgmised: Tabel andmete paigutamiseks kirjeldatakse 2..3 korda nii suur, kui tegelikult vaja. Täiendavad positsioonid tabelis vähendavad vastuolude tekkimise ohtu. Tuleb leida selline paiskfunktsioon, mis indeksid/paiskväärtused võimalikult ühtlaselt üle kogu tabeli arvutaks. Ükskõik kui kavalalt me paiskfunktsiooni ka ei valiks, vastuoludest täielikku pääsu loota ei tasu. Seega tuleks uurida, mida võtta ette siis, kui vastuolud tekivad. On põhimõtteliselt 2 lahendust: paigutada vastuolu tekitanud elemendid paisktabelist välja nn kollisiooniahelatesse e. moodustada nimistu, mis algab tabeli lahtrist ja kuhu paigutatakse sama paiskaadressi andnud võtmetega kirjed. otsida mingi kavala valemi järgi tabelist uus koht, kui esimene lahter, mille aadress välja arvutati, on juba hõivatud ja panna kirje sinna; sel juhul peavad kõik kirjed mahtuma tabeli piiresse Vastuoluliste kirjete paigutamine ahelasse Kollisiooniahelate meetod seisneb selles, et elemendid, millel tekib kollisioon (sama paiskväärtusega elemendid), seotakse ahelasse. Paisktabeli lahtris indeksiga h on aadress selle ahela esimesele elemendile, kuhu paigutatakse kõik paiskväärtust h omavad kirjed. Selle meetodi puhul ei pea tabel ka alati korda suurem olema. Ja pole hullu, kui elemente on tegelikult rohkem, kui tabelis lahtreid. Näide. Nüüd ja edaspidisteks näideteks lepime kokku: Meil on väike paisktabel, kus on 7 positsiooni. On võtmete hulk K, mis on täisarvud 10ndsüsteemis ja muu info, mis veel kirjes paikneb, meid reaalselt ei huvita. On paiskfunktsioon h(k) = k mod m Paigutame tabelisse järgmiste võtmetega kirjed, arvutatud paiskaadress on parempoolses tulbas) Nagu näha, tekib kahe kirje jaoks kollisioon : Võti Aadress (vastuolu) (vastuolu) 6 6 Paisktabeli pikkus on 7, lahtrid on nummerdatus Tekkiv pilt tabelist koos ahelatega oleks järgmine: Nil Nil Nil 6 6 Nil Inga Petuhhov TLÜ 3/7

4 Põhitegevused paisktabeliga on otsimine, lisamine ja kustutamine. võtme K järgi otsimine Arvuta välja paiskaadress h(k) Kontrolli, kas võti K on tabelis kohal t[h(k)] Kui lahter on tühi, siis otsimine oli ebaedukas, vastasel juhul (lahter täidetud): Kui võti selles lahtris ei ole K, siis läbi vastav kollisiooniahel. Kui K-d ei leitud, siis ebaedukas otsimine. Kui võti K oli lahtris t[h(k)] või ahelas, siis edukas otsimine. võtme K järgi lisamine (Eeldame, et kirjet võtmega K tabelis ei ole.) Arvuta paiskaadress h(k) Kui tabelis vastava indeksiga lahter on tühi, siis pane andmed sinna, vastasel juhul liigu kollisiooniahela lõppu, tee uus element ja lisa. võtmega K kirje eemaldamine Otsi võtme K järgi. Kui otsimine oli edukas, siis saab eemaldada, selleks: Kui K on tabelis, tõmba ta sealt maha, kirjuta tema asemele esimene element kollisiooniahelast (kui ahel olemas) ja viimane eemalda ahelast. Kui K on ahelas, siis kustuta sealt vastav element (nagu ühe viidaga nimistust) Eristatakse 2 meetodit kollisiooniahelate paigutamiseks väljaspoole tabelit: 1. Vastuoluliste kirjete eraldi seostamine (separate linking). See oligi see, millest eespool jutt. Milleks on aga teist veel vaja? Kirjeldatud variandis on mitu erinevat võimalust (element tabelis või ahelas), seetõttu palju kontrolle ning see nõuab rohkem aega. 2. Ostsene seostamine (direct linking). Selle meetodi puhul on tabelis ainult viidaväljad, kuhu kirjutatakse aadressid ahelate algusele ja kõik andmeelemendid paiknevad tabelist väljas ahelates. On arusaadav, et erinevate olukordade arv väheneb ja koos sellega ka vajalike kontrollide arv. Pilt eespoolt tuttavate kirjetega paisktabeli jaoks oleks järgmine: 0 Nil 1 Nil 2 65 Nil 3 Nil Nil Nil 6 6 Nil Otsimise, lisamise ja eemaldamise jaoks pole vaja erinevalt kontrollida elemendi paiknemist tabelis või ahelas. Otsimine: otsi ahelast, mis algab lahtrist t[h(k)]. Kui ahela lõppu jõudnuna võtit K ei leitud, oli otsimine edutu. Lisamine: otsi võtme K järgi. Kui otsimine oli edutu, siis lisa vastava ahela lõppu uus element Kustutamine: otsi võtme K järgi. Kui otsimine oli edukas, siis eemalda leitud element ahelast. Sisuliselt on tegu operatsioonidega lineaarsel ühe viidaga nimistul Vaba/avatud paisksalvestus (open hashing) Erinevalt ahelatega salvestusmeetodist tuleb vaba paisksalvestuse puhul kõik võtmed tabelisse ära mahutada. Eelduseks uue võtme paigutamisel tabelisse on, et vähemalt üks tabeli lahter on vaba. Kui uue võtme jaoks arvutatakse selline tabeli aadress h(k), mis juba hõivatud on, tuleb leida talle uus vaba aadress (open adress). Selleks kirjeldatakse iga võtme jaoks mingi lahtriaadresside järgnevus, kuhu võtmeid paigutada proovitakse, seni kuni vaba koht leitakse. Vaadeldatavate aadresside järgnevust nimetatakse järelekatsumise järjekorraks (probing sequence). Inga Petuhhov TLÜ 4/7

5 Võtmega K sama paiskväärtust omavaid võtmeid kutsutakse K sünonüümideks ja tähistatakse K'. Võib endale ettekujutada, et kustutamine sellise meetodi puhul on veidi kahtlane tegevus. Kujutame ette olukorda, et võti K on kustutatud, kuid tabelis on veel tema sünonüüm K'. Kui nüüd võtmega K lahtri sisu kustutada, siis otsimisel ei jõutagi enam K' jälile, kuna esimesena väljaarvutatud aadressil h(k) midagi ei paikne. Seega tuleks lahter kustutamise asemel märgistada, et ta on kustutatud, kuid info (võti) peab sinna esialgu alles jääma. Kui tekib vajadus uute andmete lisamiseks sellesse lahtrisse, siis saab vana võtme üle kirjutada. Tegelik paiskfunktsiooni väärtus hakkab sõltuma sellest, mitmendat korda vastava võtmega kirjet tabelisse panna proovitakse. Järelekatsumisjärjekorra leidmiseks kirjeldatakse funktsioon s(j,k), kus j kasvab 0..m-1 ja näitab, mitmendat korda antud võtit uude lahtrisse paigutada proovitakse. Lahtrite aadresside jada, kuhu andmeid paigutada, arvutatakse välja (h(k)-s(j,k))mod m. Seega on uus aadress sõltuvuses esialgsest aadressist, sellest mitmendat korda proovitakse ja muidugi võtmest K. Põhilised tegevused (tingimuseks on, et vähemalt üks tabeli lahter on vaba) on endiselt otsimine, lisamine ja kustutamine: Otsimine võtme K järgi Alusta lahtri aadressist i = h(k). Otsi seni kuni leiad K või kuni lahter t[i] on vaba. Järgmine i arvuta valemist i=(h(k)-s(j,k)) mod m selliselt, et j kasvab 0.. m-1. Kui t[i] on vaba või kustutatud, siis oli otsimine edutu, vastasel juhul edukas. Lisamine võtmega K Eeldame, et võtit K tabelis ei ole. Alusta aadressist i=h(k). Jätka lahtriaadresside leidmist valemiga i=(h(k)-s(j,k)) mod m kuni lahter aadressiga i on vaba või kustutatud. Pane sinna uus võti K ja andmed. Kustutamine võtme K järgi Otsi võtmega K. Kui otsimine oli edukas märgista t[i] kustutatuks. Milline oleks hea järelekatsumise funktsioon s(j,k)? Tavaliselt kasutatakse kolme erinevat võimalust: lineaarne, ruut- ja topeltjärelekatsumine Lineaarne järelekatsumine (linear probing) Lineaarse järelekatsumise puhul on järelekatsumise järjekord: h(k), h(k)-1, h(k)-2,...0, m-1,..., h(k)+1 seega funktsioon s(j,k) = j. Esimesest paiskväärtusest lahutatakse proovimise number ja seejärel leitakse uuesti jääk. Uus jäägi leidmine tagab, et tabelis üle serva ei minda (näit. -1 mod 7 = 6). Tabelis proovitakse lahtreid selliselt: kui esimese proovimise indeks oli i, siis järgmine on i-1, edasi i-2 jne kuni jõutakse indeksini 0. Edasi jätkub proovimine tabeli lõpust. Sama meetodit kirjeldatakse ka liitmisega. Paiskfunktsioon üldisemalt näeb välja järgmine: (h(k)-s(j,k)) mod m, kus s(j,k)=j Võtmete 26, 53, 12, 65, 39, 6 jaoks tekib järgmine tabel. Iga rida kujutab tabeli seisu peale järgmise võtme lisamist - st tekkiv tabel ei ole kahemõõtmeline, vaid ikka ühemõõtmeline. Lihtsalt veidi kergem oli seda ühes tükkis joonistada. Indeks Lisatav võti Inga Petuhhov TLÜ 5/7

6 Probleemid Meetodil on halb omadus, et mida pikemad tükid on tabelis järjest hõivatud, seda rohkem need tükid ka edasi kasvavad, sest ükskõik millise võtmega sellest hulgast kollisioon tekib, igal juhul pannakse uus võti juba olemasoleva hõivatud tüki kõrvale. Seda olukorda kutsutakse esmane kuhjumine (primary clustering). Lineaarse järelekatsumise efektiivsus kahaneb tunduvalt, kui tabeli täidetus läheneb 1-le, sest väga pikalt on vaja otsida nii tühja kohta lisamiseks kui ka võtit. Hinnang Vastavalt R. Sedgewick'i raamatule Algorithms in C on lineaarsel järelekatsumisel sammude (katse) arvud ühe võtme kohta järgmised. Tulemused on leitud statistilise meetodeid kasutades. Tabeli täidetus: '1/2 2/3 '3/4 9/10 Edukas otsing 1,5 2,0 3,0 5,5 Edutu otsing 2,5 5,0 8,5 55, Ruutjärelekatsumine (quatratic probing) Selle meetodiga välditakse esmast kuhjumist, kuid selle asemel, nagu kohe näeme tekib teisane kuhjumine (secundary clustering), mis siiski pole nii tugev. Meetod ise seisneb selles, et uut kohta elemendile võtmega K otsitakse üha kaugemalt ja see kaugus kasvab kord ühele ja kord teisele poole h(k)-d j-i (proovimise järjenumbri) ruudu võrra. Võimalik on kasutada ka teisi konstante uute positsioonide arvutamiseks, kuid põhiidee kauguse kiirema kasvamise osas peab säiluma. Järelekatsumise rida on järgmine: h(k), h(k)+1, h(k)-1, h(k)+4, h(k)-4,... st funktsioon on s(j,k)=([j/2]) 2 (-1) j (-1) j -ga saavutatakse + ja märkide vaheldumine. Sarnaselt lineaarse järelekatsumisega tuleb iga kord uue aadressi arvutamisel rakendada jäägi leidmist, muidu võib kiiresti sattuda tabelis "üle serva". Teeme jälle näite võtmetest 26, 53, 12, 65, 39, 6. Järgnevas tabelis on kokkuvõte - tabeli seis peale viimase võtme 6 lisamist. Indeks: Võti: Nagu juba öeldud, tekib siin teisane kuhjumine (väikese tabeli peal see eriti ei avaldu), sest paratamatult sünonüümine K ja K' korral läbitakse sama aadresside järelekatsumisjada Topelt paisksalvestus (double hashing) Idee: fikseerime veel teise paiskfunktsiooni h'(k), mida samale võtmele rakendades saame uue aadressi. Tekkiv järelekatsumisjada võib olla näiteks järgmine: h(k), (h(k)-h'(k)) mod m, (h(k)-2 h'(k)) mod m, (h(k)-3 h'(k)) mod m,... Järelekatsumisfunktsioon on seega: s(j,k) = j h'(k) Milline on hea teine paiskfunktsioon? Ta ei tohiks sõltuda esimesest funktsioonist, peaks jaotama aadressid ühtlaselt ja mitte võrduma 0-ga (muidu aadress ei muutuks). Hea h' on: h'(k)=1+k mod (m-2) (Või ka m-1) Seega võttes meie tuttava tabeli pikkusega 7, oleks funktsioon h'(k)=1+k mod (7-2)=1+k mod 5 Teeme jällegi näite võtmetest 26, 53, 12, 65, 39, 6. See tabel kujutab taas ühe tabeli mitut järjestikust seisu, st milline näeb tabel välja peale iga võtme lisamist. Viimases tulbas on kirjast tehe, millega sellel sammul lisatavale võtmele paiskväärtus leitakse. Nagu näha, siis osa võtmeid sobitub tabelisse esimesel katsel, kuid võtme 6 paigutamiseks tehakse kokku 4 katset. Inga Petuhhov TLÜ 6/7

7 Indeks lisatav võti mod 7= mod 7= (5-(1+12 mod 5)) mod 7= (2-(1+65 mod 5)) mod 7= (4-(1+39 mod 5)) mod 7= (6-(1+6 mod 5)) mod 7=4 (6-2*(1+6 mod 5)) mod 7=2 (6-3*(1+6 mod 5)) mod 7=0 Hinnang Vastavalt R. Sedgewick'i raamatule Algorithms in C on topelt paisksalvestusel sammude (katse) arvud ühe võtme kohta järgmised. Tulemused on leitud statistilisi meetodeid kasutades. Tabeli täidetus: '1/2 2/3 '3/4 9/10 Edukas otsing 1,4 1,6 1,8 2,6 Edutu otsing 1,5 2,0 3,0 5,5 Võrdlusest lineaarse meetodiga võib järeldada ka seda, et topeltpaisksalvestuse jaoks on võimalik tabelit hoida väiksemana kui lineaarse proovimise korral Paiskmeetodi kiirusest ja võrdlusest otsimiskahendpuuga Eeldades, et tabelisse paigutatavad võtmed on juhuslikud, saab tõestada, et tabeli osalise täidetuse korral toimub tuvastamine, et elementi pole keskmiselt ajaga O(1). Kui näiteks tabelist on täidetud pool, ei ole keskmine arv katseid suurem kui 2 ja kui tabel on täidetud 90%, pole keskmine kateste arv suurem kui 10. Eduka otsimise korral saadakse otsitav kätte pooleldi täidetud tabelist keskmiselt 1,387 katsega ja 90% täidetud tabelist 2,559 katsega. Toodud arvude tõestuseks on mõned teoreemid ja valemid, mida T. Cormen jt raamatust Introduction to Algorithms uurida võite. Paiskmeetodit eelistatakse tavaliselt otsimiskahendpuule, sest tema realiseerimine on puust lihtsam (ikkagi tavaline massiiv) ja lisaks annab ka reeglina parema aja (konstantne keerukus ja aeg). Kuid eeldus on see, et võtmed peavad olema mingit standartset lihtsamat andmetüüpi, millele on võimlaik lieda ja rakendada lihtsat ja kiiret paiskfunktsiooni. Samas on puu paisktabelist parem juhul, kui lisatavate võtmete arvu ei ole võimalik (või on raske) ette ennustada, sest puu on dünaamiline. Viimasest sõltub aga tabeli pikkus. Puud tagavad ka kindla ajalise keerukuse kõige halvemal juhul. Paiskmeetodil võib aga ka parima funktsiooni korral juhtuda, et kõik võtmed häšitakse üheks indeksiks. Ning puud annavad lisaks näiteks võimaluse võtmete sorteerimiseks (sorteeritud järjekorra saamiseks) ning samal ajal ka naabervõtmete leidmiseks. Viimast paisktabel ei toeta. Sisukord 1. Paisksalvestuse meetod (hash) Paiskfunktsioon Jäägi meetod (division method) Korrutamise meetod (multiplication method) Lõplik paisksalvestus (perfect hashing) ja üldine paisksalvestus (universal hashing) Vastuolude lahendamine Vastuoluliste kirjete paigutamine ahelasse Vaba/avatud paisksalvestus (open hashing) Lineaarne järelekatsumine (linear probing) Ruutjärelekatsumine (quatratic probing) Topelt paisksalvestus (double hashing) Paiskmeetodi kiirusest ja võrdlusest otsimiskahendpuuga...7 Inga Petuhhov TLÜ 7/7

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58

Διαβάστε περισσότερα

Lokaalsed ekstreemumid

Lokaalsed ekstreemumid Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,

Διαβάστε περισσότερα

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Διαβάστε περισσότερα

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}

Διαβάστε περισσότερα

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori

Διαβάστε περισσότερα

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2 PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused

Διαβάστε περισσότερα

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon 2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksarvu algebraline kuju

Kompleksarvu algebraline kuju Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa

Διαβάστε περισσότερα

Funktsiooni diferentsiaal

Funktsiooni diferentsiaal Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetrilised vektorid

Geomeetrilised vektorid Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse

Διαβάστε περισσότερα

Kontekstivabad keeled

Kontekstivabad keeled Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,

Διαβάστε περισσότερα

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1 laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad

Διαβάστε περισσότερα

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning

Διαβάστε περισσότερα

9. AM ja FM detektorid

9. AM ja FM detektorid 1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid

Διαβάστε περισσότερα

Ehitusmehaanika harjutus

Ehitusmehaanika harjutus Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative

Διαβάστε περισσότερα

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].

Διαβάστε περισσότερα

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008 Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub

Διαβάστε περισσότερα

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika

Διαβάστε περισσότερα

Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD

Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD 1 Nõudmised krüptoräsidele (Hash-funktsionidele) Krüptoräsiks nimetatakse ühesuunaline funktsioon

Διαβάστε περισσότερα

HULGATEOORIA ELEMENTE

HULGATEOORIA ELEMENTE HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad

Διαβάστε περισσότερα

PLASTSED DEFORMATSIOONID

PLASTSED DEFORMATSIOONID PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb

Διαβάστε περισσότερα

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud

Διαβάστε περισσότερα

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna

Διαβάστε περισσότερα

KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS

KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS Nooem aste (9. ja 10. klass) Tallinn, Tatu, Kuessaae, Nava, Pänu, Kohtla-Jäve 11. novembe 2006 Ülesannete lahendused 1. a) M (E) = 40,08 / 0,876 = 10,2 letades,

Διαβάστε περισσότερα

7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85

7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat

Διαβάστε περισσότερα

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed

Διαβάστε περισσότερα

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS

Διαβάστε περισσότερα

Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist

Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist Loeng 2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x)

Διαβάστε περισσότερα

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad 6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline

Διαβάστε περισσότερα

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,

Διαβάστε περισσότερα

Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27

Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27 Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid

Διαβάστε περισσότερα

Excel Statistilised funktsioonid

Excel Statistilised funktsioonid Excel2016 - Statistilised funktsioonid Statistilised funktsioonid aitavad meil kiiresti leida kõige väiksemat arvu, keskmist, koguarvu, tühjaks jäänud lahtreid jne jne. Alla on lisatud sellesse gruppi

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmid ja andmestruktuurid Ülesannete kogu

Algoritmid ja andmestruktuurid Ülesannete kogu TARTU ÜLIKOOL ARVUTITEADUSE INSTITUUT Algoritmid ja andmestruktuurid Ülesannete kogu Versioon 1.0 5. juuli 2016. a. 17:06 Koostajad: Ahti Peder Jüri Kiho Härmel Nestra Tartu 2016 Käesoleva õppevahendi

Διαβάστε περισσότερα

Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse. Ahto Buldas

Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse. Ahto Buldas Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse Ahto Buldas 22. september 2003 2 Sisukord Saateks v 1 Entroopia ja infohulk 1 1.1 Sissejuhatus............................ 1 1.2 Kombinatoorne

Διαβάστε περισσότερα

Andmeanalüüs molekulaarbioloogias

Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Praktikum 3 Kahe grupi keskväärtuste võrdlemine Studenti t-test 1 Hüpoteeside testimise peamised etapid 1. Püstitame ENNE UURINGU ALGUST uurimishüpoteesi ja nullhüpoteesi.

Διαβάστε περισσότερα

3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE

3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3.1. Loendamise põhireeglid Kombinatoorika on diskreetse matemaatika osa, mis uurib probleeme, kus on tegemist kas diskreetse hulga mingis mõttes eristatavate osahulkadega

Διαβάστε περισσότερα

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil. 8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,

Διαβάστε περισσότερα

Keerukusteooria elemente

Keerukusteooria elemente Keerukusteooria elemente Teema 5 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 1 / 45 Sisukord 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria

Διαβάστε περισσότερα

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1 κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA AJALUGU MTMM MTMM

MATEMAATIKA AJALUGU MTMM MTMM Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Loenguid: 14 Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Loenguid: 14 Seminare: 2 Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Loenguid: 14 Seminare: 2 Hindamine:

Διαβάστε περισσότερα

Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a.

Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a. Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused oorem rühm (9. ja 0. klass) 6. november 2002. a.. ) 2a + 2 = a 2 2 2) 2a + a 2 2 = 2a 2 ) 2a + I 2 = 2aI 4) 2aI + Cl 2 = 2aCl + I 2 5) 2aCl = 2a + Cl 2 (sulatatud

Διαβάστε περισσότερα

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti

Διαβάστε περισσότερα

,millest avaldub 21) 23)

,millest avaldub 21) 23) II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.

Διαβάστε περισσότερα

Ecophon Line LED. Süsteemi info. Mõõdud, mm 1200x x x600 T24 Paksus (t) M329, M330, M331. Paigaldusjoonis M397 M397

Ecophon Line LED. Süsteemi info. Mõõdud, mm 1200x x x600 T24 Paksus (t) M329, M330, M331. Paigaldusjoonis M397 M397 Ecophon Line LED Ecophon Line on täisintegreeritud süvistatud valgusti. Kokkusobiv erinevate Focus-laesüsteemidega. Valgusti, mida sobib kasutada erinevates ruumides: avatud planeeringuga kontorites; vahekäigus

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid

Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid Alustame nüüd Exceli põhiliste töövahenditega - funktsioonidega. Võtame esimesena sihikule Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid. Kuigi kogu

Διαβάστε περισσότερα

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud... Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega

Διαβάστε περισσότερα

Sisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36

Sisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36 Sisukord Sündmused ja tõenäosused 5. Sündmused................................... 5.2 Tõenäosus.................................... 8.2. Tõenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni

Διαβάστε περισσότερα

2. HULGATEOORIA ELEMENTE

2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võime vaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom. Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised

Διαβάστε περισσότερα

DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.

DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka

Διαβάστε περισσότερα

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass 2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.

Διαβάστε περισσότερα

Avaliku võtmega krüptograafia

Avaliku võtmega krüptograafia Avaliku võtmega krüptograafia Ahto Buldas Motiivid Salajase võtme vahetus on tülikas! Kas ei oleks võimalik salajases võtmes kokku leppida üle avaliku kanali? 2 Probleem piiramatu vastasega! Kui vastane

Διαβάστε περισσότερα

Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid

Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.. Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Aritmeetilised operaatorid Need leiab paletilt "Calculator" ja ei vaja eraldi kommenteerimist.

Διαβάστε περισσότερα

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD 1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki

Διαβάστε περισσότερα

Lisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus

Lisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus Lisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus 1. Haljala valla metsa pindala Haljala valla üldpindala oli Maa-Ameti

Διαβάστε περισσότερα

4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32

4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32 Sisukord 1 Sündmused ja t~oenäosused 4 1.1 Sündmused................................... 4 1.2 T~oenäosus.................................... 7 1.2.1 T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise

Διαβάστε περισσότερα

Mathematica kasutamine

Mathematica kasutamine mathematica_lyhi_help.nb 1 Mathematica kasutamine 1. Sissejuhatus Programmi Mathematica avanemisel pole programmi tuum - Kernel - vaikimisi käivitatud. Kernel on programmi see osa, mis tegelikult teostab

Διαβάστε περισσότερα

Veaarvutus ja määramatus

Veaarvutus ja määramatus TARTU ÜLIKOOL Tartu Ülikooli Teaduskool Veaarvutus ja määramatus Urmo Visk Tartu 2005 Sisukord 1 Tähistused 2 2 Sissejuhatus 3 3 Viga 4 3.1 Mõõteriistade vead................................... 4 3.2 Tehted

Διαβάστε περισσότερα

Programmeerimise eksamiülesannete kogu

Programmeerimise eksamiülesannete kogu TARTU ÜLIKOOL ARVUTITEADUSE INSTITUUT Programmeerimise eksamiülesannete kogu Helle Hein Jüri Kiho Reimo Palm Eno Tõnisson Tartu 2007 Käesoleva õppevahendi väljaandmist on toetanud Eesti Infotehnoloogia

Διαβάστε περισσότερα

Compress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013

Compress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013 55 C 35 C A A B C D E F G 50 11 12 11 11 10 11 db kw kw db 2015 811/2013 A A B C D E F G 2015 811/2013 Toote energiatarbe kirjeldus Järgmised toote andmed vastavad nõuetele, mis on esitatud direktiivi

Διαβάστε περισσότερα

Kehade soojendamisel või jahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks.

Kehade soojendamisel või jahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks. KOOLIFÜÜSIKA: SOOJUS 3 (kaugõppele) 6. FAASISIIRDED Kehade sooendamisel või ahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks. Sooendamisel vaaminev

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.

Διαβάστε περισσότερα

Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel

Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides Magistritöö Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Tartu 2013 Sisukord Sissejuhatus Ajalooline sissejuhatus iii v 1 Rühmateooria elemente 1 1.1 Substitutsioonide

Διαβάστε περισσότερα

SORTEERIMINE JA FILTREERIMINE

SORTEERIMINE JA FILTREERIMINE Praktikum 3 Tänase praktikumi teema on andmetabelite filtreerimine ja kokkuvõtvate tabelite loomine, juttu tulebka mõningatest pisut nutikamatest funktsioonidest keskmiste ja vaatluste arvu arvutamisel.

Διαβάστε περισσότερα

(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33

(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 (Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 Normaallõike tugevusarvutuse alused. Arvutuslikud pinge-deormatsioonidiagrammid Elemendi normaallõige (ristlõige) on elemendi pikiteljega risti olev lõige (s.o.

Διαβάστε περισσότερα

Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32

Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32 Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja

Διαβάστε περισσότερα

RF võimendite parameetrid

RF võimendite parameetrid RF võimendite parameetrid Raadiosageduslike võimendite võimendavaks elemendiks kasutatakse põhiliselt bipolaarvõi väljatransistori. Paraku on transistori võimendus sagedusest sõltuv, transistor on mittelineaarne

Διαβάστε περισσότερα

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad Eesti LIV matemaatikaolümpiaad 31. märts 007 Lõppvoor 9. klass Lahendused 1. Vastus: 43. Ilmselt ei saa see arv sisaldada numbrit 0. Iga vähemalt kahekohaline nõutud omadusega arv sisaldab paarisnumbrit

Διαβάστε περισσότερα

Wilcoxoni astakmärgitest (Wilcoxon Signed-Rank Test)

Wilcoxoni astakmärgitest (Wilcoxon Signed-Rank Test) Peatükk 2 Wilcoxoni astakmärgitest (Wilcoxon Signed-Rank Test) 2.1 Motivatsioon ja teststatistik Wilcoxoni astakmärgitesti kasutatakse kahe s~oltuva valimi v~ordlemiseks. Oletame näiteks, et soovime v~orrelda,

Διαβάστε περισσότερα

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α = KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α

Διαβάστε περισσότερα

Ehitusmehaanika. EST meetod

Ehitusmehaanika. EST meetod Ehitusmehaanika. EST meetod Staatikaga määramatu kahe avaga raam /44 4 m q = 8 kn/m 00000000000000000000000 2 EI 4 EI 6 r r F EI p EI = 0 kn p EI p 2 m 00 6 m 00 6 m Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna

Διαβάστε περισσότερα

Tuletis ja diferentsiaal

Tuletis ja diferentsiaal Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke

Διαβάστε περισσότερα

Smith i diagramm. Peegeldustegur

Smith i diagramm. Peegeldustegur Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes

Διαβάστε περισσότερα

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). KINEMAATIKA. Ühtlane liikumine Punktmass Punktmassiks me nimetame keha, mille mõõtmeid me antud liikumise juures ei pruugi arestada. Sel juhul loemegi keha tema asukoha

Διαβάστε περισσότερα

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks

Διαβάστε περισσότερα

1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5

1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5 1. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 2013-14. 1 Reaalarvud ja kompleksarvud Sisukord 1 Reaalarvud ja kompleksarvud 1 1.1 Reaalarvud................................... 2 1.2 Kompleksarvud.................................

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks

Διαβάστε περισσότερα

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi Kontrollijate kommentaarid 2002. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta Kokkuvõtteks Uuendusena oli tänavusel piirkondlikul olümpiaadil 10.-12. klassides senise 5 asemel 6 ülesannet, millest

Διαβάστε περισσότερα

T~oestatavalt korrektne transleerimine

T~oestatavalt korrektne transleerimine T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:

Διαβάστε περισσότερα

Ecophon Square 43 LED

Ecophon Square 43 LED Ecophon Square 43 LED Ecophon Square 43 on täisintegreeritud süvistatud valgusti, saadaval Dg, Ds, E ja Ez servaga toodetele. Loodud kokkusobima Akutex FT pinnakattega Ecophoni laeplaatidega. Valgusti,

Διαβάστε περισσότερα

PORTATIIVNE KÄSIVINTS

PORTATIIVNE KÄSIVINTS MEHHATROONIKAINSTITUUT MASINAELEMENTIDE JA PEENMEHAANIKA ÕPPETOOL PORTATIIVNE KÄSIVINTS MHX0020- PÕHIÕPPE PROJEKT Üliõpilane: Kood: Juhendaja:....... prof. Maido Ajaots Tallinn 2006 2 Sisukord Eessõna....lk...

Διαβάστε περισσότερα

Mathcadi tööleht ja vormistamisvahendid

Mathcadi tööleht ja vormistamisvahendid Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.1.15 Mathcadi tööleht ja vormistamisvahendid Mathcad töötab üldjoontes sarnaselt teistele Windowsi programmidele. Sellegipoolest on palju pisikesi nüansse,

Διαβάστε περισσότερα

Sisukord. 2 Programmeerimiskeel C

Sisukord. 2 Programmeerimiskeel C Veiko Sinivee 2 Programmeerimiskeel C Sisukord Sissejuhatus...1 Programmeerimiskeel C...1 C - keele programmi ehitusest...4 Abiprogramm MAKE...13 Enamkasutatavad funktsioonid...16 Funktsioonid printf()

Διαβάστε περισσότερα

Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus

Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Antud: Õhuke raudbetoonist gravitatsioontugisein maapinna kõrguste vahega h = 4,5 m ja taldmiku sügavusega d = 1,5 m. Maapinnal tugiseina

Διαβάστε περισσότερα

STM A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013

STM A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013 Ι 47 d 11 11 10 kw kw kw d 2015 811/2013 Ι 2015 811/2013 Toote energiatarbe kirjeldus Järgmised toote andmed vastavad nõuetele, mis on esitatud direktiivi 2010/30/ täiendavates määrustes () nr 811/2013,

Διαβάστε περισσότερα

Statistiline andmetöötlus, VL-0435 sügis, 2008

Statistiline andmetöötlus, VL-0435 sügis, 2008 Praktikum 6 Salvestage kursuse kodulehelt omale arvutisse andmestik lehmageen.xls. Praktikum püüab kirjeldada mõningaid võimalusi tunnuste vaheliste seoste uurimiseks. Kommentaarid andmestiku kohta Konkreetselt

Διαβάστε περισσότερα

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016 KTEGOORITEOORI Kevad 2016 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me

Διαβάστε περισσότερα

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010 KTEGOORITEOORI Kevad 2010 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me

Διαβάστε περισσότερα

Formaalsete keelte teooria. Mati Pentus

Formaalsete keelte teooria. Mati Pentus Formaalsete keelte teooria Mati Pentus http://lpcs.math.msu.su/~pentus/ftp/fkt/ 2009 13. november 2009. a. Formaalsete keelte teooria 2 Peatükk 1. Keeled ja grammatikad Definitsioon 1.1. Naturaalarvudeks

Διαβάστε περισσότερα

ESF5511LOX ESF5511LOW ET NÕUDEPESUMASIN KASUTUSJUHEND 2 EL ΠΛΥΝΤΉΡΙΟ ΠΙΆΤΩΝ ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 21 HU MOSOGATÓGÉP HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ 41

ESF5511LOX ESF5511LOW ET NÕUDEPESUMASIN KASUTUSJUHEND 2 EL ΠΛΥΝΤΉΡΙΟ ΠΙΆΤΩΝ ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 21 HU MOSOGATÓGÉP HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ 41 ESF5511LOX ESF5511LOW ET NÕUDEPESUMASIN KASUTUSJUHEND 2 EL ΠΛΥΝΤΉΡΙΟ ΠΙΆΤΩΝ ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 21 HU MOSOGATÓGÉP HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ 41 2 www.electrolux.com SISUKORD 1. OHUTUSINFO... 3 2. OHUTUSJUHISED...

Διαβάστε περισσότερα

TELERI JA KODUKINO OSTJA ABC EHK MIDA VÕIKS TEADA ENNE OSTMA MINEKUT. Lugemist neile, kes soovivad enamat kui telerit toanurgas

TELERI JA KODUKINO OSTJA ABC EHK MIDA VÕIKS TEADA ENNE OSTMA MINEKUT. Lugemist neile, kes soovivad enamat kui telerit toanurgas TELERI JA KODUKINO OSTJA ABC EHK MIDA VÕIKS TEADA ENNE OSTMA MINEKUT Lugemist neile, kes soovivad enamat kui telerit toanurgas 2 Eessõna Kõik sai alguse sellest, et erinevates foorumites küsivad inimesed

Διαβάστε περισσότερα

Vahendid Otsus Analüüs: Analüüsi Riskantseid Otsuseid

Vahendid Otsus Analüüs: Analüüsi Riskantseid Otsuseid Vahendid Otsus Analüüs: Analüüsi Riskantseid Otsuseid Link: http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640a/partix.htm Kui sa alustada kindlust, siis lõpetab kahtlusi, kuid kui te tahate sisu alustada kahtlusi,

Διαβάστε περισσότερα

Semantiline analüüs. Süntaksipuu dekoreeritakse tüübi- ja muu kontekstist sõltuva

Semantiline analüüs. Süntaksipuu dekoreeritakse tüübi- ja muu kontekstist sõltuva Semantiline analüüs Semantiline analüüs Semantiline analüüs kontrollib programmi kontekstuaalsete sõltuvuste korrektsust: leiab vastavuse defineerivate ja kasutusesinemiste vahel, leiab esinemiste tüübid

Διαβάστε περισσότερα

Kas Androidi ostmiseks on õige aeg? Eesti esimene võrdlustest!

Kas Androidi ostmiseks on õige aeg? Eesti esimene võrdlustest! Uus ipod Nano Nüüd kaamera ja raadioga Pentax K7 Mida arvata järjekordsest kaamerast? Odav ja hea ka Poola värk Poolakate telefoni käib kaks SIM-kaarti Säästuaeg Testis ilma jalata kuvar Kas Androidi ostmiseks

Διαβάστε περισσότερα