INTRODUCERE. 1. Erori în procesul de masura

Transcript

1 INTRODUCERE. Eror î procesul de msur. Geerltt Dup cum este e cuoscut, fzc, u d sttele tur, operez cu otu s mrm exprmle ctttv s, c urmre (m mult su m put) precs determle. O operte fudmetl î fzc este cee de msurre. Atuc câd vem l dspozte u etlo, putem compr mrme de msurt cu etloul (cele dou mrm comprte vâd cees tur), r rportul, v, dtre mrme de msurt, M, s ce les c etlo, M e, se umeste vlore umerc mrm msurte: M v = () M e Opert de msurre pr comprre cu u etlo se umeste msurre drect. Msurre drect este, îs, o operte destul de put utlzt î prctc, deorece costrure uu etlo este, î geerl, dfcl s, de multe or, mposl. Mult m frecvet vom îtâl î lortor opert de msurre drect, î cre o mrme de teres este msurt plecâd de l o relte de clcul, î cre terv o sere de mrm fzce, cre pot f msurle drect. Câtev exemple î cest ses r f: msurre costte elstce uu resort, destte uu corp, mometul de erte uu rgd, vtez suetulu î dverse med, etc. Experet rt c o msurtore repett, î celes codt, coduce, de oce, l rezultte cre dfer ître ele. Acest dovedeste c fecre msurtore este îsott de eror de msur. Se umeste erore de msur dferet x - x dtre rezulttul msurr, x, s vlore devrt mrm msurte, x ( cre exstet este postult). Desgur c, î mod uzul, u cuostem vlore devrt mrm msurte. Adese vem o dee supr cee ce r pute s fe vlore devrt ue mrm, fe d expermete precedete (clusv folosd lte metode de msur), fe dtr-o ordre teoretc. Astfel de cuostte terore e jut s precem ordul de mrme l vlor pe cre o steptm dtr-o msurtore. Este de dort s gsm u procedeu de determ, folosd dtele expermetle, cât îcredere putem ve î ceste. Chr s smpl msurtore lugm ue dtre lturle ceste crt u costtue o excepte de l regul: folost o rgl sezt prlel cu ltur ce urmez f msurt s cu dvzue zero l mrge ltur de msurt. Se pote, îs frm cu certtude c dvzue zero este exct l mrge crt? Ar treu, m e, s fe folost o lup c mjloc juttor. Cu cât mrre lupe este m mre, cu tât poztore zero-ulu rgle r f m precs. Pote f cest o solute vl petru îltur complet certtude de poztore rgle? Folosd o lup cu mrre trsversl d ce î ce m mre, l u 0

2 momet dt îss ltme reperulu zero le trste pe rgl deve suprtore! Dfcultt smlre pr l vzre celullt cpt l ltur de msurt. Apre, po, o lt prolem: cât de exct fost efectut mrcre dvzulor pe rgl folost drept etlo? Mrcre ue stfel de rgle este rezulttul ue succesu de coper (operte cre presupue, de semee, u sr de eror) plecâd de l u etlo prmr. Î plus, lugme scr se pote modfc î fucte de dvers fctor: tempertur, tmp su umdtte. Ueor o umt dmesue uu oect dfer î dverse zoe le cestu. De exemplu, msurâd dmetrul uu fr (otut pr treflre), l ue re (otute pr strujre, lmre su extrudre) su l ue sfere cu u suler su cu u suru mcrometrc vom gs vlor dferte le dmetrulu î locur dferte. O l dtr-u mterl sufcet de mole, cum este plumul, v ve, dup u umr de de sustere pe o suprft orzotl, ter semfctve de l form sferc. Petru msurre dmetrulu ue stfel de sfere este ecesr s se efectueze u umr mre de determr s s se î cosderre o vlore mede rezulttelor. Am pute, dec, frm c fecre mrme pote f evlut cu o umt precze. Precz ue msurtor depde de: ) strumetul s metod foloste î efecture msurtorlor; ) vrtle sptle su temporle le mrm de msurt; c) umrul de msurtor efectute. Termeul de erore, î cotextul dscutt, u re sesul de gresel, c de mposltte de fl vlore exct ue mrm, dtort fctorlor eumert m sus. Exst, de multe or, o ume cofuze prvd îtelesul s dferet dtre otule de excttte s de precze. Dctorul lm româe cotempore preczez c excttte reprezt cpctte de f exct, r djectvul exct îsem coform cu reltte, cu devrul. Î cee ce prveste termeul de precze, cest îsem, coform celus dctor, fptul de f precs; excttte. Cu lte cuvte, cele dou cuvte u cels îteles! Acees cofuze pote f semlt s î lte dctore. Î cercetre sttfc, ce do terme u, totus, îtelesur dferte. Excttte (ccurc î lm eglez) este o msur proper vlor umerce rezulttulu ft de vlore devrt; excttte este, dec, o msur corecttud uu rezultt. Precz uu expermet este msur cât de exct este determt cel rezultt, fr o referre l cee ce reprezt cel rezultt. Precz uu expermet este, î cels tmp, o msur reproductltt rezulttulu. Precz solut dc mrme certtud rezulttulu, î celes utt c s cest. Precz reltv dc certtude su form ue frctu d vlore rezulttulu. Referdu-e l u expermet metot teror, prvd msurre ue ltur ue crt, s presupuem c rezulttul msurr, folosd o rgl de otel, fost de 0,99 m. S presupuem c msurtore fost efectut l tempertur de 0 ºC. Îtrucât etlore rgle fost efectut l 5 ºC, r coefcetul de dltre lr mterlulu rgle este

3 5x0-4 K -, rezulttul msurtor treue îmultt cu - 5 x 5 x 0-4 = 0,9975. Asdr, ou determre lugm este 0,98 m. S m dmtem c expermettorul costtt, î decursul expermetulu, c d cuz ctr olce (u cum r f fost corect - perpedculr pe plul rgle), tote ctrle treue corectte cu mm (de exemplu, treue dut mm l fecre ctre). Rezulttul msurtor se v scre cum: L = 0,97 m. Precz solut este, î czul msurtor folosd strumetul metot, de mm, r precz reltv este de /99 0,3%. Corectle fcute u urmrt crestere excttt, deorece sursele de eror sstemtce u fost cuoscute. Crestere excttt mpus, dup cum se vede, scdere precze reltve. Î orce expermet este ecesr s fe lute î cosderre î mod dferett excttte s precz. Este perdere de tmp s de eerge s se determe o mrme cu o precze forte rdct, tuc câd se cuoste c excttte rezulttulu este modest. Î schm, u se pote cosder c u rezultt este extrem de corect dc precz s este modest. De exemplu, dc se cosemez rezulttul msurtor ue lugm su form L = m, rezulttul pote f exct, îs cttte de formte cosemt este lmtt, îtrucât cu precz cu cre s- metot rezulttul, se pote îtelege c lugme respectv pote f cuprs ître,5 s,5 m. Dc, îs, lugme este metot c fd L =,000 m - precz rezulttulu este de 000 or m mre; dc, îs, se precz c excttte îtr-o stfel de msurtore este de 0 mm, o precze solut de mm se dovedeste f utl. Metodele de prelucrre dtelor expermetle urmresc, pe de o prte, flre ue mrm cât m propte de ce rel, r pe de lt prte, gsre uu tervl de vlor, î cre s se gsesc cu sgurt vlore devrt mrm msurte. Notule de z î cest cotext sut cele de erore rel (deft c dferet dtre vlore msurt s ce rel), erore solut (cre este modulul dferete metote teror) s erore reltv. Erore rel (s ce solut) sut exprmte î uttle mrm msurte; erore reltv, deft c rportul dtre erore solut s vlore devrt mrm msurte, este o mrme dmesol. Des, ueor, rezulttul ue msurtor (de lugme, de exemplu) se exprm su form: 4,6cm ± % este de prefert s exprmm cels rezultt su form: ( 4,6 ± 0,)cm. Clsfcre erorlor de msur. Crcterstc geerle. Erorle de msur se pot clsfc î 3 grupe: ) eror grosole ) eror sstemtce 3 ) eror ccdetle (îtâmpltore)

4 Erorle grosole pr î urm deterorr codtlor prcple le msurr. Ueor, de exemplu, d cuz lumr sufcete loculu de muc, se cteste dct uu strumet c fd 3, î loc de 8. Alteor se pot folos strumete defecte, su procedee de msur cre coduc l prt î setul de dte expermetle uor vlor cre dfer forte mult de mjortte celorllte dte. Deoset de grve, pr cosectele lor pot f erorle grosole legte de utlzre î mod grest uor strumete de msur su lte dspoztve expermetle (de exemplu motore electrce, lmettore cu eerge electrc, etc.) l tesu de lmetre m mr (0V) decât cele omle (6, su 4 V). Crcterstc esetl erorlor grosole este cee c ele mplc vlor msurte cre se t forte mult de l o vlore mede. Erorle grosole se elm l îceputul operte de lz rezulttelor s, pe cât posl, se îlocuesc cu vlor gste î urm ltor msurtor, efectute î codt corecte. Erorle sstemtce se dtoresc fctorlor cre ctoez î cels mod î tmpul efectur uor msurtor multple, î celes codt expermetle, le ue mrm fzce. Aceste sut erorle cre vor fce rezulttele ostre dferte ft de vlorle excte cu dscrepte reproductle. Exemple tpce de cuze ce determ prt uor eror sstemtce sut: poztore corect strumetulu de msur ft de corpul de msurt, folosre cestu î lte codt decât cele î cre s- fcut etlore, sufcet pregtre metode de msur, etc. Erorle sstemtce sut perculose petru expermettor, deorece ele sut um pr lps su um pr dos s, de cee, surs (s efectul) lor rmâe, de multe or, ecuoscut. De exemplu, dc se msor modulul de elstctte uu mterl, folosduse metod dmc, dc folosd relt v = E / ρ (ude v este vtez ue ude logtudle pr mterlul proe, r ρ - destte ceste), dc mterlul u este omoge ( ρ vrz de l puct l puct ), rezulttul v f fectt de o erore sstemtc. O erore sstemtc v pre s dc îte de îcepere msurtorlor u s- efectut corect de zero strumetulu de msur. Excttte uu expermet este, î geerl, depedet de modul î cre putem cotrol su compes erorle sstemtce. O cle de detfcre erorlor sstemtce o costtue determre celes mrm fzce folosd metode dferte. As cum vom vede îtr-o sere de lucrr de lortor d prezet crte, dverse metode de msurre drect celes mrm fzce sut îsotte de eror (clusv sstemtce) dferte. Î msur î cre erorle sstemtce u pot f elmte, ele se ''trec'' î grup erorlor letor. Erorle ccdetle pr d cele m dverse cuze. De multe or ele sut tât de mc, îcât efectul lor u pote f seszt (vrt tempertur î procesul de msur, modfcr le leg de mscre d cuz uor curet sl de er, etc.). 3

5 Elmre totl erorlor ccdetle u este posl, îs, folosd metodele teore prolttlor s sttstc mtemtce se pote evlu efectul lor supr mrm msurte. Precz uu expermet depde de modul fvorl î cre putem deps su lz stutle cre coduc l prt erorlor ccdetle. O excttte dt mplc o precze cel put l fel de u msurtorlor s este, îtr-o ume msur, depedet de erorle ccdetle. Se pote demostr c, dc msurtorle se efectuez î celes codt, frecvet mxm de prte uor mrm îtr-u set de determr expermetle este mxm î czul celor mrm cre dfer forte put de vlore mede tuturor msurtorlor; exst d ce î ce m pute vlor cre dfer d ce î ce m mult de vlore mede (tât pr lps, cât s pr dos). Dc erorle ccdetle rezult d folosre uor strumete put precse, su cre u mpu îcredere, ceste eror pot f dmute pr folosre strumetelor decvte. Dc erorle ccdetle rezult d fluctutle sttstce dtorte umrr pre pute evemete, utlzre uor strumete m precse u se justfc; cle de urmt este, î cest cz, crestere umrulu de evemete msurte. Îtr-u grfc, î cre se reprezt pe scs, î orde cresctore, vlorle umerce otute î urm efectur (î celes codt) m multor msurtor (fectte de eror ccdetle), r pe ordot frecvet de prte dfertelor vlor î setul de rezultte, se costt o depedet grfc deumt ''clopotul lu Guss'' (Fg. ). O stfel de depedet corespude leg de dstrute orml mrmlor letor. Petru descrere împrster dtelor ft de vlore mede se folosesc cel m frecvet otule de dsperse s tere mede ptrtc. Dspers D(x) se defeste pr relt: D( x) = ( x x) 4 = Vlore σ = D(x) se umeste erore mede ptrtc: σ = D( x) = ( x x) Fg. Dspers reprezt mrme ce m utlzt petru crcterz împrstere msurtorlor uor mrm fluctute. Frecvet de prte ue umte vlor î setul de determr expermetle re semfct proltt de prte cele vlor î cel set. Petru u umr ft de msurtor, proltte P(x) re expres []: P( x) = e π σ ( x x ) σ =

6 Asdr, dstrut orml este determt de do prmetr, x s σ. Se pote frm c teresul ostru, c expermettor, este de extrge d dtele expermetle celor m rezole estmr le mrm erorlor ccdetle, cre este efectul cestor supr rezulttelor s ce îcredere putem cord rezulttelor fle.. 3 Comprre dou mrm. Î mecc, c s î lte dome le fzc, o mrme fzc pote f msurt folosd dou metode dferte. Î codtle î cre ctrle sut precse, dr excte, comprre vlorlor umerce otute rt c forte rr se îtâmpl c ele s fe detce (cest este m curâd except!). Dc tervlele î cre se gsesc cele dou vlor gste se suprpu se spue c cele dou vlor umerce sut cocordte î lmt erorlor de msur. Nu putem spue, de exemplu, c 9,9 cocord cu 0,5, îs dc fecre rezultt este exprmt împreu cu erore s de msur, (de exemplu 9,9 ± 0,3 s 0,5 ± 0,4 ), se oserv c exst u tervl î cre vem o ''suprpuere'' vlorlor. Îtr-devr prm mrme pote f cuprs ître 9,6 s 0,, r dou - ître 0, s 0,9. Dc, dmpotrv rezulttele r f fost 9,9 ± 0, s 0,5 ± 0,, se frm c rezulttele dfer pr m mult decât erorle lor expermetle.. 4 Eror de rotujre Î orce vlore msurt exst o erore, determt de rotujre ultme cfre metote. Dc o lugme este metot c fd 0,3 cm, cest îsem c vlore devrt se fl udev ître 0,5 s 0,35 cm. Erore de rotujre este dec 0,05 cm. Dc lugme msurt r f fost exprmt c 0,30 cm (dc ître 0,95 s 0,305), metore cele de- dou zecmle e rt c msurtorle u fost efectute î codtle î cre erore u este, î cest cz, m mre de 0,005 cm. Dc, de exemplu, vtez lum î vd este scrs su form km/s, u rezult clr dc cele 5 zerour sut u dcu l ue vlor excte su dc ele u dor rolul de exprm ordul umrulu cosdert. O vlore m precs este km. Dc umrul v f exprmt c o putere lu 0 - dc de form 3, m s - u exst cofuz supr eror de rotujre. Î cest cz um prmele dou zerour sut semfctve. Se spue î cest cz, c vtez lum este exprmt cu tre cfre semfctve. Îtr-o exprmre cu 4 cfre semfctve vlore ceste vteze este, m s. Î lortorul de mecc vlorle msurte u, î geerl 3 cfre semfctve. Î mod oczol se pote îtâmpl s fe posl otere uor rezultte cre se exprm pr umere cu dou su cu ptru cfre semfctve. U cz terest, destul de frecvet dscutt, este cel l eror determte de utlzre umrulu rtol π. Îtr-o exprmre cu 0 cfre semfctve π = 3, Cu 4 cfre semfctve el este 3,4, r cu tre cfre semfctve - 3,4. Î clcule vom lu 5

7 o vlore lu π cu u umr sufcet de cfre semfctve, stfel îcât erorle dtorte rotujr vlor lu π s fe semfctv m mc decât sut erorle ce îsotesc msurre celorllte mrm ce terv î cees relte de clcul. Este terest de remrct c umrul π fost recet determt cu de cfre semfctve, cre, totus, u pot stsfce pe cel m exget expermettor.. 5 Eror ce îsotesc msurre lugm Msurre lugm ecest utlzre m multor tpur de strumete, cre sut lese, s cum vom vede ulteror, î fucte de cotextul expermetelor. Amtm, î coture, câtev prtculrtt le uor dtre cele m utlzte stfel de strumete. Rgl d lem este u strumet frecvet utlzt î lortor. Î legtur cu folosre s, treue fcute câtev preczr supr erorlor troduse î procesul de msur. Lugme ue rgle de lem pote se pote modfc semfctv î tmp; se îtâmpl dese c lugme ue rgle de 50 cm s se modfce cu mm, dc cu ± 0,%. Dc u u exstt eror de scrptore rgle, î msurtorle î cre se foloseste o rgl de lem treue cosdert o erore sstemtc de 0,% dtort mprecze scle. Dc zeroul de pe rgl este sters su cert c pozte, se pote folos drept orge o lt dvzue de pe scl, r rezulttul msurtor se ote pr scdere. Erorle de prlx, cre pr î czul ctr olce pe o rgl (su pe scl uu prt cu c dctor) pot f reduse dc se plsez rgl cât m prope de oectul de msurt, rgl fd prvt rzt l suprft s, dspre much e, stfel îcât dv-zule s fe de- lugul drecte de vzre. Erore totl cre fectez o lugme msurt cu o rgl de lem este de 0,%, plus erore de ctre, cre este de ± 0,5 mm. Evdet, petru du cele dou vlor, ele treue exprmte c eror solute. Rgl de otel, costrut de oce de o frm productore de prtur sttfc v troduce, î tmpul msurr, eror de cel mult o zecme de mm l m. Cu lte cuvte, erore s de etlore este de proxmtv 0,0%, o vlore egljl î comprte cu erorle de ctre de pe scl. Î czul ue ctr îgrjte, u stfel de strumet de msur se crcterzez prtr-o erore totl (de ctre l mele cpete plus de etlore) de proxmtv ±0, mm, î fucte de experet oservtorulu. Sulerul este strumetul cel m utlzt î lortorul de mecc, petru msurre lugmlor. Petru msur o dmesue uu oect, cest se troduce ître rtele sulerulu, se fce ctre, po oectul se îdeprtez s se fce verfcre zero-ulu. Se îtâmpl î uele czur c pozt zero-ulu s se t de l vlore rel (cre corespude pozte î cre rtele sut lpte uul de ltul) cu câtev zecm de mm, de o 6

8 prte su de lt. Erore totl ce crcterzez o msurtore folosd sulerul este de ± 0, mm. Suruul mcrometrc este u strumet crcterzt de o erore mxm de ±0,0 mm, î codtle utlzr sle corecte. Eror suplmetre pot păre dtort strâger dferte suruulu cre roteste tmurul mcrometrc. Este evoe c l fecre msurtore cest strâgere s fe costt. De cee, î mjortte czurlor, mcrometrul este prevzut cu u mecsm ce determ u efect de ptre, dc strâgere depseste u umt prg. O corecte de zero treue îtotdeu efectut tl, c s î czul sulerulu. Itervlul mm dtre dou dvzu de pe tmurul mcrometrulu corespude ue lugm de 0,0 mm.. 6 Eror l msurre mse Folosd, petru msurre mse, o lt, exst dou surse prcple de eror: prm este legt de mprecz de etlore mselor mrcte utlzte, r dou - î ltte de fx mometul echlrr lte. Acest dou surs de eror rezult d dfcultte de ct cu excttte pe scr lte su d fptul c, ueor, sesltte ceste este sufcet. Sesltte lte pote f fectt s de tocre cuttelor de suspese rtulu ceste, fpt pus î evdet pr cee c dugre de mse mc pe uul d tlere u produce o devte msurl.. 7 Eror î czul flr uor mrm dtr-o relte clcul. Deorece mrmle cre terv î relt de clcul ue lte mrm fzce, otute pr msurre drect, sut fectte ele îsele de eror, este de steptt c rezulttul s fe, de semee, fectt de o umt erore. Este de îteles c o vlore clcult,, u pote f m precs decât vlorle msurte, x, x,... cre tr î formul de clcul respectv, = (x, x,...). Este de steptt c erorle ce pr tuc câd sut efectute msurtorle mrmlor x s se cumuleze, r erore ce fectez pe s fe m mre decât erorle ce fectez msurtorle fecre mrm x. Petru ote o vlore corect lu î lmt ± % este ecesr s se fc msurtor supr vrlelor x cu eror m mc decât %. Acest lucru v f lustrt î cele ce urmez, m îtâ îtr-u mod sem-ctttv, folosd o metod zt pe cfre semfctve, r po, îtr-o mer m precs, lzâd vlorle umerce le erorlor cre îsotesc fecre cttte folost î formul de clcul. Des cest dscute u re rgore ue lze sttstce, e e v ofer o cle de estm precz uu rezultt. S cosderm c îtr-u expermet sut foloste dou mse, câtrte î prell s c rezulttul câtrr fost 9,3 g s,5 g. Cât v f sum celor dou mse? Corpul cu Exst s sulere cre u 0 de dvzu pe verer, dec cre se crcterzez prtr-o erore totl de ± 0,05 mm; î lortorul ostru, vom folos sulere cu erore totl de ± 0, mm. 7

9 ms de 9,3 g pote ve, de fpt, o ms cuprs ître 9,5 s 9,35 g. Prm zecml emetot î rezulttul câtrr (sutme de grm) r pute f 0,,, 3, 4, 5 su -, -, -3, - 4, -5. Vom cove, î cele ce urmez, s mrcm cfrele e - metole cu semul îtrer (?). O msurtore m precs e v permte s îlocum semele de îtrere cu cfre. Sum cre se v ote v f: 9,?? 3 + 5,? 0, 8?? Sum este, dec, 0,8 g, tote cfrele de dup 8 fd ecuoscute (sum lu cu u umr ecuoscut este, de semee, u umr ecuoscut). U exemplu smlr pote f dt petru scdere: 3,4?? 3,6?? 7,8?? su 8 75,?? 0,05 70,?? Este, dec, orml, s rotujm l cels umr de cfre semfctve dou umere ce urmez f dute su sczute: de exemplu, 33,6 mus,67 treue modfct l 33,6 mus,7, cre v d rezulttul 30,9. Acels procedeu de îlocure cfrelor e-îregstrte folosd seme de îtrere se pote folos s î czul opertlor de îmultre s împrtre: ) 4,?x 3,????? 4? 36? 84? 95,???? ) 33???? 74? 74?, 34? = 59?? 5? = 7??? 696????? Exemplul () rt c produsul dou umere, fecre cu 3 cfre semfctve re um 3 cfre semfctve. Este corect s spuem, î codtle ostre, c produsul 4, x,3 = 9,5 s u 9,57. Acest d urm umr mplc o msurtore mult m exct decât fost, de fpt, efectut î reltte. Î exemplul () costtm c, pr împrtre uu umr cu 3 cfre semfctve l u ltul cu 3 cfre semfctve rezult u lt umr, de semee, cu 3 cfre semfctve. Regul geerl spue, dec, c pr îmultre su împrtre dou umere exprmte cu u umr dfert de cfre semfctve, rezulttul re u umr de cfre semfctve c s cel l termeulu cu cele m pute cfre semfctve. Asdr, î codtle î cre ctrle d lortorul ostru u u umr de 3 cfre semfctve, rezulttul v treu exprmt, de semee cu 3 cfre semfctve.

10 ) Clculul erorlor. Adure S cosderm c vem de dut dou umere: 75,3 ± 0, s 7,6 ± 0,4. Sum celor dou umere excte este 8,9, dr cât de exct este cest rezultt? Prmul umr pote f cuprs ître 75, s 75,5, r l dole - ître 7, s 8,0. Asdr sum lor pote f cuprs ître 75, + 7, = 8,3 s 75,5 + 8,0 = 83,5. Dec, rezulttul treue scrs c fd 8,9 ± 0,6. Erore 0,6 rezult pr îsumre erorlor celor dou umere. Folosd screre smolc, sum dou umere ± s ±, pote ve o vlore mm ( - ) + ( - ) su ( + ) - ( + ) s u mxm ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ). Îtr-o screre codest, rezulttul îsumr este ( + ) ± ( + ). Prtez dou reprezt erore cre fectez sum +. Erore + este erore mxm cre fectez sum; e se umeste erore posl. Cocluz este, dec, c tuc câd se du dou umere, erorle solute se du. Frecvet de prte î prctc eror posle este destul de redus s, de cee, o evlure m relst cre fectez sum este otut o reprezt s - umt erore prol, deft pr relt: x' = x. Scdere S cosderm celes umere, c s î czul precedet. Lmtele rezulttulu scder vrz ître 75,5-7, = 68,3 s, respectv, 75, - 8,0 = 67,. Dferet dtre umerele excte este 67,7; Rezulttul v f scrs: 67,7 ± 0,6. Folosd screre smolc: ± ± = ± + ( ) ( ) ( ) ( ) Asdr s î czul scder, erorle solute se du. S î czul scder, erore posl este exgert de mre î forte multe czur; de cee s cltte de erore totl se erore prol..3 Îmultre Opert de îmultre este forte frecvet îtâlt l clculul dverselor mrm fzce. S cosderm, de exemplu clculul re. Imprecz de flre re depde de mprecz de msurre lugm lturlor. S cosderm u dreptugh de ltur s, msurte cu erorle s (Fg. ). Erorle reltve vor f s. Notâd r cu A, erore reltv re v f A A A su. 9

11 Ar pote ve o vlore mm: s o vlore mxm: A A m = = ( )( ) ( + )( + ) mx. Erore este egl cu r fâslor î form de L (vez Fg. ), hsurte cu l îclte spre stâg su spre drept, plste î terorul s, respectv, î exterorul suprfete (). Aceste zoe dfer ître ele pr rle dreptughurlor d coltul d drept - sus, cre sut, de fpt, egljle. Putem spue, dec, c r suprfete ce reprezt erore este +. Ar v pute f scrs su form ± ( + ), î cre ultm prtez este: A = + Putem scre c erore reltv cre fectez mrme re este: A = + (3) A Asdr, î czul îmultr Fg. dou umere, erore reltv sume este egl cu sum erorlor termelor d produs.. 4 Rdcre l putere Î cest cz umrul se îmulteste cu el îsus s, de cee, rezulttul gst î czul multplcr rmâe s c vll. De cee, erore reltv ce fectez mrme = x este: x =, x x ude este erore reltv mrm x. x. 5 Împrtre S cosderm frct ±. E pote f scrs s su form: ± ± Q ± Q = = ± ± (4) ± 0

12 Dc << s <<, dup efecture produsulu celor dou prteze: ± ± ± = ± Q Q (5) se pote eglj ultmul terme. Vom scre po: Q Q ± = ± î cre: Q = Atuc: Q Q Q Q + = ± = Erore rezultt este egl cu sum erorlor reltve le fctorlor împrtr. Dc îtr-o formul terve tât îmultre, cât s împrtre uor terme: g f e d c = (6) erore reltv,, v f: c c d d e e f f g g = (7) S î cest cz, o vlore m relst eror totle v f dt de cttte x.. 6 Metod dferetle logrtmce Rezulttele gste pâ cum pot f geerlzte su form s - umte metode dferetle logrtmce. S cosderm c relte de plecre - relt (6). Pr logrtmre e (î z e) gsm: g f e d c l l l l l l l l = (8) Dferetd ecut (8) s trecâd l vrt fte: g g f f e e d d c c = (9) Erore posl,, v f dt de relt: g g f f e e d d c c = (0) rezultt detc cu cel exprmt pr relt (7). De metot c î relt (0) m cosdert czul cel m defvorl, ume cel î cre erorle e, f s g sut pr lps. Aceste cosdert servesc l plfcre expermetulu s legere strumetelor su codtlor

13 de lucru. Dup efecture msurtorlor precse, dr excte, ude terv erorle ccdetle se trece l lz erorlor folosd cest metod.. 7 Erore supr mede Exst dou mrm cre descru erore su form ue med. Vrtle erete cre pr î urm repetr ue msurtor pot f exprmte fe pr tere mede su pr tere stdrd. Atere mede reprezt devt medt ctrlor dvdule ft de o vlore mede tuturor ctrlor. E treue clcult luâd î cosderre eror solute, dec: tere mede = x x S osderm, de exemplu, u expermet î cre se determ perod uu pedul grvttol (Telul ): = () Telul Determre perode uu pedul grvttol. Nr. det. Nr.de osclt t (s) T (s) T T (s) 00 3,3 0, ,33 0, ,8 0, ,8 0, ,30 0,00 Sum ,50 0,08 Med ,06 Vlore mede perode este,30 s, r tere mede determrlor dvdule - 0,06 s 0,0 s. Rezulttul se v scre î fl: T = (,30 ± 0,0 )s. Alte expres le vrtlor dvdule sut vrţ s tere stdrd, cre sut zte pe o lz sttstc rguros. Vrt se otez, de oce, cu σ s se defeste c: ( x x) σ = Mrme: se umeste tere stdrd. ( x x) σ = ()

14 O lt mrme ce se foloseste î prelucrre dtelor expermetle este estmre S ter stdrd rele, σ, dt de formul: S ( x x) = D relt (3) se costt c S u pote f clcult petru =, cz î cre tere stdrd este 0. O sgur msurtore u e pote ofer o estmre eror ter, de cee formul ce foloseste termeul - de l umtor este m relst. Petru u umr mre de determr, mrmle S s σ dev egle. Î Telul sut prezette rezulttele ctr tmpulu de cdere ue sfere îtr-u flud vâscos s este prezett metod de clcul ter stdrd. (3) Telul Determre tmpulu de cdere ue sfere î ule. Nr. det. t (s) t t (s) ( t t ) (s ).,8 0,0 0,00.,6 0, 0,04 3.,6 0, 0,04 4.,4 0,4 0,6 5. 3,0 0, 0, , 0,4 0,6 7.,8 0,0 0, , 0,4 0,6 9.,8 0,0 0, ,0 0, 0,04 Sum 8,4 0,48 S = ( t t) 0,48 = = 0,05(3) S = 0,3 9 Rezulttul este, dec, c tmpul medu de cdere este,8 s, cu o tere stdrd de 0, s. Acest rezultt se zez pe zece msurtor; dc s-r f efectut u umr mult m mre de determr, r med s-r f clcult d cest umr mre, s-r f otut petru tere stdrd o vlore dfert. Cu cât este m mre umrul de determr, cu tât vlore mede se prope m mult de ce devrt. Î cest d urm cz 67,5% d vlorle gste petru tmpul de cdere s-r gs î tervlul de 0, s. Devt stdrd este u dcu l modulu cum dfer o ctre ft de lt s u l curtete de determre mede. Câd umrul de determr creste, tere stdrd tde spre o vlore costt. 3

15 Alz sttstc rt c excttte mede rtmetce vrz proportol cu rdc ptrt d umrul determrlor. Erore î estmre mede, deumt erore S stdrd este dt de ±, ude S este estmre ter stdrd, r - umrul de determr. Î exemplul precedet erore supr mede este, umerc, egl cu 0, = 0,06 0,s. Tmpul medu de cdere fost, dec, determt c fd,8 ± 0, s ( 0 0, dec cu o erore reltv de 0,8% ).,8 U rezumt l celor rtte pâ î prezet rt c: Nc o msurtore u este exct. Exst eror dtorte lmtelor poslttlor de ctre rezulttelor, clrr strumetulu respectv, precum s uor vrt erete mrmlor fzce de msurt. Erorle ce fectez u rezultt l uu clcul se pot gs folosd urmtorele regul: ) Câd mrmle se du su se scd, erorle solute se du. ) Câd mrmle sut îmultte su împrtte, erorle reltve se du. 3) Erore reltv l rdcre l putere - este egl cu de or erore reltv mrm ce se rdc l respectv putere. 4) Erore prol este determt de rdc ptrt d sum ptrtelor erorlor. 5) Câd u fost efectute u umr de determr le ue mrm x, vlore mede lu x este x = X. 6) Dc terle ft de mede depsesc precz msurtorlor, tuc erorle pot f exprmte pr: - tere mede: ( x x) - estmre ter stdrd: ρ = - erore stdrd mede: ( x x) S 3. Metod grfc de lz dtelor expermetle. Alz sttfc este u proces smlr ''sprger'' uu mesj codfct coform uu umt cfru. U mesj este, î cest cz, o sere de dte dtr-u expermet. Prolem este cee de gs o relte dtre mrmle vrle. U prcpu l metodelor ltce este cel c se pote, prtr-u expermet dt, gs um depedet dou mrm. Expermetul su dtele treue stfel rjte, îcât 4

16 dor dou d ele sut vrle, r celellte sut metute costte. Î cest mod, dc = f x x,,..., îtr-o sere de determr depedet studt se dovedeste f de form (, x3 ) se urmreste depedet = f (x k ), vrlele depedete X x ( K ) sut metute costte (dec joc rol de prmetr). Procedur este repett po, studdu-se depedet = f ( x m ), r x xm (m k ). It u exemplu î cest ses: S cosderm u pedul grvttol de lugme l s ms m. Perod cestu r pute depde de lugme, de ms m s de ughul de devte, θ de l pozt vertcl: T = f(l,m,θ). Fecre vrl depedet treue modfct î câte o sere de expermete. De exemplu, îtr-o prm sere de expermete se modfc dor θ, r ms s lugme s sut metute costte. Se studz po depedet T = f(l), m s θ fd metute costte r î fl se studz depedet T = f(m). L o lz ulteror rezulttelor se gseste c perod depde de lugme pedululu, coform ue relt de form T = c l, ude c este o costt. Dc ughul este metut l vlor mc, c m s c θ u pr î depedet T = f(l). Dup o lz teoretc se gseste c costt c este: π c = (4) g ude g este ccelert grvttol. Alz dtelor dtr-u expermet presupue îtotdeu gsre relte dtre dou vrle s de cee vom lz î coture dverse tpur de depedete fuctole. Dc o vrl (mrme fzc) este legt de o lt, fecre vlor ue î corespude o vlore celellte. Ue mc vrt ue mrm î corespude o mc vrte celellte mrm, r o vrte cotu ue mrm determ vrt cotu celellte mrm. Cocluz este c depedet celor dou mrm pote f reprezett su form ue l. U prm scop l reprezetr grfce este cel de verfc dc exst o depedet ître dou mrm lzte; dc o stfel de depedet exst, tuc multme perechlor (x, ), cre sut pucte îtr-o reprezetre grfc = (x), se vor sez pe o le. Petru determ o le este evoe de u umr mre de pucte. Numrul cestor depde de form le; câd cest form u este cuoscut, cu cât vem l dspozte m multe pucte, cu tât l v f costrut cu precze m mre (dou pucte determ o le um dc ce le este o drept, î cz cotrr este ecesr s fe cuoscute mult m multe pucte). Î Fg. 3 este reprezett depedet de destte vteze de propgre ue ude elstce logtudle î dverse metle. Nu se pote costru o le smpl cre s uesc tote ceste pucte s, c urmre, se pote frm c u exst o corelte ître vtez udelor logtudle s destte mterlelor metote. K 5

17 Fg. 3 Î Fg. 4 este reprezett depedete celes mrm - vtez udelor elstce logtudle - î fucte de rportul dtre modulul de elstctte l celors mterle s destte cestor. Aceste pucte pr s se stueze pe o cur. Fg. 4 Acest grfc rt dor exstet ue relt ître cele dou mrm; este ecesr gsre exprese ltce ceste cure, dc ecut cre leg ceste mrm. Form câtorv d depedetele m smple este prezett î Fg. 5, s. D ceste depedete u fost fgurte dor câtev puter. Exmâd o le este prctc mposl s spuem cre ecut î corespude, cu except czulu câd l respectv este o drept. Drept este u elemet chee îtr-o lz grfc, îtrucât um e pote f preczt dtre tote tpurle de l. Prolem se reduce, dec, l gs o posltte de reprezet dtele expermetle, stfel c grfcul s dev o drept. 6

18 Exst m multe modltt petru relz cest lucru. Uele se plc um î czurle prtculre, ltele u crcter geerl. Nu exst o retet geerl s, de oce, se îcerc m multe tpur de lrzre depedete. Fg Relt lre Ecut geerl ue drepte, dup cum este e cuoscut, este: = + x ude este ordot l orge, r - pt. Acest este deumt de oce pt fzc drepte, o mrme cre re dmesue fzc rportulu /x, spre o deose de pt grfc, cre este o mrme dmesol, fd egl cu rportul dtre lugme segmetulu de drept - ctet opus împrtt l lugme segmetulu de drept ce reprezt ctet lturt. Î Telul 3 sut prezette, c o z de dscute, rezultte le msurtorlor vteze tse î decursul cder î er ue le grele, î fucte de tmpul de cdere. Aceste dte sut reprezette grfc î Fg. 6. Oservt modul de mrcre vlorlor scr pe cele dou xe (dor câtev vlor prcple u fost îscrse lâg ceste). 7

19 Telul 3 Depedet temporl vteze de cdere ler î câmpul grvttol. Nr. det. t (s) v (m/s) 0,033,08 0,067,50 3 0,00,64 4 0,33,96 5 0,67,34 6 0,00,66 7 0,33 3, 8 0,67 3,48 9 0,300 3,66 0 0,333 3,84 o,367 4,7 Remrct c u tote puctele se sez pe drept; c u er de steptt cest lucru, deorece dtele expermetle u sut codt excte. Puctele sugerez totus, o depedet lr, de cee cest tp de le fost reprezett î cest cz. O stfel de drept reprezt drept de ce m u rjre (î eglez the est ft) î rport cu puctele expermetle. Fg. 6 Rezult, dec, c depedet teror r pute f scrs su form: v= v + t (5) 0 ude v 0,8 m/s s = tgα = 9,65 m/s. Expermetul sugerez c, î lmt erorlor expermetle, ccelert de cdere corpulu respectv rmâe costt. Dferet reltv dtre vlore gst s ce cceptt c fd rel este de proxmtv,6%. Acest dferet pote f explct um dup o lz tet fctorlor exter cre fectez mscre (rezstet erulu, fort rhmedc, etc.) 8

20 3. 3 Depedet su form ue puter O depedet frecvet îtâlt î prctc este de form: u = Kv (6) î cre este u umr îtreg, frctor, poztv su egtv, r K este o costt (cest stute clude tote czurle prezette î Fg. 5 s ). Logrtmâd ecut precedet gsm: logu = log K + logv (7) Dc otm = log u s x = log v s = log K, ecut (7) deve: = + x (8) dc ecut ue drepte, de pt s ordot l orge. Acest metod pote f lustrt cu u set de dte prezette î Telul 4. Dtele reprezt formt expermetle cu prvre l dstt mede ft de Sore s de perod de rotte petru prmele ptru plete le sstemulu Solr. Telul 4 Dte despre prmele 4 plete le sstemulu Solr Plet Dst.mede ft de Sore, R Perod de rotte log R log T (m) () MERCUR 5, ,4 0,767-0,680 VENUS 0, ,67,0383-0,097 PAMANT 4, ,000,746 0,0000 MARTE,78.0 0, ,744 Î Fg. 7 este reprezett depedet T(R). Puctele pr s se seze pe o cur, cre tur u o cuostem. Î Fg. 8 este reprezett depedet log T = f(log R). Ac puctele se stuez pe o drept îtr-u mod forte exct. Pt ceste drepte este,50. Ecut drepte reprezett î Fg. 8 este dec: T = cost R su T = K R,50 3,00 T Cu lte cuvte, petru ceste plete, rportul este costt. Acest fpt fost 3 R descopert de Kepler s servt lu Newto s jug l expres leg trcte uversle. Reprezetre log - log descrs este o tehc plcl î czul ue depedete exprmte su form ue puter, c î relt (6), s e permte determre precs expoetulu. 9

21 Fg. 7 Fg. 8 O stfel de reprezetre grfc pote, de semee, serv l verfcre crcterulu ue depedete (x), tuc câd crcterul ceste este cuoscut. Determrle expermetle vor pre î grfc su form uor pucte de o prte s de lt drepte (uele chr pe e!), r msur î cre ceste pucte se t de l drept costtue u clfctv l cltt determrlor. Î geerl,dc e steptm c relt verfct s fe de tpul: m u = cv (9) vom ot = u s x = v m. Apo, dc grfcul = f(x) este o drept, tuc teor cre prezce cest depedet este corect petru stut fzc respectv. Atuc câd u cuostem crcterul depedete lzte, dr um c cest s- r exprm prtr-o putere de u umt ord, vom folos reprezetre log - log. Alteor depedet steptt pote f m complct. De exemplu, sptul prcurs de u mol su ctue ue forte costte se pote scre su form: s vt t = 0 + (0) Î cest cz c reprezetre s(t), c s(t ) u coduce l o drept. Totus, împrtd ecut pr t vom ve: s v0 t t = + () s Reprezetâd grfc depedet = f () t vom gs tât vtez tl ( cre este ordot l orge ), cât s ccelert molulu. t Î cele m multe stut, câd crcterul depedete vestgte u este cuoscut, este evoe de mult geoztte s rdre petru gsre metode de lrzre depedete studte. 0

22 3. 4 Depedet expoetl su logrtmc Sut multe stut î fzc î cre pr depedete de form: u= e Kv () Logrtmâd ecut (), î z e, gsm: l u = Kv (su lg u = 0,4343 Kv) O reprezetre log u = f(v) v coduce l o drept, cre re pt K (su 0,4343 K, dc se lucrez î z 0). D motv de sptu, vom reut c l d exemple umerce. Cele dscutte î sectue 3 pot f rezumte pr urmtorele: Alz grfc se dovedeste u mjloc pretos petru cutre reltlor dtre mrmle fzce msurte. Sgur cur cre pote f detfct cu orce precze este l drept s eforturle treue îdreptte spre gsre ue modltt de reprezetre cele depedete su form ue drepte. Dc mrmle lzte sut u s v tuc: ) Dc grfcul u = f(v) rt o împrstere letore puctelor, u u este legt de v. ) Dc grfcul u(v) reprezt o drept, depedet respectv este de form u = + v, ude este ordot l orge, r - pt. Dc = 0, u u depde de v. 3) Dc depedet u(v) u este o drept, o reprezetre log u = f( log v) costtue u test l ue depedete exprmte prtr-o putere. Dc, î cest cz, grfcul este o drept, depedet este de tpul u = v, ude este pt drepte, r este tlogrtmul ordote l orge. 4) Dc relt este de form expoetl, u = e v, grfcul logrtmulu ue mrm î fucte de cellt v f o drept. Ueor este ecesr s o reprezte s logrtmul celellte mrm, î fucte de prm. 5) Î uele czur teor pote suger tpul ue depedete. Expermetul v f cel cre permte verfcre ceste teor.

23 4. Alz umerc dtelor expermetle. O lz tet rt c dtele umerce otute dtr-u expermet pot f prelucrte su form î cre sut, fr recurge l reprezetre lor grfc. Cum m rtt, lz grfc este o metod tutv, rpd s m put loros de gs o relte, ecuoscut î prell, ître vrlele respectve. Totus, excttte uu grfc este lmtt. Este evoe de grj deoset î reprezetre dtelor, stfel îcât erore de ctre dtelor d grfc s fe de ordul %. Avtjul mjor l lze umerce este cel l precze teoretc elmtte metode. Precz metode depde î îtregme de precz dtelor s u, c î czul metode grfce, de excttte de costructe grfculu. U lt vtj l lze umerce este cel c erore rezultt se pote gs m usor s m rpd, î comprte cu metod grfc. Ce m smpl lz este cee î cre vrlele x s sut drect proportole, dc se gsesc î relt = x. Petru lz dtele se clculez rportul =. x Deorece rezulttele s x sut fectte de eror de msur, vom gs, î geerl, u sr dfert de vlor: =, =,... = x x x Dc u se costt o ume tedt de vrte vlorlor, o dt cu modfcre vlorlor s x, u se pote îc frm c teor este corect. Împrstere vlorlor srulu rt excttte cu cre teor respectv este verfct de expermet, î codtle dte de efecture msurtorlor. De exemplu, dc tere mede ft de vlore mede lu este de %, se spue c relt se dovedeste f verfct cu o erore de %. Ecut ce leg pe de x pote cote s lte costte, cre pot f (su u pot f) determte seprt. It u procedeu de utlzt dc relt = f(x) este de form = x + : Ser de ctr { x, } se troduce î ecutle: = x+ = x + = x Dc se scd ecutle dcete, vom ve: = ( x x) x 3 = 3 ( x x ) =,etc. 3 x 3 x Dup ce s- clcult vlore mede lu, folosd u d ecutle tle se clculez. Î czul î cre form ecutlor cre descru depedetele lzte este lt decât ce lr se pot folos lte comt dtre mrmle msurte. Câtev exemple î cest ses sut: x =

24 Dc = x, tuc se clculez = x Dc = x 3, tuc se clculez = 3 x Dc = c x -, tuc se clculez c = x s, î geerl, dc =d x, se clculez rportele d x =. D lz rezulttelor se pote costt dc depedetele respectve sut respectte. Este, de semee, posl c, folosd cest procedeu, s pot f flt s vlore expoetulu, dtr-o relte de form = x. Logrtmâd m memr ceste ecut, otem: log = log + log x U set de determr expermetle r treu s verfce ecutle: Sczâd ecut dcete vem: su: de ude: log log log log log 3 3 log log log log = log + log x = log + log x = log + log x 3 log = x log x = = ( log x log x ) ( log x log x ) 3 x = log x x = log x 3 log, = x log x 3 3 3,... O stfel de lz permte u dor determre lu, c s evlure împrster rezulttelor î jurul ue vlor med (s, mplct, cât de precs este vlore lu ). 3

25 Metod celor m mc ptrte O ordre dtr-u lt puct de vedere permte c, folosd lz umerc s putem fl o sere de mrm de teres. Acest ordre se umeste metod celor m mc ptrte; e urmreste s rezolve ecut ue drepte cre proxmez î modul cel m e dtele expermetle. Acest este, de fpt, o comte ître metodele lze umerce s grfce. As cum m metot dej de u umr mre de or, puctele expermetle u se sz prope codt rguros pe o drept, d cuz c msurtorle u sut îtotdeu perfecte. Grfcul (l drept) treue s trec prtre puctele expermetle, stfel îcât s rmâ, pe cât posl u umr egl de pucte de o prte s de lt e. Acest codte este orecum mprecs: s-r mpue c sum dsttelor de l puctele respectve s td l o vlore mm (uele eror sut pr lps, ltele pr dos s u, de cee seme poztve su egtve). Exprmt î lt terme, este de dort gsre cele drepte petru cre sum ptrtelor dsttelor, î drect, de l e l puctele expermetle, s fe mm, dc m mc decât î czul orcre lte drepte. Metod cre foloseste cest rtomet se umeste metod celor m mc ptrte. Notâd cu δ dsttele, de- lugul xe, de l puctele expermetle l drept cre pozte o cutm (Fg. 9), se mpue c sum ptrtelor dsttelor s fe mm: = δ m S cosderm u set de dte expermetle: x, x,,... x,,... x, ( ) ( ) ( ) ( ), Fg. 9 Fe = x + ecut drepte cre trece prtre ceste pucte. Dstt dtre cest drept s puctul este: δ = x Ptrtul ceste cttt este: δ = x + x + x + Codt de mm îtreg sume: S = x + x + x + ( ) 4

26 este c dervt s î rport cu s (cre vrz dc costrum drept vâd o oretre su lt) s se uleze: S S = 0 s = 0 deorece vrlele s sut depedete. Vom ve, c urmre: ( x + x x ) ( + x ) = 0 x + x x = 0 + = x 0 Împrtd mele ecut pr s tâd cot c vlorle med sut defte pr reltle: = 0 = =, x = x = s x = = x sstemul de ecut precedet se pote scre s c: + x = 0 x x x = 0 Pt drepte v f dt, dec, de relt: x x = x x r ordot l orge v f: = x. Dc, de exemplu, relt dtre mrmle s x lzte este u exprmt prtr-o putere de u umt ord, ctttle s x sut logrtm vlorlor msurte, r - expoetul. Dc relt este o expoetl, v f logrtmul ue dtre mrmle msurte, r - cellt mrme. 5

27 Coefcetul de corelte lr. Am rtt î sectule precedete cum se pote verfc tpul de depedet dtre mrmle fzce, specfce feomeul studt. Se pue frecvet prolem î ce msur o stfel de verfcre (de multe or deumt ftre, de l cuvâtul eglezesc fttg) corespude ue depedete rele, efectv prezete. Cu lte cuvte, se pue prolem î ce msur vrtle î vlorle msurte le ue mrm,, sut (su u) corelte cu vrtle ue lte mrm, x. De exemplu, dc vom msur depedet de tempertur perode mclor osclt le uu pedul mtemtc, formt dtr-u corp greu, de mc dmesu, suspedt de u fr metlc, vom costt c exst o corelte ître ceste dou mrm, î tmp ce, dc vom cut o corelte ître perod mclor osclt s tmp, o stfel de depedet reproductl u pote f gst. Se pote troduce o mrme cre s exprme ctttv î ce msur putem presupue c o ume depedet (î cel m frecvet îtâlte czur - ce lr) exst îtr-devr. Acest mrme se umeste coefcet de corelte. Cu referre l o depedet lr, cest se umeste coefcet de corelte lr. Fe u set de dte expermetle formte d perech de vlor (x, ). S presupuem c ceste dte r verfc o depedet lr: î cre coefcetuul se deduce d relt: = x + (3) x x ( x ) = (4) x gst î sectue precedet. Dc mrme u este corelt cu x, e c u v creste, c u v scde l orce vrte lu x; c urmre, depedet (x) v f o drept orzotl, cu pt = 0. Vlore lu u pote, îs, dor e, s e permt s e proutm cu certtude supr sete orcre corelt: s-r pute, ueor, s exste, totus, o depedet lr ître s x, dr vlore pte,, s fe forte mc. Deorece dscutm de o relte uvoc dtre s x, m pute, l fel de e, s cosderm pe x c fd fucte s s e puem prolem de verfc î ce msur dtele corespud ue depedete lre de form: x = ' + ' (5) î cre coefcet s dfer, î geerl, de coefcet s d relt (3). O legtur ître cest coefcet exst, î msur î cre vrlele x s sut corelte. Expres pte verse,, este smlr cele lu : = (6) x x ( ) 6

28 Dc o corelte ître x s u exst, depedet x() v f o drept, cu pt = 0 (c s m îte, î czul lu ). As cum m rtt m sus, dc s x sut corelte, exst o corelte s ître vlorle coefcetlor s cu coefcet s. Petru vede cre este cest relte rescrem ecut (5) su form: x ' = = x + (7) ' ' Eglâd coefcet, rezult: ' = = (8) ' ' Dc corelt este complet, tuc =, r dc cest lpseste complet, tuc tât, cât s sut ule. Putem, pr urmre, troduce u coefcet de corelte lr, deft c o msur corelte lre: x x r = (9) x ( x ) ( ) Vlore lu r este cuprs ître 0 (î set corelte) s ± (câd mrmle x s sut complet corelte). Semul lu r este cels cu cel lu s, îs dor modulul lu r este mportt. Este ecesr, l efecture lucrrlor de lortor, c tuc câd se foloseste metod celor m mc ptrte petru determre uor mrm fzce de teres, s determm s coefcetul r, c o msur corelte dtre vrl depedet s ce depedet. 7