4.7 Reprezentarea complexă a seriilor Fourier

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4.7 Reprezentarea complexă a seriilor Fourier"

Transcript

1 4.7 Reprezetre compeă seriior Fourier Presupuem că f ( ) îdepieşte codiţii suficiete petru dezvotre î serie Fourier. Atuci pote fi reprezettă pe [, ] cu seri: f b + ( cos + si ) f cos d,,, b f si d,, Foosid formuee Euer: i e cos + isi i e cos isi vem: i i e + e e cos si i i e e si i Substituid ceste două fucţii obţiem: e + e e e f ( ) + + ib i e i i i i i i Notăm: ib + ib e i + + c ib c e + ib i c i i + ( + ) f c c e c e i f c + c e + c e i

2 i f c + c e + c e i + i i i f ce + c + ce ce + f c e () i Acest este form compeă seriei Fourier. Vom eprim coeficieţii c şi c cu jutoru itegreor. ib c f ( ) cos d i f ( ) si d f ( )( cos i si ) d Formuee petru coeficieţii c, c şi i c f ( ) e d i c f ( ) e d c pot fi combite îtr-o sigură epresie: i c f ( ) e d,, ±, ±, () Coeficieţii f. Observţie: Seriie sut covergete petru u fit, dcă eistă imitee: Fourier v fi: c se umesc coeficieţi Fourier compecşi i fucţiei im + k ce Î geer, petru o fucţie periodică k ik f cu period T, > seri f ( ) + cos + bsi () f ( ) cos d,,,,

3 , cos b si b f ( ) si d,,, +,, se umesc rmoicee fuctiei f mutime coeficietior Fourier, b formez spectru fuctiei f., ir Observtie: Mute procese oscitorii i fizic se modeez cu fuctii f ( ) cu period T, si pot fi fuctii de timp f ( t ) cre reprezit eogti uei oscitii, mrime uei forte su itesitte curetuui eectric. I stfe de situtii seri Fourier pote ve urmtore dezvotre: Nottii: Ude b f ( ) + + b cos + si + b + b b cosϕ siϕ ϕ [, ) + b + b f ( ) + + b cosϕcos + siϕsi f ( ) + Acos ϕ + A b I fizic se spue c procesu oscitor f ( ) se descompue i scitiie rmoice simpe: Acos ϕ Cu frecvetee, mpitudiie A si fzee iitie ϕ. Form compeă seriei () este: î cre coeficieţii sut: + i f c e (4) i c f ( ) e d,, ±, ±, Observţie: Seriie sut covergete petru u fit, dcă eistă imitee:

4 + ik im ce k şi im k + k ce k k i Eempu: Dezvotţi îtr-o serie Fourier compeă fucţi periodică: f ( ), - < <, < T Fucţi îdepieşte codiţiie de dezvotre î serie Fourier. f ( ) + f ce i i i c f ( ) e d e d i i e ( e ) i i i ( cos isi) i +, pr c i, impr i c i + ( ) i e S, (,) (, ) 4.8 Geerizre: Serii Fourier pe sisteme de fucţii ortogoe Aizâd modu de determire coeficieţior Fourier (Teorem, prg. 4.), observăm că rţiometee foosite s-u bzt pe propriette de ortogoitte sistemuui trigoometric. Di cest motiv, este tur c î ocu sistemuui trigoometric de fucţii ortogoe să cosiderăm u sistem orecre de fucţii ortogoe. Î cest fe o fucţie pote fi reprezettă î serie de fucţii ortogoe orecre. Procedâd stfe obţiem serii Fourier geerizte. Sisteme de fucţii ortogoe

5 Notăm cu L [ b ] muţime fucţiior ree defiite şi itegrbie pe [, ], eiste itegr: Fucţiie cotiue pe [, ] b stfe îcât să b f ( ) d< + (5) L, b. b prţi cestei muţimi [ ] { } Defiiţie: U sistem de fucţii ϕ ( ), cu ϕ [ ] se umeşte ortogo pe [ b, ] dcă: ( ϕ, ϕ ) ϕ ( ) ϕ L b, b petru m d (6) λ > petru m m m Acestă codiţie presupue că muţime u re ici o fucţie idetic uă. Norm fucţiior ϕ este: b Dcă î sistemu ortogo ( ) { } sistemu de fucţii ( ) este ortoormt. (, ) ϕ ϕ ϕ ϕ d (7) { } ϕ este uu ortoormt. { } Dcă sistemu ϕ ( ) este ortogo şi ( ) ϕ vem ϕ petru orice, tuci ϕ, tuci sistemu Eempe: ) Sistemu trigoometric:, cos, si, cos, si,,cos, si,,. este ortogo pe [ ] Cum cos si, sistemu următor este ortoormt pe [, ]. ( ) ϕ ϕ, cos, si, cos, si,, cos, si, ) Sistemu de cosiusuri:,cos,cos,,cos, şi sistemu de siusuri: si,si,,si, sut ortogoe pe [ ], dr u şi ortoormte, cos si

6 + cos d d + cos si ) Poiomee Legedre se defiesc cu formu Rodrigues: P ( ) ( ) d,,,, (8)! d Poiomee Legedre P [, + ]. Şiru de fucţii: P ( ), P( ) Figur 4. ( ) d,! d d ( ) P ( ) etc.! d + formeză u şir ortogo î rport cu produsu di L pe, m P( ) Pm( ) d, m +

7 ϕ +,,,, ( ) P ( ) formeză u sistem ortoormt pe [,]. Proprietăţi: ) Poiomee Legedre sut souţii petru ecuţi difereţiă: + + P ( ) ) Pritte: P P( ) ) Mărgiire: P ( ), [,] 4) Vori prticure: P (), P ( ) ( ), 5) Formue de recureţă: P + ( ) P ( ) ( ) P ( ) P ( ) ( + ) P P P + P P P P + P + P utiă petru itegrre Eerciţiu: Arătăm că poiomee Legedre sut ortogoe pe [,]. Presupuem m >. + + ( m ) ( ) d d P P d d m m+ m m!! d d ( m ) d ( ) m + d d d m+ m m!! d d d m m d d d d m!! d d d d ( ) ( + + ) ( ) ( ) + m m m+ m + m m ( ) ( ) + d d m!! d d m + m+ m + m d

8 Itegrăm de ori pri părţi şi obţiem: ( m + m ) d d ( ) m!! d d m+ m m + m ( ) ( )! d ( ) m+ m d m!! d Deorece tote derivtee fucţiei itervuui [,]. m d pâă ordiu m se ueză cpetee { } Defiiţie: U sistem de fucţii ϕ ( ) se umeşte ortogo pe (, ) podere ρ ( ) dcă petru orice,, eistă itegree: b î rport cu b, petru m ρ( ) ϕm( ) ϕ( ) d (9) λ >, petru m b, cu o ecepţie posibiă îtr- Se presupue că fucţi podere ρ ( ) este pozitivă pe (, ) u umăr fiit de pucte ude ρ ( ) este zero. Eempu: Poiomee Hermite defiite cu formu Rodrigues: de,,,, H e H ( ), H () d H 4, etc., Se pote răt că poiomee Hermite sut ortogoe pe cu podere ρ ( ) dică e,, m e Hm( ) H( ) d!, m ()

9 Figur 4. Proprietăţi: ) Poiomee Hermite sut souţii petru ecuţi difereţiă: H ) Pritte: H ( ) ( ) H ( ) ) Formue de recureţă: + H H + H + H H H H H + e H+ e H Serii Fourier pe u sistem ortogo ϕ { } Fie u sistem ortogo de fucţii ( ) pe (, ) cϕ( ) cϕ( ) cϕ( ) covergetă pe iterv f ( ): Îmuţid cu ( ) k b şi fie seri: ϕ ϕ ϕ f c + c + + c + ϕ şi itegrâd după de b, cu jutoru ortogoităţii obţiem:

10 su b f ( ) ϕ ( ) d c ϕ ( ) ϕ ( ) d b k k ϕ ϕ f d c d b b k k ck b f ( ) ϕk ( ) d ϕ d c k k ( f ϕ ), k k b, k,, ϕ () Eempe: ) Fie f :[,] defiită pri f ( ) Să se dezvote fucţi f î serie Fourier-Legedre. [ ) [ ],,,,, (,) f cp + c f ( ) P ( ) d + + c ( ) P d P + P d + ( ) ( () () ) P P P P P P Cum P (), c ( P ( ) P+ ( ) ) c P d f ( ) + P ( ) P+ ( ) P( ) ) Să se dezvote î serie Fourier-Hermite fucţi f : defiită pri: Dezvotre este de form: f ( ), <, >

11 f ch ( )! c e H d ( )! c e H ( ) d! e H! e H e H! ( ) ( ) e H e H + c e H! c e d erf Ude, erf este fucţi erorior defiită pri: def t erf e dt Dezvotre petru fucţi dtă este: e H ( ) f ( ) erf H ( )!, Cp.5 Ecuţii difereţie de ordiu îtâi 5. Noţiui eemetre O ecuţie difereţiă ordiră este o ecuţie de tipu ( ) F,,,, () cre pue î reţie o vribiă idepedetă, fucţi ecuoscută ( ) ( derivtee cestei ( ), ( ),, ) ( ) de rgumetee se. Ce mi simpă ecuţie difereţiă este: şi. Î cest cotet, F este o fucţie cuoscută

12 f ( ) () ude f ( ) este o fucţie dtă, cotiuă pe u iterv ( b, ), ir ( ) este fucţi ecuoscută. Ecuţii simire pr î ccuu itegr. Adică, fiid dtă o fucţie f ( ), trebuie determită o primitivă s F ( ). Astfe, o fucţie cre verifică ecuţi () re form: ude F ( ) este o primitivă ui f ( ) pe (, ) Fucţi căuttă ( ) F + C () b, ir C este o costtă rbitrră. u este uic determită de ecuţi (). Defiiţie: Ordiu uei ecuţii difereţie este ordiu ce mi mre derivteor prezete î ecuţie. Eempu: Ecuţi + este o ecuţie difereţiă de ordiu doi. Fucţi ( ) si este o souţie cestei ecuţii difereţie pe itervu (, + ) Defiiţii: Rezovre uei ecuţii difereţie se umeşte itegrre ecuţiei difereţie. Grficu uei souţii uei ecuţii difereţie se umeşte curbă itegră ecuţiei. Probem : Determiţi o curbă stfe îcât pt curbei î fiecre puct să fie egă cu ordot puctuui respectiv. Fie ( ) ecuţi curbei căutte. Pt curbei este tgα ( ). Propriette curbei di euţ este descrisă de ecuţi difereţiă de ordiu îtâi: d d d d d d + C C e + Ce Coform itegrării de mi sus, ecuţi re u umăr ifiit de souţii: ( ) e Ce, ude C este o costtă. Probem : Determiţi ege mişcării rectiiii uui puct mteri cre se mişcă cu o cceerţie costtă.

13 Fie s s() t ege de mişcre căuttă. Di euţ vem următore ecuţie difereţiă de ordiu doi petru cestă fucţie: ds dt Pri două itegrări succesive obţiem: ds t C dt + t s() t + Ct + C Costtee de itegrre C, C pot fi determite impuâd codiţii iiţie. ds s s t t v dt t t t s + Ct + C v t + C t C v t C s ( v t) t ( t ) t s() t s + v( t t) + Fie F(,, ) o ecuţie difereţiă de ordiu îtâi. Dcă este rezovbiă î, obţiem o tă formă ecuţiei: f, (5) ude f (, ) este o fucţie cuoscută î rgumetee se. O tă formă echivetă ecuţiei este: su, mi geer: d f, d (6) M, d+ N, d (7) Acestă ecuţie este obţiută di precedet pri îmuţire cu o fucţie N(, ). Fucţiie M (, ) şi N(, ) sut fucţii cuoscute. Două ecuţii difereţie (,, ) F şi F (,, ) sut echivete pe u domeiu, dcă orice souţie ( ) uei ecuţii difereţie este souţie şi petru cetă ecuţie şi vice vers.

14 O ecuţie difereţiă pote ve şi o ifiitte de souţii. Petru preciz o f, trebuie să impuem o codiţie iiţiă, dică să umită souţie ecuţiei presupuem că o umită vore vribiei fucţi căuttă i o umită vore : (8) su Geometric, codiţi iiţiă impică precizre uui puct (, ) v trece curb itegră căuttă. M pri cre Defiiţie: Probem determiării ceei souţii ecuţiei f (, ) codiţi supimetră ( ) cre verifică, se umeşte probemă Cuch su probemă iiţiă. (, ) f 5. Souţi probemei Cuch petru ecuţiie difereţie de ordiu îtâi Teorem : (eisteţ şi uicitte souţiei probemei Cuch) Fie: (, ) f (9) o ecuţie difereţiă de ordiu îtâi şi fie f (, ) di pu. Dcă eistă o veciătte Ω uui puct (, ) f (, ) (i) este cotiuă î tote rgumetee (ii) re derivtă prţiă f / mărgiită o fucţie defiită pe u domeiu D M di D, pe cre tuci eistă u iterv ( h, + h) pe pe cre eistă o souţie uică ϕ ( ) ecuţiei (9) stfe îcât ϕ ( ). Geometric, îsemă că pri puctu (, ) petru ecuţi (9). M trece o curbă itegră şi umi u

15 Figur 5. Observţie: Teorem re tură ocă: grteză umi eisteţ uei souţii uice ϕ petru ecuţi (9) îtr-o veciătte mică puctuui. Ecuţi (9) re u umăr ifiit de souţii (de eempu, o souţie cărui grfic trece pri (, ) souţie cărui grfic trece pri (, ), şi ş mi deprte). Eempe:. Cosiderăm ecuţi +, tă Fucţi f (, ) + este defiită şi cotiuă î tote puctee puui şi f / peste tot. Cu teorem, pri fiecre puct (, ) puui trece o curbă itegră ecuţiei.. Cosiderăm ecuţi Fucţi f, este defiită şi cotiuă î tote puctee puui şi f şi tide ifiit petru. A dou codiţie di teorem u este îdepiită pe. Pri itegrre, obţiem ( + C), C souţie ecuţiei dte. d d d d / / + C / C + + C Mi mut, şi este souţie ecuţiei dte. Dcă căutăm o souţie ecuţiei dte cre să stisfcă codiţi, obţiem mi mute souţii, c de eempu:,,,, >, <,,

16 Astfe, pri fiecre puct ei trec ce puţi două curbe itegre, şi souţi u este uică pe cestă ă. Figur 5. Observţie: Dcă cosiderăm puctu M (,), pe o veciătte suficiet de mică cestui, codiţiie di teorem sut stisfăcute. Î coseciţă, pri cest puct, îtr- u mic pătrt Ω, trece umi curb itegră ecuţiei. Dcă cosiderăm u pătrt Ω suficiet de mre (să itersecteze ), tuci u vom mi ve souţie uică. Acest ucru cofirmă crcteru oc teoremei. Precizre: Teorem furizeză codiţii suficiete petru eisteţ uei souţii uice ecuţiei f (, ). Pote eist o souţie uică ( ) petru ecuţi f (, ) cre să stisfcă codiţi ( ), deşi u su mbee codiţii di teorem u sut îdepiite. Eempu: Ecuţi tote că f / u este mărgiită. re souţi uică ( ) cre trece pri, cu d d d d + C ( + C) C? ( + C ) C ( ) Dcă reuţăm mărgiire ui f / obţiem o teoremă de eisteţă souţiei: Teorem : (eisteţ souţiei probemei Cuch) Dcă fucţi f (, ) pe o veciătte puctuui (, ), tuci ecuţi f (, ) ϕ ( ) i vore. cre î Defiiţie: O souţie geeră ecuţiei difereţie este cotiuă re ce puţi o souţie

17 (, ) f () pe u domeiu Ω de eisteţă şi uicitte souţiei probemei Cuch este o fmiie ϕ C, cre depid de şi de o costtă rbitrră uiprmetrică S de fucţii (prmetru), stfe îcât: Petru orice C permis, fucţi ϕ (, ) (), dică C S este o souţie petru ecuţi (, ), ϕ(, ), ( h, + h) ϕ C f C Oricre r fi codiţi iiţiă ( ) îcât souţi ϕ Observţie: s- presupus că (, ) souţiei probemei Cuch., eistă o vore C petru C stfe,c să stisfcă codiţi iiţiă ϕ ( C ), prţie domeiuui Ω de eisteţă şi uicitte Eempu: Arătţi că ecuţi re souţi geeră + C, cu C costtă rbitrră. Îtr-devăr, f (, ) şi codiţiie di teorem sut stisfăcute peste tot. Atuci, pri fiecre puct (, ) puui trece o sigură curbă itegră ecuţiei difereţie dte. Vom test cee două codiţii di defiiţi souţiei geere: C vem ( + C) stfe îcât + C este o souţie ecuţiei dte. Dcă impuem codiţi iiţiă ( ), obţiem + C şi C. Atuci, souţi + este î cord cu codiţi iiţiă. Defiiţie: O souţie prticură ecuţiei difereţie f (, ) este o souţie dedusă di souţi geeră petru o vore preciztă ui C. Observţie: Souţi geeră ecuţiei difereţie pote fi defiită c fiid muţime tuturor souţiior prticure. Atuci câd itegrăm o ecuţie difereţiă jugem dese itegr geeră, o ecuţie de form: φ,, C () cre defieşte impicit souţi geeră ecuţiei difereţie iiţie ().

18 Ecuţi (,, C ) φ () cu C vore fită petru C, se umeşte itegră prticură. Eempu: Rezovţi probem Cuch: + d d + d + d d d + rctg + C rctg + C itegr geeră tg( + C) souţi geeră tg C C rctg 4 tg + souţi prticură 4 Defiiţie: O souţie ψ ( ) ecuţiei difereţie f (, ) se umeşte sigură, dcă propriette de uicitte u este îdepiită î fiecre puct său, dică pri fiecre,, pe âgă cestă souţie, v trece şi o tă souţie ecuţiei cre u puct său ( ) coicide cu ψ ( ) pe o veciătte puctuui (, ). Grficu uei souţii sigure se umeşte curbă itegră sigură ecuţiei. Geometric, cest este o îfăşurătore fmiiei de curbe itegre e ecuţiei (itegr geeră). Îfăşurătore uei fmiii de curbe φ (,, C) este o curbă cre î fiecre puct este tgetă câte o curbă di fmiie. f, stisfce codiţiie di Dcă pe u domeiu D puui, ecuţi teorem, tuci pri fiecre puct (, ) D trece o sigură curbă itegră ϕ( ) ecuţiei. Acestă curbă prţie fmiiei uiprmetrice φ (,, C) curbeor cre formeză itegr geeră ecuţiei şi se obţie di cestă fmiie, petru o vore preciztă ui C, dică este o itegră prticură ecuţiei. Nu este posibi c te souţii să trecă pri (, ). f, să ibă o souţie sigură este ecesr Petru c ecuţi difereţiă să u fie stisfăcute codiţiie di teorem. Dcă fucţi ( ) f, di ecuţi difereţiă este cotiuă pe D, tuci o souţie sigură pote trece umi pri puctee î cre derivt f / este emărgiită. Eempu: Cosiderăm ecuţi difereţiă: ()

19 Fucţi f, este cotiuă î tote puctee puui, dr derivt f tide ifiit petru, dică pe. Ecuţi re souţi geeră ( + C), dică o fmiie de prboe cubice, şi souţi evidetă, souţie cre trece pri puctee î cre derivt f / este emărgiită. Souţi este u sigură, deorece pri fiecre puct său trec tât prbo cubică cât şi drept. Astfe, î fiecre puct souţiei propriette de uicitte u este îdepiită. Souţi sigură u rezută di souţi geeră ( + C) ici o vore umerică ui C. Observţie: Di teorem putem deduce codiţii ecesre petru souţie sigură. Dcă muţime de pucte î cre derivt f / este emărgiită, este o curbă, se pote c cest să u fie o souţie sigură, dcă u este măcr curbă itegră ecuţiei difereţie î cuză. De eempu, dcă î ocu ecuţiei () cosiderăm: +, ct, (4) tuci pe drept codiţi de mărgiire ui f / este îcă eîdepiită, dr cestă dreptă u este curbă itegră petru ecuţi (4). f, trebuie: Î cocuzie, petru găsi souţii sigure petru ecuţi Găsită muţime de pucte î cre f / este emărgiită. Dcă cestă muţime formeză u su mi mute curbe, se verifică dcă ee sut su u curbe itegre petru ecuţie. Dcă curbee sut itegre, se verifică dcă propriette de uicitte este îdepiită su u î tote puctee cestor. Dcă tote ceste codiţii sut îdepiite, curb este souţie sigură petru ecuţi f,. difereţiă Probeme: ) Determiţi souţii sigure petru ecuţi: f, este defiită şi cotiuă petru. Fucţi f ( )

20 Derivt f / este emărgiită pe dreptee şi. Cee două drepte sut curbe itegre petru ecuţi difereţiă dtă. Petru verific propriette de uicitte î puctee cestor curbe (drepte) căutăm souţi geeră itegrâd: d d d, d ( C), rcsi + C si + este souţi geeră ecuţiei difereţie dtă. Figur 5. Pri fiecre puct souţiei si + C şi drept. Astfe, î fiecre puct souţiei uicitte este u este îdepiită. Simir se îtâmpă şi petru. Cee două drepte sut souţii sigure. trec două curbe: siusoid ) Determiţi souţii sigure petru ecuţi: f (, ) f Derivt f / este emărgiită pe dreptee şi. Cee două drepte sut curbe itegre petru ecuţi difereţiă dtă. Petru verific propriette de uicitte î puctee cestor curbe (drepte) căutăm souţi geeră itegrâd: d d d + c d C + + este itegr geer ecutiei diferetie.

Cap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D

Cap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn. 86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.

CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite. CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

4. Integrale improprii cu parametru real

4. Integrale improprii cu parametru real 4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie

Διαβάστε περισσότερα

6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU

6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU 6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU 6.1. Noţiui teoretice şi rezultte fudmetle 6.1.1. Metod lui Droux de defii itegrl simplă Fie [, ] u itervl. Descompuem itervlul [, ] îtr-u umăr orecre

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.

CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora. Cp PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METOE GENERALE E CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î cest prgrf vom remiti oţiue de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele geerle de clcul le cestor efiiţi Fie f : I,

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

REZIDUURI ŞI APLICAŢII

REZIDUURI ŞI APLICAŢII Mtemtici specile şi metode umerice EZIDUUI ŞI APLICAŢII. Formule petru reiduuri Câd sigulrităţile du vlore şi uţ. Teorem reiduurilor Defiiţi. Fie f() o fucţie cre re î C u pol su u puct sigulr eseţil iolt.

Διαβάστε περισσότερα

REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita

REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem

Διαβάστε περισσότερα

4. Serii de numere reale

4. Serii de numere reale I. (,) lim x lim + II. x şi lim x III. > x ( + ) ( + ) şi cum lim ( >) ; lim x lim lim lim x + ; (,) (, ). 4. Serii de umere rele Coceptul de serie umerică este o geerlizre turlă oţiuii de sum fiită de

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire

4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire 4.7. Sbilie sisemelor liire cu o irre şi o ieşire Se spue că u sisem fizic relizbil ese sbil fţă de o siuţie de echilibru sţior, dcă sub cţiue uei perurbţii eeriore (impuls Dirc) îşi părăseşe sre de echilibru

Διαβάστε περισσότερα

DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR

DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR Drumuri, rce, lugimi Virgil-Mihil Zhri DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR FucŃiile cu vrińie mărgiită u fost itroduse de Jord Cmille (88-9) şi utilizte de el cu oczi studiului prolemei rectificilităńii curelor,

Διαβάστε περισσότερα

Inegalitati. I. Monotonia functiilor

Inegalitati. I. Monotonia functiilor Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite

Διαβάστε περισσότερα

Exerciţii de Analiză Matematică

Exerciţii de Analiză Matematică Exerciţii de Aliză Mtemtică October, 5 Şiruri si serii de umere rele. Să se stbilescă dcă şirul cu termeul geerl x =... este su u fudmetl.. Petru răt că şirul este fudmetl: Petru răt că şirul este fudmetl:

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.

Διαβάστε περισσότερα

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 4 REZOLVAREA ECUAŢIILOR NELINIARE

CAPITOLUL 4 REZOLVAREA ECUAŢIILOR NELINIARE Tri CICNE Metode umerice î igieri ecoomică CAPITLUL 4 REZLVAREA ECUAŢIILR NELINIARE Rezolvre uei ecuţii eliire pre prctic î orice modelre mtemtică uei proleme fizice. Cu ecepţi uor czuri forte prticulre,

Διαβάστε περισσότερα

ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII

ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII GAVRIIL PĂLTINEANU PAVEL MATEI ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII Bucureşti 7 Referet ştiiţific: prof uiv dr ILEANA TOMA Uiversitatea Tehică de Costrucţii Bucureşti PREFAŢĂ

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

Integrale cu parametru

Integrale cu parametru 1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

Polinoame.. Prescurtat putem scrie. sunt coeficienţii polinomului cu a. este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi.

Polinoame.. Prescurtat putem scrie. sunt coeficienţii polinomului cu a. este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi. Poliome ) Form lgebrică uui poliom Pri form lgebrică su form coică îţelegem f X X X Prescurtt putem scrie f X,,, sut coeficieţii poliomului cu, se umeşte coeficiet domit şi X terme domit tuci poliomul

Διαβάστε περισσότερα

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii. Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă

Διαβάστε περισσότερα

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.

Διαβάστε περισσότερα

Transformata z (TZ) TZ este echivalenta Transformatei Laplace (TL) in domeniul sistemelor discrete. In domeniul sistemelor continui: Sistem continuu

Transformata z (TZ) TZ este echivalenta Transformatei Laplace (TL) in domeniul sistemelor discrete. In domeniul sistemelor continui: Sistem continuu Prelucrre umeric semlelor Trsformt Trsformt este echivlet Trsformtei Lplce TL i domeiul sistemelor discrete. I domeiul sistemelor cotiui: xt s Sistem cotiuu yt Ys ht; Hs I domeiul sistemelor discrete:

Διαβάστε περισσότερα

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011 Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila

Διαβάστε περισσότερα

CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA

CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA î ul uiversitr 9 PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii lor

Διαβάστε περισσότερα

IV.3. Factorul de condiţionare al unei matrice

IV.3. Factorul de condiţionare al unei matrice IV.3. Fctorul de codiţiore l uei mtrice defieşte pri Defiiţie. Fctorul de codiţiore l uei mtrice pătrte A M, (R) se cod(a) = A A - ude este o orm opertorilă mtricei A (de exemplu, su ). Pri coveţie cod(a)

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii

Seminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur

Διαβάστε περισσότερα

Tema 4. Primitiva şi integrala Riemann. Aplicaţii. Modulul Primitiva. Aplicaţii

Tema 4. Primitiva şi integrala Riemann. Aplicaţii. Modulul Primitiva. Aplicaţii Tem 4 Primitiv şi itegrl Riem. Alicţii. Modulul 4. - Primitiv. Alicţii Noţiue de rimitivă s- degjt di licţiile mtemticii î situţii cocrete, cre costă î determire modelului mtemtic l uui roces tuci câd

Διαβάστε περισσότερα

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru

Διαβάστε περισσότερα

lim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;

lim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D; Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α,

Διαβάστε περισσότερα

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017 Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi

Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu

Διαβάστε περισσότερα

Şiruri recurente. Mircea Buzilă. 2009, Editura Neutrino Titlul: Şiruri recurente Autor: Mircea Buzilă ISBN

Şiruri recurente. Mircea Buzilă. 2009, Editura Neutrino Titlul: Şiruri recurente Autor: Mircea Buzilă ISBN Mirce Buzilă Şiruri recurete Editur eutrio 9 9 Editur eutrio Titlul: Şiruri recurete utor: Mirce Buzilă SB 978-97-896-7-9 Descriere CP Bibliotecii ţiole Roâiei BUZLĂ MRCE Şiruri recurete / Mirce Buzilă.

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI 122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ. pentru examenul de bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA

TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ. pentru examenul de bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ petru emeul de bcluret şi dmitere î îvăţămâtul superior l UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Integrarea funcţiilor trigonometrice. t t. 2sin cos 2tg. sin + cos 1+ cos sin 1 tg t cos + sin 1+ x 1

3.4 Integrarea funcţiilor trigonometrice. t t. 2sin cos 2tg. sin + cos 1+ cos sin 1 tg t cos + sin 1+ x 1 3.4 Iegrre fucţiilor rigoomerice ) R( si,cos ) d Susiuţi recomdă ese: uei fucţii rţiole. g =, (, ) şi iegrl dă se reduce l iegrre si cos si cos g si + cos + g = = = + cos si g cos + si + g = = = + = rcg

Διαβάστε περισσότερα

Adrian Stan Editura Rafet 2007

Adrian Stan Editura Rafet 2007 Dreptul de copyright: Crte dowlodtă de pe site-ul www.mteifo.ro u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului Adri St Editur Rfet 007

Διαβάστε περισσότερα

6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII

6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII 7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

def def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a

def def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât

CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

0 z z < r ea admite o dezvoltare în serie Laurent. n n. din dezvoltarea în serie Laurent în vecinătatea punctului z. z (notat { } { } = ρ

0 z z < r ea admite o dezvoltare în serie Laurent. n n. din dezvoltarea în serie Laurent în vecinătatea punctului z. z (notat { } { } = ρ CAPITOLUL ME5 5 eiduuri Teore reiduurilor Defiiţi reiduului Fie w o fucţie litică vâd î u puct sigulr iolt Atuci îtr-o coroă circulră < r e dite o devoltre î serie Luret < w c Se ueşte reiduu l fucţiei

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ

COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ LUCRARE CONCEPUTĂ ȘI REALIZATĂ DE COLECTIVUL CLASEI XII- A, PROFIL REAL, SPECIALIZAREA MATEMATICĂ-INFORMATICĂ.

Διαβάστε περισσότερα

ANEXA., unde a ij K, i = 1, m, j = 1, n,

ANEXA., unde a ij K, i = 1, m, j = 1, n, ANEXA ANEXĂ MATRICE ŞI DETERMINANŢI Fie K u corp şi m N* = N \ {} Tbloul dreptughiulr A = ude ij K i = m j = m m m se umeşte mtrice de tip (m ) cu elemete di corpul K Mulţime mtricelor cu m liii şi coloe

Διαβάστε περισσότερα

OperaŃii cu numere naturale

OperaŃii cu numere naturale MulŃime umereleor turle www.webmteifo.com Petru scrie u umr orecre trebuie s combim itre ele uele ditre cele 0 simboluri: 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9.Aceste simboluri se umesc cifre. Ele sut de origie rb. Ν =

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe

Διαβάστε περισσότερα

9. Polinoamele Taylor asociate unor funcţii (I. Boroica) 9.1. Formulele lui Taylor şi polinoamele Taylor asociate funcţiilor elementare

9. Polinoamele Taylor asociate unor funcţii (I. Boroica) 9.1. Formulele lui Taylor şi polinoamele Taylor asociate funcţiilor elementare lgeră Cupris Mtrice de ordi doi şi plicţii (IDicou VPop Mtrice de ordi doi Proleme rezolvte Teorem lui Cle- Hmilto 4 Proleme rezolvte 5 Determire puterilor turle le uei mtrice de ordi doi 6 Proleme rezolvte

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS ALGEBRÃ... 5 I. Elemente de logicã matematicã... 5 I.1. Noţiunea de propoziţie... 5 I.2. Operatori logici... 5 I.3. Expresii în calculul

CUPRINS ALGEBRÃ... 5 I. Elemente de logicã matematicã... 5 I.1. Noţiunea de propoziţie... 5 I.2. Operatori logici... 5 I.3. Expresii în calculul Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic UPRINS ALGEBRÃ. 5 I. Elemete de logicã mtemticã 5 I.. Noţiue de propoziţie 5 I.. Opertori logici.. 5 I.. Epresii î clculul propoziţiilor 7 I.4. Noţiue de predict

Διαβάστε περισσότερα

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii. 5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare

Διαβάστε περισσότερα

sin d = 8 2π 2 = 32 π

sin d = 8 2π 2 = 32 π .. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL

ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL CAPITOLUL 4 ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL 4 Itoducee Clculul viţiol se ocupă cu studiul etemelo petu o clsă specilă de fucţii umite fucţiole Aceste fucţiole sut defiite pe sumulţimi le uo spţii de fucţii

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme

Διαβάστε περισσότερα

Dreptul de copyright: Cartea downloadată de pe site-ul nu poate fi publicată pe un alt site şi nu poate fi folosită în scopuri

Dreptul de copyright: Cartea downloadată de pe site-ul   nu poate fi publicată pe un alt site şi nu poate fi folosită în scopuri reptul de copyright: rte dowlodtă de pe site-ul www.mteifo.ro u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului, Refereţi ştiiţifici: Profesor

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ MATEMATICI SUPERIOARE

UNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ MATEMATICI SUPERIOARE UNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ DEPARTAMENTUL PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ MATEMATICI SUPERIOARE PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNTUL LA DISTANŢĂ - Ediţie reviuită - Lector Agel Picu Editur Uiversităţii

Διαβάστε περισσότερα

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi

Διαβάστε περισσότερα

2) Numim matrice elementara o matrice:

2) Numim matrice elementara o matrice: I TRANSFORMARI ELEMENTARE ) Cre di urmtorele opertii efectute supr uei mtrice este trsformre elemetr: ) dure uei liii l o colo; b) imultire uei liii cu sclrul α = c) schimbre dou liii itre ele; d) dure

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z : Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet

Διαβάστε περισσότερα

Integrale generalizate (improprii)

Integrale generalizate (improprii) Integrle generlizte (improprii) Fie f : [, ] R, definită prin =, α > 0. Pentru u, funţi α f este integrilă pe intervlul [, u] şi u ln α+ α+ u u = ( α)u α α, α = ln u, α =. Dă treem l limită pentru u oţinem

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

DUMITRU BUŞNEAG PROBLEME ALGEBRĂ

DUMITRU BUŞNEAG PROBLEME ALGEBRĂ DUMITRU BUŞNEAG FLORENTINA CHIRTEŞ DANA PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Dumitru BUŞNEAG Floreti CHIRTEŞ D PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Dumitru BUŞNEAG Floreti CHIRTEŞ D PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Editur UNIVERSITARIA

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008 Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot

Διαβάστε περισσότερα

ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE

ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8. ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8.. Şiruri de variabile aleatoare Î teoria probabilităţilor şi î aplicaţiile ei o problemă importată o costituie studiul şirurilor de variabile aleatoare,

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs

Διαβάστε περισσότερα

Lucian Maticiuc SEMINAR 1 3. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1. Să se arate că. f (x) dx = 0. Rezolvare:

Lucian Maticiuc SEMINAR 1 3. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1. Să se arate că. f (x) dx = 0. Rezolvare: Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC. Să se rte că Rezolvre: SEMINAR

Διαβάστε περισσότερα

1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...

1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii... Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,

Διαβάστε περισσότερα

1. PROBLEMA LUNII NOIEMBRIE 2017 (EN/RO)... pag.2 Marin Chirciu

1. PROBLEMA LUNII NOIEMBRIE 2017 (EN/RO)... pag.2 Marin Chirciu revist@teiforo PROBEMA UNII NOIEMBRIE 07 EN/RO pg Mri Chirciu SOUȚII - PROBEMA UNII OCTOMBRIE 07 pg 3 Măescu Avr Coreliu Alte soluții dte de : Gheorghe Alexe, George-lori Șerb Rox, Mri Chirciu, Octvi Stroe,

Διαβάστε περισσότερα

5. PROBABILITĂŢI Evenimente

5. PROBABILITĂŢI Evenimente 5 PROBABILITĂŢI Teoria probabilităţilor este u domeiu importat al matematicii, apărut di activităţi şi ecesităţi practice ale oameilor sau di observaţii directe asupra aturii Î viaţa de zi cu zi se îtâlesc

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior 4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã

Διαβάστε περισσότερα

x x m Δx. Rezulta deci că adevătata valoare a mărimii căutate va fi cuprinsă între limitele:

x x m Δx. Rezulta deci că adevătata valoare a mărimii căutate va fi cuprinsă între limitele: ERORI DE MĂSURĂ L efecture uei determiări, pri repetre celeişi măsurători, reliztă î codiţii idetice, se oţi rezultte diferite, difereţele fiid î geerl mici. Acest fpt dovedeşte că măsurătorile efectute

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert

Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii ormate. Spaţii Hilbert Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

CURS I II. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1 Integrabilitate Riemann. Criterii de integrabilitate

CURS I II. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1 Integrabilitate Riemann. Criterii de integrabilitate Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC CURS I II Cpitolul I: Integrl

Διαβάστε περισσότερα

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.

Διαβάστε περισσότερα

Analiză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie

Analiză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie Aaliză I Curs Curs Şiruri de umere: D : Fie u şir de umere (a ), a. Spuem că dacă ( )M 0, a.î. a M. (a ) este mărgiit D : Spuem că (a ) coverge către l dacă ( )V (l), ( )N (V ) şi N (V ) a V. D 3 : a l

Διαβάστε περισσότερα

6. Rezolvarea numerică a problemei Cauchy pentru ecuaţii diferenţiale

6. Rezolvarea numerică a problemei Cauchy pentru ecuaţii diferenţiale Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile 9 6 Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile 6 Geelităţi Ecuţiile dieeţile epezită uul dite cele mi impotte istumete mtemtice eces petu îţeleee

Διαβάστε περισσότερα

λ C valoare proprie a matricei A dacă x, x 0

λ C valoare proprie a matricei A dacă x, x 0 ALULUL NUMERI AL VALORILOR PROPRII ŞI AL VETORILOR PROPRII A mtrice pătrtică de ordiul cu elemete rele vlore proprie mtricei A dcă, R : A ; () vector propriu l mtricei A socit vlorii () (A I), I mtrice

Διαβάστε περισσότερα

Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial

Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul difereţial MATHEMATICAL ANALYSIS Differetial calculus The preset book is the first part of the cours of Mathematical Aalysis give by the author for may years

Διαβάστε περισσότερα

TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE. Prof. dr. ing. Valer DOLGA,

TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE. Prof. dr. ing. Valer DOLGA, TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE Prof. dr. ig. Vler DOLGA, Curi_7_ Aliz i ruul iemelor liire i domeiul im II. Sieme de ordiul. Ruul iemului l emle drd imul uir re uir rm 3. Noiui rivid clie iemului de ordiul

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =

Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n = Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα