4.7 Reprezentarea complexă a seriilor Fourier

Transcript

1 4.7 Reprezetre compeă seriior Fourier Presupuem că f ( ) îdepieşte codiţii suficiete petru dezvotre î serie Fourier. Atuci pote fi reprezettă pe [, ] cu seri: f b + ( cos + si ) f cos d,,, b f si d,, Foosid formuee Euer: i e cos + isi i e cos isi vem: i i e + e e cos si i i e e si i Substituid ceste două fucţii obţiem: e + e e e f ( ) + + ib i e i i i i i i Notăm: ib + ib e i + + c ib c e + ib i c i i + ( + ) f c c e c e i f c + c e + c e i

2 i f c + c e + c e i + i i i f ce + c + ce ce + f c e () i Acest este form compeă seriei Fourier. Vom eprim coeficieţii c şi c cu jutoru itegreor. ib c f ( ) cos d i f ( ) si d f ( )( cos i si ) d Formuee petru coeficieţii c, c şi i c f ( ) e d i c f ( ) e d c pot fi combite îtr-o sigură epresie: i c f ( ) e d,, ±, ±, () Coeficieţii f. Observţie: Seriie sut covergete petru u fit, dcă eistă imitee: Fourier v fi: c se umesc coeficieţi Fourier compecşi i fucţiei im + k ce Î geer, petru o fucţie periodică k ik f cu period T, > seri f ( ) + cos + bsi () f ( ) cos d,,,,

3 , cos b si b f ( ) si d,,, +,, se umesc rmoicee fuctiei f mutime coeficietior Fourier, b formez spectru fuctiei f., ir Observtie: Mute procese oscitorii i fizic se modeez cu fuctii f ( ) cu period T, si pot fi fuctii de timp f ( t ) cre reprezit eogti uei oscitii, mrime uei forte su itesitte curetuui eectric. I stfe de situtii seri Fourier pote ve urmtore dezvotre: Nottii: Ude b f ( ) + + b cos + si + b + b b cosϕ siϕ ϕ [, ) + b + b f ( ) + + b cosϕcos + siϕsi f ( ) + Acos ϕ + A b I fizic se spue c procesu oscitor f ( ) se descompue i scitiie rmoice simpe: Acos ϕ Cu frecvetee, mpitudiie A si fzee iitie ϕ. Form compeă seriei () este: î cre coeficieţii sut: + i f c e (4) i c f ( ) e d,, ±, ±, Observţie: Seriie sut covergete petru u fit, dcă eistă imitee:

4 + ik im ce k şi im k + k ce k k i Eempu: Dezvotţi îtr-o serie Fourier compeă fucţi periodică: f ( ), - < <, < T Fucţi îdepieşte codiţiie de dezvotre î serie Fourier. f ( ) + f ce i i i c f ( ) e d e d i i e ( e ) i i i ( cos isi) i +, pr c i, impr i c i + ( ) i e S, (,) (, ) 4.8 Geerizre: Serii Fourier pe sisteme de fucţii ortogoe Aizâd modu de determire coeficieţior Fourier (Teorem, prg. 4.), observăm că rţiometee foosite s-u bzt pe propriette de ortogoitte sistemuui trigoometric. Di cest motiv, este tur c î ocu sistemuui trigoometric de fucţii ortogoe să cosiderăm u sistem orecre de fucţii ortogoe. Î cest fe o fucţie pote fi reprezettă î serie de fucţii ortogoe orecre. Procedâd stfe obţiem serii Fourier geerizte. Sisteme de fucţii ortogoe

5 Notăm cu L [ b ] muţime fucţiior ree defiite şi itegrbie pe [, ], eiste itegr: Fucţiie cotiue pe [, ] b stfe îcât să b f ( ) d< + (5) L, b. b prţi cestei muţimi [ ] { } Defiiţie: U sistem de fucţii ϕ ( ), cu ϕ [ ] se umeşte ortogo pe [ b, ] dcă: ( ϕ, ϕ ) ϕ ( ) ϕ L b, b petru m d (6) λ > petru m m m Acestă codiţie presupue că muţime u re ici o fucţie idetic uă. Norm fucţiior ϕ este: b Dcă î sistemu ortogo ( ) { } sistemu de fucţii ( ) este ortoormt. (, ) ϕ ϕ ϕ ϕ d (7) { } ϕ este uu ortoormt. { } Dcă sistemu ϕ ( ) este ortogo şi ( ) ϕ vem ϕ petru orice, tuci ϕ, tuci sistemu Eempe: ) Sistemu trigoometric:, cos, si, cos, si,,cos, si,,. este ortogo pe [ ] Cum cos si, sistemu următor este ortoormt pe [, ]. ( ) ϕ ϕ, cos, si, cos, si,, cos, si, ) Sistemu de cosiusuri:,cos,cos,,cos, şi sistemu de siusuri: si,si,,si, sut ortogoe pe [ ], dr u şi ortoormte, cos si

6 + cos d d + cos si ) Poiomee Legedre se defiesc cu formu Rodrigues: P ( ) ( ) d,,,, (8)! d Poiomee Legedre P [, + ]. Şiru de fucţii: P ( ), P( ) Figur 4. ( ) d,! d d ( ) P ( ) etc.! d + formeză u şir ortogo î rport cu produsu di L pe, m P( ) Pm( ) d, m +

7 ϕ +,,,, ( ) P ( ) formeză u sistem ortoormt pe [,]. Proprietăţi: ) Poiomee Legedre sut souţii petru ecuţi difereţiă: + + P ( ) ) Pritte: P P( ) ) Mărgiire: P ( ), [,] 4) Vori prticure: P (), P ( ) ( ), 5) Formue de recureţă: P + ( ) P ( ) ( ) P ( ) P ( ) ( + ) P P P + P P P P + P + P utiă petru itegrre Eerciţiu: Arătăm că poiomee Legedre sut ortogoe pe [,]. Presupuem m >. + + ( m ) ( ) d d P P d d m m+ m m!! d d ( m ) d ( ) m + d d d m+ m m!! d d d m m d d d d m!! d d d d ( ) ( + + ) ( ) ( ) + m m m+ m + m m ( ) ( ) + d d m!! d d m + m+ m + m d

8 Itegrăm de ori pri părţi şi obţiem: ( m + m ) d d ( ) m!! d d m+ m m + m ( ) ( )! d ( ) m+ m d m!! d Deorece tote derivtee fucţiei itervuui [,]. m d pâă ordiu m se ueză cpetee { } Defiiţie: U sistem de fucţii ϕ ( ) se umeşte ortogo pe (, ) podere ρ ( ) dcă petru orice,, eistă itegree: b î rport cu b, petru m ρ( ) ϕm( ) ϕ( ) d (9) λ >, petru m b, cu o ecepţie posibiă îtr- Se presupue că fucţi podere ρ ( ) este pozitivă pe (, ) u umăr fiit de pucte ude ρ ( ) este zero. Eempu: Poiomee Hermite defiite cu formu Rodrigues: de,,,, H e H ( ), H () d H 4, etc., Se pote răt că poiomee Hermite sut ortogoe pe cu podere ρ ( ) dică e,, m e Hm( ) H( ) d!, m ()

9 Figur 4. Proprietăţi: ) Poiomee Hermite sut souţii petru ecuţi difereţiă: H ) Pritte: H ( ) ( ) H ( ) ) Formue de recureţă: + H H + H + H H H H H + e H+ e H Serii Fourier pe u sistem ortogo ϕ { } Fie u sistem ortogo de fucţii ( ) pe (, ) cϕ( ) cϕ( ) cϕ( ) covergetă pe iterv f ( ): Îmuţid cu ( ) k b şi fie seri: ϕ ϕ ϕ f c + c + + c + ϕ şi itegrâd după de b, cu jutoru ortogoităţii obţiem:

10 su b f ( ) ϕ ( ) d c ϕ ( ) ϕ ( ) d b k k ϕ ϕ f d c d b b k k ck b f ( ) ϕk ( ) d ϕ d c k k ( f ϕ ), k k b, k,, ϕ () Eempe: ) Fie f :[,] defiită pri f ( ) Să se dezvote fucţi f î serie Fourier-Legedre. [ ) [ ],,,,, (,) f cp + c f ( ) P ( ) d + + c ( ) P d P + P d + ( ) ( () () ) P P P P P P Cum P (), c ( P ( ) P+ ( ) ) c P d f ( ) + P ( ) P+ ( ) P( ) ) Să se dezvote î serie Fourier-Hermite fucţi f : defiită pri: Dezvotre este de form: f ( ), <, >

11 f ch ( )! c e H d ( )! c e H ( ) d! e H! e H e H! ( ) ( ) e H e H + c e H! c e d erf Ude, erf este fucţi erorior defiită pri: def t erf e dt Dezvotre petru fucţi dtă este: e H ( ) f ( ) erf H ( )!, Cp.5 Ecuţii difereţie de ordiu îtâi 5. Noţiui eemetre O ecuţie difereţiă ordiră este o ecuţie de tipu ( ) F,,,, () cre pue î reţie o vribiă idepedetă, fucţi ecuoscută ( ) ( derivtee cestei ( ), ( ),, ) ( ) de rgumetee se. Ce mi simpă ecuţie difereţiă este: şi. Î cest cotet, F este o fucţie cuoscută

12 f ( ) () ude f ( ) este o fucţie dtă, cotiuă pe u iterv ( b, ), ir ( ) este fucţi ecuoscută. Ecuţii simire pr î ccuu itegr. Adică, fiid dtă o fucţie f ( ), trebuie determită o primitivă s F ( ). Astfe, o fucţie cre verifică ecuţi () re form: ude F ( ) este o primitivă ui f ( ) pe (, ) Fucţi căuttă ( ) F + C () b, ir C este o costtă rbitrră. u este uic determită de ecuţi (). Defiiţie: Ordiu uei ecuţii difereţie este ordiu ce mi mre derivteor prezete î ecuţie. Eempu: Ecuţi + este o ecuţie difereţiă de ordiu doi. Fucţi ( ) si este o souţie cestei ecuţii difereţie pe itervu (, + ) Defiiţii: Rezovre uei ecuţii difereţie se umeşte itegrre ecuţiei difereţie. Grficu uei souţii uei ecuţii difereţie se umeşte curbă itegră ecuţiei. Probem : Determiţi o curbă stfe îcât pt curbei î fiecre puct să fie egă cu ordot puctuui respectiv. Fie ( ) ecuţi curbei căutte. Pt curbei este tgα ( ). Propriette curbei di euţ este descrisă de ecuţi difereţiă de ordiu îtâi: d d d d d d + C C e + Ce Coform itegrării de mi sus, ecuţi re u umăr ifiit de souţii: ( ) e Ce, ude C este o costtă. Probem : Determiţi ege mişcării rectiiii uui puct mteri cre se mişcă cu o cceerţie costtă.

13 Fie s s() t ege de mişcre căuttă. Di euţ vem următore ecuţie difereţiă de ordiu doi petru cestă fucţie: ds dt Pri două itegrări succesive obţiem: ds t C dt + t s() t + Ct + C Costtee de itegrre C, C pot fi determite impuâd codiţii iiţie. ds s s t t v dt t t t s + Ct + C v t + C t C v t C s ( v t) t ( t ) t s() t s + v( t t) + Fie F(,, ) o ecuţie difereţiă de ordiu îtâi. Dcă este rezovbiă î, obţiem o tă formă ecuţiei: f, (5) ude f (, ) este o fucţie cuoscută î rgumetee se. O tă formă echivetă ecuţiei este: su, mi geer: d f, d (6) M, d+ N, d (7) Acestă ecuţie este obţiută di precedet pri îmuţire cu o fucţie N(, ). Fucţiie M (, ) şi N(, ) sut fucţii cuoscute. Două ecuţii difereţie (,, ) F şi F (,, ) sut echivete pe u domeiu, dcă orice souţie ( ) uei ecuţii difereţie este souţie şi petru cetă ecuţie şi vice vers.

14 O ecuţie difereţiă pote ve şi o ifiitte de souţii. Petru preciz o f, trebuie să impuem o codiţie iiţiă, dică să umită souţie ecuţiei presupuem că o umită vore vribiei fucţi căuttă i o umită vore : (8) su Geometric, codiţi iiţiă impică precizre uui puct (, ) v trece curb itegră căuttă. M pri cre Defiiţie: Probem determiării ceei souţii ecuţiei f (, ) codiţi supimetră ( ) cre verifică, se umeşte probemă Cuch su probemă iiţiă. (, ) f 5. Souţi probemei Cuch petru ecuţiie difereţie de ordiu îtâi Teorem : (eisteţ şi uicitte souţiei probemei Cuch) Fie: (, ) f (9) o ecuţie difereţiă de ordiu îtâi şi fie f (, ) di pu. Dcă eistă o veciătte Ω uui puct (, ) f (, ) (i) este cotiuă î tote rgumetee (ii) re derivtă prţiă f / mărgiită o fucţie defiită pe u domeiu D M di D, pe cre tuci eistă u iterv ( h, + h) pe pe cre eistă o souţie uică ϕ ( ) ecuţiei (9) stfe îcât ϕ ( ). Geometric, îsemă că pri puctu (, ) petru ecuţi (9). M trece o curbă itegră şi umi u

15 Figur 5. Observţie: Teorem re tură ocă: grteză umi eisteţ uei souţii uice ϕ petru ecuţi (9) îtr-o veciătte mică puctuui. Ecuţi (9) re u umăr ifiit de souţii (de eempu, o souţie cărui grfic trece pri (, ) souţie cărui grfic trece pri (, ), şi ş mi deprte). Eempe:. Cosiderăm ecuţi +, tă Fucţi f (, ) + este defiită şi cotiuă î tote puctee puui şi f / peste tot. Cu teorem, pri fiecre puct (, ) puui trece o curbă itegră ecuţiei.. Cosiderăm ecuţi Fucţi f, este defiită şi cotiuă î tote puctee puui şi f şi tide ifiit petru. A dou codiţie di teorem u este îdepiită pe. Pri itegrre, obţiem ( + C), C souţie ecuţiei dte. d d d d / / + C / C + + C Mi mut, şi este souţie ecuţiei dte. Dcă căutăm o souţie ecuţiei dte cre să stisfcă codiţi, obţiem mi mute souţii, c de eempu:,,,, >, <,,

16 Astfe, pri fiecre puct ei trec ce puţi două curbe itegre, şi souţi u este uică pe cestă ă. Figur 5. Observţie: Dcă cosiderăm puctu M (,), pe o veciătte suficiet de mică cestui, codiţiie di teorem sut stisfăcute. Î coseciţă, pri cest puct, îtr- u mic pătrt Ω, trece umi curb itegră ecuţiei. Dcă cosiderăm u pătrt Ω suficiet de mre (să itersecteze ), tuci u vom mi ve souţie uică. Acest ucru cofirmă crcteru oc teoremei. Precizre: Teorem furizeză codiţii suficiete petru eisteţ uei souţii uice ecuţiei f (, ). Pote eist o souţie uică ( ) petru ecuţi f (, ) cre să stisfcă codiţi ( ), deşi u su mbee codiţii di teorem u sut îdepiite. Eempu: Ecuţi tote că f / u este mărgiită. re souţi uică ( ) cre trece pri, cu d d d d + C ( + C) C? ( + C ) C ( ) Dcă reuţăm mărgiire ui f / obţiem o teoremă de eisteţă souţiei: Teorem : (eisteţ souţiei probemei Cuch) Dcă fucţi f (, ) pe o veciătte puctuui (, ), tuci ecuţi f (, ) ϕ ( ) i vore. cre î Defiiţie: O souţie geeră ecuţiei difereţie este cotiuă re ce puţi o souţie

17 (, ) f () pe u domeiu Ω de eisteţă şi uicitte souţiei probemei Cuch este o fmiie ϕ C, cre depid de şi de o costtă rbitrră uiprmetrică S de fucţii (prmetru), stfe îcât: Petru orice C permis, fucţi ϕ (, ) (), dică C S este o souţie petru ecuţi (, ), ϕ(, ), ( h, + h) ϕ C f C Oricre r fi codiţi iiţiă ( ) îcât souţi ϕ Observţie: s- presupus că (, ) souţiei probemei Cuch., eistă o vore C petru C stfe,c să stisfcă codiţi iiţiă ϕ ( C ), prţie domeiuui Ω de eisteţă şi uicitte Eempu: Arătţi că ecuţi re souţi geeră + C, cu C costtă rbitrră. Îtr-devăr, f (, ) şi codiţiie di teorem sut stisfăcute peste tot. Atuci, pri fiecre puct (, ) puui trece o sigură curbă itegră ecuţiei difereţie dte. Vom test cee două codiţii di defiiţi souţiei geere: C vem ( + C) stfe îcât + C este o souţie ecuţiei dte. Dcă impuem codiţi iiţiă ( ), obţiem + C şi C. Atuci, souţi + este î cord cu codiţi iiţiă. Defiiţie: O souţie prticură ecuţiei difereţie f (, ) este o souţie dedusă di souţi geeră petru o vore preciztă ui C. Observţie: Souţi geeră ecuţiei difereţie pote fi defiită c fiid muţime tuturor souţiior prticure. Atuci câd itegrăm o ecuţie difereţiă jugem dese itegr geeră, o ecuţie de form: φ,, C () cre defieşte impicit souţi geeră ecuţiei difereţie iiţie ().

18 Ecuţi (,, C ) φ () cu C vore fită petru C, se umeşte itegră prticură. Eempu: Rezovţi probem Cuch: + d d + d + d d d + rctg + C rctg + C itegr geeră tg( + C) souţi geeră tg C C rctg 4 tg + souţi prticură 4 Defiiţie: O souţie ψ ( ) ecuţiei difereţie f (, ) se umeşte sigură, dcă propriette de uicitte u este îdepiită î fiecre puct său, dică pri fiecre,, pe âgă cestă souţie, v trece şi o tă souţie ecuţiei cre u puct său ( ) coicide cu ψ ( ) pe o veciătte puctuui (, ). Grficu uei souţii sigure se umeşte curbă itegră sigură ecuţiei. Geometric, cest este o îfăşurătore fmiiei de curbe itegre e ecuţiei (itegr geeră). Îfăşurătore uei fmiii de curbe φ (,, C) este o curbă cre î fiecre puct este tgetă câte o curbă di fmiie. f, stisfce codiţiie di Dcă pe u domeiu D puui, ecuţi teorem, tuci pri fiecre puct (, ) D trece o sigură curbă itegră ϕ( ) ecuţiei. Acestă curbă prţie fmiiei uiprmetrice φ (,, C) curbeor cre formeză itegr geeră ecuţiei şi se obţie di cestă fmiie, petru o vore preciztă ui C, dică este o itegră prticură ecuţiei. Nu este posibi c te souţii să trecă pri (, ). f, să ibă o souţie sigură este ecesr Petru c ecuţi difereţiă să u fie stisfăcute codiţiie di teorem. Dcă fucţi ( ) f, di ecuţi difereţiă este cotiuă pe D, tuci o souţie sigură pote trece umi pri puctee î cre derivt f / este emărgiită. Eempu: Cosiderăm ecuţi difereţiă: ()

19 Fucţi f, este cotiuă î tote puctee puui, dr derivt f tide ifiit petru, dică pe. Ecuţi re souţi geeră ( + C), dică o fmiie de prboe cubice, şi souţi evidetă, souţie cre trece pri puctee î cre derivt f / este emărgiită. Souţi este u sigură, deorece pri fiecre puct său trec tât prbo cubică cât şi drept. Astfe, î fiecre puct souţiei propriette de uicitte u este îdepiită. Souţi sigură u rezută di souţi geeră ( + C) ici o vore umerică ui C. Observţie: Di teorem putem deduce codiţii ecesre petru souţie sigură. Dcă muţime de pucte î cre derivt f / este emărgiită, este o curbă, se pote c cest să u fie o souţie sigură, dcă u este măcr curbă itegră ecuţiei difereţie î cuză. De eempu, dcă î ocu ecuţiei () cosiderăm: +, ct, (4) tuci pe drept codiţi de mărgiire ui f / este îcă eîdepiită, dr cestă dreptă u este curbă itegră petru ecuţi (4). f, trebuie: Î cocuzie, petru găsi souţii sigure petru ecuţi Găsită muţime de pucte î cre f / este emărgiită. Dcă cestă muţime formeză u su mi mute curbe, se verifică dcă ee sut su u curbe itegre petru ecuţie. Dcă curbee sut itegre, se verifică dcă propriette de uicitte este îdepiită su u î tote puctee cestor. Dcă tote ceste codiţii sut îdepiite, curb este souţie sigură petru ecuţi f,. difereţiă Probeme: ) Determiţi souţii sigure petru ecuţi: f, este defiită şi cotiuă petru. Fucţi f ( )

20 Derivt f / este emărgiită pe dreptee şi. Cee două drepte sut curbe itegre petru ecuţi difereţiă dtă. Petru verific propriette de uicitte î puctee cestor curbe (drepte) căutăm souţi geeră itegrâd: d d d, d ( C), rcsi + C si + este souţi geeră ecuţiei difereţie dtă. Figur 5. Pri fiecre puct souţiei si + C şi drept. Astfe, î fiecre puct souţiei uicitte este u este îdepiită. Simir se îtâmpă şi petru. Cee două drepte sut souţii sigure. trec două curbe: siusoid ) Determiţi souţii sigure petru ecuţi: f (, ) f Derivt f / este emărgiită pe dreptee şi. Cee două drepte sut curbe itegre petru ecuţi difereţiă dtă. Petru verific propriette de uicitte î puctee cestor curbe (drepte) căutăm souţi geeră itegrâd: d d d + c d C + + este itegr geer ecutiei diferetie.