Cap.4. Elemente privind formalismul analitic al fizicii

Transcript

1 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-78 Cap4 Eeete prvd forasu aatc a fzc 4A oţu de bază prvd setre fzce 4A Defceţee forasuu ewtoa a ecac Cosderă u sste de pucte aterae, de ase ş coordoate oetae, y, z (=,, ), care teracţoează ître ee (vfgura 4A) Fe F (, y, z,, z ) - forţa care acţoează asupra partcue Cofor forasuu ewtoa a ecac, evouţa î tp a ssteuu ceor pucte aterae poate f obţută pr tegrarea ssteuu forat de cee ecuaţ dfereţae îtrepătruse : d = F (,,,, ) y z z, d y = F (,,,, ) y y z z, d z = F (,,,, ) z y z z, (4A) d = F (,,,, ) y z z, d z = F (,,,, ) z y z z După cu se costată d vouu a ucrăr [], char î cazu =, tegrarea acestu sste de ecuaţ dfereţae este dfcă, putâd f reazată doar după efectuarea câtorva artfc ateatce reatv subte (costâd î acest caz - î trecerea de a coordoatee cartezee a cee sferce) Îcepâd cu =, ssteu de ecuaţ (4A) de a sus u a adte î cazu geera o souţe aatcă, tegrarea sa ecestâd utzarea uor etode de aproaţ succesve (probea ceor corpur) Char ş î cazu ssteeor cu = pucte aterae care adt souţ aatce ae ssteuu de ecuaţ (4A), artfce ateatce care coduc a souţe aatce corespuzătoare u sut evdeţate de forasu ewtoa a ecac Este frească îtrebarea: care este otvu petru care forasu ewtoa îtâpă dfcutăţ char î cazure partcuare ae esteţe uor souţ aatce? Este uşor de costatat că otvu costă î euarea î cosderaţe de către forasu ewtoa a setre specfce fecăre probee fzce Spre eepu, utzarea coordoateor cartezee petru descrerea şcăror de peduare, respectv de rotaţe ae uu pedu ateatc (vfgura 4A) este tota eadecvată O r r r Fg 4A D Iordache Fzcă uercă

2 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-79 Deoarece petru dscpa Fzcă predată studeţor ger, cee a portate sstee fzce sut cee crstae, respectv cee oecuare, urătoaree paragrafe vor studa îdeoseb setre geoetrce epuctuae (specfce crstaeor), respectv cee puctuae (specfce oecueor) Uee eeete supetare prvd setre fzce au fost dea dscutate î cadru captouu (î egătură cu teoreee de coservare), vor terve ş î partea a doua (B) a acestu capto, precu ş î cadru captoeor uratoare M 4A Vector de bază ş ceue eeetare Fg 4A ae reţeeor crstae Deoarece desue corpuror sode uzuae (de ordu de ăre a c) sut ut a ar decât dstaţee teratoce (de ordu a ), eşatoaee uzuae de sode pot f cosderate drept fte petru feoeee ocae (teratoce) Ce a c vector ecopaar a, b s c a ue reţee crstae, care au propretăţe: () efectuarea operaţe de setre de trasaţe t R, deftă drept trasaţa de a u vector arbtrar de pozţe r pâă a ou vector de pozţe: r = r + a + b + pc (4A) (, ş p Z, ude Z este uţea uereor îtreg, vaore, ş p efd ut a ar decât ), c coduce a o ouă cofguraţe a reţee crstae (presupusă drept ftă) detcă faţă de cea ţaă, () paraeeppedu (ut ceua eeetară setrcă) care are vector a, b s c drept atur (v Fgura 4A) posedă uăru a de eeete de setre ae respectve reţee crstae [],[], sut β α uţ vector de bază (sau vector de perodctate) b a reţee crstae cosderate γ O ată caracterstcă portată a ceue a eeetare de setre este vouu său: V o = a ( b c ) Fg 4A U sste ft de pucte aterae (ato sau o), care pot f obţute pord de a u sgur puct atera (ato sau o) pr teredu operaţor dscrete de trasaţe r este ut reţea crstaă spă (Bravas) (v Fgura 4A4a, petru cazu partcuar a ue reţee u-desoae) Dacă obţerea pr trasaţ dscrete a uu sste ft perodc de pucte aterae (ato sau o) este posbă doar pord de a o bază forată de ( ) ato, ave o reţea crstaă copeă (v Fgura 4A4b, corespuzâd ue reţee copee udesoae) Fzcau fracez Auguste Bravas (8-86) a arătat că î fucţe de caracteru spu sau specfc cope a reţee crstae - estă 4 tpur de ceue (utate) eeetare setrce tr-desoae: 4 a a a a a Fg 4A4 a a D Iordache Fzcă uercă

3 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-8 ceua eeetară setrcă spă (otata pr P, de a deurea "retea prtvă", v fgura 4A5a), ceua cu baze cetrate (otată pr B sau C, fgura 4A5b), ceua eeetară setrcă cu feţe cetrate (sbo F, fg 4A5c) ş cea cu vou cetrat (sbo I, fgura 4a5d) a) b) c) d) Fg 4A5 Deoarece tpure specfce de reţee ş ceue eeetare (utate) de setre depd de setra reţee crstae, urătoarea secţue va eaa această probeă 4A Prcpaee eeete ş operat de setre corespuzâd ssteeor fzce O trasforare geoetrcă petru care cofguraţa faă a ssteuu fzc studat este detcă cu aceea ţaă este ută operaţe de setre (sbo Ô) Î afara operaţor de setre de trasaţe ( 4A), ssteee fzce adt uee operat de setre care păstrează eodfcată pozţa ce put uu puct atera a ssteuu; aceste operaţ sut ute operaţ de setre puctuae Aceste operaţ corespud autor eeete de setre puctuae Prcpaee eeete ş operaţ de setre puctuae sut stetzate î Tabeu 4A S 6 Vo suba că esteţa ue ae S de rotaţe ş ogdre de ordu u pcă î od ecesar esteţa 5 4 ae C corespuzătoare ş c a pauu σ h ; petru a eepfca acest ucru, Fgura 4A6 preztă cofguraţa de echbru a euu oecue de ccohea (această oecuă posedă o aa S 6, dar u adte eeetee de setre corespuzatoare C 6 ş σ h ) Desgur, estă de aseeea cobaţ ae operaţor de setre puctuae ş a ceor de trasaţe Spre eepu, efectuarea ue trasaţ ş a ue rotaţ este Fg 4A6 echvaetă cu o operaţe de îşurubare: S R = C T R, ude T R ( r r + a + b + pc ) D Iordache Fzcă uercă

4 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-8 4A4 Grupur de setre Deoarece o operaţe de setre coduce a o cofguraţe a ssteuu fzc studat detcă cu aceea ţaă, efectuarea succesvă a două operat de setre coduce de aseeea a o cofguraţe detcă cu aceea ţaă, dec produsu a două operaţ de setre este ega cu o ată operaţe de setre: O O = O (4A4) Se poate costata de aseeea uşor că operaţa de dettate E este o operaţe eutră, deoarece: E r = r (4A4) Operaţa versă de setre satsface codţe: O (faţă de cea drectă O ) fd deftă drept cea care O O = O O = E, (4A4) se costată că estă operaţ verse de setre petru fecare tp de operaţ de setre: T ş - î geera: p = T,, p, C = C, σ v,h,d = σ v,h, d, S = S şad (4A44) ( O O ) = O O (4A45) Reese că structura agebrcă a uţ operator de setre care aparţ uu sste fzc dat corespude uu grup (sbo G) uăru h a eeeteor grupuu este ut ord a grupuu După cu petru orce pereche de operaţ de setre O,O G, ave: O O = O O (4A46) sau u, respectvu grup de setre este ut grup abea, respectv grup eabea Petru fecare grup de setre, tabeu care cuprde produsee dferteor perech de operaţ de setre este ut tabe (specfc) de utpcare a eeeteor grupuu Se defeşte cougatu eeetuu O faţă de eeetu O cu autoru reaţe: O k = O O O (4A47) otă: Foosrea paraetror: () caracteru operaţe puctuae s ( = petru operaţe de rotaţe sau u uăr par de operaţ de ogdre ş s = petru u uăr par de operaţ de ogdre) ş: () paraetruu vectora q, deft drept: ϕ π q = s[ + ( s ) ] a, (4A48) 4 ude ϕ este ughu de rotaţe, ar a este vectoru utar (versoru) ae de rotaţe (respectv a orae pe pau de ogdre), perte deducerea spă a produseor, verseor ş cougateor orcăror operaţ de setre puctuae [] Astfe, efectuarea operaţe puctuae O ( q,s ) coduce a operaţa puctuaă echvaetă: după operaţa puctuaă q, s ) O (,, O( q,s ) = O ( q,s ) O( q,s ) = O[ s( qq + qq q q ),ss ] (4A49) ude "ora" q' a duauu q ' a vectoruu q ş paraetru s sut defte drept:,, q' = q s: s = sg( q q q q ) (4A4) D Iordache Fzcă uercă

5 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-8 O Î od sar, versa orcăre operaţ de setre puctuae este dată de epresa: Î fe, cougatu operaţe de setre este [b]: O O O = O ( q,s ) = O( q,s ) (4A4) O,, O[ ( q q )q + q ( q q ) + ( q q faţă de o ată operaţe de setre puctuaă )q,s ] (4A4) Probea 4A4: Dacă O sut de aseeea cougate ître ee Rezovare: Deoarece: O k ş O sut două cougate dferte ae O, deostraţ că O k O = O O O = O O k O = O O O (ude O, dec: Deoarece î cofortate cu defţa grupuror - produsu O,O,O k,o,o = ( O O )O k ( O O ) operaţe de setre a grupuu G, reese că operaţe de setre cougate ître ee Muţea eeeteor O k,o, O cougate ae O ş G ), se costată că: O este de aseeea o O k s O sut de aseeea O faţă de dfertee eeete O (=,,h) forează casa de setre asocată eeetuu Desgur, petru grupur abeee, fecare eeet forează e îsuş o casă (dec, uăru caseor uu grup abea este ega cu ordu grupuu) Petru a studa î detau structura caseor de setre ae dferteor grupur puctuae, v spre eepu [] Probea 4A4: Deduceţ casee de setre ae grupuu puctua C v corespuzâd operaţor de setre perse de cofguraţa de echbru (trughu sosce) a oecue de apă Rezovare: Cofguraţa de echbru a oecue de apă adte (v Fgura 4A7) patru operaţ de setre: π dettatea E, rotaţa cu rada î uru ae de setre C a oecue, paee de ogdre "vertcae" σ v (pau oecue) ş σ v (pau bsector) Rezutatee prvd produsee dferteor operaţ ae acestu grup de setre sut stetzate î Tabeu 4A, care repreztă astfe tabeu de utpcare a acestu grup D acest tabe, se costată ca grupu de setre C v este abea Reese de aseeea că grupu puctua C are case de setre: E, C, σ s σ v O v v D Iordache Fzcă uercă

6 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-8 Tabeu 4A O E C σ v σ v O E E C σ v σ v C C E σ v σ v σ v σ v σ v E C σ v σ v σ v C E Produsee O O operaţor grupuu de setre C v 4A5 Grupur puctuae partcuare ş ssteee crstae care e sut asocate Este posb să se costate uşor că aute grupur puctuae sut asocate ssteeor crstae posbe a) Grupur puctuae ş sstee crstae de oasă setre După cu u grup de setre u cude ae de rotaţe de ord, cude o sgură aseeea aa, sau cude a ute ae C ( ), respectvu grup este ut de oasă, ede sau respectv - de îată setre () Grupu puctua S ; ssteu crsta trcc Î geera, grupu S cude operaţe de setre S,S, S s S = E Grupu puctua S cude doar dettatea E ş versa S I Î tp ce Fgura 4A8a preztă o oecuă ( C CBr H ) a căre cofguraţe de echbru aparţe acestu grup de setre, fgura 4A8b preztă sgura ceuă eeetară de setre (cea spă, P) care corespude ssteuu crsta trcc (cu îcaţ dferte: α β γ, a b c ), ar fgura 4A8c epcă de ce ceua eeetară cu baze cetrate C ( B ) u poate esta petru acest sste (această ceuă s-ar reduce a ate ceue eeetare trcce spe, cu ug a c ae aturor decât aceea corespuzâd adevarate ceue eeetare) grupuror () Grupu puctua C h ; ssteu crsta oocc Î geera, grupu de setre C h cude operaţe corespuzâd produsuu carteza a C ş σ : { C h,c,c E,C σ h, C σ h σ h } Î partcuar, grupu puctua C h cude doar operaţe C, σ h ş - desgur - versa I ş dettatea E Fgura 4A9a preztă o oecuă ( C 6CBr H ) a căre cofguraţe de echbru aparţe acestu grup de setre ( C h ), î tp ce fgure 4A9b ş 4A9c preztă cee ceue eeetare de setre (ceua eeetară spă P ş aceea cu baze cetrate (o pereche de baze paraee cu aa C [4]), otată pr C sau B) ae ssteuu crsta oocc (cu o sgură îcaţe: o γ 9 = α = β,a b c ) D Iordache Fzcă uercă

7 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-84 () Grupu puctua D h( Vh) ; ssteu crsta ortorobc Pord de a grupu D, costrut î baza ue ae C ş a ae de rotaţe U (perpedcuare pe aa C ), se obţe prtr-u produs carteza cu grupu σ h, corespuzâd dettăţ ş operaţe de ogdre îtr-u pa "orzota" (perpedcuar pe aa C ) - grupu puctua Dh = D σ h Î partcuar, grupu puctua D h cude operaţe de setre corespuzâd (asocate) ceor ae de rotaţe (recproc perpedcuare) C ş de aseeea - desgur - versa I ş dettatea E Fgura 4Aa preztă cofguraţa de echbru a oecue C H 4, care aparţe grupuu puctua D h, î tp ce Fgura 4Ab arată cee 4 ceue eeetare de setre: ceua eeetară prtvă P, cea cu baze cetrate C ( B ), ceua eeetară cu vou cetrat I ş - î sfârşt ceua eeetară cu feţe cetrate F, ae ssteuu crsta ortorobc o ( α = β = γ = 9, a b c ) b) Grupur puctuae ş sstee crstae de setre ede Deoarece sua of ughuror uu pogo cu atur este egaă cu ( ) π rada, ( ) π ughure d vârfure uu pogo reguat cu atur sut egae cu rada Codţa de "upere" a pauu î uru cetruu de verse este echvaetă cu cerţa: π =, care este îdeptă doar de aee C de ordee =; 4 ş 6 (a care ( ) π / se adaugă desgur petru grupure de oasă setre ş ordee =, respectv =) () Grupu puctua D 6 h ; ssteu crsta heagoa Operaţe (ş casee) de setre ae grupuu puctua C 6, ceor 6 ae U (perpedcuare pe aa 6 pe aa de rotaţe C 6 ) σ, aeor C, C ş 6 h D 6 h corespud ae de rotaţe C ), pauu de setre "orzota" (perpedcuar S (stuate toate î ugu drecte ae de rotaţe C 6 ), precu ş operaţor de verse I, respectv dettate E Fgura 4Aa preztă cofguraţa de echbru a oecue de beze ( C 6H 6 ), care aparţe grupuu D 6 h, î tp ce fgura 4Ab arată sgură ceuă eeetară de setre (cea prtvă, P) corespuzâd o o ssteuu crsta heagoa ( γ =, α = β = 9,a = b c ), care adte operaţe de setre ae grupuu puctua D 6 h () Grupu puctua D 4 h ; ssteu crsta tetragoa Operaţe (ş casee) de setre ae grupuu puctua C 4, ceor 4 ae U (perpedcuare pe aa 4 (paraee cu aa de rotaţe 4 D 4 h corespud: ae de rotaţe C ), ceor 4 pae "vertcae" de setre C ), pauu "orzota" de setre σ h (perpedcuar pe aa C 4 ), aeor C ş S 4 (care au drecţa ae de rotaţe C 4 ), precu ş operaţor de verse I ş dettate E Structura uţ forate de aceste eeete de setre este sară cee corespuzâd grupuu D 6 h, u eapu de oecuă a căre cofguraţe de echbru aparţe grupuu D 4 h fd cea a ccobutauu ( C 4H 8 ) Fgura 4Aa preztă cee ceue eeetare de setre: cea prtvă P ş ceua cu vou cetrat I, corespuzâd ssteuu crsta σ v D Iordache Fzcă uercă

8 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-85 tetragoa (4 ughur detce î uru cetruu de verse, î pau perpedcuar pe aa de o îată setre: α = β = γ = 9 s: a = b c ), care cude operaţe de setre ae grupuu puctua D 4 h () Grupu puctua D d ; ssteu crsta trgoa (roboedrc) Eeetee de setre care geerează grupu D d ( S, v ) sut: aa de rotaţe C, cee ae U (perpedcuare pe aa C ) ş cee pae "dagoae" de setre (bsectoare faţă de pereche de ae U vece) Î partcuar, operaţe (ş casee) de setre ae grupuu puctua D d ( S 6 v ) corespud: ae C, ceor ae U, ceor pae "dagoae" de setre σ (fecare dtre ee fd perpedcuar pe câte o aă U ), ae S 6 (avâd drecţa d ae C ) ş î sfârşt cetruu de verse (operata de dettate E fd, desgur, de aseeea cusă) Fgura 4Aa preztă cofguraţa de echbru a oecue de eta ( C H 6 ), care aparţe grupuu puctua Dd ( S6v ), î tp ce fgura 4Ab arată sgura ceuă eeetară de setre (cea prtvă P), corespuzâd ssteuu crsta roboedrc (trgoa: α = β = γ 9 o ; a=b=c), care adte operaţe de setre ae grupuu puctua D d Vo eţoa că o aseeea ceuă eeetară corespude crstauu de carboat de cacu (cact), care este foost petru fabrcarea prseor co (aceste prse sut fooste petru a obţe poarzarea u pr brefrgeţă) c) Grupur puctuae de îată setre; ssteu crsta cubc Prcpaee grupur puctuae de îată setre sut: T d (corespuzâd tetraedruu ş î partcuar cofguraţe de echbru a oecue de eta ( CH 4 ); vfgura 4A4a) ş O h (corespuzâd cubuu; vfgura 4A4b) Prcpaee eeete de setre ae grupuu puctua T sut: cee 4 ae C, cee ae C (recproc perpedcuare) ş cee pae "dagoae" de d setre σ d, î tp ce prcpaee eeete de setre ae grupuu puctua C ş cee pae "orzotae" de setre ae C 4, cee 4 ae C, cee 6 ae pe aee C 4 ) Muţea operaţor de setre ae grupuu puctua (recproc perpedcuare), cee 4 ae C, cee 4 ae de rotaţe+ogdre 6 O h sut: cee σ (perpedcuare h O h cuprde cee ae C 4 S (avâd drecţe aeor C ), cee ae S 4 (stuate după drecţe aeor C 4 ), cee 6 ae C, cee 9 pae de setre (dtre care pae σ h ş 6 σ d ), cetru de verse ş cude - desgur - ş dettatea E o Aaza ssteuu crsta cubc (a=b=c; α = β = γ = 9 ) arată că î acest caz pot esta ceue eeetare de setre: cea prtvă P, ceua eeetară cu fete cetrate F ş ceua eeetară cu vou-cetrat I (v fgura 4A5) Meţoa că cee a ute reţee crstae ae etaeor aparţ ssteuu crsta cubc, avâd ceue eeetare de setre cu vou cetrat I: L, a, K, Cr (α ), Fe (foree crstae α, β, δ ), Rb, Zr, b, Mo, Cs, Ba, Ta, W, respectv ceue eeetare de setre cu feţe-cetrate F: A, Cu (α ), Fe (fora γ ), Co,, Cu, Sr, Tc, Pd, Ag, Pt, Au, Pb, Th ş atee [5] D Iordache Fzcă uercă

9 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-86 Î sfârşt, aaza de a sus arată că - î cazu reţeeor crstae trdesoae estă 7 sstee crstae dferte, cărora e corespud 4 tpur dferte de ceue eeetare de setre (vez Tabeu 4A, [],[5] ad [6]) Tabeu 4A TIPUL SIMETRIEI Grupu puctua tpc SISTEMUL CRISTALI Tpure ceueor eeetare Eepe Iportate JOASĂ S TRICLIIC ( a b c; α β γ ) P JOASĂ C MOOCLIIC h O ( α = β = 9 γ ;a b c ) P, C ( B) α, β Se JOASĂ D h( Vh) ORTOROMBIC o ( α = β = γ = 9 ;a b c ) P, C, F, I Ge, S, α p P egru MEDIE D 6 h HEXAGOAL o o ( γ = ; α = β = 9 ;a = b c ) P Cuarţ (apro), Mg ş uee etae MEDIE D 4 h TETRAGOAL P, I I, Sb ab o ( α = β = γ = 9 ;a = b c ) MEDIE D d ROMBOEDRIC (TRIGOAL): P CaCO (cact), Hg, B, graft o α = β = γ 9 ;a = b = c IALTĂ O h CUBIC o ( α = β = γ = 9 ;a = b = c ) P, F, I Maortatea Metaeor (vtetu) Casfcarea ssteeor crstae corespuzâd reţeeor crstae trdesoae 4A6 Eeete de teora reprezetăror atrcae ae grupuror de setre O apcaţe Γ a grupuu de setre G pe o uţe M (cu structura agebrcă oooagă) de atrc pătratce de u aut ord se ueşte reprezetare atrcaă a grupuu G î M dacă: a) petru orce U,U k G grupuu G: ş o ege arbtrară T de copuere teră a eeeteor Γ ( U T U k ) = Γ (U )T S Γ (U k ), (4A6) ude T S este egea de copuere teră a eeeteor uţ M, oooagă cu egea T a grupuu G, b) petru orce U G ş o ege arbtrară de copuere eteră a eeeteor grupuu G: Γ ( α U ) = α S Γ (U ), (4A6) ude S este egea de copuere eteră a uţ M, oooagă cu egea T a grupuu G Fe ordu atrcor pătratce ae reprezetăr Γ (ut de aseeea ş desue a reprezetăr Γ ) Î cazu î care estă u îtreg, astfe îcât: <, ar petru orce = +,, k =,, ş petru vaor eue arbtrare v,v,v ave: D Iordache Fzcă uercă

10 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-87 v Γ v [ (U k ) ] =, (4A6) (dec trasforăre descrse de atrce reprezetăr eţ vector -desoa ( < ) î aceaş spaţu), atuc Γ este o reprezetare reductbă Î cazu î care o reprezetare atrcaă Γ poate f obţută pord de a ate reprezetăr atrcae, cu autoru uor copuer perse de structura agebrcă a uţ de atrc a reprezetăr cosderate [spre eepu, dacă petru orce k =,, ( = ): = Γ ( U k ) = Γ (U k ) Γ (U k ) (4A64)], Γ este o reprezetare echvaetă cu reprezetăre (spre eepu obţerea sa Sua eeeteor dagoae ae ue atrc a reprezetăr: = [ Γ (U k )] = χ este ută ura (caracteru) atrc asocate operaţe de setre k Γ,Γ U k ) care au codus a (4A65) î reprezetarea Γ Probe 4A6: Cosderă eeete cougate U α U, β ae grupuu de setre G Arătaţ că uree (caracteree) atrcor asocate acestor eeete, petru orce reprezetare atrcaă Γ, sut egae: χ α = χ β Rezovare: Î cofortate cu defţa eeeteor cougate ae uu grup G (v reaţa (4A47)), estă u eeet Uγ G astfe îcât: U β = U γ U α U γ Rezută că: χ β = [ Γ (U γ )] [ Γ (U α )] [ Γ (U γ )],, = {[ Γ (U α )] [ Γ (U γ )] [ Γ (U γ )] } =,=,= = = [ Γ (U )] δ = α χ α Deoarece rezovarea utor probee de Fzcă spfcate de teora grupuror ecestă doar cuoaşterea ureor (caractereor) atrcor reprezetăr, vo dca î cotuare teoreee reprezetăror atrcae reductbe eechvaete (v de aseeea [8],[9],[]): () uăru reprezetăror atrcae reductbe eechvaete ae uu grup setre este ega cu uăru c a caseor grupuu, () sua pătrateor desuor reprezetăror atrcae reductbe eechvaete este ega cu ordu h a grupuu: c = h, (4A66) = = D Iordache Fzcă uercă

11 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-88 () vector foraţ - petru fecare reprezetare reductbă a uţ de reprezetăr eechvaete de vaore ureor (caractereor) atrcor asocate fecăre operaţ a grupuu de setre sut ortoorate: h = χ k χ k = h δ, (4A67) (v) uăru a reprezetăror atrcae reductbe eechvaete de tpu Γ cuse de o reprezetare reductbă arbtrară Γ este dat de epresa: h = χ k χ(u k ), (4A68) h k = ude χ ( U k ) este ura (caracteru) atrc asocate operaţe de setre k petru reprezetarea reductbă Γ Reprezetarea atrcaă care descre trasforăre coordoateor tuturor pucteor aterae ae ssteuu studat (a apcarea dferteor operaţ de setre) este reprezetarea copetă a acestu sste Ţâd seaa că: () atrce care corespud rotaţe R( ϕ ) cu ughu ϕ respectv ue rotaţ cu ughu ϕ, urată de ogdrea î pau perpedcuar pe aa de rotaţe: S( ϕ ) sut: cosϕ sϕ cosϕ sϕ R( ϕ ) = sϕ cosϕ, respectv: S ( ϕ ) = sϕ cosϕ (4A69) dec cotrbuţa fecăru puct atera a ssteuu afat pe u eeet de setre de tpu C( ϕ ) sau respectv - S( ϕ ), a vaoarea ure (caracteruu) operaţe de setre corespuzătoare petru reprezetarea copetă este: χ c [ R( ϕ )] = cosϕ +, respectv: χ c [ S( ϕ )] = cosϕ (4A6) rezută că uree (caracteree) corespuzâd reprezetăr copete sut: χ c [ R( ϕ )] = C ( cosϕ + ), respectv: χ c [ S( ϕ )] = S ( cosϕ ) (4A6) ude C ş S sut ueree de partcue ae ssteuu (pucte aterae) afate pe eeetee C( ϕ ) ş respectv - S( ϕ ) Probea 4A6: Cosderă oecua de aoac, a căre cofguraţe de echbru are fora ue prade trughuare reguate Deduceţ: a) uree (caracteree) reprezetăror atrcae reductbe eechvaete ae grupuu puctua C v, care corespude cofguraţe de echbru a oecue de aoac, b) casfcarea după aceste reprezetăr atrcae reductbe a ceor evouţ dferte corespuzâd ceor 4 ato a oecue de aoac Rezovare: a) Aaza tabeuu de utpcare a grupuu C v (îtrucâtva aseăător Tabee 4A) arată că casee acestu grup sut: I (dettatea), C (forat de cee două rotaţ perse: C ş C ) ş σ v (corespuzâd ceor pae ş operaţ de ogdre: σ v, σ v, σ v, v Fgura 4A6) Î cofortate cu pra teoreă a reprezetăror atrcae ae grupuror de setre (v a sus), uăru reprezetăror atrcae reductbe eechvaete ae grupuu C v este ega cu uăru caseor sae de setre: = r = c U D Iordache Fzcă uercă

12 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-89 Deoarece uăru operaţor de setre ae grupuu C v este ega cu: h = ( I ) + ( C ) + ( σ v ) = 6, cea de a doua teoreă a reprezetăror atrcae reductbe eechvaete capătă urătoarea eprese partcuară: + + = 6 Îtrucât,, sut îtreg poztv, sgura souţe a ecuaţe de a sus este: = = s =, dec grupu C v adte două reprezetăr atrcae reductbe eechvaete udesoae (sbour A ş A ), precu ş o reprezetare reductbă eechvaetă bdesoaă (sbo E) Ţâd seaa că pra reprezetare atrcaă reductbă eechvaetă udesoaă corespude scaaror propr (precu teperatura, destatea ase, sarca eectrcă sa): χ ( I ) = χ ( C ) = χ ( σ v ) = + Pe de ata parte, ura (caracteru) dettăţ, corespuzâd orcăre reprezetăr atrcae cocde - evdet cu desuea reprezetăr, dec: χ ( I ) = s: χ ( I ) = Î sfârşt, se costată ca a trea teoreă a reprezetăror reductbe eechvaete coduce a uratoaree ecuaţ: + χ ( C ) + χ ( σ v ) =, + χ ( C )] + [ χ ( σ )] 6, [ v = + χ ( C ) + χ ( σ v ) = 4 + [ 5 ( C )] + [ χ ( σ v )] = ( C ) =, χ ( σ v ) = χ 6, cu souţa ucă: χ (dec că reprezetarea Γ corespude scaaror propr, atsetrc faţă de ogdr σ v, fd astfe de tpu A ) ş: χ C ) =, χ ( σ ) ( v = Ţâd seaa că ueree de ato a oecue de aoac ( H ) care-ş păstrează pozţe (corespuzâd cofguraţe de echbru) după efectuarea dferteor operaţ corespuzâd grupuu de setre sut: ( I ) = 4,( C ) = (atou de azot) ş: ( σ v ) = (atou de azot ş u ato de hdroge, v Fgura 4A7), î tp ce ughure de rotaţe π corespuzătoare sut: ϕ ( I) =, ϕ( C ) = rada, ϕ( σ v) =, reaţe (4A6) coduc a urătoaree caractere ae reprezetăr copete a oecue H : χ I ) = 4 ( + ) =, χ ( C ) = ( ( ) + ) =, χ ( σ ) = ( ) = c ( c c v Î sfârşt, cea de a patra teoreă a reprezetăror atrcae reductbe eechvaete deteră ueree de evouţ depedete ae oecue H care corespud fecăre reprezetăr reductbe eechvaete: ( A ) = [ + + ] =, 6 ( A ) = [ + + ( ) ] = s: 6 ( A ) = [ + ( ) + ] = 4 6 Caracteree reprezetăror reductbe eechvaete, aceea ae reprezetăr atrcae copete a oecue H, precu ş atura evouţor depedete corespuzâd oecue D Iordache Fzcă uercă

13 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-9 H, sut dcate î Tabeu 4A4 Sboure evouţor depedete d Tabeu 4A4 corespud trasaţor T T, y (î pau ortogoa pe aa C ), rotaţor R,R y, Rz Tabeu 4A4 Caracteree reprezetăror atrcae reductbe eechvaete ae grupuu C v, aceea ae reprezetăr copete a oecue H ş casfcarea evouţor depedete ae oecue H Sbou repreze- Casa de setre Tpure evouţor depedete tăr atrcae I C σ v ( H ) ae oecue H A Tz, V, V A - R z E - 4 ( T, Ty), ( R, Ry ) ( Va, Vb), ( V4a, V4 b) Γ copete ( H ) - Toate cee evouţ depedete î uru aeor O, Oy ş Oz (care cocde cu aa C ) ş vbraţe de îtdere setrce V, vbraţe de deforaţe setrce V (v Fgura 4A8) ş ator 4 vbraţ, grupate î cee perech: ( V a V, b ) ş ( V4 a V, 4b ), ae căror trasforăr aparţ reprezetăr bdesoae E REFERIŢE J P Eott, P G Dawer - "Syetry Physcs", vo, McMa Press, Lodo, 979 I Muteau - "Fzca stăr codesate", Eura Hypero, Bucureşt, 995 a) D Iordache - "oţu ş etode geerae ae fzc (curs de Fzcă, voi)", Ate pogr Ist Potehc Bucureşt, 98; b) D Iordache - Bu Poytech Ist Bucharest, 8()(976) 4 O Bogu - "Crstaografe", Eura tehcă, Bucureşt, I Pop, V cuescu - "Structura corpuu sod Metode fzce de studu", Eura Acadee, Bucureşt, 97 6 C Moţoc - "Codesed Matter Physcs", Pub House of Uversty "Potehca" Bucharest, 99 7 A M Schoefess - "Theore der Krstastruktur", Bortraeger, Ber, 95 8 J Schur - "De agebrasche Grudage der Darsteugstheore der Gruppe", Frey ud Kretz, Zürch, 96 9 E P Wger - "Group Theory ad ts Appcato to the Quatu Mechacs of Atoc Spectra", Acadec Press, ew York, 959 D Iordache Fzcă uercă

14 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-9 B Eeete prvd forasu aatc a fzc 4B oţu de bază ae forasuu aatc a fzc uăru evouţor reductbe ae uu sste fzc (trasaţ, rotaţ, oscaţ, poarzăr, agetzăr şa) este ut uăr a gradeor de bertate ae ssteuu (sbo L) Î cazu ssteeor de atură ecacă, uăru gradeor de bertate este ega cu uăru coordoateor care deteră perfect cofguraţa ssteuu Probea 4B: Deduceţ uăru gradeor de bertate de: a) trasaţe ş rotaţe, b) oscaţe, ae uu sste ecac forat d pucte aterae Soute: a) Deoarece î cazu ssteeor are rotaţa î uru ae ssteuu este esefcatvă, uăru gradeor de bertate de trasaţe ş rotaţe este ega cu: () 6 î cazu ssteeor eare (câte grade de bertate de trasaţe ş de rotaţe), () 5 î cazu ssteeor are (doar grade de bertate de rotaţe) b) uăru tota a coordoateor ceor pucte aterae fd, uăru gradeor de bertate de oscaţe este ega cu: () -6 petru ssteee eare, respectv: () -5 petru ssteee are Mărea fzcă care descre ua dtre cee evouţ reductbe este ută coordoată geerazată (sbo q ) Î cazu partcuar a peduuu ateatc, coordoatee geerazate sut: ughu sferc θ ( attudea geografcă ) petru peduare, respectv ughu sferc ϕ ( ogtudea geografcă ) petru rotaţa î uru vertcae (vfgure 4Ba ş 4Bb) dq Vteza varaţe î tp a ue coordoate geerazate: este ută vteză geerazată (sbo q ) 4B Iducerea potezeor de bază ae forasuu aatc a fzc Prcpe ş ecuaţe de bază ae forasuu aatc a fzc au fost stabte î decursu a peste a, aproatv î durata secouu XVIII ş îceputu secouu XIX Dat fd spaţu tat a acestu curs, va trebu să foos frecvet etoda (de atfe, des utzată î Fzcă) ducţe copete, petru a regăs rapd prcpaee rezutate ae forasuu aatc După cu este cuoscut, ecuaţe evouţor de trasaţe, respectv de rotaţe, sut date dp de egea a doua ewto a dac: F = ş reaţa aaoagă petru şcarea de rotaţe: dl M = Foosd etoda ducţe copete, este de aşteptat ca ecuaţa evouţe î ugu coordoate geerazate q (gradu de bertate ) să fe de fora: dπ Φ =, (4B) ude Φ s geerazate Π sut forţa geerazată, respectv pusu geerazat asocat coordoate q (poteza a forasuu aatc a fzc) Petru a detfca (de aseeea pr etoda ducţe copete) eprese pusuu geerazat ş respectv forţe geerazate, vo por de a rezutatee obţute î cadru probee cu prvre a eprese vteze ş acceeraţe î cazu şcăr pae (vfgura 4B): D Iordache Fzcă uercă

15 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-9 = + v r r rθ θ, a = ( r r θ ) ( r θ r r + + θ ) θ (4B) Î cazu graduu de bertate azuta: q = θ, se costată posbtatea de a detfca forţa geerazată ş pusu geerazat corespuzător, pord de a copoeta azutaă F θ a forţe: ϕ ( θ d θ = r F θ = r + r rθ ) = ( r θ ) (4B) Se obţe astfe: ϕ ( θ θ = r + r rθ ), ş: Π θ = r θ (4B4) Reaţa dtre forţa geerazată ş copoeta radaă F r a forţe este a copcată: ϕ d r = F r + rθ, ude: ϕ r = r = ( r ) (4B5) Rezută epresa de a os a pusuu geerazat asocat graduu de bertate rada: Π r = r (4B6) Avâd î vedere portaţa deosebtă a ăr fzce eerge î fzcă, eeet dea subat î cadru troducer ăror prtve ae ecac, vo căuta o eprese care să geerazeze rezutatee date de ecuaţe (4B4) ş (4B6), pord de a epresa eerge cetce a uu puct atera afat î şcare paă (v ş reaţa (4Ba)): v E ( c = = r + r θ ) (4B7) Se costată că: Ec E Πθ = ş: Π c r = (4B8) θ r rezutate care pot f geerazate pr ducţe copetă î fora: P( q, q, t) Π = (4B9) q ude P( q, q, t) este poteţau pusuror geerazate, dat prtr-o fucţe de asabee coordoateor, respectv vtezeor geerazate: q { q, q, ql}, q { q, q, q L} Deoarece: P( q, q, t) = Po ( q, t) + P ( q, q, t), ude P ( q, q, t) este poteţau efectv a pusuror geerazate, reaţa (4B9) poate f scrsă î fora echvaetă: P q q t Π = (,, ) (4B) q (poteza a doua a forasuu aatc a fzc) Î fe, eprese (4B4) ş (4B5) ae forţeor geerazate ϕ θ ş ϕ r pot f stetzate î fora: P ( q, q, t) ϕ = Q + (4B) q P, t) ude Q este forţa geerazată de teracţue, ar este î ecacă forţa q geerazată de erţe (poteza a trea a forasuu aatc a fzc) ( q, q D Iordache Fzcă uercă

16 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-9 Cee poteze de bază ae forasuu aatc a fzc (date de reaţe (4B), (4B) ş (4B)) pot f stetzate pr ecuaţe Lagrage de speţa : d P ( q, q, t) P ( q, q, t) = Q + q, (ude =,, L) (4B) q Souţe ssteuu forat de cee L ecuaţ dfereţae de ordu (de speţa ) ae u Lagrage vor cude L costate de tegrare Petru deterarea uvocă a evouţe ssteuu fzc studat, aceste L costate vor trebu cacuate cu autoru a L codţ ţae sau/ş fae de tpu: a) codţor care deteră copet starea ceatcă ţaă (sau faă): q( t ) = q, q ( t ) = q, (=,, L) (4A) b) codţor care deteră copet cofguraţe statce ţaă ş faă: q ( t ) = q, q( t f ) = q f, (=,, L) (4A4) sau atee echvaete Se costată astfe că ssteu ecuaţor Lagrage de speţa I-a este echvaet cu prcpu detersuu casc, deoarece cuoaşterea copetă a ue stăr ceatce (ţaă sau faă) deteră uvoc evouţa ssteuu, atât d trecut spre starea cosderată, cât ş î vtor Dupa cu se costată, ecuaţe Lagrage de speţa I-a corespud cazuu geera a ssteeor dspatve Deoarece descrerea evouţe se spfcă sesb î cazu ssteeor coservatve, vo studa î cotuare oţue ş ecuaţe specfce acestor sstee 4B Eprese forţeor geerazate de teracţue petru sstee ecace coservatve Fe F ( F, F, F ) - vectoru copoeteor forţeor care acţoează asupra a pucte aterae: F = F, F = Fy, F = Fz, F4 = F, F = Fz, ar X X, X, X ) - vectoru de pozţe a asabuu ceor pucte aterae: ( X =, X = y, X = z, X 4 =, X = z Deoarece coordoatee geerazate (î cadru cărora pot f cuse coordoatee cetruu de asă a ssteuu care caracterzează trasaţe ssteuu, ughure Euer care deteră pozţa aeor prcpae de erţe descrd rotaţe ssteuu şad) deteră perfect cofguraţa ssteuu, î cazu uor depasăr etre de c (dfereţae) ave: dx = L = a dq, (4B) ude coefceţ a depd de cofguraţa ssteuu Ssteu fd coservatv, ave: dq = (u se dspă eerge sub fora de cădură), dec: du = dl = F = a dq Fa dq = Qdq (4B) = Aegâd depasăre astfe îcât: dq = dq δ (ude δ este sbou u Kroecker), se costată că petru ssteee ecace coservatve: U Q = (4B) q D Iordache Fzcă uercă

17 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-94 ude î ecacă - U ( q, t) este eerga poteţaă (de teracţue) 4B4 Defţa fucţe u Lagrage Ecuaţe u Lagrage de speţa a doua Adţâd (pr ducţe copetă) vaabtatea reaţe (4B) ş petru sstee fzce de ată atură, se poate def fucţa u Lagrage pr reaţa: L( q, q, t) = P ( q, q, t) U ( q, t) (4B4) Deoarece: P =, ar: L P U P = = Q +, (4B4) q q q q q q reese că petru sstee coservatve ecuaţe Lagrage de speţa I-a (4B) se partcuarzează î ecuaţe u Lagrage de speţa a doua: d = q, (=,, L) (4B4) q Se costată uşor că ecuaţe Lagrage de speţa a doua forează de aseeea u sste de L ecuaţ dfereţae de ordu, ae căror souţ sut deterate uvoc de L codţ ţae sau/ş fae 4B5 Iducerea prcpuu u Hato Cosderă spaţu fctv + desoa a coordoateor: { q =,} ş tpuu (vfgura 4B5) Evdet, fecare puct d acest spaţu repreztă cofguraţa ssteuu a oetu respectv Se pue acu probea traseuu (d spaţu cofguraţor ş tpuu) pe care evouează ssteu ître cofguraţe S ( a oetu ta t ) s S f ( a oetu " fa" t f ) Î fgura 4B5, traectora evouţe reae (fzce) a ssteuu ître cee stăr cosderate a sus este reprezetată prtr-o curbă cotuă, î tp ce o traectore agară (vrtuaă) ître aceeaş stăr (reatv apropată de traectora reaă) este reprezetată prtr-o curbă îtreruptă Vo ota pr: q( t ) s q( t ) + δq( t ) coordoatee geerazate (=,, ) care corespud traectore reae, respectv traectore vrtuae a oetu t Cofor ecuaţor u Lagrage de speţa a doua (v a sus), ave: t f d δq = (4B5) = q t q Cacuâd pr părţ tegraa corespuzâd ceu de a doea tere de a sus, se obţe: t f t f t f t f = δq δqd = δq I + d( δq ), = q = = = t q t q t q t ude: t f I = δq = q t Deoarece, a oetee ţa ş fa, cee cofguraţ cosderate sut cuoscute eact, ave: δ q ( t ) = δq ( t ) = f f D Iordache Fzcă uercă

18 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-95 petru orce =,, Reese că I=, dec: t f d δq + ( δq ) = (4B5) = q t q Îtrucât odfcarea (δq) traectore de evouţe î spaţu cofguraţor ş tpuu, respectv varaţa tpuu () sut operaţ depedete, ordea efectuăr or poate f versată: d dq ( δ q ) = δ = δq, astfe îcât reaţa (4B5) deve: t f δ q + δq = (4B5) = q t q Avâd î vedere epresa dfereţae ue fucţ de a ute varabe: f df (,, ) = d (4B54) = precu ş depedeţa suăr peste gradee de bertate, tegrăr î tp ş odfcăr δq a traectore, reaţa (4B5) capătă fora: t f t f t f δ q + δq = δl( q,q,t ) = δ L( q,q,t ) = (4B55) = t q q t t Defd acţuea ecacă a u Hato pr reaţa: t f S = L( q,q,t ) (4B56) H t reese că, petru traectora reaă de evouţe, î spaţu cofguraţor ş tpuu, vaoarea acţu Hato este (faţă de traectore vrtuae îvecate) ă, aă sau costată (u depde de traectora evouţe): a ( cazu ce a frecvet ), S H = a a, (4B57) costata Acest rezutat corespude euţuu prcpuu u Hato Deoarece petru area aortate a evouţor fzce, acţuea ecacă a u Hato este ă, prcpu u Hato este ut ş prcpu e acţu Probea 4B5: Se cosderă căderea beră a uu puct atera, de asă, ître cotee: z = g τ /, a oetu t = s respectv : z f =, a oetu t f = τ Să se verfce că vaoarea acţu Hato care corespude ecuaţe reae a căder bere: z( t ) = c + d t, este a că decât vaore acţu ecace a u Hato, care corespud evouţor vrtuae: z = a + b t, respectv : z = e + f t Rezovare: Pord de a codţe: z( ) = z( ) = z( ) = z s : z( τ ) = z( τ ) = z( τ ) = z f, se obţ eprese: g gτ g g a = c = e = τ, respectv : b =, d = s : f = τ D Iordache Fzcă uercă

19 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-96 Se costată că ecuaţe care corespud căderor bere vrtuae, respectv reaă sut: gτ g g t z( t ) = ( τ t ), z( t ) = ( τ t ) s : z( t ) = ( τ ), τ dec vtezee de cădere sut: gτ gt z ( t ) =, z ( t ) = gt, respectv : z ( t ) = τ D reaţa (4B4), reese că fucţa u Lagrage corespuzâd uu puct atera îtru câp gravtaţoa ufor este: L( z,z,t ) = z gz Î fa, se obţ urătoaree epres ae acţu ecace (Hato) corespuzâd dferteor evouţ cosderate: τ τ g τ g τ S = ( z gz( t )) =, S = ( z gz( t )) = s : 8 6 τ g τ ( z gz ( t )) = S = Se costată că vaoarea acţu ecace S (corespuzâd ecuaţe reae a căder bere) este a că decât vaore acţuor ecace care corespud evouţor vrtuae cosderate: S > S > S otă: Î cazu căder bere descrse de evouţa (î geera, vrtuaă): z ( t ) = a + bt, se obţe: g t gt z( t ) =, dec : z( t ) = s : τ τ τ ( ) S = z gz( t ) = g τ 8( + )( ) Se costată uşor că u fucţe S () de a sus corespude evouţe reae: = 4B6 Propretăţe fucţe u Lagrage a) Mutpctatea fucţe u Lagrage Cosderă fucţa: df( q,t ) L' = a L + (4B6) ude a ş F(q,t) sut o costată arbtrară, respectv o fucţe cotuă arbtrară de coordoatee geerazate ş de tp Acţuea Hato, corespuzâd fucţe L (q, dq /, t) este: t t f f ' df( q,t ) SH = a L( q,q,t ) + = a L( q,q,t ) + F( q ( t f ),t f ) F( q ( t ),t ) t t Deoarece stăre ţaă ş faă sut cuoscute eact, ave: δf(q (t f ),t f )=δf(q (t ),t )=, dec: t f ' δs = a δ L( q,q,t ) = a δsh = H t D Iordache Fzcă uercă

20 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-97 Reese că acţuea S H satsface prcpu u Hato, dec ş agrageaa L (q I, dq I /, t) dată de reaţa (4B6) descre evouţa ssteuu studat b) Depedeţa de vteză a agrageae uu puct atera afat î şcare rapdă (reatvstă); depedeţa reatvstă a ase de vteză Vo ota pr: L ( v ) s L fucţe u Lagrage corespuzâd ssteuu aboratoruu (faţă de care puctu atera se depasează cu vteza v), respectv ssteuu propru (sodar egat cu puctu atera cosderat) Cofor prcpuu u Hato, ave: t f ( v )( v ) = δ L = t t f δ L, codţ satsfăcute î cazu geera doar dacă: L( v )( v ) = L Ţâd seaă de efectu reatvst de datare a durateor: ( v ) =, β se obţe: L( v ) = L = L β ( v ) Deoarece, cofor prcpuu de corespodeţă, eprese reatvste se partcuarzează a vteze c î cee ereatvste, epresa asptotcă, a vteze c, a fucţe u Lagrage este: t L = v EprasptL( v ) v<< c c (4B6) D reaţe (4B4)-(4B9) reese că poteţau efectv a pusuror geerazate corespude petru u puct atera eerge cetce, ar a vteze reatv c: L( v ) = Ec U( q,t ) = v U( q,t ) (4B6) Pr detfcarea reaţor (4B6) ş (4B6), se obţe: L = c, dec : L( v ) = c β (4B64) Ipusu puctuu atera poate f cacuat î baza reaţor (4B) ş (4B4), obţâd: / v v p, dec : p c = = = = q v v c β Reese că asa de şcare a puctuu atera depde de vteză cofor reaţe: ( v ) = (4B65) β D Iordache Fzcă uercă

21 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-98 c) Depedeţa de vteză a fucţe Lagrage corespuzâd uu puct atera afat î şcare etă (ereatvstă) Cosderă refereţaee erţae R ş R, afate î şcare reatvă cu vteza (că) ε, ar M u puct atera care se depasează cu vteza v faţă de refereţau R Evdet, fucţe Lagrage ae puctuu atera faţă de refereţaee R ş R vor f: L( v + ε ), respectv L( v ) ( vs fgura 4B 6 ) Deoarece vteza reatvă a ceor refereţae aese este presupusă ca fd reatv că (v<<c), fucţa Lagrage poate f eprată pr dezvotare î sere Tayor astfe: L( v ) L( v,v Î partcuar: y L v,v z ) = L( ) + v v v + = y z v vy vz v c = q q v + cp q= + + p= p c v v v (4B66) = = şad y ( grad v ) L( ), c L v Îtrucât R ş R sut refereţae erţae, evouţa puctuu atera faţă de aceste refereţae va f descrsă (cofor prcpuu reatvtăţ) de agrageae d aceeaş casă (4B6), dec: df( q,t ) L( v + ε ) L( v ) =, (4B67) codţe care poate f satsfăcută doar dacă fecare tere a sue (4B66) este o dervată totaă Această ută cerţă este satsfăcută petru q=: d c ( v + ε v ) = ( c εt ), dar acest tere (de gradu î vectoru vteză) este prezet î epresa agrageae uu puct atera doar î cazu uu spaţu azotrop stâga-dreapta (a ogdr), spre eepu î cazu sarc eectrce afate îtr-u câp agetc Deoarece tere: p p [ ( v + ε ) ( v y + ε y ) ( vz + ε z ) v v v ] y z + + p= u sut dervate totae petru, î tp ce petru ed zotrope aceaş tere scrs petru = este (ε<<v): d [( v + ε ) v ] v ε = ( r ε ), reese că, petru evouţ ereatvste î spaţ zotrope, agrageaa uu puct atera este o fucţe pătratcă de vteză d) Raporture dtre fucţa u Lagrage ş eerge casce Iterpretâd ecuaţe Lagrage de speţa a II-a (ae ssteeor coservatve): d, = q q î sesu pre poteze a forasuu aatc, se obţe epresa pusuu geerazat corespuzător î acest caz: p = (4B68) q Reese că desuea fzcă a fucţe Lagrage este: [L]=[p I ][dq /] Partcuarzâd petru coordoatee cartezee, găs: z D Iordache Fzcă uercă

22 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-99 [L]=[p v ], dec desuea fzcă a fucţe Lagrage este cea a ue eerg Petru a costata dacă vreua dtre eerge casce (cetcă, poteţaă sau totaă) poate uca rou de fucţe Lagrage, cosderă cazu partcuar a şcăr udesoae (î ugu ae O) a uu puct atera de asă, îtr-u câp de forţe de eerge poteţaă U() Î acest caz: Ec =, ar : Et = Ec + U( ) = + U( ) Se costată că: d Ec d Ec d U U = ( ) = =, = = F =, ar : d Et d Et U = ( ) = = = F =, dec cua dtre eerge casce (cetcă, poteţaă, totaă) u poate uca rou de fucţe a u Lagrage, îsă ergofucţa E t (, d/, t) (depedeţa eerge totae de coordoate ş vtezee geerazate) se aprope ce a ut de propretăţe fucţe Lagrage 4B7 Iducerea ecuaţor u Hato Copatbtatea ssteeor de ecuaţ ae u Hato ş respectv Lagrage de speţa a II-a Avâd î vedere că: a) (ergo)fucţa care descre eerga totaă are propretăţe cee a apropate de fucţa u Lagrage corespuzâd uu sste fzc (vez secţuea 4B6d de a sus), b) eerga totaă ş pusu uu sste fzc posedă uee propretăţ rearcabe specae (teoree de coservare, ecuaţ de evouţe şa), reese că descrerea evouţe ssteeor fzce pr fucţa u Hato (H(q I,p I,t), care epră eerga totaă a ssteuu pr teredu coordoateor ş respectv pusuror geerazate, evetua ş de tp), preztă u teres deosebt Petru a deduce propretăţe fucţe u Hato, vo adopta u procedeu ductv, pord de a epresa ergofucţe (depedeţe eerge totae de coordoatee ş vtezee geerazate, evetua ş de tp) corespuzâd uu puct atera care efectuează o şcare ereatvstă î ugu ae O, îtr-u câp de forţă descrs de eerga poteţaă U(,t): E t (,,t ) = + U(,t ) (4B7) Ţâd seaă că pusu partcue poate f scrs î fora: p =, ecuaţa (4B7) coduce a epresa fucţe u Hato petru partcua î şcare udesoaă: H(, p,t ) = p + U(,t ) (4B7) Deoarece prcpaee caracterstc ae depedeţeor paraetror fzc sut cee dfereţae, prcpaee propretăţ ae fucţe u Hato corespuzâd partcue î şcare udesoaă sut: p U = = s : = = F = p (4B7) p p Apcâd etoda (uzuaă î Fzcă) ducţe copete ş ţâd seaă că ş p repreztă coordoata, respectv pusu geerazat corespuzâd şcăr udesoae, pute presupue că petru u sste fzc arbtrar: D Iordache Fzcă uercă

23 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4- = q, ar : = p (4B74) p q obţâd astfe aşa-utee ecuaţ ae u Hato Pe de ată parte, petru ssteee îchse, eerga totaă se coservă, dec: =, t ar evouţa u depde epct de tp: = t (spre eepu, descărcarea uu acuuator ar dura a fe, dferet de oetu îceper descărcăr, dacă acuuatoru este zoat tota de eteror) Apcâd d ou etoda ducţe copete ş geerazâd petru sstee fzce arbtrare costatăre partcuare (petru sstee îchse) de a sus, se obţe ecuaţa de coreare teporaă a fucţor Hato ş Lagrage: + = (4B75) t t Desgur, după obţerea pr ducţe copetă a ssteuu ceor (ude este uăru gradeor de bertate ae ssteuu) ecuaţ dace (dfereţae de ordu ) ae u Hato, avâd î vedere că aceste ecuaţ descru evouţa ssteuu, trebue studată copatbtatea acestu sste cu acea forat de cee ecuaţ (dfereţae de ordu ) de speţa a doua ae u Lagrage După costatarea copatbtăţ î prvţa codţor ţae (sau/ş fae): deterarea uvocă a souţor abeor sstee ecestă aceaş uăr () de codţ ţae sau/ş fae, va f ecesară costatarea copatbtăţ ssteeor pord de a eprese dfereţaeor fucţor u Hato ş respectv Lagrage: dh( q, p,t ) = dq + dp +, (4B76) q p t = = dl( q,q,t ) = dq + dq +, (4B77) = q = q t Ţâd seaă de defţa pusuu geerazat: p =, q ecuaţe Lagrage de speţa a doua dev: d = = p q q ceeace îpreuă cu ecuaţe Hato (4B74) coduce a urătoaree epres ae dfereţaeor ceor fucţ: dh( q, p,t ) = p dq + q dp + (4B78) = = t ş: dl( q,q,t ) = p dq + pdq + (4B79) = = t Aduâd ebru cu ebru reaţe (4B78) ş (4B79) ş uâd î cosderaţe ecuaţa (4B75) de coreare teporaă a fucţor Hato ş Lagrage, obţe: D Iordache Fzcă uercă

24 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4- d( H + L ) = ( q dp + pdq ) + + = d pq (4B7) = t t = Reaţa (4B7) arată că ecuaţe u Hato ş respectv Lagrage sut copatbe dacă, pâă a o costată arbtrară de tegrare, ître fucţe Lagrage ş Hato estă reaţa (de coreare geeraă a fucţor Lagrage ş Hato): H( q, p,t ) + L( q,q,t ) = q p (4B7) Probea 4B7: Deduceţ epresa reatvstă a eerge totae a uu puct atera, î baza forasuu aatc a fzc Souţe: Pord de a epresa fucţe u Lagrage care corespude şcăror reatvste ae uu puct atera (vreaţa (4B64)) ş ţâd seaă că petru u puct atera: dq /=v (=,y,z), obţe: H( v ) = p v + c v = β = + c β = = ( v ) c β c β (4B7) 4B8 Deducerea sefcaţe fzce a fucţe u Lagrage petru evouţ ereatvste î spaţ zotrope Epresa faă a ecuaţor u Lagrage de speţa a I-a Pord de a defţe copoeteor statce, respectv ceatce ae fucţor Hato, respectv Lagrage: H( q, p,t ) = T( q,q p,t ) U( q,t ), (4B8) + L( q,q,t ) = τ ( q,q,t ) + υ( q,t ), (4B8) precu ş de a epresa corespuzătoare a pusuror geerazate: T p = = (4B8) q q reaţa (4B7) de coreare geeraă a acestor fucţ capătă fora: T T( q,q p,t ) + U( q,t ) = q T( q,q,t ) U( q,t ) (4B84) = q Geerazâd petru evouţ arbtrare costatarea (vş secţuea 4B6c) că - petru evouţ ereatvste î spaţ zotrope agrageaa uu puct atera este o fucţe pătratcă de vteză ş observâd că fucţa τ(q,dq /,t) este partea agrageae care depde efectv de vtezee geerazate, vo apca teorea u Euer fucţe oogee τ(q,dq /,t) de ordu î dq /, obţâd: τ q = τ ( q,q,t ) (4B85) = q Reaţa (4B84) deve: T( q q p,t ) + U( q,t ) = τ( q,q,t ) υ( q,t ) Petru dq /=, se obţe: υ(q I,t)= - U(q,t) ş, î fa: τ ( q,q,t ) = T( q,q p,t ) Reese că epresa agrageae corespuzâd evouţor ereatvste î spaţ zotrope este: L( q,q,t ) = T( q,q p,t ) U( q,t ) (4B86) D Iordache Fzcă uercă

25 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4- Desgur, î cazu ssteeor ecace, părţe fucţe Hato care u depd, respectv depd de vtezee geerazate au sefcaţe de eerge poteţaă (de teracţue), respectv eerge cetcă: Lec ( q,q,t ) = Ec Et (4B86 ) Î cazu geera a uor sstee fzce arbtrare, fucţe T ş U au sefcaţ dferte ca î ecacă Astfe, î cazu crcuteor LC sere, respectv dervaţe, drept coordoate geerazate pot f aese: sarca Q (de pe o arătură a codesatoruu), respectv fuu agetc Φ (pr boba L) Deoarece eprese eergor totae ae crcuteor LC sere, respectv dervaţe pot f scrse: Q LQ Crcutu LC sere: H( Q,Q ) = +, (4B87) L C Crcutu LC dervate: H( Φ, Φ ) = Φ + Φ (4B88) L costată că fucţa U(q,t) poate f detfcată cu eerga eectrostatcă acuuată î codesator î cazu crcutuu sere, respectv cu eerga acuuată î bobă î cazu crcuteor dervaţe ş vers, petru fucţa T(q I,dq / p I,t) Coparâd defţa fucţe u Lagrage (v paragrafu 4B4): L( q,q,t ) = P( q,q,t ) U( q,t ) (4B89) cu epresa ereatvstă (4B86) dedusă a sus, poate f detfcat poteţau efectv a pusuror geerazate pr partea fucţe u Hato care depde de pusure (ş, pct, de vtezee) geerazate: P ( q,q,t ) = T( q,q p,t ) (4B8) Î acest od, obţe epresa drect utzabă a ecuaţor Lagrage de speţa a I-a (v ş paragrafu 4B): d T T + Q = q (4B8) q Probea 4B: Deduceţ ecuaţa u Lagrage de speţa I-a care corespude uu crcut RLC sere Rezovare: Deoarece ărea fzcă avâd aceeaş vaoare petru cee eeete R, L ş C ae acestu crcut este testatea curetuu: I=dQ/, coordoata geerazată corespuzătoare va f sarca Q de pe o arătură a codesatoruu, ar partea fucţe Hato (eerge totae) a ssteuu care depde de vteza geerazată va f eerga acuuată î bobă: LQ T = Reese că pru tere a ecuaţe Lagrage de speţa I-a corespuzătoare: d T d dφ = ( LQ ) = Q repreztă tesuea dusă î bobă, forţa geerazată Q avâd astfe sefcaţa: d Q Q LQ = L = U sωt RQ C D Iordache Fzcă uercă

26 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-4B9 Ecuaţa de evouţe a uu paraetru fzc arbtrar Paratezee u Posso Fe u paraetru fzc arbtrar a căru depedeţă de coordoatee ş pusure geerazate, respectv de tp, este dată de fucţa f(q I,p I,t) Ţâd seaă de ecuaţe u Hato (4B74), vteza de varaţe î tp a paraetruu fzc f poate f scrsă î fora: df ( q, p,t ) f dq f dp f f f f = + + = + (4B9) = q p t = p q p q t Defd parateza Posso a do paraetr fzc arbtrar, ae căror depedeţe de coordoatee ş pusure geerazate, respectv de tp, sut descrse de fucţe f(q I,p I,t) ş g(q I,p I,t), î baza reaţe: f g g f { f,g} = (4B9) = p q p q pute scre ecuaţa evouţe uu paraetru fzc arbtrar f(q I,p I,t) î fora: df f = { H, f } + (4B9) t Î cazu î care paraetru fzc studat u depde epct de tp (spre eepu, cazu ue coordoate geerazate, a uu pus geerazat, î partcuar a oetuu cetc: f L = r p ) : f = f ( q, p ), dec : =, t ecuaţa de evouţe capătă fora spfcată: df = { H, f } (4B94) Se costată că parateza Posso {H,f} are sefcaţa fzcă de vteză de varaţe î tp pctă (pr teredu coordoateor ş pusuror geerazate) a paraetruu fzc f(q I,p I,t), coczâd cu îsăş vteza de varaţe î tp a respectvuu paraetru, dacă acesta u depde epct de tp: f / t= Măre fzce f(q I,p I,t), g(q I,p I,t), a căror parateză Posso este egaă cu : {f,g}=, se uesc ăr caoc cougate Meţoă că epresa uzuaă a reaţor de edeterare ae u Heseberg este dată toca petru pereche de ăr fzce caoc cougate Eercţu: Deostraţ urătoaree propretăţ ae paratezeor Posso: a) {f,c}=, petru C = costată, (4B95) b) {g,f}= - {f,g}, (4B96) c) {f g, h}= f{g,h} + g{f,h}, (4B97) d) f, c g = c { f,g },daca = = c sut costate, (4B98) e) d df dg { f,g} =,g + f, (4B99) Probea 4B: Arătaţ că pusu geerazat p ş coordoata geerazată q aparţâd aceuaş grad de bertate forează o pereche de paraetr fzc caoc cougaţ Rezovare: Pord de a defţa parateze Posso, se costată că: g f { p,g } =, respectv : { f,q } = q p D aceste reaţ, reese că: {p, q }= δ, dec p ş q sut ăr caoc cougate D Iordache Fzcă uercă

27 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-4 4B Setr fzce ş teoree de coservare asocate a) Ufortatea tpuu Teorea coservăr eerge totae Spue că petru u aut sste fzc tpu este ufor dacă evouţa ssteuu u depde de oetu a care a îceput evouţa (spre eepu, petru u acuuator eectrc tpu este ufor dacă durata descărcăr sae u depde de oetu îceper descărcăr) Deoarece evouţa ssteuu este descrsă de fucţa u Lagrage: L(q I, dq /, t), tpu este ufor dacă: / t= Î cofortate cu uta ecuaţe a u Hato (a coreăr teporae a fucţor Lagrage ş Hato): / t = - / t, dec petru u sste fzc î care tpu este ufor: / t = Î cofortate cu ecuaţa de evouţe a uu paraetru fzc arbtrar f(q I,p I,t) (vreaţa (4B9)), ecuaţa evouţe fucţe Hato este: dh = { H,H} + t Cofor defţe paratezeor Posso (vreaţa (4B9)), ave: {H,H)=, dec petru sstee fzce î care tpu este ufor: dh = = t adcă eerga totaă (descrsă de fucţa u Hato) f(q I,p I,t) se coservă Avâd î vedere faptu că tpu este ufor doar dacă ssteu este zoat (spre eepu, durata descărcăr acuuatoruu se scurtează dacă acesta este coectat a u crcut eectrc), rezutatu obţut era prevzb ş catatv b) Oogetatea spaţuu Teorea coservăr pusuu Spaţu asocat ue probee fzce (uu sste fzc afat î aute codţ) este ut ooge dacă eerga (poteţaă) de teracţue a ssteuu U(q I,t) u depde de pozţa cetruu de asă a acestua: U U U cu = + y + z = c yc zc Ecuaţa de evouţe a pusuu tota: p rez = p a ceor partcue (pucte aterae) ae uu sste fzc este: dprez p = H, p + p = H, p + = t = = t = { } = { H, p } = = (4B) Probea 4B4: Deduceţ epresa parateze Posso: { H, p }, ude p este pusu asocat puctuu atera ( =,, ), ar H(q I,p I,t) este fucţa Hato corespuzâd ssteuu cosderat de pucte aterae Rezovare: Deoarece petru u sste de pucte aterae: H( q, p,t ) = ( + y + z ) + U( q,t ) = ar eerga cetcă a ssteuu de pucte aterae u depde de coordoatee puctuu atera: T T T = = = y z D Iordache Fzcă uercă

28 Cap4 Defţ ş raportur ître oţue de bază ae ecac pucteor aterae 4-5 ş ţâd seaă de propretăţe paratezeor Posso (v reaţe (4B95)-(4B99)), obţe: { H, p } = { H, p + p y y + p z z } = { H, p } + { H, p y } y + { H, p z } z dec: H H H U U U H, p = + y + z = + y + z = U = F, ude F y z y z este forţa care acţoează asupra puctuu atera { } Ţâd seaă de rezutatu probee 4B4, ecuaţa (4B) deve: dprez = U (4B) = dec vteza varaţe î tp a copoete a pusuu rezutat este: dp,rez U = (4B) = Avâd î vedere că abscsee ceor pucte aterae ae ssteuu pot f eprate pr abscsa c a cetruu de asă î baza reaţor: = c + ξ (=,, ) ş: obţe: = = c ξ (4B4) = = c = c = (4B5) dec ecuaţa (4B) deve: dp,rez U = (4B6) c Îtrucât copoetee y ş z ae pusuu rezutat vor satsface ecuaţ aaoage ecuaţe (4B6), se obţe: dprez U U U = y z = cu + + c yc z (4B7) c Î cazu câd spaţu fzc asocat probee studate este ooge: c U=, reese că pusu rezutat a partcueor ssteuu: p rez = p se coservă (teorea coservăr pusuu) = a) Izotropa spaţuu Teorea coservăr oetuu cetc Spaţu asocat ue probee fzce (uu sste fzc afat î aute codţ) este ut zotrop dacă eerga (poteţaă) de teracţue a ssteuu U(q I,t) u depde de copoetee (ughure) θ, θ y, θ z ae vectoruu θ - ughu de rotaţe (î uru cetruu de asă) a ssteuu cosderat ca îtreg rgd: U U U = + y + z = θ θ θ θ Ecuaţa de evouţe a oetuu cetc tota: y L rez = L = z D Iordache Fzcă uercă