Mădălina Roxana Buneci. Metode Numerice - aspecte teoretice şi practice

Transcript

1 Mădălia Roxaa Bueci Metode Numerice - aspecte teoretice şi practice Editura Academica Brâcuşi Târgu-Jiu, 009

2 Mădălia Roxaa Bueci ISBN

3 Metode Numerice CUPRINS Prefaţă...7 I. Noţiui itroductive...9 I.. Elemete de teoria erorilor...9 I.. Codiţioarea umerică. Factor de codiţioare... I.3. Stabilitatea algoritmilor...4 I.4. Complexitatea algoritmilor...5 II. Aproximarea umerelor reale...7 II.. Reprezetarea umerelor îtregi îtr-o bază... II.. Reprezetarea umerelor reale îtr-o bază...9 III. Reprezetarea iformaţiei î sistemele de calcul...9 III.. Reprezetarea iteră a umerelor îtregi...9 III... Reprezetarea iteră a umerelor îtregi fără sem (pozitive)...9 III... Reprezetarea iteră a umerelor îtregi (cu sem)...30 III.. Reprezetarea iteră a umerelor reale...35 III... Forma ormalizată...35 III... Reprezetarea î virgulă mobilă...36 III..3. Stadardul IEEE III..4. Aritmetica î virgulă mobilă...45 IV. Rezolvarea sistemelor liiare...53 IV.. Elemete de aaliză matriceală...53 IV.. Metode directe de rezolvare a sistemelor liiare...6 IV... Metoda de elimiare Gauss...6 IV... Rezolvarea sistemelor liiare pri metoda de elimiare Gauss

4 Mădălia Roxaa Bueci IV..3. Calculul determiatului uei matrice...70 IV..4. Calculul iversei uei matrice...7 IV.3. Factorul de codiţioare al uei matrice...74 IV.4. Metode iterative de rezolvare a sistemelor liiare...80 IV.4.. Geeralităţi...80 IV.4.. Metoda Jacobi...83 IV.4.3. Metoda Gauss-Seidel...87 V. Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor eliiare...9 V.. Rezolvarea ecuaţiilor eliiare...9 V... Metoda bisecţiei (metoda îjumătăţirii itervalului)...93 V... Metoda coardei...96 V..3. Metoda tagetei...04 V.. Rezolvarea sistemelor eliiare...4 V... Metoda puctului fix...6 V... Metoda Newto cazul m-dimesioal...7 VI. Aproximarea fucţiilor...39 VI.. Polioame de iterpolare...39 VI... Defiiţie. Eroarea de iterpolare...4 VI... Eroarea de iterpolare î cazul odurilor echidistate...4 VI..3. Eroarea de iterpolare î cazul odurilor Cebîşev...43 VI..4. Poliomul Lagrage de iterpolare...44 VI..5. Poliomul Newto de iterpolare de speţa I (ascedet)...6 VI..6. Poliomul Newto de iterpolare de speţa a II-a (descedet)...66 VI..7. Poliomul Newto de iterpolare cu difereţe divizate...7 VI.. Metoda celor mai mici pătrate...75 VI... Caracterizarea elemetelor de cea mai buă aproximare pe subspaţii Hilbert...75 VI... Aproximarea î medie pri metoda celor mai mici pătrate...78 VI..3. Limitări ale metodei celor mai mici pătrate

5 Metode Numerice VII. Derivarea umerică...89 VII.. Formule de derivare aproximativă folosid dezvoltări î serie Taylor...89 VII.. Extrapolare Richardso...05 VII.3. Metode de derivare umerică folosid iterpolarea...06 VIII. Itegrarea umerică...09 VIII.. Formula geerală de cuadratură umerică. Formula de cuadratură Newto-Cotes...09 VIII.. Formula dreptughiurilor... VIII.3. Formula trapezelor...8 VIII.4. Formula lui Simso...3 VIII.5. Algoritmul lui Romberg...4 VIII.6. Cuadratura Gauss...7 VIII.7. Formule petru calculul aproximativ al uei itegrale duble...30 Aexa: Iiţiere î Maple...35 A.. Structura iteră. Categorii de comezi MAPLE...35 A.. Operatori, costate şi fucţii predefiite î MAPLE. Expresii...38 A.3. Numere, şiruri şi idetificatori...43 A.4. Comezi de calcul î MAPLE...48 A.5. Reprezetări grafice î MAPLE...5 A.6. Structuri de date î MAPLE...56 A.6. Expresii şi fucţii...56 A.6.. Liste...6 A.6.3. Mulţimi...6 A.6.4. Tablouri...64 A.7. Elemete de programare î MAPLE...69 A.7. Atribuirea. Decizia. Structuri repetitive...69 A.7.. Proceduri î MAPLE...74 Bibliografie...79 Idex...8 5

6 Mădălia Roxaa Bueci 6

7 Metode Numerice PREFAŢĂ Aaliza umerică are o istorie lugă şi bogată: Arhimede, Newto sau Gauss, spre exemplu, avâd cotribuţii semificative î acest domeiu. Îsă metodele umerice modere, aşa cum le folosim astăzi, sut caracterizate de siergia ditre calculatoarele electroice programabile, aaliza matematică, precum şi oportuitatea şi ecesitatea de a rezolva probleme complexe di diverse domeii cum ar fi igieria, medicia, ecoomia sau ştiiţele sociale. Deşi a existat îtotdeaua o strâsă iteracţiue ître matematică, pe de o parte şi ştiiţe şi tehologie, pe de altă parte, această iteracţiue s-a itesificat î ultimele deceii. Creşterea utilizării metodelor umerice a fost cauzată u umai de creşterea performaţei calculatoarelor, ci şi de îmbuătăţirea algoritmilor. Cu toate că există produse software performate petru rezolvarea multor probleme matematice îtâlite î practică, cuoaşterea şi îţelegerea metodelor umerice rămâ eseţiale petru utilizarea iteligetă a produselor software respective. Această carte reprezită o itroducere î studiul metodelor umerice. Î cele opt capitole ale acestei lucrări sut prezetate oţiui şi rezultate fudametale ce ţi de aproximarea umerelor reale, reprezetarea iformaţiei î sistemele de calcul şi aritmetica î virgula mobilă, rezolvarea sistemelor liiare (pri metode directe şi iterative), rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor eliiare, aproximarea fucţiilor (pri polioame de iterpolare şi metoda celor mai mici pătrate), derivarea şi itegrarea umerică. Sut descrise cele mai utilizate metode umerice, aduse la o formă algoritmică. Î fiecare caz î parte sut prezetate proceduri î MAPLE şi se fac comparaţii ître datele de ieşire ale procedurilor respective şi rezultatele afişate de comezile MAPLE destiate rezolvării aceloraşi probleme. Î multe situaţii, petru a evideţia erorile de rotujire, se compară rezultatele obţiute utilizâd aritmetica virgulei mobile cu rezultatele obţiute folosid calculul simbolic. 7

8 Mădălia Roxaa Bueci Cartea de faţă corespude programei aalitice a cursului de Metode Numerice (de la Igieria Sistemelor, Igieria Eergetică şi Igierie Idustrială liceţă). Î afară de destiaţia ei directă de maual petru studeţii facultăţilor tehice, cartea poate servi, petru cei iteresaţi, ca puct de plecare î studiul mai aprofudat al metodelor umerice. Numerical Methods - theoretical ad practical aspects Author: Mădălia Roxaa Bueci Abstract. This book is a itroductio to the study of umerical methods. I the eight chapters of this book are preseted fudametal cocepts ad results related to approximatig of real umbers, computig i floatig poit arithmetic, solvig liear systems (by direct ad iterative methods), solvig equatios ad oliear systems, approximatig fuctios (polyomial iterpolatio ad the least squares method), approximatig derivatives ad quadrature rules. Theoretical as well as practical aspects are emphasized. The algorithms are implemeted i MAPLE. These lecture otes were developed for a fourtee-week course the author has taught for first year studets at System Egieerig, Power Egieerig ad Idustrial Egieerig. 8

9 Metode Numerice I. Noţiui itroductive Metodele umerice reprezită tehici pri care problemele matematice sut reformulate astfel îcât să fie rezolvate umai pri operaţii aritmetice. Pri trecerea de la ifiit la fiit, difereţial la algebric, eliiar la liiar problemele complicate sut îlocuite de probleme mai simple care au aceeaşi sau aproape aceeaşi soluţie. Astfel soluţiile obţiute pri aplicarea metodelor umerice reprezită doar aproximaţii ale soluţiilor problemelor origiale, şi deci implică erori. I.. Elemete de teoria erorilor Sursele erorilor şi clasificarea lor Se pot distige trei tipuri de erori î cazul aplicării de metode umerice petru rezolvarea uei probleme: Erori proveite di simplificarea modelului fizic, petru a fi descris îtru model matematic; erori di măsurătorile iiţiale sau erori di calcule aterioare. Aceste tipuri de erori se umesc erori ierete. Erori datorate metodei utilizate-de exemplu, truchierea uei serii ifiite (mai precis aproximarea sumei uei serii pritr-o sumă parţială), sau cosiderarea uui terme cu u rag suficiet de mare petru a aproxima limita uui şir. Aceste erori sut umite erori de metodă sau erori de truchiere. Erori datorate reprezetării datelor şi efectuării calculelor îtr-o aritmetică cu precizie limitată (de exemplu aritmetica virgulei mobile). Aceste erori se umesc erori de rotujire. 9

10 Mădălia Roxaa Bueci Erorile ierete sut aterioare aplicării metodei umerice, iar erorile de truchiere şi de rotujire apar î timpul calculului umeric. Erori absolute şi erori relative Eroarea absolută = valoare aproximativă - valoare exactă Eroarea relativă = eroare absolută valoare exactă Di aceste defiiţii se obţie: Valoare aproximativă = (valoare exactă )( + eroare relativă) Eroarea absolută u ţie seama de ordiul de mărime al valorilor comparate. De exemplu, o eroare î cetimetri este mai importată dacă lugimea calculată este de 00 cm, decât dacă este de 00 km. De aceea, eroarea relativă se raportează la valoarea reală. Adesea eroarea relativă se exprimă î procete: eroare absolută. 00 % valoare exactă De obicei valoarea exactă u este cuoscută. De aceea ici eroarea (absolută sau relativă) u poate fi calculată, şi doar se estimează valorile limită ale acesteia. Se utilizează majoraţi petru modulul erorii (sau orma erorii, dacă se lucrează îtr-u spaţiu ormat). Erori ale datelor şi erori de calcul Cosiderăm următoarea problemă tipică: calculul valorii uei fucţii f:r R petru u argumet dat. Fie: x = valoarea de itrare exactă x* = valoare de itrare aproximativă f(x) = rezultatul dorit f* = fucţia aproximativă de calcul Eroarea totală este dată de: f*(x*) - f(x) = (f*(x*) - f(x*)) - (f(x*) - f(x)) Deci 0

11 Metode Numerice ude, Eroare totală = eroare de calcul + eroare propagată a datelor, Eroare de calcul = f*(x*) - f(x*) Eroare a datelor = x* - x. Algoritmul u are ici u efect asupra erorii propagate a datelor. Erori de truchiere şi erori de rotujire Eroare de truchiere = difereţa ditre rezultatul exact (petru datele de itrare curete) şi rezultatul furizat de u algoritm dat utilizâd aritmetica exactă. Eroare de rotujire = difereţa ditre rezultatul produs de u algoritm dat utilizâd aritmetica exactă şi rezultatul produs de acelaşi algoritm aritmetică cu precizie limitată (de exemplu aritmetica virgulei mobile). utilizâd o Eroarea de calcul este suma ditre eroarea de truchiere şi eroarea de rotujire, dar de obicei ua ditre acestea predomiă. De exemplu, dacă aproximăm derivata îtr-u puct pri f f ( x) ( x + h ) f ( x ) h eroarea de truchiere este domiată de M, ude M = f ( t) h sup petru t îtr-o veciătate a lui x (acesta rezultă aplicâd formula lui Taylor de ordiul doi î x). Dacă ε domiă eroarea cu care se reprezită valorile lui f, atuci eroarea de rotujire î formula de aproximare cosiderată este mărgiită de h ε. Deci eroarea h ε totală este mărgiită de E(h) = M +. Studiem variaţia acestei fucţii. h M Avem E ( h) = -ε h şi deci ( h) ε ε E = 0 <=> h =. Î plus, M E >0, M deci fucţia are puct de miim î h = M ε. Ca urmare, eroarea totală este miimă petru h M ε. Petru valori mai mici ale lui h eroarea totală creşte di

12 Mădălia Roxaa Bueci cauza creşterii erorii de rotujire, iar petru valori mai mari ale lui h eroarea totală creşte di cauza creşterii erorii de truchiere. Erori forward şi erori backward Să presupuem că dorim să calculăm y = f(x), ude f : R R, dar obţiem o valoare aproximativă y*. Eroare forward absolută = y = y* - y Eroare forward relativă = y y * y =. y y Deseori eroarea y este dificil de estimat. Ideea aalizei erorilor di puct de vedere a erorilor backward este următoarea: soluţia aproximativă y* este cosiderată soluţia exactă a uei probleme cu datele iiţiale modificate, mai precis se cosideră y* = f(x*), ude x* este o perturbaţie a lui x. Eroare backward absolută = x = x* - x, ude f(x) = y şi f(x*) = y*. Eroare backward relativă = x x * x =. x x Soluţia aproximativă y* se cosideră "buă" dacă este soluţie exactă petru o problemă cu datele "uşor" perturbate. este De exemplu, dacă aproximăm y = y* - y = iar eroarea forward relativă este aproximativ.6 %. 5 pri y* =., eroarea forward absolută Petru a calcula eroarea backward, observăm că =.. Eroarea backward absolută este x = x* - x = , iar eroarea backward relativă este aproximativ 3 %.

13 Metode Numerice I.. Codiţioarea umerică. Factor de codiţioare. Problema se umeşte bie codiţioată dacă variaţiile relative ale soluţiei au acelaşi ordi de mărime cu variaţiile relative ale datelor de itrare ce le cauzează. Problema este rău codiţioată dacă modificările relative care au loc î soluţie pot fi mult mai mari decât cele ale datelor de itrare. Factorul de codiţioare (relativ) se defieşte pri: cod = variatia relativă a solutiei variatia relativă a datelor de itrare Să reveim la calculul y = f(x), ude f : R R. Să presupuem că se obţie valoarea aproximativă y*. Fie x* cu proprietatea că f(x*) = y*. Avem cod = f ( x *) f ( x) f ( x) = x * x x y y. x x Problema este rău codiţioată, dacă factorul de codiţioare cod >>. Factorul de codiţioare acţioează ca u "factor de amplificare" legâd eroarea forward de eroarea backward: eroarea relativă forward = cod eroarea relativă backward De obicei factorul de codiţioare u este cuoscut exact şi poate varia î fucţie de datele de itrare. De aceea se utilizează o estimaţie margie superioară petru cod. Deci eroarea relativă forward < cod eroarea relativă backward. Cosiderăm u exemplu de estimare petru factorul de codiţioare. Să presupuem că se evaluează fucţia difereţiabilă f petru data de itrare x şi se obţie valoarea aproximativă y* corespuzâd valorii x* = x + x, (mai precis y* = f(x*)). Eroarea absolută forward este f(x + x) - f(x) f ( x) x 3

14 Mădălia Roxaa Bueci iar eroarea relativă forward este Factorul de codiţioare este cod f ( x + x) f ( x) f ( x ) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) x x x x x f ( x) =. f ( x) Factorul de codiţioare absolut se defieşte ca raportul ditre variaţia soluţiei şi variaţia datelor de itrare. Factorul de codiţioare absolut acţioează ca u "factor de amplificare" legâd eroarea absolută forward de eroarea absolută backward. I.3. Stabilitatea algoritmilor Noţiuea referitoare la algoritmi aaloagă codiţioării umerice a problemelor este stabilitatea. Ituitiv vorbid, stabilitatea umerică a uui algoritm îseamă ca acesta este cât mai puţi sesibil la perturbaţiile di timpul calculului (erorile de rotujire sau la alte icertitudii umerice care pot apărea î procesul de calcul). Se spue că u algoritm de rezolvare a uei probleme este stabil dacă rezultatul produs este soluţia exactă a aceleaşi probleme cu datele "uşor" perturbate. Î cazul algoritmilor stabili efectul erorii de calcul u este mai puteric decât efectul erorii (mici) a datelor de itrare. U algoritm istabil poate amplifica mult perturbaţiile date de erorile de calcul. Acurateţea metodelor Acurateţea se referă la apropierea soluţiei calculate de soluţia exactă a problemei. Stabilitatea algoritmului u garatează acurateţea. Aceasta depide î egală măsură de bua codiţioare a problemei şi de stabilitatea algoritmului. 4

15 Metode Numerice Iacurateţea poate rezulta di aplicarea uui algoritm stabil uei probleme rău codiţioate, ca şi di aplicarea uui algoritm istabil uei probleme bie codiţioate. Aplicarea (cu ajutorul calculatorului) uui algoritm stabil uei probleme bie codiţioată garatează obţierea soluţiei cu o precizie buă, î sesul că eroarea relativă a soluţiei calculate faţă de soluţia exactă este de ordiul de mărime al erorilor de reprezetare a datelor î calculator. I.4. Complexitatea algoritmilor Î evaluarea complexităţii uui algoritm se ţie cot de două aspecte timpul ecesar execuţiei algoritmului (dat de umărul de operaţii elemetare) spaţiul de memorie ecesitat de algoritm Î geeral u este posibil să obţiem simulta u timp de execuţie mai scurt precum şi u ecesar de spaţiu de memorare mai mic. Progresele tehologice di ultima vreme impu drept criteriu primordial criteriul timp. Fie umărul de date de itrare petru u aumit algoritm (evetual cosiderăm egal cu umărul de locaţii de memorie ecesare petru memorarea datelor iiţiale). Fie T S () timpul cerut de algoritm petru u aumit set de date de itrare S. Vom ota τ() timpul cerut de algoritm î cazul cel mai defavorabil, i.e.: τ() = sup {T S () : S este u set de date de itrare de dimesiue } Î geeral u este posibil să determiăm o formulă petru τ(). Î acelaşi timp e iteresează comportarea lui τ() petru valori mari ale lui. Î acest ses itroducem următoarele otaţii: τ() = O(f()) dacă C > 0, 0 N cu τ() C f() 0 Iterpretare: τ are o creştere mai letă decât f ( ) ( ) τ τ() = o(f()) dacă lim f = 0 Iterpretare: τ are o creştere strict mai letă decât f τ() = θ (f()) dacă C, C > 0, 0 N cu C f() τ() C f() 0 5

16 Mădălia Roxaa Bueci Iterpretare: τ are o creştere la fel de letă ca f τ() ~ f() dacă ( ) ( ) τ lim = f Iterpretare: τ are o creştere la fel de letă ca f τ() = Ω(f()) dacă f() = O(τ() Iterpretare: f are o creştere mai letă decât τ O şi o se folosesc petru a stabili margiile superioare ale timpului de execuţie, iar Ω petru limita iferioară a timpului de execuţie. U algoritm se umeşte algoritm poliomial dacă τ() = O(P()), ude τ este timpul cerut de algoritm, iar P este u poliom. 6

17 Metode Numerice II. Aproximarea umerelor reale II.. Reprezetarea umerelor îtregi îtr-o bază Se umeşte bază u umăr atural b N, b. Se umeşte sistem de umeraţie o mulţime de b simboluri disticte, corespuzătoare mulţimii primelor b umere aturale: 0,,, b-. Notăm S b = {c i : 0 i b- } mulţimea acestor simboluri, umite cifre î baza b. De exemplu: S = {0, } S 6 = {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} ude caracterele A, B, C, D, E, F corespud umerelor aturale 0,,, 3, 4, 5. Î cele ce urmează fixăm o bază b şi otăm B = {0,,, b- } şi B k = B petru orice k N. Fie mulţimea A = B k= 0 k îzestrată cu ordiea lexicografică. Reamitim că această relaţie de ordie se defieşte î felul următor: (α, α -,, α 0 ) < (β, β -,, β 0 ) def <=> există k {0,,, } astfel îcât α k < β k şi α i = β i petru i = k +,. Cosiderăm fucţia f : A {0,,, b + - } defiită pri f (α, α -,, α 0 ) = α b + α - b α b + α b + α 0. Demostrăm că fucţia f este bijectivă. Arătăm petru îceput că f este strict crescătoare, deci este ijectivă. Apoi, ţiâd cot că mulţimile {0,,, b + -} şi A sut mulţimi fiite cu acelaşi cardial (umăr de elemete) va rezulta că de fapt f este o bijecţie. Fixăm două elemete di A, α=(α, α -,, α 0 ) şi β = (β, β -, 7

18 Mădălia Roxaa Bueci, β 0 ), cu α < β. Deoarece α < β, rezultă că există k {0,,, } astfel îcât α i = β i petru i = k +, şi α k < β k (de ude rezultă că α k β k - ). Avem f (α 0, α,, α ) = α b + α - b α k+ b k+ + α k b k +α k- b k- + + α b + α 0 = β b + β - b β k+ b k+ + α k b k + α k- b k- + + α b + α 0 β b + β - b β k+ b k+ + (β k -)b k +(b -)b k- + + (b-) = β b + β - b β k+ b k+ +(β k -)b k +(b -)(b k- + + b +) = β b + β - b β k+ b k+ + β k b k - b k + (b -) b k b = β b + β - b β k+ b k+ + β k b k - < β b + β - b β k+ b k+ + β k b k f (β) Î coseciţă, α < β implică f (α) < f (β), deci f este strict crescătoare. Folosid bijectivitatea fucţiei f demostrăm următoarea teoremă: Teorema.. Fie b o bază (adică b N, b ). Orice umăr atural eul x poate fi scris î mod uic sub forma x = α b + α - b α b + α b + α 0, cu α 0. şi α 0, α,., α {0,,, b- }. Demostraţie. Coform pricipiului multiplicativ al lui Arhimede, petru umăr atural eul x există u umăr atural astfel îcât: b x < b +. De aici rezultă că există u sigur umăr atural astfel îcât x {0,,, b + - } - {0,,, b - }. Deoarece x {0,,, b + - } şi f : A {0,,, b + - } este bijectivă, există u uic elemet α = (α, α -,, α 0 ) î A astfel îcât x = f (α) sau echivalet x = α b + α - b α b + α b + α 0. Dacă α ar fi ul, atuci x = α - b α b + α b + α 0 (b -)b (b -)b + (b -)b + (b -) = (b -) (b - + b + b + ) 8

19 Metode Numerice = (b -) b b < b, ceea ce cotrazice alegerea lui. Deci α 0. Dacă ar exista două reprezetări x = α b + α - b α b + α b + α 0, cu α 0. = β m b m + β m- b m- + + β b + β b + β 0, cu β m 0. cu α 0, α,., α, β 0, β,., β m {0,,, b- }, atuci b x < b + şi b m x < b m+ şi î coseciţă, = m. Deoarece f este ijectivă şi f (α, α -,, α 0 ) = f (β, β -, β 0 ), avem (α, α -,, α 0 ) = (β, β -, β 0 ), şi ca urmare reprezetarea x lui este uică. Plecâd de la observaţia următoare x = α b + α - b α b + α b + α 0 = ( ( (α b + α - )b + + α )b + α )b + α 0 deducem faptul că reprezetarea sub forma di teorema a uui umăr atural eul x se poate face pri împărţiri succesive la b şi reţierea resturilor de la sfârşit spre îceput: x = bq 0 + α 0, 0 α 0 < b, q 0 0 q 0 = bq + α, 0 α < b, q 0 q - = b q + α, 0 α < b, q = 0 Scrierea lui x sub forma di teorema se umeşte reprezetarea lui x î baza b. Trecerea uui umăr ditr-o bază î alta se umeşte coversie. Coveim să scriem bază î care este reprezetat u umăr ca idice. De exemplu umărul 47 0 se scrie î baza astfel: 9

20 Mădălia Roxaa Bueci 47 = = = 5 + sau 5 = = = Deci 47 0 = 0. Coversia de la baza b la baza 0 se face pri îsumarea puterilor lui b îmulţite cu cifrele di baza b corespuzătoare. De exemplu, umărul 7 8 şi A8 6 se scriu î baza 0 astfel: 7 8 = = 87 0 A8 6 = A = = Coversia uui umăr îtreg ditr-o bază b îtr-o bază b se face pri itermediul bazei 0. Î cazul particular, î care baza b care este o putere a lui b sau ivers, coversia se poate face şi direct. Fie b = b k, cu k. Coversia de la baza b = b k la baza b corespude dezvoltării fiecărei cifre di reprezetare î echivaletul ei î baza b utilizâd k cifre (adăugâd evetual zerouri î faţă). De exemplu, 7 8 = 0000 = 00, deoarece 8 = 3 şi 8 = 00, 8 = 00, 7 8 = 4E 6 = 0000 = 000, deoarece 6 = 4 şi 4 6 = 000, E 6 = 0. Coversia de la baza b la baza b = b k se realizează îlocuid de la dreapta la stâga grupele de k cifre di baza b pri cifra î baza b corespuzătoare. Dacă umărul de cifre u este multiplu de k se completează cofiguraţia la stâga cu zerouri. De exemplu, 0 0 = = A7 6. A 7 0

21 Metode Numerice II.. Reprezetarea umerelor reale îtr-o bază Petru scrierea uui umăr real şi pozitiv î baza b cosiderăm mulţimea C = N* B cu B k = {0,,, b- }, şi fucţia F : C (0, ) defiită pri k k α Seria b F(α 0, α,, α, ) = α 0 + = este covergetă, petru că 0 α b. α (b-) b şi b b este covergetă (fiid o serie geometrică cu raţia b pozitivă şi subuitară). Deci F este corect defiită. Teorema.. Fie b o bază şi F : C [0, ) fucţia defiită mai sus. Atuci. F este surjectivă v. Petru orice umăr real x > 0 care u este de forma cu v N şi b N * există u uic α C astfel îcât F(α) = x. v 3. Dacă umărul real x > 0 este de forma cu v N şi N *, atuci b există două elemete α, β C cu α β astfel îcât F(α) = F(β) = x. Î plus, dacă γ C are proprietatea că F(γ) = x, atuci γ = α sau γ = β. Demostraţie. Î cele ce urmează otăm cu [y] partea îtreagă a umărului real y, adică cel mai mare umăr îtreg mai mic sau egal cu y.. Cosiderăm x (0, ) şi costruim α C astfel îcât F(α) = x. Petru orice N, otăm q = [xb ]. Di defiiţia părţii îtregi rezultă q xb < q +, sau echivalet q b x < q b + b q, ceea ce implică 0 x - b < şi lim b x. Pe de altă parte, îmulţid iegalitatea q xb < q + cu b şi ţiâd cot că [xb + ] = q +, obţiem q b =

22 Mădălia Roxaa Bueci bq q + < bq + b 0 q + - bq < b Luăm α 0 = [x] şi α = q - b q - petru orice. Evidet α 0 N şi 0 α b-. Demostrăm că F(α 0, α,, α, ) = x. Petru aceasta este suficiet să demostrăm că α = 0 b = x. Cosiderăm o sumă parţială a acestei serii: s = k= 0 α b k k = α q 0 + k= k bq b k k q = α 0 + k= b k k q b k k q q = α q 0 = b b b. Di lim q = x, rezultă că lim s = x. b v. Fie x > 0 u umăr real care u este de forma cu v N şi N *. b Presupuem pri absurd că î afara elemetului α C costruit aterior mai există β C astfel îcât F(β)= x, sau echivalet = β 0 b = x. Dacă otăm t = k= 0 parţială de ordi a acestei serii, atuci t x şi x = = 0 β b β b k k β = b k= 0 suma k k + k= + β b k k β b k= 0 k k + (b-) k= + b b k = t + (b-) + b b = t +. Deci b t x t +. b Dar x u poate fi egal cu t + N *. Î coseciţă t x < t + că t b N, rezultă că [xb ] = t b q. Ca urmare t = b v petru că x u este de forma cu v N şi b b şi t b xb < t b +. Ţiâd cot şi de faptul b = k= 0 α b k k suma parţială a α seriei b 0. Seriile α b 0 geerali egali şi deci α = β. β şi b 0 avâd sumele parţiale egale au termeii

23 Metode Numerice v 3. Fie x > 0 u umăr real de este de forma b cu v N şi N *. Fie 0 cel mai mic umăr atural cu proprietatea că există v 0 atural astfel îcât x = 0 0 Utilizâd relaţiile stabilite la puctul, obţiem q = [x b ] = x b 0 q b 0 0 = v b 0 0 = x. Deci α = (α 0, α,, α 0, 0,0, ). v 0. b 0 0 α k = v 0 şi k b = Demostrăm că α 0. Presupuâd pri absurd că α 0 = 0, ar rezulta că x = 0 0 α k k k= 0 b = w 0 0 b ceea ce ar cotrazice alegerea lui 0. Luâd obţiem β = (α 0, α,, α 0 -, b -, b -, ). k= 0 = 0 β b = 0 α b k= 0 k k - + b 0 b k k= 0 + b = x - b 0 + (b-) k k= 0 + b = x - + (b-) + b 0 b 0 b b = x. Deci F(β) = x şi α β. Î cotiuare presupuem că există γ C cu proprietatea că F(γ) = x. Fie u umăr atural cu proprietatea că există m > astfel îcât γ m < b-. Atuci avem i= + γ i i b < (b-) + i= Ţiâd cot de reprezetarea lui x sub forma x = = xb = b γ i i b + b γ = + b i= 0 i i i i = b i 0 b. γ i i b, obţiem = i b γ i + b γ i i = + b. i= 0 i 3

24 Mădălia Roxaa Bueci Numărul i b γ i este atural, iar b γ i i = + b [0, ). Deci b i= 0 raţioamet similar, obţiem că b k i= 0 i k i γ i aproape se obţie α 0 = [xb 0 ] = γ 0 α = [xb ] - b[xb 0 ] = γ 0 b + γ - bγ 0 => α = γ i= 0 i γ i = [xb ]. Cu u = [xb k ] petru orice k. Di aproape î α = [xb ] - b[xb - ] = Există două cazuri posibile γ N (i) < b-). i b γ i - b i= 0 i= 0 b i γ i = γ => α = γ Există u umăr atural N astfel îcât γ = b- oricare N+. (ii) Oricare ar fi N există N N+ astfel îcât γ N b- (sau echivalet, Presupuem că are loc cazul (i) şi cosiderăm N 0 cel mai mic umăr atural cu proprietatea idicată. Di cele demostrate mai sus rezultă că α i = γ i petru orice i N 0 - (deoarece γ N < (b-)). Demostrăm că γ = β. Avem 0 x = = 0 γ b N = 0 γ b k= 0 k k + = + b k k N0 b N 0 = k= 0 γ b k k + (b-) + k k= N0 b N 0 = k= 0 γ k k b + (b-) b b N 0 + b N = 0 γ k k k= 0 b + w N = 0 N. 0 b b şi deci 0 N 0. Presupuâd pri absurd că 0 < N 0, se obţie următoarea cotradicţie 0 x = k= 0 Utilizâd î cotiuarea egalitatea x = = α b k k < 0 α k k k= 0 b + γ k k k= 0 + b = γ = 0 b 0 γ b = = 0 = x α b, se obţie γ N = α 0 N -, şi 0 deci α=β. Dacă are loc cazul (ii), atuci evidet α = γ petru orice, şi deci γ = α. 4

25 Metode Numerice Defiiţie.3. Reprezetarea x = = 0 α b î baza b a umărului real x > 0 se umeşte periodică dacă există u umerele aturale N, p astfel îcât α t = α t+p+ petru orice t N. Î această situaţie se foloseşte următoarea otaţie x = α 0, α α α N- (α N α N+ α N+p ). Teoremă.4. Fie b o bază (adică b N, b ). U umăr real x > 0 este raţioal dacă şi umai dacă x admite o reprezetare periodică î baza b. Demostraţie. Presupuem că x admite reprezetarea periodică x = α 0, α α α N- (α N α N+ α N+p ). Atuci x = α = b = N N α = 0 b + + = 0 N = α = 0 b + + = N p α N b = 0 b p α N b ( p+ ) + ( ) ( ) +... p + p+ p b b b + + N = α = 0 b + + = N p α N p+ b, p+ b b de ude rezultă că x este u umăr raţioal. i Reciproc să cosiderăm u umăr raţioal x =, cu i şi j umere aturale, j j 0. Demostrăm că reprezetarea x = α = 0 b î baza b este periodică. Dacă x este de forma v cu v N e vom referi la acea reprezetare care are proprietatea că b oricare ar fi N există N N+ astfel îcât α N b-. Atuci avem α 0 = [x] şi α = [xb ] - b[xb - ],, şi aşa cum am observat î demostraţia teoremei Notăm Se observă că α 0 = [x] = [x 0 ] i= 0 b = [xb ] petru orice. i α i x 0 = x, x + = b(x - α ), 0. 5

26 Mădălia Roxaa Bueci α + α 0 b = [xb] => α = [(x-α 0 )b] = [x ] α + bα + b α 0 = [xb ] => α = [((x-α 0 )b - α )b] = [(x -α )b] = [x ] şi folosid u raţioamet pri iducţie obţie α = [x ] petru orice 0. Ţiem cot că x = j i şi otăm cu u 0 restul împărţirii lui i la j, şi cu u restul împărţirii lui bu - la j petru 0. Raţioâd pri iducţie obţiem că x = bu j petru orice. Deoarece u reprezită restul uei împărţiri la j, u {0,,, j- } ceea ce arată că există N şi p aturale astfel îcât u N = u N+p+. De aici rezultă x N = x N+p+ şi α N = α N+p+. Mai departe avem x N+ = b(x N - α N ) = b(x N+p+ - α N+p+ ) = x N+p+ şi deci α N+ = α N+p+. Folosid u raţioamet pri iducţie după t, se demostrează că α N+t = α N+p++t, t 0. Î coseciţă, reprezetarea lui x este periodică. Aşa cum am observat î demostraţia teoremei precedete, petru scrierea uui umăr real pozitiv x î baza b se procedează î felul următor. Se scrie x = [x] + {x}, 0 {x} <, ude pri [x] am otat partea îtreagă a lui x, iar pri {x} partea fracţioară a lui x. Coversia umărului real pozitiv x de la baza 0 la baza b se face separat petru partea îtreagă (care este u umăr îtreg) şi partea fracţioară. Coversia părţii fracţioare se face pri îmulţiri repetate cu b, după cum urmează: b {x} = x = [x ] +{x }= α + {x } b {x } = x = [x ] +{x }= α + {x } b {x - } = x = [x ] +{x }= α + {x } ceea ce îseamă că {x} se reprezită : {x} b = 0, α α α Î urma acestor îmulţiri repetate, pot apare trei situaţii: 6

27 Metode Numerice. {x }= 0, ceea ce determiă îcheierea algoritmului; î această situaţie {x} se α poate reprezeta exact pri 0, α α α = b k= k k (această situaţie corespude cazului x = v cu v N şi N * ). b. {x } 0, dar se observă o periodicitate, adică ua sau u grup de cifre care se repetă ( această situaţie corespude cazului x raţioal dar x orice v N şi m N * ). v m b petru 3. {x } 0, iar cifrele obţiute se succed fără a respecta vreo regulă ( această situaţie corespude cazului x iraţioal). Î această situaţie 0,α α α = k= α b k k reprezită doar o aproximaţie petru {x} î baza b. Exemplu : Să se reprezite 5,5 î baza. 5,5 = 5 + 0,5 Deci 5 0 = ,5 = 0,5 = 0 + 0,5 0,5 = 0,5 = 0 + 0,5 0 0,5 = = + 0 Deci 0,5 0 = 0,00. Î coseciţă 5,5 0 = 0,00. 7

28 Mădălia Roxaa Bueci 8

29 Metode Numerice III. Reprezetarea iformaţiei î sistemele de calcul III.. Reprezetarea iteră a umerelor îtregi III... Reprezetarea iteră a umerelor îtregi fără sem (pozitive) Reprezetarea î memoria uui calculator a umerelor îtregi depide de lugimea cuvâtului utilizat (umărul de biţi). Petru a reprezeta u umăr îtreg pozitiv pe k biţi se face coversia umărului respectiv la baza, iar cofiguraţia biară obţiută se completează la stâga cu zerouri pâă se obţi k cifre. Cel mai mare umăr îtreg reprezetabil pe k biţi este... = k- + k = k ori k = k Deci pe k biţi se pot reprezeta umerele îtregi cuprise ître 0 şi k, î total k umere. Exemple: k Domeiul de valori 8 biţi = B (byte) biţi = B biţi = 4 B Reprezetarea umărului 6 0 pe k = 8 biţi se face astfel: 6 = = 0 = 000 9

30 Mădălia Roxaa Bueci E (î hexazecimal) 3 E Î reprezetarea biară a umerelor, poderile cifrelor biare cresc de la dreapta la stâga, umerotarea lor corespuzâd puterilor crescătoare ale bazei de umeraţie. Astfel, prima cifră biară di dreapta reprezită poderea 0 şi este bitul cel mai puţi semificativ. Primul bit di stâga este bitul cel mai semificativ. Notăm cu relaţia de ordie lexicografică pe mulţimea şirurilor formate di 0 şi, de lugime k. Di puct de vedere al ordiii lexicografice, reprezetările umerelor îtregi fără sem satisfac: 0 k - Î coseciţă, relaţia de ordie lexicografică este compatibilă cu relaţia de ordie umerică aturală. III... Reprezetarea iteră a umerelor îtregi (cu sem) Vom prezeta trei metode de codificare a umerelor îtregi cu sem: cod direct (sem şi valoare absolută) cod ivers (complemet faţă de ) cod complemetar (complemet faţă de ) Să presupuem că se rezervă k biţi petru reprezetarea uui umăr îtreg. Pri toate cele metode umerele îtregi pozitive se codifică pri coversie î baza pe k- biţi şi completarea primului bit cu zero. Astfel, petru k = 6 reprezetarea iteră a umărului x = 7 0 = = este : (î hexazecimal)

31 Metode Numerice Mulţimea umerelor îtregi eegative reprezetabile pe k biţi (pri oricare di cele trei metode) este {0,,,..., k- -} (deoarece primul bit este rezervat, iar reprezetarea se face doar pe restul de k- biţi). Prezetăm mai departe modul î care se face codificarea umerelor îtregi egative pri fiecare di cele trei metode. Pri metoda sem şi valoare (cod direct) se codifică valoarea absolută a umărului îtreg egativ pe k- biţi şi se completează primul bit cu. Î coseciţă, mulţimea umerelor îtregi egative care se pot reprezeta pri această metodă este{- k- +, - k- +,..., 0}. Această metodă de reprezetare prezită uele icoveiete: zero are două reprezetări disticte (00 0 şi 0 0), ca +0 şi 0 tabelele de aduare şi îmulţire sut complicate datorită bitului de sem care trebuie tratat separat. Di puct de vedere al ordiii lexicografice avem: +0 k ( k- -) Deci relaţia de ordie lexicografică u este compatibilă cu relaţia aturală. de ordie Petru a obţie codul ivers:. se obţie reprezetarea valorii absolute a umărului îtreg egativ pe k biţi. î reprezetarea obţiută (la pasul ) se îlocuieşte fiecare bit 0 cu şi cu 0 Mulţimea umerelor îtregi cu sem care pot fi reprezetate pri această metodă este acelaşi ca petru metoda precedetă : {- k- +, - k- +,..., 0,,..., k- -}. Dacă otăm cu x complemetul faţă de al umărului x, atuci x + x =... = k - k 3

32 Mădălia Roxaa Bueci Î coseciţă, complemetul faţă de poate fi folosit pe post de opus faţă de operaţia de aduare. Di acest motiv operaţiile aritmetice relativ la această reprezetare sut avatajoase, deoarece operaţia de scădere se realizează pri aduarea complemetului faţă de. U dezavataj al acestei reprezetări este recuoaşterea a două zerouri ( şi 00..0). Di puct de vedere al ordiii lexicografice avem: +0 k- - -( k- -) -( k- -) -0 Deci relaţia de ordie lexicografică u este compatibilă cu relaţia aturală. de ordie Petru a obţie codul complemetar:. se obţie codul ivers pe k biţi. se aduă o uitate la valoarea obţiută (la pasul ) Zero admite o sigură reprezetare pri această metodă: ( ).Mulţimea k umerelor îtregi cu sem care pot fi reprezetate pri această metodă este {- k-, - k- +,..., 0,,..., k- -}. Dacă x este complemetul faţă de doi al lui x, atuci x + x =... + = k - + = k k Şi î cazul acestei reprezetări operaţiile aritmetice sut avatajoase, deoarece operaţia de scădere se realizează pri aduarea complemetului faţă de. Di puct de vedere al ordiii lexicografice avem: +0 k- - - k- -( k- -) -( k- -) - Deci relaţia de ordie lexicografică u este compatibilă cu relaţia aturală. de ordie De exemplu, petru k = 6, reprezetările petru x = -7 pri cele trei metode se obţi după cum urmează: 7 0 = =

33 Metode Numerice Cod direct (sem şi valoare absolută) (î hexazecimal) Cod ivers (complemet faţă de ) 0 0 FFB7 (î hexazecimal) F F B 7 Cod complemetar(complemet faţă de ) FFB8 (î hexazecimal) F F B 8 (deoarece 00 + = 0000 ) Următorul program î C pue î evideţă reprezetarea î memorie a lui 7 şi -7. Compilatorul folosit este Borlad C #iclude <stdio.h> #iclude <coio.h> #iclude <math.h> void mai(){ usiged char x=7; siged char y=-7; clrscr(); pritf("\%u-->%04x\%d-->%04x",x,x,y,y); getch(); } Programul afisează 33

34 Mădălia Roxaa Bueci 7 --> > FFB8 Observaţie: Se poate remarca faptul că primul bit di stâga (bitul cel mai semificativ) este îtotdeaua 0 petru umerele pozitive şi petru umerele egative şi aceasta petru fiecare di cele trei reprezetări. Acest bit se mai umeşte bit de sem. Î tabelul de mai jos sut reprezetate, pri cele trei metode, pe k = 6 biţi umere îtregi cu sem: valoare cod direct (sem şi cod idirect cod complemetar zecimală valoare absolută) (compl. faţă de ) (compl. faţă de ) 6 -= =7FFF 6 0 =7FFF 6 0 =7FFF =7FFE 6 0 0=7FFE 6 0 0=7FFE = = = = = = = =FFFF = = =FFFE 6 =FFFF =FFFE = = =FFFF = = = =

35 Metode Numerice III.. Reprezetarea iteră a umerelor reale III... Forma ormalizată Fie N şi b N, b. Se umeşte forma ormalizată î baza b a umărului real eul x, o reprezetare x = m b E, ude b = baza m = matisa E = expoetul cu 0, b m b < b m < (ceea ce îseamă că matisa este u umăr b subuitar cu prima cifră după virgulă î reprezetarea î bază b diferită de zero). Petru a scrie umărul sub formă ormalizată trebuie găsite matisa şi expoetul. Cosiderăm reprezetarea x = α = 0 b există N N+ astfel îcât care are proprietatea că ar fi N α b -. Reprezetăm umărul îtreg α N 0 = b β + b - β - + bβ + β 0 î baza b. Astfel scrierea lui x î baza b este dată de x b = ±β β - β β 0,α α α m Matisa se obţie deplasâd virgula î faţa primei cifre eule ce apare î scrierea umărului (î baza b). Expoetul se ia egal cu umărul de poziţii cu care s-a deplasat virgula precedat de semul + dacă deplasarea s-a făcut de la dreapta la stâga, şi de semul dacă deplasarea s-a făcut de la stâga la dreapta. Astfel dacă x este reprezetat î baza b sub forma x b = ±β β - β β 0,α α α m, cu β 0, atuci forma ormalizată este x b = ±0, β β - β β 0 α α α m b + dacă x este reprezetat î baza b sub forma x b = ±0, α α α m, cu α 0, atuci forma ormalizată este x b = ±0, α α α m b 0 35

36 Mădălia Roxaa Bueci dacă x este reprezetat î baza b sub forma x b = ±0,α α α i α i+ α m, cu α = α = = α i = 0 şi α i+ 0, atuci forma ormalizată este x b = ±0, α i+ α m b -i. Reprezetarea sub formă ormalizată a uui umăr real x este uică. III... Reprezetarea î virgulă mobilă Ua ditre cele mai răspâdite reprezetări iteră (î PC-uri) a umerelor reale este reprezetarea î virgulă mobilă. Reprezetarea î virgulă mobilă presupue existeţa uei baze b (îtotdeaua presupusă pară) şi a uei precizii p. U umăr î virgulă mobilă este u umăr de forma α α α ±(α p b b + + )b E, α p b k {0,,...b-} petru orice k = 0, p, E Z. Mai precis, deumirea de umăr î virgulă mobilă va fi utilizată petru umerele reale care se reprezită exact sub forma de mai sus. Î această reprezetare α 0, α,, α p- se umesc cifre semificative. Fiecărei reprezetări î virgulă mobilă i se asociază două umere îtregi, E mi şi E max, ce reprezită valorile limită permise petru expoetul E (E mi E E max ). Tabelul de mai jos exemplifică cei patru parametri (baza, precizia, valorile limită ale expoetului) ce caracterizează reprezetarea î virgulă mobilă î diverse sisteme Sistem baza b precizia p E mi E max IEEE sigle-precissio IEEE double-precissio Cray calculator HP maiframe IBM

37 Metode Numerice Reprezetarea î virgulă mobilă se umeşte ormalizată dacă se impue codiţia ca cifra cea mai semificativă α 0 să fie eulă. Reprezetarea ormalizată are următoarele avataje: reprezetarea fiecărui umăr este uică u de pierd cifre petru reprezetarea primele zerourilor de la dreapta virgulei î sistemele biare (corespuzătoare bazei b =) prima cifră poate să u mai fie stocată (deoarece este îtotdeaua ). Restricţia α 0 0, face imposibilă reprezetarea lui zero. O reprezetare aturală a lui zero este,0 b E mi. Numărul de umere î virgulă mobilă ormalizată este (b-)b p- (E max - E mi +). Cel mai mic umăr pozitiv ormalizat se otează UFL (uderflow level) şi este UFL = E mi b. Cel mai mare umăr ormalizat se otează OFL (overflow level) şi este OFL = (b- + = E max b + b b b ) E b max p b b b ( - p ). b Ca urmare u toate umerele reale sut reprezetabile exact. Numerele prea mari petru a fi reprezetate corespud uei depăşiri superioare de capacitate (overflow), iar umerele prea mici uei depăşiri iferioare de capacitate (uderflow). Petru a fi reprezetat u umăr real x este aproximat cu u umăr î virgulă mobilă pe care coveim să-l otăm fl(x). Aproximarea lui x pri fl(x) poartă umele de rotujire, iar eroarea itrodusă de eroare de rotujire. Există mai multe modalităţi petru rotujire: truchiere (rotujire pri tăiere): se reţi primele p cifre di reprezetarea ormalizată a lui x = ± (α 0 + α α α + p b b + + p b α α α fl(x) = ± (α p b b + + p b + )b E ; deci )b E. 37

38 Mădălia Roxaa Bueci rotujire la cel mai apropiat umăr î virgulă mobilă (rotujire la par): fl(x) este cel mai apropiat umăr î virgulă mobilă de x; î caz de egalitate (dacă există două umere î virgulă mobilă egal depărtate de x) se cosideră acel umăr î virgulă mobilă a cărui ultimă cifră este pară. Rotujirea la par determiă o acurateţe mai mare a reprezetării. Acurateţea sistemului î virgulă mobilă este caracterizată de aşa umita precizie a maşiii (sau epsilo maşiă), otată ε mach. Precizia a maşiii este defiită ca cel mai mic umăr pozitiv ε cu proprietatea că fl(.+ ε) >. Dacă regula de rotujire este truchierea atuci ε mach = b - p, iar dacă regula de rotujire este rotujirea la par atuci ε mach = b - p. Eroarea relativă maximă cu care fl(x) aproximează x este dată de fl ( x) x ε mach. x Deşi amâdouă sut "mici", precizia maşiii (ε mach ) şi cel mai mic umăr pozitiv ormalizat UFL (î reprezetare î virgulă mobilă fixată) u trebuie cofudate. De obicei E mi < -p şi deci ître ele există relaţia Fie x u umăr real aproximat de fl(x) =±(α < UFL < ε mach < OFL. α α α + p b b + + p Expoetul E poate lua atât valori pozitive cât şi valori egative. Cel mai adesea expoetul este decalat şi reprezetat ca u umăr îtreg pozitiv (fără sem). Aceasta deoarece ordiea lexicografică (stabilită ître şirurile de cifre di reprezetare) şi ordiea aturală sut compatibile î cazul umerelor îtregi fără sem. Î coseciţă, compararea expoeţilor (şi a umerelor reale b )b E. 38

39 Metode Numerice corespuzătoare) poate fi făcută eficiet. Astfel reprezetarea iteră a uui umăr α α α real x aproximat pri fl(x) = ± (α p b b + + )b E se face sub forma p b s ed α 0 α α p- ude s este semul lui x (se completează cu 0 dacă semul este + şi cu dacă semul este -) iar ed este expoetul obţiut pri aduarea uui decalaj D la expoetul E: ed = E + D. III..3. Stadardul IEEE-754 IEEE este acroim petru Istitute of Electrical ad Electroics Egieers, o orgaizaţie ce are drept pricipal scop elaborarea stadardelor petru produsele hardware şi software. Stadardul IEEE-754 se referă la aritmetica î virgulă mobilă î sistemele biare. Acest stadard precizează formatul de reprezetare î memorie î simplă şi dublă precizie a uui umăr real. Reprezetarea se face î virgulă mobilă ormalizată: α α α x fl(x) = ± ( + + p + + ) E, p = 4, 53. p Sut admise şi aşa umitele umere deormalizate ("deormalized floatig-poit umbers"): ± (0 + α α α + p + + p ) E, p = 4, 53, cu cel puţi ua ditre cifrele biare α, α,, α p- eule. Stadardul IEEE-754 defieşte două valori speciale petru situaţii excepţioale: If, pe post de "ifiit" ("ifiity"), petru rezultatul împărţirii uui umăr fiit la zero. NaN, pe post de "o-umăr" ("ot a umber"), petru rezultatul următoarelor operaţii 39

40 Mădălia Roxaa Bueci Aduare : If + (-If) Îmulţire: 0 If Împărţire: 0/0 sau If/If Calculul restul împărţirii uui umăr x la 0 sau a lui If la x Calculul rădăciii pătrate x petru x < 0. Scopul acestor valori este acela de a permite cotiuarea calculului. U umăr î virgulă mobilă ±(α 0 + coform IEEE-754 sub forma α α α + p + + p ) E se reprezită iter s ed α α p- ude petru s se rezervă u bit ce se completează cu 0 dacă umărul este pozitiv şi cu dacă umărul este egativ, iar petru expoetul decalat ed se rezervă k biţi (k=8, ). Decalajul cosiderat este D = k- -, deci ed = E + k- -, Pe k biţi se pot reprezeta ca umere îtregi fără sem k valori, de la 0 la k. Valorile 0 şi k sut rezervate petru umerele deormalizate şi petru valorile speciale If şi Na. Deci petru u umăr î virgulă mobilă ormalizată trebuie îdepliită codiţia ed k -. De aici rezultă că - k- + E k- -. De exemplu, pe k = 8 biţi se pot reprezeta umere îtregi fără sem de la 0 la 55. Decalajul cosiderat este 7 - = 7, deci expoetul E ia valori de la 6 la 7. Numărul de biţi rezervaţi petru expoet determiă itervalul de umere reale reprezetabile î calculator. Numărul de biţi rezervaţi petru matisă determiă precizia de reprezetare (gradul de detaliere) a umerelor. Reprezetarea ±(α 0 + α α α + p + + p ) E fiid ormalizată, există siguraţa că α 0 =, ceea ce permite omiterea sa (bit ascus) petru creşterea preciziei de reprezetare, dar complică prelucrarea iformaţiei. Formatele de reprezetare a umerelor î virgulă mobilă (coform stadardului IEEE 754) sut: simplă precizie (sigle-precissio) pe 3 de biţi: 40

41 Metode Numerice bit petru semul matisei 8 biţi petru expoetul decalat (E mi = -6, E max = 7) 3 biţi petru matisă (p = 4, α 0 = se omite) dublă precizie (double-precissio) pe 64 de biţi bit petru semul matisei biţi petru expoetul decalat (E mi = -0, E max = 03) 5 biţi petru matisă (p = 53, α 0 = se omite) Regula de rotujire este rotujirea la par. Deci petru simplă precizie, ε mach = (7 cifre zecimale semificative). dublă precizie, ε mach = (6 cifre zecimale semificative). Cosiderăm o reprezetare î memorie, î simplă precizie: s e 7 e 6 e 5 e 4 e 3 e e e 0 α α α 3 Fie ed = e 0 + e + e + + e 7 7 şi m = reprezetată se determiă după cum urmează: dacă 0 < ed < 55, atuci v = (-) s ( + m) ed - 7. α α + α Valoarea v dacă ed = 0, α k = 0 petru orice k=, 3şi s = 0, atuci v = 0. dacă ed = 0, α k = 0 petru orice k=, 3şi s =, atuci v = - 0. dacă ed = 0 şi există α k 0, atuci v = (-) s m - 6 ; v este o valoare deormalizată dacă ed = 55, α k = 0 petru orice k=, 3şi s = 0, atuci v = If. dacă ed = 55, α k = 0 petru orice k=, 3şi s =, atuci v = -If. dacă ed = 55 şi există α k 0, atuci v = NaN. Fie reprezetarea î memorie, î dublă precizie: s e 0 e 9 e 0 α α α 5 4

42 Mădălia Roxaa Bueci Fie ed = e 0 + e + e + + e 0 0 şi m = reprezetată se determiă după cum urmează: α α + α dacă 0 < ed < 047, atuci v = (-) s ( + m) ed Valoarea v dacă ed = 0, α k = 0 petru orice k=, 5 şi s = 0, atuci v = 0. dacă ed = 0, α k = 0 petru orice k=, 5 şi s =, atuci v = - 0. dacă ed = 0 şi există α k 0, atuci v = (-) s m - 0 ; v este o valoare deormalizată dacă ed = 047, α k = 0 petru orice k=, 5 şi s = 0, atuci v = If. dacă ed = 047, α k = 0 petru orice k=, 5 şi s =, atuci v = -If. Exemple: dacă ed = 047 şi există α k 0, atuci v = NaN. Să se reprezite î simplă precizie umerele: 8,5-7, 5 0,, x = 8,5 x = 8 + 0,5 8 = = = ,5 = 0,30 = 0 + 0,3 0,3 = 0,6 = 0 + 0,6 0,6 =, = + 0, 0, = 0,4 = 0 + 0,4 0,4 = 0,8 = 0 + 0,8 0,8 =,6 = + 0,6 x = 0000, Forma ormalizată: x = 0, =, ed = = 35, ed = m = [0] (am omis primul bit =, iar cei trei biţi di parateză sut utilizaţi petru rotujire la par) 4

43 Metode Numerice fl(x) =, Reprezetare î virgulă mobilă, simplă precizie, (cu bit ascus) petru 8,5: Deci reprezetării cu bit ascus a lui 8,5 îi corespude î hexazecimal. x = - 7, 5 x = 7 + 0,5 7 = = = 0 0,5 = - = 0,0 x = 0,0 Forma ormalizată: x = 0,00 5 =,00 4 ed = = 3, ed = Reprezetare î virgulă mobilă, simplă precizie (cu bit ascus) petru 7,5: C D A Deci reprezetării cu bit ascus a lui -7,5 îi corespude CDA0000 î hexazecimal. x = 0, 0, = 0, 0, = 0,4 0,4 = 0,8 0,8 =,6 = + 0,6 0,6 =, = + 0, 0, = 0,4 0, 0 = 0, x = 0, =, fl(x) =, (după cei 3 de biţi ai matisei urmează 0, şi deci rotujirea se face pri adăugarea uei uităţi). 43

44 Mădălia Roxaa Bueci ed = = 3 = , ed = 0 Reprezetare î virgulă mobilă, simplă precizie (cu bit ascus) petru 0,: D C C C C C D Deci reprezetării cu bit ascus a lui 0, îi corespude 3DCCCCCD î hexazecimal. x =,, = + 0, 0, = 0,4 0,4 = 0,8 0,8 =,6 = + 0,6 0,6 =, = + 0, 0, = 0,4 x =, x =, fl(x) =, (după cei 3 de biţi ai matisei urmează 00, deci rotujirea se face astfel îcât ultimul bit să aibă valoare pară). ed = = 7 = , ed = Reprezetare î virgulă mobilă, simplă precizie (cu bit ascus) petru,: F A Deci reprezetării cu bit ascus a lui, îi corespude 3F99999A î hexazecimal. Următorul program î C verifică reprezetările de mai sus. #iclude <stdio.h> #iclude <coio.h> void mai(){ log it *i; float f=8.5,f=-7.5, f3=0., f4=.; clrscr(); i=(log it*) &f; 44

45 Metode Numerice pritf("\numar i virgula mobila:%f\\tformat iter %08lX (hexazecimal)",f,*i); i=(log it*) &f; pritf("\numar i virgula mobila:%f\\tformat iter %08lX (hexazecimal)",f,*i); i=(log it*) &f3; pritf("\numar i virgula mobila:%f\\tformat iter %08lX (hexazecimal)",f3,*i); i=(log it*) &f4; pritf("\numar i virgula mobila:%f\\tformat iter %08lX (hexazecimal)",f4,*i); getch(); } Programul afişează Numar i virgula mobila: Format iter (hexazecimal) Numar i virgula mobila: Format iter CDA0000 (hexazecimal) Numar i virgula mobila: Format iter 3DCCCCCD (hexazecimal) Numar i virgula mobila: Format iter 3F99999A (hexazecimal) III..4. Aritmetica î virgulă mobilă Di secţiuea precedetă rezultă că u toate umerele reale pot fi reprezetate exact îtr-u sistem î virgulă mobilă. De asemeea î urma evaluării uei expresii ai cărei operazi sut reprezetabili rezultatul obţiut u este eapărat reprezetabil. Î mod ideal x flop y = fl(x op y) ude op este u operator biar (+, -, *, /), iar flop desemează corespodetul operatorului respectiv î aritmetica î virgulă mobilă. Sistemele ce satisfac 45

46 Mădălia Roxaa Bueci stadardul IEEE-754 atig acest ideal î situaţia î care x op y se găseşte î itervalul de umere reale reprezetabile [UFL, OFL]. Depăşirea superioară de capacitate (overflow) cauzează de obicei probleme mai serioase decât depăşirea iferioară de capacitate (uderflow), deoarece u există ici o aproximaţie buă petru u umăr real oarecare "mare". U umăr real foarte mic poate fi î mod rezoabil aproximat cu zero. Pe multe sisteme de calcul depăşirea superioară de capacitate este fatală, î timp ce î caz de depăşire iferioară de capacitate, umărul respectiv este asociat cu zero. Aumite legi ale aritmeticii reale u sut valabile îtr-u sistem î virgulă mobilă. Astfel aduarea şi îmulţirea î virgulă mobilă sut comutative, dar u asociative. De exemplu, dacă ε este u umăr pozitiv mai mic decât ε mach, dar mai mare decât ε mach /, atuci ( + ε) + ε =, iar + (ε + ε) >. Rezultatul uei operaţii î virgulă mobilă poate să fie semificativ diferit faţă de rezultatul aceleaşi operaţii î aritmetica exactă. Să cosiderăm umărul real x =. Se reprezită î baza, pri x = 0, =, Î simplă precizie este aproximat de fl(x) =, , ceea ce itroduce o eroarea de î biar sau aproximativ î zecimal. Programul î C de mai jos pue î evideţă cum se propagă această eroare pri îmulţire: #iclude <stdio.h> #iclude <coio.h> void mai(){ float f=./0,z=0; it i; clrscr(); for(i=;i<33;i*=){ pritf("\0.*0^%d-0^%d = %f ",i+,i,f*(z*0)-z); z=z*z; } 46