zastrupitev reaktorja s ksenonom in samarijem

Transcript

1 Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko zastrupitev reaktorja s ksenonom in samarijem Seminar II Avtor: Mentor: Žiga Štancar, dipl. fiz. (UN) dr. Luka Snoj 4. avgust 2013 Povzetek Pri fisijskem razpadu uranovega goriva v jedrskih reaktorjih kot stranski produkti nastajajo nuklidi manjših mas. Ti fisijski razcepki se kopičijo v gorivu in dalje radioaktivno razpadajo, kar pomeni, da znatno spreminjajo izotopsko sestavo sredice reaktorja. Nekateri izmed nakopičenih elementov imajo znatne nevtronske absorpcijske preseke in ključno vplivajo na bilanco nevtronov v reaktorju - z absorpcijo manjšajo njihovo število - in na nekatere ključne parametre reaktorske kinetike - imenujemo jih strupi. V seminarski nalogi se bomo osredotočili na vplive ksenona 135 Xe in samarija 149 Sm. Videli bomo, da je poznavanje časovnega razvoja in ravnovesnih koncentracij obeh izotopov ključnega pomena za pravilno oceno pomnoževalnega faktorja in porazdelitve moči v reaktorju ter pri načrtovanju zagona, zaustavitve ali sprememb moči reaktorja.

2 Kazalo 1 Uvod 1 2 Reaktorski parametri 1 3 Ksenon Koncentracija kot funkcija prostora in časa Zagon čistega reaktorja Zaustavitev reaktorja po dolgem času Poljubne variacije moči reaktorja Ksenonove oscilacije Samarij Koncentracija kot funkcija prostora in časa Zagon čistega reaktorja Zaustavitev reaktorja po dolgem času Zaključek 13 1 Uvod Nekateri razcepni produkti, ki v reaktorski sredici nastajajo s fisijo, imajo zelo velike absorpcijske preseke za termične (počasne) nevtrone. Kopičenje takšnih nuklidov v gorivu - ki jih imenujemo tudi strupi - privede do povečanja absorbcije nevtronov, kar lahko povzroči nestabilnost verižne reakcije in posledično neravnovesja v porazdelitvi moči v reaktorski sredici. Posebej nas bosta v seminarju zanimala dva razcepka: 135 Xe in 149 Sm. Pomembna sta predvsem zaradi velike pogostosti nastajanja v fisijskem procesu. Iz prikaza njunih absorpcijskih presekov (Slika 1) lahko razberemo, da doseže vrednost absorpcijskega preseka ksenona v okolici povprečne energije termičnih nevtronov ev kar okrog 10 6 barnov, medtem ko je vrednost absorpcijskega preseka samarija manjša, a še vedno velika - okrog 10 4 barnov (vrednosti presekov so izmerjene pri temperaturi 300 K [1]). Preseka dosežeta maksimalne vrednosti pri energijah nevtronov okrog 0,1 MeV, pri vrednosti 1 MeV pa strmo padeta. Dotična produkta imata tako največji efekt v termičnih reaktorjih (termično nevtronska populacija), manjšega pa pri hitrih reaktorjih. 2 Reaktorski parametri Da bi razumeli vpliv ksenona in samarija na reaktorsko kinetiko moramo najprej definirati nekaj količin, s katerimi operiramo v reaktorski fiziki. Pomembnost nastanka fisijskih produktov in zastrupitve reaktorja najbolje vidimo prek izračuna efektivnega pomnoževalnega faktorja k. Obravnavajmo torej homogeno reaktorsko sredico, po kateri je enakomerno porazdeljen strup z makroskopskim absorpcijskim presekom Σ P a. Izpeljimo, kako se zaradi vpliva zastrupitve spremeni k in kakšna mora biti vrednost dodane reaktivnosti, da kompenziramo inducirana odstopanja od kritičnosti. Zapišimo spremembo reaktivnosti kot razliko med reaktivnostjo z vnešenimi strupi in reaktivnostjo brez njih: ρ = ρ(σ P a ) ρ(σ P a = 0) = ρ ρ, (2.0.1) 1

3 Mikroskopski absorpcijski preseki σ a 235 U 149 Sm 135 Xe 10 4 σa [b] Energija incidencnih nevtronov [ev] Slika 1: Absorpcijski presek 135 Xe in 149 Sm. Opazimo veliko vrednost preseka za oba fisijska produkta v območju energij termičnih nevtronov in hiter padec pri energijah večjih od 10 ev. in navedimo še osnovno definicijo reaktivnosti: ρ = k 1 k. (2.0.2) Koeficient k v zgornji enačbi (2.0.2) je pomnoževalni faktor reaktorja, ki predstavlja povprečno število nevtronov iz fisije, ki povzročijo nadaljno fisijo. Pomnoževalni faktor nastopa v sorazmerju k f P T NL (okrajšana odvisnost k izhaja iz formule šestih faktorjev [1]), kjer f predstavlja faktor termičnega izkoristka in P T NL faktor termičnega pobega. Izpeljavo začnimo z definicijo faktorja termičnega izkoristka f (ang. thermal utilization), ki predstavlja verjetnost, da se nevtron absorbira v gorivu reaktorja. Upoštevajoč zastrupitev reaktorja lahko faktor f zapišemo kot: f = Σ F a Σ F a + Σ M a + Σ P, (2.0.3) a kjer Σ F a predstavlja makroskopski absorpcijski presek za gorivo in Σ M a makroskopski absorpcijski presek za ostale materiale v sredici. Definirajmo še faktor termičnega pobega P T NL (ang. thermal nonleakage), ki predstavlja verjetnost, da termični nevtroni ne pobegnejo iz reaktorja [2]: P T NL = L 2 B 2 ; L2 = 1 3Σ tr Σ a. (2.0.4) V levi enačbi smo definirali faktor termičnega pobega z nevtronsko difuzijsko dolžino L, ki nam pove, kako daleč v povprečju nevtroni difundirajo v reaktorski sredici preden se absorbirajo, in z B 2, ki predstavlja ukrivljenost geometrije preračunov (ang. buckling). Kvadrat nevtronske difuzijske dolžine lahko zapišemo tudi v obliki desnega izraza v enačbi (2.0.4), kjer smo uporabili makroskopski transportni presek Σ tr, ki opisuje prenos gibalne količine nevtronov na okolico, in makroskopski absorpcijksi presek Σ a, ki je enak vsoti makroskopskih absorpcijskih presekov posameznih materialov v reaktorski sredici - količino prepoznamo v vsoti v imenovalcu enačbe (2.0.3). 2

4 Upoštevajmo odvisnost pomoževalnega faktorja k od f in P T NL v enačbi (2.0.2) in zapišimo spremembo reaktivnosti v obliki: ρ = f f f + P T L P T L P T. (2.0.5) L Člena iz zgornje enačbe lahko izračunamo z izrazoma za faktor termičnega izkoristka (2.0.3) in faktor pobega (2.0.4) - dobimo: in P T L P T L P T L f f f = ΣP a Σ F a + Σ M a (2.0.6) = L2 B 2 [ ] Σ P a 1 + L 2 B 2 + ΣP tr. (2.0.7) Σ a Σ tr Seštejmo oba zgornja izraza in preuredimo enačbo, da dobimo končno oceno za spremembo reaktivnosti pri vnosu strupa v homogen reaktor: [ ρ = ΣP a 1 Σ a 1 + L 2 B 2 1 L 2 B 2 ΣP tr/σ P ] a = ΣP a /Σ a Σ tr /Σ a 1 + L 2 B 2 = ΣP a. (2.0.8) Σ a V izrazu smo takoj upoštevali, da je drugi člen v oklepaju zelo majhen (< 10 3 ) in ga zato lahko zanemarimo. Če gremo korak dlje lahko naredimo še dodaten približek - ker je v reaktorjih z veliko močjo pobeg relativno majhen, torej velja, da je L 2 B 2 1, vidimo, da je v grobem približku sprememba reaktivnosti sorazmerna z deležem makroskopskega absorpcijskega preseka vnešenega strupa proti celotnemu makroskopskemu absorpcijskemu preseku [1]. 3 Ksenon Makroskopski absorpcijski presek nastalega fisijskega produkta je definiran kot Σ P a = N P σa P, kjer je N P številska gostota produkta in σa P mikroskopski absorpcijski presek. Če želimo oceniti spremembo reaktivnosti zaradi zastrupitve reaktorja s fisijskim razcepkom prek izpeljane enačbe (2.0.8), moramo poznati časovni razvoj koncentracije N P (t). 3.1 Koncentracija kot funkcija prostora in časa 135 Xe je najpomembnejši fisijski produkt zaradi velikega absorpcijskega preseka za termične nevtrone in zaradi velike verjetnosti nastanka. Poleg tega, da ksenon nastaja neposredno iz jedrskih razpadov, se pojavlja tudi kot produkt β - razpada 135 T e. Shematično je veriga ksenonovega nastanka prikazana levo na Sliki 2. Pri obravnavi ksononove verige lahko razpad telurja v jod zanemarimo, zgodi se namreč relativno hitro (par redov velikosti manjši kot nadaljnji razpadni časi) - in predpostavimo, da jod nastane direktno kot fisijski produkt [3]. Predpostavimo še, da lahko zanemarimo tudi tranzit joda v vzbujeno stanje 135m Xe, ki je kratkoživo in malo verjetno, in da torej ves jod takoj razpade na ksenon v elementarnem stanju. Prej omenjena shema se precej poenostavi in dobimo končno verigo, ki jo bomo obravnavali in je prikazana desno na Sl. 2 [1]. Lotimo se reševanja diferencialnih enečb, ki opisujejo koncentracije joda in produkta njegovega razpada ksenona. Koncentracijo joda zapišemo kot I(r,t) in kseona X(r,t). Označimo γ I, γ X za verjetnost nastanka ustreznega izotopa pri fisiji (povprečni vrednosti: γ I 6.1% in γ X 0.3%). Z λ I, λ X označimo konstante β razpada. 3

5 Slika 2: Shema nastanka 135 Xe preko beta razpada iz 135 T e. Na levi najprej celotna shema, na desni poenostavljena [1]. Zapišimo bilančno enačbo za jod: Nadaljujmo s ksenonom: I t = γ IΣ f φ(r, t) λ I I(r, t). (3.1.1) X t = γ XΣ f φ(r, t) + λ I I(r, t) λ X X(r, t) σa X φ(r, t)x(r, t). (3.1.2) Makroskopski preseki in fluksi so povprečeni po eni grupi. V enačbi za jod smo izpustili negativen člen, ki opisuje absorpcijo nevtronov v jodu, zaradi zanemarljivo majhne vrednosti. Preden lahko nadaljujemo z reševanjem enačb potrebujemo podatke o fluksu φ(r, t) in o fisijskem makroskopskem preseku Σ f (r, t). Da dobimo splošno rešitev predpostavimo, da ti dve relaciji poznamo. Tako lahko direktno rešimo diferencialno enačbo za jod - najprej homogen del in nato prek variacije konstante še partikularni del. Dobimo t ] I(r, t) = [I(r, 0) + γ I dt Σ f (r, t )φ(r, t )exp(λ I t ) exp( λ I t). (3.1.3) 0 Dobljeno rešitev za I(r, t) nato substituiramo v enačbo (3.1.2) in dobimo koncentracijo 135 Xe kot funkcijo kraja in časa ( X(r, t) = X(r, 0) + [ t 0 dt [λ I I(r, t ) + γ I Σ f (r, t )φ(r, t t )]exp 0 dt [λ X + σa X φ(r, t )]]) [ exp ] t 0 dt [λ X + σa X φ(r, t )]. (3.1.4) Rešitev nam koristi v primeru, da poznamo funkcijo φ(r, t), ki je lahko poljubno kompleksna. V večini realnih primerov sistem diferencialnih enačb rešujemo z numeričnimi metodami. Poglejmo si časovne razvoje koncentracije za nekaj enostavnejših funkcij fluksa. 3.2 Zagon čistega reaktorja Obravnavajmo primer, pri katerem ob času t = 0 hipoma reaktor privedemo do konstantnega fluksa φ 0. Substituiramo φ(r, t) v enačbah (3.1.3) in (3.1.4) s φ 0 (r) in uporabimo začetne pogoje 4

6 I(r, 0) = X(r, 0) = 0. Rešitev za jod je tako: in za koncentracijo ksenona: I(t) = γ IΣ f φ 0 λ I (1 exp( λ I t)), (3.2.1) X(t) = (γ I + γ X )Σ f φ 0 [ 1 exp( (λx λ X + σa X + σa X φ 0 )t) ] + φ 0 γ I Σ f φ 0 [ + exp( (λx λ X λ I + σa X + σa X φ 0 )t exp( λ I t)) ]. (3.2.2) φ 0 Poglejmo si še limitni primer teh rezultatov. Po dolgem času koncentraciji teh dveh izotopov dosežeta ravnovesje: I(t ) I = γ IΣ f φ 0 λ I (3.2.3) X(t ) X = (γ I + γ X )Σ f φ 0 λ X + σ X a φ 0. (3.2.4) Čas, v katerem koncentraciji skonvergirata k ravnovesni vrednosti, je za tipične tlačnovodne reaktorje reda velikosti več deset ur. Poglejmo si praktičen primer za zagon reaktorja na konstantnem fluksu φ 0 z vrednostjo n cm 2 s [4]. Za makroskopski fisijski presek 235 U uporabimo vrednost cm 1 in za miskroskopski abosrpcijksi presek ksenona σa X vrednost b (značilne vrednosti za enogrupno termično obravnavo) [4]. Rezultati so prikazani na spodnji Sliki 3. Razvoj koncentracije joda in ksenona pri zagonu reaktorja na konstantnem fluksu prikazuje rdeča krivulja na zgornji sliki. Vidimo lahko, da se v obeh primerih koncentraciji eksponentno približujeta ravnovesnim vrednostim, ki jih dosežeta po približno 60 urah obratovanja značilnega tlačnovodnega reaktorja na konstantnem fluksu. Opazimo lahko tudi, da je ravnovesna koncentracija joda višja od ksenonove, kar lahko opazimo tudi v podatkih za Jedrsko elektrarno Krško (JEK) [5]. Izračune lahko uporabimo za oceno spremembe reaktivnosti, ki se inducira v reaktorju s konstantno močjo, zaradi nastajanja fisijskega produkta. Vzemimo izračunano ravnotežno koncentracijo X(t) in jo vstavimo v enačbo (2.0.8), kjer smo dobili izraz za spremembo reaktivnosti. Zopet predpostavimo, da imamo velik termični reaktor z majhnim pobegom (L 2 B 2 1), dobimo: ρ = ΣP a = σx a X(t ) = σx a (γ I + γ X )Σ f φ 0 Σ a Σ a Σ a λ X + σa X. (3.2.5) φ 0 V kritičnem reaktorju za pomnoževalni faktor velja k = (νσ f /Σ a )pɛ = 1, izrazimo kvocient Σ f /Σ a = (νpɛ) 1 in odtod: ρ = (γ I + γ X )φ [ 0 ], (3.2.6) νpɛ λx + φ σa X 0 kjer so ν = 2.43 povprečno število nevtronov nastalih na fisjski razpad, p = 0.87 faktor resonančnega pobega in ɛ = 1.02 faktor hitre fisije [1]. Opazimo, da sprememba močno zavisi 5

7 Fluks v odvisnosti od casa Koncentracija joda v odvisnosti od casa I φ(t) [n/cm 2 s] φ0 I(t) [at/cm 3 ] Cas [h] Cas [h] Koncentracija ksenona v odvisnosti od casa X(t) [at/cm 3 ] X Cas [h] Slika 3: Časovna odvisnost koncentracij ksenona in joda pri zagonu čistega reaktorja na konstanten fluks φ 0 (rdeča krivulja) in po takojšnji zaustavitvi ob doseženih ravnovesnih koncentracijah (modra krivulja). od φ 0, ki pa je v velikih reaktorjih veliko večji od λ X σ X in lahko uporabimo približek φ 0 λ X a σ X. a Imenovalec se poenostavi in dobimo od fluksa neodvisno spremembo reaktivnosti: ρ (γ I + γ X ). (3.2.7) νpɛ Za parametre velikega termičnega reaktorja z gorivom iz 233 U in 235 U dobimo spremembo reaktivnosti ρ = , kar ustreza ρ = 2950 pcm. Rezultati se ujemajo tudi s podatki JEK-a [5]. Poglejmo si načine kompenziranja učinkov zastrupitve reaktorja pri obratovanju na stalni moči. Standarden postopek je postopen izvlek kontrolnih palic, s čimer izenačujemo presežek negativne reaktivnosti zaradi ksenona in vzdržujemo kritičnost reaktorja. Zanima nas, kaj predstavlja ekvivalent ksenonove ravnotežne negativne reaktivnosti izražen z vrednostjo kontrolnih palic reaktorja. Na raziskovalnem reaktorju TRIGA je nameščen sistem štirih kontrolnih palic, katerih vrednost reaktivnosti znaša od 2374 pcm do 3553 pcm - lahko vidimo, da bi bilo, za kompenzacijo negativne reaktivnosti zaradi zastrupitve s ksenonom, potrebno v celoti izvleči eno izmed palic. Tudi v JEK je postopek podoben, med približevanjem polni moči reaktorja se koncentracija ksenona viša, s čimer se inducira negativna reaktivnost. Regulacijski sistem sestavljajo svežnji kontrolnih palic s pozitivno reaktivnostjo, ki znaša približno 4750 pcm [5]. Učinki zastrupitve so relativno počasni (časovna skala par dni) in zvezni, zato kompenzacija s počasnim izvlekom kontrolnih palic ni zahteven proces. Poleg regulacije z absorpcijskimi palicami v JEK 6

8 uporabljajo tudi sistem dovajanja oz. odvajanja borove kisline H 3 BO 3 v reaktorsko hladilo. Borova kislina ima velik absorpcijski presek za termične nevtrone, zato načeloma predstavlja zalogo negativne reaktivnosti. V primeru da hladilo redčimo z vodo, torej nižamo koncentracijo borove kisline, pa dodajamo pozitivno reaktivnost in na takšen način kompenziramo učinke ksenonove absorpcije. 3.3 Zaustavitev reaktorja po dolgem času Predpostavimo, da po dolgem času obratovanja reaktorja na konstantnem fluksu, njegovo moč spustimo na nič in opazujemo časovni razvoj koncentracij joda in ksenona. Poglejmo si nekaj ugotovitev, do katerih pridemo z razmislekom. Vsekakor ne bo več nižanja koncentracije ksenona zaradi zajetja nevtronov, tako bo razpad edini mehanizem, ki bo povzročal izginevanje ksenona. Medtem pa se bo k rasti koncentracije 135 Xe vplival razpad 135 I. Ker ima slednji krajši razpadni čas kot prvi lahko pride celo do povečevanja koncentracije 135 Xe v reaktorju. Zapišimo bilančne diferencialne brez členov za absorpcijo nevtronov in fisijski nastanek: I t = λ II(r, t) (3.3.1) X t = λ II(r, t) λ X X(r, t). (3.3.2) Upoštevamo še dejstvo, da je bila koncentracija obeh produktov ob zaustavitvi v ravnovesni limiti in dobimo: I(r, t) = I (r)exp( λ I t). (3.3.3) Dobljeni izraz vstavimo v diferencialno enačbo (3.3.2) in integriramo: X(r, t) = X (r)exp( λ X t) + λ II (r) λ I λ X [exp( λ X t) exp( λ I t)]. (3.3.4) Dobili smo časovno odvisnost koncentracije joda in ksenona po spustu reaktorja iz konstantnega fluksa na ničelno moč. Grafično so rezultati prikazani na Sliki 3, označeni so z modro barvo. Razberemo, da se koncentracija joda po zaustavitvi reaktorja eksponentno manjša s časovno skalo približno 60 ur. Koncentracija ksenona nima tako enostavnega poteka, pri razvoju gre namreč za preplet razpada joda, zaradi česar se koncentracija ksenona viša, in ksenona. Vidimo, da količina 135 Xe v reaktorju najprej močno naraste in doseže maksimum po približno devetih urah. Po tem času razpade večino joda, zato se koncentracija ksenona začne eksponentno nižati. Dobljeni enačbi za reaktivnost I(t) in X(t) vstavimo v zvezo za spremembo reaktivnosti (2.0.8) in izrazimo: ρ(t) = 1 [ (γi + γ X )φ 0 νpɛ λ X /σa X exp( λ X t) + γ Iσ X ] a φ 0 [exp( λ X t) exp( λ I t)]. (3.3.5) + φ 0 λ I λ X Dobimo izraz za spremembo reaktivnosti, ki se inducira v reaktorski sredici zaradi zastrupitve s ksenonom po zaustavitvi reaktorja. Za podatke tipičnega tlačnovodnega reaktorja lahko izrišemo krivuljo, prikazana je na Sliki 4 levo. Kot izhodišče smo izbrali ρ nič, čeprav smo reaktor zaustavili po delovanju na konstantni moči, ko se je inducirala ravnovesna negativna reaktivnost ρ. To naredimo, ker predpostavimo, da smo ρ kompenzirali z izvlekom kontrolnih palic in vzdržujemo kritičnost reaktorja. Opazimo, da začetni porast koncentracije 7

9 3000 Sprememba reaktivnosti pri zaustavitvi reaktorja rho [pcm] Cas [h] Slika 4: Levo - časovna odvisnost spremembe reaktivnosti zaradi učinka ksenona pri zaustavitvi reaktorja. Desno - časovna odvisnost spremembe reaktivnosti po zasutavitvi reaktorja - rdeča krivulja. Ponoven zagon reaktorja pri 23 urah in hiter eksponenten padec reaktivnosti - modra krivulja. 135 Xe močno prispeva k negativni reaktivnosti, ki po 9 urah (kar je v skladu z X(t)) doseže maksimum pri približno ρ = 3200 pcm. Koncentracija nato začne padati in po približno 30 urah nadaljnji razpad ksenona povzroči prehod iz negativne v dodatek pozitivne reaktivnosti. V območju 90 ur po zaustavitvi reaktorja je reaktor razstrupljen s presežkom + ρ pozitivne reaktivnosti. Na efekt naraščanja reaktivnosti moramo biti še posebej previdni, gre namreč za tako velike vrednosti, da lahko reaktor ponovno postane kritičen. Stabiliziramo ga s postopnim spuščanjem kontrolnih palic ali z višanjem koncentracije borove kisline v hladilu. Opazimo lahko, da bi v obdobju do 30 ur po zaustavitvi reaktorja rabili dovoljšno zalogo pozitivne reaktivnosti, da bi lahko premagali ksenonovo reaktivnostno bariero in zagnali reaktor. Poglejmo si primer termičnega reaktorja s tipično vrednostjo fluksa φ 0 = n cm 2 s, ki ga naenkrat ustavimo. Časovni razvoj spremembe reaktivnosti prikazuje Slika 4 desno. Vidimo značilen velik narast koncentracije ksenona in negativne reaktivnosti, ki lahko v določenem primeru preseže zalogo pozitivne reaktivnosti, ki jo imamo na voljo prek uporabe kontrolnih palic ali sistema borove kisline. Če reaktivnostna zaloga ni dovolj velika, potem reaktorja ne moremo pripeljati do kritičnosti. Na grafu je prikazan modelski primer, kjer predpostavimo, da imamo na razpolago ρ pcm reaktivnosti. Vidimo lahko, da od časa 2 ur do 23 ur reaktorja ne moremo zagnati. Ta pojav imenujemo mrtvi čas reaktorja t d (ang. reactor deadtime) [1], interval traja povprečno en dan - na sliki je prikazan z vodoravnico s puščicami. Ko negativna reaktivnost pade pod mejo razpoložljive zagonske reaktivnosti lahko reaktor pripeljemo do kritičnosti in konstantne moči s φ 0. Ker spet pride do absorpcije nevtronov v ksenonu, koncentracija slednjega po ponovnem zagonu strmo pade in doseže ravnovesno vrednost X v roku par ur, časovni potek je označen z modro krivuljo. 3.4 Poljubne variacije moči reaktorja Poglejmo si še primer, pri katerem iz začetnega fluksa φ 0 preidemo na nižjega φ 1, nato pa fluks spet povečamo na φ 0, pri čemer naj bo reaktor od začetka zastrupljen s ksenonom. Rešitve bomo obravnavali le grafično, analitični postopki reševanja so namreč zelo podobni prejšnjim. Fizikalni principi reaktorske kinetika ostajajo enaki - znižanju fluksa za nek φ sledi zvišanje koncentracije ksenona in obratno - zvišanju fluksa sledi znižanje koncentracije ksenona [1]. Spremembe vsebnosti 135 Xe v reaktorski sredici, ki sledijo variacijam moči reaktorja, imajo karakteristični čas več deset ur. Če so spremembe moči velike, se spremembe dogajajo na skali približno 30 ur [5]. Spremembe reaktivnosti, ki so posledica poljubnih variacij moči reaktorja, 8

10 praviloma nadzorujemo z višanjem oz. nižanjem koncentracije borove kisline v hladilu [5]. 3.5 Ksenonove oscilacije Poleg zastrupitve reaktorja, ki se pojavi zaradi ksenonovega velikega absorpcijskega preseka za termične nevtrone, lahko ta povzroči tudi znatne oscilacije moči v termičnih reaktorjih [6]. Oscilacije načeloma nastanejo kot posledica lokalnih perturbacij moči v reaktorski sredici. Predpostavimo primer z majhnim točkovnim porastom nevtronskega fluksa. Kot posledico opazimo zvišanje hitrosti izgorevanja ksenona-135 prek absorpcije nevtronov, ker pa je nastajanje, in s tem nadomeščanje, izgorelega ksenona odvisno od β-razpada joda-135 (z razpolovnim časom λ I = 6.7 ur), lahko lokalno pride do začasnega znižanja koncentracije ksenona. Zaradi primanjkljaja absorberja tako nevtronski fluks dodatno naraste. Z večanjem moči reaktorja se poveča število fisij in koncentracija fisijskih produktov, med katerimi je tudi jod. Razpad slednjega povzroči lokalno zvišanje količine ksenona in s tem absorpcije nevtronov, kar privede do zmanjšanja moči. Proces se ponovi in vzpostavijo se prostorsko omejene oscilacije moči reaktorja s periodo reda velikosti razpadnega časa 135 I. Znatne oscilacije moči se pojavljajo izključno v termičnih reaktorjih, za energijske spektre nevtronov v hitrih ali srednje hitrih reaktorjih je namreč absorpcijski presek 135 Xe premajhen. Velja tudi, da mora biti reaktor velik, da so povprečne poti termičnih nevtronov majhne v primerjavi z dimenzijami sredice. Problem je, ob upoštevanju nekaterih poenostavitev, analitično rešljiv. Pot do rešitve, ki vodi prek perturbacije in linearizacije difuzijskih enačb in uporabe Laplacove transformacije [2], je sicer poučna, vendar presega obseg seminarja. Komentirali bomo samo predpostavke in rezultate. V prvem koraku uporabimo poenostavljene enačbe za časovni razvoj koncentracije 135 I in 135 Xe, kjer predpostavimo, da ksenon nastaja izključno z razpadom joda, torej zanemarimo tudi prispevek fisije - upoštevamo enačbi (3.1.1) in (3.1.2), slednjo brez prvega člena. Ker so oscilacije značilne za velike termične reaktorje, lahko transport nevtronov zadostno opišemo z enogrupno difuzijsko enačbo v eni dimenziji [3]: ( 1 φ(x, t) = D 2 φ(x, t) v t x 2 + k 1 + ρ ) φ(x, t) σ a φ(x, t) σa X Xφ(x, t), (3.5.1) P kjer je v povprečna hitrost termičnih nevtronov ( 2.2 km/s) in ρ P koeficient moči, ki podaja zvezo med spremembo reaktivnosti in moči reaktorja. Sistem treh enačb (3.1.1), (3.1.2) in (3.5.1) rešimo tako, da obravnavamo lokalno perturbacijo sistema, φ, I in X pa predstavljajo majhna odstopanja od vrednosti količin v stacionarnem stanju. Rešitve predstavljajo odvisnost periode oscilacij moči od nevtronskega fluksa in so predstavljene na Sliki 5 - [6], [2]. Pri nizkih vrednostih fluksa, okrog 10 9 nevtronov / cm 2 s, opazimo dolge oscilacijske periode, ki so posledica zakasnelega nastajanja ksenona z razpadom joda. Z višanjem fluksa začnejo prevladovati povratni efekti moči, ki destabilizirajo oscilacije in jih dušijo. V območju fluksa okrog nevtronov / cm 2 s postane prevladujoča ksenonova absorpcija termičnih nevtronov, posledično njegovo izgorevanje in periode lokalnih oscilacij moči začnejo spet naraščati. Pri fluksu približno nevtronov / cm 2 s efekt doseže maksimum, nakar povratni efekti moči zopet postanejo dominantni in oscilacije znotraj dveh velikostnih redov fluksa izginejo [2]. Čeprav je obravnavan računski model poenostavljen, rezultati ponazarjajo osnovne fizikalne procese v termičnih reaktorjih, ki privedejo do vzbujanja lokalnih oscilacij moči. Poglejmo pod kakšnimi pogoji se takšne oscilacije pojavijo v termičnih reaktorjih in kako jih nadzorujemo. V računskem modelu smo ksenonovo inducirane oscilacije vzbudili z lokalno perturbacijo moči, ki se lahko v realnih reaktorjih pojavi kot posledica različnih dejavnikov. Najpogostejši 9

11 Slika 5: Levo - slika prikazuje odvisnost periode oscilacij moči od nevtronskega fluksa za poenostavljen model homogenega termičnega reaktorja. Desno - zgoraj je slika kvadrupolnega osciliranja moči SRS reaktorjev in prikaz učinka dušenja s kontrolnimi palicami, spodaj pa je prikaz nedušenega ksenonovega osciliranja z večanjem amplitude in doseženo saturacijo [6], [2]. so vstavitev ali izvlek kontrolnih palic, nesimetričen položaj kontrolnih palic ali na primer temperaturni gradienti in turbulenten tok hladila oz. moderatorja. Glede na položaj začetne lokalne perturbacije v sredici lahko pride do vzbuditve aksialnih oscilacij (po višini reaktorja), azimutalnih oscilacij (po širini reaktorja) ali zapletenejših kvadrupolnih oscilacij (na vrhu leve strani in na dnu desne strani). Nihanja so lahko dušena, s čimer se amplitude fluktuacij fluksa s periodo zmanjšujejo, ali nedušena, kjer pa se amplituda z vsakim novim ciklom veča. Po začetku preučevanja ksenonovih efektov v termičnih reaktorjih v petdesetih letih 20. stoletja je nadzorovanje koncentracij strupov in njihovih učinkov na porazdelitev moči v reaktorjih postalo del standardnih procedur. Podrobno spremljanje porazdelitve fluksa v sredici je tako večinoma zadostno za učinkovito kontroliranje ksenonovih oscilacij. Poglejmo si dva kontrolirana eksperimenta, ki sta bila izvedena v termičnih reaktorjih bivšega centra za proizvodnjo tritija in plutonija Savannah River Site v Južni Karolini [6]. V okviru poskusa so z načrtovanimi posegi v sredici vzbujali različne vrste oscilacij moči. V prvem primeru so uspeli inducirati kvadrupolno nihanje moči, pri čemer sta bili oscilaciji za 180 stopinj iz faze. Časovni potek je prikazan desno zgoraj na Sliki 5, kjer krivulji prikazujeta obe strani reaktorja. Sprva lahko vidimo nedušeno nihanje, nato pa sta bila ob času približno 15 ur in 21 ur opravljena posega s kontrolnimi palicami. Na zgornji krivulji, kjer je fluks po lokalnem zvišanju začel padati - kar nakazuje na večjo produkcijo kot izgorevanje ksenona - so bile kontrolne palice dvakrat izvlečene in začasno se je lokalni fluks še povečal. S tem je bilo doseženo izgorevanje presežka nastalega ksenona in dušenje aksialnega osciliranja. Pri spodnji krivulji, kjer je fluks po lokalnem minimumu začel naraščati - kar nakazuje dominanco izgorevanja ksenona - so bile kontrolne palice dvakrat vstavljene in lokalni fluks znižan. S povečano hitrostjo nastajanja ksenona se je tako kompenzirala izguba zaradi izgorelosti in tudi v tem primeru je osciliranje začelo padati proti ravnovesnemu stanju. Pri drugem poskusu je bilo vzbujeno dipolno aksialno osciliranje moči reaktorja, pri čemer nihanje ni bilo dušeno z zunanjimi posegi. Amplituda se je tako s periodo večala, dokler po približno 150 urah divergiranja ni bila ugotovljena saturacija. Za zadušitev takšnega nihanja je potreben poseg s kontrolnimi palicami z veliko zalogo reaktivnosti. 10

12 Iz primerov vidimo, da je potrebno dušenje kesenonovo induciranih oscilacij moči v reaktorski sredici načrtovati, za kar je potrebna razpoložljivost kontrolnih palic z zadostno zalogo reaktivnosti in ustrezen računski model, ki zadostno popisuje dinamiko koncentracij, fluksov in moči v reaktorju ter omogoča napovedovanje efektov [7]. 4 Samarij 4.1 Koncentracija kot funkcija prostora in časa Zelo podobno analizo lahko podamo za samarij - zaradi velike verjetnosti nastanka pri fisiji in velikega absorpcijskega preseka za termične nevtrone je potrebno upoštevati njegove učinke na reaktorsko dinamiko. Osredotočili se bomo na verigo, ki je prikazana na Sl. 6. Prvi produkt, izotop neodim, nastane direktno prek fisije, vendar pa ima zelo kratek razpadni čas, zato ga zanemarimo. Predpostavimo, da začetek verige predstavlja prometij, ki z beta razpadom preide v 149 Sm [1]. Slika 6: Zgoraj je prikazana shema, po kateri tvorimo ustrezne diferencialne enačbe za izračun časovnega poteka koncentracij izotopov [1]. Kot pri ksenonu tudi tukaj zapišemo diferencialne enačbe za izračun časovnega poteka koncentracij izotopov. Najprej za prometij: Enačba za samarij ima obliko: P t = γ P Σ f φ(r, t) λ P P (r, t). (4.1.1) S t = λ P P (r, t) σ S a φ(r, t)s(r, t). (4.1.2) V DE samarija opazimo dva člena manj, kot pri ksenonovi verigi. Razlog za to je stabilnost samarija, kar pomeni, da ni negativnega člena zaradi njegovega razpada, poleg tega tudi ni prirastka zaradi fisije - se ne tvori neposredno. 4.2 Zagon čistega reaktorja Obravnavajmo primer, pri katerem ob času t = 0 hipoma reaktor privedemo do konstantnega fluksa φ 0. Uporabimo začetne pogoje P (r, 0) = S(r, 0) = 0. Rešitev za prometij je tako: enačba za samarij pa: P (r, t) = γ P Σ f φ 0 λ P (1 exp( λ P t)), (4.2.1) S(r, t) = γ P Σ f σ S a ( 1 exp( σ S a φ 0 t) ) γ P Σ f φ 0 σ S a φ 0 λ P ( exp( σ S a φ 0 t) exp( λ P ) ). (4.2.2) Ker je absorpcijski presek 149 Sm mnogo manjši od preseka 135 Xe, in ker je razpolovna doba 149 P m daljša od 135 I, produkta v samarijevi verigi dosežeta ravnovesje koncentracije kasneje 11

13 kot produkta ksenonove verige - ta čas je reda velikosti par dni. Poglejmo si še limitni primer teh rezultatov. Po dolgem času koncentraciji teh dveh izotopov dosežeta ravnovesje: P (t ) P = γ P Σ f φ 0 (r) λ P (4.2.3) S(t ) S = γ P Σ f σ S a. (4.2.4) Čas, v katerem koncentraciji skonvergirata k ravnovesni vrednosti, je za tipične tlačnovodne reaktorje reda velikosti več sto ur. Poglejmo si praktičen primer za zagon reaktorja na konstantnem fluksu φ 0 z vrednostjo n cm 2 s [4]. Za makroskopski fisijski presek 235 U uporabimo vrednost cm 1 in za miskroskopski abosrpcijksi presek samarija σa X vrednost b (značilne vrednosti za enogrupno termično obravnavo) [4]. Rezultati so prikazani na spodnji Sliki P Koncentracija prometija v odvisnosti od casa Koncentracija samarija v odvisnosti od casa S + P 0.8 P(t) [at/cm 3 ] S(t) [at/cm 3 ] S Cas [h] Cas [h] Slika 7: Časovna odvisnost koncentracij prometija in samarija pri zagonu čistega reaktorja na konstanten fluks φ 0 (rdeča krivulja) in po takojšnji zaustavitvi ob doseženih ravnovesnih koncentracijah (modra krivulja). Na grafih lahko vidimo, da se koncentraciji obeh fisijskih produktov po zagonu čistega reaktorja eksponentno približujeta ravnovesnim vrednostim iz enačb (4.2.3) in (4.2.4) in jih dosežeta po približno 600 urah [1]. Zanimivo je tudi, da je ravnovesna koncentracija samarija višja od prometijeve. Izračune lahko uporabimo za oceno spremembe reaktivnosti, ki se inducira v reaktorju s konstantno močjo, zaradi nastajanja fisijskega produkta. Vzemimo izračunano ravnotežno koncentracijo S(t) in jo vstavimo v enačbo (2.0.8), kjer smo dobili izraz za spremembo reaktivnosti. Zopet predpostavimo, da imamo velik termični reaktor z majhnim pobegom (L 2 B 2 1), dobimo: ρ = ΣP a = σs a S(t ) = σs a γ P Σ f Σ a Σ a Σ a σa S. (4.2.5) Zopet uporabimo zvezo za pomnoževalni faktor k = (νσ f /Σ a )pɛ = 1, izrazimo kvocient Σ f /Σ a = (νpɛ) 1 in zapišemo spremembo reaktivnosti: ρ = γ P pνɛ. (4.2.6) Za parametre velikega termičnega reaktorja [1] z gorivom iz 233 U in 235 U dobimo spremembo reaktivnosti ρ = , kar ustreza ρ = 463 pcm. 12

14 4.3 Zaustavitev reaktorja po dolgem času Obravnavajmo primer zasutavitve reaktorja po predhodnem dolgem obratovanju na konstantni moči. Velja, da se po zaustavitvi reaktorja koncentracija samarija povečuje. Kot smo omenili, je v nasprotju s ksenonom stabilen in torej ne razpada sam, medtem ko prometij še vedno razpada in povečuje njegovo količino v reaktorju. 149 Sm tako ostane v reaktorju, dokler ga spet ne pripeljemo do kritičnosti - takrat se začne porabljati preko nevtronske absorpcije. Želimo dobiti analitični formuli za obnašanje koncentracij po izklopu reaktorja, zato spet uporabimo iste robne pogoje kot pri ksenonu, torej začetni koncentraciji P in S ob času t = 0. Tudi v primeru prometija in samarija iz bilančnih diferencialnih enačb odštejemo člene, ki opisujejo fisijski nastanek prometija in izgorevanje samarija zaradi absorpcije nevtronov. Ostaneta dve preprosti diferencialki: P t = λ P P (r, t), (4.3.1) S t = λ P P (r, t). (4.3.2) Upoštevajmo ravnosvesne limite in dobimo: Dobljeni izraz vstavimo v enačbo (4.3.2) in dobimo: P (r, t) = P exp( λ P t). (4.3.3) S(r, t) = S + P [1 exp( λ P t)]. (4.3.4) Vidimo, da ko gre t, vrednost S(t) konvergira proti vsoti obeh začetnih koncentracij S + P - kar je pričakovano, saj sčasoma ves prometij razpade v samarij [5]. Efekt lahko vidimo na Sliki 7 - modri krivulji. Zopet prek enačbe (2.0.8) izrazimo spremembo reaktivnosti: ρ = γ [ P 1 + φ 0σ S ] a (1 exp( λ P t)). (4.3.5) νpɛ λ P Na Sliki 8 levo so prikazane spremembe reaktivnosti v odvisnosti od časa za tipično vrednost fluksa v termičnem reaktorju. Vidimo, da je maksimum spremembe za red velikosti manjši od tistega pri ksenonu, vseeno pa je upoštevanje samarija zelo pomembno pri načrtovanju sprememb moči reaktorja. Opazimo še, da pride do saturacije koncentracije samarija po približno enem mesecu. Če po daljšem obdobju nedelovanja reaktorja tega ponovno pripeljemo do konstantne moči koncentracija samarija pade proti ravnovesni vrednosti, vendar ne tako hitro kot pri 135 Xe - čiščenje 149 Sm iz reaktorskega sistema lahko traja namreč tudi teden dni [1]. Potek reaktivnosti je prikazan na Sliki 8 desno z modro krivuljo. 5 Zaključek Zastruputev reaktorja s ksenonom in samarijem je pomemben pojav v reaktorski fiziki. Problem je dobro analitično rešljiv, rezultati, ki smo jih izračunali v okviru dotičnega seminarja, se z napovedmi ujemajo znotraj 10 % [1, 5], pri čemer moramo upoštevati dejstvo, da k negotovosti naših izračunov prispeva že sama izbira reaktorksih parametrov - torej povprečnega fluksa φ 0, fisijksih deležev γ (ki se razlikujejo za par procentov v različnih literaturah [1, 5, 4]), fisijskih Σ f in absorpcijskih σ a presekov. 13

15 50 Sprememba reaktivnosti pri zaustavitvi reaktorja rho [pcm] Cas [h] Slika 8: Levo - na grafu vidimo povečevanje koncentracije samarija po ugasnitvi reaktorja. Desno - graf prikazuje odvisnost koncentracije samarija od časa pri abruptni zaustavitvi reaktorja in njegovem ponovnem zagonu. Teoretični in številski rezultati kažejo, da zvišanje koncentracij ksenona in samarija predstavlja oviro pri dosegi kritičnosti reaktorja. Do doseženega ravnovesnega stanja - kar je pri ksenonu okrog 60 ur in pri samariju 500 ur - se zaradi nastajanja strupov v sredici inducira negativna reaktivnost, kar onemogoča stabilizacijo jedrske verižne reakcije. Izotopa takšen problem predstavljata predvsem pri komercialnih reaktorjih, ki dolgo časa obratujejo na polni konstantni moči. Po približno 20 dneh, ko oba dosežeta maksimalno koncentracijo, skupaj prispevata kar okrog 2000 pcm negativne reaktivnosti, kar je potrebno regulirati z izvlekom kontrolnih palic ali sistema z borovo kislino. Literatura [1] Duderstadt J. J., Hamilton L. J., Nuclear Reactor Analysis, Department of Nuclear Engineering, The University of Michigan, John Wiley & Sons Inc., [2] Bell G. I., Glasstone S., Nuclear Reactor Theory, University of California, Los Alamos Scientific Laboratory, Litton Educational Publishing Inc., [3] Keepin G. R., Physiscs of Nuclear Kinetics, University of California, Los Alamos Scientific Laboratory, Addison - Wesley Publishing Company Inc., [4] Knief R. A., Nuclear Engineering, American Nuclear Society Inc., La Grange Park, Illinois USA, [5] Gabrovšek Z., Fizika PWR Reaktorjev, Izobraževalni center za jedrsko tehnologijo, Univerza E. Kardelj, Institut Jofef Stefan, Ljubljana, [6] Roggenkamp P. L., The Influence of Xenon-135 on Reactor Operation, Technical Symposium 50 Years of Excellence in Science and Engineering at the Savannah River Site, Citizens for Nuclear Technology Awareness, Technical Symposium Proceedings, [7] Shimazu Y., Simplest Simulation Model for Three-Dimensional Xenon Oscillations in Large PWRs, Journal of Nuclear Science and Technology, Vol. 41, No. 10, p , October