Cuprins: Introducere De la geometria absolută la geometria hiperbolică Izometrii în planul hiperbolic, grupul de izometrii...

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Cuprins: Introducere De la geometria absolută la geometria hiperbolică Izometrii în planul hiperbolic, grupul de izometrii..."

Transcript

1 Cuprins: Introducere De la geometria absolută la geometria hiperbolică Izometrii în planul hiperbolic, grupul de izometrii Grup discret de izometrii în plan, exemple Bibliografie 1

2 Introducere Pentru a ne familiariza cu tema sa dam mai intii niste noţiuni, pentru a face deosebire dintre planul Euclidian şi cel Hiperbolic: Geometria euclidiană este cea mai veche formalizare a geometriei, și în același timp cea mai familiară și mai folosită în viața de zi cu zi. Așa după cum indică și adjectivul euclidiană, aceasta a fost enunțată prima dată de către gânditorul Euclid. Aceasta se bazeaza pe un set de axiome, mai numite şi sistemul de axiome Hilbert. Axiomatica lui Hilbert contine 20 de axiome grupate in urmatoarelecinci grupe. În matematică, geometria hiperbolică (numită și geometria lobacevskiană sau geometria Bolyai-Lobacevskiană) este o geometrie non-euclidiană, adică axioma (postulatul) paralelelor din geometria euclidiană este înlocuită. Axioma paralelelor din geometria euclidiană este echivalentă cu faptul că, într-un spațiu bidimensional, pentru orice dreaptă d și orice punct P care nu aparține dreptei d, există o unică dreaptă care trece prin P și care nu intersectează dreapta d, adică este paralelă cu d. În geometria hiperbolică există cel puțin două drepte care trec prin P și nu se intersectează cu d, astfel încât această axiomă nu mai ramâne valabilă. Diverse modele au fost construite cu ajutorul geometriei euclidiene, prin excluderea axiomelor din geometria hiperbolică, demonstrând astfel că axioma paralelelor este independentă de celelalte axiome ale lui Euclid. O proprietate caracteristică geometriei hiperbolice atestă faptul că suma unghiurilor unui triunghi este mai mică decât doua unghiuri drepte. În cazul în care vârfurile tind la infinit, există triunghi hiperbolic ideal, în care toate cele trei unghiuri au măsurile egale cu 0. 2

3 1. De la geometria absolută la geometria hiperbolică Vom formula axiomele geometriei absolute, ca apoi sa inlocuim axioma lui Euclid despre paralele (numita si postulatul V) cu axioma Lobacevskii. In primul paragraf vom demonstra unele teoreme ale geometriei hiperbolice in plan. I. Axiome de incidenţă: - Oricare ar fi 2 puncte A,B ale spatiului exista o dreapta a care trece prin ele. - Prin orice 2 puncte diferite A,B din spatiul dat trece cel mult o dreapta a. Notaţie: a = AB. Figura 1 - Pe orice dreapta a sint situate cel putin 2 puncte. Exista cel putin 3 puncte necoliniare. - Oricare ar fi 3 puncte necoliniare A,B,C exista cel mult un plan α care trece prin ele. Astfel, 3 puncte necoliniare determina un plan α si numai unul singur. Notaţie: α = (ABC) - Dacă 2 puncte distincte A, B ale dreptei a sînt situate pe planul α, atunci fiecare punct al dreptei a este situat pe planul α. Adica, dacă o dreaptă are 2 puncte comune cu un plan, atunci dreapta este conţinută în întregime în acest plan. Figura 2 - Dacă două plane α şi β au un punct comun A, atunci ele mai au cel puţin încă 3

4 un punct comun B. (Planele se reprezintă pe foaie de caiet prinparalelograme). Figura 3 - Exista cel putin patru puncte necoliniare. Utilizind aceste axiome pot fi demonstrate urmatoarele teoreme: Teorema 1. Două drepte distincte au cel mult un punct comun. Teorema 2. Dacă 2 plane au un punct comun, atunci ele au o dreaptă comună pe care sînt situate toate punctele comune acestor plane. Figura 4 Teorema 4. Prin 2 drepte concurente trece un plan şi numai unul singur. Figura 5 Teorema 5. Orice plan conţine 3 puncte necoliniare. 4

5 II. Axiomele de ordine: - Pentru orice 2 puncte A,b, exista un punct C (colinear) astfel incit B este intre A si C. - Oricare ar fi 2 puncte distincte A, B există cel puţin un punct C astfel încât A B C (B se afla intre A si C). - Oricare ar fi 3 puncte distincte coliniare A, B, C, unul şi numai unul este situat între celelalte două. Figura 6 - (Axioma lui Pasch) Dacă o dreapta intersecteaza o latura a Δ- lui şi nu trece prin vîrfuri atunci mai intersecteaza încă cel puţin o latura. III. Axiomele de congruenţă: - Fiind date segmentul AB şi semidreapta cu originea în A', există un punct B' situat pe această semidreaptă astfel încât [AB] [A' B']. - Dacă [AB] [A'B'] şi [AB] [A''B''], atunci [A' B' ] [A''B'']. - Dacă A - B - C, A'- B - C', [AB] [A' B'] şi [BC] [B'C'], atunci [AC] [A'C' ]. IV. Axiomele de continuitate: - (Axioma lui Arhimede). Fie segmentele AB şi CD astfel încât (AB)>(CD). Atunci pe dreapta AB există un număr finit de puncte A1, A2,..., An astfel încât au loc relaţiile: a) A - A 1 - A 2, A 1 -A 2 -A 3,..., A n-2 - A n-1 - A n ; b) (AA 1 )= (A 1 A 2 ) = = (A n-1 A n ) = (CD); c) A-B- A n 5

6 - Fie pe o dreaptă oarecare a un şir infinit de segmente (A 1 B 1 ), (A 2 B 2 ),..., (A n B n ),...cu proprietăţile: a) (A i B i ) este inlcus in (A i+1 B i+1 ), pentru i N. b) nu există nici un segment inclus în toate segmentele şirului considerat. Atunci pe dreapta a există un singur punct M care aparţine fiecărui segment din acest şir. V E : Prin punctul ce nu aparţine dreptei în planul determinat de punct şi dreaptă, trece nu mai mult de o dreaptă care nu intersectează dreapta dată. V L (~ V E ): Prin punctul care nu aparţine dreptei, în planul determinat de punct şi dreaptă, Trec cel puţin 2 drepte diferite care nu intersestează dreapta dată.(axioma lui Lobacevskii). Fie că are loc: b 1 b 2= Q b 1 a=ø b 2 a= Ø. Fie b 1 b 2 cel putin unul din unghiurile drepte dintre [QP] si unica perpendiculara existenta in semiplanul care contine contine [QP]si perpendiculara, avem semidreapta interioara b 1, care nu intersecteaza a. Totalitatea semidreptelor interioare unghiului drept µo impartim in 2 clase diferite: I- semidrepte interioare ce intersecteaza a; II- semidrepte interioare ce nu intersecteaza a; ambele clase fiind nevide.!! d Figura 7 Avem ca orice element din clasa I precede oricarui element din clasa II. Deci in I nu exista ultimul in II exista primul element, adica semidreapa ce nu intersecteaza a, fie acesta b 1. 6

7 Figura 8 Remarca: Daca micsoram unghiul α cu orice ε >0 atunci dreapta va intersecta dreapta initiala. Def: Unghiul dintre perpendiculara si paralela in sens Lobacevski se numeste unghi de paralelism. In geometria absoluta (I- IV)+V L, unghiul de paralelism este ascutit. Am obtinut ca prin orice punct A a trece exact o paralela de dreapta si de exact o paralela de stinga, in sens Lobacevski. Def: Dreptele ce trec prin A, nu sunt de frontiera si nu intersecteaza dreapta initiala le vom numi drepte divergente cu a(divergenta in sens Lobacevski). Directia de paralelism o vom marca prin sageti. Figura 9 Geometria absoluta afirma ca suma unghiurilor unui Δ este postulatul V L rezulta: Σ Δ < 2d. 2d, iar in cea hiperbolica: din 7

8 Def: Marimea 2d - α - β γ pentru ΔABC cu unghiurile interne α, β, γ, se numeste defect. Notam: D ΔABC In geometria Euclidiana defectul oricarui Δ este zero, iar in geometria Lobacevski defectul este strict pozitiv. Remarca: In geometria Lobacevski (hiperbolica) defectul oricarui Δ este strict pozitiv, dar marginit superior D Δ. Def: Vom numi patrulater Sacchery acel patrulater cu 2 unghiuri drepte la latura numita baza si cu laturile laterale congurente. Teorema: Suma unghiurilor interioare ale oricarui patrulatereste strict mai mica ca 4d. Σ ABCD = Σ ABD + Σ BDC <2d+2d Figura 10 In planul hiperbolic oricarui segment putem sa- i punem in corespondenta univoca o marime unghiulara numita unghi de paralelism pentru acest segment. Fie segmentul [OA 1 ]!paralela de dreapta! unghi α 1 ; Fie ca in figura avem A 1 intre O si A 2 deci [OA 2 ]>[OA 1 ] α 2 <α 1. Figura 11 Definim functia Lobacevski, pentru segment ea pune in corespondentasegmentului, unghiul de paralelism ce- i corespunde.notam: Π(p)= α. Teorema: Functia lui Lobacevski este monoton descrescatoare. Daca p 2 <p 1 Π(p 2 )< Π(p 1 ). Pentru moment putem afirma ca functia lui Lobacevski este definita pe R + si ia valori pe [0,π/2], fiind monoton descrescatoare. In E 2 cunoastem: A 1 x + B 1 y + C 1 =0; A 2 x + B 2 y + C 2 =0; unde dreptele sunt diferite Ecuatia oricarei drepte dintr- un fascicul de drepte: α (A 1 x + B 1 y + C 1 )+β(a 2 x + B 2 y + C 2 )=0 8

9 fascicul de drepte paralele Fascicule de drepte in E 2 fascicul eliptic Def: Vom numi fascicul eliptic, totalitatea dreptelor planului H 2 incidente unui anumit punct, numit focarul fascicolului. Def: Vom numi fascicul parabolic in planul H 2, totalitatea dreptelor paralele in sens Lobacevskii unei drepte in directie fixata. Are loc tranzitivitatea relatiei de a fi paralel. fascicul parabolic fascicul hiperbolic Fascicule de drepte in H 2 Def: Vom numi fascicul hiperbolic in H 2, totalitatea dreptelor divergente care poseda una si aceeasi comuna. Are loc tranzitivitatea relatiei de a fi divergenta. 9

10 2. Izometrii în planul hiperbolic, grupuri de izometrii Def: O funcţie surjectivă F : V V care păstrează distanţa euclidiană, adică d(f(x), F(y))= d(x,y), x,y V se numeşte izometrie. Proprietati: 1)Orice izometrie este o aplicatie injectivă 2)O izometrie conservă relatia a fi intre 3)O izometrie transformă un segment intr-un segment 4)O izometrie transformă o semidreaptă intr-o semidreaptă si o dreptă intr-o dreaptă 5)Orice izometrie este o aplicatie surjectivă. Observaţii 1. Orice izometrie este bijectivă. 2. Transformările ortogonale şi translaţiile sunt izometrii. 3. Compunerea a două izometrii este o izometrie. Ca si in planul spatiului E 2 vom numi izometrie aplicatia planului pe sine insusi, care pastreaza distanta. Multimea tuturor izometriilor formeaza grup, unde rolul unitatii ii revine transformarii identice. Pentru A id(a)=a, A oricarui spatiu metric. Prin compozitie a 2 izometrii vom intelege efectuarea consecutiva a acestor transformari asupra punctelor planului. Def: Izometria a carei patrat este izometria identica se mai numeste involutie. Simetria Se numeste transformare de simetrie a figurii date F, aplicatie izometrica a ei pe ea insesi, adica transformarea de simetrie s a figurii F se defineste prin conditiile: a) pentru punct M F si imaginea sa s(m)= M, unde M F(s aplica F in sine s(f) F); b)pentru M F exista asa un punct M F, incit M =s(m), adica s aplica F pe sine: s(f)= F c) pentru M,N F intotdeauna MN= M N, pentru M = s(m) si N =s(n), adica s pastreaza neschimbata distanta dintre puncte. 10

11 Teorema: Multimea tuturor transformarilor de simetrie ale unei figuri formeaza un grup. Dem: Se da o figura oarecare F cu multimea S a tutoror transformarilor de simetrie. Conform observatiei despre totalitatea S a tutror transformarilor de simetrie a figurii F este o submultime nevida a acestui subgrup, e suficienta aplicarea aplicarea criteriului subgrupului, adica verificarea conditiilor: 1) s 1,s 2 S, atunci si s 2 s 1= s 3 S 2) daca s S, atunci s -1 S. Intr-adevar, deoarece s 1,s 2 sunt transformari biunivoce ale figurii F, atunci si s 3 = s 2 s 1 va fi o transformare biunivoca a fgurii F, adica s 3 (F)=F. Pentru arata ca s 3 e izometrica vom lua 2 puncte arbitrare M,N F si vom nota M =s 1 (M), iar N =s 1 (N), M =s 2 (M ), si N =s 2 (N ). Fiindca s 3 = s 2 s 1, atunci M =s 3 (M) si N =s 3 (N).Deoarece s 1 si s 2 sunt izometrice, atunci MN= M N si M N = M N. Prin urmare, MN= M N, deci s 3 e izometrica. Vom controla conditia 2), deoarece s e o trasnformare biunivoca a figurii F, atunci exista si s -1 care este tot o transformare biunivoca a figurii F. Vom verifica izometricitatea tranformarii s -1 : fie M, N 2 puncte arbitrare ale figurii F, iar M =s -1 (M), N = s -1 (N), adica M=s (M ), N=s(N ); M N = MN (deoarece s e izometrica) si atunci MN= M N, ceea ce inseamna ca s -1 e izometrica.ctd. Grupul S al tuturor transformarilor de simetrie ale unei figuri se numeste grupul simplu al simetriei figurii date. Fie a b si a H 2, b H 2 (a,b- coplanare). Pentru aceste drepte avem posibiliatile: 1. se intersecteaza, genereaza un fascicul eliptic. 2. sunt paralele in sens Lobacevski, genereaza un fascicul parabolic 3. sunt divergente, genereaza un fascicul hiperbolic. 11

12 Tipurile de transformări ale simetrie în plan Reflexia de la o dreapta, rotatia eliptica, inversia fata de un punct in geometriile euclidiana si hiperbolica se definesc in acelasi mod deoarece se bazeaza pe geometria absoluta.vom descrie putin mai detaliat aceste transformari de simetrie. Sigur ca cea mai simpla transformare este cea identica Reflexia de la o dreapta (axa de simetrie) Reflexia (reflectarea) m de la dreapta u (Notam: M~O) se defineste ca trasnformare a planului ce aplica punctul arbitrar M pe punctul M' simetric lui fata de axa u. Cu alte cuvinte, formula M'=m(M) inseamna, ca M=M' pentru M u, iar pentru M u axa u este mnediatoarea segmentului MM'(MM' u, MM 1 =M 1 M' unde M 1 =MM' u). Reflectarea de la o dreapta (simetria axiala) este o transformare reciproca, adica m=m -1 sau m 2 =id. Izometricitatea: se da m~u, doua puncte arbitrare M si N ale planului, M'=m(M) si N'=m(N). Vom arata, ca mereu MN=M'N'. Cazul cind M,N u este evident. Vom examina 2 cazuri netriviale: a) M u, N u (sau M u,n u); b) ambele puncte M,N u Cazul a) devine trivial pentru MN u. Daca MN este oblic fata de u, atunci ΔMN 1 N=ΔMN 1 N' (dupa 2 catete), deci MN=M'N' (vezi Figura 12 a). Mentionam, ca in acest caz N 1 MN= - N 1 MN' deoarece unghiurile sint orientate. In cazul b) pentru MN u prin cercetarea Δ M 1 N 1 N si ΔM 1 N 1N' capatam ca M 1 N=M 1 N' si N 1 M 1 N= - N 1 M 1 N'(vezi Figura 12. b.).mai departe, N 1 M 1 M= - N 1 M 1 M' din insesi conditia M'=m(M), asa ca NM 1 M= N 1 M 1 M- N 1 M 1 N=(- N 1 M 1 M')-(- N 1 M 1 N')= - N'M 1 M'. Prin urmare, ΔMM 1 N=ΔMM 1 N' (conform crt. 1), deci MN=M'N'. In consecinta am capatat, ca reflectarea de la o dreapta este o trasnformare de simetrie a planului. Figura 12 a Figura 12 b 12

13 Reflexia de la un punct (centru de simetrie) Reflexia (reflectarea) c de la punctul O (Notam: c~o) poate fi definita ca un caz particular al rotatiei: c=v~o, π.cu alte cuvinte, c(o)=o, iar pentru M 0 formula M'=c(M) e echivalenta conditiei: punctul O e mijlocul segmentului MM'. Usor se vede, ca daca M'=c(M), atunci si M=c(M'), adica c=c -1 sau c 2 =id. Aceasta proprietate a transformarii c se numeste reciprocitate. Rotatia elitica cu unghiul dat in jurul punctului dat: Rotatia V cu unghiul φ in jurul punctului O, numit centru (se noteaza: V~ O, φ) este acea transformare a planului, care pune in corespondenta fiecarui punct M punctul M'=V(M) conform legii: a) OM=OM' si deci V(O)= O b) pentru M 0 intotdeauna MO M = φ (φ marimea algebrica a unghiului orientat, data in radiani). Din definitie se vede ca rotatiile V~O, φ si V'~O, φ' coincid daca φ'= φ+ 2π. De aceea, cu toate ca fiecarui numar real φ univoc ii corespunde relatia V~O, φ cu centrul O fixat, corespondenta aceasta nu e biunivoca. Vom remarca, ca rotatia cu unghiul 2kπ (k Z) in jurul oricarui centru este nu altceva decit trasnformarea identica, iar rotatile cu unghiurile φ si φ in jurul aceluasi centru sint reciproc inverse. Proprietate algebrica: Produsul a 2 rotatii in jurul unui centru este o rotatie in jurul aceluasi centru cu unghiulsuma a unghiurilor rotatiilor ce se inmultesc. Intr- adevar: fie V i ~O, φ i (i=1,2), V 3 = V 2 V 1 si φ 3 = φ 1 + φ 2, e clar ca V 3 (O)=O. Vom lua punct arbitrar M 0 si vom nota: M'=V 1 (M) si M"=V 2 (M'), atunci M"=V 3 (M.).Deoarece OM=OM' si OM'=OM", atunci OM=OM". In continuare, MOM'=φ 1 si M'OM"=φ 2, deci MOM"=φ 3. Asadar avem, ca V 3 ~O, φ 3. Din proprietatea algebrica urmeaza, ca daca V~O, φ, atunci pentru numar intreg k, transformarea V k este rotatie in jurul punctului O cu ughiul kφ (in special, daca φ = k π 2, atunci V k =e). Daca vom alege pe plan un punct arbitrar O si fiecarui numar real φ ii vom pune in corespondenta rotatia V ~O, φ, atunci vom capata omomorfismul grupului aditiv al numerelor reale pe multimea rotatiilor in jurul punctului O. Prin urmare, multimea tuturor rotatiilor in jurul aceluiasi centru formeaza un grup comutativ. Izometricitatea: se da rotatia V~O, φ si doua puncte arbitrare M, N ale planului, M'=V(M) si N'=V(N).In cazul netrivial, cind ambele puncte M si N sunt diferite de centrul O, avem ca OM=OM', ON=ON' si MOM'= NON'. Adunind M'ON la ambele parti ale ultimei egalitati si folosind comutativitatea adunarii, vom capata ca MON= M'ON'. Daca semidreptele OM 13

14 si ON coincid, atunci si semidreptele OM' si ON' coincid, si deci MN= OM ON = M ON =M'N'. Daca semidreptele OM si ON sunt complementare, atunci si semidreptele OM' si ON' la fel sunt complementare, de aceea MN=OM+ ON=OM'+ ON'=M'N'.Daca MON kπ, atunci ΔMON= ΔM'ON' (conform criteriului I), si deci MN=M'N'. Totalizind rezultatele, concludem ca rotatia este o trasnformare de simetrie a planului. O Dar in cazul altor tipuri de transformari de simetrie ale planului apar diferentele dintre geometria euclidiana si geometria hiperbolica. Daca m 1 si m 2 sunt divergente, atunci compozitia m 1 m 2 am numit-o translatie hiperbolica. Translatia hiperbolica pastreaza perpendiculara comuna, care aluneca pe sine si, in care putem spune, ca efectuam translatia de- a lungul ei. Mai ramin invariante (luneca pe sine) si liniile echidistante pentru care dreapta de translare este baza lor. Figura 13 Prop: Compozitia a 2 reflectiiin drepte ce se intersecteaza reprezinta geometric o rotatie in jurul punctului de intersectie la un unghi dublu, unghi dintre drepte si cu directia de la prima la a 2-a dreapta. Figura 14 Pe de alta parte, transformarile de simetrie (deci izometriile) pot fi reprezentate drept compozitie a cel mult 3 reflectii in drepte (pentru plan). 14

15 Def: Compozitia a doua reflectii in drepte diferite se numeste rotatie eliptica, rotatie oriciclica (translatie oriciclica) sau translatie hiperbolica, daca dreptele sunt respectiv dintr- un fascicul eliptic, parabolic sau hiperbolic. Prop: Compozitia a 2 reflectii ce se intersecteaza reprezinta geometric o rotatie in jurul punctulu de intersectie la un unghi dublu, unghi dintre drepte si cu directia de la prima la a doua dreapta (are loc si afirmatia inversa). 3. Grup discret de izometrii în plan, exemple 15

16 Se da o figura F cu grupul de simetrie S. Transformarile din grupul S sunt numite S- omologice. Punctul M'al figurii F se numeste S- omologic cu punctul M, daca exista asa o transformare s S, astfel incit M'=s(M). Deoarece S este un grup, atunci relatia punctul este S- omologic punctului este reflexiva, simetrica si tranzitiva, adica este o relatie de echivalenta. Prin urmare, figura F se descompune in clase de puncte S- omologice, unde fiecare clasa e formata din din punctele S- omologice cu un punct oarecare dat. Def: Grupul de simetrie S se numeste discret, daca punct al figurii F (pe care o transforma grupul S) este izolat in clasa punctelor S- omologice cu el, adica daca el are o ε- vecinatate, in care nu- s puncte S- omologice cu dinsul. Daca se poate alege un ε comun pentru toate punctele S- omologice ale diferitelor clase de acest fel, atunci grupul se numeste foarte discret. Lema: Orice subgrup al unui grup discret, el insusi este discret. Intr- adevar: vom considera un subgrup H al unui grup discret de simetrie S. Atunci orice clasa de puncte H- omologice reprezinta o subclasa a unei clase oarecare de puncte S- omologice. Deoarece orice punct din clasa punctelor S- omologice este izolat, apoi cu atit mai mult este izolat orice punct din clasa punctelor H- omologice. Prin urmare, H e un subgrup discret. Sensul geometric al discretiei unui grup consta in aceea, ca rotatiile grupului se efectueaza cu unghiuri nu oricit de mici, translatiile grupului sunt determinate de vectori nu oricit de mici si asa mai departe. Exemple de izometrii in planul E 2 : {4,4}- patratul In planul H 2 vom avea posibilitatile de izometrii: 16

17 2π 4 0 φ< φ=90º=,deci: {4,5}; {4,6}; {4,7};...{4, } 17

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Axiomatica Hilbert a spaţiului euclidian

Axiomatica Hilbert a spaţiului euclidian Axiomatica Hilbert a spaţiului euclidian Mircea Crâşmăreanu Prezentare generală a sistemului axiomatic Hilbert Prin Geometrie Euclidiană se înţelege într-un sens general şi clasic acea geometrie ce are

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

3. REPREZENTAREA PLANULUI

3. REPREZENTAREA PLANULUI 3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:

TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii: TRIUNGHIUL Profesor lina Penciu, Școala Făgăraș, județul rașov Daca, si sunt trei puncte necoliniare, distincte doua câte doua, atunci ( ) [] [] [] se numeste triunghi si se noteaza cu Δ. Orice Δ determina

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON

CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON ABSTRACT. Articolul prezintă două rezultate deosebite legate de patrulaterul inscriptibil şi câteva consecinţe ce decurg din aceste rezultate. Lecţia se adresează

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0 DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii Felix Klein (1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de grup pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului. In discursul inaugural de

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional

Διαβάστε περισσότερα

Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,

Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Iaşi Repere metodice ale predării asemănării în gimnaziu

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,... (pe fiecare

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI GEOMETRICE ALE FIGURILOR DIN PLAN ŞI SPAŢIU

CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI GEOMETRICE ALE FIGURILOR DIN PLAN ŞI SPAŢIU CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI GEOMETRICE ALE FIGURILOR DIN PLAN ŞI SPAŢIU In urma parcurgerii acestui capitol: veţi obţine informaţii generale despre transformări geometrice şi despre predarea lor, veţi reactualiza

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

X 2, Φ 2 doua K-spatii ane. O conditie necesara si sucienta ca aplicatia f : X 1 X 2 sa e morsm an este:

X 2, Φ 2 doua K-spatii ane. O conditie necesara si sucienta ca aplicatia f : X 1 X 2 sa e morsm an este: CURS 4: IZOMETRIILE UNUI SPATIU AFIN EUCLIDIAN 1. Recapitulare morfisme afine In acest curs dorim sa studiem izometriile unui spatiu an euclidian. Vom vedea ca acestea sunt morsme ane cu anumite proprietati

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

O adaptare didactica a unui sistem axiomatic

O adaptare didactica a unui sistem axiomatic O adaptare didactica a unui sistem axiomatic Oana Constantinescu In acest document dorim sa prezentam o adaptare a unui sistem axiomatic semiformalizat pentru geometria in plan si in spatiu. Spunem adaptare

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc = GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Prof. ION CĂLINESCU,CNDG, Câmpulung Voi prezenta o abordare simplă a determinării cercului lui Euler, pe baza unei probleme de loc geometric. Preliminarii:

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi-seminar 1

Vectori liberi-seminar 1 Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

1. Teorema lui Menelaus in plan Demonstratia teoremei in plan (clasa a VII-a). DC EC F B DB EA = 1.

1. Teorema lui Menelaus in plan Demonstratia teoremei in plan (clasa a VII-a). DC EC F B DB EA = 1. TEOREMA LUI MENELAUS IN PLAN SI SPATIU OANA CONSTANTINESCU In acest material generalizam teorema lui Menelaus din planul euclidian la spatiul euclidian trei dimensional, prezentand doua metode de demonstratie,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea

Geometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 13 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 24 Proiecţii

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

BREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE, PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE EVALUARE NAŢIONALĂ, clasa a VIII-a

BREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE, PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE EVALUARE NAŢIONALĂ, clasa a VIII-a GEOMETRIE-Evaluare Naţională 010 BREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE, PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE EVALUARE NAŢIONALĂ, clasa a VIII-a - 010 Propunător: Şcoala cu clasele I-VIII Măteşti, com. Săpoca,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα