Matematika v športu. Boštjan Frelih UP FAMNIT & UP IAM. 22. oktober 2014

Transcript

1 UP FAMNIT & UP IAM 22. oktober 2014

2 Statistika Pomen (športne) statistike: rangiranje oz. primerjava ekip oz. športnikov, beleženje rekordov, napovedovanje rezultatov (športne stave), priprava na nasprotnika,...

3 Statistika Statistika je podobna bikiniju, ki veliko odkriva, najvažnejše pa ohrani skrito. (Aaron Levenstein)

4 Statistika Nogomet: Poljska - Nemčija (nedelja, )

5 Statistika Košarka: Union Olimpija - Partizan 87:58 (nedelja, ) efficiency rating

6 Statistika Je res vse v športu glede matematike omejeno na statistično beleženje, zbiranje in preračunavanje podatkov oz. rezultatov?

7 Nogomet Roberto Carlos - prosti strel: tjnq Oblikovanje nogometne žoge. Uporaba računske dinamike tekočin - proučevanje učinka aerodinamike v nogometu s pomočjo numeričnih metod in algoritmov za reševanje in analiziranje problemov, ki vključujejo tokove tekočin - v konkretnem primeru tokov zraka okoli nogometne žoge. Različne žoge za svetovna prvenstva v nogometu:

8 Atletika Zakaj se na standardnih stadionih svetovne atletske zveze dosegajo boljši rezultati kot na stadionu, ki ima enako dolžino ravnih delov kot zavojev, ali na stadionu, ki so ga uporabljali na olimpijskih igrah leta 1895 v Atenah? Katera od osmih tekaških prog je najhitrejša? Matematični modeli za proučevanje vpliva vetra in nadmorske višine na različne proge in glede na različne atletske stadione pri teku na 400 metrov - uporaba navadnih diferencialnih enačb.

9 Atletika Standarden stadion po merilih svetovne atletske zveze. Merjeno po prvi - notranji progi sta ravninska dela dolga vsak po 115, 6 m, dela v zavoju pa vsak po 84, 4 m. Širina ene proge je 1, 22 m.

10 Atletika Stadion, ki ima enako dolžino ravnih delov kot zavojev - vsak del po 100 m.

11 Atletika Stadion, ki so ga uporabljali na olimpijskih igrah leta 1895 v Atenah. Merjeno po prvi - notranji progi sta ravninska dela dolga vsak po 180 m, dela v zavoju pa vsak po 20 m.

12 Košarka Ekipa na košarkarski tekmi manj kot minuto do konca tekme zaostaja za 4 točke. Naj trener svojim igralcem naroči naj poizkusijo zadeti koš za 3 točke ali za 2, ki ga je navadno lažje zadeti? Priprava strategije oz. matematičnega modela na podlagi statistike, verjetnosti in teorije iger. Ko vsaka vnaprej pripravljena strategija odpove... Reprezentanca Jugoslavije je v polfinalu svetovnega prvenstva leta 1986 proti Sovjetski Zvezi 50 sekund pred koncem tekme vodila za 9 točk, nato pa prejela 3 trojke, dala pa nobenega koša in tekma je šla v podaljšek, ki ga je Jugoslavija izgubila...

13 Ameriški nogomet Tloris igrišča za ameriški nogomet:

14 Ameriški nogomet Športna zgodba: V finalu študentske lige v ameriškem nogometu leta 1950 med ekipama California in Ohio State je trener slednje ekipe namerno prislužil kazen 5 yardov, da je svojemu strelcu prostega strela omogočil boljši kot strela na gol. Je bilo v trenerju dovolj matematičnega znanja, da je imel prav pri tej svoji odločitvi?

15 Ameriški nogomet Matematični problem: Za katero točko T na dani premici l(x) je kot GTG na sliki največji?

16 Ameriški nogomet Odgovor: Naj bosta točki K na premici l(x) in Y na premici l, ki je simetrala daljice GG, taki, da je YK = YG. Kot GTG bo največji natanko tedaj, ko je T = K.

17 Ameriški nogomet Naloga 1: Na spodnjo sliko vpeljimo koordinatni sistem, tako, da nam premica skozi točki G in G predstavlja x-os, premica l y-os, točka K pa naj ima koordinati (x, y). Glede na prejšnji odgovor poiščite enačbo krivulje, na kateri ležijo vse te točke K na premici l(x) za vsak x g (oz. x g), kjer je g prva koordinata točke G (oz. g prva koordinata točke G ).

18 Ameriški nogomet Omejitve, ki jih še nismo upoštevali: prosti strel se izvaja znotraj pasu, ki je na spodnji sliki označen z navpičnima črtkanima črtama ( Inbounds line ), prosti strel se izvaja 7 yardov dlje, kot je bila končana zadnja akcija, goli so postavljeni 10 yardov za končno črto igrišča.

19 Ameriški nogomet Naš problem se zaradi omejitve, da se prosti strel izvaja znotraj pasu, ki je na spodnji sliki označen z navpičnima črtkanima črtama ( Inbounds line ), zreducira na premice l(x) za g x h (oz. h x g).

20 Ameriški nogomet Vprašanje: V katerih primerih je smiselno pomakniti prosti strel nazaj za 5 yardov? V katerih primerih je kot Θ večji od kota Θ?

21 Ameriški nogomet Izračunamo kota Θ in Θ ter s pomočjo računalnika narišemo nivojske krivulje razlike a(x, y) = Θ Θ za g x h in y 0.

22 Ameriški nogomet Za konkretne podatke iz finalne tekme leta 1950 dobimo nivojske krivulje na sliki, ki jih ustrezno interpretiramo.

23 Ameriški nogomet Zgornja krivulja ustreza a(x, y) = 0, srednja krivulja ustreza a(x, y) = 1, spodnja krivulja pa ustreza a(x, y) = 2. V vsakem primeru vidimo, da te krivulje padejo izven območja za izvajanje prostega strela, kar pomeni, da trener ni bil najboljši matematik.

24 Ameriški nogomet Se je za tako majhno spremembo kota, če bi bila mogoča, sploh smiselno obremenjevati s tem, ali prestaviti prosti strel ali ne? Nekaj podatkov o finalu ameriške nogometne lige v letu Super Bowl XLVIII: Število gledalcev na stadionu v New Yorku: 82,529. Število gledalcev pred TV ekrani v ZDA: 111 milijonov. Skupno število gledalcev pred TV ekrani: 167 milijonov. Vrednost 30 sekundne reklame med prenosom tekme: 4 milijone ameriških dolarjev.

25 Razporeditev tekem na športnih tekmovanjih - turnirjih Ločimo več sistemov: sistem na izpadanje, dvojni sistem na izpadanje, krožni sistem ( round-robin )...

26 Krožni sistem ( round-robin ) Osnovne omejitve: imamo 2n ekip (ali tekmovalcev), vsaka ekipa odigra natanko eno tekmo z vsako drugo ekipo, v vsakem igralnem dnevu (krogu) odigra vsaka ekipa natanko eno tekmo (število tekem v enem igralnem dnevu je zato natanko n).

27 Krožni sistem ( round-robin ) Primer za 4 ekipe (označimo jih 1,2,3,4):

28 Krožni sistem ( round-robin ) Primer za 6 ekip (označimo jih 1,2,3,4,5,6):

29 Krožni sistem ( round-robin ) Primer za 8 ali več, recimo 2n, ekip? Iskanje z golimi rokami oz. svinčnikom in papirjem bi bilo enostavno predolgo in preveč komplicirano, zato uporabimo metodo, ki vključuje grafe.

30 Krožni sistem ( round-robin ) Graf množica točk, množica povezav (ki predstavljajo neko dvomestno relacijo med točkami). Primer polnega grafa K 6, polnega dvodelnega grafa K 3,3 in grafa G.

31 Krožni sistem ( round-robin ) Turnir 2n ekip po krožnem sistemu lahko upodobimo s polnim grafom K 2n. En krog turnirja lahko upodobimo s podgrafom grafa K 2n, ki mu rečemo 1-faktor grafa.

32 Krožni sistem ( round-robin ) Pogosto uporabljen in najbolj popularen sistem za določanje razporeda tekem na turnirju je tako imenovani Kirkmanov turnir, ki ga je leta 1846 odkril britanski matematik Thomas Kirkman.

33 Kirkmanov turnir - konstrukcija za 2n ekip 2n 1 točk razporedimo z enakimi razdaljami po krožnici in jim zaporedoma damo oznake 1, 2, 3,... 2n 1. Ena točka z oznako predstavlja središče te krožnice. Narišemo povezave 1, 2 2n 1, 3 2n 2,..., n 2n n + 1 in s tem dobimo 1-faktor polnega grafa K 2n oz. razporeditev tekem v prvem krogu. Opazimo, da je nosilka povezave 1 pravokotna na vse ostale povezave (torej so le-te med seboj vzporedne). Razporeditev v drugem krogu dobimo tako, da rotiramo povezave okrog točke v smeri urinega kazalca za kot 2π/(2n 1). Ta zadnji korak ponavljamo, da dobimo razporeditev tekem za cel turnir.

34 Kirkmanov turnir - konstrukcija za 8 ekip Na sliki so prikazani prvi trije krogi turnirja osmih ekip in s tem tudi ideja za celotni turnir osmih ekip.

35 Konstrukciji Steinerjevega turnirja Še en turnir, ki se po razporeditvi tekem po kolih razlikuje od Kirkmanovega.

36 Izomorfnost turnirjev Kdaj sta dva turnirja enaka ali bolje rečeno izomorfna? Turnirja T 1 in T 2 sta izomorfna, če lahko točke enega turnirja, recimo T 1, preimenujemo in po potrebi spremenimo vrstni red posameznih igralnih dni, da dobimo turnir T 2.

37 Izomorfnost turnirjev Zakaj sta Kirkmanov turnir in Steinerjev turnir neizomorfna? Če vzamemo poljubna dva 1-faktorja (poljubna dva kroga) Kirkmanovega turnirja in povezave teh dveh 1-faktorjev narišemo v skupen graf, dobimo cikel dolžine 8. Prva dva kroga Steinerjevega sistema pa nam data dva disjunktna cikla dolžine 4.

38 Izomorfnost turnirjev Problem določanja izomorfnosti turnirjev je precej težak. Za 4 in 6 ekip obstaja do izomorfizma natanko samo en turnir, za 8 ekip je takih turnirjev 6, za 10 ekip jih je 396, za 12 ekip jih je 526,915,620...

39 Krožni sistem ( round-robin ) - dodatna omejitev Za določeno tekmo i j na turnirju rečemo, da je ekipa i domača, ekipa j pa gostujoča. Dodatna omejitev: želimo, da bi bila vsaka ekipa po igralnih dneh izmenično enkrat domača in drugič tuja. Je to mogoče? Za turnirje z 2n ekipami je odgovor ne. Najboljše, kar lahko dosežemo, npr. v Kirkmanovemu turnirju, je, da 2 ekipi zadostita omejitvi, za vsako od ostalih ekip pa velja, da se tekom turnirja zgodi natanko enkrat, da je ta ekipa v dveh zaporednih kolih bodisi domača, bodisi gostujoča.

40 Literatura, ki je bila uporabljena, je dosegljiva na spletni strani:

41 Najlepša hvala za prisotnost in pozornost!