a) De câte cămări are nevoie hârciogul pentru a depozita toate semințele? b) După al câtelea drum a umplut complet a doua cămară?

Transcript

1 CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2009 Cls V- 1. Un hârciog cră semințe într-o glerie. L primul drum duce cu el o sămânță, l l doile duce 3 semințe, l l treile duce 5 semințe, etc., în finl l l 55-le drum duce 109 semințe. Într-o cămră, hârciogul pote depozit cel mult 1000 semințe. El începe s pună semințe într-o cămră nouă dor după ce umplut-o complet pe ce precedentă. ) De câte cămări re nevoie hârciogul pentru depozit tote semințele? b) După l câtele drum umplut complet dou cămră? 2. Determinți cifrele, b, c stfel încât p `bqp `b`cqc.185 ( 0, ir `b și `b`c sunt cifre). 3. L un spectcol, mgicinul îi cere unei persone din public să se gândescă l un număr de trei cifre, bc, unde, b, c sunt cifre în bz 10. Apoi, mgicinul îi cere personei respective să formeze numerele cb, bc, bc, cb și cb, să dune ceste cinci numere și să îi spună sum lor, N. Cunoscând vlore lui N, mgicinul pote găsi numărul inițil, bc. Jucți rolul mgicinului și găsiți bc dcă N

2 Cls VI- 1. Determinți numerele nturle și b cu propriette că r,bs p,bq Să se rte că dcă, b și c sunt numere cu propriette b `c ` b c ` ` c `b 1, tunci p `1q b `c ` bpb `1q c ` ` cpc `1q `b Un șir de numere nturle este construit după cum urmeză: se pornește cu 1, din cre se construiește 2 stfel: se lsă l o prte cifr unităților, poi se dugă l numărul stfel obținut cifr unităților înmulțită cu 5 (de exemplu 748 Ñ 74 ` ). Arătți că dcă 2009 pre printre termenii cestui șir, tunci șirul nu conține numere prime. 4. Fie BB 1 și CC 1 bisectorele unghiurilor B și C le unui triunghi ABC cu BC. Simetricul P l lui B fță de B 1 și simetricul Q l lui C fță de C 1 sunt situte pe drept MN, unde M este mijlocul lui rabs, N este mijlocul lui racs, MN 2 și MN BC. Să se clculeze perimetrul triunghiului ABC în funcție de. 2

3 Cls VII- 1. Determințisum primelor 28`23 7zecimle lenumărului p28 `24 7?2009q Fie ABC un triunghi orecre, D P pbcq și E P BCzpBCq două puncte stfel încât BD CD BE CE, ir M P AB și N P AC punctele în cre prlel prin D l AE intersecteză dreptele AB, respectiv AC. Arătți că D este mijlocul segmentului pmnq. 3. Fie numerele, b, c, u, v ą 0, cu u `v ě 2. Arătți că: ) p `bu `cvq `bpb `cu `vq `cpc `u `bvq ď 1 `u`v p `b`cq 3. 3 ˆ b) `bu `cv ` b b `cu `v ` c rp `bu `cvq` c `u `bv `bpb `cu `vq `cpc `u `bvqs ď p `b`cq 2. c) `bu `cv ` b b `cu `v ` c c `u `bv ě 3 1 `u`v. 4. Fie ABC un triunghi scuțitunghic, cu centrul de greutte G, ortocentrul H și centrul cercului circumscris O. Dcă A 1 este simetricul punctului A fță de punctul O, rătți că: ) triunghiurile AA 1 B și AA 1 C sunt dreptunghice; b) ptrulterul A 1 BHC este un prlelogrm; c) punctele O, G și H sunt colinire și OH 3 OG. 3

4 Cls VIII- 1. ) Arătți că pentru orice x, y P R re loc ineglitte p1 `x 2 qp1 `y 2 q ě p1 `xyq 2. b) Arătți că dcă, b, c P R cu bc 1, tunci p1 ` 4 qp1 `b 4 qp1 `c 4 q ě p1 `qp1 `bqp1 `cq. 2. Demonstrți că pentru orice x P R, " txu ą x ` 1 * ô txu 2 ą t2xu Un recipient re formă de prlelipiped dreptunghic cu ri totlă A. În recipient se flă un volum V de pă. Fie h 1, h 2, h 3 înălțimile pe cre le tinge p tunci când recipientul este șezt succesiv pe trei fețe le recipientului cre u un vârf comun. Demonstrți că h 1 `h 2 `h 3 ě 18V A. 4. Fie ABC un triunghi echilterl cu ortocentrul H și M, N două puncte vribile pe lturile pabq, respectiv pacq stfel încât perimetrul triunghiului AMN este egl cu lungime lturii pbcq. Arătți că distnț de l H l MN este constntă. 4

5 Cls IX- 1. ) Arătți că pentru orice numere nturle nenule, b, n, re loc p `bq n M 2 `n b n 1 `b n. (prin M 2 înțelegem un multiplu l numărului 2 ) b) Determinți ultimele ptru cifre le numărului Fie ABC un triunghi orecre, λ P p0, 8qzt1u, D P pbcq și E P BCzpBCq două puncte stfel încât BD CD BE CE λ, ir M P AB și N P AC punctele în cre prlel prin D l AE intersecteză dreptele AB, respectiv AC. ) Determinți t, u, v, w P R cu propriette că ÝÑ AD t ÝÑ ÝÑ ÝÑ ÝÑ ÝÑ AB `uac și AE vab `wac. b) Determinți β, γ P R stfel încât ÝÝÑ AM β ÝÑ AB și ÝÝÑ AN w ÝÑ AC. c) Arătți că mijlocul segmentului pmnq. 3. Fie, b, c ą 0 trei numere orecre. Arătți că: ) 2 `b 2 ą b? 3, 2 `c 2 ą c? 3, b 2 `c 2 ą bc; b) 2 b? 3 `b 2 ` 2 c? 3 `c 2 ě? b 2 bc `c 2 ; c) În ineglitte de l punctul b) re loc eglitte dcă și numi dcă? 3 1 b ` 1 c. 4. Fie ABC un triunghi orecre de lturi BC, b CA și c AB, cu cercul circumscris C po,rq, cercul înscris C pi,rq și cercul exînscris C pi,r q tngent interior unghiului z BAC și lturii pbcq, flt în exteriorul triunghiului ABC. ) Arătți că p `b`cq ÝÑ PI ÝÑ PA `b ÝÑ ÝÑ PB `cpc, p `b`cq ÝÝÑ PI ÝÑ PA `b ÝÑ ÝÑ PB `cpc, pentru orice punct P din plnul triunghiului ABC. b) Au loc eglitățile OI 2 R 2 2Rr și OI 2 R 2 `2Rr. 5

6 Cls X- 1. Rezolvți în mulțime numerelor rele strict pozitive ecuți: x x Fie ABCD un prlelogrm și M un punct vribil în plnul prlelogrmului. ) Să se determine vlore minimă expresiei MA MC `MB MD. b) Să se rte că dcă M nu este unul dintre vârfurile prlelogrmului ABCD, tunci se pote construi un ptrulter convex cu segmentele pmaq, pmbq, pmcq și pmdq. 3. Numerele complexe 1, 2, 3, 4 u celși modul și verifică eglitățile: 2 p 1 ` 2 ` 3 ` 4 q `2 2 `2 3 `2 4. Să se rte că este egl cu unul dintre numerele 1, 2, 3, 4 su cu unul dintre opusele cestor. 4. ) Săsertecădcăg : X Ñ Y esteofuncțieinjectivă, tuncipentruoricesubmulțimi X 1, X 2 le lui X re loc eglitte gpx 1 zx 2 q gpx 1 qzgpx 2 q. b) Să se rte că nu există funcții f : N Ñ N cre u propriette că fpfpnqq n `2009, p@qn P N. 6

7 Cls XI- # 1, dcă n este pătrt perfect, 1. Fie x n și s n x 1 ` x 2 ` ` x n. Să se rte că 0, în rest s n n Ñ 0 și să se studieze convergenț șirului cu termenul generl s? n. n 2. FieA P M n pt0,1uqomtricecupropriettecăexistă k P N stfelîncâta ta k I n`j, unde J ) Arătți că A este inversbilă. b) Pentru n 7 rătți că AJ JA O Fie A 1 tpλ µqe ` µi 2 E P M 2 pcq, λ,µ P C, E 2 Eu și A 2 tνpf ` I 2 q ν P C, F P M 2 pcq, F 2 O 2 u. Arătți că: ) A 1 X A 2 tρi 2 ρ P Cu. b) Clculți A n pentru A P A 1 Y A 2 și n P N. 4. Fie f : r0, 8q Ñ r0, 8q cu propriette că ˆ1 `x`y fpx `yq fpxq ď ln, p@qx,y P r0, 8q. 1 `x ) Determinți m P N stfel încât mulțime vlorilor lui f să ibă exct m elemente. b) Să se rte că următorul șir recurent: re limită pentru orice x 0 ě 0. x n`1 x n `fpx n q, n ě 0, 2 7

8 Cls XII- 1. Fie u și v funcții rele derivbile pe intervlul r0,1s, ir M tf : r0,1s Ñ C fptq uptq `ivptq, t P r0,1su. Pentru f P M, definim: Arătți că: p fqptq u 1 ptq `iv 1 ptq, t P r0,1s. ) pfgq f g `g f, f, g P M. ˆ1 b) f 2 f, f P M, f 0. f c) Pentru fptq 1, t P r0,1s, vem f P M și f P M. t `i d) Clculți derivt de ordinul n ě 1 funcției u : p0,1s Ñ R, upxq rctnx. e) Fie ρ : r0,1s Ñ r0,1s și r : r0,1s Ñ R două funcții continue. Arătți că: ˆ ż 1 ρptq cosprptqq dt 0 ˆ ż 1 ` ρptq sinprptqq dt 2. Fie, b P R, ă b și f, g : r,bs Ñ R funcții continue. Arătți că: ˆ ż b fpxqdx ˆ ż b ` gpxq dx 0 ˆ ż b ď ď ż 1 0 ρptq dt. f2 pxq `g 2 pxqdx. 3. Fie A un inel și x, y P A cu xy `yx `1 0. Arătți că dcă x y nu este inversbil, tunci x 3 `y 3 `y nu este inversbil. 4. Fie S tx : N Ñ R x px n qu. Arătți că: ) S împreună cu dunre și cu înmulțire uzulă șirurilor formeză o structură de inel în cre mulțime divizorilor lui zero este infinită. b) Funcți : S Ñ S dtă de p xqpnq xpn `1q xpnq este un morfism surjectiv l lui ps, `q. c) Clculți K 1 tx P S x 0u și K 2 tx P S 2 x 0u. d) Clculți k x, unde x pp 1q n q. 8