KAJ SO TO SPREMENLJIVKE?

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "KAJ SO TO SPREMENLJIVKE?"

Transcript

1 SPREMENLJIVKE 1

2 2 USTVARJALC I: Polona Kuhar Petra Prijatelj Milena Dimc

3 KAJ SO TO SPREMENLJIVKE? Spremenljivke so malo drugačne zvezde. To je tako, kot bi gledali dve žarnici enakega sijaja, toda v različni odaljenosti. Spreminjajo svoj izsev. Izsev je moč zvezde oziroma je celotna energija ki jo zvezda odda. Enota izseva je W. To so zvezde, ki se razlikujejo od vseh ostalih zvezd, ker je njihov sij periodičen Nekatere zvezde se spreminjajo v enakih ali skoraj enakih časovnih presledkih. Druge začnejo slabeti kar na lepem ali pa se njihov sij nenadoma poveča. Spremembe potekajo v ciklusih, ki trajajo več let, ali pa pride do njih v nekaj sekundah. Perioda je interval med dvema zaporednima maksimuma sija. Sija pa je energija, ki jo mi zaznamo in ki jo zvezda v določenem času odda v okolico. Odvisen je od razdalje: 2-krat večja razdalja = 4-krat manjši sij Kako svetla je zvezda, lahko izrazimo na več načinov: ABSOLUTNI SIJ je sij zvezde, kot bi ga mi videli na razdalji 10 parsekov. 1 parsek je 3 3 svetlobnih let, eno svetlobno leto pa je km. Parsek je na splošno razdalja, iz katere bi videli orbito zemlje pod kotom 1'' če je r < r' in hkrati α > α'. zemlja zvezda? a?' sonce r r' a NAVIDEZEN SIJ pa je sij, ki ga mi vidimo, izražen v magnitudah. Magnituda nam pove, kako svetla se nam zdi zvezda, gledana z normalnimi očmi. Profesionalni astronomi uporabljajo pri tem napravo, ki ji pravimo fotometer in s katero lahko natančno izmerijo zvezdno magnitudo. Graf, ki prikazuje, kako spremenljivka s časom prehaja iz ene magnitude v drugo, se imenuje svetlobna krivulja. 3

4 VRSTE SPREMENLJIVK Poznamo več vrst spremenljivk: pravilne, nepravilne, polpravilne, pulzirajoče, dolgoperiodične, kratkoperiodične, navidezne... Pravilne ali pulzirajoče zvezde, pri katerih je sprememba sija posledica periodičnega širjenja in krčenja zvezd. Nepravilne spremenljivke so zvezde, katerim spremembe sija ne moreš vnaprej napovedati. Polpravilne spremenljivke imajo nestalno periodo. Dolgoperiodične so tiste spremenljive zvezde, pri katerih perioda traja tudi do nekajlet. To so največkrat rdeče orjakinje. Kratko periodične spremenljivke so pulzirajoče zvezde, pri katerih se zunanja plast izmenoma krči in širi. Med te spadajo kefeide, ki so najbolj svetle zvezde in nam pomagajo pri merjenju razdalj, zato ker je njihov izsev povezan s periodo spreminjanja sija. Navidezne ali eklipsne zvezde oziroma dvozvedja ubistvu niso spremenljivke, samo ravnina kroženja leži tako, da ko jih mi gledamo vidimo da so spremenljivke (slika v nadaljevanju). Kataklizmične spremenljivke so supernove in nove. Spremenljivke tipa R Venca so v glavnem vedno svetle, občasno in nepričakovano pa se njihov sij za krajši čas močno zmanjša. Več o teh spremenljivkah pa v nadaljevanju. 4

5 PRAVILNE SPREMENLJIVKE: Pravilne ali pulzirajoče zvezde so zvezde, pri katerih je sprememba sija posledica periodičnega širjenja in krčenja zvezde. Perioda spreminjanja sija je različno dolga, od nekaj minut ali pa do več stoletij. - Tudi nekatera dvozvezdja so pravilne spremenljivke, katerih mežikanje je posledica vrtenja dveh zvezd okoli skupnega masnega središča, pri čemer temna zvezda periodično zakriva svetlejšo. Primer: Algol v ozvezdju Perzej. - Vzrok spreminjanja sija pa je lahko tudi drugačen in ta je, ker je zvezda nestabilna seva enkrat več in drugič manj. Primer: Delta v Kefeju. Take zvezde so pomembne za razvoj teoretične astronomije. Najprej pa si poglejmo, zakaj zvezda sploh sveti. V jedru potekajo atomske jedrske reakcije, vodik se pretvarja v helij, pri tem pa se sprosti veliko energije, zato zvezda sveti. Toplota, ki nastane pri reakcijah tišči snov narazen, kar povzroča širjenje zvezde, gravitacija pa jo vleče skupaj. 5

6 PRAVILNE SPREMENLJIVKE: - Kefeide so zvezde s stalno periodo, tako da lahko napovemo njen sij tudi vnaprej. To so orjakinje, ki svetijo več tisočkrat močneje od Sonca. Kefeide nekaj časa svetijo, potem pa jih gravitacija povleče skupaj, zato začne notri goreti in se spet razširijo. Pri običajnih zvezdah je ob porabi vodika večinoma preostanek helij, pri kefeidah pa je ogljik. Ker imajo kefeide enak absolutni sij in, ker je njihov izsev povezan s periodo spreminjanja sija to omogoča oceno njihove oddaljenosti. Kefeide z daljšo periodo so svetlejše kot kefeide s krajšo periodo, to je odkrila znanstvenica Henrietta Leavitt leta Izračun oddaljenosti galaksij s pomočjo kefeid! Dolžina periode je povezana z njihovim izsevom. Ker lahko izmerimo navidezni sij takšne zvezde, se da iz meritev določiti oddaljenost kefeide od nas. Primer kefeide v galaksiji M81 ( VELIKI MEDVED ). m (kefeide) = 22,6 m (kefeide) m (Sonca) = - 2,5 log x j (kefeide) / j (Sonca) m (Sonca) = - 27 Iz te formule lahko izra?una mo, razmerje med gostoto svetlobnega L = 27 dni toka kefeide in Sonca, kar je v našem primeru 14,5 milijonov. K = 14,5 milijonov Po zvezi med periodo in izsevom domnevamo, da ima takšna kefeida izsev enak izsevom Sonca,?e bi bilo Sonce na razdalji kefeide. S = 145 milijard Gostota svetlobnega toka pada s kvadratom razdalje. 145 milijard : 0,38 milijonov Ta rezultat mora mo pomno žiti še z 10, nakar dobimo 3,8 milijonov. In tako izra?una m o, da je kefeida oddaljena 12,5 milijonov svetlobnih let dele?. Pri našem izra?uno smo zanemarili, da se nekaj svetlobe na poti od kefeide - Pravilne spremenljivke pa so tudi RR Lire, katerih perioda je veliko krajša ( pod enim dnevom ), izsev pa je 90 krat tolikšen, kot je izsev Sonca. 6

7 Kefeide in RR Lire so kratkoperiodične spremenljivke, zunanja plast se krči in širi. Dolgoperiodične spremenljivke pa so med drugimi tudi zvezde tipa Mira. Vse zvezde te vrste so rdeče orjakinje velikih razsežnosti in izsevov. Izčrpajo že skoraj vso zalogo jedrskega goriva vodika in postanejo nestabilne. Primer Hi v Labodu. Amplituda njihovega sija se iz periode v periodo spreminja. 7

8 NEPRAVILNE SPREMENLJIVKE: So zvezde pri katerih sija ne moremo napovedati vnaprej. Nepravilnih spremenljivk ni v naši bližini so pa raztresene po celi galaksiji, nekatere izmed njih spadajo med najsvetlejše zvezde, saj nekatere svetijo krat bolj kot naše Sonce. Nepravilne spremenljivke so razdeljene v skupine: - POLPRAVILNE SPREMENLJIVKE: Večinoma so to rdeče orjakinje, njihov sij se spreminja, ker se veča in manjša njihov premer. - ZVEZDE TIPA R: Te zvezde večinoma svetijo z največjo močjo, občasno pa se jim sij močno pomanjša. Te zvezde imajo v sebi veliko ogljika in manj vodika. - ZVEZDE TIPA U: So normalne zvezde in le občasno opazimo nepravilno svetle izbruhe. To so dvozvezdja sestavljena iz bele in rdeče pritlikavke. - ZVEZDE TIPA RV: So večinoma orjakinje, ki za nekaj minut postanejo mnogo svetlejše, potem pa svetijo isto kot prej. KATAKLIZMIČNE SPREMENLJIVKE: To so na primer supernove in nove. 8

9 SUPERNOVE: Masivna zvezda je izčrpala vso jedrsko gorivo, zato se je njena sredica močno in hitro skrčila, sproščena energija je zunanje sloje zvezde močno segrela in jih raznesla na vse strani. Te zvezde imajo okoli 4 kratno maso Sonca. Pri supernovah poteče večja eksplozija kot pri novah, za okoli 20 magnitud. Kaj bo nastalo po eksploziji zvezde je odvisno od mase zvezde. Če bo ta masa zelo velika bo nastala črna luknja, če pa ne pa nevtronska zvezda. Zanimivost: Okoli leta 1000 je na Kitajskem razsvetlila celotno nebo eksplozija supernove. NOVE: To so spremenljivke posebnega tipa, pri katerih opažamo nenadna povečanja sija z amplitudo od magnitud, kar odgovarja porast izseva za nekaj deset do stotisočkrat. 9

10 Ostanki supernove DA ZVEZDA PRIDE DO NAJVIŠJE MAGNITUDE, IZSEVA TRAJA NEKAJ DNI, DA PA SE VRNE V SVOJE PRVOTNO STANJE PA LAHKO TRAJA TUDI NEKAJ LET. Masivna bela pritlikavka je s svojo gravitacijo deformirala hladno spremljevalko. Snov iz hladne zvezde vodik pada na belo pritlikavko in se kopiči na njenem površju. To povzroča, da v globljih slojih zvezde naraščata tlak in temperature. Stečejo jedrske reakcije. Veliko energije, ki se pri tem sprosti privede do naglega povečanja pritiska in nastanka udarnega vala. Ta se širi proti površju zvezde in pri tem s seboj ponese fotosferske plasti z vodikom bogatega plina. Zunanji sloji se ločijo od zvezde in iz njih nastane plinasta ovojnica nove. Masa pritlikavke se ne spremeni saj se kolikor mase je priteklo s spremljevalko tudi izgubi z odvrženo ovojnico. 10

11 Računalniška simulacija kataklizmične spremenljivke Z Kameleona (ozvezdje Kameleona iz naših krajev ne vidimo). Sistem sestavljata rdeča orjakinja in bela pritlikavka. Eksplozija nove je le pojav na površju. Po eksploziji ponovno privlači pline s sosednje zvezde in po določenem času se eksplozija lahko ponovi. Njihove svetlobno utripanje je precej neenakomerno. Iz kotne velikosti in hitrosti širjenja eksplodirajoče ovojnice sklepamo o njihovi oddaljenosti. 11

12 12 SONCE ZVEZDA KATEGORIJE G2. NAVIDEZNA MAGNITUDA SONCA JE 27.

13 PRIMERI SPREMENLJIVK (vir: Društvo Orion) DOLGOPERIODIČNE SPREMENLJIVKE: To so MIRE. Ta tip so predvsem velike rdeče zvezde, ki so izčrpale vodik in postale nestabilne. Amplituda sija se spreminja iz periode v periodo, tipični predstavnik je Mira v Kitu, z povprečno periodo 331 dni z odstopanji 7 dni. V maksimumu doseže tudi 2 magnitudo, v minimumu pa 10 magnitudo. Podobna je HI Laboda. Za razliko pa Betelgeza v Orionu spada v polpravilne, njena značilnost je majhna amplituda sija in večje nepravilnosti v amplitudi in periodi. Mire in polpravilne so rdeče velikanke, ki so postale toliko nestabilne, da so na poti k novim oziroma supenovim. Izčrpale so vso zalogo vodika in se na njih končuje vodikov ciklus, ter se začenja tvoriti svinčev ciklus, posledica tega bo, da bo zvezda začela izgorevati helij in bo kmalu po nekaj milijardah let eksplodirala kot supernova. Nepravilne spremenljivke so napr.: Betelgeza, Alfa Herkula. Za Betelgezo je značilno, da ima povprečno magntudo okoli 0,85 magnitude vendar po 5 do 6 letih postane svetla kot Rigel. Za te tipe je značilno, da njihova amplituda konstantno variira in te variacije niso konstantne. GRAF: Sij dolgoperiodične spremenljivke TIPA MIRA TIP R VENCA (R CrB): So zvezde, ki sijejo konstantno, od časa do časa se njihov sij zmanjša. Te zvezde imajo malo vodika pa več ogljika. Na njihovo svetilnost naj bi vplival ogljik v ovojnici zvezde, ki bi zmanjševal prepustnost svetlobe. GRAF: Sij spremenljivke TIPA R CrB 13

14 TIP U DVOJČKOV (U Gem): So tesni dvojni sistemi npr. SS Cyg. So normalno v minimumu in jim občasno naraste sij. Opazimo svetle nepravilne izbruhe. SS Cyg ima periodo izbruha 6 tednov, imenujemo jih pritlikave nove. GRAF: Sij spremenljivke TIPA SS Cyg ali U Gem TIP RV BIKA (RV Tau): Sem spadajo zelo svetle zvezde z veliko maso do 25 sončevih in z zato nepravilno svetilnostjo. Ponavljajoče minimume nadomestijo popolnoma nepravilne spremembe sija. GRAF: Sij spremenljivke TIPA RV Tau TIP NEPRAVILNIH ZVEZD (IRR): Za njih je značilna nepravilna sprememba sija. Primer je Gama Kasiopeje, ki je leta 1936 odvrgla ovojnico in je bila svetla kot Kastor v Dvojčkih. Tisto o odvrženju ovojnice je še zmeraj domneva astrofizikov. TIP NOVE IN POVRATNE NOVE: Nove in povratne nove so tipi zvezd, ki kažejo značilnost naglega dviga svetilnosti (zvezda dvigne svojo svetilnost za večkrat). Tipični primer je Nova Orla (1918) ali Nova Perzeja (1901). Ko nova doseže maksimum sija 14

15 prične njen sij počasi padati, kar lahko traja nekaj let. Od hitrosti padanja svetilnosti jih delimo v razrede A, B. Razlika je v tem, da imajo nove tipa A strmejšo krivuljo padanja sija od tipa B. Pri novih zvezdah nastajajo v zunanjih plasteh spremembe za razliko od supernov, kjer se zgradba zvezde popolnoma spremeni. Za povratne nove je značilno, da v svojem življenju večkrat izbruhnejo, kar je posledica sprememb v sestavi zvezde. Primer je HR Delfina. TIP ERUPTIVNE ZVEZDE UV CETI (UV Cet): One imajo kratkotrajne lzbruhe v povprečju od nekaj minut do nekje 10 ali 15 minut. Doba med izbruhi je različna in je odvisna od dogodkov na sami zvezdi. TIP KEFEIDE (delta Kefeja): Zanj so značilne lastnosti spremembe sija, ki ni nikoli tako mala, da je ne bi mogli opaziti s prostimi očmi. Delta Kefeja ima periodo, ki je konstantna in jo lahko napovemo vnaprej. Ta perioda je 5,366 dneva. Tipične Kefeide so: eta Orla (perioda 7,17 dni), zeta Dvojčkov (perioda 10,2 dni) in še na stotine jih je. Graf: Sij spremenljivk TIPA KEFEIDE TIP RR LIRE (RR lyr): Imajo kratke periode. Poznamo tri osrednje skupine, prve imajo periodo okoli 0,5 dneva, dvig v maksimumu je zelo oster, temu pa sledi počasno upadanje sija. Druga skupina ima le manjše odklone, tretja pa isto krivuljo, le perioda je okoli 0,3 dneva 15

16 GRAF: Sij spremenljivke TIPA RR LIRE (gre za spremenljivko prve skupine) 16

17 PULZARJI Prve pulzarje so odkrili leta 1968, ko so radijski astronomi zaznali signale, ki so v rednih presledkih prihajali s štirih koncev v naši Galaksiji. Presenetljivo je bilo, da je nekaj naravnega oddajalo tako redne in tako hitre radijske signale. Astronomi so nekaj èasa premišljevali o možnosti, da bi signale sprožala inteligentna bitja, ki bi utegnila živeti kje v Galaksiji. A kmalu se je izkazala resnica. Elektroni, ki se vrtijo v spiralah, porajajo v močnem magnetnem polju nevtronske zvezde radijske valove, ki sevajo podobno kot žaromet. Zvezda se hitro vrti in kot svetilnik pošilja radijske valove prek našega vidnega polja. Pri najpočasnejših pulzarjih potujejo signali v razmiku približno štirih sekund, hitrost "oglašanja" najhitrejših pa merimo že v tisoèinkah sekunde. Na pospešeno vrtenje takih nevtronskih zvezd vpliva zunanji dejavnik - verjetno dejstvo, da gre za dvojne zvezde. 17

18 DVOZVEZDJA Poznamo navidezna dvozvezdja, sistem dveh ali več zvezd, ki ležijo skoraj v isti smeri ( gledano z Zemlje ) ali pa prava dvozvezdja, zvezde, ki so povezane v isti sistem. Do leta 1793, ko je W. Herschel dokazal, da obstajajo prava dvozvezdja, so mislili, da so vsa dvozvezdja navidezna. V pravih dvozvezdjih se zvezdi vrtita okoli istega težišča, obhodna doba pa je lahko od nekaj minut do več stoletij. Zanimivost: Leta 2016 se bo lahko zvezdi v sistemu Gama Device razločilo le z boljšimi teleskopi, ker bosta ležali v skoraj isti ravnini ( njihov obhodni čas je 180 let ), sedaj pa jih lahko vidimo že z manjšim daljnogledom. Nekatera dvozvezdja imajo obe zvezdi v istem spektralnem razredu, druga pa ne. Pri teh je zelo dobro viden kontrast in so zato zelo lepa ( Beta v Labodu ). Na nebu najdemo tudi sisteme treh, štirih ali več zvezd. Kastor v Dvojčkih je na primer sistem šestih zvezd, najlažje so opazne dve svetli zvezdi z obhodno dobo 400 let in ena šibkejša 18

19 z obhodno dobo let. Vse tri zvezde so spektroskopska dvozvezdja, s periodo 9.2 dneva, 2,9 dneva in 19,5 ure. Zelo zanimive za opazovanja so tudi prekrivalna dvozvezdja. Pri vrtenju lahko ena zvezda prekinja drugo (delno ali popolno) in tako pride na Zemljo manj svetlobe. Tudi pri takih so zvezde zelo blizu in jih zato ne moremo razločiti niti z najboljšimi teleskopi. Eno izmed takih ozvezdij je tudi Algol (Beta v Perzeju). Vsakih 2,87 dneva zakrije večja zvezda manjšo, svetlejšo zvezdo in sij Algola se zmanjša z 2,2 na 3,5 magnitude. Spremembe so zelo hitre: približno v petih urah se sij zmanjša na minimum, minimalen pa ostane dobrih 20 minut, nakar postane v naslednjih petih urah zvezda enako svetla, kot je bila prej. Ko pa manjša in svetlejša zvezda zakrije del večje, nastopi v periodi drugi minimum, ki ni tako izrazit. V primeru, da pa sta obe zvezdi enako svetli, sta oba minimuma izrazita, periode so pa lahko zelo različne. Od zelo kratkih 2,3 dni (Delta Tehtnice) do zelo dolgih 27 let (Epsilon Voznika). Dvozvezdja so za astronome zelo pomembna, saj lahko izračunajo maso in premer teh zvezd. 19

20 Zvezdne kopice 20

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a

Διαβάστε περισσότερα

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma

Διαβάστε περισσότερα

Tretja vaja iz matematike 1

Tretja vaja iz matematike 1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK 1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi

Διαβάστε περισσότερα

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.

Διαβάστε περισσότερα

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.

Διαβάστε περισσότερα

GALAKSIJE OPAZOVANJE GALAKSIJ, izračuni, posledice

GALAKSIJE OPAZOVANJE GALAKSIJ, izračuni, posledice Moderna fizika - seminarska naloga GALAKSIJE OPAZOVANJE GALAKSIJ, izračuni, posledice Domžale, dne 20. 2. 2004 Marjan Grilj, 3.l. fizika vsš, FMF Vsebina: (1) Osnove: (a) opazovanje (b) določanje oddaljenosti

Διαβάστε περισσότερα

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,

Διαβάστε περισσότερα

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12 Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij): 4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n

Διαβάστε περισσότερα

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke

Διαβάστε περισσότερα

8. Diskretni LTI sistemi

8. Diskretni LTI sistemi 8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z

Διαβάστε περισσότερα

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor, Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),

Διαβάστε περισσότερα

1. Trikotniki hitrosti

1. Trikotniki hitrosti . Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka vaj iz astronomije

Zbirka vaj iz astronomije Zbirka vaj iz astronomije Andreja Gomboc Fakulteta za naravoslovje, Univerza v Novi Gorici Morebitne napake prosim sporočite na: andreja.gomboc@ung.si 1 Nebesne koordinate 1. Katere zvezde so nadobzornice

Διαβάστε περισσότερα

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotni funkciji sinus in kosinus Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje

Διαβάστε περισσότερα

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov

Διαβάστε περισσότερα

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d) Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2

Διαβάστε περισσότερα

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike uvod

Osnove elektrotehnike uvod Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu. Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.

Διαβάστε περισσότερα

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor

Διαβάστε περισσότερα

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije več spremenljivk

Funkcije več spremenljivk DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Theoretical Examination

Theoretical Examination Page 1 of 7 (T1) 1. NALOGA Drži ali ne drži Označi, ali so naslednje trditve pravilne ali napačne. Na listu za odgovore označi pravilen odgovor (TRUE, če je trditev pravilna, in FALSE, če je trditev napačna).

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R. II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi

Διαβάστε περισσότερα

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva

Διαβάστε περισσότερα

Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare

Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo Laboratorij za termoenergetiko Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare po modelu IAPWS IF-97 izračunano z XSteam Excel v2.6 Magnus Holmgren, xsteam.sourceforge.net

Διαβάστε περισσότερα

Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM

Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Fakulteta za elektrotehniko 1 Slika 7. 2: Principielna shema regulacije AM v KSP Fakulteta za elektrotehniko 2 Slika 7. 3: Merjenje komponent fluksa s

Διαβάστε περισσότερα

Kvantni delec na potencialnem skoku

Kvantni delec na potencialnem skoku Kvantni delec na potencialnem skoku Delec, ki se giblje premo enakomerno, pride na mejo, kjer potencial naraste s potenciala 0 na potencial. Takšno potencialno funkcijo zapišemo kot 0, 0 0,0. Slika 1:

Διαβάστε περισσότερα

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:

Διαβάστε περισσότερα

VALOVANJE UVOD POLARIZACIJA STOJEČE VALOVANJE ODBOJ, LOM IN UKLON INTERFERENCA

VALOVANJE UVOD POLARIZACIJA STOJEČE VALOVANJE ODBOJ, LOM IN UKLON INTERFERENCA VALOVANJE 10.1. UVOD 10.2. POLARIZACIJA 10.3. STOJEČE VALOVANJE 10.4. ODBOJ, LOM IN UKLON 10.5. INTERFERENCA 10.6. MATEMATIČNA OBDELAVA INTERFERENCE IN STOJEČEGA VALOVANJA 10.1. UVOD Valovanje je širjenje

Διαβάστε περισσότερα

Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II

Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR - 4. LETNIK. Veliki pok. Avtor: Daša Rozmus. Mentor: dr. Anže Slosar in prof. dr. Tomaž Zwitter. Ljubljana, Marec 2011

SEMINAR - 4. LETNIK. Veliki pok. Avtor: Daša Rozmus. Mentor: dr. Anže Slosar in prof. dr. Tomaž Zwitter. Ljubljana, Marec 2011 SEMINAR - 4. LETNIK Veliki pok Avtor: Daša Rozmus Mentor: dr. Anže Slosar in prof. dr. Tomaž Zwitter Ljubljana, Marec 2011 Povzetek Že stoletja pred našim štetjem so se ljudje spraševali kaj nas obdaja,

Διαβάστε περισσότερα

CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25

CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 1 2 3 4 5 6 7 OFFMANAUTO CM707 GR Οδηγός χρήσης... 2-7 SLO Uporabniški priročnik... 8-13 CR Korisnički priručnik... 14-19 TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 ENG User Guide... 26-31 GR CM707 ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Fazni diagram binarne tekočine

Fazni diagram binarne tekočine Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,

Διαβάστε περισσότερα

Osnove sklepne statistike

Osnove sklepne statistike Univerza v Ljubljani Fakulteta za farmacijo Osnove sklepne statistike doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo e-pošta: mitja.kos@ffa.uni-lj.si Intervalna ocena oz. interval zaupanja

Διαβάστε περισσότερα

Splošno o interpolaciji

Splošno o interpolaciji Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA Državni izpitni center *M16141113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek, 1. junij 16 SPLOŠNA MATURA RIC 16 M161-411-3 M161-411-3 3 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor

Διαβάστε περισσότερα

UPOR NA PADANJE SONDE V ZRAKU

UPOR NA PADANJE SONDE V ZRAKU UPOR NA PADANJE SONDE V ZRAKU 1. Hitrost in opravljena pot sonde pri padanju v zraku Za padanje v zraku je odgovorna sila teže. Poleg sile teže na padajoče telo deluje tudi sila vzgona, ki je enaka teži

Διαβάστε περισσότερα

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih. TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij

Διαβάστε περισσότερα

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1 Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

ZGRADBA ATOMA IN PERIODNI SISTEM

ZGRADBA ATOMA IN PERIODNI SISTEM ZGRADBA ATOMA IN PERIODNI SISTEM Kemijske lastnosti elementov se periodično spreminjajo z naraščajočo relativno atomsko maso oziroma kot vemo danes z naraščajočim vrstnim številom. Dmitrij I. Mendeljejev,

Διαβάστε περισσότερα

Slika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici.

Slika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici. 4. poglavje: Sile 5. Cestna svetilka visi na sredi 10 m dolge žice, ki je napeta čez cesto. Zaradi teže svetilke (30 N) se žica za toliko povesi, da pride sredina za 30 cm niže kot oba konca. Kako močno

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH

Διαβάστε περισσότερα

ASTRONOMI V KMICI dvanajstič

ASTRONOMI V KMICI dvanajstič ASTRONOMI V KMICI dvanajstič Astronomi v Kmici, dvanajstič kmi a Kazalo KMICA V GALILEJEVEM LETU... 2 MEDNARODNO LETO ASTRONOMIJE 2009 V SLOVENIJI... 2 ROJSTVO ZVEZD... 2 POVPREČNA TEMPERATURA PLANETOV...

Διαβάστε περισσότερα

Nebesna mehankarija Ozvezdja 20 Seznam ozvezdij 22 Nebesna krogla 25 Merjenje kotov na nebu 30 Sezonske karte 34 Prvi koraki 46

Nebesna mehankarija Ozvezdja 20 Seznam ozvezdij 22 Nebesna krogla 25 Merjenje kotov na nebu 30 Sezonske karte 34 Prvi koraki 46 Kazalo O daljnogledih in vsem, kar sodi zraven Daljnogled 2 Stojalo 8 Skrb za optiko 11 Ve;ni boj z vlago 15 Nebesna mehankarija Ozvezdja 20 Seznam ozvezdij 22 Nebesna krogla 25 Merjenje kotov na nebu

Διαβάστε περισσότερα

Vaje: Električni tokovi

Vaje: Električni tokovi Barbara Rovšek, Bojan Golli, Ana Gostinčar Blagotinšek Vaje: Električni tokovi 1 Merjenje toka in napetosti Naloga: Izmerite tok, ki teče skozi žarnico, ter napetost na žarnici Za izvedbo vaje potrebujete

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

MERITVE LABORATORIJSKE VAJE. Študij. leto: 2011/2012 UNIVERZA V MARIBORU. Skupina: 9

MERITVE LABORATORIJSKE VAJE. Študij. leto: 2011/2012 UNIVERZA V MARIBORU. Skupina: 9 .cwww.grgor nik ol i c NVERZA V MARBOR FAKTETA ZA EEKTROTEHNKO, RAČNANŠTVO N NFORMATKO 2000 Maribor, Smtanova ul. 17 Študij. lto: 2011/2012 Skupina: 9 MERTVE ABORATORJSKE VAJE Vaja št.: 4.1 Določanj induktivnosti

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko. Seminar. Helioseizmologija

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko. Seminar. Helioseizmologija Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar Helioseizmologija Avtor: Janez Kos Mentorica: doc. dr. Andreja Gomboc Ljubljana, december 2008 Povzetek Seminar predstavi problem preučevanja

Διαβάστε περισσότερα

Vaja: Odbojnostni senzor z optičnimi vlakni. Namen vaje

Vaja: Odbojnostni senzor z optičnimi vlakni. Namen vaje Namen vaje Spoznavanje osnovnih fiber-optičnih in optomehanskih komponent Spoznavanje načela delovanja in praktične uporabe odbojnostnega senzorja z optičnimi vlakni, Delo z merilnimi instrumenti (signal-generator,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL

POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL Izdba aje: Ljubjana, 11. 1. 007, 10.00 Jan OMAHNE, 1.M Namen: 1.Preeri paraeogramsko praio za doočanje rezutante nezporedni si s skupnim prijemaiščem (grafično)..dooči

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

kg 2 Naredimo miselni poskus.

kg 2 Naredimo miselni poskus. 41 3.1 3.2 3.3 F F Kako je angleški fizik Newton odkril gravitacijski zakon, pripoveduje tale anekdota. Nekega dne je ob popoldanskem čaju počival v senci jablane. Ko je zapihal vetrič, je z drevesa padlo

Διαβάστε περισσότερα

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013 Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:

Διαβάστε περισσότερα

VAJE IZ NIHANJA. 3. Pospešek nihala na vijačno vzmet je: a. stalen, b. največji v skrajni legi, c. največji v ravnovesni legi, d. nič.

VAJE IZ NIHANJA. 3. Pospešek nihala na vijačno vzmet je: a. stalen, b. največji v skrajni legi, c. največji v ravnovesni legi, d. nič. VAJE IZ NIHANJA Izberi pravilen odgovor in fizikalno smiselno utemelji svojo odločitev. I. OPIS NIHANJA 1. Slika kaže nitno nihalo v ravnovesni legi in skrajnih legah. Amplituda je razdalja: a. Od 1 do

Διαβάστε περισσότερα

1 Fibonaccijeva stevila

1 Fibonaccijeva stevila 1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1 Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

11. Valovanje Valovanje. = λν λ [m] - Valovna dolžina. hitrost valovanja na napeti vrvi. frekvence lastnega nihanja strune

11. Valovanje Valovanje. = λν λ [m] - Valovna dolžina. hitrost valovanja na napeti vrvi. frekvence lastnega nihanja strune 11. Valovanje Frekvenca ν = 1 t 0 hitrost valovanja c = λ t 0 = λν λ [m] - Valovna dolžina hitrost valovanja na napeti vrvi frekvence lastnega nihanja strune interferenca valovanj iz dveh enako oddaljenih

Διαβάστε περισσότερα

PROCESIRANJE SIGNALOV

PROCESIRANJE SIGNALOV Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:

Διαβάστε περισσότερα

Gradniki TK sistemov

Gradniki TK sistemov Gradniki TK sistemov renos signalov v višji rekvenčni legi Vsebina Modulacija in demodulacija Vrste analognih modulacij AM M FM rimerjava spektrov analognih moduliranih signalov Mešalniki Kdaj uporabimo

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Novi Gorici Fakulteta za znanosti o okolju Okolje (I. stopnja) Meteorologija 2013/2014. Energijska bilanca pregled

Univerza v Novi Gorici Fakulteta za znanosti o okolju Okolje (I. stopnja) Meteorologija 2013/2014. Energijska bilanca pregled Univerza v Novi Gorici Fakulteta za znanosti o okolu Okole (I. stopna) Meteorologia 013/014 Energiska bilanca pregled 1 Osnovni pomi energiski tok: P [W = J/s] gostota energiskega toka: [W/m ] toplota:q

Διαβάστε περισσότερα

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne

Διαβάστε περισσότερα

+105 C (plošče in trakovi +85 C) -50 C ( C)* * Za temperature pod C se posvetujte z našo tehnično službo. ϑ m *20 *40 +70

+105 C (plošče in trakovi +85 C) -50 C ( C)* * Za temperature pod C se posvetujte z našo tehnično službo. ϑ m *20 *40 +70 KAIFLEX ST Tehnični podatki Material Izjemno fleksibilna zaprtocelična izolacija, fleksibilna elastomerna pena (FEF) Opis Uporaba Temperaturno območje Toplotna prevodnost W/(m K ) pri različnih srednjih

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Φ.Ο.Α. - Βαθμολογία 2014 (βδ.24) - Αγόρια U18 (best4) κτγρ # αα ΑΜ Ονοματεπώνυμο Έτος Σύλλογος ΕΝ Βαθμ b18 1 1 23775 ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 1998

Ε.Φ.Ο.Α. - Βαθμολογία 2014 (βδ.24) - Αγόρια U18 (best4) κτγρ # αα ΑΜ Ονοματεπώνυμο Έτος Σύλλογος ΕΝ Βαθμ b18 1 1 23775 ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 1998 b18 1 1 23775 ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 1998 Ο.Α.ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Θ 820.0 b18 2 2 25438 ΤΣΙΤΣΙΠΑΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ 1998 Ο.Α.ΓΛΥΦΑΔΑΣ ΙΑ 770.0 b18 3 3 24845 ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 1998 Α.Ο.Α.ΦΙΛΟΘΕΗΣ Η 750.0 b18 4 4 21565 ΘΕΟΔΩΡΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant. Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,

Διαβάστε περισσότερα

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil. Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk

1.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk .3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk Naj bosta X in Y neodvisni Bernoullijevo porazdeljeni spremenljivki, B(p). Kako je porazdeljena njuna vsota? Označimo Z = X + Y. Verjetnost, da je P (Z = z) za

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA 29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,

Διαβάστε περισσότερα

diferencialne enačbe - nadaljevanje

diferencialne enačbe - nadaljevanje 12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne

Διαβάστε περισσότερα

Rešene naloge iz astronomije - I. del

Rešene naloge iz astronomije - I. del Rešene naloge iz astronomije - I. el A.G. Morebitne napake prosim sporočite na: anreja.gomboc@fmf.uni-lj.si 1 Nebesne koorinate 1. Katere zveze so naobzornice in katere poobzornice za: a) observatorij

Διαβάστε περισσότερα

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. 1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y

Διαβάστε περισσότερα

Ne vron ske mre že vs. re gre sij ski mo de li na po ve do va nje pov pra še va nja na treh vr stah do brin

Ne vron ske mre že vs. re gre sij ski mo de li na po ve do va nje pov pra še va nja na treh vr stah do brin Ne vron ske mre že vs. re gre sij mo de li na po ve do va nje pov pra še va nja na treh vr stah do brin An ton Zi dar 1, Ro ber to Bi lo sla vo 2 1 Bo bo vo 3.a, 3240 Šmar je pri Jel šah, Slo ve ni ja,

Διαβάστε περισσότερα

REˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.

REˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23. Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Osnove matematične analize 2016/17

Osnove matematične analize 2016/17 Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja

Διαβάστε περισσότερα

vezani ekstremi funkcij

vezani ekstremi funkcij 11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 12. junij 2015 SPLOŠNA MATURA

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 12. junij 2015 SPLOŠNA MATURA Državni izpitni center *M543* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek,. junij 05 SPLOŠNA MATURA RIC 05 M543 M543 3 IZPITNA POLA Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor

Διαβάστε περισσότερα

METODA FAKTORSKE ANALIZE je osnovana na analizi medsebojnih korelacij. Tu potrebujemo neko vsebinsko poznavanje oz. neko teorijo, da pojav x vpliva na

METODA FAKTORSKE ANALIZE je osnovana na analizi medsebojnih korelacij. Tu potrebujemo neko vsebinsko poznavanje oz. neko teorijo, da pojav x vpliva na 4. predavanje RVM Kvantitativne metode Borut Kodrič, Koper 4.6.2010 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 1. del Na podlagi česa ugotovimo kako sta dve spremenljivki med

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Φ.Ο.Α. - Βαθμολογία 2015 (βδ.12) - Αγόρια U18 (best4) κτγρ # αα ΑΜ Ονοματεπώνυμο Έτος Σύλλογος ΕΝ Βαθμ b18 1 1 23517 ΤΣΙΡΑΝΙΔΗΣ ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ 1998

Ε.Φ.Ο.Α. - Βαθμολογία 2015 (βδ.12) - Αγόρια U18 (best4) κτγρ # αα ΑΜ Ονοματεπώνυμο Έτος Σύλλογος ΕΝ Βαθμ b18 1 1 23517 ΤΣΙΡΑΝΙΔΗΣ ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ 1998 b18 1 1 23517 ΤΣΙΡΑΝΙΔΗΣ ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ 1998 Ο.Α.ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Β 797.5 b18 2 2 22969 ΚΑΝΕΛΛΟΠΟΥΛΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ 1997 Α.Ο.ΤΑΤΟΪΟΥ Η 747.0 b18 3 3 23775 ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 1998 Ο.Α.ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Θ 692.5 b18 4 4

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Φ.Ο.Α. - Βαθμολογία 2014 (βδ.31) - Αγόρια U18 (best4) κτγρ # αα ΑΜ Ονοματεπώνυμο Έτος Σύλλογος ΕΝ Βαθμ b18 1 1 23775 ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 1998

Ε.Φ.Ο.Α. - Βαθμολογία 2014 (βδ.31) - Αγόρια U18 (best4) κτγρ # αα ΑΜ Ονοματεπώνυμο Έτος Σύλλογος ΕΝ Βαθμ b18 1 1 23775 ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 1998 b18 1 1 23775 ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 1998 Ο.Α.ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Θ 810.0 b18 2 2 24845 ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 1998 Α.Ο.Α.ΦΙΛΟΘΕΗΣ Η 690.0 b18 3 3 23517 ΤΣΙΡΑΝΙΔΗΣ ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ 1998 Ο.Α.ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΚΕΛΕΤΡΟΝ Γ 680.0 b18 4

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Φ.Ο.Α. - Βαθμολογία 2015 (βδ.47) - Κορίτσια U16 (best 8μ+3δ) κτγρ # αα ΑΜ Ονοματεπώνυμο Έτος Σύλλογος ΕΝ tours Βαθμ g16 1 1 22833 ΑΔΑΛΟΓΛΟΥ

Ε.Φ.Ο.Α. - Βαθμολογία 2015 (βδ.47) - Κορίτσια U16 (best 8μ+3δ) κτγρ # αα ΑΜ Ονοματεπώνυμο Έτος Σύλλογος ΕΝ tours Βαθμ g16 1 1 22833 ΑΔΑΛΟΓΛΟΥ g16 1 1 22833 ΑΔΑΛΟΓΛΟΥ ΜΑΓΔΑΛΗΝΗ 1999 Ε.Σ.Ο.ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΠΟΛΙΧΝΗΣ Β 10 917.5 g16 2 2 90069 ΜΤΣΕΝΤΛΙΤΖΕ ΕΛΕΝΗ 2000 Α.Ο.Α.ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΙΦΙΤΟΣ Β 7 666.0 g16 3 3 28688 ΣΤΑΜΑΤΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ 2001 Ο.Α.ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα