Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României

Transcript

1 GRAŢIIELA GHIIC JJANIINA MIIHAELA MIIHĂIILĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ CU APLICAŢII ÎN ECONOMIE Bucureşti, 008

2 Editura Ars Academica Str. Hiramului r., sector 3, Bucureşti Telefo: , fa: office@arsacademica.ro Copyright Editura Ars Academica Descrierea CIP a Bibliotecii Naţioale a Româiei MIHĂILĂ, JANINA MIHAELA Algebră liiară şi geometrie aalitică/jaia Mihaela Mihăilă, Graţiela Ghic. - Buucureşti: Ars Academica, 008 Bibliogr. ISBN: I. Ghic, Graţiela 5.64

3 Cuvât de îceput DDeedd iiccăăm i aa cceesst tt maauuaal ll ddrraaggi iil lloorr ooşşt ttrri ii ppăărri iiţ ţţi ii şşi ii faami f iil lli iii iil lloorr ooaasst ttrree,,, ccaarree pprri ii ddrraaggoosst ttee şşi ii îît î tteel lleegg eerree,,, aauu făăccuut f tt ppoossi iibbi iil llăă rreeddaacct ttaa rreeaa aa cceesst tteei ii lluuccrrăă l rri ii Lucrarea propusă a fost cocepută ca u ghid de pregătire teoretică şi practică, oferid posibilitatea uei pregătiri serioase şi aprofudate îtr-u domeiu cosacrat, dar moder pri aplicaţiile practice di multe alte domeii ştiiţifice de mare actualitate. Î acelaşi timp, reprezită u istrumet complet şi obiectiv de autoevaluare a cuoştiţelor teoretice şi a depriderilor practice dobâdite de către studeţii aului I, fiid îtocmită î coformitate cu programa discipliei ANALIZĂ MATEMATICĂ pe care aceştia o studiază. Î coseciţă, lucrarea se doreşte a fi u istrumet util de lucru idividual petru toţi aceia ce doresc să cotiue studiul matematicii şi doresc să se verifice î vederea susţierii eameului di facultate. Prezeta lucrare coţie pricipalele oţiui de bază, utile şi de strictă ecesitate î studiul şi aprofudarea altor disciplie de specialitate di domeiul ecoomic, tehic, igieresc, fizică, mecaică, cercetări operaţioale, modelare matematică, ecoometrie, etc. Lucrarea este elaborată îtr-u limbaj cocis şi riguros petru a putea fi accesibilă oricărui utilizator, idiferet de pregătirea sa î domeiu. Materialul a fost eemplificat şi pri ilustrare grafică cocretă, ce coţie grafice şi tabele. Fiecare capitol coţie eemple şi eerciţii împreuă cu soluţiile corespuzătoare, petru ca fiecare utilizator să poată verifica ivelul de asimilare a oţiuilor şi gradul dobâdirii depriderilor şi abilităţilor practice. Aceste caracteristici coferă utilizatorului u mare grad de libertate şi autoomie. Avem speraţa că am deschis u ou orizot î îtelegerea şi aplicabilitatea practică a matematicii î viaţa cotidiaă şi că de mâie sutem mai mulţi cei ce folosim şi îdrăgim vastul domeiu al matematicii. AUTOARELE 3

4 4

5 CUPRIINS Cuvât îaite... 3 Capitolul I. Fucţii de mai multe variabile Geeralităţi Teoria difereţială a fucţiilor reale de mai mult variabile reale Fucţii omogee. Proprietăţile Euler Optimizarea fucţiilor fără restricţii Optimizarea fucţiilor de mai multe variabile codiţioate pri restricţii de tip egalitate... 9 Capitolul II. Aaliza microecoomică a cosumatorului şi producătorului Caracteristici geerale ale fucţiilor de producţie Iflueţa variaţiei uui sigur factor de producţie Iflueţa variaţiei simultae a mai multor factori Idicatori de elasticitate Idicatori de substituţie Substituibilitatea factorilor Fucţii de producţie omogee şi omotetice Fucţii de producţie multioutput Decizia la producător î codiţii de cocureţă perfectă Estimarea parametrilor fucţiilor de tred Aaliza fucţiilor de producţie folosite î previzioarea producţiei Optimizarea deciziei cosumatorului Capitolul III. Complemete de calcul itegral Itegrale improprii Itegrale euleriee... 3 Bibliografie

6 6

7 Capitolul I. Fucţii de mai multe variabile..geeralităţi Defiiţia geerală a uei fucţii a fost formulată petru fucţii umerice de către Lobacevski (834) şi de Dirichlet (837), după ce apăruse sub o formă mai puţi geerală la Euler (75). Aceasta a costituit o victorie a eforturilor multor matematiciei di secolul XVIII, ducâd la o separare a oţiuii geerale de fucţie, de oţiuea particulară de reprezetare aalitică. m f : D R R (fucţie vectorială de argumet vectorial) m f : D R R (fucţie vectorială de o variabilă reală) m f : D R R (fucţie reală de mai multe variabile reale) Î cazul cel mai geeral, o fucţie vectorială de argumet vectorial m f : D R R se poate descompue î m fucţii reale de câte variabile reale. Î acest mod, studiul uei fucţii vectoriale se reduce la studiul celor m fucţii compoete, care sut fucţii reale de câte variabile reale. Reciproc, dacă sut date m fucţii reale de variabile, defiite pe aceeaşi mulţime, atuci se poate costrui cu ele o sigură fucţie vectorială de variabile cu argumetul di domeiul de defiiţie comu al fucţiilor compoete. Ca urmare a acestor cosideraţii, va fi suficiet să studiem umai fucţiile reale de mai multe variabile reale. Petru aaliza cotiuităţii acestor fucţii se cer prezetate succit câteva elemete de topologie. Defiiţia. Fie S o mulţime evidă oarecare şi S S {(, ; S, y S } produsul cartezia al mulţimii S cu ea îsăşi. Fucţia d : S S R se umeşte distaţă sau metrică pe S dacă sut satisfăcute proprietăţile (aiomele metricii): ( D ) d (, 0,, y S; d(, 0 y( pozitivitatea); ( D ) d(, d( y, ),, y S( simetria); ( D3 ) d(, d(, z) + d( z,,, y, z S (iegalitatea triughiului). Vom umi umărul real eegativ d(,, distaţa de la elemetul la elemetul y. Cuvatul topologie provie di limba greaca, de la topos loc si logos stiita. 7

8 Defiiţia. Se umeşte spaţiu metric şi se otează cu (S,d), o mulţime evidă S pe care s-a defiit o metrică d : S S R. Elemetele uui spaţiu metric se umesc pucte. Eeemppl lee... Dreapta reală S R îzestrată cu distaţa euclidiaă d(, -y,,y R este spaţiu metric.. Plaul real S R este spaţiu metric cu distaţa euclidiaă ( ) + ( y y ), z (, y ), t (, ) d ( z, t) y dir. 3. Pe spaţiul dimesioal S R itroducem două fucţii distaţă d (, d (, ma ( y ) + ( y ) ( y ) { y, y,..., y } (,,..., ), y ( y, y,..., y ( R, d şi (, d ) spaţiu ormat..pe spaţiul dimesioal M următoarele trei aplicaţii: 8 petru orice ). Arătaţi că ) R sut spaţii metrice. Se costată di acest eemplu că pe o mulţime evidă S pot fi defiite mai multe distaţe. Dacă d şi d sut două metrici diferite pe S, atuci spaţiile metrice ( S, d) şi ( S, d ) sut disticte. Dacă elemetele di R, 4, sut prea abstracte petru ituiţia oastră 3 ca observatori î spaţiul fizic R, î schimb fucţiile de variabile se găsesc î toate modelările di ecoomie sau mecaică. De eemplu diamica uui sistem ciberetic depide de modul î care variază parametrii de stare ai sistemului, care pot fi î umăr foarte mare. O clasă importată de spaţii metrice este clasa spaţiilor ormate. Defiiţia 3. Fie M u spaţiu liiar real sau comple. Aplicaţia : M R se umeşte ormă pe M dacă ( N ) 0, M ; 0 0; ( N ) α α, M, scalarulα ; ( N 3 ) + y + y,, y M. Defiiţia 4. (, ) M se umeşte spaţiu ( liiar ) ormat. Eemple. Aa reală M R îzestrată cu fucţia modul este u R, (,,..., ) R itroducem

9 ma ( ) + ( ) ( ) {,,..., }; Cele trei aplicaţii defiite pe R sut orme. ( orma euclidiaa) Teorema. Orice spaţiu liiar ormat este spaţiu metric. Observaţie. Reciproca u este adevărată, deoarece uele spaţii metrice u au structura aturală de spaţiu vectorial. Defiiţia 5. Fie H u spaţiu liiar real, îzestrat cu aplicaţia de produs scalar <, >:Η Η R avâd proprietăţile: (P ), 0, H;, 0 0; (P ), y y,,, y H; α + α, y α, y + α (P 3 ),, y H, α, α R., y, Defiiţia 6. Se umeşte spaţiu prehilbertia real sau euclidia, u spaţiu liiar pe care s-a defiit u produs scalar <, >:Η Η R şi se otează cu (H, <, >). Observaţie. Orice spaţiu prehilbertia este spaţiu ormat deoarece cu produsul scalar se poate defii o ormă şi mai departe o metrică. Dacă pe spaţiul euclidia R itroducem produsul scalar, y T y se costată că orma euclidiaă se poate defii şi cu ajutorul produsului scalar şi aume: j j y j j j,. j j Observaţie. Ţiâd seama de semificaţia epresiei petru R sau 3 R, şi aume că aceasta reprezită lugimea vectorului (,,..., ) rezultă că lugimea vectorului este. 9

10 Defiiţia 7. Spuem că elemetele,y di spaţiul euclidia (H, <, >) sut ortogoale, dacă produsul lor scalar este ul, adică <,y>0. Î cele ce urmează vom etide oţiuea de şir cuoscută î liceu umai petru umere reale, la alte mulţimi de elemete. Este ecesar ca aceste mulţimi să fie îzestrate cu o structură topologică, astfel îcât să permită itroducerea şi folosirea oţiuii de veciătate a uui puct. Acesta este desigur cadrul spaţiilor metrice. Majoritatea proprietăţilor cuoscute di clasa a XI-a se etid î mod atural la şirurile mai geerale defiite î spaţii metrice, dar apar şi uele deosebiri. De eemplu, u orice şir fudametal de pucte ditr-u spaţiu metric este coverget, ceea ce va impue defiirea uui ou cocept şi aume acela de spaţiu metric complet, î care oţiuile de şir coverget şi de şir fudametal coicid. Spaţiile acestea, umite şi spaţii Baach, au o deosebită importaţă î toată aaliza matematică. Defiiţia 8. Se umeşte şir î spaţiul metric (S,d) o aplicaţie h : Ν S, h(). Notăm ( ). Defiiţia 9. Şirul ( ) pozitive ((, ) ) aalizei matematice clasice. 0 d tide la zero. (S,d) are limita S dacă şirul de umere Observaţie. Dacă S R iar d(, -y,,y R, atuci defiiţia şirului coverget î cotetul geeral al spaţiilor metrice coicide cu defiiţia cuoscută di clasa a XI-a. Propoziţia. Limita uui şir, dacă eistă, este uică. Defiiţia 0. Spuem că şirul ( ) Cauchy dacă ε >, ( m, ), m, d ε sau echivalet ε < (S,d) este şir fudametal sau şir 0 ε N astfel îcât petru orice ε > 0, ε N astfel îcât (, ). ε, p N d + p < ε Ituitiv, această codiţie se iterpretează astfel: eceptâd primii ε termei, distaţa ditre oricare doi termei ai şirului este mai mică decât ε. Cauchy Augusti ( ), celebru matematicia fracez, uul ditre fodatorii