DINAMIKA Študijsko gradivo z zbranimi nalogami s področja dinamike

Transcript

1 DINAMIKA Študjsko gradvo z zbranm nalogam s področja dnamke Vladmr Grubelnk Marjan Logar Marbor, 4

2 Vsebna. Newtonov zakon Prmer sl Sla podlage Gravtacjska sla Teža težn pospešek Masno sredšče, težšče Elastčne deformacje Hookov zakon Raztezanje žce al palce Raztezanje vzmet Prostorsko stskanje....4 Vzgon Plavanje....5 Upor v tekočnah Vskozn upor (lnearn zakon upora) Dnamčn upor (kvadratn zakon upora) Elektrčna sla Elektrčno polje Snov v elektrčnem polju Magnetna sla Magnetna sla na tokovn vodnk... 6 Naloge Gbalna kolčna Sunek sle Trk dveh teles Sla curka... 7 Naloge Delo, moč n mehanska energja Delo Izrek o knetčn energj... 3

3 4.3 Potencalna energja Izrek o ohrantv energje Gravtacjska potencalna energja Prožnostna energja Elektrčna potencalna energja Moč Naloge Nhanje Nedušeno nhanje vjačne vzmet Dušeno nhanje... 4 Naloge

4 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam. Newtonov zakon. zakon: Telo vztraja v mrovanju al v premo enakomernem gbanju, če nanj ne delujejo zunanje sle, ozroma je vsota vseh zunanjh sl F n navorov M enaka nč:. zakon: F =, M =. Velkost rezultante zunanjh sl na telo je enaka produktu mase telesa n pospeška težšča telesa, kjer je smer pospeška enaka smer rezultante zunanjh sl: F = ma. F = t 3 zakon: Zakon o vzajemnem učnku, k prav: Če prvo telo deluje na drugo telo z neko slo potem tud drugo telo deluje na prvo z nasprotno enako slo: F = F,, Isaac Newton:»Phlosophae Naturals Prncpa Mathematca«Lex I Corpus omne perseverare n statu suo quescend vel movend unformter n drectum, ns quatenus llud a vrbus mpresss cogtur statum suum mutare. Lex II Mutatonem motus proportonalem esse v motrc mpressæ, & fer secundum lneam rectam qua vs lla mprmtur. Lex III Acton contraram semper & æqualem esse reactonem: sve corporum duorum actones n se mutuo semper esse æquales & n partes contraras drg. 4

5 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam. Prmer sl. Sla podlage Ko telo mruje al se gblje po podlag, deluje nanj sla podlage. Če telo mruje, govormo o statčnem trenju al lepenju, če pa se gblje, govormo o dnamčnem trenju. Slo podlage razdelmo na komponento, k kaže pravokotno na podlago (normalna komponenta, oznaka N) n komponento, k lež v podlag, menovano sla lepenja F l ozroma sla trenja F t. Komponenta v podlag kaže vedno nasprot premkanja al poskusa premkanja. Razmerje med komponento v podlag n normalno komponento je odvsno od kvaltete stčnh površn telesa n podlage, kar podamo z ustreznm koefcentom. Sla lepenja je Fl = kl N, kjer je k l koefcent lepenja. Velkost sle lepenja ma vrednost od pa do največje vrednost, ko telo zdrsne, če je ta presežena. Občajno so podane vrednost koefcenta lepenja, k ustrezajo njegov največj vrednost. Sla trenja je Ft = kt N, kjer je k t koefcent trenja, odvsen od stčnh površn telesa n podlage, ter od relatvne htrost, kar pa večnoma spregledamo al zanemarno. Koefcent trenja n lepenja: prmer Koefcent lepenja Koefcent trenja jeklo-jeklo,,3, kovna na les,5,65,,5 les na les,4,65,,4 5

6 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam Koefcent trenja za gumjasto kolo na cestšču (asfalt): prmer Koefcent trenja suho,5,65 vlažno,,35 sneg,,5 led,5,5. Gravtacjska sla Vsa telesa se med seboj prvlačjo z gravtacjsko slo. Gravtacjska prvlačnost teles je odvsna od mase teles n njhove medsebojne oddaljenost. Gravtacjsk zakon je prv zapsal Isaac Newton. Izhajal je z Keplerjevega zakona. r t 3 = K Keplerjev zakon planet r (UA) t (leto) (UA 3 /leto ) Merkur,387,4 Venera,73,66 Zemlja,, Mars,54,88 Saturn 5,,86 Jupter 9,54 9,46 Uran 9,8 84, Neptun 3,6 64,8 Pluton 39,5 47,7 Gbanje planetov okol Sonca omogoča gravtacjska sla F, s katero Sonce prvlač planete. Ta planetom, k krožjo okol Sonca, podel radaln pospešek: F = ma r π 4 = mrω = mr = t π mk r Sla F je sorazmerna z maso planeta m. Ker planet prvlač Sonce z enako velko slo, mora bt sla sorazmerna tud z maso Sonca M: 4π mk 4π mmk mm F = = = G r r M r Nm G kg mm F = G gravtacjsk zakon. r = 6,7 je t.. gravtacjska konstanta n 6

7 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam Pr nebesnh telesh (zvezde, planet) je njhova medsebojna razdalja velka v prmerjav z njhovm velkostm n jh lahko obravnavamo kot točkasta telesa v razdalj r. Če telesa nso majhna v prmerjav z medsebojno oddaljenostjo, je gravtacjska sla odvsna tud od oblke teles. Prmer:. Gravtacjska sla med točkastm telesom z maso m n palco z dolžno L n maso m. Blžnj konec palce se nahaja v razdalj a od točkastega telesa. dm=ρsdr F a+ L m dm dr m = G = Gm ρ S G r = r a( a + a m L).. Teža težn pospešek Na vsako telo na zemeljskem površju deluje gravtacjska prvlačna sla Zemlje, katere velkost se z oddaljevanjem od Zemlje zmanjšuje. Na telesa v blžn Zemlje deluje tud gravtacjska sla Lune, planetov n Sonca, vendar so te sle zarad velkh oddaljenost zanemarljve v prmerjav s prvlačnostjo Zemlje. Gravtacjsko slo s katero Zemlja prvlač telo, menujemo teža ( F ). Če je teža edna sla na telo, mu podel pospešek g (. Newtonov zakon): = mg F g Na površju Zemlje: (r=r o ; r o = 637 km 64 km): mm F g = G = mg masa Zemlje r gr M = = 6 G 4 kg g 7

8 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam Na površju drugh nebesnh teles: M g = G r g (m/s ) g /g, Zemlje Sonce 75 8 Merkur,5,6 Venera 8,8,9 Luna,6,6 Mars,, Jupter 6,65 Saturn, Uran 9,4,96 Neptun 9,8 Nad površjem Zemlje (r r ): mm M M F g = G = mg g = G, g = G n r r r r g = g. r.. Masno sredšče, težšče Teža je vsota vseh prspevkov po volumnu porazdeljene gravtacjske sle. dfg dm dm F g = f dv f = = g = gρ F g = g dv dv ρ dv, ρ = je gostota snov. dv Njeno po vsem volumnu porazdeljeno delovanje lahko nadomestmo z delovanjem v en sam točk, menovan težšče. Pravmo, da je prjemalšče teže v težšču. Težšče je za telo značlna točka, okol katere je navor teže enak nč. D sstem masnh točk Sstem masnh točk mruje na breztežn palc. F = M = m g F = F x + m gx = t 8

9 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam Koordnata težšča je: x t = m gx m g = m x m 3D sstem masnh točk Krajevn vektor težšča je: m x m y r t= ( xt, yt, zt ) =,, m m m z m Zvezno porazdeljena masa po prostoru Krajevn vektor težšča dobmo z ntegrranjem: xdm ydm zdm r = = t ( xt, yt, zt ),, m m m dm Če je telo homogeno (gostota snov ρ = je konstantna), se r t zapše kot dv xdv ydv zdv r = t,,. V V V Če ma plošča konstantno debelno b n površno A, je njen volumen V = Ab. Ker je dv = b da, lahko koordnate težšča dobmo z ntegracjo po površn A: x t xda yda zda A A A =, yt =, zt =. A A A 9

10 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam.3 Elastčne deformacje Hookov zakon.3. Raztezanje žce al palce Če žco al palco s slo raztezamo, se razdalja med atom nekolko poveča n prvlačna sla med atom nekolko naraste, kar nasprotuje delovanju sle. Za majhne sle je raztezek lnearno sorazmeren s slo: F = kx Hookov zakon Pr večjh slah občajno prde do nelnearne zveze med slo n raztezkom. Če se telo vrne v prvotno stanje, ko sla preneha delovat, pravmo, da smo v območju elastčnost. Če prde do trajne deformacje, smo v območju plastčnost, če se telo pretrga, pa smo prekoračl mejo natezne trdnost. Žco z dolžno l n presekom S obremenmo s slo F. Za območje, ko je raztezek žce x lnearno sorazmeren s slo F, velja: l = F ES x F x = E σ = E ε S l x F = SE F = kx, l SE k = l σ - napetost (N/m ) ε - relatvn podaljšek E - prožnostn (al elastčn, Youngov) modul (N/m ) Modul elastčnost za razlčne snov: snov modul elastčnost E (N/mm ) jeklo,. 5 baker,5. 5 alumnj,7. 5 jeklena ltna. 5 sva ltna. 5

11 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam.3. Raztezanje vzmet Pr raztegovanju vjačne vzmet je njen raztezek sorazmeren s slo, s katero je vzmet obremenjena (Hookov zakon): F = kx Če vzmet preveč obremenmo, občajno ne velja več lnearna zveza med slo F n raztezkom x. V splošnem lahko zapšemo, da je raztezek: x = f (F), kjer za lnearno območje raztezka velja: x = F. k Vzporedna n zaporedna vezava vzmet Zaporedno n vzporedno vezane vzmet lahko nadomestmo z vzmetjo, katere raztezek je pod vplvom obrementve enak kot v prmeru več vzporedno ozroma zaporedno vezanh vzmet. Vzporedno vezane vzmet: F = F = k x = kx k = Zaporedno vezane vzmet: F = k x x = F / k x = x = F / k = F / k / = k k / k.3.3 Prostorsko stskanje Tlačno deformacjo telesa zrazmo z relatvno spremembo prostornne V/V, kjer je V zmanjšanje prostornne V zarad tlaka p. Relatvna sprememba prostornne je premo sorazmerna z delujočm tlakom: dv V = χp, kjer je χ [Pa - ] stsljvost. Za kovne velja, da je χ. E snov stsljvost (Pa - ) voda 5 - olje 6, - žvo srebro 4 -

12 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam.4 Vzgon Vzgon je sla, s katero mrujoča tekočna deluje na potopljeno telo. To je rezultanta sl na površno telesa zarad razlčnh vrednost hdrostatčnega tlaka. Sla vzgona je nasprotno enaka tež zpodrnjene tekočne n -pravmo- ma prjemalšče v težšču zpodrnjene tekočne. F v = m g = ρ V g t.4. Plavanje Telo, k plava, je v ravnovesju: F =. Vsota vzgona n teže je enaka F F = ρ V g V g g v ρ t = V V ρ = ρ t.5 Upor v tekočnah Upor v tekočnah je sla, s katero deluje tekočna na telo, ko se telo gblje skoz tekočno al tekočna ob telesu. Pr majhnh Reynoldsovh števlh velja lnearn zakon upora, pr velkh Reynoldsovh števlh pa kvadratn zakon upora. ρvd Reynoldsovo števlo je Re =, η kjer je ρ gostota tekočne, η njena vskoznost n d večja lnearna razsežnost telesa prečno na htrost v..5. Vskozn upor (lnearn zakon upora) Vskoznost η (enota: kg/ms) je kolčna, k mer odzv tekočne na stržno slo. Če se htrost posameznh tekočnskh plast razlkujejo, htrejše plast vlečejo za sabo počasnejše n počasnejše zadržujejo htrejše. Vskoznost je določena z enačbo: F S dv = η, dz kjer je F/S stržna napetost, dv/dz pa stržna htrost, k pove, kako se spremnja htrost v smer pravokotno na gbanje plast. Za kroglco je ntegral vskozne sle po površn enak: F u = 6πηrv

13 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam Vskoznost razlčnh snov: snov Vskoznost (kg/ms) voda ( C) -3 voda ( C),8-3 glcern ( C),4 zrak, Dnamčn upor (kvadratn zakon upora) Dnamčn upor nastane zarad razlke tlakov pred telesom n za njm zarad relatvnega gbanja telesa n tekočne. Sla upora je sorazmerna z zastojnm tlakom n s površno prečnega prereza. Zastojn tlak (tj. povečanje tlaka v zastojn točk): ρv p + + ρgz = kons p = ρv Sorazmernostn faktor je koefcent dnamčnega upora c u, k upošteva oblko telesa: ρv Fu = cu S Kvadratn zakon velja, če je Reynoldsovo števlo dovolj velko ( n več), torej za večje htrost n zanemarljvo vskoznost (η ). Za koefcent upora krogle prblžno velja enačba (B.R. Munson, D.F. Young, T.H.Oksh, Fundamentals of Flud Mechancs, 5th Edton, Wley, New York, 6): 4 6 c u = Re + Re Kako se koefcent upora c u krogle spremnja s htrostjo v zraku z gostoto,5 kg/m 3 n vskoznostjo,83-5 Ns/m, kaže spodnj graf. 3

14 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam Podobno kot slo dnamčnega upora lahko zapšemo tud slo dnamčnega vzgona, s katero deluje tok tekočne prečno glede na smer gbanja telesa skoz tekočno. Koefcent dnamčnega vzgona občajno določmo emprčno. c F = v u v S ρ Reynoldsovo števlo je v bstvu razmerje med slama po kvadratnem n lnearnem zakonu upora: F( v ) ρvd Re = al F( v) η ρvd F( v ) Re = η F( v) Za Re <,5 velja lnearn zakon upora, za Re > pa velja kvadratn zakon upora..6 Elektrčna sla Elektrčn naboj določmo n mermo s pomočjo elektrčne sle, k delujem med naelektrenm teles. Iz mertev ugotovmo, da je elektrčna sla med naelektrenma telesoma premo sorazmerna s produktom nabojev obeh teles n obratno sorazmerna s kvadratom razdalje med telesoma (Coulombov zakon): ee F = konst. r Izbra sorazmernostne konstante je odvsna od enote naboja ( Coulomb = Cb), k je določena s pomočjo elektrčnega toka: Cb = A s = As. Občajno to konstanto napšemo kot: F ee ee = konst =, r 4πε r kjer je ε nfluenčna konstanta z vrednostjo ε = 8,85 - As/Vm. Podobno kot Newtonov gravtacjsk zakon tud Coulombov zakon velja za točkasta telesa. Uporabmo ga lahko tud za kroglasta telesa, kjer je porazdeltev posameznega naboja odvsna le od oddaljenost od sredšča..6. Elektrčno polje Elektrčno slo F, s katero delujejo okolšn naboj na zbran naboj, lahko zapšemo tud kot slo elektrčnega polja E, k ga t naboj povzročajo: F = ee. 4

15 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam Sla na naboj je sorazmerna z elektrčnm nabojem n jakostjo elektrčnega polja, kjer je smer jakost enaka smer elektrčne sle na poztven naboj. Elektrčno polje ponazormo s slncam, katerh tangente kažejo smer sle na poztven naboj ozroma smer jakost elektrčnega polja. Jakost elektrčnega polja v nek točk v okolc zvezno porazdeljenh nabojev je: E de = 4πε = de r. r r.6. Snov v elektrčnem polju Če damo snov v elektrčno polje, se na površn nfluencra naboj. Ta povzroč elektrčno polje, k nasprotuje zunanjemu n s tem oslab elektrčno polje v snov. Zvezo med prvotnm n oslabljenm poljem zapšemo kot: E = E /ε, kjer je ε delektrčnost snov (ε>). snov delektrčnost Zrak (normaln pogoj),59 papr steklo 6-8 voda pr C 88, C 84, C 8,4 3 C 76,8 4 C 73, 5 C 69,9 Ker oslab elektrčno polje, oslab tud elektrčna sla med naboj v snov: ee F =. 4πεε r 5

16 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam.7 Magnetna sla Poskus kažejo, da je magnetna sla F vedno pravokotna na htrost gbanja v elektrčnh delcev n smer magnetnega polja B : F = ev B Enota za magnetno poljsko gostoto B je tesla ( T = Vs/m ).7. Magnetna sla na tokovn vodnk Če vodnk, po katerem tečejo prost elektron, položmo v magnetno polje B, deluje na vsak gbajoč se elektron magnetna sla: F e v B =. Magnetna sla na elektrone, katerh premkanje vzdolž vodnka predstavlja elektrčn tok, se prenese na vodnk. Na odseku vodnka z dolžno dl je dn = n S dl prosth elektronov z nabojem e, kjer je n prostornnska gostota elektronov. Z upoštevanjem zvez I = de/dt = e dn /dt = e n S dl/dt = e n S v n dl = vdt ter df = dn F dobmo df n S dl e v B = I dl B = n z ntegracjo vzdolž vodnka celotno slo nanj. Magnetna sla na raven vodnk je: F = I l B. 6

17 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam Naloge. Med dve vzporedn sten napnemo vrv tako, da sta prtrdšč na razlčnh všnah. Na vrv prtrdmo utež z maso m = kg. Tedaj del vrv, k je prtrjen nžje, s steno v prtrdšču oklepa kot α = 3, del vrv, k je prtrjen všje, pa s steno oklepa kot β = 45. Kolkšn sta sl v vrv na obeh straneh utež? Ker je sstem v ravnovesju, sta zpolnjena ravnovesna pogoja za komponente sl v smer x n y os: F x = F snα F sn β =, F y = F cosα + F cos β mg =. Reštv sstema enačb sta: sn β F = mg = 73, N, sn( α + β ) snα F = mg = 5, 8N. sn α + β ( ). Lahek vodoraven noslec dolžne L = 3,5 m je na enem koncu vrtljvo vpet v navpčno steno, drug, prost konec, pa je z vrvjo povezan s steno nad vpetjem noslca tako, da noslec n vrv na prostem koncu noslca oklepata kot α = 3. V razdalj l = m od prostega konca prot sten vs breme z maso m = kg. a) S kolkšno slo je napeta vrv? b) Kolkšn sta reakcj v prtrdšču noslca? c) Kako se spremenjo rezultat, če teža noslca n zanemarljva n mer F g = 5 N? Slo v vrvc označmo z F, reakcj v x n y smer na noslec v prtrdšču noslca v steno pa z R x n R y. Os, glede na katero zapšemo ravnovesn pogoj za navore (osšče), zberemo v prtrdšču noslca v sten. Ravnovesn pogoj so: Fx = Rx F cos α =, () Fy = Ry + F sn α mg =, () ( L l) mg + LF sn α = M =. (3) Iz enačb, n 3 sled: L l mg F = = 43N, L snα 7

18 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam L l R x = F cos α = mgctgα = 4N n l mgl R y = mg F sn α = = 9N. L Če ne zanemarmo teže noslca, je treba v ravnovesnh pogojh upoštevat še težo noslca, k deluje na sredn noslca navpčno navzdol. Ravnovesn pogoj so: Fx = Rx F cos α =, (4) Fy = Ry Fg + F sn α mg =, (5) L M = Fg ( L l) mg + LF snα =. (6) Iz enačb 4, 5 n 6 sled: ( L l) mg + LFg F = = 93N, Lsnα R x = F cos α = 67N n Ry = Fg + mg F sn α = 54N. 3. Valj z maso m= kg n s polmerom r=,5 m želmo zakotalt čez stopnco všne h=, m. a) S kolkšno slo moramo potegnt valj v vodoravn smer, da se valj zakotal čez stopnco, če valj potegnemo na sredn? b) S kolkšno slo moramo potegnt valj v vodoravn smer, če potegnemo valj na vrhu? c) Kje n v kater smer moramo potsnt valj, če ga želmo zakotalt z najmanjšo slo? Kolkšna je takrat sla? 8

19 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam 4. Na navpčno gladko steno obesmo, z l= cm dolgo vrvco, kroglo s polmerom r=5 cm. Masa krogle je m= kg. a) Narš sle na kroglo! b) S kolkšno slo delujeta vrvca n stena na kroglo? c) Za kolkšen kot moramo nagnt steno, da bo sla stene na kroglo enaka sl v vrvc? 5. Na klanec z naklonom ϕ položmo predmet. Kolkšen mora bt koefcent lepenja med predmetom n klancem, da predmet ne zdrsne po klancu navzdol? Izbermo os-x v smer po klancu navzdol. Slo teže razstavmo na dnamčno komponento (F d ) n statčno komponento (F s ) teže. V kolkor želmo, da telo na klancu mruje, mora bt vsota vseh sl v smer x-os enaka nč; F x =, () F F l =, pr čemer je: d F d = mg snϕ n F = k F k mg cosϕ. l l s = l Enačbo () lahko torej zapšemo kot: mg sn ϕ kl mg cosϕ = n zračunamo koefcent lepenja; snϕ k l = = tgϕ. cosϕ 6. Homogena kocka je prslonjena ob gladek zd tako, da z vodoravnm hrapavm tlem oklepa kot ϕ=3. Kolkšen mora bt najmanj koefcent lepenja med tlem n kocko, da kocka ne zdrsne? (,366) 9

20 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam 7. Na telo z maso m= kg, k mruje na vodoravnh tleh, delujemo s slo F pod kotom ϕ=5 o glede na vodoravna tla. V prvem prmeru deluje sla pod kotom ϕ navzdol, v drugem prmeru pa pod kotom ϕ navzgor (glej slko!). Koefcent lepenja med telesom n podlago je v obeh prmerh enak n znaša k =.6. a) V obeh prmerh narš vse sle, k delujejo na telo! b) Določ velkost sle F, s katero premaknemo telo v obeh prmerh! c) Kako je velkost sle odvsna od kota, pod katerm deluje? č) Kolkšna je najmanjša sla v drugem prmeru? d) Je v prvem prmeru pr vsakem kotu ϕ mogoče premaknt telo ne glede na velkost sle? 8. Ob gladko steno je prslonjena kg težka lestev, k oklepa s podlago kot 45. Človek z maso 6 kg lahko spleza le do tretjne všne, ne da b lestev zdrsnla. a) Narš vse sle na lestev, ko je človek na tretjn všne lestve! b) Kolkšen je koefcent lepenja med tlem n lestvjo, če med lestvjo n steno n trenja? c) Vsaj kolkšen b moral bt koefcent lepenja med lestvjo n podlago, da b lahko človek splezal do vrha lestve? 9. Štr majhna telesa z masam m = kg, m = kg, m 3 =3 kg n m 4 =4 kg so razporejena, kot kaže slka (a= m, b=,5 m). Določ skupno težšče teles!

21 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam. Tr majhna telesa z enakm masam m so razporejena kot kaže slka. Določ skupno težšče teles!. Kje je težšče trkotne plošče s konstantno gostoto n debelno. (x T =L/3; y T =H/3). Izračunaj težšče stožca z všno H n s polmerom osnovne ploskve R. Gostota stožca je konstantna. (x T =; y T =3H/4 glej slko) 3. Trkotna plošča konstantne debelne je na en stran vrtljvo vpeta, na drug stran pa prtrjena z vrvco, k prenese slo F v = N. Masa plošče je m = kg. Kako daleč (x) od vrtšča palce lahko obesmo utež z maso m =6 kg, da se vrvca, na kater vs prečka, ne strga? Dolžna L=,8 m. (,47 m)

22 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam 4. Utež obesmo na dve enak vzmet, k sta prtrjen zaporedno ena za drugo. Koefcent posamezne vzmet je k= N/cm. Kolkšen koefcent b morala met vzmet, na katero obesmo enako utež, da je raztezek enak kot v prejšnjem prmeru? 5. Na dve vzporedn vzmet z enakma prožnostnma koefcentoma k=5 N/cm obesmo utež z maso m= kg. Za kolko se raztegneta vzmet? 6. Prožn vzmet sta prtrjen na strop, pr čemer je konstanta prožnost prve vzmet k, druge vzmet pa k. Prosta konca vsečh vzmet prtrdmo na krajšč palce dolžne L n mase M. Kam (x=?) moramo obest utež mase m, da bo palca v ravnovesn leg vodoravna? Maso vzmet zanemarmo. 7. Bakreno žco dolžne m n jekleno žco dolžne m prvežemo eno za drugo n na spodnj konec obesmo utež mase 5 kg. Žc mata enak presek mm. Modul elastčnost za baker je,5. 5 N/mm, za jeklo pa,. 5 N/mm. Za kolko se podaljšata žc? ( mm) 8. Na tr enake lahke vzmet prtrdmo dve enak utež, kot kaže slka. Koefcent posamezne vzmet je 8 N/cm, masa posamezne utež pa znaša kg. Za kolko so raztegnjene posamezne vzmet?

23 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam 9. Palca mase kg n dolžne 5 cm je obešena v krajščh na dve enako dolg vzporedn žc dolžne m n preseka, mm. Prva žca je jeklena, druga pa bakrena. Modul elastčnost za baker je,5. 5 N/mm, za jeklo pa,. 5 N/mm. Za kolkšen kot glede na vodoravnco je nagnjena palca? (,7 ). Na streho mrujočega avta obesmo vjačno vzmet. Ko na vzmet obesmo utež, se vzmet raztegne za cm. Za kolko se raztegne vzmet, ko se avto začne premkat v vodoravn smer s stalnm pospeškom,5 m/s?. Na krajšč m dolge lahke prečke sta prtrjen dve vrvc, s katerma vlečemo po podlag teles z maso kg n 4 kg. S kolkšno slo n kje moramo delovat na prečko, da se bosta teles začel gbat s pospeškom,5 m/s n da bo prečka pravokotno na vrvc? Koefcent trenja med telesoma n podlago je,.. Gondola z maso m= kg je preko jeklene palce obešena na jekleno vrv, k je glede na vodoravna tla nagnjena za ϕ=5. a) Kolkšna je sla v palc, s katero je prtrjena gondola na jekleno vrv, če se gondola gblje enakomerno? b) Kolkšna je sla v palc, če se gondola gblje navzgor, v smer jeklene vrv, s pospeškom a=5 m/s? Pod kolkšnm kotom glede na navpčnco je nagnjena gondola? 3

24 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam 3. Na klado z maso m = kg, k lež na vodoravnh hrapavh tleh, položmo klado z maso m = kg. S kolkšno največjo slo smemo potegnt spodnjo klado, da zgornja klada ne zdrsne z nje? Koefcent trenja med klado n podlago znaša k t =,3, koefcent lepenja med kladama pa je k l =, Na klancu z naklonom ϕ=3 o lež telo z maso m = kg, k je z vrvco povezano s prosto vsečm telesom masoem. Koefcent lepenja med telesom n podlago je,. a) Kolkšna sme bt masa vsečega telesa (m ), da se bo telo na klancu začelo spuščat? b) Kolkšna mora bt masa vsečega telesa, da se bo telo na klancu začelo vzpenjat? a) Spuščanje: (m + m )a = m g (snϕ kcosϕ) m g > m < m (snϕ kcosϕ) =,4 kg b) Vzpenjanje: (m + m )a = m g m g (snϕ + kcosϕ) > m > m (snϕ + kcosϕ) =,59 kg 5. Vlak spelje z mesta s konstantnm pospeškom, tako da v s= m doseže htrost v=4 m/s. Vlak je sestavljen z lokomotve n treh vagonov. Prv vagon za lokomotvo ma maso m = t, drug m = t n tretj m 3 = t. Vagon so povezan med seboj z dvema enakma vzmetema, katerh koefcent znaša K=5 kn/m. Za kolko se raztegne posamezna vzmet pr pospeševanju? 6. Na tovornjaku je zaboj z maso 5 kg. Če ga želmo vodoravno premaknt, ga moramo pornt s slo 9 N. Kako daleč pred kržščem mora voznk začet zavrat, če voz s htrostjo 54 km/h, da zaboj ne bo zdrsnl? (9 m) 4

25 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam 7. Na slk so prkazane tr klade enakh mas, k so v ravnovesju. Klada A lež na klad B n je z vrvco prvezana na zd. Klada C pa je preko majhnega škrpca n vrvce obešena na klado B. a) Narš vse sle, k delujejo na klado B. b) Najmanj kolkšen mora bt koefcent lepenja med kladama, da klade mrujejo, če je koefcent lepenja med klado B n podlago enak k l =,3? (,4) c) S kolkšnm pospeškom se gbljeta klad B n C, če odstranmo klado A? Koefcent trenja med klado B n podlago je k t =,. Kolkšna je v tem prmeru sla v vrvc, k povezuje obe klad, če je masa posamezne klade m= kg? (3,9 m/s ; 5,9 N) 5

26 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam 3. Gbalna kolčna Gbalna kolčna je določena kot produktu mase telesa n htrost njegovega težšča: G = mv t. Gbalna kolčna telesa ma smer htrost. Če se spremen htrost, se spremen tud gbalna kolčna. Sprememba htrost je podana z. Newtonovm zakonom: dvt d( mvt ) dg F = mat = m = = ; dt dt dt 3. Sunek sle Produkt sle n časovnega ntervala, v katerem sla deluje, se menuje sunek sle n je enak sprememb gbalne kolčne: Fdt = dg, t Fdt = F t = G G. Prmer: Žoga z maso, kg se prblžuje palc v vodoravn smer s htrostjo 36 m/s. S palco udarmo žogo tako, da se odbje v nasprotno smer s htrostjo 45 m/s pod kotom 3 o glede na vodoravno smer. S kolkšno povprečno slo (velkost n smer) je delovala palca na žogo, če je trk trajal, ms? mv = mv + F t x: mv mv + F t x = x cosϕ = mv mv + Fx t F x = ( m / t)( v + v cosϕ) =647,6 N y: mv = + F t y y mv snϕ = + Fy t = ( m / t)( v snϕ) =875 N F y F F x + F y = =653 N F tg = F y α =-,3 α=6,7 x 6

27 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam 3. Trk dveh teles Trk dveh teles lahko opšemo s pomočjo sunka sl, s katerma teles delujeta eno na drugo. Iz 3. Newtonovega zakona sled, da sta s sunka sl nasprotno enaka: F = F F dt = Fdt Ker n ostalh zunanjh sl, sta nasprotno enak tud sprememb gbalnh kolčn: G G = F dt = Fdt = G G = G G) ( = G G G je gbalna kolčna. telesa pred trkom n G po trku, n podobno za. telo. Ustrezno so označene tud komponente v smer x n y os. Ohrantev gbalne kolčne pr trku lahko zapšemo kot G al po komponentah: + G = G + G G, G ) + ( G, G ) = ( G, G ) + ( G, G ). ( x y x y x y x y 3.3 Sla curka Del snov z maso m n htrostjo v se zalet v steno ter se od nje odbje s htrostjo v. Sprememba gbalne kolčne dela snov je enaka sunku sle stene: t Fdt = G = mv mv = m v Sunek sle dela snov na steno je pr tem enako velk kot sunek sle stene na del snov. Če ob steno stalno prteka snov z masnm pretokom Φ = dm m, za del snov z maso dm dt dm velja F dt = dm v. Po deljenju z dt dobmo F = v = Φm v n slo curka dt lahko zapšemo: F c = Φ m v Za masn pretok še velja: Φ m = dm dt dv dx = ρ = ρs = ρsv dt dt 7

28 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam Prmer : Pravokotna ovra Curek vode s presekom S prteka s htrostjo v pravokotna na ovro n odteka ob ovr. F c = Φ m v = Φ m v = ρsv Prmer : Turbna Na lopatce turbne prteka curek vode s htrostjo v. Ker se lopatce turbne vrtjo s htrostjo v t, je relatvna htrost, s katero voda zadeva lopatce, enaka v - v t. Oblka lopatc omogoča, da se curek odbje z enako htrostjo glede na lopatco n zato je sprememba htrost v enačb za slo curka enaka Za slo curka sled: v = ( v v ). t F c = Φ m v = Φ m ( v v t ) Prmer 3: Raketa Raketa zpušča curek plna z masnm pretokom Φ m n relatvno htrostjo v r (htrost plnov glede na raketo). Sla curka, k poganja raketo, j podeljuje pospešek a: Fc = Φm v = Φm vr = ma Enačba gbanja dm dv vr m dt = ma po preuredtv oblko dv dt dm m v =. r Z ntegracjo od začetne htrost v, ko ma raketa maso m, do htrost v ob času t, ko je masa rakete zarad stalnega odtekanja gorva m = m Φ t, dobmo: m v v = vr ln m n htrost rakete v odvsnost od časa: v = v + vr ln m m Φ m t m 8

29 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam Naloge. Točkasto telo z maso m = g n htrostjo v =3 m/s zadene v drugo, mrujoče točkasto telo z maso m = g. Po trku odlet prvo telo pod kotom α=45 o, drugo pa pod kotom β=3 o glede na prvotno smer gbanja prvega telesa. Kolkšn sta htrost teles po trku? x: m v = m v cosα + m v cosβ y: = m v snα m v snβ Izrazmo v n v : v = v o snβ/sn(α + β) =,6 m/s v = m /m v o snα/sn(α + β) =, m/s. Žoga z maso, kg se prkotal po vodoravnh tleh s htrostjo m/s prot dečku. Ta z nogo brcne žogo tako, da se odbje nazaj pod kotom 3 o glede na vodoravna tla. Žoga pade nazaj na tla m od dečka. S kolkšno povprečno slo n pod kolkšnm kotom glede na vodoravna tla je deček brcnl žogo, če je trk trajal, s? (4, N; 8 ) 3. Navpčno navzgor vržemo kepo z maso m =, kg. Istočasno z všne H=5 m spustmo drugo kepo z maso m =, kg. Kep se srečata na sredn n se sprmeta. S kolkšno htrostjo padeta kep na tla? 4. Vozčka z enakma masama m= kg mrujeta na tru. Na prvem vozčku je človek z maso m = 8 kg. S kolkšno htrostjo se prčneta gbat vozčka, če skoč človek s prvega vozčka na drugega s htrostjo v = m/s glede na okolco? 5. Klado z maso,5 kg s htrostjo 4 m/s potsnemo prot 3 m oddaljen klad z maso,5 kg. Čez kolko časa n kje se klad ustavta, če se ob trku sprmeta. Koefcent trenja je,. 9

30 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam 4. Delo, moč n mehanska energja 4. Delo Delo sle za točkasto telo zračunamo kot: r A F dr, = r kjer je dr = v dt premk telesa v smer htrost v. Sla F n premk dr v splošnem oklepata kot ϕ. Če je ϕ < π /, je delo poztvno (npr. delo sle vrvce pr vlečenju san). Če jeϕ > π /, pa je delo negatvno (npr. delo sle trenja). Če je ϕ = π /, je delo enako nč (npr. delo centrpetalne sle pr kroženju). Prmer: Delo teže pr navpčnem al poševnem spustu po klancu z naklonom α je odvsno le od všnske razlke h med začetno n končno lego telesa: r s s s A = F dr = F ds cosϕ = mg ds snα = mg snα ds = mgssnα = mgh r 4. Izrek o knetčn energj Kadar poznamo sle, k delujejo na točkasto telo, lahko s pomočjo. Newtonovega zakona zračunamo pospešek telesa F = ma. Z ntegrranjem pospeška dobmo htrost telesa v = v + adt. Sla pr pospeševanju telesa z maso m vzdolž pot oprav delo: Delo sle pr pospeševanju telesa z maso m je enako: r v dv mv A = F dr = F ds = ma v dt = m v dt = mv dv = dt r mv Izraz na desn predstavlja spremembo knetčne energje W k =. v mv Delo rezultante vseh sl F, k delujejo na točkasto telo, k se premka po pot, je enako sprememb knetčne energje telesa A = W Če je delo vseh sl na telo enako nč (A=), je tud sprememba knetčne energje telesa enaka nč ( W k =), kar pomen, da se W k ohranja. k 3

31 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam Prmer : Pr premem enakomernem gbanju točkastega telesa je vsota zunanjh sl enaka nč F ) n zato tud njhovo delo (A=), kar pomen, da se knetčna energja ( = ohranja. A = k A = W = Prmer : Pr enakomernem kroženju je vsota zunanjh sl na telo usmerjena prot sredšču kroženja, pravokotno na smer gbanja ( F dr ). Delo sle je torej enako nč, kar pomen, da se knetčna energja ohranja. A A = W = = k Prmer 3: Telo drs s htrostjo v po vodoravn hrapav podlag s koefcentom trenja k t. Na kolkšn razdalj x se bo telo ustavlo? A = k mg t x = W k mv = x = v k g t 4.3 Potencalna energja Sle, katerh delo na pot med dvema točkama je neodvsno od zbre pot r ( Akons = F dr ), temveč le od lege začetne n končne točke, so konservatvne sle. r Zanje velja, da je ntegral po zaključen pot = F dr = Polje, k ga določajo konservatvne sle, je potencalno polje. Telo ma v njem potencalno energjo: A F ds = W = W W kons = p p A kons Delo konservatvne sle je enako negatvn sprememb potencalne energje. Za nekonservatvne al dspatvne sle (sla upora, trenja ) velja, da je njhovo delo odvsno od zbre pot od začetne do končne točke, n ga ne moremo zapsat kot razlko potencalnh energj. p 3

32 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam 4.4. Izrek o ohrantv energje Izrek o sprememb knetčne energje prav, da je W k enaka delu vseh sl, k učnkujejo na telo: Wk = Wk Wk = A Delo A razdelmo na delo konservatvnh n delo nekonservatvnh sl: W = A = A + A = W + A k kons. nekons. p nekons. W + W = k p A nekons. Vsota spremembe knetčne n potencalne energje je enaka delu nekonservatvnh sl, k učnkujejo na telo. Glede na razlčne konservatvne sle (gravtacjska sla, elastčna sla vzmet, elektrčna sla, ) ločmo razlčne potencalne energje (gravtacjska, prožnostna, elektrčna ) Wk + Wp + Wpr + We = Anekons. Pr tem je W p sprememba gravtacjske potencalne energje, W pr sprememba prožnostne energje n W e sprememba elektrčne potencalne energje. Če je delo nekonservatvnh sl enako nč, se vsota knetčne n potencalne energje ohranja: W + W =, k p W k + W p = konstanta. 4.5 Gravtacjska potencalna energja Zapšmo delo gravtacjske sle (teže) pr premku telesa z točke, določene z radjvektorjem r, v točko, določeno z radjvektorjem r. Delo je pr tem neodvsno od pot. Teža, k kaže vedno prot sredšču, oprav delo le, če se telo premka v radaln smer. Za premke pravokotno na radj je njeno delo enako nč. Podobno velja tud za druge sle, k kažejo prot st točk n katerh velkost je odvsna le od oddaljenost od te točke. Takšnm slam pravmo centralne sle. r r W p W p = A = F ds = F dr = mgr dr r W p W p = mg r r r r r 3

33 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam Postavmo točko na površje Zemlje (r =r ) n se dogovormo, da je tam potencalna energja enaka nč (W p =). Potencalno energjo za poljubno točko r>r lahko zapšemo kot: W p ( r) = mg r r r. Prmer : Kolkšno htrost mora met telo, da ubež gravtacjskemu polju Zemlje (. kozmčna htrost v )? W p ( mv + r ) + Wk ( r ) = Wp ( ) + Wk ( ) r = mg + r v = g r, km / s = Prmer : Kako se spremnja potencalna energja v blžn zemeljskega površja (h/r <<)? r ( r) = mg r = mg r = mg r r r r ( r) = mg ( r r = mg h r r W p W p ) Če upoštevamo, da je teža na površju Zemlje = mg, dobmo enak rezultat: W p W p = A h = h mg dh Postavmo točko na površje zemlje (h =) n se dogovormo, da je tam potencalna energja enaka nč (W p =). Potencalno energjo za poljubno všno h lahko zapšemo kot W p = mg h F g r 33

34 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam 4.6 Prožnostna energja Delo vseh sl (zunanjh n notranjh) na delh telesa je enako sprememb knetčne energje telesa, pr čemer pa delo notranjh sl med del telesa v splošnem n enako nč ( A ). n Za počasno stskanje prožnega telesa velja: W = A = A + A = k n z A = A n z Izračunajmo delo, k ga oprav notranja sla med stskanjem vzmet: x x kx An = F dx = k x dx = ( x x kx ) Delo zunanje sle je torej: kx kx Az = An = = Wpr, kjer smo defnral prožnostno energjo kot: kx W pr = Opravljeno delo je neodvsno od načna deformacje vzmet. Sla vzmet je torej konservatvna sla, katere delo lahko obravnavamo kot spremembo potencalne energje telesa zarad deformranja vzmet (prožnostne energje). 4.7 Elektrčna potencalna energja Elektrčno potencalno energjo vpeljemo s pomočjo dela elektrčne sle, k deluje na naboj. Če elektrčna sla ob premkanju naboja na nek pot oprav delo, se elektrčna potencalna energja naboja zmanjša. Sprememba elektrčne potencalne energje je podana z delom elektrčne sle. A = F ds = eu = W e pe = W W pe, pe, Elektrčna potencalna energja je sorazmerna z nabojem telesa. Odvsna je tud od položaja naboja v elektrčnem polju, kar podamo s potencalom: W pe = ev. Elektrčn potencal se v smer jakost elektrčnega polja (slnc) zmanjšuje, v nasprotn smer pa povečuje. Razlka potencalov med dvema točkama je enaka napetost. 34

35 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam 4.8 Moč Moč pove, kolko dela telo prejme al odda v časovn enot. da P = A P( t) dt = Pt dt = t Povprečna moč: Moč pr premem gbanju: Moč pr vrtenju: = t P P( t) t dt da ds P = = F = F v dt dt da dϕ P = = M = M ω dt dt 35

36 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam Naloge. Telo z maso m=3 kg je gbljvo po vodoravn podlag. Koefcent trenja med telesom n podlago je k t =,4. V trenutku, ko se telo gblje s htrostjo v = m/s, ga začnemo potskat v smer gbanja s konstantno slo F= N. a) Kolkšno htrost ma telo 3 s potem, ko smo ga začel pospeševat? (, m/s) b) Kolko dela opravmo v prvh 3 s pospeševanja? (367 J). Na vodoravnem tru mrujeta dva vozčka z masama 3 kg n 5 kg. Med vozčka damo vjačno vzmet, k jo s slo 5 N stsnemo za cm ter jo povežemo z vrvco. S kolkšnma htrostma se začneta gbat vozčka, ko vrvco prežgemo? 3. Na vodoravnem tru stojta dva vozčka, med katerma je stsnjena vzmet. Vzmet se sprož n odrne vozčka. Pr tem prv vozček, k ma maso kg, oprav m dolgo pot, ko se zarad trenja ustav. Kolkšno pot oprav drug vozček z maso 3 kg? Koefcent trenja je za oba vozčka enak. (5,3 m) 4. Telo z maso kg pornemo po ravnem, tako da prejme J knetčne energje. Ko prdrs po m pot do začetka klanca, je ma le še 8 J. Kolkšna je njegova knetčna energja pr dnu klanca z naklonom 3 o m pod vrhom klanca? Kako daleč še drs po ravnn? Koefcent trenja je povsod enak. m=kg, W k = J, s =m, W k = 8J, h=m, ϕ=3 o A t = W k W k = 8J J = J A t = kmg s k = A t / mg s =,5 A t3 = W k3 (W k + W p ) A t3 = kmg s 3 cosϕ= kmg h ctgϕ (s 3 = h/snϕ) W k3 = W k + W p + A t3 = W k + mgh k mg h ctgϕ = W k + mgh ( k ctgϕ) = 8,7J A t34 = W k4 W k3 kmgs 34 = W k3 s 34 = W k3 / kmg = 8,3m 5. Z mosta v všn m nad reko prpravljamo elastčno vrv za bungee jumpng. Kako dolga naj bo vrv, da se skakalec z maso 8 kg ne bo namočl v rek? Za vrv upoštevaj konstanto prožnost N/m neglede na dolžno. 36

37 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam 6. Krogla z maso kg vs na m dolg vrvc. Kroglo odklonmo z ravnovesne lege n jo spustmo, da zanha. Za kolkšen kot smemo odklont vrvco od navpčnce, da se vrvca pr nhanju ne pretrga, če vrvca prenese največ 4 N? 7. Z vrha m vsokega klanca z naklonom 3 o spustmo klado z maso 3 kg. Ko prdrs do vznožja klanca, se zalet v odbjač n se prožno odbje. Kako vsoko se klada vzpne na klancu po odboju? Za kolko se v odbjaču stsne vzmet s konstanto 4 N/cm? Koefcent trenja je,. 8. Telo z maso kg se nahaja m pred vznožjem klanca ob vzmet, k je stsnjena za cm. Koefcent vzmet je 8 kn/m. Ko se vzmet sprož, odrne telo po vodoravnh tleh. Telo drs po vodoravnh tleh tako, da ma ob vznožju klanca z naklonom 3 še J knetčne energje. a) Kolkšen je koefcent trenja med telesom n podlago? (,) b) Kolkšno pot oprav telo po klancu navzgor, preden se ustav? Predpostav, da je koefcent trenja povsod enak. (,5 m) 9. Značlnost novh športnh lokov je, da sla, s katero napenjamo tetvo, narašča do določene vrednost, za nadaljnje napenjanje pa ostane stalna, kar omogoča lažje dodatno napenjanje n s tem povečanje zstreltvene htrost puščce. Iz poenostavljenega grafa sle v odvsnost od potega tetve za dolžno potega 4 cm zračunaj htrost puščce ob zstreltv. Masa puščce je g.. Fant napne fračo za cm n ustrel navpčno navzgor. Kamen prlet nazaj na tla po 6 s. Za kolko mora napet fračo, da zadene tarčo, k je oddaljena 3 m. V tarčo strelja pod kotom 45. (,7 cm) 37

38 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam. Dve kroglc (m =,5 kg, m = kg) sta obešen druga zraven druge na enako dolgh vrvcah. Lažjo odklonmo tako, da se dvgne za cm n spustmo, da trč s težjo v ravnovesn leg. Kako vsoko se dvgneta kroglc po popolnoma prožnem trku? Trk: ohrantev gbalne kolčne n knetčne energje: m v = m v + m v m v / = m v / + m v / v je htrost mase m pred trkom, v, v htrost po trku v ravnovesn leg. Iz obeh enačb sled: v = v (m m )/ (m + m ) < Prva kroglca se odbje nazaj. v = v m / (m + m ) Iz ohrantve energje pred trkom m g h = m v / n ohrantve energje po trku m g h = m v / ter m g h = m v / sled: h = h [(m m ) / (m + m )] =, cm h = h [(m ) / (m + m )] = 4,4 cm. Avto z maso kg začne pospeševat s stalno močjo 75 kw. V kolkšnem času doseže htrost km/h? (5, s) Kolkšno pot prevoz v tem času? 3. Vozlo z maso 3 kg poganja elektromotor s stalno močjo 6 kw. V kolkšnem času doseže vozlo htrost 5 m/s, če je pred pospeševanjem melo htrost m/s? V kolkšnem času se mu htrost poveča še za nadaljnjh 5 m/s? (3, s; 4,4 s) 4. Letalo z maso 4 kg potrebuje za vzlet na koncu m dolge pste htrost 4 m/s. Kolkšno moč potrebuje za vzlet, če enakomerno pospešuje? Koefcent trenja je,. (,3 MW) 5. V točk A je knetčna energja smučarja W k,a = 9 J, v točk B pa W k,b =5 J. Masa smučarja je m=8 kg. Odsek med točko A n B je s = m. Všna klanca je h= m, kot ϕ=3. Trenje med smučm n podlago je povsod enako. a) Kolkšno je delo sle trenja na odseku med A n B? (4 J) b) Kolkšno je delo sle trenja na odseku med B n C? (3856 J) c) Kolkšna je knetčna energja smučarja v točk C? (684 J) d) Na kolkšn razdalj od točke C se bo ustavl smučar? (7 m) 38

39 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam 5 Nhanje 5. Nedušeno nhanje vjačne vzmet Telo z maso m na gladk podlag je z vjačno vzmetjo s prožnostno konstanto k prtrjeno na navpčno steno. Če telo zmaknemo vodoravno z ravnovesnega položaja za x (odmk), nanj deluje sla vzmet v nasprotn smer odmka: F = ma = kx. Po preuredtv enačbe dobmo d x + ω x = ; dt k ω =, m kjer je ω krožna frekvenca (nedušenega) nhanja. Nhajn čas nhala: T π k = = π. ω m Odmk nhala z ravnovesne lege: A največj odmk (ampltuda) x ( t) = Asn( ωt δ ) x ( t ) = A sn( ω t ), če δ = ; x ( t ) = A cos( ω t ), če δ = π / Htrost nhala (čeδ = ): dx v( t) = = ωacos( ωt) ; v = ωa - največja htrost nhala (v ravnovesn leg) dt Pospešek nhala (čeδ = ): dv a( t) = = ω A sn( ωt) ; a = ω A - največj pospešek nhala (v skrajn leg) dt t Zveza med pospeškom n odmkom: a( t) = ω Asn( ω t) = ω x( ) mv kx ka mv Energja nhala + = = = konst. 39

40 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam 5. Dušeno nhanje Če na nhajoče telo deluje še sla upora, sorazmerna s htrostjo telesa, lahko Newtonov zakon zapšemo kot F = ma = kx rv. Po preuredtv dobmo d x dx m + r + kx = ; dt dt d x dx + b + ω x = ; dt dt k ω =, m kjer je b koefcent dušenja. Odmk nhala z ravnovesne lege Nhajn čas nhala bt x = A e cos( ω ), ω = ω b π T = ω t 4

41 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam Naloge. Nhalo začne dušeno nhat z začetno ampltudo s =3 cm. Po t = s je ampltuda nhanja s = cm. Po kolkšnem času bo ampltuda nhanja enaka s =,3 cm? βt s s = = se β ln t s s = s e βt t s = ln β s = t s ln s s ln s = s.. Nhalo odmaknemo na začetno ampltudo 5 cm n spustmo. Po prvem nhaju, k traja s, se ampltuda zmanjša na 4,7 cm. a) Kolkšen je koefcent dušenja za nhalo? (,6 s - ) b) S kolkšnm nhajnm časom b nhalo nhalo, če ne b blo dušeno? (,99 s s) c) Kolkšna je ampltuda nhanja po 4 nhajh? (3,9 cm) d) Kolkšno je razmerje energj nhala po prvem nhaju n energje na začetku? (W /W =,88) 3. Klado z maso m=,5 kg obesmo na vzmet n jo zmaknemo z ravnovesne lege za A =4,5 cm. Ko klado spustmo, začne nhat, kot kaže graf odmka v odvsnost od časa. a) Kolkšen je nhajn čas nhala? (,5 s) b) Kolkšen je faktor dušenja? (,5 s - ) c) Kolkšno je razmerje energj (W /W ), če je W energja nhala na začetku n W energja nhala po dveh nhajh? (,5) d) Določ koefcent vzmet! (8 N/m) odmk x (cm) 5, 4,5 4, 3,5 3,,5,,5,,5, -,5 -, -,5 -, -,5-3, -3,5,,5,5,75,,5,5,75, čas t (s) 4

42 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam 4. Utež z maso m nha na vzmet. Kolkšno dodatno utež moramo obest na vzmet, da bo nhajn čas dvakrat tolkšen kot na začetku? (3m) 5. Utež z maso g obesmo na vjačn vzmet s konstanto N/cm na strop. Utež še dodatno prtrdmo na strop z elastčno vrvco vzdolž os vzmet. V ravnovesn leg je vrvca nenapeta n dolga cm, ma presek mm n prožnostn modul 8 MPa. S kolkšnm nhajnm časom nha utež? T = + ( T T ) T = π m k T = π m k + k ES k = l T = π m + =,6 s k ES + kl 6. Na lahko vzmet obesmo posodo z vodo n jo zanhamo v navpčn smer. Posoda z vodo v začetku nha z nhajnm časom t =4 s. Na dnu posode je luknja, z katere zteka voda tako, da je po času t= mn nhajn čas enak t = s. Kolko gramov vode na sekundo v povprečju zteče z posode, če je skupna masa posode n vode v začetku m = kg? (6,5 g/s) 4

43 Dnamka Študjsko gradvo z zbranm nalogam Vr: Naloge so zbrane n prrejene z števlnh vrov. V njh lahko študentje najdejo še mnogo drugh prmerov. V. Kumperščak: Izptne naloge z fzke z reštvam, VTŠ, Marbor 976. R. Kladnk, H. Šolnc: Zbrka fzkalnh nalog z reštvam, DZS, Ljubljana 988. L. Črepnšek: Zbrka fzkalnh problemov.. del. - Marbor: Tehnška fakulteta, 986. L. Črepnšek: Zbrka fzkalnh problemov.. del. - Marbor: Tehnška fakulteta, 99. J. Padežnk Gomlšek, L. Črepnšek: Naloge z tehnške fzke, zbrka nalog, Unverza v Marboru, Fakulteta za strojnštvo. A. Stanovnk: Fzka I, Zapsk predavanj, Ljubljana, Fakulteta za elektrotehnko, 9. D. Hollday, R. Resnck, J. Walker: Fundamentals of Physcs, John Wley and Sons, New York, 997. A. Gambattsta, B. McCarthy Rchardson, R. C. Rchardson, College Physcs, McGraw-Hll, New York, 7. 43