Nicoleta Breaz, Marian Crăciun, Păstorel Gaşpar, Maria Miroiu, Iuliana Paraschiv-Munteanu MODELAREA MATEMATICĂ PRIN MATLAB

Transcript

1 Niclet Bez, Min Căciun, Păstel Gşp, Mi Miiu, Iulin Pschiv-Muntenu MODELAREA MATEMATICĂ PRIN MATLAB

2 Cupins Pefţă 7 Cpitlul I - Clcul simlic în Mtl 0. Definie viilel şi funcţiil simlice 0. Sustituţii 4.3 Repezente simlică numeel 7.4 Mtice simlice 8.5 Repezente gfică funcţiil.6 Deive funcţiil simlice 5.7 Limite de funcţii simlice 7.8 Intege funcţiil simlice 9.8. Clculul integlel nedefinite 9.8. Clculul integlel definite Clculul integlel ce depind de un pmetu 3.9 Clculul sumel simlice 3.0 Dezvlte în seie Tyl 33. Rezlve simlică ecuţiil şi sistemel lgeice 34. Rezlve simlică ecuţiil şi sistemel difeenţile dine 38.3 Eeciţii ppuse spe ezlve 40 Cpitlul II - Repezentăi gfice în Mtl 44. Repezente gfică D 44.. Repezente gfică funcţiil ele de viilă elă 47.. Repezente în pln cuel dte pin ecuţii pmetice 5..3 Repezente în pln cuel dte pin ecuţii ple 5..4 Repezente în pln cuel dte pin ecuţii implicite 54. Repezente gfică 3D 55.. Repezente gfică funcţiil ele de duă viile ele 55.. Repezente în spţiu cuel dte pin ecuţii pmetice Pimitive gfice pentu supfeţe Repezente în spţiu cuel dte pin ecuţii pmetice 6..5 Repezente în spţiu cuel şi supfeţel dte implicit Repezente în sistemele de cdnte sfeice şi cilindice 64.3 Alte tipui de epezentăi gfice 65.4 Utilize instumentel de desene pentu edite gficel 68.5 Mnipule iectel gfice în Mtl 70.6 Eeciţii ppuse spe ezlve 73 5

3 Cpitlul III - Mdele sttistice Plem egesiei Mdelul de egesie liniă simplă Definie mdelului lini simplu Veifice eistenţei unei celţii şi identifice mdelului Ajuste mdelului pin detemine un estimti i pmetil săi Iptezele fundmentle-guss-mkv. Vlide şi estime mdelului Utilize mdelului pentu clcule de pgnză Funcţii specifice şi plicţii pivind mdelul lini simplu în Mtl Teme de lt în Mtl Alte mdele de egesie liniă Mdelul plinmil Alte mdele de egesie simplă neliniă Anliz cmptivă mdelel de egesie Funcţii şi plicţii pivind lte mdele de egesie simplă în Mtl Teme de lt în Mtl Mdele de egesie multiplă Fundmente mdelului de egesie multiplă Funcţii şi plicţii pivind mdelul de egesie multiplă în Mtl Teme de lt în Mtl 6 Cpitlul IV - Pcese stchstice stţine plicte în pcese semnlel 7 4. Semnle lete şi pcese stchstice Tipui de pcese stchstice Ccteistici le pcesel lete 8 4. Pcese stţine cu pmetu discet de timp Pcese lete l ieşie dint-un filtu lini 4.4 Intepete desităţii spectle Filte Wiene Netezie Wiene Pedicţie Eemplu cncet sintetize vcii Eeciţii şi pleme ppuse spe ezlve 4 Cpitlul V - Pleme de mecnică ezlvte în Mtl Clcul vectil Pleme de cinemtică Mişce în câmp centl Mişce pe cuă 80 Biligfie 93 6

4 Cpitlul Clcul simlic în MATLAB Acest cpitl e c scp pezente nţiunil despe clcul simlic în MATLAB. În clcule ingineeşti se utilizeză fecvent epesii simlice cel puţin în clculele numeice cu mtice şi de nliză numeică. MATLAB flseşte Symlic Mth Tl ce este un gup de instumente mtemtice simlice flsit pentu cee şi pee cu epesii mtemtice simlice. Acest cnţine sute de funcţii simlice MATLAB utilizte pentu deivilitte, intege, simplificăi, tnsfmăi, ezlvăi de ecuţii, etc.. Definie viilel şi funcţiil simlice Clculul simlic peeză cu iecte simlice: viile, mtice şi epesii simlice. Viilele simlice se definesc în duă felui: cu instucţiune sym se pte defini viilă simlică, espectiv cu instucţiune syms se pt defini mi multe viile simlice; ice viilă ce pimeşte c vle epesie simlică (pin flsie petului ) devine viilă simlică. Instucţiune sym e fm syms v unde v este un nume de viilă simlică. Instucţiune syms e fm syms v v v3. unde v, v, v3, sunt nume de viile simlice. Eemplul.. Să se definescă viilele simlice, şi c cu instucţiune syms şi să se iniţilizeze viil cu epesi simlică c. Sluţie: >> syms c %,,c sunt viile simlice >> c c Să cnsideăm în cntinue instucţiune >> d c %,c v.simlice > m v.simlic d c Astfel d este de semene viilă simlică, deece pimit c vle epesie simlică. 0

5 Epesiile simlice se definesc l fel c epesiile itmetice din Mtl, în ce viilele numeice sunt înlcuite cu viile simlice. Se includ ici şi vectii şi mticele cu elemente epesii simlice, sup că se pt efectu clcule simlice simile clculel numeice din Mtl. Epesiile simlice u c temeni viile simlice şi funcţii simlice, i c peti itmetici:, -, *, /, \, ^. Opetii, -, *, /, sunt cei ptu peti itmetici cunscuţi. Opeţi \ se defineşte c -. Opetul ^ este idice l putee (epesi ^ este ). Piităţile petil itmetici sunt cele cunscute. Opetii şi uni u ce mi me piitte, umţi de petii *, /, \, ^, i petii şi ini u ce mi mică piitte. Opetii uni sunt scitivi l dept, petii ini sunt scitivi este l stâng. În cdul epesiil itmetice se pt utiliz pnteze tunde, ( şi ), pentu mdific piităţile petil. Funcţiile mtemtice uzule ce se pt utiliz în epesiile simlice sunt cele de mi js: sin sin sqt ep cs cs s lg tn tn lg0 Eistă încă un md de ce epesii simlice flsind funcţi sym. Acestă funcţie pte să mi iă fm viil_simlic sym('epesie_simlic') şi e c ezultt epesie simlică ce pte fi tiuită unei viile simlice. Remintim că epesie simlică e c temeni viile simlice, definite ntei. Eemplul.. Să se definescă funcţi simlică liniă f() c. Sluţie: O pimă mdlitte de defini funcţi este de defini viilele simlice,, şi f cu instucţiune syms şi pi tiuim lui f c vle epesi simlică: >> syms f >> f * ^ * c f *^ * c Al dile md defineşte epesi simlică cu funcţi sym: >> syms f >> f sym (' * ^ * c '); În unele czui teuie să ceăm epesii simlice în ce intevin cnstnte. Acest lucu se fce cu funcţi sym. De eemplu, pentu ce funcţie simlică cnstntă ce e vle 3 vm scie su >> f sym('3'); >> f sym(3);

6 Remintim că instucţiune >> f 3; ceză viilă numeică ce e vle 3. Eemplul.3. Să se definescă viilele simlice, şi şi plinmele simlice f() 3 şi g() şi să se clculeze pdusul l, f() g(). Sluţie: Secvenţ de cd este umăte >> syms f g >> f * 3 f *3 >> g g >> f * g ns (*3)*() Eemplul.4. Să se definescă viil simlică şi funcţi simlică f ( ). Sluţie: >> syms f >> f sqt(^ ) f sqt(^ ) Definie de viile simlice ele şi cmplee O viilă cmpleă este peeche dntă de duă viile ele. Fie şi y duă viile ele. O viilă cmpleă este z i y, unde este pte elă, y este pte imgină viilei z, i i. Pentu defini viilă cmpleă teuie să definim mi întâi duă viile simlice ele, cespunzând păţii ele şi celei imgine viilei cmplee, pi se utilizeză fmul de mi sus în ce viil i este pedefinită. Pentu cest se utilizeză instucţiune syms cu pţiune el su funcţi sym cu ceeşi pţiune: cu instucţiune syms >> syms y el >> z i * y z i * y

7 cu funcţi sym >> sym('','el') >> y sym('y','el') y y >> z i * y z i*y În epesiile cu numee cmplee se pt utiliz funcţiile mtemtice stndd: el, img, cnj, s, etc. Eemplul.5. Să se definescă viilă simlică cmpleă şi să se clculeze cnjugt, pte elă şi mdulul. Sluţie: >> syms y >> z i * y; >> cnj(z) ns -i*y >> el(z) ns >> s(z) ns (^y^)^(/) Dcă se deşte ştegee ppietăţii el unei viile decltă ntei cu instucţiune syms su funcţi sym, se pte instucţiune syms cu pţiune unel. Eemplul.6. Să se ştegă ppiette el unei viilei decltă c fiind elă. Sluţie: >> sym el;... >> sym unel; 3

8 Cee de funcţii stcte În multe czui este vntjs să se ceeze funcţie nedetemintă (stctă) ce cţineză sup iectel simlice şi pi pte fi utiliztă în epesii. Acest lucu se pte fce cu instucţiune >> f sym('f()') f f() Viil simlică f pte fi utiliztă pi în epesii simlice. De eemplu, pentu ce epesi simlică se pte scie f ( h) f ( ) h >> syms h >> f sym('f()'); >> df (sus(f,, h) - f)/h df (f(h ) - f())/h. Sustituţii Este psiil să tiuim vli numeice viilel simlice şi, în cest cz, epesiile simlice sunt evlute l vle numeică cespunzăte. Aceste sustituţii le viilel simlice cu vli numeice se fc cu funcţi sus cu fmele sus(epesie_simlic, viilă_simlic, vle_numeică) în czul când sustituim singuă viilă, şi sus(epesie_simlic, {viile_simlice}, {vli_numeice}) în czul când sustituim mi multe viile. Eemplul.7. Fie funcţi simlică f() 5 4. Să se sustituie viil simlică întâi cu vle 4, pi cu vle. Sluţie: >> syms f >> f ^ - 5 * 4 f ^ - 5* 4 >> sus(f,, 4) ns 0 >> sus(f,, -) ns 8 4

9 Eemplul.8. Fie funcţi de duă viile f(, y) y. Să se sustituie întâi viil simlică cu vle 3, pi viil simlică y cu vle şi în finl viil cu vle şi viil y cu. Sluţie: >> syms y f >> f ^ * y f ^ y* >> sus(f,, 3) ns 3*y 9 >> sus(f, y, ) ns ^ * >> sus(f, {, y}, {-, }) ns Remintim că, list cu viilele simlice ce v fi sustituite şi list cu vli sunt încluse înte clde, { }. În czul în ce se sustituie singuă viilă simlică cu vle, funcţi sus e şi umăte fmă simplă sus(epesie_simlic, vle_numeic) Dcă epesi simlică depinde de mi mult de viilă şi viil pentu ce se fce sustituţi nu este specifictă, sustituţi se fce pentu viil simlică implicită, ce se lege după umăte egulă: se lege lite ce mi ppită de din lfet; dcă eistă duă litee egl depătte de, se lege ultim din lfet din cele duă. Eemplul.9. Fie epesi simlică f(, t) t sin( t). Să se sustituie viil simlică cu vle 3. Sluţie: >> syms t >> f t^ sin( t); f t^ sin(t ) >> sus(f, 3) ns t^ sin(3t) După cum se sevă, se sustituie viil simlică cu vle 3, lesă după egul nteiă. Viilele simlice dint- epesie se pt detemin cu funcţi findsym. 5

10 Eemplul.0. Să se detemine viilele simlice din epesiile simlice: f() cs (ωt ψ), espectiv g() 3 5. Sluţie: >> syms t meg psi f g >> f cs(meg * t psi) f cs(psi meg*t) >> g ^ 3* 5 g ^ - 3* 5 >> findsym(f) ns meg, psi, t >> findsym(g) ns Viil simlică implicită dint- epesie f se pte detemin cu funcţi findsym(f, ) Eemplul.. Să se detemine viil simlică implictă din epesi simlică t cs(t). Sluţie: >> syms t >> f t^ * cs( t); >> findsym(f, ) ns Funcţiile de mi js plică divese identităţi sup epesiil simlice. Funcţi epnd cu fm epnd(f) plică identităţile din telul. sup plinmel, funcţiil epnenţile şi lgitmice, funcţiil tignmetice diecte şi invese. f *( y) *( -y) ^(y) ^(-y) ep( ) ep(-) lg(*y) lg(/y) lg(^y) sin( ) sin( * sin()) epnd(f) * * y * * y ^ * ^y ^ / ^y ep() * ep() ep()/ep() lg() lg(y) lg() lg(y) y*lg() sin()*cs() cs()*sin() **(-^)^(/) Telul.. Epnde epesiil simlice. 6

11 l epnde lgitmil gumentele teuie să fie pzitive; funcţi epnd pte epnd tte funcţiile tignmetice diecte, sin(), cs(), tn(); funcţi epnd pte epnd tte funcţiile tignmetice invese, sin(k*sin()), cs(k*cs()), tn(k*tn()), etc., unde k este un numă ntul. Funcţi simplify cu fm simplify(f) plică identităţile din telul. sup epesiil simlice. f simplify(f) sin()^ cs()^ ^ * ^y ^(y) ^ / ^y ^(-y) ep() * ep() ep( ) ep() / ep() ep( ) ep(lg()) lg(ep() Telul.. Simplifice epesiil simlice..3 Repezente simlică numeel Numeele se epezintă simlic în umătele felui: în vigulă milă, su fm unei mntise înmulţită cu l un numit epnent; mntis cnţine 3 cife hezecimle, c numă ţinl, c pt duă numee întegi, c numă ţinl plus pecizi eltivă; pecizi eltivă este difeenţ înte vle număului ţinl şi vle lui epezenttă în vigulă milă, şi este epimtă în funcţie de eps, pecizi epezentăii numeel în vigulă milă, c numă zeciml cu un numă specifict de cife semnifictive; implicit, număul de cife este 3, d el pte fi specifict cu funcţi digits după cum se tă mi js. Cnvesi înte numă şi epezente s simlică se fce cu funcţi sym cu un pmetu ce specifică tipul epezentăii simlice după cum se tă în telul.3. În telul.3, în epesi funcţiei sym, este viilă Mtl. Repezente simlică în vigulă milă c numă ţinl c numă ţinl plus pecizi eltivă c numă zeciml cu un numă specifict de cife semnifictive Telul.3. Repezente simlică numeel. Funcţi sym() sym(,'f') sym(,'') sym(,'e') sym(,'d') Opeţiile cu numee ţinle se fc după egulile din itmetică. 7

12 3 Eemplul.. Fie epesi. Să se ducă l celşi numit şi să se 8 fcă simplificăile necese flsind epesii simlice. Sluţie: sym()/sym() sym(3)/sym(8) ns 7/8 Eemplul.3. Să se cnvetescă număul 0. înt-un numă simlic în tte epezentăile psiile. Sluţie: >> sym(0., 'f') ns (^ *^-55) >> sym(0.,'') ns /5 >> sym(0.,'e') ns /5 eps/0 >> sym(0.,'d') ns >> digits(0) %0 cife dup vigul >> sym(0.,'d') ns..4 Mtice simlice Mticele simlice u c elemente iecte simlice, cnstnte, viile su epesii simlice. Opeţiile cu mtice se efectueză cu petii, -, *, /, \, ^,.*,./,.\ şi.^. Semnificţi petil, -, * este ce de dune, scădee şi înmulţie mticel cu dimensiuni cespunzăte. Semnificţi celllţi peti este ce telul.4. Opet Eemplu Semnificţie / / * inv() \ \ inv() * ^ ^.* c.* c ij ij * ij./ c./ c ij ij / ij.\ c.\ c ij ij * ij.^ c.^ c ij ij ^ ij Telul.4. Opeţii cu mtice simlice. 8

13 Elementele mticel simlice se deseză cu indici în celşi fel c elementele mticel numeice. Putem defini mtice simlice în duă felui: - mtice cu elemente simlice; - să cnvetim mtice numeice în mtice simlice cu funcţi sym. Eemplul.4. Să se definescă mtice cu elemente simlice se clculeze deteminntul şi inves cestei. Sluţie: >> syms c d >> M [ ; c d] M [, ] [ c, d] c d şi să >> det(m) ns *d-*c >> inv(m) ns [ d/(*d-*c), -/(*d-*c)] [ -c/(*d-*c), /(*d-*c)] >> R M * inv(m) R [ *d/(*d-*c)-*c/(*d-*c), 0] [ 0, *d/(*d-*c)-*c/(*d-*c)] >> R inv(m) * M R [ *d/(*d-*c)-*c/(*d-*c), 0] [ 0, *d/(*d-*c)-*c/(*d-*c)] Pentu fiş epesie simlică înt-un fmt ppit de cel din mtemtică se pte utiliz funcţi petty l căei pmetu este chi epesi simlică. >> petty(r) [ d c ] [ ] [ d - c d - c ] [ ] [ d c ] [ ] [ d - c d - c ] Se pt simplific epesiile de mi sus cu funcţi simplify şi se ţine mtice unitte. >> simplify(m*inv(m)) ns [, 0] [ 0, ] 9

14 Eemplul.5. Să se definescă mticele simlice să se clculeze sum şi pdusul l. Sluţie: >> syms c d >> A [ 0; c] A [, 0] [, c] >> B [- ; -c d] B [ -, ] [ -c, d] >> R AB R [ 0, ] [ -c, cd] >> R A*B R [ -^, *] [ -*-c^, ^c*d] 0 şi c c d şi >> petty(r) %fise int- fm mtemtic [ ] [ - ] [ ] [ ] [- - c c d ] Eemplul.6. Să se definescă mtice simlică cu elemente cmplee i * c şi să se clculeze inves şi cnjugt cestei. c i * Sluţie: >> syms c el >> A [i* c; -c -i*] A [ i*, c] [ -c, -i*] >> det(a) ns ^^c^ >> cnj(a) ns [ -i*, c] [ -c, i*] 0

15 Eemplul.7. Să se cnsidee mtice Hilet de dimensiune tei şi să se cnvetescă cestă mtice înt- mtice simlică (clculele cu numee simlice ţinle se fc cu pecizie infinită) şi să să se clculeze deteminntul şi inves cestei. Sluţie: >> H hil(3) H >> H sym(h) H [, /, /3] [ /, /3, /4] [ /3, /4, /5] >> det(h) ns /60 >> inv(h) ns [ 9, -36, 30] [ -36, 9, -80] [ 30, -80, 80].5 Repezente gfică funcţiil Repezente gfică funcţiil se fce cu funcţi ezplt. Repezente gfică unei funcţii de viilă f() se fce cu funcţi ezplt(f, [min, m]) unde min şi m sunt limitele dmeniului. Dcă limitele sunt mise, dmeniul de epezente este -π < < π. Sluţie: Eemplul.8. Să se epezinte gfic funcţi >> syms f >> f (^-)/(); >> ezplt(f), gid f ( ) Repezente gfică funcţiei este ce din Figu..

16 Figu.. Repezente gfică unei funcţii. Cuele plne definite pmetic pin fmulele simlice (t) şi y y(t) se epezintă gfic cu funcţi ezplt(, y, [tmin, tm]) unde tmin, tm sunt limitele dmeniului de epezente. Dcă limitele sunt mise, dmeniul de epezente este 0 < t < π. Eemplul.9. Să se epezinte gfic cu definită pmetic pin ecuţiile pmetice: 5 sin(3t) y cs(3t) Sluţie: >> syms y t >> 5 * sin(3 * t); >> y * cs(3 * t); >> ezplt(, y), gid

17 Figu.. Gficul unei cue definită pmetic. Cu este epezenttă în Figu.. Viil independentă t i vli în intevlul 0 < t < π. Cuele plne definite implicit de elţi f(, y) 0 se epezintă gfic cu funcţi ezplt(f, [min, m, ymin, ym]) unde min, m, ymin, ym sunt limitele dmeniului de epezente. Funcţi ezplt(f, [min, m]) epezintă gfic funcţi f(, y) 0 pe dmeniul min < < m, min < y < m. În czul în ce dmeniul nu este pecizt, funcţi ezplt(f) epezintă gfic funcţi f(, y) 0 pe dmeniul -π < < π, -π < y < π. 3

18 Eemplul.0. Să se epezinte gfic funcţi 3 3y 4 y 0. Sluţie: Secvenţ de cd Mtl este umăte >> syms y f >> f *^3 3*y^4 - y f *^3-3*y^4 y >> ezplt(f), gid Funcţi este epezenttă în figu.3. Figu.3. Repezente unei cuei implicite. Alte eemple de epezentăi gfice v fi pezentte în pgfele umăte. 4

19 .6 Deive funcţiil simlice Clculul deivtei simlice se fce cu funcţi diff, ce pte clcul deivtele funcţiil de un su mi multe viile, deivte de din su de din supei, etc. Funcţi e umătele fme: pentu clcul deivt de din întâi unei funcţii în pt cu viil diff(f, ) pentu clcul deivt de din n unei funcţii în pt cu viil diff(f,, n) pentu clcul deivt unei funcţii în pt cu viil implicită diff(f) viil implicită se lege după egul enunţtă l funcţi sus în pgful de mi sus efeit l sustituţii. Eemplul.. Să se detemine deivtele de dinul întâi le funcţiil: f () cs () f (, y) cs(y) y cs() f() e i. Sluţie: >> sym ; >> f cs( * ); >> diff(f) ns (-)*sin(*) Aşd, (cs)' sin(). >> syms y f >> f * cs(y) - y * cs(); >> diff(f, ), diff(f, y) ns cs(y) y*sin() ns - *sin(y) - cs() Se pte veific mtemtic că deivtele pţile le funcţiei f(, y) cs(y)-ycs() sunt: ( cs y ycs ) cs y ysin şi ( cs y ycs ) sin cs y >> syms f >> f ep(i * ); >> diff(f, ) ns i*ep(i*) 5

20 Deivt unei mtice simlice este mtice ţinută deivând fiece element. Eemplul.. Să se clculeze deivt mticei simlice A y 3 y Sluţie: >> syms y >> A [ ^ *y; * y^3] A [ ^, *y] [ *, y^3] >> diff(a) ns [ *, y] [, 0] Clculul icinului, D( f, g, h, K), se fce cu funcţi jcin cu fm D(, y, z, K) jcin([f; g; h; ], [, y,, ]) Pimul gument l funcţiei jcin este un vect clnă cu funcţiile f, g, h,, i l dile gument este un vect linie cu viilele, y, z, Eemplul.3. Fie tnsfme dtă de funcţiile: * cs t y * sin t Să se detemine în Mtl icinul tnsfmăii. Sluţie: >> syms y t >> * cs(t); >> y * sin(t); >> D jcin([; y], [, t]) D [ cs(t), -*sin(t)] [ sin(t), *cs(t)] Deteminntul tnsfmăii se clculeză şi se simplifică stfel >> det(d) ns cs(t)^**sin(t)^ >> simplify(det(d)) ns 6

21 .7 Limite de funcţii simlice Pentu clcul lim se pte flsi funcţi limit cu fm f ( ) limit(f,, ) unde este un numă, su inf pentu (infinit). Funcţi limit e şi fm limit(f, ) cz în ce viil după ce se clculeză limit este viil implicită ce se lege după egul enunţtă l funcţi sus în pgful efeit l sustituţii. Sluţie: Eemplul.4. Să se clculeze în Mtl limit >> syms n f g >> f *n^3 5*n^ - ; >> g 8*n^3 - *n 3; >> limit(f / g, n, inf) 3 n 5n lim. n 3 8n n 3 ns /4 Eemplul.5. Să se clculeze în Mtl limit ( ) ştie, cestă limită este e). Sluţie: >> syms >> limit(( n)^( / n), n, 0) lim 0 (după cum se Sluţie: ns ep() Eemplul.6. Să se clculeze în Mtl limit >> syms f >> f (ep())/^ f (ep() )/^ >> limit(f,, 0) ns Inf e lim 0. 7

22 Eemplul.7. Să se clculeze în Mtl limit mtemtică că cestă limită nu eistă). Sluţie: >> limit(cs(/),, 0) ns limit(cs(/), 0) lim cs 0 (ştim de l nliză Sluţie: Eemplul.8. Să se clculeze limit >> syms g h >> g (cs()-cs(h))/h; >> limit(g, h, 0) ns sin() cs( ) cs( h) lim h 0 h Clculul limitel ltele Pentu clcul limitele ltele lim f ( ) > şi lim f ( ) < în Mtl, se pte flsi funcţi limit cu fmele limit(f,,, 'ight') pentu limit l dept, şi limit(f,,, 'left') pentu limit l stâng. punctul. Sluţie: Eemplul.9. Să se clculeze limitele ltele le funcţiei >> syms f >> f / ( - ); >> limit(f,,, 'ight') ns Inf f ( ) în >> limit(f,,, 'left') ns -Inf 8

23 .8 Intege funcţiil simlice.8. Clculul integlel nedefinite Cnsideăm cum plem deteminăii integlei nedefinite funcţiei f, f ( ) d. În Mtl, intege simlică se efectueză cu funcţi int cu fmele: int(f, ) în ce specificăm viil de intege, su int(f) când viil de intege se lege după egul enunţtă în pgful efeit l sustitiţii. Eemplul.30. Să se clculeze în Mtl integl nedefinită funcţiei f() sin cs. Sluţie: >> syms f >> f * sin() * cs() f *cs() *sin() >> int(f, ) ns *sin() - *cs().8. Clculul integlel definite Clculul integlei definite funcţiei f f ( ) d se pte fce în Mtl cu funcţi su cu funcţi int(f,,, ) int(f,, ) În ultimul cz, viil de intege se lege după egul pezenttă în pgful efeit l sustitiţii. 9

24 Sluţie: 3 3 Eemplul.3. Să se clculeze integl definită ( ) d >> syms f >> f ^3 ; >> int(f,, 3) ns 8 Eemplul.3. Să se clculeze integl imppie e d ( căei vle ştim că este π ) şi să se epezinte gfic funcţi din inteiul integlei. Sluţie: >> syms f >> f ep(- ^ / ) f /ep(^/) >> ezplt(f), gid >> int(f,, -inf, inf) ns ^(/)*pi^(/) Repezente gfică funcţiei este ce din Figu.5. Figu.5. Gficul funcţiei f() ep( /). 30

25 .8.3 Clculul integlel ce depind de un pmetu Fie funcţie f ce depinde de un pmetu. Dcă pmetul nu e vle specifictă, el este pesupus c fiind un numă cmple. În czul în ce pmetul este un numă el su un numă pzitiv, el teuie declt c te în instucţiune syms. Eemplul.33. Să să clculeze integl imppie e d, unde >0. Sluţie: Cum >0 se pte demnst mtemtic că integl este cnvegentă. Se pte decl că pmetul este pzitiv flsind instucţiune syms: >> sym psitive; >> sym ; >> f ep(- * ^) f /ep(*^) >> R int(f,, -inf, inf) R /^(/)*pi^(/) >> petty(r) / pi / În czul în ce pmetul este cmple vm scie >> syms >> f ep(- * ^); >> R int(f,, -inf, inf) R piecewise([s(im(^(/))) < s(re(^(/))) nd Re(^(/)) <> 0, (pi^(/)*sign(re(^(/))))/^(/)], [s(re(^(/))) < s(im(^(/))) nd sign()^(/) in {i, -i}, Inf], [s(g()) < /*pi nd <> 0, pi^(/)/^(/)]) 3

26 .9 Clculul sumel simlice Pentu clculul simlic l sumei k n ( k) k m se pte flsi instucţiune Mtl symsum cu fmele su symsum(, v, m, n) symsum(, m, n) unde este temenul genel l sumei, i m şi n sunt limitele infeiă şi supeiă, ce pt fi numee întegi su, simlizt pin inf. În pim fmă viil după ce se fce însume este v, în du fmă se utilizeză viil simlică implicită, detemintă de funcţi findsym. n Eemplul.34. Să se clculeze în Mtl sum k. k Sluţie: >> syms k n >> s symsum(k^,, n) s (n*(*n )*(n ))/6 >> petty(s) n ( n ) (n ) n Eemplul.35. Să se clculeze în Mtl sumele, k k k, k k k Sluţie: >> syms k n >> symsum( / k,, n). eulegmm psi(n ) >> symsum( / k,, Inf) Inf >> symsum(/k^,, Inf) pi^/6 3

27 .0 Dezvlte în seie Tyl Fie funcţie f ce e deivte până l dinul n în pt cu. Funcţi Mtl tyl(f, n,, ) cnduce l ţinee dezvltăii funcţiei f în seie Tyl până l dinul n în juul punctului. n ( ( ) ) ( ) k k f k 0 k! Dcă gumentul lipseşte, funcţi tyl(f, n, ) cnduce l dezvlte în seie McLuin funcţiei funcţiei f până l dinul n (dezvlte în seie în juul punctului 0). Dcă gumentul lipseşte, viil independentă este detemintă de funcţi fyndsym. Dcă gumentul n lipseşte, n 6. Eemplul.36. Să se clculeze în Mtl dezvlte în seie Tyl funcţiei sinus în juul iginii. Sluţie: >> syms f >> f sin(); >> tyl(f, 5) ns -^3/6 Eemplul.37. Să se clculeze dezvlte în seie Tyl funcţiei e în juul iginii. Sluţie: >> syms f >> f ep(); >> T tyl(f, 5, 0) T ^4/4 ^3/6 ^/ >> petty(t) Eemplul.38. Să se clculeze dezvlte în seie Tyl funcţiei e în juul punctului. Sluţie: >> syms f >> f ep(); >> T tyl(f, 3, ) 33

28 T ep() ep()*( - ) (ep()*( - )^)/ >> petty(t) ep() ( - ) ep() ep() ( - ) Rezlve simlică ecuţiil lgeice Fie e viilă simlică ce e c vle epesie lgeică simlică. Rezlve ecuţiei lgeice e 0 se fce cu funcţi slve ce pte lu umătele fme slve (e, ) când se ezlvă ecuţi după viil simlică şi slve(e) când epesi simlică e e singuă viilă, su ecuţi se ezlvă după viil simlică implicită lesă după egul enunţtă în pgful eltiv l sustituţii. Funcţi slve pte ve c gument şi epesie simlică înte pnteze: su slve ( epesie imlică, ) slve( epesie simlică ) Rezulttul funcţiei slve este: un vect cu sluţii, dcă ezulttul funcţiei slve este un vect cu un numă de cmpnente egl cu număul de viile; stuctuă în ce numele câmpuil sunt numele viilel ecuţiil, dcă ezulttul funcţiei slve este viilă. Eemplul.39. Să se detemine sluţiile ecuţiei de gdul di c 0. Sluţie: >> syms c f >> f *^*c; >> slve(f) ns -( (^ - 4**c)^(/))/(*) -( - (^ - 4**c)^(/))/(*) 34

29 Eemplul.40. Să ezlvăm ecuţi de gdul di de mi sus în pt cu viil. Sluţie: >> syms c f >> f *^ * c; >> slve(f, ) ns -(*^ c)/ În czul în ce se deşte ezlve unei ecuţii de fm f() g(), se pte utiliz funcţi Mtl slve cu umătele duă fme su slve('f() g()', ) slve('f() g()') Eemplul.4. Să se ezlve în Mtl ecuţi tnscedentlă e, R. Sluţi: Rezlve ecuţiei se pte fce pin umătele cmenzi Mtl: >> sym(,'el') >> slve('ep() ') ns 0 Funcţi slve pte ezlv şi sisteme de ecuţii lgeice. Fie sistemul de duă ecuţii lgeice f(, y) 0 g(, y) 0 Dcă dim c ezulttul funcţiei slve să fie un vect cu sluţii, funcţi slve e fm su fm [, y] slve(f, g) [, y] slve('f(, y)', 'g(, y)') Dcă dim c ezulttul să fie stuctuă, în stâng semnului egl vm scie viilă. Eemplul.4. Să se ezlve sistemul de ecuţii: ( ) y 0, R. y y ( ) 0 35

30 Sluţie: >> syms y >> f ^ * ()*y f ^ * y*( ) >> g y^ *y ()* g y^ *y *( ) >> s slve(f,g) s : [4 sym] y: [4 sym] Rezulttul este stuctuă cu duă câmpui, şi y. >> s. ns (- 8* - 3)^(/)/ / / - (- 8* - 3)^(/)/ (4*^ )^(/)/ - - / - - (4*^ )^(/)/ - / >> s.y ns / - (- 8* - 3)^(/)/ (- 8* - 3)^(/)/ / (4*^ )^(/)/ - - / - - (4*^ )^(/)/ - / >> S [s., s.y]; >> petty(s) - - / / (- 8-3) (- 8-3) /, / / / (- 8-3) (- 8-3) / , / / / (4 ) (4 ) /, / / / (4 ) (4 ) /, /

31 Eemplul.43. Să se ezlve sistemul de tei ecuţii: y lg z y 0.4 z y z 0 Sluţie: >> syms y z >> f - lg(y/z)- f - lg(y/z) - >>g y z^ *^ g *^ - z^ y - /5 >> h z--*y/0 h z - (*y)/0 - >> s slve(f,g,h) s : [ sym] y: [ sym] z: [ sym] În cest cz sluţi s este stuctuă cu cmpnentele, y şi z. Rezulttele sunt: >> digits(4) >> s. ns >> s.y ns -.5 >> s.z ns

32 . Rezlve simlică ecuţiil difeenţile dine Fie ecuţi difeenţilă dină de dinul întâi y f (y, t) Sluţi genelă cestei ecuţii difeenţile depinde de cnstntă ită C. Dcă ne inteeseză sluţie ce l mmentul iniţil t 0 tece pin punctul y 0, cnstnt C i vle y 0. În cntinue vm pesupune că sluţi ecuţiei difeenţile eistă. În funcţie de ppietăţile funcţiei f, sluţi pte să fie unică su nu. Rezlve ecuţiil difeenţile dine se fce cu funcţi dslve ce pte ezlv ecuţii difeenţile de din supei şi sisteme de ecuţii difeenţile dine. Funcţi dslve e c pmeti: epesi simlică ecuţiei difeenţile su, în czul unui sistem, epesiile simlice le ecuţiil sistemului; în ceste epesii, deivt de din întâi este nttă cu D, i deivtele de din supei cu D, D3,, Dn. In ntţi de mi sus dy/dt se nteză cu Dy, d y / dt se nteză cu Dy, etc. cndiţiile iniţile le ecuţiei difeenţile, dcă eistă, sunt gumentele umăte le funcţiei dslve; ele u fm y(t 0 ) y 0, Dy(t 0 ) y 0, etc., viil independentă implicită este t; viil independentă pte fi şi ltă viilă simlică, ce v fi ultimul gument l funcţiei dslve. Tţi pmetii funcţiei dslve sunt incluşi înte pstfui. Sluţi ecuţiei difeenţile pte fi: un vect cu un numă de cmpnente egl cu cel l viilel dependente, dcă ezulttul funcţiei dslve este un vect, stuctuă în ce numele câmpuil sunt numele viilel dependente, dcă ezulttul funcţiei dslve este viilă. Eemplul.44. Fie ecuţi difeenţilă: y y 0 Să se clculeze sluţi genelă ecuţiei şi pi sluţi ce tece pin punctele y(0), y (0). Sluţie: Rezlve plemei se pte fce cu instucţiunile Mtl umăte: >> syms y >> y dslve('dy y 0') y C5*cs(t) C6*sin(t) >> syms y >> y dslve('dy y 0','y(0) ','Dy(0) -') y cs(t) - sin(t) 38

33 Eemplul.45. Fie sistemul de ecuţii difeenţile: y y y Să se clculeze sluţi înt-un vect, espectiv înt- stuctuă. Sluţie: >> syms y >> [, y] dslve('d - y', 'Dy y') C8*i*ep(t*(i )) - (C9*i)/ep(t*(i - )) y C8*ep(t*(i )) C9/ep(t*(i - )) >> s dslve('d - y', 'Dy y') s : [ sym] y: [ sym] >> s. ns C8*i*ep(t*(i )) - (C9*i)/ep(t*(i - )) >> s.y ns C8*ep(t*(i )) C9/ep(t*(i - )) >> [,y]dslve('d-y','dyy','(0)','y(0)') ep(t*(i ))*(i /) - (i - /)/ep(t*(i - )) y (i/ )/ep(t*(i - )) - ep(t*(i ))*(i/ - ) Eemplul.46. Să se ezlve ecuţi difeenţilă: y'' 3y' y e 3t t Sluţie: Plem se pte ezlv flsind umătele instucţiuni Mtl: >> y dslve('dy 3* Dy *y ep(3*t) *t ') y (ep(4*t)/4 - ep(t) *t*ep(t))/ep(t) - (ep(5*t)/5 t*ep(*t))/ep(*t) C/ep(t) C3/ep(*t) >> y dslve('dy 3* Dy *y ep(3*t) *t ', 'y(0) ', 'Dy(0) 0') y /(4*ep(t)) - 4/(5*ep(*t)) (ep(4*t)/4 - ep(t) *t*ep(t))/ep(t) - (ep(5*t)/5 t*ep(*t))/ep(*t) 39

34 .3 Eeciţii ppuse spe ezlve Eeciţiul.: Să se sustituie viil cu în epesi 3. 3 Eeciţiul.: Să se simplifice în Mtl epesiile: 3 ) f() 3 ) f() (3-) -3(-3)() Eeciţiul.3: Să se detemine în Mtl invesele, tnspusele şi deteminnţii umătel mtice: ) A 0 / ) B / Eeciţiul.4: Să se epezinte gfic ) f() tg. ) f() sin, pentu [-0,0] 3 cs t c), t [0,π ] 3 y sin t d) y cst sin t, t [0,0π ] z t Eeciţiul.5: Să se clculeze în Mtl umătele deivte n ) ( ), n N. i ) ( e ) c) sin( t ),, R. t i d) ( e ) e) ( 3 sin ) ln f) 40

35 Eeciţiul.6: Să se detemine în Mtl icinul umătel tnsfmăi 4 u ln( 4) ) 8 3 v e 4 ln(3 ) ) u cs( y),,, c, d R. v sin( c dy) Eeciţiul.7: Să se clculeze în Mtl limitele n ) lim n n n ) lim n n c) lim, R. d) lim ep < e) lim ep, R. > Eeciţiul.8: Să se clculeze în Mtl umătele pimitive ) e sin d ) d c) (3 4y) dy. d) (3 4y) d e) dz z f) d sin cs Eeciţiul.9: Să se clculeze în Mtl umătele integle definite ) ln( ) d 0 π ) 0 sin d 4

36 c) d sin( t) 3 d) ( 3 4 y) d Eeciţiul.0: Să se clculeze în Mtl umătele sume n ) k k k ) k ( k ), <. k 0 c) k k d) k ( ) k 0 k, R. (k )! Eeciţiul.: Să se dezvlte în Mtl în seii de putei umătele funcţii ) e ) ln() c) sin Eeciţiul.: Să se detemine în Mtl pimii 4 temeni i dezvltăii în seie Tyl în juul punctului 3 funcţiei f() e. Eeciţiul.3: Să se ezlve în Mtl ecuţiile ) sin() cs() ) sin sin sin 3 0 tg c) sin 3 d) e - e) 0,, R. f) e,, R. g) 7 0, R. h) 3 0, R. Eeciţiul.4: Să se ezlve în Mtl umătele sisteme y ) ln( 7) y ln 3 4

37 43 ) 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( y u u z u z y z y Eeciţiul.5: Să se ezlve în Mtl umăte ecuţie difeenţilă ) ) y e y ' c) k, (0) 3 d) y t y 0.9 ', y(0). e) 0 ' ", (0)0, (0) ' f) ' 3 " t e g) y y y ' 8 '

38 Cpitlul Repezentăi gfice în MATLAB MATLAB feă numese fcilităţi pentu pezente vizulă dtel tât în md intectiv, pelând l instumente de edite dedicte, cu intefţă gfică pentu utilizt, cât şi cu jutul funcţiil specilizte, pelte diect în feest de cmenzi su intduse în fişiee scipt (M-file). Acest cpitl pezintă pinciplele fcilităţi puse l dispziţie de mediul MATLAB pentu epezente gfică idimensinlă şi tidimensinlă cuel şi supfeţel, în divese fmte: eplicit, implicit, pmetic, pl, cilindic, sfeic. Pe lângă plemele legte de epezente gfică ppiu-zisă, se pezintă şi seie de mdui în ce se pt edit stiluile de desene liniil, culile, mcjele, mdlităţile pin ce se pt dug mi multe epezentăi pe celşi gfic su se pt slv imginile ezultte în divese fmte.. Repezente gfică D Pentu cei ce u utilizt dej sistemul MATLAB este ine-cunscut fptul că cest este y smt. Adică, întegul sistem MATLAB se zeză pe pee cu uşuinţă dtel în fmt vectil, l fel de simplu c şi în czul sclil. Eemplul. Să pesupunem că se deşte clcule vlil funcţiei dicl pentu mi multe vli de inte şi pi fişe gfică ezulttel, inte vs. ieşie. Sluţie: Funcţi dicl în MATLAB este sqt şi cest e umăte sintă, i ezulttul etunt epezintă ădăcin păttă elementel vectului : >> [0,, 4, 9, 6, 5, 36, 49, 64, 8] >> y sqt() Pentu epezente gfică cest vli discete se pte fce pel l fcilităţile puse l dispziţie de intefţ gfică: se selecteză cele duă viile din spţiul de lucu (wkspce), mi întâi şi pi y, după ce se dă click pe utnul mct în figu umăte. Figu.. Repezente gfică viilel diect din spţiul de lucu 44

39 Rezulttul epezentăii gfice pte fi văzut în umăte figuă: Figu.. Repezente gfică funcţiei dicl Dcă se deşte un lt tip de epezente gfică, cest se pte select din list ce pe păsând cu muse-ul utnul mct în figu umăte. Figu.3. Selecte tipului de epezente gfică 45

40 Aceleşi fcilităţi sunt ccesiile şi dcă, după selecte cel duă viile, se psă pe utnul dept l muse-ului: Figu.4. Altă mdlitte pentu epezente gfică viilel din spţiul de lucu O epezente gfică semănăte celei din fig.. se pte ţine diect în linie de cmndă, pelând l funcţi plt: >> plt(,y) Funcţi plt e divese fme, în funcţie de gumentele ce se funizeză. Sint este umăte: plt(,y,s) unde şi y sunt tlui de numee, i s este un şi de cctee. Dcă se utilizeză d un singu gument, plt(y) se v epezent gfic elementele vectului y în pt cu indicii cest în vect. Dcă se utilizeză duă gumente, plt(,y) se epezintă gfic elementele vectului y în pt cu cele le vectului. În czul în ce se flsesc tte cele tei gumente, ultimul dinte ceste este un şi de cctee de lungime, su 3 flsit specil pentu fcilităţile de fmte gficului: selecte culii (şu, glen, lstu, negu etc.), selecte tipului mcjului (punct, cec, ste, pătt etc.), selecte tipului de linie (slidă, puncttă etc.). Telul umăt listeză vlile psiile pentu ccteele utilizte în cdul şiului s din list pmetil funcţiei plt. 46

41 ccte cule ccte mcj ccte tip linie lstu (lue). punct - cntinuă g vede (geen) cec : puncttă şu (ed) semnul -. înteuptă şi puncttă c tucz (cyn) plus -- înteuptă m pupuiu (mgent) * ste y glen (yellw) s pătt (sque) k negu (lck) d m (dimnd) w l (white) v tiunghi (js) ^ tiunghi (sus) < tiunghi (stâng) > tiunghi (dept) p pentgn h hegn Telul. Opţiunile de fmte le funcţiei plt Pentu mi multe detlii pt fi studite pginile de mnul le funcţiei plt: >> help plt.. Repezente gfică funcţiil ele de viilă elă Acestă secţiune discută despe epezente gfică funcţiil ele de viilă elă, punând ccent pe difeitele mdlităţi de genee şi de cnfigue gficel ezultte (e, legendă, etichete, dntăi etc.). Eemplul.. Să se epezinte gfic funcţi păttică y 3, pe intevlul de vli [-5, 5]. Sluţie: L fel c şi în de clsică, utiliztă de elevi şi studenţi pentu epezent gfic funcţie, MATLAB feă umăte sluţie ztă pe tele un vli din intevlul de definiţie, umtă de pele funcţiei plt: >> -5:5; >> y.^3*; >> plt (,y, * ); Cu cât număul de vli în ce se clculeză vle funcţiei este mi me, cu tât gficul ezultt este mi neted. Pentu ceşte număul de puncte în ce se clculeză vlile funcţiei, se stileşte un lt ps de divize: >> -5:0.5:5; O ltă mdlitte pin ce se pt defini vlile de inte, cele stcte în vectul, se zeză pe utilize funcţiei linspce. Spe deseie de metd inecunscută, utiliztă şi în eemplele nteie, în ce se specifică psul de divize, 47

42 de dt cest se specifică număul de puncte intemedie înte cele duă cpete le intevlului de definiţie: >> linspce(-5, 5, ); Mdifice intăii pesupune eclcule vlil de ieşie, îninte de nuă epezente gfică: >> y.^3*; >> plt (,y, * ); figuă: Cele duă epezentăi gfice pt fi nlizte cmptiv în umăte Figu.5. Repezente gfică funcţiei y 3 În multe situţii pte pe necesitte epezentăii, în ceeşi feestă, mi mult cue, pentu nliză cmptivă. În MATLAB eistă mi multe mdlităţi pin ce se pte eliz cest lucu, fie suppus, în celşi sistem de e, fie lătut. O pimă vintă pesupune utilize cmenzii hld. Acest e c efect păste ppietăţil feestei gfice şi tutu el gficului cuent pentu umăte epezente gfică (hld n) su evenie l mdul implicit în ce e lc ştegee gficului cuent îninte de fce nuă epezente gfică (hld ff). Ce de- du vintă pesupune utilize funcţiei plt cu mi multe gumente. List cel tei gumente pezenttă ntei pte fi multiplictă pentu include mi multe epezentăi gfice simultn: >> plt(, y, '-',, z, '-') A tei vintă pesupune utilize funcţiei suplt. Acest împte feest de epezente gfică înt- mtice de e în ce se pt fce mi multe epezentăi simultn. 48

43 Eemplul.3. Să se epezinte, în celşi gfic, funcţiile sin şi cs pe intevlul [0, 4π]. Sluţie: Vint I. >> linspce(0, 4*pi, 00); >> y sin(); >> plt(,y,'-'); >> hld n; >> y cs(); >> plt(,y,'-'); Etem de utilă, mi les tunci când se epezintă gfic mi multe funcţii, se pte dvedi funcţi legend. Acest pemite intducee unei desciei epezentăil gfice din feest espectivă: >> legend('y sin()','y cs()'); Figu.6. Repezente gfică simultnă funcţiil sin şi cs Vint II. >> linspce(0, 4*pi, 00) >> y sin(); >> z cs(); >> plt(,y,'-',,z,'-'); Rezulttul cest cmenzi este identic celui pezentt în fig

44 Vint III. >> linspce(0, 4*pi, 00); >> y sin(); >> suplt(,,); >> plt(,y,'-'); >> legend('y sin()'); >> suplt(,,); >> y cs(); >> plt(,y,'-'); >> legend('y cs()'); Figu.7. Repezente lătută gficel funcţiil sin şi cs Pentu dăug mi multe eplicţii su detlii unei epezentăi gfice pt fi flsite, pe lângă funcţi legend, umătele funcţii: Funcţii Utilize lel, ylel pemit dăuge etichetel tet de- lungul el de cdnte title pemite duge unui titlu (tet) desup gficului tet pemite dăuge unui tet iunde în gfic (teuie specificte cdntele) line pimitivă ce pemite tse unei linii (utilă pentu desen ele sistemului de cdnte) gid pemite dăuge unei gile pe gfic Telul. Funcţii suplimente pentu fmte epezentăil gfice 50

45 Efectele utilizăii cest funcţii sup unei epezentăi gfice pt fi văzute în fig..8. Acestă epezente este ezulttul umătei secvenţe de cmenzi. >> title('gficul functiil sin si cs'); >> lel('a O'); >> ylel('a Oy'); >> [0, 4*pi]; y [0, 0]; line(,y); >> [-, ]; y [0, 0]; line(,y); >> gid n Figu.8. Repezente gfică însţită de eplicţii.. Repezente în pln cuel dte pin ecuţii pmetice Acestă secţiune pune ccent pe epezente gfică cuel plne dte pin ecuţii pmetice. Nu eistă difeenţe mje din punctul de vedee l utilizăii cmenzil şi funcţiil MATLAB. Ade se zeză, c de icei, pe identifice cdntel punctel din pln ce stisfc espectivele ecuţii pmetice. Aşd, singu plemă ce teuie ezlvtă mi întâi este dtă de clculul vlil cdntel şi y în funcţie de cele le pmetului t. Eemplul.4. Să se epezinte gfic cu dtă pin ecuţi: t y t, pentu t [-, ]. Sluţie: Cmenzile MATLAB sunt umătele: >> t linspce(-,,500); 5

46 >> s(t); y s(-t.^); >> suplt(,3,); plt(t,); title('(t)'); >> suplt(,3,); plt(t,y); title('y(t)'); >> suplt(,3,3); plt(,y); title('y()'); Acestă secvenţă de cmenzi elizeză tât epezente gfică cdntel în funcţie de pmetul t, (t), y y(t), cât şi legătuii înte cdnte y y(). Figu.9. Repezente gfică cuel dte pin ecuţii pmetice După cum se pte sev în epezentăile gfice din fig..8, vlile cdntei, în funcţie de vlile pmetului, mi întâi scd şi pi cesc, cele le cdntei y mi întâi cesc şi pi scd în timp ce, în penţă, vlile cdntei y scd dtă cu ceştee vlil cdntei. În elitte lucuile nu stu chi ş. Pentu ţine infmţie cectă, se pte utiliz funcţi cmet. Acestă funcţie elizeză nimţie în ce se pte vede fte cl sensul în ce se mdifică vlile unei cdnte în funcţie de celltă (fig.9.). Figu.0. Animţie cetă cu jutul funcţiei cmet..3 Repezente în pln cuel dte pin ecuţii ple Este cunscut fptul că sistemul de cdnte cteziene nu epezintă singu mdlitte de descie pziţi punctel în pln. În lc de funiz cdntele pe cele duă e (O şi Oy), se pte identific lcţi punctului în funcţie de distnţ cestui fţă de igine şi de unghiul pe ce dept ce uneşte punctul şi igine îl fce cu un din ele de cdnte. Acest sistem de epezente ptă numele de sistem de cdnte ple (fig..0). 5

47 Figu.. Sistemul de cdnte ple Dificultte în czul sistemului de cdnte ple, ţinând cnt de peidicitte funcţiil tignmetice, cnstă în fptul că punctele pt ve epezentăi multiple. De cee teuie ttte cu tenţie ceste tipui de epezentăi gfice. În MATLAB, epezente în sistemul de cdnte pl se fce cu jutul funcţiei pl. Eemplul.5. Să se epezinte gfic, în cdnte ple, cu dtă pin ecuţi sin, [0, π]. Sluţie: Cmenzile MATLAB necese cestei epezentăi gfice sunt umătele: >> tet linspce(0,pi); >> * sin(*tet); >> pl(tet,); Rezulttul pte fi sevt în figu umăte. Figu.. Repezente gfică, în cdnte ple, funcţiei sin pl: Ţinând cnt de legătuile eistente înte sistemele de cdnte ctezin şi cs y sin 53

48 MATLAB pune l dispziţi utiliztil duă funcţii de tecee de l un sistem de epezente l celăllt: ctpl şi plct. Amele pimesc dept gumente cdntele punctel înt-un sistem de cdnte şi le etuneză pe cele din celăllt sistem. Odine în ce teuie funizte cdntele este umăte: pentu sistemul de cdnte ctezin, dine ntulă, mi întâi şi pi y, i pentu cel pl, mi întâi unghiul şi pi z. Aşd, epezente cuei din figu. se pte ţine utilizând funcţiile plt su cmet, după ce, în pelil, cdntele cteziene sunt clculte în funcţiile de cele ple: >> [,y] plct(tet,); >> plt(,y); is equl; Ultim cmndă este utiliztă pentu sigu utilize celeişi scăi de epezente pe cele duă e de cdnte. În cz cnt, este psiil c gficul să fie tutit (lungit), în funcţie de fm şi dimensiune feestei în ce se efectueză epezente gfică...4 Repezente în pln cuel dte pin ecuţii implicite În pctică eistă şi situţii în ce nu eistă elţie eplicită su pmetică înte cdntele punctel cuei. În cestă situţie, funcţiile plt, cmet su pl nu sunt de niciun jut. Sistemul MATLAB pune l dispziţie însă un set de funcţii simple (esy) ce să jute utiliztul tunci când legătu înte cdnte este implicită. Dinte ceste, în secţiune cuentă se v eemplific d utilize funcţiei ezplt. În md simil se pte utiliz şi funcţi ezpl. Pentu mi multe detlii se pt cnsult pginile de mnul. Eemplul.6. Să se epezinte gfic funcţi dtă pin ecuţi: ( y ) y, în intevlul [-, ]. Sluţie: Cmnd MATLAB ce geneeză cest gfic este umăte: >> ezplt('(.^y.^).^-(.^-y.^)',[-,,-,]) Rezulttul pte fi sevt în figu umăte: 54

49 Figu.3. Repezente gfică funcţiei ( y ) - y. Repezente gfică 3D Acestă secţiune pezintă pinciplele fcilităţi puse l dispziţie de mediul MATLAB pentu epezente gfică tidimensinlă cuel şi supfeţel, în divese fmte (eplicit, pmetic, pl, etc.). Spe deseie de spţiul idimensinl, epezentt în md ntul pe ecn, în czul epezentăil gfice 3D, mi dificil de pezentt pe ecn, teuie simultă ce de- tei ă pentu ce imgine cât mi ppită de ce elă. Acest lucu este elizt însă de căte mediul MATLAB, degevând utiliztul de eventulele dificultăţi... Repezente gfică funcţiil ele de duă viile ele L fel cum funcţiile ele de viilă elă, y f() cnduc l peechi dnte (, y) epezentând cdntele un puncte în plnul Ctezin, funcţiile ele de duă viile ele, z f(, y) cnduc tipletul (, y, z), tiplet ce epezintă cdntele un puncte în sistemul de cdnte Ctezin tidimensinl. Eemplul.7. Se cnsideă funcţi f(, y) y 4. Pentu, y se ţine z f(, ) 4 4, cee ce cnduce l punctul M de cdnte (,, ), punct epezentt în figu umăte: 55

50 Figu.4. Repezente în sistemul de cdnte 3D punctului M(,,) Imgine din fig..4 se ţine fte uş pelând l funcţi MATLAB plt3. Acest, l fel c şi echivlent s în D, plt, e sint: plt3(, y, z, s) în ce:, y şi z sunt 3 vecti de cceşi lungime epezentând cdntele punctel ce se desc fi epezentte, i s este un şi de cctee de lungime, su 3 cu celeşi semnificţii c în czul funcţiei plt. Cmenzile MATLAB sunt umătele: >> plt3(,,, ''); >> line([ ],[ ],[0 ]); Dcă se deşte epezente mi mult puncte le că cdnte stisfc ecuţi dtă de de funcţie de duă viile, tunci teuie genete mi multe peechi (, y) ce să cnducă l gilă de puncte. Acest lucu este psiil în MATLAB flsind funcţi meshgid. Eemplul.8. Se cnsideă ceeşi funcţie din eemplul.7 în ce tât cât şi y iu vli din intevlul [, 5]. Sluţie: >> [,y] meshgid(:5); >> z *y-4; >> plt3(, y, z, ''); Punctele sunt epezentte în figu umăte: 56

51 Figu.5. Divese puncte le că cdnte stisfc ecuţi z f(, y) y 4 Dcă, mi mult, se deşte schiţe supfeţei căei ecuţie este dtă de funcţi de duă viile de mi sus, tunci se pte flsi funcţi mesh. Acestă funcţie fişeză supfţă în spţiul 3D, clând d liniile ce unesc punctele de definiţie supfeţei (punctele definite de tipletele (, y, z) din list de gumente pimită de funcţie). >> [,y] meshgid(:5); >> z *y-4; >> mesh(,y,z); Figu.6. Supfţ de ecuţie z y 4 57

52 Dcă se deşte vizulize supfeţei din lt unghi, imgine pte fi tită flsind muse-ul în md intectiv, după păse utnului Rtte 3D, mct cu şu în figu umăte: Figu.7. Butnul Rtte 3D.. Repezente în spţiu supfeţel dte pin ecuţii pmetice În cestă secţiune se discută mdul de epezente gfică supfeţel în spţiul tidimensinl tunci când ceste sunt dte pin ecuţii pmetice. Eemplul.9. Să se schiţeze supfţ dtă pin ecuţiile pmetice: cs y sin z în ce 0, 0 π. Sluţie: Mi întâi, flsind dej cunscut funcţie linspce, se geneeză vlile pentu pmetii şi, în limitele dmeniil cest. >> linspce(0,, 00); >> tet linspce(0, *pi, 00); Api, flsind funcţi meshgid se geneeză gil peechil dnte (, ): >> [, tet] meshgid(, tet); şi se clculeză vlile cdntel cteziene le punctel de pe supfţă: >>.* cs(tet); >> y.* sin(tet); >> z ; după ce se epezintă supfţ flsind funcţi mesh. >> mesh(, y, z); O ltă funcţie feită de MATLAB pentu epezente supfeţel este suf. Acest e celşi efect cu funcţi mesh cu deseie că pe lângă cle liniil ce unesc punctele de definiţie, umple flsind cule plignele ce lcătuiesc supfţ. Culile plignel sunt deteminte în funcţie de vle cdntei din vectul z şi de htă culil (clmp listă dntă de culi). Funcţi pte pimi supliment seie de gumente ce să epezinte ppietăţi le supfeţei ezultte. 58

53 >> suf(, y, z,... 'FceCl', 'intep',... 'EdgeCl', 'nne',... 'FceLighting', 'phng'); De semene, epezente gfică pte fi îmunătăţită cţinând sup muchiil, dăugând cule şi lumină, mdificând sc pe ele de cdnte su mdificând punctul de vizulize l iectului gfic. Cmenzile MATLAB ce elizeză cest lucu fc pel l funcţiile cmlight, lighting, view şi is. Ilumine epezintă tehnică pin ce un iect este epezentt c fiind epus unei suse de lumină diecţinlă. În numite czui cestă tehnică, lătută eventul cu mdifice punctului de sevţie, pte cnduce l sctee în evidenţă un difeenţe sutile în fm supfţei, fiind mi uş de sevt. De semene, ilumine pte dăug un numit elism fmel 3D. Specifice punctului de vizulize se fce stilind unghiul din ce un sevt vede iectul gfic. Pentu cestă teuie funizte duă vli unghiule (mele în gde): zimutul su tţi izntlă şi elevţi veticlă. >> cmlight left; >> view (60,0); >> is equl; >> is ff; Rezulttul pte fi sevt în figu umăte, figuă în ce se pte sev cmptiv supfţ schiţtă cu jutul funcţiei mesh (în stâng) şi ceeşi supfţă, tită şi ilumintă, genete cu jutul funcţiei suf (în dept). Figu.8. Supfţ pmetică din eemplul.9 Efecte simile de tţie, tnslţie şi măie/micşe (zm) se pt ţine şi utilizând utnele din de instumente feestei în ce este epezenttă imgine. Figu.9. Supfţ pmetică din eemplul.9 59

54 ..3 Pimitive gfice pentu supfeţe Aş cum pentu deptă în pln eistă pimitiv line şi pentu cele mi cunscute supfeţe în spţiu (sfeă, elipsid şi cilindu) eistă seie de pimitive. Sint cest cmenzi este umăte: [X, Y, Z] sphee(n) geneeză tei mtici de dimensiune (N) (N) ce epezintă cdntele un puncte situte pe sfe unitte. [X, Y, Z] cylinde(r, N) geneeză tei mtici de puncte ce epezintă cdntele un puncte flte pe supfţă cilindică ztă pe cu genete din vectul R. Acest vect cnţine zele supfeţei cilindice în divese puncte egl distnţte. [X, Y, Z] ellipsid(xc, YC, ZC, XR, YR, ZR, N) geneeză tei mtici de dimensiune (N) (N) ce epezintă cdntele un puncte situte pe elipsidul cu centul în punctul de cdnte (XC, YC, ZC) şi de ze (XR, YR, ZR). După genee cdntel mulţimii de puncte de pe supfţe, pentu epezente gfică supfeţel genete cu jutul pimitivel gfice se flsesc funcţiile suf su mesh. Eemplul.0. Să se schiţeze cu de intesecţie unei supfeţe sfeice de cu un cilindică de ză jumătte din z sfeei şi ce cnţine centul sfeei (cu lui Vivini). Sluţie: Cmenzile MATLAB ce epezintă gfic cestă intesecţie sunt umătele: [, y, z] sphee(000); mesh(*, *y, *z, 'EdgeCl', [ ]); hld n; [, y, z] cylinde([ ],000); mesh(, y-, 4*z-, 'EdgeCl', [ ]); Deece funcţi sphee geneeză sfeă unitte (de dimetu ), fst neces să se înmulţescă cu cdntele punctel de pe supfţă pentu ţine sfeă de ză, centtă în igine. De semene, cdntele punctel de pe supfţ cilindică u fst deplste (tnsltte) pentu include centul sfeei pe supfţă, i înălţime cilindului fst măită pentu se evidenţi intesecţi cel duă supfeţe. 60

55 Figu.0. Intesecţi unei supfeţe sfeice cu un cilindică..4 Repezente în spţiu cuel dte pin ecuţii pmetice Cmenzile plt şi cmet utilizte pentu epezente cuel în pln u un echivlent tunci când se discută despe epezente cuel în spţiu: plt3 şi espectiv, cmet3. Eemplul.. Să se epezinte gfic cu dtă pin umătele ecuţii pmetice: cs ω t y sin ω t z t unde, 0., ω şi 0 t π. Sluţie: Se iniţilizeză vlile cnstntel ce du mplitudine şi t de ceştee. >> ; >> 0.; >> w ; Se înccă un vect cu vlile pmetului. >> t linspce(0, *pi, 000); 6

56 Se clculeză vlile tipletel (, y, z) ce detemină cdntele punctel cuei, în funcţie de cele le pmetului t. >> * cs(w * t); >> y * sin(w * t); >> z * t; Pentu identific sensul mişcăii se flseşte cmnd: >> cmet3(, y, z); Pentu epezent punctele cuei se flseşte cmnd: >> plt3(, y, z); Eventul, se dugă infmţii suplimente pentu e şi titlu: >> lel(' O'); >> ylel(' Oy'); >> zlel(' Oz'); >> title(' cs(t), y sin(t), z0.t'); Cu dtă pmetic, pin ecuţiile pmetice de mi sus, se numeşte heli şi pte fi sevtă în figu umăte: Figu.. Cu heli 6

57 ..5 Repezente în spţiu cuel şi supfeţel dte implicit L fel c şi în czul cuel plne, în czul cuel şi supfeţel în spţiul tidimensinl se pt ivi situţii în ce elţiile înte cdntele punctel de pe cuă su supfţă sunt dte implicit şi nu eplicit. Sistemul MATLAB pune l dispziţie seie de funcţii simple numite EZ (esy) ce pemit schiţe unei cue su unei supfeţe cu un minim de ceinţe suplimente. Aceste funcţii nu feă celeşi pefmnţe c funcţiile plt su suf, însă pt fi ectem de utile tunci când se deşte d epezente gfică pidă şi făă petenţii. Funcţiile ce pt fi utilizte în czul epezentăil gfice în spţiul 3D sunt pezentte în umătul tel. Funcţii ezcntu ezcntuf ezmesh ezmeshc ezplt3 ezsuf ezsufc Utilize deseneză cuele de nivel cespunzăte unei funcţii ele de duă viile ele f(, y) pe un dmeniu specifict su pe dmeniul implicit π <, y < π e celşi efect c ezcntu l ce se dugă umplee cu cule spţiil dinte cuele de nivel schiţeză supfţă tidimensinlă cespunzăte unei funcţii ele de duă viile ele f(, y) dtă implicit su pmetic pe un dmeniu specifict su pe un dmeniu implicit schiţeză supfţ şi cuele de nivel cespunzăte deseneză cuă epezenttă pmetic un dmeniu specifict su pe un dmeniu implicit l pmetului deseneză supfţă tidimensinlă cltă, cespunzăte unei funcţii ele de duă viile ele f(, y) dtă implicit su pmetic pe un dmeniu specifict su pe un dmeniu implicit deseneză supfţ şi cuele de nivel cespunzăte Telul.3 Funcţiile din ctegi EZ Funcţiile pt fi definite sept şi pi pt fi pelte cu jutul unui hndle su pt fi specificte su fm unui şi de cctee. De eemplu: su >> ezplt3(@sin,@cs,'t') >> ezplt3('cs(t)', 'sin(t)', 't') Eemplul.. Să se schiţeze supfţ şi cuele de cntu în czul supfeţei dtă pin ecuţi implicită y 0. Sluţie: >> ezsufc('^-y^') 63

58 Figu.. Repezente unei supfeţe şi cuel de cntu cespunzăte..6 Repezente în sistemele de cdnte sfeice şi cilindice În czul în ce supfeţele şi cuele din spţiul tidimensinl sunt dte în fmă eplicite, d în cdnte sfeice (su cilindice), îninte de epezente gfică ppiu-zisă se pte pel l jutul funcţiil de cnvesie de l sistemul de cdnte sfeic (su cilindic) l cel ctezin: sphct (plct). Eemplul.3. Să se epezinte gfic supfţ de ecuţie ρ, în sistemul de cdnte sfeic, pentu dmeniile de vli 0 π, π / φ π /. Sluţie: Pşii ce teuie umţi sunt descişi în cele ce umeză:. se geneeză vlile pentu şi φ. >> tet linspce(0,*pi,00);. se geneeză gil pentu viilele de inte >> fi linspce(-pi,pi,00); 3. se clculeză vle lui >> ; 4. se tece l cdnte cteziene >> [, y, z] sphct(tet,fi,); 64

59 5. se epezintă supfţ în sistemul de cdnte cteziene >> suf(, y, z); Bineînţeles, l fel c şi în czul idimensinl, eistă şi funcţiile de cnvesie invesă ce fc tnsfme de l epezente în cdnte cteziene l cele sfeice (su cilindice): ctsph (plct)..3 Alte tipui de epezentăi gfice În cestă secţiune v fi eemplificte câtev funcţii MATLAB utilizte pentu divese epezentăi în pln, funcţii ce se pt dvedi etem de utile în plicţiile ingineeşti: Aceste sunt pezentte în telul umăt. Funcţii B, h, 3, 3h hist se e Pie, pie3 Stem, stem3 stis cmpss fethe quive, quive3 cntu, cntu3 Utilize funcţii utilizte pentu epezent D su 3D vlile numeice su fm un clne veticle espectiv, izntle utiliztă pentu genee şi epezente su fmă de clne histgmei unui tlu de numee, în funcţie de distiuţi cest înt-un numă intevle implicite su definite de utilizt echivlent funcţiei hist în sisteme de cdnte ple utiliztă pentu ts un gfic şi umple supfţă dinte cest şi izntlă, O utiliztă pentu epezente su fmă unui disc (plăcintă) D, espectiv 3D în ce fiece vle este epimtă pin pte l sum tutu vlil funcţii utilizte pentu epezente secvenţel discete de dte fişeză secvenţă discetă de dte su fmă de tepte fişeză în vecti plecând din igine fişeză vectii plecând din puncte de pe izntlă fişeză vecti D, epectiv 3D fişeză cuele de cntu (izlinii) D, espective 3D Telul.4 Alte tipui de epezentăi gfice Eemplul.4. Să se epezinte gfic ntele ţinute de gupă de 0 studenţi l emenele susţinute în nul II l disciplin Mtemtică şi distiuţi cest. Se cnsideă umătele nte:, 4, 7,, 8, 3, 0, 3, 8,, 3,, 6, 7, 6, 5, 7, 7, 7, 7. Sluţie: Cmenzile MATLAB sunt umătele: >> [,4,7,,8,3,0,3,8,,3,,6,7,6,5,7,7,7,7]; >> suplt(3,,); >> (); >> suplt(3,,); >> hist(); 65

60 >> suplt(3,,3); >> e(hist()); Gficele ezultte sunt epezentte în figu umăte: Figu.3. Repezente gfică ntel şi distiuţiil cest Dcă se deşte şi epezente pcentulă distiuţiei ntel, se pt flsi funcţiile pie su pie3: >> pie3(hist(), [ ]); Figu.4. Repezente pcentulă distiuţiil cest Vectul in funizt dept l dile gument l funcţiei pie3 este flsit pentu scte în evidenţă numită felie gficului, în czul de fţă ce cespunzăte ntei. De semene, teuie sevnt că se fişeză d pcentele nenule, dică nu se epezintă nici felie cespunzăte ntei 9, ntă ce nu fst ţinută de niciunul din studenţi. O epezente gfică similă celei ţinute cu funcţi se pte ţine cu jutul funcţiei stem. De dt cest deptunghiuile v fi înlcuite cu segmente, cespunzăte fiecăei vli discete. Fiece punct pte fi mct cu fmă stilită de utilizt, cnfm specificţiil de fmte din telul.. 66

61 Repezentăi gfice fte inteesnte şi utile pt fi ţinute cu jutul funcţiei stem3. >> t linspce(0,5,00); >> plt3(sint(t), cst(t), t, ''); >> hld n; >> stem3(sint(t), cs(t), t, 'd') Figu.5. Repezente un puncte discete de pe cu heli Pentu epezente gfică pziţiei şi vitezei un iecte, în pleme de mecnică şi nu numi, etem de utile se pt dvedi funcţiile pentu desene vectil: cmpss, fethe, quive, quive3. Eemplul.5. Un cp se deplseză după tiectie dtă de umăte ecuţie: (t) v t t / Să se epezinte vectul viteză în 0 puncte de pe tiectie, în pimele secunde de l lnse, ştiind cmpnentele cceleţiei 0 m/s, y 0 m/s, z 3 m/s şi vitezele iniţile v 0 m/s, v y 3 m/s, v 0z 0 m/s. Sluţie: Secvenţ de cmenzi MATLAB ce ezlvă cestă plemă este umăte >> t linspce(0,,0); >> z -3; 0; y 0; >> v0 ; v0y 3; v0z 0; >> v0.*t/**t.^; >> y v0y.*t/*y*t.^; >> z v0z.*t/*z*t.^; >> v gdient(); >> vy gdient(y); >> vz gdient(z); 67

62 >> plt3(, y, z, '', 'LineWidth', ); >> hld n; >> scle 0; >> quive3(,y,z,v,vy,vz,scle) >> gid n; >> view([70 8]) Repezente gfică pte fi sevtă în figu umăte. Lini şie epeyintăp tiecti i săgeţile epezintă vectul viteză în cele 0 puncte de pe tiectie. Dcă se deşte şi vle vitezei, cest se găseşte stctă, pe cmpnente, în elementele vectil v, vy şi vz. Figu.6. Repezente tiectiei şi vitezei în 0 puncte.4 Utilize instumentel de desene pentu edite gficel Sistemul MATLAB pemite fmte gficel pentu mi ună cmpehensiilitte, pemite cnfigue scăii de- lungul el şi includee de mcje pe ceste, utilize culil şi difeitel tipui de linii pentu distinge cu uşuinţă numite iecte gfice. Gficele ţinute pt fi editte intectiv, tât în cee ce piveşte mdul de pezente pin dăuge de dntăi, titlu, cmentii, legende pentu un gfic dej cnstuit cât şi în cee ce piveşte dăuge de lte epezentăi gfice în ceeşi feestă, flsind utilitul numit Plt Tls. Acest utilit pemite, de semene, cntle mult specte le epezentăil gfice pin dăuge de ni zne gfice, vizulize gfică viilel din spţiul de lucu, identifice cdntel difeitel puncte de pe gfice, măie su micşe imginii etc. 68

63 În MATLAB eistă duă mdlităţi pin ce pt fi editte gficele: utilizând muse-ul pentu select şi edit intectiv iectele gfice cete; în cestă de se selecteză iectele gfice (cue, supfeţe, e, tete, legendă etc.) ce se desc fi editte şi se efectueză dulu-clic pentu ctiv editul de ppietăţi su se efectueză clic-dept sup iectel gfice după ce fst pnit utilitul Plt Tls. utilizând funcţiile MATLAB în linie de cmndă su înt-un fişie scipt (M-file); dcă se pefeă lucul în linie de cmndă su cu fişiee scipt, cestă de pesupune utilize sistemului de mnipule iectel gfice feit de MATLAB (MATLAB Hndle Gphics). Acest sistem se zeză pe vle întsă de mjitte funcţiil gfice. Acestă vle epezintă un mâne (hndle) l iectele gfice şi pte fi utilizt împeună cu cmenzile set şi get pentu mdific ppietăţile cest. Utilitul Plt Tls pte fi ccest păsând utnul mct cu şu în intefţ gfică utilizt pezenttă în figu umăte su efectuând un dulu-clic sup unui iect gfic epezentt în feestă. Figu.7. Utilitul Plt Tls 69

64 .5 Mnipule iectel gfice în MATLAB Oiectele gfice epezintă elementele de ză utilizte pentu epezent gfice de funcţii şi elemente de intefţă utilizt. List iectel gfice include, pinte ltele: Oiect Desciee t ădăcin iehiei, cespunzăte ecnului clcultului figue feest utiliztă pentu epezente gficel şi cmpnentel intefeţei utilizt es ele pentu epezente gfică în cdul unei figui; cdul ce cnţine epezente gfică uicntl cmpnentă intefeţei utilizt ce ăspunde l cţiune cestui uimenu meniul definit de utilizt în intefţ gfică uicntetmenu meniu cntetul pp-up ce pe l păse utnului dept l muse-ului imge imgine idimensinlă ztă pe un tlu de pieli light susă de lumină ce fecteză mdul de cle l un iecte gfice line iect gfic lini utilizt pentu epezentăi gfice de căte funcţii cum sunt plt, plt3 etc. ptch plign D cu muchiile şi inteiul clte ectngle fmă idimensinlă ce pte epezent un deptunghi, un deptunghi cu clţuile tunjite su elipsă sufce epezente tidimensinlă unei mtici de dte cete pin intepete vlil dtel c fiind înălţime desup plnului Oy tet şi de cctee Telul.5 Oiecte gfice Aceste iecte gfice sunt gnizte înt- iehie epezenttă în digm umăte: Figu.8. Iehi iectel gfice în MATLAB 70

65 Fiece iect gfic e scită funcţie pimitivă (lw-level) ce ceeză iectul. Aceste funcţii u celeşi nume cu iectele pe ce le ceeză. Funcţiile de nivel înlt, cum fi plt, peleză l funcţiile pimitive cespunzăte pentu desen gficele espective. List funcţiil ce pt fi utilizte în lucul cu iectele gfice include: Funcţie llchild ncest cpyj delete findll findj gc gcf gc get set Utilize găseşte tte iectele cpil le unui numit iect gfic găseşte păintele unui numit iect gfic cpiză un iect gfic ştege un iect gfic găseşte tte iectele gfice găseşte iectele vând numită ppiette etuneză hndle-ul el cuente etuneză hndle-ul figuii cuente etuneză hndle-ul el cuente etuneză vlile numit ppietăţi le iectului gfic stileşte vlile numit ppietăţi le iectului gfic Telul.6 Funcţii pentu iectele gfice Eemplul.6. Să se găsescă tte deptunghiuile. Sluţie: >> h findj('type','ectngle'); Eemplul.7. Să se găsescă tte liniile punctte de cule şie. Sluţie: >> h findj('type','line',... 'Cl','','LineStyle',':'); Tte iectele gfice u numite ppietăţi cu vli implicite. Ttuşi, în czul în ce se deşte c un numit iect gfic să ptă fi utilizt în plicţiile MATLAB su în czul în ce se deşte mdifice numit ppietăţi le sle se pte utiliz vle întsă de funcţiil gfice. Stilie vlil numit ppietăţi le iectel gfice se pte fce fie l cee cest, fie ultei, pelând l funcţi set. Oi de câte i MATLAB ceeză un iect gfic, pe lângă stilie ppietăţil implicite su cel definite de utilizt, îi tiuie cestui un identifict (hndle - mâne ). Acestă vle pte fi utiliztă pentu cnfigu ultei iectul gfic su pentu ţine vlile numit ppietăţi în scpul mdificăii spectului unei epezentăi gfice su pentu ce utilite pesnlizte pentu desene su mnipule diectă iectel gfice. Eemplul.8. Să se mdifice cule şi tnspenţ muchiil epezentăii gfice din eemplul.9 (supfţ cnică). Sluţie: >> hndl mesh(,y,z); >> set(hndl, 'EdgeCl', [ ],... 'EdgeAlph', 0.5); 7

66 Pentu cnstuie unei intefeţe gfice se pt utiliz cmenzile ce geneeză iecte gfice de tip uicntl: >> utn uicntl('style', 'pushuttn',... 'Psitin', [ ],... 'Sting', 'Ajut'); su se pte pel l un instument specilizt de piecte unei intefeţe gfice, GUI Designe Envinment su GUIDE (utilizând cmnd guide în feest de cmenzi MATLAB) ce simplifică cee de intefeţe utilizt (fig..9). După cee şi includee cmpnentei în feestă se defineşte funcţi de ăspuns cestui, ce ce se eecută tunci când utiliztul cţineză sup cmpnentei gfice. Acest lucu se pte fce stilind încă de l cee s vle pentu ppiette 'Cllck' su pelând l funcţi set: >> set(utn, 'Cllck', 'help'); Astfel, i de câte i este cţintă cmpnent gfică, se v fiş în feest de cmenzi ezulttul cmenzii help. Dcă se deşte efectue unei lte cţiuni se v defini funcţi espectivă şi se v pel tnsmiţând numele ei pentu funcţi de ăspuns 'Cllck'. Figu.9. Utilitul GUIDE Pentu mi multe detlii pivind cee intefeţel gfice se pt cnsult pginile de mnul pentu funcţiile uicntl, uimenu, uicntetmenu şi guide. 7

67 .6 Eeciţii ppuse spe ezlve Eeciţiul.. Să se epezinte gfic, pe intevlul [ 0, 0], cât mi neted psiil, funcţi păttică: y 3. Eeciţiul.. Să se epezinte gfic, pe intevlul [ 5, 5], cât mi neted psiil, funcţi: y / ( e - ). Eeciţiul.3. Să se epezinte pe celşi gfic funcţiile y sin şi y cs, pe intevlul [0, 4π]. Eeciţiul.4. Să se epezinte gfic, pentu vli le pmetului în intevlul [0, π], cu definită de umătele ecuţii pmetice: cs t y 3 sin 3t Eeciţiul.5. Să se epezinte gfic, mi întâi în cdnte ple şi pi în cdnte cteziene, funcţi cs /. Eeciţiul.6. Să se epezinte gfic, pe intevlul [ 4, 4] cu dtă pin ecuţi 6 y 3 (8 ). Eeciţiul.7. Să se schiţeze supfţ de ecuţie y pe dmeniul D {(, y) / -, - y }. Eeciţiul.8. Să se schiţeze supfţ de ecuţie z f(, y) y pe dmeniul D {(, y) / -3, y 3}. Eeciţiul.9. Să se schiţeze supfţ dtă pin ecuţiile pmetice: sin φ cs y sin φ sin z cs φ în ce 0 φ π, 0 π. Eeciţiul.0. Să se epezinte supfţ dtă pin ecuţiile pmetice: ( cs u/ sin v sin u/ sin v) cs u y ( cs u/ sin v sin u/ sin v) sin u z sin u/ sin v cs u/ sin v în ce şi 0 u, v π. 73

68 Eeciţiul.. Să se epezinte gfic cu dtă pin ecuţiile pmetice: cst α t sin t y α t α t z α t în ce α şi π t π. Eeciţiul.. Să se epezinte gfic supfţ de ecuţie: q /, în sistemul de cdnte sfeic, pentu dmeniile de vli 0 4π, 0 φ π /. Eeciţiul.3. Să se epezinte gfic supfţele din eemplul. şi eeciţiul. în czul în ce se utilizeză sistemul de cdnte cilindic, i ρ este înlcuit cu cdnt z. 74

69 Cpitlul 3 Mdele sttistice În înţelegee cmpletă elităţii este de multe i neces să cunştem, să înţelegem şi să stăpânim legătuile eistente înte duă su mi multe fenmene, cuntificte pin viile. Spe eemplu, în vedee plicăii unei sttegii cecte de mketing, este neces să cunştem dcă eistă celţie înte pfitul unei întepindei şi cheltuielile cu pulicitte şi în ce fel se mnifestă. De semene, pentu cntlul investiţiil este neces să cunştem în ce fel evlueză pfitul pe peidă imedit umăte de timp. Ast pesupune de fpt să putem cnstui şi mi pi utiliz pentu pgnză, ş numitele mdele sttistice su mdele de egesie, ceste fiind mdele ce desciu celţi eistentă înte duă viile ece şi în cz pticul, înte viilă şi timp. De cele mi multe i, fundmente cest mdele e l ză un vlum me de dte şi ici îşi dvedesc utilitte pchetele de pgme cncepute pentu sist clculele de pgnză. În mdele pin egesie pnim de l umăte situţie: fiind dte duă viile X şi Y, studite înt- ppulţie A, se pune plem dcă înte cele duă viile, espectiv înte fenmenele descise de ceste, eistă numită dependenţă numită şi celţie. O pimă cncluzie se pte ţine epezentând gfic înt-un sistem de cdnte XY, cele duă şiui de dte sevte l nivelul ppulţiei pentu cele duă viile (celgm). Dcă punctele gficului se împăştie pe ttă supfţ făă um numită egulă, tunci vm spune că cele duă viile nu sunt celte. Dcă în schim punctele desciu numită cuă, numit şi cuă empiică de egesie, tunci vm spune că eistă celţie şi e este cu tât mi intensă, cu cât dmeniul pe ce se întind punctele este mi îngust. Mi mult, dcă punctele se şeză pe cuă ce pte fi pimtă de cuă clsică (deptă, plă, epnenţilă, etc.) tunci vm spune că legătu dinte cele duă viile este un liniă su plică su epnenţilă, etc. şi vm flsi ecuţi celei cue clsice pentu pgnză. O fundmente igusă eistenţei unei celţii şi mi pi mdelului ce descie celţi, numit şi mdel de egesie, se pte fce pe z clculului şi intepetăii un indicti sttistici. Se v pcuge câtev etpe, pecum: veifice eistenţei unei celţii, stilie fmei mtemtice mdelului, în um nlizei cuei empiice de egesie, detemine pmetil ce intevin în ecuţi mdelului şi utilize mdelului pentu clcule de pgnză. Eistă şi pmeti ce msă celţi (gdul de sciee) înte duă viile clittive, pmeti zţi pe fecvenţele de piţie le vlil viilel şi nu pe vli. Odtă stilită eistenţ celţiei înte viile, se pte tece l stilie mdelului de egesie ce descie celţi. Un cz pticul este cel când cuplul X, Y este înlcuit de cuplul t, Z, în ce t epezintă timpul şi Z epezintă viilă umăită în timp. Un mdel cnlgic, este de fpt un mdel de egesie în ce se studiză dependenţ unui fenmen de timp su mi ine zis, evluţi s în timp. În clcule, viil timp t i vlile implicite,, 3, i pgnz pe z unui stfel de mdel pesupune de fpt peviziune fenmenului pe peidă umăte de timp, ce nu vut încă lc. Desigu, tât în czul unui mdel de egesie ece, cât şi în czul unui mdel cnlgic, pgnz pe z mdelului este cu tât mi veidică, cu cât mdelul este mi ine les să se ptivescă dtel şi cu cât izntul de peviziune este mi mic. Spe eemplu, dcă ne hzdăm să pevizinăm un fenmen 75

70 pe peidă fte îndepăttă de timp, fţă de peid din ce s-u cules dtele pe ce se zeză mdelul, tunci iscăm c ee de peviziune să fie fte me. În cele ce umeză vm vede pe pcusul ptu pgfe, tât elementele teetice pentu fundmente unui mdel de egesie, cât şi suptul cmputţinl sigut de pchetele specilizte din MATLAB 6.5., me pte din fundmente teetică şi plicţiile pezentte ici fiind pelute din lucăile [5] şi [6]. Ultimele tei pgfe le cestui cpitl se finlizeză cu câte temă ppusă pentu lt. De semene, pe pcusul cpitlului sunt pezentte şse pleme ele, ce sunt pelte cu ceeşi ntţie în tt cpitlul, fie c justificăi le un mdele, fie c ză pentu plicţiile epuse, espectiv pentu temele ppuse pentu lt. 3.. Plem egesiei Mdelele de egesie fc pte din ctegi mdelel stchstice (sttistice), în ce tţi fctii eplictivi i unui fenmen, ce nu îşi găsesc lcul diect în mdel, p cumulţi su fm unei viile lete numită ee. O viilă Y (pmetul de ieşie) ce cuntifică fenmenul sudit pte fi eplictă pin egesi pe unul su mi mulţi fcti eplictivi (pmetii de inte). Tţi fctii eplictivi ce nu sunt suficient de elevnţi pentu Y, intă în mdel su fm cumultivă eii. În czul când fctii eplictivi elevnţi se ezumă l un singu fct X, vem de- fce cu mdelul de egesie simplă, de fm, ( ) Y f X ε, (3.) unde ε epezintă ee din mdel, cmpnentă ce îngleză tţi ceillţi fcti de ce depinde y, în f lui, i f este funcţi ce descie legătu dinte viile, numită şi funcţie de egesie. Dcă vem di su mi mulţi fcti eplictivi (pedictivi), X X,..., X tunci egesi se numeşte multiplă şi mdelul cespunzăt v fi ( X, X,..., X ) f p ε, p, Y (3.) Plem egesiei plecă de l eistenţ unui set de dte pivind duă su mi multe viile lete, scpul mdelăii fiind desciee elţiei dinte ele, dică detemine funcţiei f, în vedee pgnzăii vlil viilei dependente în pt cu vlile viilel eplictive. Acestă plemă se pune d tunci când înte viile eistă legătuă elă, ztă pe ntu fenmenel ce stu l z l. Altfel, este psiil c fml, dtele numeice să pă celte (spe eemplu, cesc pe ceeşi peidă de timp), făă c fenmenele pe ce le cuntifică să fie celte. Înt-un stfel de cz, studiul egesiei fi lipsit de sens. În czul în ce, funcţi de egesie este pmetică, dică este de fm, f ( X, X,..., X p,,,..., s ), tunci detemine funcţiei evine l detemine pmetil,,,..., s. Cndiţi ntulă ce pe este c teile vlil ezultte din mdel fţă de vlile empiice, ezultte pin seve, să fie minime. Cel mi cunscut citeiu ce pemite stisfcee unei stfel de cndiţii este citeiul 76

71 cel mi mici pătte, ce cnstă în minimize sumei păttel cel tei. Astfel, pmetii ptimi v fi cei pentu ce, mdelul stisfce cndiţi, cndiţie ce evine l n i ε min, n - numul de dte, (3.3) i n ( y f (,,...,,,,..., ) min. F(,,..., s ) ε i i i i pi s (3.4) i n i Mi depte, plem de minim evine l cndiţiile: F(,,..., s ) 0, i, n i (3.5) Înt-un mdel de egesie simplă, pentu vle sevtă i lui X, vem duă ' tipui de dte cespunzăte lui Y: un i yi f i y, clcult pe z mdelului. Detemine funcţiei de egesie cnstă în cest cz în etpele : -legee unei clse de functii, ce pimeză cel mi ine elitte dtel epezenttă gfic pin nul sttistic (celgm înte şi y) ; de eemplu dept, pl, epnentil, etc -detemine cuei de egesie ( pmetil ei) c fiind cee cuă din cls stilită ce stisfce citeiul cel mi mici pătte. În czul egesiei simple, citeiul cel mi mici ptte (sum păttel teil vlil sevte fţă de vlile ezultte din mdel este minimă) se scie de fm : N i N i y sevt şi un ( ) ( ) [ y f ( )] min ε i i i. (3.6) Cele mi simple mdele de egesie sunt cele linie, dică cele în ce f depinde lini de viilele pedictive. O me pte dinte dependenţele ele sunt de tip lini su pt fi eduse l mdelul lini mtiv pentu ce studiee unui sfel de mdel cupă un lc imptnt în mdele mtemtică. 3.. Mdelul de egesie liniă simplă 3... Definie mdelului lini simplu Vm cnside în cele ce umeză, czul unui mdel de egesie liniă simplă, plecând de l pesupunee că fm celgmei înte Y şi X ( singuă viilă fct) indict dept c ce mi ptivită cuă de egesie. Mdelul de egesie liniă simplă este de fm Y X ε, (3.7) 77

72 unde şi se numesc pmetii deptei de egesie ( temenul lie su intesecţi deptei cu OY şi pnt deptei) X se numeşte pedict su viilă eplictivă, Y, viilă ăspuns su efect i ε, ee su eziduu. Plem egesiei linie simple: Se cnsideă un set idimensinl de dte i, yi, i, n, epezentând vli sevte le cel duă viile, X şi Y. În vedee pgnzăii vlil lui Y cespunzăte un vli ni le lui X (ltele decât cele n sevte), se pune plem deteminăii pmetil de egesie şi, în ş fel, încât dinte tte deptele psiile, dept de ecuţie, ( ) y ˆ f, (3.8) să descie cel mi ine legătu dinte viile şi fţă de ce punctele de cdnte i, yi, i, n, să se ppie cel mi mult. Deece în elitte, mi eistă şi lţi fcti pedictivi pentu Y, pe lângă X, dependenţ diectă dinte X şi Y nu este un mtemtică, pu funcţinlă, ci un sttistică (stchstică) de fm, ( ) ε y. (3.9) Apiţi eii ε este evidenţită de cest spect, ee înglând pctic efectul celllţi fcti de influenţă sup lui Y, difeiţi de X, plecându-se de fpt de l pemis că influenţ cest şi pin ume şi ee este neglijilă. Din punct de vedee tehnic, piţi cmpnentei ε, în mdel, este mtivtă şi de fptul că unei singue vli lui X, îi cespunde nu singuă vle lui Y (c în czul unei legătui funcţinle) ci seie de vli le lui Y. Spe eemplu, pentu un venit de 500 lei, l nivelul unei ppulţii se înegisteză mi multe vli le cheltuielil. Ttuşi, unei singue vli lui X, îi cespunde, în md unic, singuă vle medie lui Y (medi seiei de vli le lui Y cespunzăte vlii fite pentu X, dică medi cndiţintă lui Y, de căte vle fită lui X). Pin ume, legătu diectă, mtemtică, se pte stili înte X şi medi lui Y, deci vem ( ) y( ) y ˆ f. (3.0) Cum, în genel, vle unei viile difeă de medie cu numită ee, neglijilă când medi este epezenttivă, vm ve ( ) y( ) ε y. (3.) Pin ume, vm fce efeie l mdelul lini pin un din umătele fme ( ) y( ) y ˆ f, (3.) ( ) ε y. (3.3) Detemine şi utilize mdelului pentu peviziuni pesupune umătele tehnici de egesie liniă simplă: identifce mdelului, estime pmetil mdelului pin metd cel mi mici pătte-juste mdelului, vlide mdelului şi în cele din umă utilize lui pentu clcule de pgnză. 78

73 3... Veifice eistenţei unei celţii şi identifice mdelului Un l imptnt în identifice unei celţii şi fmei ei îl jcă ş numitul ceficient de celţie liniă, pecum şi ptul de celţie (detemine). Ceficientul de celţie liniă : Pentu nliz dcă înte viilele cntittive X şi Y eistă legătuă (de tip lini) se clculeză ceficientul de celţie liniă, dt de fmul: cv(, y) σ σ y [,], (3.4) i yi i unde cv(, y) M ( y) M ( ) M ( y) cu M ( y) N se numeşte cvinţă. Aici,, y, i N sunt vlile cel duă viile, sevte pe i i, M şi σ epezintă medi şi tee medie păttică. În czul când cele duă viile sunt independente, cvinţ este nulă. Intepete ceficientului de celţie liniă: Vlile ceficientului de celţie sunt în intevlul[, ]. Dcă 0, înte cele duă viile nu eistă celţie. Dcă, celţi înte cele duă viile este mimă şi diectă. Dcă, celţi înte cele duă viile este mimă şi invesă. Cu cât vem vle mi ppită de su - cu tât celţi e mi putenică (diectă pentu vli pzitive şi invesă pentu vli negtive), cu cât vem vle ppită de 0 celţi este mi slă. Rptul de celţie : Pentu fundmente ptului de celţie, R, se pneşte de l umte elţie numită egul de dune vinţel : ppulţi de vlum N, i ( ) Viţi ttlă viţi eplictă pin egesie viţi ezidulă, N unde viţi ttlă este epimtă de sum ttlă de pătte, S [ y y] viţi ezidulă este epimtă de sum eziduuil păttice, N T S R i N i i, ε i viţi eplictă este epimtă de difeenţ înte cele duă sume, N N S S S [ y i y] ε. Rptul de celţie în ce viţi lui y se E T R i i epimă pin egesi pe este dt de R S S E T. (3.5) Intepete : Dcă cest pt este peste 0,5 tunci mdelul de egesie se cnsideă ptivit l dte, vle egl cu indicând ptivie mimă, i un egl cu 0, neptivie mdelului l dte. Un mdel de egesie decvt dtel este ccteizt de S E me, S R mic, R me (ppit de ). În ce piveşte identifice mdelului, se justifică legee unui mdel lini (identifice mdelului) pin : 79

74 - clculul ceficientului de celţie liniă pe z dtel, i, yi, i, n şi cmpe vlii sle slute cu (pentu c mdelul lini să fie ptivit dtel, ceficientul de celţie liniă teuie s iă vle slută cât mi ppită de ) ; - epezente punctel de cdnte i, yi, i, n - celgm scită dtel şi intepete ei (înt-un sistem tgnl de e-lu liniei plignle ţinute pin unie cu segmente punctel, teuie să fie cât mi ppită de ce unei depte) Ajuste mdelului pin detemine un estimti i pmetil săi Fm mdelului este Y X ε, (3.6) i pentu, y, i n, devine, i i, y ε, i n. (3.7) i i i, Se pune plem estimăii pmetil şi, stfel încât dept detemintă de ceşti să minimizeze sum păttel eziduuil, ε, (teile vlil ele y i, fţă de vlile ezultte din mdel, y ˆ i i )-citeiul cel mi mici pătte. Citeiul cel mi mici pătte pticulizt pe czul mdelului lini simplu cnstă în fptul că dinte tte deptele psiile vm lege pe cee, specifictă pint-un numit şi, fţă de ce sum păttel teil punctel ce desciu dtele este minimă. Un stfel de citeiu minimizeză de fpt, gll, y f, unde f ( ). Pin ume, din cndiţi, difeenţ, ( ) i ilusttă şi în gficul de mi js, N N i [ y ] min ε i i i (3.8) i Figu 3.. Celgm şi dept de egesie 80

75 ezultă estimtii de cele mi mici pătte i pmetil de egesie (vlile ele pentu şi, nu pt fi deteminte ect deece, dispunem d de eşntinul de sevţii,, y, i n ), i i, (, y) ˆ cv σ (3.9) ˆ y ˆ. Pe lângă ceste estimăi punctule este neces să cunştem şi infeenţele sup cest pmetii, mi pecis intevlele de încedee cespunzăte. Un cdu un pentu stfel de estimăi pesupune câtev cndiţii sup mdelului, numite şi iptezele Guss-Mkv Iptezele fundmentle-guss-mkv. Vlide şi estime mdelului Vm pezent în cest cpitl mdelul lini simplu clsic cu ei nmle, independente şi identic distiuite, de medie ze, ezultt în um plicăii umătel cndiţii, numite şi iptezele fundmentle-guss-mkv : - nmlitte eil : ε N, i, n ; i - independenţ eil : cv(, ε ) 0, i, j, n, i j ε ; i j - ei identic distiuite (mdel hmscedstic) : M ( ) 0, V ( ε ) σ, i n ε. i i, Altfel spus, eziduuile teuie să iă cmptmentul zgmtului gussin l. Tte ceste ipteze pt fi veificte pint- seie de teste sttistice, ce pesupun vlide mdelului. Oice tee de l ceste ipteze duce l lte tipui de mdele linie, decât cel clsic. O metdă de veifice este şi ce pin ce se piecteză eziduuile şi se nlizeză dcă gficul este cel l unui zgmt lscilţii în juul lui 0. În plem stiliii mdelului de egesie înte viilele X şi Y, pe spectul pivind etindee infmţiil de l nivelul eşntinului pe ce se pesupune c vem dtele pentu X şi Y, l nivelul ppulţiei. Astfel, tte ezulttele ţinute (vlile pmetil de egesie şi, vlile indictil clităţii egesiei,, R, χ ) se cnsideă d nişte estimti pentu devătele vli vlile pe înteg ppulţie. În iptezele Guss-Mkv, se pt eliz infeenţe sup pmetil mdelului, tât pin detemine intevlel de încedee, cât şi pin teste de ipteză sup mdelului. De semene se pt fce teste de vlide sup mdelului, testând eistenţ celţiei l nivelul întegii ppulţii, pecum şi ptivie mdelului lini l dte. Intevle de încedee de tip α, pentu ceficienţii de egesie sunt de fm: P ˆ s α < < ˆ t st α α, (3.0) n, n, 8

76 unde t α n, gde de liette, i s n ( i ) i s P ˆ s α < < ˆ t st α α, (3.) n, n, este cuntil de din, s s n n α, pentu viilă de tip Student cu n- ( i ) i n i i n n, s e ( y ˆ ˆ ) n i i n (3.) Teste T de semnificţie pmetil mdelului : În czul pmetului, vle cespunzăte eşntinului este vle ˆ. Pentu cestă vle se pte vede dcă e difeită de 0, dică dcă dependenţ lui Y de X eistă (dcă fi 0 tunci y 0, deci Y nu depinde de X). Se pune plem dc cestă cncluzie, se pte etinde şi l nivelul ppulţiei, dică pentu. Vm test tunci iptez nulă H 0 : 0, plecnd de l elitte că pe eşntin, situţi e umăte : m ˆ 0. Pentu test iptez se plic un test de tip T (zt pe lege Student). Decizi, dică ccepte su espingee iptezei se v lu cu un isc (pg de semnificţie) α, pe ce îl legem mi mic dect 0,05. Pentu pmetul se pcedez l fel c si mi sus d c semnificti iptezei H 0 : 0, se efeă l eistenţ temenului lie. Testul F de semnificţie egesiei: Mdelul ppus este semnifictiv (ptivit) pentu dtele eşntinului dcă vle lui Rˆ (ptul de celţie) este cât mi ppe de şi mi depte de 0. Pentu vede dc cest ezultt se păsteză şi pe înteg ppulţie, se fce un test de tip F, zt pe lege Fishe, pentu un pg de semnificţie α, pe ce îl legem mi mic dect 0,05. Iptez pe ce vm test se efeă l devt vle lui R, vlilă pe înteg ppulţie. Mi pecis, testăm iptez H 0 : R 0, cee ce pesupune că l nivelul întegii ipteze mdelul nu este semnifictiv dtel. i i i Utilize mdelului pentu clcule de pgnză Odtă specifictă fm mdelului, împeună cu vle numeică pmetil şi, putem utiliz mdelul pentu pgnză. Astfel, pentu nuă vle, nesevtă, lui X, nttă cu 0, vle lui Y cespunzăte, cnfm mdelului de egesie stilit, v fi espectiv, vle s medie, ( ) ε y 0 y 0 0, (3.3) ( 0 ) 0 y p y, (3.4) 8

77 cest din umă numindu-se şi vle pevizintă. Pctic, clculul de pgnză ăspunde l întee: Ce este vle medie lui y pentu vle nuă, nesevtă (în f cel N vli), lui, egl cu 0? Se sevă că nu se pte clcul, ect, decât vle medie, vle elă depinzând de ee ε, ce nu pte fi clcultă ci d pesupusă fi neglijilă (minimă). Ţinând cnt de fptul că nu se cunsc devătele vli le lui şi (l nivelul ppulţiei) ci d estimtii â şi ˆ, peviziune de mi sus este de fpt de fm ˆ y p ˆ ˆ. (3.5) 0 Pentu vle Se pte detemin umătul intevl de încedee pentu peviziune : unde P yˆ s α < < ˆ 0t y y s0t α α, (3.6) n, n, s 0 n s ( ) ( ) 0 n i i. (3.7) Pe celşi gfic se pt epezent dept de egesie şi cuele ce cespund cpetel intevlului de încedee pentu vle pevizintă Funcţii specifice şi plicţii pivind mdelul lini simplu în MATLAB În cele ce umeză vm pezent câtev funcţii MATLAB, utile în implemente tehnicil de egesie, pentu mdelul lini simplu. Nu vm pezent ici sintele cele mi genele le funcţiil ci d cele ce sunt mi ptivite în cdul mdelăii mtemtice. Cele mi utilizte funcţii în cest sens sunt funcţiile ccef, plyfit, plyvl, efline, plytl. Funcţiile ccef, plyfit, plyvl, plytl se egăsesc pinte funcţiile Mtl genele, în timp ce funcţi efline este funcţie specifică pchetului Mtl Sttistics Sint funcţiei ccef: Funcţi ccef se utilizeză pentu clcul ceficientul de celţie liniă dinte duă viile: >> ccef(,y) - pmetii de inte: -mtice de tipul (n,)-clnă; y-mtice de tipul (n,)- clnă, mtici ce stcheză vlile cel duă viile pentu ce se clculeză ceficientul de celţie; 83

78 - pmetii de ieşie: -mtice de tipul (,) ce cnţine pe pziţi şi ceficientul de celţie dinte viil şi, espectiv y şi y, dică vle, i pe pziţi şi ceficientul de celţie dinte şi y, espectiv y şi, ce sunt de fpt, vli egle înte ele, ceficientul de celţie fiind funcţie simetică. Pin ume, vle ceficientului de celţie înte şi y se citeşte pe dignl du mticii ăspuns, indicând celţie me cu tât mi mult cu cât se ppie de, în mdul, espectiv, celţie mică, tunci când se ppie mi mult de 0. Pentu pute nliz gfic celţi dinte puncte, espectiv viile se pte utliz funcţi plt, cu sint plt(,y) ce v desen lini plignlă dtă de punctele de cdnte, y su plt (, y, * ) ce fişeză gficul de puncte, y. În um nlizei fmei csetui gfic putem fim cu ece pecizie dcă e v de celţie liniă (cu plignlă pte fi uş pimtă cu deptă) su nu. În czul în ce ăspunsul este fimtiv se pte fiş pe celşi gfic şi dept de egesie, utlizând funcţi efline. Sint funcţiei efline: >>efline Cmnd de mi sus, teuie dtă după cmnd plt, îninte de închidee figuii genete şi epezintă gfic în figu cuentă, ţinută cu funcţi plt (,y, * ), dept de egesie cespunzăte punctel. Sint funcţiei plyfit mdelul lini : Funcţi plyfit clculeză pmetii deptei de egesie cespunzăte dtel, utlizând metd cel mi mici pătte. >>p plyfit(, y, ) - pmetii de inte:, y - vecti-mtici clnă de ceeşi dimensiune; -epezintă gdul l plinmului de egesie, gd ce cespunde mdelului lini; - pmetii de ieşie: p-vect de dimensiune, cu pim cmpnentă epezentând pnt deptei de egesie, i du, temenul lie su ltfel spus, pim cmpnentă este ceficientul lui i du este temenul lie din plinmul p p. Sint funcţiei plyvl mdelul lini: Funcţi plyvl clculeză peviziune pe z deptei de egesie, detemintă de plyfit. >>ypeviz plyvl(p,nu) - pmetii de inte: p-vect de dimensiune, ce stcheză pmetii deptei de egesie, începând cu ceficientul lui X şi teminând cu temenul lie; epezintă ezulttul funcţiei plyfit; nu-mtice ce cnţine vlile ni le viilei eplictive, vli pe ce se deşte fi clcultă peviziune; - pmetii de ieşie: ypeviz-mtice de ceeşi dimensiune cu nu, ce cnţine vlile viilei ăspuns y (cespunzăte vlil ni le lui ), pevizinte din dept de egesie dtă pin vectul ceficienţil de egesie, p. Sint funcţiei plytl mdelul lini : Funcţi plytl ceeză intefţă gfică pentu utilizt, ce pemite cntlul justăii de cele mi mici pătte pint-un plinm, implicit şi pint- deptă. Astfel, funcţi plytl cpeă tte fcilităţile feite de funcţiile de mi sus, pin intege gficel şi ăspunsuil numeice înt- intefţă intectivă: 84

79 >>plytl(, y,, lf) - pmetii de inte:, y - vecti - mtici clnă - de ceeşi dimensiune; -epezintă gdul l plinmului de egesie, gd ce cespunde mdelului lini; lf epezintă pgul de semnificţie dmis pentu intevlele de încedee deteminte pentu ceficienţii mdelului şi pentu peviziune; - pmetii de ieşie: infmţiile fundmentle legte de mdelul lini de egesie simplă (ceficienţi, epezente gfică, peviziune, intevle de încedee, etc.), încpte înt- intefţă gfică intectivă; mi pecis, funcţi plytl ceeză un gfic intectiv l deptei de egesie pentu viil ăspuns y şi viil eplictivă, împeună cu punctele sevte şi cu intevlele de încedee de tip ( α )00 % pentu peviziune (vle implicit este de 95%), pecum şi cu câtev infmţii numeice legte de mdelul lini; intefţ gfică pemite cntlul sup legeii vlii pentu ce dim peviziune şi eptul un pmeti pecum vle pevizintă împeună cu intevlul de încedee, pmetii de egesie împeun cu intevlele de încedee şi eziduuile. Vm pezent în cele ce umeză duă pleme ele pelute din [9], ce eclmă mdele, ceste fiind elute şi dte pin divese metde de mdele şi în umătele pgfe. Se v vede în cele din umă, că mdelul lini se peteză fte ine l pim plemă, în timp ce pentu ce de- du plemă este neces şi studiul lt mdele. Ttuşi, i de câte i, pticulitte fenmenului pe ce încecăm să-l mdelăm nu eclmă stict numită fmă mtemtică mdelului, se pte plec de l teste dtel cu un mdel lini, tehnicile scite csetui fiind fte simple şi pi se pte cncluzin dcă dtele necesită su nu un mdel mi cmplict. Plem. Celţi dinte geutte şi înălţime unei pesne În md ntul, se pesupune că eistă stânsă legătuă înte înălţime şi geutte unei pesne. Se pune plem deteminăii unui mdel egesiv ce să pemită clcule geutăţii nmle unei pesne, în pt cu înălţime s. Vm cnside un lt de 5 pesne, pentu ce se înegisteză înălţime şi geutte ([9]). N înălţime geutte N înălţime geutte Telul 3.. Dte pivind înălţime şi geutte 5 pesne Încăce dtel în MATLAB se pte fce fie diect de l tsttuă, fie pin impte l dint-un fişie de tip scii, cu etensi dt. Umătul pgm (plictie.m), pemite încăce dtel stcte în fişieul hgdte.dt, dne 85

80 cescăte dtel după înălţime, definie viilel de lucu şi y, pe z viilei MATLAB, hgdte şi pi epezente gfică geutăţii vesus înălţime. Se ţine umătul gfic: >>%incc dtele pentu inltime si geutte dintun fisie cu etensi 'dt', se ceez stfel viil hgdte-mtice de tip (5, ) >>ld hgdte.dt -scii >>%dnez dtele dup inltime (pim cln)si le pune in mtice 'dted' >>dtedstws(hgdte); >>%defineste viil X c fiind pim cln din mtice dtel dnte >>dted(:5,); >>%defineste viil Y c fiind du cln din mtice dtel dnte >>ydted(:5,); >>% epezint dtele int-un sistem de cdnte >>plt(,y) 0 Geutte vs inltime e u t t e g inltime Figu 3.. Digm celţiei dinte geutte şi înălţime Din nliz gficului se pte vns iptez unei egesii linie simple înte geutte şi înălţime. Mi mult, clculând ceficientul de celţie cu funcţi ccef, ţinem 0.97 (0.9668), deci vle fte ppită de, pin ume celţie putenică. Apelând funcţi plytl, ţinem seie de infmţii eltiv l mdelul lini de egesie. Pmetii de egesie sunt 5.84 şi Aşd, vem mdelul y ε. Având în vedee că pmetii s-u ţinut pe z unui eşntin de vlum 5, cele duă vli epezintă d nişte estimţii le devătel vli, pentu ce se ţin intevlele de încedee pentu ceficienţi (pmeti de egesie): (05.9, -76.) şi (45.77, ) dică, P( 05.9 < < 45.77) 0, 95 espectiv P ( 76. < < 06.59) 0, 95. Pentu cele 5 peechi de vli sevte se pt clcul şi eziduuile, dică difeenţ înte vle elă lui y, măsută şi vle teetică, ezulttă din mdel, i 86

81 yˆ i i. Se ţin umătele vli ezidule, numeic şi pi gfic cu funcţi plt: 6.037,.0033, , ,.94, , -5.39, -.39, -.39, , , ,.374, 7.374, Reziduuile Figu 3.3. Gficul eziduil Reziduile v descie un mdel cu tât mi un cu cât sunt mi ppite de 0 şi nu mnifestă tendinţă, în sensul că duă puncte cnsecutive nu sunt mele pzitive su mele negtive. În cest cz, eziduuile tă că pute eist un lt mdel, ce să se peteze mi ine l dte. Odtă detemint mdelul se pte flsi pentu peviziune. Spe eemplu, dim să flăm ce este geutte nmlă pentu pesnă de.78 m. Înlcuind, ţinem, yˆ i kg. Din nu, peviziune ţinută este d estimţie vlii ele, deece, mdelul s- detemint pe z unui eşntin şi în plus, nu s-u lut în clcul tte spectele, gen se, să, etc., tte ceste intând în viil ee, ε. Pin ume, este neces să deteminăm şi un intevl de încedee pentu peviziune, de tip 95%, în ce se flă geutte elă, cespunzăte unei înălţimi de.78 m. P ( < y i < ) 0, 95. În plus, funcţi plytl, pemite fişe pe celşi gfic deptei de egesie, împeună cu punctele sevte şi împeună cu cuele ce desciu intevlele de încedee pentu fiece peviziune. 30 Dte, dept de egesie si intevle de incedee e u t t e g inltime Figu 3.4. Intefţ funcţiei plytl 87

82 Plem. Celţi dinte vitez de educee cicumfeenţilă venticulului stâng şi nivelul gluczei în sânge Pentu un lt fmt din 4 de lnvi de diet de tip I, s- măsut, pe de pte, dinmic nivelului gluczei în sânge-gs(mml/l) şi pe de ltă pte, vitez medie de educee cicumfeinţei venticulului stâng-vcv(%/sec), în scpul pedicţiei viilei ăspuns VcV, în funcţie de nivelul GS, mi pecis în scpul pedicţiei plemel cdivscultii în funcţie de evluţi glicemiei. Dtele u fst umătele ([9]): Pcient GS(mml/l) VcV(%/sec) n * Telul 3.. Dte pivind vitez de educee cicumfeenţilă venticulului stâng şi nivelul gluczei în sânge pentu 4 de lnvi Din tel se pte sev că pcientul cu număul 6 nu e înegisttă vle pentu VcV. După vlide unui mdel de egesie, se v pute estim cestă vle lipsă, c peviziune pe z mdelului, pentu X GS 8.6. Ţinând sem de dificultte de nliz diect plem cntcţiei venticulului stâng fţă de stilie nivelului gluczei în sânge, în sensul că nu putem găsi fmulă mtemtică diectă de legătuă, se impune studiul unui mdel egesiv. Rezlve cestei pleme pin studiul unui mdel lini sup dtel v cnstitui temă de lt. 88

83 3..7. Teme de lt în MATLAB Tem. Încăcţi în spţiul de lucu MATLAB, fişieul GVdte.dt, în ce ţi stct dtele Plemei din supgful Pe z funcţiil MATLAB, ccef, efline, plyfit, plyvl, nlizţi cât de ptivit este un mdel lini l ceste dte, clculând ceficientul de celţie, epezentţi în celşi gfic, punctele şi dept de egesie, clculţi pmetii deptei de egesie, clculţi vle viilei ăspuns VcV, estimtă (pevizintă) pe z mdelului pentu vle glicemiei GS8.6.. Aplicând funcţi plytl, deteminţi în plus intevlele de încedee pentu pmetii de egesie şi pentu peviziune şi de semene, eziduuile. Repezentţi gfic dept de egesie împeună cu punctele şi cu intevlele de încedee pentu peviziune. Flsind ezulttele numeice ţinute cu plytl, epezentţi eziduuile şi evidentiţi cmptmentul cest fţă de Alte mdele de egesie simplă Deşi tehnicile specifice mdelului lini sunt simple şi uş de plict, în elitte, eistă şi dte că mdele eclmă ltă fmă decât ce liniă. O pte dinte ceste mdele, cum sunt, de pildă, cele plinmile, su cele epnenţile, pt fi eduse pin numite tnsfmăi l mdelul lini, mtiv pentu ce ele se mi numesc geneic mdele liniizile su pu şi simplu mdele linie, tunci când nu eistă peicl de cnfuzie cu mdelul lini ppiu zis, ltfel numindu-se mdele nelinie. Celellte mdele, ce nu pt fi eduse l fm liniă se numesc înttdeun, mdele nelinie Mdelul plinmil Mdelul de egesie plinmilă simplă este un mdel de egesie simplă în ce funcţi de egesie este un plinm în viil pedictivă, X. Fm mdelului este umăte: Y N N N X N X... X 0 ε. (3.8) C şi l mdelul lini se pune plem deteminăii ceficienţil mdelului, fmulele teetice fiind semănăte cu cele de l egesi liniă. În md nlg, se pt detemin intevle de încedee pentu ceficienţi, peviziuni pe z mdelului, intevl de încedee pentu peviziune şi eziduuile. Ceficienţii se pt fl fie diect plicând citeiul cel mi mici pătte, fie plicând citeiul pe mdelul liniizt, după tnsfme mdelului înt-un mdel lini (liniize mdelului). Pentu liniize, se flsesc umătele sustituţii: X N X, (3.9) N- N, X X N,..., X X mdelul educându-se l umătul mdel lini multiplu: 89

84 Y N X N N X N... X 0 ε. (3.30) Pin ume, dint-un mdel de egesie plinmilă simplă, de gdul N, cu viil efect Y şi singuă viilă pedictivă X, s- juns l un mdel de egesie liniă multiplă cu N viile pedictive, cu viil efect Y şi viilele pedictive, X, X,..., X N N, definite pe z lui X. Plem egesiei plinmile cnstă în detemine plinmului de egesie ce descie cel mi ine celţi dinte duă viile, X şi Y, dte pin n vli, i, yi, i, n. Un mdel plinmil este ltentivă simplă l mdelul lini, pentu czuile când dept nu euşeşte să descie destul de ine celţi dinte viile. Un eemplu de mtivţie mdelului de egesie plinmilă este dt de Plem descisă în supgful 3..6 şi ppusă spe ezlve în Tem de lt. Anlizându-se un mdel lini simplu pentu plem dtă, se ţine un ceficient de celţie liniă de 0. 46, ce indică celţie liniă destul de slă. Mi mult, nlizând gficul punctel vizvi de dept de egesie se pte sev că multe puncte sunt depte de deptă. GS vs VcV V. V c GS Figu 3.5. Celgm, dept de egesie şi intevle de încedee pentu pedicţie In plus, eziduuile nu u un cmptment letiu şi sunt destul de mi, după cum se pte sev în gficul umăt

85 Figu 3.6. Reziduile Aceste specte ne îndeptăţesc demesul de căut un mdel mi ptivit pentu plem espectivă, pin ume un mdel nelini. Anliz unui mdel plinmil ptt l cestă plemă, se justifică pin fptul că dcă dept, ce pesupune un plinm de gdul, nu fst suficient de fleiilă încât să se ppie de dte, tunci, cescând gdul plinmului, ceşte şi fleiilitte cuei de egesie, pin ume ne vm ştept l mi ună ppiee cestei de dte. Cu cât ceşte gdul plinmului, cu tât ceşte şns c ce cuă de egesie ce este epezente gfică plinmului, să se ppie mi mult de punctele de cdnte i, yi, i, n. Ttuşi eistă câtev esticţii ce limiteză legee unui gd me. Având în vedee că un plinm de gd N pesupune N necunscute, este nevie de cel puţin N cndiţii pentu le detemin, pin ume, pentu mdel dtele pint-un plinm de gd N, este nevie de cel puţin N dte, dică, n N > N. Cu lte cuvinte gdul plinmului teuie să fie mi mic decât vlumul dtel. Dcă legem chi gdul n, tunci tte punctele se v fl pe cu de egesie plinmilă, de gd n. Dcă legem un gd mi me decât n, plinmul nu pte fi cmplet detemint, cee ce cnduce l ei mi de pime. Detemine plinmului ptim, pesupune duă specte : - stilie gdului ptim N l plinmului de egesie; - stilie ceficienţil plinmului ptim. Stilie gdului ptim N l plinmului de egesie: Se epezintă punctele de cdnte i, yi, i, n, înt-un sistem tgnl de e şi se nlizeză fm liniei plignle ţinute pin unie cu segmente punctel. Dcă cest nu impune evident un numit gd l plinmului (pimtiv deptă-gdul, pimtiv plă-gdul ), se detemină mdele de egesie de divese gde, se epezintă gfic cuele feente şi se păsteză cu fţă de ce punctele se ppie cel mi mult. Pentu selecţie ptimă igusă gdului plinmului, se pt cmp şi sttisticile de egesie feente, pentu fiece mdel. Stilie ceficienţil plinmului ptim : Odtă stilit gdul plinmului, ămâne plem deteminăii ceficienţil ce ţin de fm nlitică funcţiei plinmile, cest spect ezlvându-se pin metd cel mi mici pătte, fie diect pe fm plinmilă, fie pe fm liniiztă mdelului. Anliz cmptivă sttisticil diţinle pentu plinme de divese gde, este pezenttă, pe un cdu mi genel, pe ice mdel de egesie simplă, l finlul cestui pgf Alte mdele de egesie simplă neliniă Tte mdelele ce se zeză pe lte funcţii de egesie decât ce liniă, se numesc mdele de egesie neliniă. Mdelul de egesie plinmilă simplă este un stfel de eemplu, d l fel de ine funcţi de egesie pte fi epnenţilă, lgitmică, seie de putei, funcţie tignmetică, etc. De ltfel, un mdel plinmil este de dit tunci când scpul mdelăii este să cpiem cmptmentul dtel, ştiut fiind fptul că cuă plinmilă este cu tât mi fleiilă, cu cât, ceşte gdul său. Însă un gd me pesupune şi un numă me de ceficienţi necunscuţi ce cesc ee. În plus, un mdel plinmil este un pentu peviziuni pe vli ce pţin intevlului de dte sevte (intple), d din cuz puteil mi le 9

86 viilei pedictive X, dă ei mi l peviziuni pe vli ce nu pţin intevlului de dte sevte (etple). Vm cnside în cele ce umeză, tei pleme ce justifică de lt mdele decât mdelul lini şi în unele czui, ltul decât cel plinmil. De ltfel, un mdel plinmil este dt tunci când se cută un mdel simplu pentu dte ce nu p fi linie. Mi mult, divese fenmene ele ce pin însăşi ntu plemei, numită fmă mdelului, ztă pe lte funcţii decât cele linie, cum fi funcţi epnenţilă, funcţiile tignmetice, etc. În cele ce umeză pezentăm câtev eemple de mtivţie unui mdel de egesie neliniă. În cest sens, eluăm pentu început Plem descisă în cdul supgfului 3..6, dtă iniţil pin mdele cu un mdel lini simplu şi mi pi cu un mdel plinmil. Având în vedee numite dezvntje le mdelăii plinmile, se impune şi nliz unui mdel nelini pecum şi elize unui studiu cmptiv pe mi multe mdele, inclusiv cel plinmil. Spe eemplu, pentu mdelul plinmil, din punct de vedee gfic ce mi ună juste pe să fie ce de gdul 5. Un plinm de gd mi mic nu v fi destul de fleiil pentu dte. În schim, pentu un plinm de gd mi me nu vm ve suficientă infmţie în dte pentu estim cu destulă pecizie ceficienţii, fpt ce se pte sev şi în lăţime ecesivă intevlului de încedee pentu peviziune, pe pţiunile unde nu vem dte. Aceste specte se pt sev spe eemplu, pe un plinm de gd 9, pe gficul de mi js. 6 GS vsvcv, gd Figu 3.7.Celgm, mdelul de egesie plinmilă de gd 9 şi intevlele pentu pedicţie Alte duă pleme ele ce eclmă pin specificitte l, utilize unui lt mdel decât cel lini, espectiv decât cel plinmil sunt umătele: Plem 3. Celţi dinte t de cnsume unui ectnt înt- ecţie chimică şi cncentţi ectntului. Plem 4. Celţi dinte ceficientul de dilte temică cupului şi tempetu din cuptul de peluce, în gde Kelvin. În timp ce Plem, idică necesitte de cmp divese mdele, inclusiv cel plinmil, în vedee legeii mdelului ptim, pentu Plem 3 şi Plem 4, este din stt, neces un lt mdel decât cel plinmil. Astfel, pctic tă că pentu Plem 3 este de dit un mdel zt pe funcţii putee, în timp ce, 9

87 Plem 4 eclmă un mdel zt pe funcţii ţinle, mele mdele simple nelinie. Un mdel de egesie simplă neliniă este un mdel de fm, ( X, ) ε Y f,,..., p (3.3) unde funcţi de egesie e ltă fmă decât ce funcţiei linie de gdul. Dcă, în um un tnsfmăi (lgitme, sustituţii), mdelul se pte educe l un mdel de egesie liniă simplă su multiplă, tunci mdelul se numeşte liniizil. Ttuşi înt- ună pte din litetu de specilitte, dcă funcţi de egesie este,,..., p neliniă în viil eplictivă X, d liniă în ceficienţii,, tunci mdelul este denumit geneic, mdel lini. Din cestă ctegie fc pte şi mdelele plinmile. Pentu stfel de mdele, liniizile, se ţin celeşi ezultte, indifeent dcă se justeză diect mdelul pin metd cel mi mici pătte su după liniize mdelului. Din cest punct de vedee, din cls mdelel nelinie, fc pte cele mdele, în ce funcţi de egesie nu este liniă în ceficienţi. În genel, pentu un stfel de mdel, în czul când este liniizil, juste liniă făcută după liniize este de pefet, deece juste diectă duce l un sistem de ecuţii nelinie, ce pesupune de cele mi multe i, d pime şi nu detemine ectă sluţiil. Desigu, tunci când eistă un sft cmputţinl decvt pimăii numeice, se pte dpt şi juste neliniă, de cele mi mici pătte. Oţinee un sluţii se fce în cest cz, plicând un lgitm itetiv de pime, cum fi metd Guss-Newtn. Se pneşte cu pesupunee iniţilă sup ceficienţil necunscuţi, ceşti se intduc în mdel, pe z l se clculeză vlile pezise pentu Y. În umătul ps, se intduc în mdel, vlile pevizinte le lui Y, pe z vlil iniţile le ceficienţil, pe pst de vli sevte şi se ţine pin plice justăii linie, de cele mi mici pătte, un nu set de ceficienţi. Psul se eiteeză până l îndeplinie unui citeiu de suficienţă (spe eemplu, difeenţ înte ceficienţii ţinuţi în di pşi cnsecutivi, să fie mi mică decât vle dtă). C şi cncluzie, în juste neliniă, plice diectă citeiului cel mi mici pătte, nu mi siguă celeşi clităţi pentu estimti şi de multe i, nu se junge l fm nlitică cest, ei fiind d estimţi. Din cls mdelel liniizile mintim mdelul epnenţil, hipelic, lgitmic şi mdelul funcţiei, putee. Mdelul epnenţil: Mdelul fce pte din cls mdelel nelinie (în pmeti), funcţi de egesie fiind dtă pin, ( ) y ˆ f. (3.3) Liniize mdelului epnenţil se fce pin lgitme, ţinându-se, lg yˆ lg lg, de unde cu sustituţiile, z ˆ lg yˆ, A lg, B lg, se ţine mdelul lini în X şi Z, z ˆ A B. Vlile nii viile Z, ezultă din ecuţi de sustituţie, pe z vlil viilei Y. Odtă deteminţi A şi B, din ecuţiile de sustituţie v ezult şi vlile pentu şi, mdelul fiind stfel detemint. O vintă semănăte este dtă de mdelul y ˆ e ce se liniizeză pin lgitme, ln y ˆ ln şi pin sustituţiile, zˆ ln yˆ, A ln. Mdelele epnenţile sunt ceute pentu mdele pcesel, în ce t de schim unei cntităţi este ppţinlă cu vle iniţilă legtă de cee 93

88 cntitte. Se utilizeză fecvent în studiile epidemilgice, pentu mdel ăspândie unei li infecţise pentu ce nu eistă ttment su pentu mdel divese ceştei în ppulţii ilgice, ce nu ţin cnt de fctii eteni. Mdelul hipelic (egesi ecipcă): Mdelul fce pte din cls mdelel linie (în pmeti), funcţi de egesie fiind dtă pin, y ˆ f( ). (3.33) Liniize mdelului se pte fce pin sustituţi, z, ţinându-se mdelul lini, y ˆ z, vlile nii viile Z, fiind ţinute din ecuţi de sustituţie, pe z vlil lui X, i pmetii fiind ceeşi c şi în mdelul iniţil. Vinte semănăte sunt dte de mdelele, şi yˆ, ce se ezlvă cu yˆ sustituţiile u, vˆ, d că ceste mdele nu mi sunt linie (în pmeti). yˆ Vinte de mdele cminte nelinie (în pmeti), înte mdelul epnenţil şi cel hipelic sunt dte de mdelele, y ˆ e şi e su y yˆ ˆ, ce e se liniizeză pin lgitme, ln y ˆ ln şi sustituţiile, u, vˆ ln yˆ, A ln, espectiv, pin sustituţiile u e, vˆ. ŷ Mdelul lgitmic: Mdelul fce pte din cls mdelel linie (în pmeti), funcţi de egesie fiind dtă pin, ( ) lg yˆ f. (3.34) Liniize mdelului se pte fce pin sustituţi, zˆ lg. Atât mdelul hipelic, cât şi mdelul lgitmic, se plică tunci când dtele iniţile nu se peteză l egesie liniă, d numită tnsfme l (invesul dtel, lgitmul dtel), pte fi ptivită pentu stfel de egesie. Mdelul funcţiei putee: Mdelul fce pte din cls mdelel nelinie (în pmeti), funcţi de egesie fiind dtă pin, ( ) y ˆ f. (3.35) Liniize mdelului se pte fce pin lgitme, lg yˆ lg lg şi pin sustituţiile u lg, vˆ lg yˆ. Un eemplu de plice unui stfel de mdel, este şi cel l unei ecţii chimice, în ce se ştie că t l ce se cnsumă un ectnt este în genel, ppţinlă cu cncentţi ectntului, idictă l numită putee. Din cls mdelel ce nu pt fi liniizte şi pentu ce se plică tehnicile justăii nelinie, zte pe metde itetive, mintim mdelul epnenţil-putee, y ˆ e c, mdelul putee-lgitm, yˆ c lg, mdelul dulu epnenţil, d y ˆ e ce, mdelul zt pe seii de putei-eemplu cu di temeni, 94

89 p c y ˆ, mdelul zt pe seii Fuie, yˆ 0 i cs( pw ) i sin( pw ) i Acest ultim tip de mdele este flsit pentu descie un semnl peidic, de fecvenţă w. Un lt mdel neliniizil este şi mdelul zt pe funcţii ţinle, yˆ k i i m m p i k i q i mi, unde gdul plinmului de l număăt este k i cel l plinmului de l număăt este m, cest vând şi temen lie. Dtită cestui temen lie, cele duă plinme nu cincid nicidtă, chi dcă u celşi gd. Spe eemplu, un mdel ţinl, cuic/gdul 4, v fi de fm yˆ p p p p Acest tip de mdele se flseşte c şi mdelele 4 3 q q q3 q4 plinmile, tunci când se cută un mdel simplu, pentu dte ce ce fleiilitte d nu u stuctuă cmplictă. Pleme în plice mdelului p tunci când număătul e vli ppite de ze Anliz cmptivă mdelel de egesie C şi în czul mdelului lini, studiul unui mdel de egesie ece pesupune umătele specte: detemine ceficienţil, intevlel de încedee pentu ceşti, detemine şi studiul eptiţiei eziduuil, detemine peviziunii şi intevlel pevizinle, epezente gfică cuei de egesie vizvi de dtele sevte, împeună cu intevlele de încedee pentu peviziune şi nliz cntittivă clităţii egesiei pe z un sttistici diţinle. În czul când se deşte legee mdelului ptim din mi multe mdele, după nliz sttisticil de egesie, se v lege cel mdel ce e cât mi multe sttistici ptime. Dinte sttisticile de egesie mi des utilizte, mintim : sum de pătte ezidule, ceficientul de celţie specifică, ceficientul justt, ee stndd de egesie. Sum de pătte ezidule: Acestă sttistică măsă deviţi ttlă dtel sevte fţă de dtele pezise pin mdel, fiind de dit să iă vle cât mi mică, ppită de 0. Fmul de clcul este Re z n i ( ) y yˆ S. (3.36) Ceficientul de celţie specifică: Acestă sttistică măsă cât de mult este eplictă viţi viilei ăspuns pin mdel. Pte fi pivită şi c şi păttul celţiei înte vlile sevte şi vlile pezise, le viilei ăspuns. Pentu un mdel lini, cestă sttistică este eglă cu păttul ceficientului de celţie liniă, lui Pesn. Fmul de clcul este i i R Veplict pin egesie Seplict pin egesie Vttl Sttl (3.37) Sttl - Sezidul Sezidul Sttl Sttl 95

90 dică, n ( y yˆ ) ( y y ) ( 0,) i R. (3.38) n i i i Este de dit c vle s să fie cât mi me, mi pecis, cât mi ppe de. Spe eemplu, vle de 0,85 tă că un pcent de 85% din viţi dtel este eplictă pin mdel. Dezvntjul cestei sttistici este cel că v ceşte dtă cu număul de pmeti necunscuţi, pin ume nu pezintă sigunţă în selecţi unui mdel de un numit gd dint- clsă de mdele de celşi tip. Spe eemplu, e v ceşte dtă cu gdul plinmului de juste, d st nu însemnă nepăt că un gd mi me e mi un pentu numite dte. Ceficientul justt de celţie: Acestă sttistică vine să înlătue nejunsul sttisticii pecedente, ş încât, să nu mi depindă de număul de pmeti necunscuţi, din mdel. Se ţine pin juste sttisticii nteie, cu gdele de liette, ν n p, unde p este număul de pmeti necunscuţi ce intă în mdel şi ce teuie estimţi, i n, epezintă număul de infmţii cu pivie l mdel, dică, număul dtel sevte. Fmul de clcul este i i R S S ezidul ttl ( n ) ( ν ) (3.39) Se intepeteză l fel c şi R, vle me, ppită de, indicând ună juste dtel, în timp ce vle ppită de 0, indică slă juste. Este, de semene, cel mi indict citeiu numeic, tunci când vem să intducem un nu pmetu în mdel (spe eemplu, in egesi plinmilă, un gd mi me pesupune un nu pmetu ce epezintă ceficientul puteii intduse pin cel gd) şi dim să vedem dcă în cest fel s- îmunătăţit juste. Dinte duă egesii se v păst cee ce e vle cestei sttistici, mi me. Ee stndd de egesie: Acestă sttistică este de fpt diclul eii medii păttice şi este dtă de fmul, S E ezidul, (3.40) ν cu v, pecizt mi sus. O vle ppită de 0, indică ună juste dtel, de căte mdel. În finl, dinte tte mdelele lute în clcul, înt- stfel de nliză, se v păst mdelul pentu ce sunt stisfăcute cele mi multe din cele ptu cndiţii şi nume, să iă ce mi mică sumă de pătte ezidule şi ce mi mică ee stndd, espectiv, cel mi me, ceficient de celţie specifică şi cel mi me ceficient justt. Distnţe me punctel fţă de cu de egesie, tă că mdelul nu euşeşte să justeze suficient de ine dtele (sujusteză dtele). Oţinee un intevle lgi de încedee pentu ceficienţii unui mdel tă lips peciziei în estime ceficienţil. Atunci când în zn dtel, intevlul este îngust, d se 96

91 lăgeşte simptmtic, în zn în ce nu eistă dte, însemnă că mdelul ppus supjusteză dtele su ltfel spus, dtele de ce dispunem nu sunt suficiente pentu le just cu un stfel de mdel. O stfel de situţie se întâmplă tunci când încecăm să mdelăm dtele pint-un plinm su un mdel ţinl, de gd pe me su pint- seie (Fuie, de putei, epnenţilă) cu pe mulţi temeni. Un intevl lg de încedee (nesimultn, pentu nuă sevţie) pentu peviziune, tă că mdelul nu pezintă sigunţă în peviziune. Eistenţ unui numit pten în lu eziduuil piectte fţă de y0, tă fptul că eile nu sunt întâmplăte şi este de dit îmunătăţie mdelului su studiul unui mdel mi un. De semene, pe me depăte eziduuil fţă de izntlă, y0, tă ei pe mi şi eclmă îmunătăţie mdelului su schime tipului de mdel. Este czul când mdelul sujusteză dtele Funcţii şi plicţii pivind lte mdele de egesie simplă în MATLAB Vm pezent pentu început, câtev funcţii MATLAB, utile în implemente tehnicil de egesie, pentu mdelul simplu plinmil, ce include şi czul pticul l mdelului plinmil de gdul, pin ume lini, i pi vm pezent ltă funcţie cu etindee l ic tip de egesie simplă. Nu vm pezent ici sintele cele mi genele le funcţiil ci d cele ce sunt mi ptivite în cdul mdelăii mtemtice. Cele mi utilizte funcţii în cest sens sunt funcţiile plyfit, plyvl, efcuve, plytl, cftl.. Funcţiile plyfit, plyvl, plytl se egăsesc pinte funcţiile MATLAB genele, în timp ce funcţi efcuve este funcţie specifică pchetului MATLAB Sttistics, i funcţi cftl este specifică pchetului MATLAB Cuve Fitting (pchet specilizt pe juste cuel). Sint funcţiei plyfit: Funcţi plyfit clculeză pmetii plinmului de egesie de gd N, cespunzăt dtel, utlizând metd cel mi mici pătte. >>p plyfit(, y, N) - pmetii de inte:, y-vecti-mtici clnă de ceeşi dimensiune; N- epezintă gdul plinmului de egesie; - pmetii de ieşie: p-vect de dimensiune N, cu pim cmpnentă epezentând ceficientul puteii celei mi mi lui, i ultim, temenul lie din N N pn pn... p p0. Sint funcţiei efcuve: Pentu pute nliz gfic celţi dinte puncte, espectiv viile se pte utliz funcţi plt, cu sint plt(,y) ce v desen lini plignlă dtă de punctele de cdnte, y su plt (, y, * ) ce fişeză gficul de puncte, y. În um nlizei fmei ceetui gfic putem vns ipteze cu pivie l fm funcţiei de egesie, în funcţie de cu clsică pin ce putem pim cu plignlă (cuă liniă, plinmilă de un numit gd, epnenţilă, putee, ţinlă, etc.) În czul în ce este v de pime plinmilă, pe celşi gfic se pte epezent şi cu plinmilă de egesie, utlizând funcţi efcuve, >>efcuve(p) 97

92 -pmetii de inte: p-vectul ceficienţil plinmului de egesie, detemint pin metd cel mi mici pătte, cespunzăt punctel; vectul începe cu ceficientul celei mi mi putei lui X şi se temină cu temenul lie. Cmnd de mi sus, teuie dtă după cmnd plt, îninte de închidee figuii genete şi epezintă gfic în figu cuentă, ţinută cu funcţi plt (,y, * ), cu plinmilă de egesie, cespunzăte punctel, dtă pin plinmul specifict pin ceficienţii din vectul p. Sint funcţiei plyvl: Funcţi plyvl clculeză peviziune pe z plinmului de egesie, detemint de plyfit. >>ypeviz plyvl(p,nu) -pmetii de inte: p-vect de dimensiune N, ce stcheză pmetii N plinmului de egesie, începând cu ceficientul lui şi teminând cu temenul lie; epezintă ezulttul funcţiei plyfit; nu-mtice ce cnţine vlile ni le viilei eplictive, vli pe ce se deşte fi clcultă peviziune; -pmetii de ieşie: ypeviz-mtice de ceeşi dimensiune cu nu, ce cnţine vlile viilei ăspuns y (cespunzăte vlil ni le lui ), pevizinte din plinmul de egesie dt pin vectul ceficienţil de egesie, p. Sint funcţiei plytl: Funcţi plytl cpeă tte fcilităţile feite de funcţiile de mi sus, pin intege gficel şi ăspunsuil numeice înt- intefţă intectivă, ce pemite cntlul justii de cele mi mici ptte pint-un plinm. >>plytl(, y, N, lf) -pmetii de inte:, y-vecti - mtici clnă - de ceeşi dimensiune; N- epezint gdul plinmului de egesie; lf epezintă pgul de semnificţie dmis pentu intevlele de încedee deteminte pentu ceficienţii mdelului şi pentu peviziune; -pmetii de ieşie: infmţiile fundmentle legte de mdelul plinmil de egesie simplă (ceficienţi, epezente gfică, peviziune, intevle de încedee, etc.), încpte înt- intefţă gfică intectivă; mi pecis, funcţi plytl ceeză un gfic intectiv l plinmului de egesie de gd N, pentu viil ăspuns y şi viil eplictivă, împeună cu punctele sevte şi cu intevlele de încedee de tip ( α )00 % pentu peviziune (vle implicit este de 95%), pecum şi cu câtev infmţii numeice legte de mdelul plinmil; intefţ gfică pemite cntlul sup legeii vlii pentu ce dim peviziune şi eptul un pmeti pecum vle pevizintă împeună cu intevlul de încedee, pmetii de egesie împeun cu intevlele de încedee şi eziduuile. În figu de mi js, se pte sev intefţ gfică pentu plytl, ce fişeză cu de egesie plinmilă de gdul 3, pecum şi sumeniul pentu eptul de dte (ceficienţii de egesie, intevle de încedee pentu ceficienţi, vle lui y pezisă, cespunzăte vlii lui, settă pe izntlă, 5,5, intevlul de încedee pentu peviziune şi eziduuile) căte spţiul de lucu. În gfic se sevă tei tipui de cue, cu empiică dtel, epezenttă pin puncte, cu plinmului de egesie, de gd 3, de cele mi mici pătte, cespunzăt dtel, epezenttă pin linie cntinuă şi cele duă cue semnificând intevlul de încedee pentu peviziune, epezentte pin cue punctte. În pte 98

93 de sus, se sevă fişjul din ce se pte schim gdul plinmului, schimânduse implicit şi gficul, i în de instumente de sus, putem schim tipul de intevl de încedee din Bunds, metd de juste din Methds, insee titlu şi lte etichete din Inset, edite imginii din Tls, etc. Figu 3.8. Mdelul de egesie plinmilă de gd 3. Eptul intevlel pentu pedicţie Sint funcţiei cftl: Cmnd cftl, pemite deschidee unei intefeţe gfice piecttă pentu juste dtel de tipul, y, şi implicit pentu detemine unui mdel de egesie simplă înte viil ăspuns şi viil pedictivă. Aplicţi dispune de seie de mdele clsice, linie în pmetii su nelinie, pecum şi de psiilitte de luc cu mdele scise de utilizt. Dcă în spţiul de lucu eistă setul de dte şi cest este lct cespunzăt în duă viile, şi y, este suficient c de l tsttuă să pelăm cmnd: >>cftl. Pin cestă cmndă se deschide intefţ gfică pin intemediul căei putem încăc dtele din spţiul de lucu, în sesiune cftl. Rezulttele ţinute se pt slv din intefţă, c iect MATLAB cu etensi cfit şi pt fi pi încăcte tt din intefţă, l nuă pele cmenzii cftl, pin pţiune ld. În imgine de mi js, se pte sev intefţ pentu cftl, în ce ptăm pentu sumeniul Dt şi pi din feest de dilg Dt, încăcăm dtele din spţiul de lucu, pentu şi y. Pin click pe utnele Cete dt set şi View putem vizuliz în inetfţă, dtele, tât gfic cât şi numeic. S-u utilizt dtele din Plem, descisă în supgful

94 Figu 3.9. Intefţ pentu cftl. Cnstucţi setului de dte Pin utlize utnului Fitting se v deschide ltă feestă de dilg, în ce se elizeză efectiv juste, funcţi cftl vând încpte divese tipui de mdele de juste (plinmil, epnenţil, putee, ţinl, etc.) pecum şi psiilitte de defini un mdel de căte utilizt. Din nu feestă de dilg, selectăm tipul justăii, spe eemplu, ş cum se pte sev în imgine, s- selectt tipul plinmil de gdul 3 şi pin utilize utnului Apply, pimim duă tipui de infmţii, numeice şi gfice. Infmţiile numeice sunt fişte în feest de dilg Fitting, se efeă l fm nlitică mdelului, l ceficienţii funcţiei de egesie, împeună cu intevlele de încedee, pecum şi l câtev sttistici de egesie cum fi R, tte ceste infmţii putând fi eptte spe spţiul de lucu, pin click pe utnul Sve t wkspce. Infmţi gfică su fmă de cu de juste împeună cu dtele epezentte pin puncte se fişeză în feest pinciplă de dilg pentu cftl; pin click pe utnul View din de instumente, putem pt pentu fiş supliment cuele pentu intevlele de încedee şi eziduuile. Infmţi gfică pte fi slvtă c imgine, în vedee inseăii înt-un dcument wd. 00

95 Figu 3.0. Intefţ pentu cftl. Alegee mdelului Pin click pe utnul New fit, se pte cntinu cu lte justăi ce se v fiş pe celşi gfic. Astfel, se pte junge l ce mi ună mdele, cmpând pe ceeşi intefţă, tât gfic cât şi numeic pin sttisticile ce du clitte egesiei, divese tipui de mdele pentu celşi set de dte. Intefţ dispune şi de lte fcilităţi pecum evlue funcţiei de egesie în numite puncte ( Anlysis ), epezente d numit cue de egesie din cele încecte, pentu înlesni cmpţi (Pltting), etc. Pe lângă ilitec de mdele încpte în intefţă, cftl dispune de duă tipui de suintefeţe pentu mdele definite de utilizt (din Type f fit, legem Custm Equtins. Pim intefţă, se pte vizuliz în imgine de mi js şi pesupune psiilitte definiii ecuţiei unui mdel lini în pmetii, utiliztul intducând în intefţă d sufuncţiile din epesi liniă f f... mdelului ( ) ( ) c. 0

96 Figu 3.. Intefţ pentu cftl. Cnstucţi unui mdel lini în pmeti definit de utilizt În imgine de mi js, este pezenttă intefţ pentu celăllt cz l ecuţiei definite de utilizt şi nume un mdel nelini în pmetii, în cest cz, utiliztul specificând diect ecuţi mdelului şi vlile iniţile pentu pmetii necunscuţi, necese în metd itetivă Guss-Newtn (mdelul nemifiind lini, sluţi pentu ceficienţi nu mi este ectă). Figu 3.. Intefţ pentu cftl. Cnstucţi unui mdel nelini în pmeti definit de utilizt 0

97 Spe eemplu, epesi MATLAB *sin(-pi) *( ^)d*(-3)c este liniă în pt cu tţi pmetii, în timp ce epesiile *ep(-*)c, *sin(-*)c*cs(- d*), *sin(-*)c*sin(-d*) sunt nelinie, pim fiind liniă în, c d neliniă în, deci pe nsmlu neliniă, du liniă în, c, neliniă în şi d, i tei, l fel. În cele ce umeză vm cnside Plem 4 din supgful 3.3.., efeite l celţi dinte ceficientul de dilte temică cupului şi tempetu din cuptul de peluce, în gde Kelvin. C şi dte sevte vm flsi fişieul hhn.mt din liăi de dte MATLAB-ului şi vm vede că cel mi ptivit mdel este mdelul ţinl 3- (cuic/cudtic). Încăcând dtele în intefţ cftl, ţinem umăte epezente pentu cele 36 de dte ([5]): Figu 3.3. Intefţ pentu cftl. Vizulize setului de dte hhn Pentu început, se pt încec (spe eemplu c temă de lt, divese justăi cum fi plinme (spe eemplu, gdul 3, 4, 5), putee, epnenţil, Fuie, ţinl. În cdul mdelului plinmil se fc divese justăi, spe eemplu de tipul, 5-5, -5, 5-, -, 3-3, -3, 3- şi se nlizeză diect su pin cmpţie clitte justăii, jungându-se l cncluzi că mdelul 3- este cel mi ptivit pentu dte. De eemplu, pentu 3-3 (cuic pe cuic) ţinem umăte epezente gfică în ce se pte sev că cestă cuă de egesie nu euşeşte să se ppie fte ine chi de tte dtele şi mi mult eziduuile mnifestă tendinţă, dică nu sunt întâmplăte (sunt multe eziduui cnsecutive peste 0 şi de semene, multe cnsecutive peste 0). 03

98 Figu 3.4. Mdelul ţinl de gd 3-3, celgm, cu de egesie şi eziduuile De semene, ezulttele mumeice pezentte mi js, ne tă că ezulttele nu cnveg, pin ume mdelul este legee slă pentu dte. Figu 3.5. Afişjul ezulttel numeice pentu ceficienţii mdelului şi intevlele de încedee În schim, dtele gfice pezentte mi js pentu mdelul 3-, indică ună juste dtel (eziduui făă pten, letiu împăştite în juul lui 0): 04

99 Figu 3.6. Mdelul ţinl Teme de lt în MATLAB Tem. Încăcţi în spţiul de lucu MATLAB, fişieul GVdt.dt (un fişie ce cnţine dtele Plemei din supgful 3..6). Aplicând funcţi plytl pentu difeite gde (de l până l 0), cmpţi din punct de vedee gfic, difeite mdele plinmile de egesie. Relizţi şi nlizţi de semene cmptiv, gficele eziduuil pentu mdelele plinmile de gdul, 5 şi 9. În um cest nlize, legeţi cel mi ptivit gd.. Pe z funcţiil MATLAB, efcuve, plyfit, plyvl, epezentţi în celşi gfic, punctele şi plinmul de egesie, pentu gdul les l punctul, clculţi pmetii plinmului de egesie, pentu celşi gd, clculţi vle viilei ăspuns VcV, estimtă (pevizintă) pe z mdelului pentu vle glicemiei, GS În vedee legeii unui mdel ptim, plicţi funcţi cftl pentu celeşi dte, utilizând mdele plinmile de divese gde, mdele epnenţile, mdele putee, mdele Fuie, mdele ţinle. Cmentţi ptivie fiecăui mdel l dte, pin nliz gfică ( cuei de egesie, intevlel pentu peviziune şi eziduuil) şi pin nliz cntittivă ( intevlel de încedee pentu ceficienţi şi sttisticil ce du clitte egesiei). 4. Aplicând cftl ceţi duă mdele ni, neeistente în z de mdele, unul ce să fie lini în pmetii, espectiv un mdel nelini în pmeti. Relizţi juste dtel şi cmentţi ptivie cest mdele l dte. 05

100 3.4. Mdele de egesie multiplă Fundmente mdelului de egesie multiplă Atunci când viil ăspuns, Y, depinde de di su mi mulţi fcti pedictivi (eplictivi), X, X,..., X p, egesi se numeşte multiplă şi mdelul cespunzăt v fi ( X X X ) ε Y f,,..., p. (3.4) C şi în czul mdelului de egesie simplă, cel mi utilizt mdel de egesie multiplă este mdelul lini multiplu. Se numeşte mdel de egesie, multiplu, lini, înte viil Y şi viilele X, X,..., X p, mdelul Y p k X k k ε. (3.4) Plem egesiei multiple cnstă în studiul cmptăii viilei Y, în pt cu fctii X, X,..., X p. Acest studiu evine l evlue pmetil (ceficienţil) de egesie,,,..., p. Estime ceficienţil de egesie se fce pe z unui eşntin de vlum n. În cele ce umeză v fi ttt mdelul lini, însă multe dinte specte sunt vlile şi pentu un mdel ece. Dcă sciem mdelul pentu fiece sevţie, p i, n, y i, i, i,..., ip, vem yi k i ε k i. Mdelul pte fi scis su fmă k mticelă, flsind ntţiile:... p... p (,,..., p ), n > p, (3.43) n n... np n y ( y, y,..., y ) R n, (,,..., p ) R p, n ε ( ε, ε,..., ε ) R n. Astfel, mdelul se pte scie su fm mticelă y ε. În vedee estimăii lui, se justeză mdelul pin citeiul cel mi mici pătte ce cnstă în minimize epesiei: n ε ε ε. (3.44) i i 06

101 Dcă ng ( ) p (clnele mticei, dică vectii,,,..., p, sunt vecti lini independenţi), tunci sluţi justăii pin citeiul cel mi mici pătte este dtă de fmul ( ) y. (3.45) Nţiuni utilizte în tei mdelel de egesie: Se numeşte vle justtă su pezisă lui y (în mdelul lini), vle yˆ ( yˆ, yˆ,..., yˆ n ) R n, definită de y ˆ.Se numeşte mtice de influenţă mdelului, mtice H ce tnsfmă vle y, în vle justtă, ŷ, dică, y ˆ Hy. Se numeşte eziduu, vle e y yˆ ( I H )y. În czul mdelului lini, mtice de influenţă e fm ( ) H. Un cz pticul l mdelului lini, ce fce mi uş tecee l mdelul lini simplu (cu singuă viilă eplictivă), este mdelul lini cu temen cnstnt, ce se ţine din mdelul lini înlcuind unul dinte pedicti cu vectul cnstnt (,,,). Iptezele mdelului: Pentu c estimtii ceficienţil să iă numite ppietăţi este neces c mdelul să stisfcă numite ppietăţi efeite l ε, dică ε N, E ( ε ), ( 0,0,..., 0) IR n şi V ( ε ) E( ε ε ) σ I. Dcă eile îndeplinesc cestă cndiţie tunci mdelul se numeşte mdelul clsic Guss Mkv i făă cndiţi de nmlitte, mdelul se numeşte d Guss Mkv. Pentu ee ce stisfce ceste ipteze se flseşte şi denumie de zgmt l. Ipteză că ee este de medie nulă, tă fptul că eile din mdel nu sunt ei sistemtice ci întâmplăte. Se mi spune că mdelul este cu ei nmle, independente şi identic distiuite (i.i.d.). Cndiţi ee. Astfel, vem cndiţi: N (,σ I ) V ( ε ) E( ε ε ) σ I se pte scie si su fm, V ( ) i σ, i, n, hmscedstic) împeună cu cndiţi cv (, ε ) 0, i j, i, j n i j, ε (mdel ε (mdel cu ei necelte). O ltă cndiţie, pe lângă cele pivind ee, este c pedictii (viilele eplictive) să nu fie celţi înte ei. Pentu czuile când mdelul nu stisfce un din cndiţii eistă eguli de cecte mdelului, d estimtii ţinuţi nu mi u celeşi clităţi. Nevlide cest ipteze duce l ei mi în mdel, de cee, pentu nu cmpmite din stt mdelul, se încecă stisfcee cest cndiţii. E ine de specifict că, ceste cndiţii nu u legătuă cu ccteul lini l mdelului, de cee le putem întâlni şi l lte mdele, unde v fi nlizte în md semănăt. În vedee nlizei clităţii mdelului de egesie, se fce infeenţ sup ceficienţil estimţi şi sup ceficientului de celţie. C şi în mdelul simplu, intevlele de încedee pentu ceficienţi şi pentu peviziune, teuie să fie cât mi mici şi sttisticile de egesie, ce se definesc simil cu cele de l czul simplu, teuie să fie ptime. Se pte detemin şi un intevl de încedee pentu ee, intevl ce teuie să-l cnţină pe 0, pentu un mdel în ce eile sunt cceptile. Atunci când eistă sevţii pentu ce intevlele de încedee pentu eziduul cespunzăt, nu-l cnţine pe 0, se pefeă cecte mdelului pin elimine cel sevţii din mdel. Metdele de cmpţie gfică întâlnite l mdelul simplu, nu mi pt fi flsite ici, deece teui s epezentăm dte 07

102 multidimensinle. Se pt utiliz însă gfice idimensinle ce să ede pe ând celţi dinte viil ăspuns şi câte un pedict. Teste pentu ceficienţii mdelului şi pentu ceficientul de celţie: ( 0) Iptezele cestui test sunt iptez nulă, : ( 0) H 0 k k şi ltentiv ei, H : k k, ceillţi ceficienţi fiind în f iptezel. Testul se fundmenteză pe sttistică de tip Student, cu n p gde de liette, n, număul dtel, i p, număul ceficienţil. Un cz pticul l cestui test este cel l semnificţiei ceficientului α, test zt pe iptezele, H : α 0 şi H : α 0. În czul în ce iptez nulă k 0 k k se cceptă, vem justifice pentu elimin pedictul X k, din mdel, ceficientul lui, nefiind semnifictiv difeit de 0. Pentu eliz infeenţ sup ceficientului de celţie, se flseşte sttistică F, de tip Fishe Snedec, cu p- şi n-p gde de liette, şi se emite iptez nulă, R 0, ipteză ce infimă egesi liniă. Pentu teste iptezei se i în clcul un numit pg de semnificţie. Spe eemplu, în Mtl, se întce c şi infmţie de egesie, vle clcultă sttisticii F şi p vle scită cestei sttistici, c F p F. Dcă c ϕ, ϕ, pg de dică pilitte citică, ( ), n p clcult semnificţie, se espinge iptez nulă. În czul egesiei multiple, pe plem iehizăii gdului de imptnţă pedictil, în mdel păstându-se d cei fcti ce u influenţă semnifictivă viilei ăspuns. Eistă duă metde de selecte fctil ce v int în mdel şi nume egesi ps cu ps, diectă (fwd stepwise egessin), espectiv egesi ps cu ps invesă (ckwd stepwise egessin). În egesi diectă, se nlizeză celţi simplă dinte viil ăspuns şi fiece pedict în pte pin ceficientul de celţie, legând cel mi putenic pedict c fiind viil ce e cel mi me ceficient de celţie şi ce mi mică pilitte citică l tesul F, pentu ceficientul de celţie. Cel mi putenic pedict v fi pim viilă eplictivă ce intă în mdel. Dinte viilele ămse se lege cee ce e ce mi me celţie (stcţie făcând de semn) cu eziduuile mdelului de l psul ntei. Se epetă pcedeul până când efectul intduceii unei ni viile în mdel devine nesemnifictiv. În egesi invesă, se pcedeză nlg d se pneşte cu tte viilele în mdel şi se elimină pe ând cele ce nu u efect semnifictiv. Pentu decizi finlă se iu în clcul mele metde. Mdele nelinie: În plicţiile ştiinţifice, eistă de icei suficientă teie elevntă ce să impună numită fmă ş zisă mecnică mdelului, de icei neliniă. Mdelele nelinie sunt dificil de justt, necesitând pesupunei iniţile sup ceficienţil şi metde itetive. Un stfel de cz v fi pezentt în pte de plicţii pgfului. În cele ce umeză vm pezent lte duă pleme ele ce necesită utilize unui mdel multiplu şi ce v fi pelte pe pcusul pgfel cu plicţii şi teme de lt. Plem 5. Celţi dinte numiţi indicti ilgici pentu lnvii de fiză chistică. Se cnsideă un lt de 5 de lnvi cu fiză chistică pentu ce s-u înegistt dtele pivind pesiune sttică mimă espitie PEm (cm H O), cnsidetă c viilă ăspuns, Y, vâst (ni), seul (cdt, 0-M, -F), înălţime H(cm), geutte G(kg), ms cpului BMP(G/H ), vlumul fţt epitiu înt- 08

103 secundă FEV, vlumul esidul RV, cpcitte funcţinlă ezidulă FRC, cpcitte ttlă plămânului TLC. Din egesi ps cu ps, diectă s- ţinut mdelul PE m G.005 BMP. Din egesi ps cu ps invesă, mdelul ezultt este : PE m G.465 BMP. 09 FEV. În genel, se păsteză în mdelul finl, pedictii ce p în mele mdele, cu ceficient semnifictiv, dică, în cest cz, geutte G şi BMP. Dtele sunt pezentte mi js, ultim clnă epezentând vlile viilei ăspuns ([9]): Vâst Seul H G BMP FEV RV FRC TLC PEm Telul 3.3. Vlile indictil medicli pentu 5 de lnvi cu fiză chistică Plem 6. Celţi dinte t ecţiei şi cncentţiile ectnţil în mdelul Hugen-Wtsn. Mdelul Hugen-Wtsn de celţie tei ecţiei cu cncentţiile 3 5 ectnţil ([5]) este dt de elţi, Rt ectiei, unde,, 3, epezintă cncentţiile de hidgen, n-pentn şi izpentn. Vlile tei de schim ecţiei sunt 8.55, 3.79, 4.8, 0.0,.75, 4.39,.54, 4.35, 3, 8.5, 0.05,.3, 3.3, i vlile cncentţiei ectnţil sunt pezentte, în dine descisă, pin dtele de mi js

104 Hidgen n-pentn Izpentn Telul 3.4. Vlile cncentţiei ectnţil pentu mdelul Hugen-Wtsn Funcţii şi plicţii pivind mdelul de egesie multiplă în MATLAB Funcţi nlinfit, nlg funcţiei plyfit, se pte plic şi pentu czul egesiei multiple, fiece clnă din mtice X, cnţinând vlile pentu câte viilă eplictivă, mtiv pentu ce v fi pezenttă în cest pgf, împeună cu funcţiile destinte egesiei multiple, egess, cplt şi stepwise. C eemplu, vm cnside pentu început dtele stcte în mtice me din MATLAB ([5]): X X X3 X4 X5 Y Telul 3.5. Vlile cel 6 viile din mtice me 0

105 Cu umătele cmenzi vm cnstui pmetii de inte pentu funcţiile destinte egesiei multiple: >>ld me >>X [nes(size(me,),) me(:,:5)] >>y me(:,6) Sint funcţiei egess: Funcţi egess fce pte din Sttistics Tl şi pemite detemine pmetil unui mdel multiplu de egesie liniă, împeună cu intevlele de încedee. De semene, se mi pte etun c ezultt, şiul eziduuil împeună cu intevlele de încedee şi cu câtev sttistici ce du clitte egesiei. Sint ce mi cmpleă este >>[,int,,int,stts] egess(y,x,lph). -În pmetii de inte y, espectiv X, se stcheză dtele înegistte pentu viil ăspuns, espectiv pentu viilele fcti, clnele mticii X epezentând câte un fct. În pmetul de inte lph se stcheză pgul de semnificţie pentu intevlele de încedee deteminte în cdul egesiei. -În pmetii de ieşie, espectiv int se stcheză vectul pmetil mdelului, dine fiind cespunzăte dinii din X, dică pim vle din este ceficientul pimului fct X, i int stcheză cpetele intevlel de încedee cespunzăte pmetil de egesie. În, espectiv int se stcheză vectul eziduuil (de dimensiune eglă cu număul de dte), espectiv intevlele de încedee pentu eziduui, i în stts se etuneză în cestă dine, vle lui R, vle sttisticii F scite iptezei că tţi ceficienţii de egesie sunt 0, espectiv vle de semnificţie p, scită cestui test. Pentu plice cectă este necesă edefinie mticei X c fiind X[nes(size(y) X], stfel încât egesi să fie cu temen lie şi în cest cz pimul pmetu estimt este temenul lie. Spe eemplu, pentu dtele din mtice me, stts , dică indică fptul că mdelul cpeă dtele în ppţie de 80%, i vle F cu nivelul indică fptul că este destul de impil că tţi ceficienţii sunt ze. Sint funcţiei cplt: Funcţi cplt fce pte din Sttistics Tl şi e sint : >>cplt(, int). Pin cestă cmndă se epezintă gfic eziduuile clculte cu egess, împeună cu intevlele de încedee, cele mi cceptile eziduui fiind cele l ce intevlul de încedee îl cnţine pe 0. Spe eemplu, l dtele stcte în mtice me, gficul v fi umătul:

106 Figu 3.7. Vizulize dtel de tip utlie cu jutul intevlel de încedee pentu ezidui În feest gficului elementul utlie l căui intevl de încedee pentu eziduu nu-l cnţine pe 0 este desent cu şu, celellte segmente fiind desente cu vede. Sint funcţiei stepwise: Funcţi stepwise fce pte din Sttistics Tl şi pemite utilize unei intefeţe intective pentu detemine fctil cei mi semnifictivi pentu cnsidee l în mdelul lini. Se pte plic şi pentu egesi fwd, plecând de l un fct şi dăugând pe cei mi imptnţi, în funcţie de numite sttistici de egesie ţinute, fie pentu egesi ckwd, plecând de l tţi fctii şi eliminând pe ând câte unul ce este mi puţin semnifictiv. Sint este >>stepwise (X, y). Pentu eemplifice vm cnside ltă ză de dte hld în ce vlile viilel fcti sunt stcte în mtice ingedients ([5]), X X X3 X Telul 3.6. Vlile viilel ingedients din mtice hld i vlile pentu viil ăspuns sunt stcte în vectul het : 78.5, 74.3, 04.3, 87.6, 95.9, 09., 0.7, 7.5, 93., 5.9, 83.8, 3.3, 09.4.

107 Cmnd >>stepwise(ingedients, het) v duce l deschidee unei intefeţe intective cu tei feeste: Figu 3.8. Intefţ funcţiei stepwise În feest din stâng sunt fişte cu cule vede, ceficienţii împeună cu intevlele de încedee. Un fct este nesemnifictiv pentu mdel, deci pte fi eclus, tunci când este nesemnifictiv difeit de ze. În feest din stng, un stfel de ceficient v ve intevlul de încedee ş încât să-l cnţină pe 0, i lini intevlului este epezenttă punctt. De semene, un intevl de încedee scut v ăt pecizie în estime ceficienţil. În feest din mijlc vem infmţiile numeice pivind ceficienţii, intevlele de încedee, pecum şi câtev sttistici de egesie. Spe eemplu, mdelul este cu tât mi un cu cât e RMSE (ee) mi mică şi R-sque mi me. În ultim feestă sunt epezentte eile RMSE cu intevlele de încedee cespunzăte, cnsecutiv pentu fiece mdel încect. Pentu încec şi lte mdele, dică elimin su dăug un temen, se fce click pe temenul cespunzăt în feest din stâng, cule cestui schimându-se din vede în şu, cee ce însemnă că fctul espectiv nu mi este în mdel, i pentu ceillţi fcti se schimă infmţiile în funcţie de detemine cestui nu mdel. Dcă vem să eintducem fctul în mdel, fcem din nu click pe cel fct. Atunci când vem egesie ckwd, ecluzând pe ând câte un fct v fi de pefet să-l ecludem pe cel ce e vle mi ppită de ze. Când cmpăm mdelele îl vm păst pe cel ce e cel mi me R-sque, ce mi mică RMSE (pe ultim feestă se pt cmp gfic), espectiv ce e cât mi puţini ceficienţi epezentţi punctt. 3

108 Figu 3.9. Intefţ funcţiei stepwise. Mdel cu tei temeni În imgine de mi sus, este epezentt mdelul cu tei temeni, ţinut pin ecludee celui de-l teile temen din cei ptu, ce e cel mi ppit de 0. Se vede că pimul ceficient devine stfel semnifictiv difeit de ze, RMSE scde, i R-sque scde nesemnifictiv (tificil, dtită scădeii număului de ceficienţi). Dcă vem să vem vem în mdel d ceficienţi semnifictivi, tunci mi teuie să cntinuăm cu ecludee fctil neimptnţi. Vm încec duă vinte, un în ce ecludem fctul l dile din pimii ptu şi lt din ce ecludem ultimul fct. Pentu fctul l dile eclus, ţinem, Figu 3.0. Intefţ funcţiei stepwise. Mdel cu pimul şi ulitmul temen dică tţi fctii ămşi sunt semnfictivi, i RMSE ceşte, espectiv R-sque scde nesemnifictiv, RMSE,734, R-sque0,975. În czul în ce ecludem ultimul fct şi îl eintducem în mdel pe cel de-l dile, ţinem: 4

109 Figu 3.. Intefţ funcţiei stepwise. Mdel cu pimii di temeni dică, vem de semene mii fcti ămşi semnifictivi, i RMSE,406, R- sque0,9787. Deci, cum RMSE este mi mic şi R-sque mi me, pefeăm cestă ultimă vintă. Pe gficul din ultim feestă pim ă epezintă vesiune cu ptu temeni, du vesiune cu tei, tei vesiune cu di fcti, pin ecludee celui de-l dile, pt din nu vesiune cu tei fcti după eintducee în mdel fctului l dile, i ultim vesiune cu di fcti după ecludee celui de-l ptule. Dcă m încecd să ecludem mi mult, eliminând şi fctul l dile, ămânând cu un mdel cu un singu fct, pimul, ce pe cel mi semnifictiv, se pte sev că R-sque scde eget de mult, în timp ce RMSE ceşte pe te, ş cum se pte sev şi în figu umăte, pin ume, păstăm în mdel pimii di fcti. Figu 3.. Intefţ funcţiei stepwise. Mdel cu un singu temen 5

110 Sint funcţiei nlinfit: Funcţi se zeză pe juste neliniă pin metd itetivă Guss-Newtn, estimând ceficienţii unui mdel nelini: >> etht nlinfit(x,y,fun,et) - pmetii de inte: X, espectiv y, stcheză vlile viilel fct, espectiv le viilei ăspuns, FUN cnţine funcţi pin ce se deşte juste şi ce teuie definită cu pcedu FUNCTION din MATLAB, de fm yht myfun(et,x) i et cnţine vectul vlil de iniţilize pentu ceficienţii ce umeză fi deteminţi. - pmetii de ieşie: etht este vectul estimţiil ceficienţil mdelului descis de funcţi FUN. Pentu eemplifice, vm cnside mdelul Hugen-Wtsn descis în 3 5 Plem 6 din supgful 3.4., de ecuţi t ectiei şi dtele din fişieul MATLAB ectin cu viilele fcti ectnts şi viil ăspuns te, ce cnţin dte simulte pentu cest eemplu ([5]). Se pte sev că fctii nu intă lini în mdel. Funcţi Hugen dtă de ecuţi de mi sus se defineşte înt-un fişie cu etensi.m, cnţinând umătele linii de cd: >>functin yht hugen(et,) >> et(); >> et(); >>3 et(3); >>4 et(4); >>5 et(5); >> (:,); >> (:,); >>3 (:,3); >>yht (* - 3/5)./(*3*4*3); Pentu just dtele cu cestă funcţie se pecizeză un vect pentu et, de eemplu, et [; ; 5; ; 3] şi se dă cmnd >>etht nlinfit(ectnts,te,'hugen',et) Se ţine ezulttul etht ( ) Teme de lt în MATLAB Tem 3. Incăcţi fişieul ce cnţine dtele Plemei 5, descise în supgful Alegeţi cel mi un mdel lini pentu ceste dte, utilizând funcţi stepwise.. Deteminţi ccteisticile mdelului (vle ceficienţil, eziduuile, intevle de încedee pentu ceşti, etc.) cu funcţi egess. Repezentţi gfic eziduuile. 3. Ppuneţi pentu ceste dte, un mdel nelini în pmetii şi lucţi pe cel mdel cu funţi nlinfit. 6

111 Cpitlul 4 Pcese stchstice stţine plicte în pcese semnlel Mdelele piliste fmeză fundmentul teiei infmţiei. Infmţi c te este cuntifictă în temeni de lgitimi şi pilităţi. Mdelele piliste sunt flsite pentu ccteiz şi pezice piţi unui eveniment let în ii divese pecum pedicţi număului de pelui telefnice de pe mgistlă înt- numită peidă zilei, mdele tficului ut, mdele dtel finncie, pedicţi efectel medicmentel în funcţie de dtele epeimentle etc. În pcese semnlel mdelele piliste sunt flsite pentu descie viţiile semnlel lete în plicţii pecum ecunştee fmel, cde semnlel şi estime l. În cest cntet pcesele stchstice sunt clse de semnle că fluctuţie în timp este pţil su cmplet lete, c de eemplu vitul, muzic, imginile, zgmtele şi semnlele vide. O desciee cmpletă cest semnle se elizeză cu jutul unui mdel pilistic, d ele pt fi ccteizte şi cu jutul un instumente sttistice simple pecum medie, celţie su densitte spectlă. 4.. Semnle lete şi pcese stchstice Semnlele, în funcţie de ccteisticile l fundmentle pt fi clsificte în duă ctegii: semnle deteministe şi semnle lete. În limjul teiei pcesăii semnlel funcţiile lete de timp se mi numesc semnle stchstice. În fiece clsă în pte, un semnl pte fi cntinuu su discet (c funcţie de timp) şi pte ve de semene mplitudine cntinuu su discet vlută. Un semnl deteministic pte fi definit c unul de pcuge tiectie pedefinită în timp şi spţiu. Fluctuţiile ecte le unui semnl deteministic pt fi cmplet descise în temeni de funcţii de timp, i vle ectă semnlului l un numit mment este pedictiilă în funcţie de desciee funcţinlă istiei tecute semnlului. De eemplu undă sinusidlă (t) pte fi mdeltă şi pezisă cu cuteţe fie pint-un mdel pedictiv lini de dinul di fie pin mult mi fmili fmă ecuţinlă t () Asin( π ft φ). Semnlele lete u fluctuţii impedictiile; c te nu se pte fmul ecuţie ce să-i pezică vle ectă în funcţie de isti tecută semnlului. Mjitte semnlel, c vitul su zgmtele sunt, cel puţin în pte, semnle lete. Cnceptul de let este stâns legt de cnceptele de infmţie şi zgmt. Înt-devă, me pte din pcese semnlel lete e de fce cu etgee infmţiei din seve zgmtel. Dcă un semnl fi s iă cpcitte de cupinde infmţie, tunci el teuie să iă un numit gd de let: un semnl pedictiil nu mi cnţine infmţie. De cee pte lete unui semnl este cnţinutul infmţinl l semnlului su zgmt su mele. Deşi un semnl let nu este cmplet pedictiil, cest pezintă un set de ccteistici sttistice ine definite pecum minumul, mimul, medi, medin, vinţ şi densitte spectlă. 7

112 4... Tipui de pcese stchstice În genel pin pces stchstic înţelegem un şi infinit de viile lete ( X(0), X(), K ) cu câte viilă lete pentu fiece mment de timp şi vlile (su elizăile) cest se epezintă c un şi infinit de numee ([0], [], K ). Un pces let se v nt succint Xn [ ] vând elizăile n [ ], n pcugând mulţime numeel ntule, dică n 0,, K. Flsim pntezele depte pentu indic fptul că lucăm cu pmetu de timp discet. În cnsecinţă, flsim şi teminlgi pces let cu pmetu de timp discet vs. pces let cu pmetu de timp cntinuu. De multe i însă vem nevie să pivim un pces c vând tecut infinit, deci cu pmetul de timp pcugând mulţime întegil şi nu d mulţime numeel ntule. Un stfel de pces îl vm numi pces infinit spe difeenţă de cel definit ntei, ce se mi numeşte pces semi-infinit. După vlile pcesel, discete su cntinue, distingem înte pcese cu pmetu de timp discet si vli discete (DTDV), espectiv celelte psiile cminţii, nume pcese cu pmetu de timp discet şi vli cntinue (DTCV), pcese cu pmetu de timp cntinuu şi vli discete (CTDV) su pcese cu pmetu de timp cntinuu şi vli cntinue (CTCV). Aceste nu sunt însă singuele psiile, ci mi distingem multe lte tipui de pcese tât în funcţie de mulţime pcusă de pmetul de timp cât şi de mulţime unde pcesul i vli (vezi [6]). Un lt tip de clsifice este cel dt de numite ppietăţi le pcesului, în specil de ppietăţi le funcţiei sle de celţie. Astfel dcă funcţi de (ut)celţie este invintă l tnslţie vim despe pcese stţine, i dcă funcţi de (ut)celţie pcesului e epezente integlă, vim despe pcese mnizile (vezi şi [6 3., 3.4]). Având în vedee însă că în pcese semnlel ce mi ună mdele cnfeă pcesele stţine, vm intduce în secţiune umăte mi în detliu cest tip de pces let Ccteistici le pcesel lete Vm începe pin miti câtev măimi ce ccteizeză viilă lete. Funcţi de pilitte unei viile lete X, nttă P (), v fi funcţie definită pin elţi PX [ B] PX [ B], pentu fiece elină B. Duă viile lete X şi Y se zic identic distiuite, X~Y, dcă funcţiile l de pilitte sunt egle, i.e. PX[ B] PY[ B], pentu ice elină B. Funcţi de eptiţie unei viile lete X v fi dtă de elţi FX ( ) PX [ ], pentu ice. În czul unei viile lete discete distingem funcţi de pilitte în msă (su Pility Mss Functin) dtă de p ( ) PX [ ], ce pemite epime funcţiei de pilitte c sumă X P [ B] PX [ B] p ( ). X px ( ) > 0 X X 8

113 Medi unei viile lete, E[X] se defineşte pin integl Stieltjes EX [ ] df ( ), în czul unei viile lete cntinue su pin sum px ( ) > 0 X EX [ ] p ( ), în czul unei viile lete discete. X În funcţie de medie definim dispesi (su vinţ) unei viile lete pin V[ X] E[( X EX [ ]) ] EX [ ] E [ X]. Pentu duă viile lete definim cvinţ, c fiind dtă de Cv[ X, X] EXX [ ] EX [ ] EX [ ] E[( XEX [ ])( X EX [ ])]. Dcă X X, tunci vem Cv[ X, X] V[ X]. Dcă ntăm cu σ : V[ X] (deviţi stndd viilei lete X) X tunci celţi duă viile lete X, X se defineşte c Cv[ X, X] X (, X). σ σ X X Având în vedee că un pces let pte fi similt unei funcţii definite pe mulţime pmetului de timp cu vli viile lete, tte măimile definite mi sus se plică cmpnentel pcesel lete. Astfel celţi dinte duă viile lete se tnsfmă în funcţie de (ut)celţie. Dcă pin uz de ntţie vm flsi pentu un pces let ntţi geneică X, tunci funcţi de (ut)celţie pcesului se v defini pin X (,) st ( X(), s Xt ()), unde X(s) şi X(t) epezintă viilele lete sumte de pcesul stchstic X l mmentul s, espectiv t. 4.. Pcese stţine cu pmetu discet de timp Am mintit l finele lui 4.. ppiette unui pces let de fi stţin. De fpt distingem înte duă tipui de stţinitte. Un pces let este stţin dcă funcţi de pilitte în msă (PMF) cmună pentu ice eşntin finit este invintă l tnslţi în timp. Acestă cndiţie pte fi eltă pin impunee invinţei l tnslţi în timp funcţiei de (ut)celţie. În ceste cndiţii, vim despe stţinitte slă. Invinţ l tnslţi în timp funcţiei de (ut)celţie se tduce pin dependenţ cestei de difeenţ dinte viilele sle şi nu de fiece viilă în pte. Putem şd spune că pentu un pces sl stţin e lc [ k] ( Xn [ ], Xn [ k]) EXnXn [ [ ] [ k]], (4..) X de unde deducem că X [0] > 0. În plus, este uş de sevt că funcţi de (ut)celţie stfel definită este funcţie pă, dică e lc [ k] [ k]. X X 9

114 Eemplul 4. (Zgmt l gussin): Zgmtul l gussin este un pces let X[n], independent identic distiuit (IID) cu distiuţi dtă de px ( ) ep πσ σ. Fiece viilă lete cmpnentă unui zgmt l Xn [ 0] este de medie nulă şi e ceeşi vinţă. Având în vedee că este v de un pces IID, cest este şi stţin. Stţinitte fiind însă cndiţie pe estictivă, vm defini în cntinue zgmtul l mi genel (dică să fie sl stţin). Astfel, un zgmt l este un pces sl stţin de medie nulă cu vinţ identică σ cu eşntine necelte. În cest cz ţinem pentu funcţi de (ut)celţie [ k] EXnXn [ [ ] [ k]] X C te vem EXn [ [ ]] EXn [ [ k]] k 0 (esntine necelte si de medie nul) E[X [ n]] σ k 0 (esntine de vint egl). k k (4..) [ ] [ ]. X σδ Eemplul 4. (Pces medie milă): Pcesul medie milă este un pces definit pin Xn [ ] ( Un [ ] Un [ ] ) < n<, unde U[n] este un zgmt l de vinţă σ U. Umătul cd MATLAB este flsit pentu ţine elize unui pces medie milă. ndn('stte', 0) u ndn(,); f i: if i (i,)0.5*(u()ndn(,)); %initilize siului else (i,)0.5*(u(i)u(i-)); end end Pcesul medie milă epimându-se c şi cminţie liniă unui zgmt l, deducem cu uşuinţă că cest este de medie nulă şi stţin, vând funcţi de (ut)celţie σu k 0 σu X [ k] 4 k ± (4..3) 0 in est. 0

115 Eemplul 4.3 (Pces utegesiv): Un pces utegesiv este un pces sl stţin de medie nulă ce stisfce ecuţi cu difeenţe ecusivă Xn [ ] X[ n ] Un [ ] < n<, (4..4) unde < şi Un [ ] un zgmt l. Un pces de cest tip se dezvltă după mdelul M X[0] X[ ] U[0] X[] X[0] U[] X[] X[] U[] M Să sevăm că Xn [ ] depinde d de vlile pezente şi tecute le zgmtului l Un. [ ] Se pte chi ăt că EXnUn [ [ ] [ k]] 0, k. (4..5) Cndiţi < este necesă pentu sigu stţinitte pcesului. Dcă cnsideăm vinţ zgmtului l σ U ţinem X [0]. Dăm în cntinue un cd MATLAB pentu genee un elizăi de pcese utegesive. cle ll ndn( stte,0) 0.5; 0.98; vu -^; vu -^; v vu/(-^); v vu/(-^); (,) sqt(v)*ndn(,); (,) sqt(v)*ndn(,); f n :3 (n,) *(n-) sqt(vu)*ndn(,); (n,) *(n-) sqt(vu)*ndn(,); end Să deteminăm cum funcţi de (ut)celţie. Din (4..4) vem pentu k [ k] EXnXn [ [ ] [ k]] X EXn [ [ ]( X[ n k ] Un [ k])] E[ XnXn [ ] [ k] (4..6) X [ k ] Pentu tecee de l du eglitte l tei m flsit (4..5). Sluţi ecuţiei k linie cu difeenţe ecusivă se sev imedit fi [ k] c, cu c cnstntă şi k. Cum pentu k ezultă că X [] c, deducem că c X [0]. Se pte chi ăt că σu k X [ k] < k <. (4..7) X

116 4.3. Pcese lete l ieşie dint-un filtu lini Cnsideăm efectele unui sistem lini invint l tnslţie (line shift invint system LSI ) sup unui pces sl stţin cu pmetu de timp discet. Vm mi numi un stfel de sistem filtu. Fie şd Un [ ] pcesul stţin ce intă (input-ul) în filtu şi Xn [ ] pcesul stţin l ieşie (utput-ul). Un un eemplu este pcesul medie milă (Mving Avege) ce pe c utput l un pces de tip zgmt l gussin (white Gussin nise). Mi pecis un pces MA e fm Xn [ ] ( Un [ ] Un [ ]), unde Un [ ] este un pces de tip zgmt l gussin (wgn) şi pte fi ţinut pin cţiune sistemului (filtului) k 0 hk [ ] k 0 în est sup unui zgmt l (pces wgn) Un. [ ] În devă, dcă cţiune sistemului se tduce pin pdusul de cnvluţie discet Xn [ ] hkun [ ] [ k] ţinem utput-ul k Xn [ ] h[0] Un [ ] h[] Un [ ] Un [ ] Un [ ] ( Un [ ] Un [ ] ) dică un pces MA. În genel un sistem lini SI (Shift Invint) v fi specifict în fm de mi sus cu < k < su în md echivlent pin funcţi s de sistem, definită c tnsfmt în z (Lplce) ăspunsului l impuls. Funcţi de sistem este şd dtă de k H ( z) hkz [ ]. (4.3.) k În plus mi vem nevie de funcţi de tnsfe fecvenţilă sistemului lini SI ce se defineşte c fiind tnsfmt Fuie discetă ăspunsului în impuls, deci dtă de H( f) hk [ ]ep( πifk). (4.3.) k Acestă funcţie ne indică efectul sistemului sup unei secvenţe de input sinusidle cmplee un [ ] ep( πif0n) pentu < n <. Se pte ăt că ăspunsul sistemului l cest input este n [ ] H( f0)ep( πif0n) H( f0)[ un]. Osevăm că cţiune sistemului mdifică mplitudine sinusidei cmplee pin H( f 0) si fz cu! H( f0), d păsteză în est secvenţ sinusidlă cmpleă. De semene, este de ntt că funcţi de tnsfe fecvenţilă se pte ţine imedit din funcţi de sistem H( f) H ep π if. Pentu pcesul MA din eemplul de mi sus ( ) pin fmul ( )

117 funcţi de sistem este H ( z) z, i funcţi de tnsfe fecvenţilă este funcţi ep if π, cee ce ne cnduce l de sistem în ce z este înlcuit cu ( ) H( f) ep( πif ). Vm intduce cu jutul unui eemplu ccteiticile unui pces let de utput. Eemplul 4.4. Cnsideăm U[n] un pces stţin de medie µ U şi funcţie de (ut)celţie [ k ] c input înt-un sistem lini SI cu ăspunsul l impuls dt de U h[0] k 0 hk [ ] h[] k 0 în est. Acest sistem lini se mi numeşte filtu cu ăspuns l impuls finit, deece e un num finit de eşntine nenule c ăspuns l impuls. Căutăm să deteminăm dcă utput-ul din cest filtu este de semene stţin şi dcă d tunci cum se mdifică medi şi funcţi de (ut)celţie. Pcesul de utput v fi şd Xn [ ] h[0] Un [ ] h[] Un [ ], i şiul mediil v fi EXn [ [ ]] h[0] EUn [ [ ]] h[] EUn [ [ ]] deci cnstntă în timp, dtă de h[0] µ h[] µ U ( h[0] h[] ) X µ U U ( h[0] h[] ) µ µ. De semene din (4.3.) cest se pte scie su fm ( ) 0 µ hk [ ]ep π ifk µ H(0) µ. X f U U k Aşd medi utput-ului este mdifictă de funcţi de tnsfe fecvenţilă evlută E XnXn [ ] [ k] depinde su nu de n. Clculând în f 0. Rămâne de văzut dcă [ ] [ [ ] [ ]] ( [0] [ ] [] [ ] )( [0] [ ] [] [ ] ) h [0] EUnUn [ [ ] [ k] ] h[0] h[] EUnUn [ [ ] [ k] ] h[] h[0] EUn [ [ ] Un [ k] ] h [] EUn [ [ ] Un [ k ] ] E XnXn k E h Un h Un h Un k h Un k ( ) h [0] h [] [ k] h[0] h[] [ k ] h[] h[0] [ k ], U U U deci nu depinde de n. C te X[n] este pces stţin cu funcţi de (ut)celţie ( ) [ k] h [0] h [] [ k] h[0] h[] [ k ] h[] h[0] [ k ]. (4.3.3) X U U U U 3

118 Să ătăm în cntinue că funcţi de (ut)celţie pceselui utput dintun sistem lini SI se pte scie su fm unei cnvluţii multiple de şiui. Pentu cest cnsideăm (4.3.3) şi fie g[0] h [0] h [] g[] h[0] h[] g[ ] h[] h[0] cu ze în est. Atunci [ k] g[0] [ k] g[] [ k ] g[ ] [ k ] X U U U g[ j ] U[ k j] (4.3.4) j gk [ ] U[ k] ( definiti sumei de cnvlutie). De semene, este uş de ătt (pin clcul diect) că 0 gk [ ] h[ jhk ][ j] (4.3.5) j h[ k] hk [ ] şi c te din (4.3.4) şi (4.3.5) ţinem ezulttul finl X[ k] ( h[ k] hk [ ]) U[ k] (4.3.6) h[ k] hk [ ] U[ k]. Am mis pntezele în (4.3.6) ţinând cnt de scitivitte şi cmuttivitte peţiei de cnvluţie. Pentu ţine densitte spectlă pcesului Xn [ ] sevăm din (4.3.) că tnsfmt Fuie ăspunsului l impuls este funcţi de tnsfe fecvenţilă şi deci F hk [ ] H( f) { } { } * F h[ k] H ( f) unde cu F m ntt tnsfmt Fuie discetă. Tnsfmt Fuie plictă elţiei (4.3.6) ne dă * PX( f) H ( f) H( f) PU( f), su P ( f) H( f) P ( f). X Acest este elţi de ză înte densitte spectlă pcesului de utput şi ce pcesului de input, dică densitte spectlă de utput este densitte spectlă de input înmulţită cu păttul mgnitudinii funcţiei de tnsfe fecvenţile. Fptele enunţte mi sus pt fi cumulte în umăte teemă. U Teem 4. (Ccteistici le pcesului let l utput-ul unui sistem lini SI). Dcă un pces sl stţin Un [ ] de medie µ şi funcţi de (ut)celţie U[ k ] este input-ul unui sistem lini SI ce e un ăspuns l impuls hk [ ] şi ăspuns in fecvenţă H( f ), tunci pcesul de utput Xn [ ] hkun [ ] [ k ] este de semene sl stţin şi k U 4

119 µ X hk [ ] µ U H(0) µ U (4.3.7) k Demnstţie. Medi l utput este dtă de µ X E[ Xn [ ]] E hkun [ ] [ k] k [ k] h[ k] hk [ ] [ k] (4.3.8) X U P ( f) H( f) P ( f). (4.3.9) X [ k ] hkeun [ ] [ ] k hk [ ] µ H(0) µ ( Un [ ] este sttin) k U şi nu depinde de n. Pentu detemin dc putem defini densitte spectlă E XnXn [ ] [ k]. Acest devine cnsideăm [ ] X E[ XnXn [ ] [ k] ] E hiun [] [ i] hjun [ ] [ k j] i j U hihjeun [][ ] [ [ iun ] [ k j] ] i j U [ k j i] deece Un [ ] este stţin. Cum epesi nteiă nu depinde de n deducem că Xn [ ] este de semene stţin. Funcţi de (ut)celţie este şd unde m ntt Pe de ltă pte vem că [ k] hihj [][ ] [( k i) j] X i j hi [] hj [ ] U[( k i) j], i j U gk [ i] gm [ ] hm [ ] [ m]. (4.3.0) [ k] higk [] [ i] h[ k] gk [ ]. Din (4.3.0) însă gk [ ] hk [ ] [ k] şi c te X i h[ lgk ] [ l] ( puneml i) l U U ( ) X[ k] h[ k] hk [ ] U[ k] (4.3.) h[ k] hk [ ] U[ k] Pentu fmul de densitte spectlă (4.3.9) plicăm tnsfmt Fuie l (4.3.) * şi ţinem cnt de fptul că F { h[ k] } H ( f).! 5

120 Un cz pticul specil pe când pcesul de input este zgmt l. Flsind pticulitte zgmtului l şi nume, că densitte spectlă este PU( f) σu, cnfm (4.3.9) ţinem Flsind pi k U[ ] σuδ[ k] U P ( f) H( f) σ. (4.3.) X în (4.3.8) funcţi de (ut)celţie l utput devine k h k hk k şi ţinând cnt că hk [ ] δ[ k] hk [ ] Punând m i ţinem în cele din umă X[ ] [ ] [ ] σuδ[ ] k h k hk X[ ] σu [ ] [ ] U i σ h[ ihk ][ i]. X[ ] σu [ ][ ] < <. i k hmhm k k (4.3.3) Eemplul 4.5 (Pces utegesiv (AR)): Vm detemin funcţi de (ut)celţie şi densitte spectlă pentu cest tip de pcese flsind cnceptele descise ntei de sistem lini SI. Remintim că un pces AR se defineşte pin Xn [ ] X[ n ] Un [ ] şi pte fi pivit c utputul unui sistem lini SI, vând funcţi de sistem dtă de H ( z) z şi input-ul fiind un zgmt l Un. [ ] Fie cum un [ ] un şi deteminist cu tnsfmt z U ( z) şi n [ ] şiul deteminist de utput cu tnsfmt z cespunzăte X ( z). Din definiţi funcţiei de sistem vem ( z) H ( z) X U( z) de unde deducem fmul pentu tnsfmt z pcesului de utput X( z) H( z) U( z) U( z). z Astfel, X( z) z X( z) U ( z) cee ce pin tnzfmt z invesă se tduce în ecuţi cu difeenţe n [ ] [ n ] un [ ] (4.3.4) ce este echivlent cu definiţi pcesului AR când înlcuim input-ul şi utput-ul cu pcese lete. Densitte spectlă l utput se ţine din (4.3.) c P ( f) H(ep( πif )) X σu σu ep( πif ) (4.3.5) 6

121 cee ce cincide cu ezulttele nteie. Pentu detemin cum funcţi de (ut)celţie putem lu tnsfmt Fuie invesă l (4.3.5) su putem flsi (4.3.3). Ce de- du de este în genel mi uşă. Pentu găsi ăspunsul l impuls putem flsi (4.3.4) cu input-ul δ [ n] stfel c utput-ul să fie pin definiţie hn [ ]. Cum sistemul lini SI se pesupune fi cuzl, v teui să deteminăm sluţie pentu ecuţi cu difeenţe hn [ ] h[ n ] δ [ n] pentu n > 0 cu cndiţi iniţilă h[ ] 0. Cndiţi iniţilă este ze din cuz pesupuneii că sistemul lini este cuzl, un semene sistem neputând pduce un utput nenul h[ ] îninte de pute fi plict unui input, în czul de fţă l mmentul n 0 cu inputul δ [ n]. n Oţinem stfel hn [ ] us[ n], unde us[ n ] este psul unitte. Aşd (4.3.3) devine, pentu k 0 m m k X[ ] σu s[ ] s[ ] m k u m u m k k m U m 0 σ ( m 0 si m k 0 pentu temenii nenuli i sumei) k σu (deece < ) şi c te vem pentu k it k X[ k] σ U. Să mi ntăm că sistemul lini SI mintit ici este un filtu cu ăspuns l n impuls infinit, deece ăspunsul l impuls dt de hn [ ] us[ n] este de lungime infinită. Eemplul 4.6. Pces let medie milă (Mving Avege). Flsim (4.3.3) pentu detemin funcţi de (ut)celţie unui pces Un [ ] Un [ ] MA. Remintim definiţi unui pces MA c Xn [ ], cu Un [ ] un zgmt l (wgn). Este dej evident c funcţi de sistem este dtă de H ( z) z şi ăspunsul l impuls este hm [ ] pentu m 0, şi ze în est. Din (4.3.3) ţinem deci pentu k 0 X[ ] σ U [ ][ ] m k hmhm k U m 0 σ hmhm [ ][ k], 7

122 În cele din umă ţinem σu h [ m] k 0 m 0 X[ ] σu [ ][ ]. m 0 k hmhm k 0 k σu σu k 0 σu X[ k] σu k 4 0 k cee ce cincide cu ce m ţinut ntei Intepete densităţii spectle Vm ăt că densitte spectlă, integtă pe ndă de fecvenţă ne dă putee medie în ce ndă. Acest pemite densităţii spectle să fie pivită c putee medie pe unitte de fecvenţă. Vm mi minti metdă de măsue puteii medii unui pces sl stţin înt- ndă îngustă de fecvenţă. Pentu cest vm filt pcesul cu jutul unui filtu de ndă îngustă cu funcţie de tnsfe fecvenţilă f f f, f f f 0 in est f f f f ( ) H f Lăţime enzii de tecee filtului f se pesupune fte mică. Dcă un pces sl stţin Xn [ ] este input-ul în cest filtu, tunci pcesul stţin de utput-ul Yn [ ] v fi cmpus din cmpnentele de fecvenţă situte în inteiul enzii f, estul fiind filtte. Putee medie ttlă l pcesul de utput Yn [ ] este Y[0] şi epezintă sum puteil medii pcesului Xn [ ] din nge-ul enzil f f f0, f 0 şi f f0, f0 f. Aceste se deduc din fmul Y. [0] P ( f) df Y Flsind cum (4.3.9) şi definiţi ăspunsului în fecvenţă filtului de ndă îngustă ţinem 8

123 [0] P ( f) df Y Y H( f) P ( f) df X f f f0 f 0 f X f f0 f 0 P ( f) df P ( f) df f f0 P ( ) (deece ( ) ( )). f f X f df PX f PX f 0 X Dcă lăsăm f 0, stfel încât PX( f) PX( f0) în intevlul de intege, cest devine Y[0] PX( f0) f su Y[0] PX( f0) f. Cum însă Y[0] este putee medie ttlă în pt cu cmpnentele de fecvenţă din cdul enzil cnsidete, ce este dulul puteii medii ttle în nd pzitivă de fecvenţă, vem că f f Putee medie ttl in nd f0, f0 PX( f0). f (4.4.) Acest însemnă că densitte spectlă PX( f 0) este putee medie lui Xn [ ] înt- ndă îngustă de fecvenţă în juul lui f f0 împăţită l lăţime enzii. Se justifică stfel teminlgi de densitte. Pentu ţine putee medie din cdul unei enzi de fecvenţă din densitte spectlă invesăm elţi (4.4.) pentu ţine f f Putee medie ttl in nd f0, f0 PX( f0) f, cee ce epezintă i de su gficul densităţii spectle. Mi genel, pentu ndă de fecvenţă ită vem după cum m enunţt mi deveme. [ ] f Putee medie ttl in nd, ( ) f X f f P f df 4.5. Filte Wiene Ade geneică deteminăii mediei şi funcţiei de (ut)celţie su mediei şi densităţii spectle se v numi filte Wiene, cu tte că v fi de fpt ptu pleme distincte ce se v gup su cestă denumie şi nume filte, netezie, pedicţie şi inteple. În plem de filte pesupunem c un semnl Sn [ ] este petut (cupt) ditiv de un zgmt Wn [ ] ezultând un pces Xn. [ ] Dim să estimăm Sn [ ] pin filte lui Xn [ ] cu jutul unui filtu lini SI cu 9

124 ăspunsul l impuls hk [ ]. Intenţinăm c filtul să educă zgmtul şi să pemită semnlului să tecă. Filtul estimeză un eşntin pticul l semnlului, de e. Sn [ 0], pcesând eşntinul cuent Xn [ 0] pecum şi eşntinele tecute Xn [ ], Xn [ ], K. C te, filtul se pesupune fi cuzl, dică cu ăspuns în { } 0 0 impuls hk [ ] 0 pentu k < 0. Acest ne dă estime Sn ˆ[ ] hkxn [ ] [ k ] (4.5.) 0 0 k 0 ce depinde de eşntinul cuent şi eşntinele nteie sevte. Pesupunem eşntinele nteie celte cu semnlul pezent, cee ce teui să îmunătăţescă cnsideil estime. Acestă plemă de filte pte fi implementtă în timp el. A du plemă, netezie, se deseeşte de filte pin fptul că filtul plict nu este ligtiu cuzl. C te, estime i fm Sn ˆ[ ] hkxn [ ] [ k ] (4.5.) 0 0 k unde Sn ˆ[ 0 ] depinde de eşntinele tecute, pezente şi viite le lui Xn. [ ] Este cl că cest nu pte fi eliztă în timp el, ttuşi pte fi pimtă dcă pemitem întâziee îninte estimăii. Acestă întâziee este necesă cumulăii eşntinel { Xn [ 0], Xn [ 0 ], K } îninte estimăii lui Sn ˆ[ 0 ]. În cdul celllte duă pleme sevăm eşntine le pcesului sl stţin Xn [ ] şi dim să estimăm eşntinele nesevte. Pentu pedicţie, numită şi etple, sevăm eşntinele pezente şi tecute { [ ], [ ], } Xn Xn K şi 0 0 dim să estimăm un eşntin viit, Xn [ 0 L], pentu L un înteg pzitiv. Acestă plemă se mi numeşte pedicţie de ps L. Pentu simplitte vm cnside d pedicţie de ps, dică L. Pedictul (lini) v ve fm Xn ˆ[ ] hkxn [ ] [ k ] (4.5.3) 0 0 k 0 ce flseşte, evident, un filtu cuzl. Pentu inteple, sevăm eşntinele { K, Xn [ ], Xn [ ], } dim să estimăm Xn [ 0]. Intepltul v fi dt de 0 0 K şi Xn ˆ[ ] hkxn [ ] [ k ] (4.5.4) 0 0 k k 0 ce este un filtu necuzl. Pentu implemente pctică fmulel (4.5.) (4.5.4) v teui să tunchiem ăspunsul în impuls l un numă finit de eşntine. 30

125 Pentu detemin ăspunsuile în impuls ptime vm dpt metd eii în medie păttică. Estimăile ce flsesc ceste metde se numesc geneic filte Wiene. Din cele ptu pleme vm d netezie şi pedicţi Netezie Wiene Osevând Xn [ ] Sn [ ] Wn [ ] pentu < n <, dim să estimăm Sn [ 0] flsind (4.5.). Vm pesupune că tât Sn [ ] cât şi Wn [ ] sunt mele pcese sl stţine de medie nulă de funcţie de (ut)celţie (densitte spectlă) dtă. De semene, deece nu vem mtive de pesupune ltcev, vm cnside că semnlul şi zgmtul sunt necelte, dică E[ SnWn [ ] [ ] ] 0 pentu ice n şi n. Ee în medie păttică pentu cestă plemă se defineşte c emp E ε[ n ˆ 0] E ( Sn [ 0] Sn [ 0]) unde ε [ n ˆ 0] Sn [ 0] Sn [ 0] este ee. Pentu minimiz EMP (Ee în Medie Păttică) flsim fptul că ee teuie să fie tgnlă (neceltă) cu dtele. Acest se tduce pin cndiţi E ε[ n ] Xn [ l] 0 < l <. Oţinem stfel cee ce implică D [ ] 0 0 ( ˆ ) E Sn [ 0] Sn [ 0] Xn [ 0 l] 0 E Sn [ 0] hkxn [ ] [ 0 k] Xn [ 0 l] 0 k E[ Sn [ ] Xn [ l] ] hke [ ] [ Xn [ kxn ] [ l]. ] (4.5.5) k [ [ 0] [ 0 ]] [ 0] ( [ 0 ] [ 0 ]) E[ Sn Sn l ] E Sn Xn l E Sn Sn l Wn l [ ] [ ] (zgmtul si semnlul sunt necelte si de medie nul) şi [] l S 0 0 [ [ 0 ] [ 0 ]] ( [ 0 ] [ 0 ])( [ 0 ] [ 0 ]) E[ Sn [ ksn ] [ l] ] EWn [ [ kwn ] [ l] ] E Xn kxn l E Sn k Wn k Sn l Wn l S[ l k] W[ lk]. Mulţime infinită de ecuţii linie simultne devine din (4.5.5) [] l hk [ ] [ l k] [ lk] < l <. ( ) (4.5.6) S S W k 3

126 Să sevăm că ecuţiile nu depind de n 0, deci sluţi pentu ăspunsul în impuls ptiml v fi celşi pentu ice n 0. Osevând că pte deptă în (4.5.6) este de fpt un pdus de cnvluţie discet vem că [] l hl [] [] l [] l. ( ) S S W Aplicăm tnsfmt Fuie şi ţinem PS( f) H( f)( PS( f) PW( f)) de unde funcţi de tnsfe fecvenţilă filtului Wiene ptiml de netezie este PS ( f) Hpt( f). (4.5.7) PS( f) PW( f) Răspunsul în impuls ptiml se ţine luând tnsfmt Fuie invesă elţiei (4.5.7). Eemplul 4.7. (netezie Wiene pentu un semnl AR cu zgmt l) Cnsideăm un semnl epezentt pint-un pces AR petut de un zgmt l cu vinţ σ W. Densităţile spectle v fi dte de σu PS( f) ep( πif ) P ( f) σ W W Densitte spectlă şi netezie Wiene ăspunsuil în fecvenţă. Pentu implement netezie Wiene pentu eemplul cnsidet, dtele u fst filtte în dmeniul de fecvenţă şi cnvetite pi în dmeniul templ. Acest se elizeză cu jutul tnsfmtei Fuie discete invese unde N ( ) ce este de fpt PS( f) sn ˆ[ ] X ( )ep( ) 0,,,, N f πifn df n K N P ( f) σ S W X f este tnsfmt Fuie dtel dispniile { [0], [],, N [ ] } N X N ( f) n [ ]ep( π fn) n 0. K, (în eemplul ntei s- lut N 50 ). Implemente flseşte de fpt tnsfmtă Fuie pidă (FFT) invesă pentu pime integlei cum se vede din cdul MATLAB de mi js. Pentu flsi FFT şi FFT invesă, intevlul de fecvenţă fst lut [ 0, ]. Din cuz peidicităţii tnsfmtei Fuie, cest nu v fect ezulttul. cle ll ndn('stte', 0) 0.9;vu0.5;vsvu/(-^);vw;N50; f n0:n- nn n; if n0 s(nn,) sqt(vs)*ndn(,); else s(nn,) *s(nn-)sqt(vu)*ndn(,); end end 3

127 ssqt(vw)*ndn(n,); Nfft 04 Ps vu./(s(-*ep(-j**pi*[0:nfft-]'/nfft)).^); Hf Ps./(Psvw); sestf Hf.*fft(,Nfft); sest el(ifft(sestf,nfft)); Putem de semene detemin EMP minimă pentu vede cât de ine funcţineză filtu de netezie. Acest este dtă de emp min E ( Sn [ 0] Sn ˆ[ 0] ) E ( Sn [ ˆ 0] Sn [ 0] ) Sn [ 0] E ( Sn [ ˆ 0] Sn [ 0] ) Sn ˆ[ 0]. Din iptez de tgnlitte vem însă că temenul l dile este nul, dică E ( [ 0] ˆ[ 0] ) ˆ Sn Sn Sn [ 0] E ε[ n0] hpt[ kxn ] [ 0 k] k A ş d, vem deece Sn [ ] şi [ ] ( ˆ ) emp min E Sn [ 0] Sn [ 0] Sn [ 0] hpt k E n0 Xn0 k k 0 [ ε ] [ ] [ ] [ ] 0. S[0] E hpt[ kxn ] [ 0 ksn ] [ 0] k pt ( 0 0 ) [0] h [ k] E Sn [ k] Wn [ k] Sn [ ] S k ESn [ [ 0 k] Sn [ 0]] S [ k] Wn sunt necelte şi de medie nulă. Aşd EMP minimă este emp [0] h [ k ] [ k]. (4.5.8) min S pt S k Flsind teem lui Psevl putem tnspune cestă ee în dmeniul de fecvenţă pin min S pt S emp P ( f) df H ( f) P ( f) df ( pt ) H ( f) P ( f) df PS( f) ( ) PS f df PS( f) PW( f) PW( f) P ( ) S f df P ( f) P ( f) S ( ) şi luând ρ P ( ) S f f PW ( f) c fiind ptul semnl-zgmt în dmeniul de fecvenţă vem PS ( f) emp min df. (4.5.9) ρ( f ) W S 33

128 Osevăm că enzile de fecvenţă pentu ce cntiuţi l EMP minimă este mimă sunt enzile unde ptul semnl-zgmt este minim su pentu ce ρ ( f )! Pedicţie Vm cnside d pedicţi de ps. C mi sus citeiul EMP este flsit pentu detemin pedictul stfel încât din (4.5.3) ( ˆ ) 0 0 emp E Xn [ ] Xn [ ] E Xn [ 0 ] hkxn [ ] [ 0 k] k 0 să fie minimă după hk [ ] pentu k 0. Flsind din nu iptez de tgnlitte suntem cnduşi căte mulţime infinită de ecuţii simultne E Xn [ 0 ] hk [ ][ n0 k] Xn [ 0 l] 0 l 0,, K. k 0 Aceste ecuţii devin su [ [ 0 ] [ 0 ]] [ ] [ [ 0 ] [ 0 ]] E Xn Xn l hke Xn kxn l k 0 k 0 X[ l ] hk [ ] X[ l k] l 0,, K. (4.5.0) Osevăm şi de cestă dtă că ăspunsul în impuls ptiml nu depinde de n 0, deci ţinem celşi pedict pentu fiece eşntin. Pentu ezlv ceste ecuţii nu mi este suficientă tnsfmt Fuie, d din cuză că ceste teuie veificte d pentu l 0, nu putem flsi tnsfmt z. EMP minimă pte fi evlută flsind metdă similă cu netezie Wiene, nume emp min E Xn [ 0 ] hpt[ kxn ] [ 0 k] Xn [ 0 ] k 0 (4.5.) [0] h [ k ] [ k ] X pt X k 0 unde hpt[ k ] este ăspunsul în impuls ce veifică (4.5.0). 34

129 Eemplul 4.8 (pedicţi unui pces AR) Cnsideăm un pces AR cu funcţi de (ut)celţie dtă de σ U k k X[ k] [0]. X Atunci din (4.5.0) vem ( ) l X lk k 0 şi dcă punem hk [ ] 0 pentu k, vem Cum l 0, sluţi este su [0] hk [ ] [0] l 0,, K X l l h l [0] 0,, K. h pt l [0] l Xn ˆ[ ] X [ n ]. 0 0 Având în vedee ne-dependenţ de n 0 elţiil de mi sus putem înlcui eşntinul specific cu unul mi genel pin înlcuie lui n 0 cu n. Acest se tduce pin Xn ˆ [ ] X[ n ]. (4.5.) Dcă ne mintim că un pces AR se defineşte c Xn [ ] X[ n ] Un [ ], vedem că pedictul de ps ptiml se ţine miţând temenul Un. [ ] Acest se întâmplă deece Un [ ] nu pte fi pezis din eşntinele tecute { Xn [ ], Xn [ ], }, ce sunt necelte cu Un. [ ] În plus, ee de pedicţie este dtă de ε [ n] Xn [ ] Xn ˆ[ ] Xn [ ] X[ n ] Un [ ]. În finl să sevăm că pedicţi depinde d de cel mi ecent eşntin şi nu de eşntinele tecute le lui Xn. [ ] Adică, pentu pezice Xn [ 0 ] tte infmţiile despe eşntinele tecute sunt cnţinute în Xn [ 0]. Sluţi genelă pentu (4.5.0) fiind mi cmplictă legem să nu pezentăm ici în detliu. Vm ecpitul mdul de ţinee sluţiei şi pezentăm un lt eemplu.. Pesupunem că tnsfmt z funcţiei de celţie, ce este dtă de k P X( z) X[ kz ] pte fi scisă c unde k ( z σ PX ) A z z U ( ) A( ) k A ( z) kz [ ]. k (4.5.3) 35

130 Avem nevie c A ( z) să iă tte zeuile în inteiul discului unitte, dică filtul de tnsfmtă z eglă cu A ( z) este stil şi cuzl.. Sluţi lui (4.5.0) pentu ăspunsul în impuls este h [ k] k [ ] k 0,, K pt i EMP minimă este ( ) emp min E Xn [ ˆ 0 ] Xn [ 0 ] σ U. 3. Pedictul lini ptiml devine din (4.5.3) şi e EMP minimă, empmin 0 0 k 0 σu Xn ˆ[ ] k [ ] Xn [ k ] (4.5.4). În md cl, ce mi dificilă pte sluţiei este punee lui P X ( z ) în fm (4.5.3). În temeni de densitte spectlă cestă ceinţă se tduce pin σu PX( f) PX(ep( πif )) A(ep( πif)) A(ep( πif )) σu * A(ep( πif)) A (ep( πif )) σu A(ep( πif )) σu k [ ]ep( πifk) k. D cestă fmă densităţii spectle este genelize densităţii spectle unui pces AR. De fpt, dcă tunchiem sum stfel încât densitte spectlă căuttă devine σu PX ( f) k [ ]ep( πifk) k tunci ţinem densitte spectlă unui ş numit pces AR de din p, ce se mi nteză AR(p). În cest cz, p Xn [ ] kxn [ ] [ k] Un [ ] (4.5.5) k unde Un [ ] epezintă c de icei un zgmt l Gusin de vinţă σ U. În md cet pentu p ţinem definiţi nteiă dtă pentu pcese AR. Dcă cnsideăm un pces AR(p) stfel încât l [] 0 pentu l > p sluţi pentu pedictul lini de ps ptiml este din (4.5.4) p Xn ˆ[ ] lxn [] [ l ] 0 0 l 0 36

131 de unde punând k l ezultă i EMP minimă este σ U. p 0 0 k Xn ˆ[ ] kxn [ ] [ k ] (4.5.6) Eemplul 4.9 (pedict lini de ps pentu pces MA) Cnsideăm pcesul stţin dt de Xn [ ] Un [ ] U[ n ], unde < şi Un [ ] este zgmt l Gussin (wgn) de vinţă σ U (pces cunscut şi su numele de medie milă). Acest este un cz specil l pcesului MA din Eemplul 4.. pentu ce h [0] şi h[], i Un [ ] este wgn. Pentu găsi pedictul lini ptim punem tnsfmt z funcţiei de celţie în fm ceută. Să deteminăm întâi densitte spectlă. Deece funcţi de sistem este H ( z) z, funcţi de tnsfe fecvenţilă este H( f) ep( πif ). Din (4.3.) densitte spectlă devine P ( f) H( f) H ( f) σ (ep( πif))( ep( πif )) σ * X U U şi deci înlcuind ep( π if ) cu z, ţinem P (4.5.7) X( z) ( z )( z) σu. Aducând (4.5.7) l fm dită pentu P ( z ) dtă în (4.5.3) vem că k Pentu cnveti cest în kz [ ] X A ( z). z k, cnsideăm tnsfmt z invesă, pentu ţine k k 0 Z { A ( z) } 0 k < 0 k deci k [ ] pentu k. (Osevăm ici necesitte de lu < ; în cz cnt n [ ] nu mi fi stil.) Pedictul ptiml este din (4.5.4) Xn ˆ[ ] k [ ] Xn [ k ] 0 0 k 0 k ( ) Xn [ 0 k] k 0 X[ n ] Xn [ ] L 0 0 i EMP minimă este empmin σ. U 37

132 C un cz pticul specil vm mi cnside pedictul lini de ps de lungime finită. Lungime finită se efeă l fptul că pedicţi depinde d de eşntinul pezent şi eşntinele tecute până l M. Anlg c în czul pedictului de lungime infinită se pte ăt că, dcă pedictul este dt de M Xn ˆ[ ] hkxn [ ] [ k ] 0 0 k 0 ce este (4.5.3) cu hk [ ] 0 pentu k M, tunci ăspunsul în impuls ptim stisfce cele M ecuţii linee simultne M X[ l ] hk [ ] X[ l k] l 0,, K, M. k 0 Scise în fmă mticilă ceste ecuţii devin X[0] X[] K X[ M ] h[0] X[] X[] X[0] X[ M ] h[] X[] K. M M O M M M X[ M ] X[ M ] K X[0] hm [ ] X[ M] R X (4.5.8) EMP minimă cespunzăte este dtă de M emp min [0] h [ k ] [ k ]. (4.5.9) X pt X k 0 Aceste ecuţii se mi numesc ecuţiile Wiene-Hpf. În genel, ele sunt ezlvte numeic şi eistă numeşi lgitmi pentu cest (vezi [9]). Mjitte cest lgitmi se flsesc de fptul că mtice e stuctuă de mtice de (ut)celţie. C te este simetică, pzitiv definită şi e ppiette Teplitz. Acest spune de fpt că elementele de- lungul fiecăei dignle pinciple sunt identice. O ltă cneiune imptntă înte ecuţiile pedicţiei linie şi un pces AR(p) este stilită în czul în ce punem M p în (4.5.8). Atunci, deece pentu un pces AR(p) vem că hn [ ] n [ ] pentu n 0,, K, p (să ne p emintim din (4.5.6) că Xn ˆ[ 0 ] kxn [ ] [ 0 k ] ), ecuţiile Wiene-Hpf devin k X[0] X[] K X[ p] [0] X[] X[] X[0] X[ p ] [] X[] K. M M O M M M X[ p] X[ p] K X[0] p [ ] X[ p] (4.5.0) Să ntăm un fpt imptnt şi nume că pentu un pces AR(p) pedictul lini este zt pe infinitte de eşntine tecute su pe un numă finit de eştine tecute. Ecuţiile (4.5.0) mi sunt cunscute c ecuţiile Yule-Wlke. În cestă fmă ceste legă funcţi de (ut)celţie de pmetii filtului AR. Dcă eşntinele funcţiei de (ut)celţie sunt cunscute, tunci pmetii filtului AR pt fi ţinuţi 38

133 pin ezlve ecuţiil. Pe de ltă pte dcă pmetii filtului u fst deteminţi din (4.5.0), vinţ zgmtului l Un [ ] v fi dtă de σ p U min X X k emp [0] k [ ] [ k], (4.5.) fmă ce ezultă punând h [ k] k [ ] cu M p în (4.5.9). pt 4.6. Eemplu cncet sintetize vcii Este dej lg ăspândit c infmţiile (telefnice su GPS) să fie tnsmise electnic cu jutul unui cnvet (sintetizt) tet vce. Un din pimele plicţii în cest sens fst dezvlttă de Tes Instuments pin Spek nd Spell. În genel sunetele vite se împt în duă ctegii: vie vclă când stim vclă şi vie nevclă când stim cnsnă. Pentu sunetele vcle ecitţi se mdeleză cu jutul unui şi de impulsui ce pduc un sunet peidic, i sunetele nevcle se mdeleză pin tnsfme unui zgmt l înt-un sunet de tip zgmt. Ecitţi este dtă de mdifice tctului vcl umn, ce pte fi similtă unui filtu lini SI. Cunştee fmei undei ecitte şi funcţiei de sistem tctului vcl ne pemite să sintetizăm vie. Pentu sunetele nevcle tecem un zgmt l gussin discet pint-un filtu lini SI vând funcţi de sistem H nv( z). Vm tt în cntinue sintetize semnlului nevcl, sintetize sunetel vcle decugând nlg. S- stilit că ună mdele tctului vcl este filtul lini SI vând funcţi de sistem H nv( z) p k kz [ ] k ce este un filtu de pli. Pentu cnsideente pctice, dinul filtului, ce este egl cu număul de pli i funcţiei cmplee de mi sus, se lege c fiind p. Output-ul Xn [ ] l cestui filtu, pentu un zgmt l Un [ ] cu vinţ pcesul stţin p Xn [ ] kxn [ ] [ k] Un [ ], k σ U este ce epezintă ecuţiile cu difeenţe definitii pentu un pces AR(p). Aşd vie nevclă se pte sintetiz flsind ceste ecuţii cu difeenţe pentu legee cnvenilă de pmetii {[], [],, p [ ], σ U }. Pmetii v fi difeiţi pentu fiece sunet nevcl în pte. Pentu detemin pmetii pentu un numit sunet se flseşte un segmet din sunetul vit dit pentu estim funcţi de (ut)celţie. Api pmetii k [ ] pentu k,, K, p se pt ţine ezlvând ecuţiile Yule-Wlke. Funcţi de celţie teetică este înlcuită de funcţi de (ut)celţie estimtă pentu ţine din (4.5.0) sistemul Mcă înegisttă Tes Instuments 39

134 ˆ [0] ˆ [] ˆ [ ] [0] ˆ X X K X p X[] ˆ [] ˆ [0] ˆ [ ] [] ˆ X X X p X[] K M M O M M M ˆ [ ] ˆ [ ] ˆ [0] [ ] ˆ X p X p K X p X[ p] (4.5.) flsit pentu detemine pmetil k ˆ[ ]. Deteminăm pi vinţ estimtă zgmtului l din (4.5.) c fiind p [0] k [ ] [ k] (4.5.3) ˆ ˆ ˆ ˆ U X X k σ unde k ˆ[ ] sunt deteminţi c sluţi ecuţiil Yule-Wlke (4.5.). Algitmul descis cnţine mdifice dusă estimăii funcţiei de (ut)celţie, ce se fce după fmul N k ˆ X[ k] nn [ ][ k] k 0,, K, p (4.5.4) N n 0 Difeită de de clsică pin fptul că fctul nmlizt este N în lc de N k. Pentu N! p cest e un efect neglijil sup estimăii pmetil, d e vntjul că plii funcţiei de sistem estimte H ˆ nv( z) se flă în inteiul cecului unitte. Acestă metdă de estime se mi numeşte metd utcelăii pedicţiei linie. În md nml pentu nliz sunetel de vie pentu estim pmetii AR, vm eşntin l 8 khz şi vm flsi un lc de dte de lungime 0 msec (p. 60 de eşntine). Din dtele epeimentle s- juns l cncluzi că sunetul sintetizt este simil sunetului iginl dcă densităţile spectle cespunzăte sunt simile. Aşd densitte spectlă estimtă ˆ σˆ ( ) U PX f (4.5.5) p k ˆ[ ]ep( πifk) k cespunde ceinţel. În finl pentu sintetiz sunetul clculăm p n [ ] kn ˆ[ ][ k] un [ ] unde un [ ] epezintă un zgmt l gussin pseudlet cu vinţ p. 0 msec. Vm d în cntinue cdul MATLAB pentu ceste peţii. k σ ˆU pentu N length(seg); % seg epezint esntinul de sunet Nfft 04; %setez lungime FFT pent tnsfmt Fuie Feq[0:Nfft-] /Nfft-0.5; %pct in ce se ep densit spect P_pe(/N)*s(fftshift(fft(seg,Nfft))).^%clc peidgm p ; %dimensiune mticii de utceltie 40

135 f k:p %estime fct de utceltie pt p0,,,p X(k,) (/N)*sum(seg(:N-k).*seg(k:N); end X(:p) %cmplete vectului din dept f i:p f j:p R(i,j) X(s(i-j)); end end inv(r)*; %ezlve ect lin pt det pm filtu AR vu X()- *; %gsie vintei ecittiei de zgmt den s(fftshift(fft([;-],nfft))).^; %clc numit %densit spectl AR P_AR vu./den; %clc densit spectl AR 4.7. Eeciţii şi pleme ppuse spe ezlve. Un sistem lini SI cu funcţi de sistem H( z) z z este utilizt pentu filt un pcess let zgmt l cu pmetu de timp discet de vinţă σ U. Deteminţi funcţi de (ut)celţie şi densitte spectlă pcesului ezultt după filte.. Un pces stţin cu pmetu de timp discet de medie µ U este input-ul unui sistem lini SI cu ăspuns l impuls [ ] ( ) hn, pentu n 0 şi hn [ ] 0, pentu n < 0. Găsiţi medi utput-ului. 3. Un zgmt l cu pmetu de timp discet Un [ ] epezintă input-ul l un sistem lini ce pduce utput-ul dt de pcesul Xn [ ] Un n [ ] pentu <. Să se detemine densitte spectlă pcesului de utput. 4. Un pces sl stţin cu pmetu de timp discet este definit pin ecuţi cu difeenţe Xn [ ] X[ n ] Un [ ] U[ n ], unde Un [ ] este un zgmt l cu pmetu de timp discet de vinţă σ U. Repezentţi gfic densitte spectlă pcesului Xn [ ] pentu 0.9, 0. şi pentu 0., 0.9. Eplicţi ezulttele. 5. Un pces sl stţin cu pmetu discet de timp este dt de ecuţi cu difeenţe Xn [ ] 0.5 Xn [ ] Un [ ] 0.5 Un [ ], unde Un [ ] este un zgmt l discet de vinţă σ U. Găsiţi funcţi de (ut)celţie şi densitte spectlă pcesului Xn. [ ] 6. Un pces let cu densitte spectlă dtă de PX ( f) ep( π if ) este filtt pint-un sistem lini SI pentu pduce un zgmt l Un [ ] de vinţă σ 4. Ce este epime sistemului c ecuţie cu difeenţe? U n 4

136 7. Un pces AR de dinul este dt de ecuţi cu difeenţe ecusivă Xn [ ] cs( π f ) Xn [ ] Xn [ ] Un [ ], unde Un [ ] este zgmt l 0 discet de vinţă σ U. Pentu 0.7, f0 0. şi pentu 0.95, f0 0. epezentţi gfic densitte spectlă lui Xn. [ ] Indicţie: deteminţi lcţiile plil lui H ( z). 8. Un semnl de medie nulă cu densitte spectlă P ( f) cs( π f) este încstt înt-un zgmt l de vinţă σ W. Repezentţi gfic funcţi de tnsfe fecvenţilă netezitului Wiene ptiml. Deteminţi de semene şi EMP min. Indicţie: pentu detemine EMP flsiţi pime în sumă integlei. 9. Acestă plemă este menită să simuleze un netezit Wiene. Mi întâi geneţi N 50 eşntine le unui semnl Sn, [ ] ce este un pces AR ( Un [ ] este pesupus zgmt l) cu 0.5 şi S σ 0.5. A nu se uit de σ cndiţi iniţilă S[ ]! N 0, U ( ). În cntinue se dună zgmtul l Wn [ ] de vinţă σ W elizăii pcesului AR. Se plică pi cdul MATLAB pentu netezie semnlului distsint. Repezentţi gfic semnlul şi semnlul netezit. 0. Cnsideăm un pces AR() dt de Xn [ ] Xn [ ] Un [ ], unde Un [ ] este un zgmt l de vinţă (4.5.5) cu p şi U [] 0, [] U σ şi 0< <. Acest pces se deduce din. Funcţi de (ut)celţie cestui σ k pces se pte ăt că este dtă de [ ] U X k 4 cs( kπ ) (vezi ( ) [9]). Găsiţi pedictul lini ptiml de ps în z eşntinel pezente 4 şi tecute le lui Xn. [ ] Simulţi pedictul pentu czuile 0.5, σ şi 0.95, σ stfel c putee medie în fiece cz să fie ceeşi 4 U ( X [0] ). Geneţi 50 de eşntine şi eliminţi pimele 00 pentu sigue stţinităţii. Repezentţi gfic vlile pezise pentu fiece cz. Ce din vlile lui dă un pces mi pedictiil?. Pentu M ezlvţi ecuţiile Wiene-Hpf dte în (4.5.8) pentu detemin h[0].. Pcesul MA descis în Eemplul 4.7. şi dt de Xn [ ] Un [ ] U[ n ] e funcţi de (ut)celţie pentu σ U k 0 X [ k] k. 0 k Pentu M ezlvţi ecuţiile Wiene-Hpf pentu găsi pedictul lini de ps finit şi deteminţi pi EMP minimă. 3. Dim să pezicem un zgmt l. Pentu cest să se ezlve ecuţiile Wiene-Hpf pentu [ k] σ δ[ k]. X X U 4

137 4. Pentu un pces MA Xn [ ] Un [ ] Un [ ], unde Un [ ] este un zgmt l de vinţă σ U, să se găsescă pedictul de lungime finită ptiml Xn ˆ[ ] h[0] Xn [ ] h[] Xn [ ] şi EMP minimă Un filtu cu funcţie de tnsfe fecvenţilă H( F) ep( πifτ0 ) se flseşte pentu filt un pces sl stţin cu densitte spectlă PX ( F ). Ce este densitte spectlă l ieşie din filtu şi de ce? Ntă. Pezentul cpitl este edctt după Steven Ky, Intuitive Pility nd Rndm Pcesses using MATLAB, Spinge, New Yk, 006, cp

138 Cpitlul 5 Pleme de mecnică ezlvte în MATLAB În cest cpitl vm pezent câtev pleme de mecnică dte în MATLAB, c eemplifice utilităţii cestui sft mtemtic pentu ezlve pimtivă ecuţiil lgeice, plemel Cuchy pentu ecuţii difeenţile, pentu epezentăi gfice, pentu simule un fenmene mecnice, etc. În fiece secţiune m pezentt câtev pleme, pentu fiece plemă fiind dt enunţul, de din punct teetic şi tte plemei în MATLAB. 5.. Clcul vectil Plem 5. (Opeţii cu vecti): Să se tducă peţiile cu vecti fizici în peţii cu vecti / mtice. Sluţie: Din punct de vedee teetic, vectului 3 ι ι ι3, ι, ι ι i se sciză, în MATLAB, vectul epezentt înt- ză tnmtă { }, linie (mtice 3) [() () (3)]. Pentu simplifice, în cntinue, vm nt cmpnentele,, 3, dică, vectul este [ 3 ]. Opeţiile de dune vectil, înmulţie unui vect cu un scl şi scădee vectil se tduc pin peţiile cespunzăte cu mtice. Evlue pdusului scl di vecti se pte eliz: - pin utilize epesiei nlitice: y y 3 y 3 ; - pin peţii cu mtice: ' y y 3 [ ] ' ' y sum ( dig ( y ) tce ( y) 3 y 3 - pin utilize funcţiei dt din MATLAB: dt(,y) Evlue pdusului vectil di vecti se pte eliz: - pin utilize epesiei nlitice: [ y 3 3 y, 3 y y 3, y y ] - pin peţii cu mtice: pim vintă: se cnstuiesc mticele y y y3 ' ' m y y y y 3, q mm, 3 y 3 y 3 y 3 tunci pdusul vectil este vectul [q 3 q 3 q ] ; 44

139 du vintă: se cnsideă vectii u [ 0 0], u [0 0], u [0 0 ] tunci cmpnentele pdusului vectil sunt det([u; ; y]), det([v; ; y]), det([w; ; y]), - pin utilize funcţiei css din MATLAB: css(,y) Evlue pdusului mit tei vecti se fce pin utilize funcţiei det din: det ([; y; z]). C eemplifice de pgme şi clcul în MATLAB pentu plem enunţtă se pte cnside pgmul umăt: [ 3], y [4 5 3] ps ()*y()()*y()(3)*y(3), ps *y' ps3 sum(dig('*y)), ps4 dt(,y) m '*y, q m-m', pv [q(,3) q(3,) q(,)] u [ 0 0], v [0 0], w [0 0 ] C [u; ; y], C [v; ; y], C3 [w; ; y] pv [det(c), det(c), det(c3)] pv3 css(,y), z [ ] pm det([; y; z]) Plem 5. (Cliniitte): Cunscându-se vectii de pziţie i punctel A, B, C să se veifice dcă cele tei puncte sunt clinie, să se clculeze i tiunghiului ABC şi să se detemine l ptule vâf l plelgmului ABCD. Sluţie: Necliniitte punctel A, B şi C se pte veific ătând că cel puţin duă din ptele 3 3 B A B A B A,, 3 3 C A C A C A sunt difeite (B nu se flă pe dept detemintă de A şi C). De eemplu, cnsideând A ι 3ι 4ι3, B 3ι ι ι3, C ι ι3, se ţine 3 3 B A B 5 B 5, A, A C A C A C A Necliniitte punctel A, B şi C ezultă şi din fptul că pdusul vectil AB AC este nenul. Acelşi pdus vectil este utilizt şi pentu clculul iei tiunghiului ABC ι ι ι 3 i ( ABC ) AB AC

140 46 Cndiţi c ABCD să fie plelgm este DC AB su B A C D. Deci, vectul de pziţie l celui de l 4-le vâf l plelgmului ABCD este C B A D ι ι ι Pgmul MATLAB pentu plem 5. este umătul: [ -3 4]; [3 -]; c [0 -]; -, c c- k ()/c(), k ()/c(), k3 (3)/c(3) pv css(,c) if pv0 disp('clinie') else disp('neclinie'); end d c- M [;;c;d;]; M(:,); y M(:,); z M(:,3); plt3(,y,z,'','linewidth',) i_c sqt(pv*pv')/ Plem 5.3 (Cplnitte): Se du vâfuile unui ptulte ABCD. Să se te că cest ptulte este pln, chi plelgm, şi să i se clculeze i. Sluţie: Cnsideăm că vectii de pziţie i vâfuil ptulteului sunt,, B 3 A ι ι ι ι ι ι , D 3 C ι ι ι ι ι ι Cplnitte punctel A, B, C, D ezultă din fptul că A se flă în plnul detemint de B, C, D, deece A D A D A D A C A C A C A B A B A B D D D C C C B B B A A A Se sevă că C, B A D deci ABCD este un plelgm, dică un ptulte pln. Ai plelgmului se clculeză cu jutul pdusului vectil ( ) i 3 ι ι ι AC AB ABCD ι ι ι

141 Cu MATLAB plem se pte nliz cu umătul pgm: [3 5], [ - ], c [5 3 7], d [6 5 0] cnd det([d ; ; ; c ]) if cnd0 disp('cplne') else disp('necplne') end cnd -c-d if cnd0 disp('cplne: ABCD este plelgm') else disp('necplne') end M [;;c;d;]; M(:,);y M(:,);z M(:,3); plt3(,y,z,'','linewidth',) pv css(-,d-); i_abcd_ sqt(pv*pv') i_abcd_ nm(pv) 5.. Pleme de cinemtică Plem 5.4 (Plem întâlniii duă cpui): Pesupunând că un mil M se deplseză ectiliniu şi unifm cu vitez cnstntă v, v v cnst., să se detemine tiecti plnă unui mil M, ce se deplseză unifm cu vitez (cnstntă) v, v v cnst., ienttă meeu spe M. Sluţie: Fie plnul detemint de tiecti ectilinie milului M şi pziţi iniţilă lui M şi fie în cest pln un epe cu igine O în pziţi iniţilă milului M şi O dept pe ce se mişcă M. Dcă ntăm M M ι yι, tunci pziţi milel v fi ccteiztă pin v t, 0, Cum vitez lui M este v t, y > 0. M v v tunci pe cmpnente vem M M M (5.) v v y v &, y&. (5.) y y Cu sustituţi uy, (5.3) sistemul (5.) devine 47

142 48., v uy u v y & & (5.4) Se ţine ecuţi difeenţilă, d d u y v v u y (5.5) ce dmite sluţi ( ) ( ) [ ], / / v v v v c y c y u (5.6) unde v v y u u c / şi y u. ) Pesupunând v v, din ( ) ( ) / / d d v v v v c y c y v t y se deduce ( ) ( ) / / ) ( v v cy v v cy c t y t v v v v (5.7) unde ( ) ( ) / / v v cy v v cy c t v v v v. Cum ( ) ( ) [ ] / / ) ( v v v v c y c y y y se estimeză limitele, > ) ( lim, ) ( lim, < ) ( lim 0, ) ( lim v v pentu y t y v v pentu t y t y y y y y (5.8) dică milele se întâlnesc l mmentul t t dcă v < v şi nu se întâlnesc dcă v > v. În cest din umă cz, distnţ minimă dinte mile / v v v v v v v v v c este eliztă l mmentul t t. ) Dcă v v, din ) ( d d c y c y v t y se ţine ( ) 4 ) ln( ) (, 4 ) ln( cv c y c y t unde cv c y c y t t (5.9) şi din y c c y y y ) ( ezultă, ) ( lim, ) ( lim 0 0 y t c y y y (5.0) dică "întâlnie" e lc simpttic în tecut.

143 În pgmul MATLAB pentu ezlve cestei pleme se utilizeză functiile de clcul simlic dslve, simplify, limit, sus pentu intege ecuţiil de mişce cu cndiţii iniţile dte (ţinee sluţiei nlitice), simplifice epesiei pentu sluţie şi clcule limitel şi celllte măimi ccteistice. De semene, se fc epezentăi gfice în pln utilizând funcţiile plt, sus şi ezplt pentu epezente gfică tiectiei pentu difeite vli le ptului k v / v şi le pziţiei iniţile y. Pentu nu fce pel l dte numeice dimensinle, se intduc viilele dimensinle y v t X, Y, T (5.) y y y şi ntţiile k v/ v, Sluţiile (5.6) şi (5.7) se sciu / k u CY C cy u / k [( ) ( CY ) ] / k ( CY ) ( CY ) 49 k u ln( CY) sinh, k, T / k C k / k T T. k k Integând ecuţiile de mişce (5.) după schime de viilă (5.3): se ţine syms u0 u dslve('dusqt(u^)/y/k','u(y0)u0','y'), simplify(u) / k C. k (5.) u [sinh((lg(y)lg(u0-(u0^)^(/))*k-lg(y0))/k)] [sinh((lg(y)lg(u0(u0^)^(/))*k-lg(y0))/k)] ns [sinh((lg(y)lg(u0-(u0^)^(/))*k-lg(y0))/k)] [sinh((lg(y)lg(u0(u0^)^(/))*k-lg(y0))/k)] Osevăm că sistemul de ecuţii difeenţile (5.) nu putut fi integt simlic de MATLAB, d în celşi timp dă sluţi ecuţiei (5.5) în cmple, pim pte sluţiei nevând sens. Pgmul ce detemină tiectiile pnind din ceeşi pziţie iniţilă pentu plem întâlniii, este umătul: 0 ; y0 ; u0 y0/0; y 0:0.000:y0; k.5; c (u0sqt(u0*u0))^k; lt (c^(/k)/(k)-c^(-/k)/(-k))//c t lt-((c*y).^(/k)/(k)-... (c*y).^(-/k)/(-k))//c; u ((c*y).^(/k)-(c*y).^(-/k))/; ty.*u; k.5;

144 c (u0sqt(u0*u0))^k; lt (c^(/k)/(k)-c^(-/k)/(-k))//c t lt-((c*y).^(/k)/(k)-... (c*y).^(-/k)/(-k))//c; u ((c*y).^(/k)-(c*y).^(-/k))/; ty.*u; k3.75; c3(u0sqt(u0*u0))^k3; lt3 (c3^(/k3)/(k3)-c3^(-/k3)/(-k3))//c3 t3 lt3-((c3*y).^(/k3)/(k3)-... (c3*y).^(-/k3)/(-k3))//c3; u3 ((c3*y).^(/k3)-(c3*y).^(-/k3))/; 3 t3y.*u3; plt(,y,'-',,y,'g-.',3,y,'--','linewidth',); is equl; Xlel('^/y_','FntSize',4); Ylel('^/y_','FntSize',4); legend('k_.5','k_.50','k_.75') i ezulttele gfice ţinute din cest pgm sunt pezentte în figu 5.. Figu 5.: Tiectiile pentu difeite ptui le vitezel în plem întâlniii duă cpui. Pgmul ce detemină tiectiile pnind din pziţii iniţile difeite pentu plem întâlniii, este umătul: k.5; y0 ; y 0:0.000:y0; 0 ; u0 0/y0; c (u0sqt(u0*u0))^k/y0; lt (c^(/k)/(k)-c^(-/k)/(-k))//c 50

145 t lt-((c*y).^(/k)/(k)-(c*y).^(-/k)/(-k))//c; u ((c*y).^(/k)-(c*y).^(-/k))/; ty.*u; 0.5; u0 0/y0; c (u0sqt(u0*u0))^k/y0; lt (c^(/k)/(k)-c^(-/k)/(-k))//c t lt-((c*y).^(/k)/(k)-(c*y).^(-/k)/(-k))//c; u ((c*y).^(/k)-(c*y).^(-/k))/; ty.*u; 03 ; u03 03/y0; c3 (u03sqt(u03*u03))^k/y0; lt3 (c3^(/k)/(k)-c3^(-/k)/(-k))//c3 t3 lt3-((c3*y).^(/k)/(k)-(c3*y).^(-/k)/(-k))//c3; u3 ((c3*y).^(/k)-(c3*y).^(-/k))/; 3 t3y.*u3; plt(,y,'-',,y,'g-.',3,y,'--','linewidth',); is equl; Xlel('^/y_','FntSize',4); Ylel('^/y_','FntSize',4); legend(['v_/y_*t_*_',numst(lt)],['v_/y_*t_*_',... numst(lt)],['v_/y_*t_*_3',numst(lt3)]) Rezulttele ţinute cu cest pgm pentu k.5 sunt pezentte în figu 5.. Figu 5.: Tiectiile pentu difeite pziţii iniţile în plem întâlniii. Pgmul umăt este un pgm de nimţie pentu plem întâlniii. 0 ; y0 ; u0 0/y0; k.5; c (u0sqt(u0*u0))^k; lt (c^(/k)/(k)-c^(-/k)/(-k))//c; y 0.0:0.0:y0; t lt-((c*y).^(/k)/(k)-(c*y).^(-/k)/(-k))//c; u ((c*y).^(/k)-(c*y).^(-/k))/; ty.*u; 5

146 ncde 5; syms yy f j :ncde timplt-((c*yy).^(/k)/(k)-(c*yy).^(-/k)/(-k))//c t(j)(j-)*lt/ncde; yj slve(t(j)-timp); f i :length(yj) if (img(yj(i))0) y(j) evl(yj(i)) end end end M mviein(ncde) f j:ncde- u(j) ((c*y(j)).^(/k)-(c*y(j)).^(-/k))/; (j) t(j)y(j)*u(j); tg [t(j) (j)]; ytg[0 y(j)]; plt(,y,'-k',(j),y(j),'*',t(j),0,'*',tg,ytg,'.k') is equl; is([0,.*lt,0,.*y0]); M(j) getfme; end mvie(m) Plem 5.5 (Mişce unifmă pe elice ciculă): Un punct mteil M se mişcă unifm cu vitez v 0 (vle lgeică) pe elice ciculă. Cunscând z cilindului şi pnt α elicei, să se studieze mişce punctului în cdnte cteziene, cilindice şi intinseci. Sluţie: Ecuţiile pmetice le elicei sunt cs, sin, 3 tgα. Cmpnentele vitezei în cdnte cteziene 3 & & sin, & & cs, & & tgα. Din cndiţi de mişce unifmă ezultă v v v & ( tg α ) csα cnst. & & t csα. Cmpnentele cceleţiei în cdnte cteziene v fi & 3 & cs, && & sin, & 0, 3 deci cceleţi este pependiculă pe O & ( cs ι sin ι ). În cdnte cilindice, vând în vedee ezulttul din [] (plem.5.), se ţine v 0, v &, vz & tgα; v & i & tgα i z, v v & ( tg α ) & & csα cnst., &, 0, z 0; & ι. 5

147 Tiedul lui Fenet scit elicei este definit pin 3 ds d d d ds ε, d d d d cs α d csα d d τ d ε csα( sin ι cs tg ), d d ι αι3 s s d dτ ν ρ >, ν ( csι sin ι ), ds ρ cs α β τ ν ε sin α ( sin ι cs ι ctgα ι 3 ). Din cndiţi de mişce unifmă se ţine s& v cnst., i din fmulele d dds v s& τ, dt ds dt ezultă dv dτ && sτ s& dt dt v v v τ, ν. ρ 53 dτds && sτ s& && sτ ds dt () s& ν, ρ Cu jutul pgmului umăt este epezenttă elice şi tiedul Fenet în difeite puncte le elicei. Repezente gfică este dtă în figu ; 0.5; q 0:pi/7:4*pi; e *cs(q); ey *sin(q); ez *q; plt3(e,ey,ez,'-k','linewidth',); hld n u 0:pi/4:4*pi; *cs(u); y *sin(u); z *u; t -*sin(u)/sqt(^^); ty *cs(u)/sqt(^^); tz /sqt(^^); quive3(,y,z,t,ty,tz,.5,'') n -cs(u); ny -sin(u); nz 0; quive3(,y,z,n,ny,nz,.5,'g') *sin(u)/sqt(^^); y -*cs(u)/sqt(^^); z /sqt(^^); quive3(,y,z,,y,z,0.5,'') is equl; view([0,0]) Xlel('^','FntSize',4); Ylel('^','FntSize',4); Zlel('^3','FntSize',4); tet(-,-,7,['',numst(),',',numst()],'fntsize',4); title('tiedu Fenet scit elicei cicule','fntsize',4);

148 Figu 5.3: Tiedul Fenet. Plem 5.6 (Ldm): Un vp se mişcă pe supfţ cenului cu viteză cnstntă, unghiul dinte viteză şi meidin fiind cnstnt α. Să se detemine tiecti vpului. Sluţie: Pământul este pesupus sfeic, cu z R. Utilizând cdnte sfeice v 0, & v R, v ϕ Rϕ& cs, d v v csα, v vsin α. Pin ume ecuţi difeenţilă tiectiei este d csctgα. dϕ Integând cu cndiţiile iniţile l t 0 π (0), ϕ(0) 0, se ţine tg ep( ϕctgα ). Tiecti numită ldmă este pezenttă în figu 5.4 pentu flsind pgmul dt în cntinue: ϕ π π π α,,,

149 lph [pi/6 pi/4 pi/3]; n_lph [6 4 3]; f i:3 suplt(,3,i); [s,sy,sz] sphee(0); mesh(s,sy,sz) clmp(gy); hld n q pi/30:pi/30:pi*9/30; -sin(q).*cs(tn(lph(i))*lg(tn(q/))); y -sin(q).*sin(tn(lph(i))*lg(tn(q/))); z cs(q); plt3(,y,z,'-','linewidth',) title('\lph\pi/') is equl; view([-0,0]) title(['\lph\pi','/', numst(n_lph(i))]) end Figu 5.4: Ldm. Plem 5.7 (Ciclid): Să se studieze mişce unui punct fit P de pe cicumfeinţă de ză, ce se stgleşte făă să lunece pe deptă din plnul cicumfeinţei, centul cicumfeinţei vând vitez cnstntă v 0. Sluţie: Figu 5.5: Genee ciclidă. 55

150 Fie epeul tgnl (pln) cu igine în pziţi iniţilă punctului cnsidet, O dept pe ce lunecă cecul, c în figu 5.5. Vectul de pziţie l punctului mteil OC CP dă cdntele puntului gemetic P OI PB sin ( sin ), CI CB cs ( cs ). Aceste cnduc l ecuţiile pmetice le tiectiei ( sin ), ( cs ), ce este ciclidă (g. Kykls ce, eids spect). Vitez punctului P e cmpnentele în cdnte cteziene & & ( cs ), & & sin. Se ţine & v v t cnst., & 0, i vitez punctului P e măime v ( & ) ( ) sin v sin & & PI şi este diijtă după diecţi PA. Acceleţi punctului P e cmpnentele în cdnte cteziene v && & sin sin, v && & cs cs. Tiectiei ciclidă i se sciză tiedul Fenet d s d d ( cs ) sin d d d ν [ ], d τ sin ι cs ι, ds dτ ν cs ι sin ι ds ρ 4sin cs ι sin, 4sin ms. ι ρ PI β τ ν ι 3. Tiedul lui Fenet şi z de cuuă depind numi de elementele gemetice le cuei, nu şi de ccteisticele cinemtice le mişcăii. Piecţiile vitezei şi cceleţiei pe tiedul lui Fenet sunt v v v sin τ, cs τ sin ν. 56

151 Pin pgmul umăt se fce epezente nimtă ciclidei. Rezulttul finl l pgmului este dt în figu ; figue() is equl, is([ ]), hld n line([-6,00],[0,0],'cl','y') line([0, 0],[-,],'Cl','y') unghi 0:0.0:*pi; *cs(unghi); *sin(unghi); cec plt(,) punct plt(0,0,'','mkesize',,'mkefcecl','') puse v0 ; timp 0:0.5:95; m length(timp); f i:m v0*timp(i)*cs(unghi); *sin(unghi); set(cec,'xdt',,'ydt',) thet v0*timp(i)/; p v0*timp(i)-*sin(thet); p -*cs(thet); set(punct,'xdt',p,'ydt',p) plt(p,p,'m','mkesize',) dwnw end Figu 5.6: Câtev ce de ciclidă. Plem 5.8 (Epiciclid): Să se studieze mişce unui punct fit P de pe un cec de ză, ce se stgleşte unifm făă să lunece pe un cec fi de ză, cele duă cecui fiind tngente etei, centul cecului mil vând vitez cnstntă v 0. Mişce se desfăşă în plnul cel duă cecui. Sluţie: Figu 5.7: Genee epiciclidă. 57

152 58 Fie epeul tgnl (pln) cu igine în centul O l cecului fi şi O detemintă de O şi pziţi iniţilă punctului slid cu cecul mil, c în figu 5.7 Vectul de pziţie l punctului mteil OC CP dă cdntele punctului gemetic P ( ) ( ). sin sin, cs cs α α Întucât nu eistă lunece, β IP ms IP ms ) ) i π π β α Aceste cnduc l ecuţiile pmetice le tiectiei ( ) ( ), sin sin, cs cs ce este epiciclidă (g. epipe, peste, kyklscec, eidsspect). Vitez punctului P e cmpnentele în cdnte cteziene ( ) ( ). cs cs, sin sin & & & & Mişce centului C fiind unifmă, se ţine ( ), 0 cnst., & & & v t v i vitez punctului P e măime ( ) ( ). sin v & & Acceleţi punctului P e cmpnentele în cdnte cteziene ( ) ( ). sin sin, cs cs & && & && Tiectiei (epiciclid) i se sciză tiedul Fenet ( ), sin d d d d d d s

153 59 sin cs cs sin sin s ι ι τ d d. sin sin sin cs sin ι ι În iptez că 0 > sin, se ţine sin cs ι ι τ ( ) ρ s sin cs sin ι ι ν τ d d. ρ sin ) ( 4, cs sin ι ι ν. 3 ι ν τ β Tiedul lui Fenet şi z de cuuă depind numi de elementele gemetice le cuei, nu şi de ccteisticele cinemtice le mişcăii. Piecţiile vitezei şi cceleţiei pe tiedul lui Fenet sunt. sin cs, sin ν τ τ v v v Eemplifice fmei tiectiil, dtă în figu 5.8 pentu difeite vli le ptului, se ţine cu pgmul umăt: q 0:pi/0:*pi; *cs(q)-cs(*q); y *sin(q)-sin(*q); 3*cs(q)-cs(3*q); y 3*sin(q)-sin(3*q); 3 4*cs(q)-cs(4*q); y3 4*sin(q)-sin(4*q); c cs(q); yc sin(q); c *cs(q); yc *sin(q); c3 3*cs(q); yc3 3*sin(q); suplt(,3,); plt(c,yc,'-',,y,'-','linewidth',) is equl; is([-5,5,-5,5]); is ff title('/ cdiid','fntsize',4) suplt(,3,); plt(c,yc,'-',,y,'-','linewidth',) is equl; is([-5,5,-5,5]); is ff title('/','fntsize',4) suplt(,3,3); plt(c3,yc3,'-',3,y3,'-','linewidth',) is equl; is([-5.5,4.5,-5,5]); is ff title('/3','fntsize',4)

154 Figu 5.8: Eemple de epiciclide. Vizulize mişcăii pin nimţie pentu se pte eliz cu pgmul: ; ; ncde 80; M mviein(ncde); f j :ncde q j*pi/90; qc 0:pi/90:q; ()*cs(qc)-*cs(()*qc/); y ()*sin(qc)-*sin(()*qc/); p ()*cs(q)-*cs(()*q/); yp ()*sin(q)-*sin(()*q/); u 0:pi/90:*pi; ()*cs(q)*cs(u); y ()*sin(q)*sin(u); *cs(u); y*sin(u); plt(,y,'',,y,'',,y,'',p,yp,'','linewidth',) is equl; is([-3.5,3.5,-3.5,3.5]); is ff M(j) getfme; end mvie(m) Plem 5.9 (Hipciclid): Să se studieze mişce unui punct fit P de pe un cec de ză, ce se stgleşte unifm făă să lunece pe un cec fi de ză, <, cecul mil tngent în inteiul cecului fi, centul cecului mil vând vitez cnstntă v 0. Mişce se desfăşă în plnul cel duă cecui. Sluţie: Figu 5.9: Genee hipciclidă. 60

155 6 Fie epeul tgnl (pln) cu igine în centul O l cecului fi şi O detemintă de O şi pziţi iniţilă punctului slid cu cecul mil, c în figu 5.9. Vectul de pziţie l punctului mteil OC CP dă cdntele puntului gemetic P ( ) ( ). sin sin, cs cs ϕ ϕ Întucât nu eistă lunece, IP IP α ms ms ) ) i. π α π ϕ Aceste cnduc l ecuţiile pmetice le tiectiei ( ) ( ), sin sin, cs cs ce este hipciclidă (g. hipsu, dedesut, kyklscec, eidsspect). Vitez punctului P e cmpnentele în cdnte cteziene ( ) ( ). cs cs, sin sin & & & & Mişce centului C fiind unifmă, se ţine ( ) 0, cnst., & & & v t v i vitez punctului P e măime ( ) ( ). sin v & & Acceleţi punctului P e cmpnentele în cdnte cteziene ( ) ( ). sin sin, cs cs & && & && Tiectiei (hipciclid) i se sciză tiedul Fenet ( ), sin d d d d d d s

156 6 sin cs cs sin sin s ι ι τ d d. sin sin sin cs sin ι ι În iptez că 0 > sin, se ţine sin cs ι ι τ ( ) ρ s sin cs sin ι ι ν τ d d. ρ sin ) ( 4, cs sin ι ι ν. 3 ι ν τ β Tiedul lui Fenet şi z de cuuă depind numi de elementele gemetice le cuei. Piecţiile vitezei şi cceleţiei pe tiedul lui Fenet sunt. sin cs, sin ν τ τ v v v Eemplifice fmei tiectiil pentu difeite vli le ptului / este epezenttă în figu 5.0 şi se ţine cu pgmul: q 0:pi/0:*pi; *cs(q)cs(*q); y *sin(q)-sin(*q); 3*cs(q)cs(3*q); y 3*sin(q)-sin(3*q); 3 4*cs(q)cs(4*q); y3 4*sin(q)-sin(4*q); c 3*cs(q); yc 3*sin(q); c 4*cs(q); yc 4*sin(q); c3 5*cs(q); yc3 5*sin(q); suplt(,3,); plt(,y,'-',c,yc,'-','linewidth',) is equl; is([-3,3,-3,3]); is ff title('/3','fntsize',4) suplt(,3,); plt(,y,'-',c,yc,'-','linewidth',) is equl; is([-4,4,-4,4]); is ff title('/4 (stid)','fntsize',4) suplt(,3,3); plt(3,y3,'-',c3,yc3,'-','linewidth',) is equl; is([-5,5,-5,5]); is ff title('/5','fntsize',4)

157 Figu 5.0. Eemple de hipciclide. Vizulize mişcăii pin nimţie pentu pgmul umăt: 4 se pte eliz cu ; 4*; ncde 80; M mviein(ncde); f j :ncde q j*pi/90; qc 0:pi/90:q; (-)*cs(qc)*cs((-)*qc/); y (-)*sin(qc)-*sin((-)*qc/); p (-)*cs(q)*cs((-)*q/); yp (-)*sin(q)-*sin((-)*q/); u 0:pi/90:*pi; (-)*cs(q)*cs(u); y (-)*sin(q)*sin(u); *cs(u); y *sin(u); plt(,y,'-',,y,'',,y,'',p,yp,'','linewidth',) is equl; is([-4.5,4.5,-4.5,4.5]); is ff M(j) getfme; end mvie(m) 5.3. Mişce în câmp centl Plem 5.0 (Mişce kepleină): Să se studieze mişce punctului mteil su cţiune fţei de tcţie univeslă. Sluţie: Fţ de tcţie univeslă este definită pin Mm F f,, unde s-u ntt: m - ms punctului mteil ts, M - ms centului tctiv, f - cnstnt de tcţie univeslă. Pentu mişce în câmp centl sunt cunscute umătele ezultte: - tiecti este plnă cnţinută în plnul detemint de pziţi iniţilă şi vitez iniţilă dte pin (0), v(0) v, v v, (, v ) α 63

158 - în plnul tiectiei mişce e lc cu viteză elă cnstntă & C v sin α; - ecuţi tiectiei în cdnte ple se ţine din ecuţi lui Binet d F( ), d mc unde F () F. În czul mişcăii su cţiune fţei de tcţie univeslă se pt stili câtev ppietăţi pticule.. Tiecti unui punct mteil supus cţiunii fţei de tcţie univeslă este cnică ce depinde de cndiţiile iniţile: v - tiecti este elipsă dcă k < (dică e<); fm v - tiecti este plă dcă k (dică e); fm v - tiecti este hipelă dcă k > (dică e>). fm Înt-devă, în czul fţei de tcţie univeslă, fmul lui Binet devine d fm d C şi e sluţi fm Acs Bsin. C Cndiţiile iniţile în cdnte ple (, ) se sciu stfel (0), & (0) & v csα, (0) & (0) & v sin α d & Cum, pentu detemine cnstntel A şi B se ţine sistemul d & fm Acs Bsin C v csα Asin B cs, C de unde ezultă fm v csα A cs sin, C C fm v csα B sin cs. C C Sluţi ţinută se pte scie su fm p, ecs( ) 64

159 65 cee ce tă că tiecti este cnică, cu centul tctiv în fc, şi unde ( ) ( ), sin cs sin, cs, sin α α α p e p e fm v fm C p ( ). sin cs sin, sin fm v v fm v p p p e α α α α tg de unde ezultă ntu cnicei. Acelşi ezultt se pute ţine utilizând integl pimă enegiei. Întâi să sevăm că fţ de tcţie univeslă este fţă cnsevtivă (ptenţilă), deece 3 3 t Mm f t Mm f t Mm f P d d d d d d v F, 3 Mm f t t Mm f t Mm f t Mm f d d d d d d d d d d de unde ezultă că ptenţilul fţei de tcţie univeslă (pentu un punct mteil tctiv) este (). Mm f U Integl pimă enegiei se scie: ( ) (), h U m & & unde fmm mv h este cnstnt enegiei. Rezultă, h fmm C m d d unde ntând u, se ţine ( ) ( ) d d d d C fm u C fm m h C u u fmmu h mc u ( ) ( ) cs( ). ccs 4 C fm mc h C fm u C fm m h C fm u C Deci, ezultă cs( ), e p unde ( )., fm m hc e fm C p

160 . Dcă tiecti este elipsă (e<), tunci se definesc psidele pentu şi π : p p p p, e. e e e e ţinând sem de lege iil & C, pentu peid mişcăii ezultă π τ C Se ţine stfel lege III- lui Keple: ptul dinte păttul peidei şi cuul semiei mi nu depinde de punctul mteil în câmpul de tcţie l celuişi centu π e ( e ) τ p π π π cnst. 3 3 C C C fm 3. Dcă sunt devăte legile lui Keple: I: tiecti punctului mteil este elipsă; II: z vecte mătuă ii egle în intevle de timp egle (viteză elă cnstntă); III: ptul dinte păttul peidei şi cuul semiei mi este cnstnt, tunci mişce e lc su cţiune fţei de tcţie univeslă, tecând pin fcul elipsei. Înt-devă, tiecti fiind elipsă, este plnă şi ecuţi ei în cdnte ple este p, cu e <. ecs( ) Lege du lui Keple în cdnte ple se scie & C, i ecuţiile de mişce în cdnte ple sunt m( & & ) F, m( && & & ) F. Din ecuţi du de mişce şi lege du lui Keple, ezultă F 0, deci mişce se efectueză su cţiune unei fţe centle tecând pin fc. Aplicând fnul lui Binet, se ţine ( ) ecs( ) mc d mc ecs mc F F. p p d p Pentu czul în ce tiecti este elipsă, ştim că τ π p cnst., 3 C C de unde ezultă că este cnstntă independentă de punctul mteil, deci F este p inves ppţinlă cu păttul distnţei. Se intduce unghiul q pin elţi Rezultă ( ) ( csq e) sin ( ) e sin. q e q cs şi ( ecsq), tg tg. e 66

161 Se ţine i din integl pimă iil de unde ezultă & e q&, ( ecsq) &, C q q esin q C ( t t ), elţie utilă în stilie dependenţei de timp cdntel ple le punctului mteil. În figu 5. sunt pezentte eemple de cnice depinzând de cndiţiile iniţile, pentu ceeşi pziţie iniţilă (lesă dept unitte de lungime) şi pentu v viteză iniţilă căei mime veifică elţi k şi ce fce cu diecţi iniţilă fm 0 un unghi α. Am cnsidet k {.7,,.5} (elipsă, plă, hipelă), 0 0 şi α π / (figu 5.), espectiv α π / 4 (figu 5.). Rezulttele sunt ţinute pin pgmul: ke.7; kp ; kh.5; ue -pi:pi/360:pi; e ke./((ke-)*cs(ue)); e e.*cs(ue); ye e.*sin(ue); up -.5:0.0:.5; p kp./((kp-)*cs(up)); p p.*cs(up); yp p.*sin(up); uh -.05:0.0:.05; hkh./((kh-)*cs(uh)); hh.*cs(uh); yhh.*sin(uh); ue -pi:pi/360:pi; eke./((ke-)*cs(ue)-ke*sin(ue)); e e.*cs(ue); ye e.*sin(ue); up :0.0:7.5; p kp./(-kp*sin(up)); p p.*cs(up); yp p.*sin(up); uh -3.8: 0.0: ; hkh./((kh-)*cs(uh)-kh*sin(uh)); h h.*cs(uh); yh h.*sin(uh); suplt(,,); plt(e,ye,'-',p,yp,':g',h,yh,'.','linewidth',); Xlel('_/_','FntSize',4); Ylel('_/_','FntSize',4); tet(-5.5,0,'k.7','fntsize',4); tet(-6,-4.,'k','fntsize',4); tet(-,6,'k.5','fntsize',4); tet(-,-6,'\lph\pi/','fntsize',4); is equl; is([-8-8 8]) suplt(,,); plt(e,ye,'-',p,yp,':g',h,yh,'-.','linewidth',); Xlel('_/_','FntSize',4); Ylel('_/_','FntSize',4); tet(-0.5,4.4,'k.7','fntsize',4); tet(.9,6.5,'k','fntsize',4); tet(-4,-,'k.5','fntsize',4); tet(-,-4,'\lph\pi/4','fntsize',4); is equl is([ ]) 67

162 Figu 5.: Tipul cnicei în funcţie de vitez iniţilă v k kfm Pgmul umăt cupinde nimţi mişcăii pe elipsă: ; e 0.85; c e*; *sqt(-e^); 0.05; ncde 7; M mviein(ncde); syms s 0:pi/36:*pi f j :7 t (j-)*pi/36; u slve(-e*sin()-t); p(j)evl(u); end f j :7 *cs(s); y *sin(s); c *cs(p(j))*cs(s)/; c evl(c) yc *sin(p(j))*sin(s)/; yc evl(yc) s c*cs(s); ys *sin(s) plt(,y,'-',c,yc,'.',s,ys,'.') is equl; is([-.,.,-,]); M(j) getfme; end mvie(m,3) Plem 5. (Plem steliţil tificili): Să se studieze mişce în câmp centl în czul în ce cpul tctiv este Pământul, i cpul ts un stelit tificil, su cţiune fţei de tcţie univeslă. Să se stilescă cndiţiile de stelize. Sluţie: L supfţ Pământului, fţ de tcţie univeslă este eglă cu geutte punctului mteil, deci vem Mm F mg f fm gr, R 68

163 69 unde R R p este z Pământului. Tiecti "punctului mteil" ts teuie să fie elipsă, pentu c cest să fie stelit. Deci. < gr fm v Pin ume, vitez de lnse stelitului de l distnţ > R teuie să fie stfel încât. < gr v (5.3) Tiecti stelitului (elips) nu teuie să intesecteze supfţ Pământului, deci pentu, sin, cs fm v p e fm v p e p α teuie să vem [ ] 0,π > R de unde ezultă că R e p > min. Astfel, ţinem > > > > fm v p R p R p e R p e R p R e p R R fm v R fm v R p > sin > α Cum > R ezultă că > 0 sin R α ; şi ( ) ( ) ( ) ( ) sin > sin > R R R gr v R R R R fm v α α de unde flsind şi cndiţi (5.3) se ţine ( ) ( ) gr v R R R gr < < sin α (5.4) În cnsecinţă, cndiţiile de stelize sunt ( ) ( ). < < sin, > sin 3 gr v R R gr R α α (5.5) Din (5.5) şi echivlenţ ( ) ( ) ( ) 0 > sin sin sin sin > sin α α α α α R R R R se ţine ineglitte ( ), sin < sin sin < 3 α α α v R R gr gr Din ineglitte R e p > ezultă şi că p>r.

164 ţine Dcă inte pe tiectie se fce su unghi α π /, tunci din (5.5) se gr 3 ( R) < v gr < Dcă lnse se elizeză pimtiv de l supfţ Pământului, gr < v < gr.. R, tunci Măime gr 7.9 km/s epezintă pim viteză csmică, i măime gr. km/s epezintă du viteză csmică. Oice cp lnst de l supfţ Pământului, pependicul pe z vecte, cu viteză cupinsă înte cele duă viteze csmice, devine stelit l Pământului. Pentu evit efectele fecăii cu tmsfe, se i 0 încât să includă şi gsime tmsfeei (inte pe ită l limit supeiă tmsfeei); în cest cz, vitezele csmice se mdifică uş. Pentu de în MATLAB cnsideăm viilele dimensinle v X >, Y >0. R gr Cndiţi de stelize (5.5) se scie în viile dimensinle, stfel XY <, ( ) Y X sin α >. X Aceste elţii sugeeză cnsidee în pln (X,Y) cuel unde Γ 0 este, de fpt, Γ pentu 5. ezulttă din pgmul ( X ) Γ0 : Y, Γ : Y, Γ : Y X ( X ) X X sin α π ( X α ),. Aceste cue sunt epezentte gfic în figu 0.:0.00:6; y sqt(./); y0 sqt(././()); l pi/3; 0 /sin(l)^; 0:0.0:6; y sqt(*(-)././(.**sin(l)^-)); l pi/4; 0 /sin(l)^; 0:0.0:6; y sqt(*(-)././(.**sin(l)^-)); l3 pi/6; 30 /sin(l3)^; 3 30:0.0:6; y3 sqt(*(3-)./3./(3.*3*sin(l3)^-)); ys 0:0.:3; plt(7,0,,ys,':k',,y0,'-k',,y,'-k',,y,':k',...,y,':k',3,y3,':k','linewidth',); tet(.45,.,'\leftw\lph\pi/3','fntsize',4); tet(.7,0.7,'\leftw\lph\pi/4','fntsize',4); tet(5.5,0.56,'\leftw\lph\pi/6','fntsize',4); tet(0.4,,'(\gmm_)','fntsize',4); tet(0.45,.,'(\gmm_)','fntsize',4); tet(6.,0.3,'(\gmm_)','fntsize',4); Xlel('X_/R','FntSize',4); Ylel('Yv_/sqt(gR)','FntSize',4); tet(,3,'\gmm_: Ysqt(/X/(X))','FntSize',4); 70

165 tet(,.75,'\gmm_: Ysqt(/X)','FntSize',4); tet(,.5,'\gmm_: Ysqt((X-)/X/(X^sin^(\lph)-))'); title('cnditii de stelize','fntsize',4) Figu 5.: Cndiţii de stelize. Dmeniul de stelize D D D ( α ), dmeniul D fiind delimitt infei de OX, l stâng de dept X şi supei de cu Γ, i D (α) infei de cu Γ, l stâng de dept X. În pgmul umăt sunt clculte, c eemplu, sin α câtev ite în funcţie de vitezele iniţile. Repezente gfică itel este în figu 5.3. X0 5.5; Y0 0.4; cnd (*(X0-)/X0/Y0^)/X0^; cd sqt(cnd/(-cnd)); linf tn(cd); lsup pi-linf; l pi/; le pi/4; u0:pi/80:*pi; c cs(u); yc sin(u); l/(x0*y0*sin(l))^(/x0-/(x0*y0*sin(l))^)*cs(u)-... ct(l)/x0*sin(u); cs(u)./l; y sin(u)./l; le/(x0*y0*sin(le))^(/x0-/(x0*y0*sin(le))^)*cs(u)... -ct(le)/x0*sin(u); e cs(u)./le; ye sin(u)./le; linf/(x0*y0*sin(linf))^(/x0-/(x0*y0*sin(linf))^)*... cs(u)-ct(linf)/x0*sin(u); inf cs(u)./linf; yinf sin(u)./linf; lsup/(x0*y0*sin(lsup))^(/x0-/(x0*y0*sin(lsup))^)*... cs(u)-ct(lsup)/x0*sin(u); sup cs(u)./lsup; ysup sin(u)./lsup; plt(c,yc,'-k','linewidth',3); is equl; hld n 7

166 plt(0,7,0,-7,,y,'-k',inf,yinf,'--k',sup,ysup,'--k',... e,ye,':k','linewidth',); is([-6-7 7]); is ff tet(-0.,0,'t','fntsize',4); tet(6,6,'\leftw \lph\pi/4','fntsize',4); tet(6.7,0.9,['\leftw \lph_i_n_f',numst(linf)],... 'FntSize',4); tet(6.7,-.,['\leftw \lph_s_u_p', numst(lsup)],... 'FntSize',4); tet(-5.,-4,'\lph\pi/ \ightw','fntsize',4); title('oite in functie de vitezele initile','fntsize',4) hld ff Figu 5.3: Oite în funcţie de vitezele iniţile. Plem 5. (Mişce pe semicicumfeinţă): Un punct mteil se mişcă pe cicumfeinţă de dimetu su cţiune unei fţe de tcţie din pte unui punct fi O l cicumfeinţei (figu 5.4). Să se deducă epesi fţei centle ce detemină cestă mişce şi vitez în punctul A dimetl pus lui O pentu ce mişce să fie psiilă. Sluţie: Figu 5.4: Mişce pe cicumfeinţă. Fie OA O. Dtele iniţile le plemei (cu A pziţie iniţilă) sunt, 0, & 0, & v, C v. 7

167 73 Repezente pmetică tiectiei fiind, cs din ecuţi lui Binet ezultă () ; 8 5 C m F pin ume fţ ce detemină mişce e epesi (), > 0, 5 k mk F dcă vitez iniţilă v este stfel încât k 8 C, dică ( ). k k v Punctul mteil junge din A în O (şi mişce înceteză) după un intevl de timp ce se ţine din lege iil, cs 4 v & dică sin d cs 0 v v t şi deci. d cs / 0 tt v v t π π Recipc, se pte pune plem deteminăii tiectiei punctului mteil su cţiune fţei centle (), 8 5 F C m ştiind dtele iniţile l 0 t ( ),,, (0) 0, (0), (0) π α k v v v unde k 8 C şi C v. Ecuţi pmetică tiectiei se ţine integând ecuţi Binet în ce înlcuind epesi fţei F() se ţine, d d 3 unde înmulţind cu d d, ezultă, d d d d d d d d 4 de unde, ţinând sem de dtele iniţile, se ţine d d d d

168 d d d 4 d d d d ccs cs. Deci, tiecti este cicumfeinţă de ză. Acelşi ezultt se pute ţine şi pnind de l integl pimă enegiei. k Dcă v pentu ( π, v ), tunci punctul tiecti punctului nu mi este ciculă. Pgmul MATLAB umăt cupinde epezente nimtă mişcăii pe cicumfeinţă. 0.05; ncde 88; M mviein(ncde); f j:ncde tc j*pi//ncde; syms z zc slve(zsin(*z)-tc); qc evl(zc); c *cs(qc)^; yc sin(*qc); s 0:pi/90:pi/; *cs(s).^; y sin(*s); u 0:pi/7:*pi; *cs(u); y *sin(u); plt(,y,'-','linewidth',); hld n plt(c,ycy,'-','linewidth',3); is equl; is([ ]) hld ff M(j) getfme; end mvie(m) Plem 5.3 (Mişce pe lemnisctă): Un punct mteil se mişcă su cţiune unei fţe centle pe lemnisct cs (figu 5.5). Să se deducă epesi fţei ce detemină cestă mişce şi elţi ce teuie să eiste înte dtele iniţile şi măime fţei. Sluţie: Figu 5.5: Mişce pe lemnisctă. 74

169 Pziţi iniţilă punctului mteil este ccteiztă pin cs,, O, v ( ) v, π π 3π 5π unde pentu >0 vem,, Vitez iniţilă fiind v, unghiul ei cu se pte detemin din elţi csα cs sin (, v ). 3sin ţinând sem de epezente pmetică tiectiei, din ecuţi lui Binet ezultă 3m C F(), 7 deci epesi fţei centle ce detemină cestă mişce este mk F(), 7 unde k 3 C >0 şi C 0 v 0 sin α. Mişce su cţiune unei semene fţe e lc pe cu dtă numi dcă vitez iniţilă punctului mteil e vle k v. 3 3 cs sin α ) Punctul mteil pcuge cul P P după un intevl de timp ce se ţine din lege iil & cs v sin α, dică v sin α v sin α t cs d ( sin sin ). Punctul junge în O (şi mişce înceteză) după intevlul de timp v sin α π/4 v sin α ttt cs d ( sin ). Recipc, se pte pune plem deteminăii tiecti unui punct mteil mk su cţiune fţei centle tctive F(), cu cndiţiile iniţile l t 0: 7 k π (0), (0) 0, v(0) v, α. 3 3 Pelucând integl pimă enegiei ( & ) (), m & U mk mk unde U ( ) şi h mv 0 6, se ţine h 75

170 m mk ( & & ) 0, 6 6 unde utilizând că d & & C şi din lege iil & cu d 4 d k d 6 d C 3 d C v C 4 3 C k 3, ezultă 4 d d 4 4. d d nt Ntând w, se ţine ecuţi dw w. 4 d dw Deece scde, deci w scde, ezultă ecuţi w, din ce, d ţinând sem că w(0) şi integând pe [0, t], se ţine ccs w cs ( - 0 ), dică, se ţine w cs. Deci, se ţine ecuţi tiectiei cs, cee ce însemnă că tiecti este lemnisctă. Tiecti punctului mteil su cţiune fţei centle tctive de tipul mk F() pentu viteză iniţilă 7 lemnisctă. k v pentu α π, nu mi este Pgmul umăt cupinde epezente nimtă mişcăii pe lemnisctă. ; q0 0; tfinl ; 0.0; ncde 300; M mviein(ncde); f j:ncde tc j*tfinl/ncde; qc sin(tc)/; c cs(qc)*sqt(*cs(*qc)); yc sin(qc)*sqt(*cs(*qc)); s -pi/4:pi/80:pi/4; cs(s).*sqt(*cs(*s)); ysin(s).*sqt(*cs(*s)); u 0:pi/7:*pi; *cs(u); y *sin(u); plt(,y,'-','linewidth',); hld n plt(c,ycy,'-','linewidth',4) is equl is([-0.05 sqt()0.05-sqt()/ sqt()/]) is ff hld ff M(j) getfme; end mvie(m)

171 Plem 5.4 (Mişce pe spil lui Ahimede): Un punct mteil se λ mişcă su cţiune unei fţe centle pe spil lgitmică e (figu 5.6). Să se deducă epesi fţei ce detemină cestă mişce şi elţi ce teuie să eiste înte dtele iniţile şi măime fţei. Sluţie: Figu 5.6: Mişce pe spil lgitmică. Pziţi iniţilă punctului mteil este ccteiztă pin e,, v v. Vitez iniţilă fiind v, unghiul ei cu ezultă din λ csα cs(, v ). λ ţinând sem de epezente pmetică tiectiei, din ecuţi lui Binet ezultă mc () ( λ ) F, 3 deci epesi fţei centle ce detemină cestă mişce este mk F(), 3 unde k C (λ ) > 0 şi C v sin α. Mişce su cţiune unei semene fţe e lc pe cu dtă numi dcă vitez iniţilă punctului mteil e vle Punctul mteil pcuge cul iil de unde v λ k. ) P P după un intevl de timp ce se ţine din lege λ & e k, λ 77

172 λ λ λ t e e. k Recipc, se pune plem deteminăii tiectiei unui punct mteil su cţiune mk fţei centle F(), cu cndiţiile iniţile l t 0 dte pin 3 k (0), (0) 0, v, α. Ecuţi lui Binet d k d C se scie su fm d ctg α 0 d şi dmite sluţi α ctgα ctg Ae Be. Din cndiţiile iniţile pentu cnstntele A şi B se ţine A 0, B ctgα, deci ctgα e, dică, tiecti este spilă lgitmică. mk Tiecti punctului mteil su cţiune fţei centle F() pentu 3 k viteză iniţilă v nu mi este spilă lgitmică. Pgmul umăt cupinde epezente nimtă mişcăii pe spil lgitmică. 0.0; l 0.; q0 4*pi; ttt ep(4*l*pi)-ep(*l*q0); 0.0; ncde300; Mmviein(ncde) f j :ncde tc j*ttt/ncde; qc lg(tcep(*l*q0))//l; c *ep(l*qc)*cs(qc); yc *ep(l*qc)*sin(qc); s 0:0.005:7*pi*.0; *ep(l*s).*cs(s); y *ep(l*s).*sin(s); u 0:pi/7:*pi; *cs(u); y *sin(u); plt(,y,'-','linewidth',); hld n plt(c,ycy,'-','linewidth',3); is equl is([ ]) hld ff M(j) getfme; end mvie(m) 78

173 Plem 5.5 (Osciltul niztp - Cue Lyssjus): Să se studieze mişce unui punct mteil supus unei fţe F C, C fiind un tens de dinul l dile simetic pzitiv definit. Sluţie: Ecuţi de mişce este m && C. Fie m, m, m 3 diecţiile pinciple le tensului C şi k, k, k 3 vlile pinciple cu k j > 0, j,, 3. în z fmtă din diecţiile pinciple vem C 3 k j m j j m 79 j si C Deci ecuţiile scle de mişce sunt m & j j k j, j,,3, su & j j ω j 0, cu k j ω j, j,,3, m şi dmit sluţiile j j csω jt & j sin ω jt, ω j j,,3, j j A cs ω jt α j, j j j unde A ( ) j şi su ( ),,3, j &, ω j j & sunt din cndiţiile iniţile 3 j j j & csα j şi sin α j j pentu j,,3, i j A ω j A 3 3 j j (0) m j si & (0) & & m j. j j Fm sluţiil indică fptul că mişce este măginită, tiectiile sunt cupinse în inteiul unui plelipiped, centt în igine, cu ltuile A, A, A 3. Mişce este peidică numi dcă eistă numeele ntule n, n, n 3 stfel încât n n n 3. ω ω ω3 Cuele ţinute se numesc cue Lyssjus. Pentu czul idimensinl, în figu 5.7 sunt epezentte tiectiile elizte pin pgmul umăt: t 0:.0:*pi; y cs(t); *cs(*t); *cs(*t-pi/4); 3 *cs(*t-pi/); 4 *cs(3*t); 5 *cs(3*t-pi/3); 6 *cs(3*t-pi/); 7 *cs(3*t-*pi/3); 8 *cs(4*t); 9 *cs(4*t-pi/4); 0 *cs(4*t-pi/); *cs(7*t); *cs(7*t-0.4); y cs(3*t); suplt(4,4,); plt(,y); is equl tight; title(',,0'); suplt(4,4,); plt(,y); is equl tight; title(',,\pi/4'); suplt(4,4,3); plt(3,y); is equl tight; title(',,\pi/'); suplt(4,4,5); plt(4,y); is equl tight; title('3,,0'); suplt(4,4,6); plt(5,y); is equl tight; title('3,,\pi/3'); suplt(4,4,7); plt(6,y); is equl tight; title('3,,\pi/'); suplt(4,4,8); plt(7,y); is equl tight; title('3,,\pi/3'); suplt(4,4,9); plt(8,y); is equl tight; title('4,,0'); suplt(4,4,0); plt(9,y); is equl tight; title('4,,\pi/4'); suplt(4,4,); plt(0,y); is equl tight; title('4,,\pi/'); k j j m j.

174 suplt(4,4,3); plt(,y); is equl tight; title('7,,0'); suplt(4,4,4); plt(,y); is equl tight; title('7,3,0.4'); set(findj('type','line'),'linewidth',) În pgmul de mi sus m cnsidet câtev peechi de pte le fecvenţel şi defzje iniţile cnfm telului umăt: ω ω 3 α 0 π/4 π/ 0 π/3 π/ π/3 0 π/4 π/ Figu 5.7: Eemple de cue Lyssjus Mişce pe cuă Plem 5.6 (Pendulul mtemtic): Să se studieze mişce unui punct mteil geu, de msă m, pe cicumfeinţă de ză l, în pln veticl. Se cee: ) deducee legii de mişce punctului mteil (lege lui Newtn în piecţie pe ele efeenţilului ineţil ctezin, lege lui Newtn în piecţie pe tiedul lui Fenet, teem mmentului cinetic, teem enegiei cinetice); ) măime fţei de legătuă; 80

175 c) tipui de mişcăi le punctului mteil geu pe cicumfeinţ veticlă, discuţie după cndiţiile iniţile. Fece şi ezistenţ mediului se neglijeză. Sluţie: Figu 5.8: Pendulul mtemtic. Rezlve teetică plemei pesupune mi multe etpe. ) Deducee legii de mişce punctului mteil. Se cnsideă efeenţilul ineţil O 3, vând igine în centul cicumfeinţei veticle, plnul veticl l cicumfeinţei fiind plnul O, cu O veticl descendentă (figu 5.8). Cdntele punctului mteil teuie să stisfcă esticţiile ( ) ( ) l, 3 0. Asup punctului mteil cţineză fţ de geutte mg şi fţ de legătuă (ecţiune) nmlă l cicumfeinţă N, fltă în plnul veticl l cicumfeinţei. Lege lui Newtn în piecţie pe ele efeenţilului ineţil ctezin. În cest cz, lege lui Newtn se scie stfel m & mg N şi pin piecţie pe diecţiile efeenţilului les cnduce l ecuţiile m && N mg, m && N, 3 3 m && N. Cum mişce e lc în pln veticl, 3 0, şi ecţiune nmlă N este în plnul veticl l cicumfeinţei, N 3 0, tei ecuţie sclă este devătă. în cntinue se v luc numi în plnul O. Deece diecţi ecţiunii este cunscută, ecuţiile de mişce se pt scie su fm 8

176 m && N mg, l m && N. l Tecând l cdnte ple l cs, lsin, ecuţiile de mişce devin ml && sin & cs ) N cs mg, ml( && cs & sin ) N sin. Pin elimine lui N, ezultă ecuţi pendulului mtemtic & g sin 0 (5.6) l şi măime lgeică fţei de legătuă N mg cs ml&. (5.7) Pentu fţ de legătuă nmlă l tiectie - în senţ fecăii - se pute scie gd( ) ( ) l 3 ( ) λ gd µ λ N ι ι µ ι3, 3 ( ) ( ) ( ) gd l l gd l deci λ N, μ 0. Multiplictul N nu este cnstntă, ci depinde de pziţie (pin intemediul vitezei) (dcă N fi fst cnstnt, ecuţiile difeenţile în cdnte cteziene fi fst linie, uş integile, în cntdicţie cu cee ce se întâmplă cu ecuţi pendulului mtemtic). Lege lui Newtn în piecţie pe tiedul lui Fenet. Lege lui Newtn în piecţie pe tiedul lui Fenet ( τ, ν, β) cnduce l ecuţiile mv& mg sin, v m mg cs N. l Deece β ι3 sunt d duă ecuţii scle. Având în vedee că v l &, se ţine imedit ecuţi de mişce (5.6) şi măime fţei de legătuă (5.7). Teem mmentului cinetic. Mmentul cinetic l punctului mteil este în cest cz K O mv lι ml& ι ml & ι z, i mmentul ezultnt l fţel dtă şi de legătuă MO ( mg N) mg mgl sin ι z. Teem mmentului cinetic dk O MO dt cnduce diect l ecuţi de mişce (5.6). 8

177 Teem enegiei cinetice. Enegi cinetică punctului mteil este T mv i putee mecnică fţel dtă şi de legătuă P v ml &, ( mg N) v mg mg& mgl & sin. Teem enegiei cinetice dt P dt cnduce, din nu, diect, l ecuţi de mişce (6.6). Pin teem mmentului cinetic şi pin teem enegiei se ţine diect ecuţi de mişce, d nu mi sunt infmţii despe fţ de legătuă. ) Ecuţi de mişce (5.6) dmite integl pimă ml & mgl cs cnst., numită integl pimă cnsevăii enegiei ttle, cnstnt fiind detemintă din cndiţiile iniţile. c) Tipui de mişcăi le punctului mteil geu pe cicumfeinţ veticlă. Ccteisticele mişcăii punctului mteil geu pe cicumfeinţ veticlă v fi deteminte de cndiţiile iniţile impuse l t 0 (0), & (0) v su (0), & (0) &. (5.8). Mici scilţii. Dcă pziţi iniţilă şi vitez iniţilă sunt stfel încât punctul mteil să ămână în vecinătte pziţiei de echiliu stile 0, tunci ecuţi de mişce se pte liniiz g sin ; & 0. (5.9) l Sluţi ecuţiei de mişce liniizte (5.9), cu cndiţiile iniţile (5.8), este g g cs t & l sin t su & g cs, l l t α g l unde l & g csα, sin α. l l & & g g Cndiţi c liniize să iă sens ( < * 5 0 ) este c l &. g Liniize nu e sens în vecinătte pziţiei de echiliu π, deece este pziţie de echiliu instilă. 83

178 Integl pimă de cnseve enegiei ttle, cu cndiţiile iniţile cnsidete, se epliciteză stfel l & gl cs h, h v g. Fie A scisă definită pin v A, g stfel încât integl pimă se scie su fm ( cs l & g l A ). Acestă elţie tă că în cusul mişcăii A l.. Czul l (mişce sciltie). < A În cest cz eistă pe cicumfeinţă duă puncte A şi A cu scis pte nt A lcsα, 0 < α < π şi ecuţi de mişce devine l & ± gl( cs csα ). înlcuind cs sin, cs α α sin, se ţine ecuţi difeenţilă A şi se d g α sin sin ±. dt l Fie & > 0. Din ecuţi de mi sus, în ce se lege semnul, ezultă că v ceşte până l vle α când & se nuleză. Luând pi semnul în fţ diclului, se vede că v desceşte până l vle α, când iăşi se nuleză etc. Intevlul de timp în ce şi & evin l ceeşi vle este peid de scilţie l α α τ sin sin d. g α Ntând α sin u sin, se epimă τ su fm integlei eliptice τ 4 l g 0 du ( u )( k u ) (fm nmlă Legende), unde pmetul α k sin <, depinde de cndiţiile iniţile. 84

179 85 Pentu clculul numeic l lui τ se pte flsi dezvlte în seie ( ), L L L L n n u k n n u k u k u k vlilă pentu k u <, umtă de intege temen cu temen seiei unifm cnvegente. D ( ) d 0 π n n u u u n L L şi pin ume ( ). sin sin L L L L α α π τ n n n g l În czul scilţiil mici. 6 sin α π τ α α g l deci ; Dcă şi α este neglijil, tunci se egăseşte fmul lui Glileu. g l π τ 3. Czul l A < (mişce de tţie). În cest cz ( ) l g v > şi punctul descie cmplet cicumfeinţ în celşi sens, impus de semnul lui &. Ecuţi difeenţilă ce descie mişce este ( ), sin ± k l g l A & unde <. A l l k Intevlul de timp în ce punctul plect din pziţi evine în ceeşi pziţie cu π este dt de ( ) ( ) ( )( ). d sin d 0 A A u k u u l g l k l g l τ π 4. Czul l A (mişce simpttică). Pentu elize cestui cz, pu teetic, teui c ( ) l g v În cestă ipteză, se plică fmulele din czul., cu π α. Alegând, de eemplu, semnul ( ) cs gl l & şi pin intege, după sepe viilel

180 t l g d cs π ln tg. 4 4 Punctul mteil se mişcă în sensul în ce ceşte şi junge în punctul π înt-un timp infinit lim t ( ). π Dependenţ czuil nlizte de cndiţiile iniţile {, & } se pte pezent gfic, pe scisă fiind pziţi iniţilă, pe dntă ptul vitezei iniţile l v vitez citică, i ct epezentând ptul A. Pe supfţ stfel ţinută s- gl l tst cu cespunzând czului mişcăil simpttice în figu 5.9 flsind pgmul: [X,Y] meshgid(-pi:pi/5:pi, -.5:0.:.5); Z cs(x)-y.^/; meshz(x,y,z) hld n -pi:pi/50:pi; y sqt(cs()); z cs()-y.^/; y -sqt(cs()); z cs()-y.^/; plt3(,y,z,'-k',,y,z,'-k','linewidth',) lel('\thet','fntsize',4), ylel('v_/sqt(g*l)','fntsize',4),zlel(' A',... 'FntSize',4) title('studiul cnditiil initile','fntsize',4) tet(0,-,,'\leftw misci sciltii','fntsize',4); tet(-,-.5,0,'\leftw misci simpttice',... 'FntSize',4); tet(-.8,-.5,-,'\leftw misci dettie',... 'FntSize',4); hld ff Figu 5.9: Studiul cndiţiil iniţile. 86