2 ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2 ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL"

Transcript

1 1 2 ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL 2.1 Probleme clsice de clcul vriţionl Din punct de vedere istoric, prim problemă de clcul vriţionl este ş numit problemă lui Dido. Legend mitologică spune că Dido, su Didon, prinţesă unui din cetăţile vechii Grecii şi soră lui Pygmlion, er mărittă cu pontiful Sihrbs. Pygmlion îl ssineză pe pontif şi Dido fuge cu frtele său şi cu vere soţului într-o flotilă improviztă. Debrcând pe ţărmul fricn, loclnicii îi oferă c loc de dăpost tât pământ cât pote cuprinde cu o piele de tur. Dido tie piele în fâşii înguste pe cre le legă cp l cp şi înconjoră cu ele o buctă de teren pe cre v construi cette Crtginei, cărei regină devine Dido. Incă din ntichitte, ltur mtemtică legendei interest pe mtemticieni: cum trebuie dispus firul lcătuit din fâşiile înguste pentru c el să înconjore o porţiune de rie mximă? Problem re mi multe vrinte. Un dintre ceste r fi următore: să presupunem că x x Ox reprezintă ţărmul mării şi că punctele A(, 0), B(b, 0) reprezintă cpetele firului, grficul funcţiei y = y(x), definită şi derivbilă pe [, b], 1

2 este firul. Ari limittă de fir şi de ţărm este S = y(x)dx, în timp ce lungime firului este L = 1 + y (x) 2 dx. Atunci problem lui Dido revine l determinre funcţiei y = y(x), definite şi derivbile pe [, b], cre stisfce condiţiile y() = 0, y(b) = 0, L = 1 + y (x) 2 dx stfel încât integrl S = y(x)dx să ibă vlore mximă. Din motive evidente, o semene problemă se numeşte problem ă izoperimetrică. Încă din ntichitte se cunoşte că form căuttă firului este ce unui rc de cerc, ş cum vom răt şi noi mi încolo. Putem rţion şi ltfel. Fied AB rcul grficului. În relţi S = y(x)dx, AB 2

3 considerăm pe x, y c funcţii de bscisâ curbilinie s şi integrăm prin părţi S = yx B A = L xdy = x(s) 1 + x (s) 2 ds. AB Problem revine l determin funcţi x = x(s) definită pe intervlul [0, L] cu propriette că x(0) =, x(l) = b şi că integrl L S = x(s) 1 + x (s) 2 ds 0 re vlore minimă. O ltă vrintă problemei lui Dido r fi cee în cre presupunem că firul r reprezent o curbă netedă închisă cu ecuţiile prmetrice x = x(t)y = y(t)t [t 1, t 2 ], funcţiile x(t), y(t) fiind deci derivbile pe porţiuni pe [t 1, t 2 ]. Atunci lungime firului este L = t 2 ir ri limittă de fir este S = t 2 t 1 t 1 0 x (t) 2 + y (t) 2 dt, [y(t)x (t) x(t)y (t)]dt. Problem revine deci l determinre celor două funcţii x(t), y(t) definite şi derivbile pe porţiuni pe intervlul [t 1, t 2 ] stfel 3

4 încât să ibă loc relţi şi c integrl S = L = t 2 t 1 t 2 t 1 x (t) 2 + y (t) 2 dt [y(t)x (t) x(t)y (t)]dt să fie mximă. Şi cest este tot o problemă izoperimetrică şi curb cre dă soluţi este un cerc. O ltă problemă importntă cre dus l priţi clculului vriţionl este problem brhistocronei. E fost propusă în 1696 de către Jen Bernoulli şi fost rezolvtă în diferite moduri de Jcob Bernoulli, Leibniz, lhospitl, Euler. E constă în determinre unei curbe cre uneşte punctele A(0, h) şi B(b, 0) pe cre se mişcă un punct mteril de msă m plecând din A cu viteză iniţilă nulă şi junge în B sub influienţ greutăţii după un timp T minim. Dcă presupunem că y = y(x) este ecuţi curbei căutte şi v(x) este mărime vitezei punctului în poziţi (x, y(x)), tunci conformlegii conservării energiei vem de unde Pe de ltă prte gm(h y) = mv(x)2, 2 v(x) = 2g(h y). v = ds dt = 1 + y (x)2dx 4

5 şi deci timpul în cre mobilul se deplseză din punctul (x, y(x)) în punctul (x + dx, y(x + dx)) este 1 + y (x) 2 dt = 2g(h y) dx. Rezultă că timpul în cre mobilul junge din A în B este 1 + y (x) 2 T = 2g(h y) dx. Deci problem brhistocronei revine l determinre funcţiei y = y(x), definite şi derivbile pe [0, b] stfel încât y(0) = h, y(b) = 0 şi stfel încât integrl 1 + y (x) 2 T = 2g(h y) dx să fie minimă. Este evident că şi în cest cz curb pote fi căuttă c în problem precedentă sub formă prmetrică. O problemă semănătore este problem opticii geometrice. Într-un mediu izotrop neomogen lumin se propgă în fiecre punct M(x, y, z) cu o viteză v(x, y, z) independent ă de direcţie. Timpul necesr c lumin să jungă din punctul M 1 (x 1, y 1, z 1 ) în punctul M 2 (x 2, y 2, z 2 ) de- lungul curbei de ecuţii y = y(x), z = z(x) este x y (t) T = 2 + z (t) 2 dx. v(x, y(x), z(x) x 1 Principiul lui Fermt firmă că lumin se propgă de- lungul celei curbe pentru cre T este minim. Problem opticii geometrice este deci determinre funcţiilor y = y(x), z = z(x) 5

6 definite pe [x 1, x 2 ] stfel încât y(x 1 ) = y 1, y(x 2 ) = y 2, z(x 1 ) = z 1, z(x 2 ) = z 2 şi pentru cre integrl de mi sus re vlore minimă. O ltă problemă clsică clculului vriţionl este ş numit problemă lui Plteu (Plteu, Antoine Ferdinnd Joseph, , belgin, profesor de fizică şi ntomie l Universitte din Gnd). E constă în determinre formei de echilbru unei pelicule de săpun susţinute de două inele (pentru simplitte de ceeşi rză R) perpendiculre pe x comună Ox în punctele de bscise -b, b. Neglijând greutte peliculei, din proprietăţile tensiunii superficile rezultă că pelicul se dispune stfel încât e să ibă o suprfţă minimă. Din motive de simetrie evidente, pelicul re form unei suprfeţe de rotţie de rie minimă. De cee problem lui Plteu se mi numeşte şi problem suprfeţei de rotţie de rie minimă. Dcă notăm cu y = y(x), b x b ecuţi curbei de secţiune cu plnul x0y, tunci ri suprfeţei de rotţie este S = 2π y(x) 1 + y (x) 2 dx. b Deci, problem lui Plteu revine l determinre funcţiei y = y(x) definite şi derivbile pe [ b, b] stfel încât y( b) = R, y(b) = R şi stfel încât integrl S = 2π y(x) 1 + y (x) 2 dx b să fie minimă. Tot problemă clsică de clcul vriţionl este problem formei de echilibru unui fir greu omogen flexibil şi 6

7 inextensibil de lungime dtă l fixt l cpete. Se vede uşor că l echilibru firul se flă într-un pln verticl. Considerând cest pln verticl drept plnul xoy, unde x Oy este dirijtă după verticl locului, curb de echilibru corespunde l ce curbă pentru cre energi potenţilă firului este minimă, dică l ce curbă pentru cre ordont yg centrului de greutte l firului este minimă. Dcă punctele A(, y ), B(b, y b ) sunt cpetele firului, dcă y = y(x), x [, b] este ecuţi explicită curbei de echilibru, cu y(x) funcţie derivbilă pe [, b], dcă ρ este densitte lineră firului, tunci ordont centrului de greutte l firului este y G = ρy(x) 1 + y (x) 2 dx lungime firului fiind ρ 1 + y (x) 2 dx l = = 1 l ρ 1 + y (x) 2 dx. y(x) 1 + y (x) 2 dx Deci, problem revine l determinre funcţiei y(x) definite şi derivbile pe [, b], stfel încât y() = y, y(b) = y b, 1 + y (x) 2 dx = l şi stfel încât integrl y(x) 1 + y (x) 2 dx 7

8 să fie minimă. şi ici curb de echilibru pote fi căuttă sub formă prmetrică luând c prmetru o bscisă curbilinie. Aş cum vom vede, curb de echilibru firului este o porţiune din ş-numitul lănţişor, un rc de curbă propit de un rc de prbolă. Altă problemă clsică de clcul vriţionl este problem geodezicelor pe o suprfţă S, dică problem determinării pe o suprfţă S unei curbe cre uneşte două puncte de pe ce suprfţă şi re lungime minimă. Dcă suprfţ S este dtă prmetric prin ecuţi vectoril prmetrică dcă r = r(u, v), (u, v) D u,v, ds 2 = d r 2 = E(u, v)du 2 + 2F (u, v)dudv + G(u, v)dv 2, este prim s formă fundmentlă cu coeficienţii E(u, v) = r u (u, v) r u (u, v), şi dcă F (u, v) = r u (u, v) r v (u, v), G(u, v) = r v (u, v) r v (u, v) u = u(t), v = v(t), t [t 1, t 2 ], u(t 1 ) = u 1, v(t 1 ) = v 1, u(t 2 ) = u 2, v(t 2 ) = v 2 sunt ecuţiile prmetrice le unei curbe cre uneşte punctele M 1 (u 1, v 1 ), M 2 (u 2, v 2 ), tunci lungime cestei curbe este t 2 l= y(x) E(u(t), v(t)) u (t) 2 +2F (u(t), v(t)) u (t)v (t)+g(u(t), v(t)) v (t) 2 dt. t 1 8

9 Deci, problem determinării geodezicelor pe S revine l determinre funcţiilor derivbile u = u(t), v = v(t), t [t 1, t 2 ], u(t 1 ) = u 1, v(t 1 ) = v 1, u(t 2 ) = u 2, v(t 2 ) = v 2 stfel încât integrl lf CE(u(t), v(t)) u (t) 2 + 2F (u(t), v(t)) u (t)v (t) + G(u(t), v(t)) v (t) 2 dt să fie minimă. În czul în cre suprfţ S este plnul xoy cu ecuţi prmetrică r = x i + y j, (x, y) R 2 cu prim formă fundmentlă ds 2 = dx 2 + dy 2, problem geodezicei cre uneşte punctele M 1 (x 1, y 1 ), M 2 (x 2, y 2 ) revine l determinre funcţiilor derivbile x = x(t), y = y(t), t [t 1, t 2 ] cu x(t 1 ) = x 1, y(t 1 ) = y 1, x(t 2 ) = x 2, y(t 2 ) = y 2 stfel încât integrl să fie minimă. Dcă legem c prmetru coordont x, problem revine l determinre funcţiei derivbile y = y(x), x [x 1, x 2 ] cu y(x 1 ) = y 1, y(x 2 ) = y 2 stfel încât integrl x y (x) 2 dx să fie minimă. 2.2 Funcţionle x 1 Tote problemele enunţte mi sus eru probleme de extremum - determinre mximului su minimului - pentru o numită integrlă, cre depinde de o numită curbă, deci de un su mi multe funcţii definite pe un numit intervl. Spre deosebire de problemele de extremum pentru funcţiile de o vribilă su mi multe vrible, rezolvte cu mijlocele clculului diferenţil, unde vem de- fce cu probleme cu unul su mi multe grde 9

10 de libertte (dr în număr finit), ici vem de- fce cu probleme cu un număr infinit de grde de libertte. În czul extremelor funcţiilor de n vribile, cele n vribile x 1, x 2,..., x n eru coordontele unui element, unui punct x = (x 1, x 2,..., x n ) din R n. În R n vem operţiile de dunre două semene elemente şi operţi de înmulţire unui element cu un număr rel, R n fiind stfel un spţiu vectoril n-dimensionl, de cee spunem că vem un număr finit de grde de libertte. În plus, în Rn putem introduce o normă, deci o distnţă, stfel încât să putem vorbi de puncte vecine. În problemele clculului vriţionl este vorb de găsire extremului unei integrle cre depinde de un su mi multe funcţii şi de derivtele cestor. O semene integrlă este o funcţie definită pe o mulţime de funcţii şi re vlori rele. E se numeşte funcţionlă exprimtă printr-o integrlă. Deci clculul vriţionl studiză extremele funcţionlelor exprimte prin integrle. În continure, vom conveni c funcţionlele să fie notte prin litere mri ltine, mrcând rgumentele lor, deci funcţiile de cre depind, între prnteze drepte. Vom conveni să mrcăm în prnteze rotunde rgumentul su rgumentele funcţiilor, deşi ceste sunt vribile mute, deci pot fi notte oricum. Astfel, funcţionl din problem lui Dido este I[y(x)] = y(x)dx su L I[x(s)] = x(s) 1 x (s) 2 ds 0 10

11 su I[x(t), y(t)] = 1 t2 2 = [x(t)y (t) y(t)x (t)]dt t 1 după cum folosim reprezentre explicită su prmetrică curbei. În celellte probleme enunţte funcţionlele sunt: - în problem brhistocronei I[y(x)] = 1 + y (x) 2 2g(h y(x)) dx; - în problem suprfeţei de rotţie minime I[y(x)] = 2π b y(x)) 1 + y (x) 2 dx; - în problem echilibrului firului greu I[y(x)] = - în problem geodezicelor în pln I[y(x)] = y(x)) 1 + y (x) 2 dx; x 2 x y (x) 2 dx. Domeniul de definiţie l unei funcţionle este o mulţime de funcţii rele definite pe un intervl în czul funcţiilor de o vribilă, su pe un domeniu în czul funcţiilor de mi multe vribile, cre stisfc numite condiţii de netezime - derivt continuă su continuă pe porţiuni - în intervl su domeniu şi numite condiţii l cpetele intervlului su pe frontier domeniului. 11

12 Mulţimile de funcţii rele definite pe un intervl su domeniu cu numite condiţii de netezime înzestrte cu operţi de dunre funcţiilor şi cu operţi de înmulţire funcţiilor cu numere rele formeză spţii vectorile cu dimensiune infinită. Se spune că vem de- fce cu probleme cu un număr infinit de grde de libertte. Mi mult, ceste spţii vectorile pot fi înzestrte cu numite norme, deci cu numite distnţe, şi putem stfel vorbi despre funcţii vecine şi despre vecinătte unei funcţii. 2.3 Clsificre extremelor Fie I[y(x)] o funcţionlă definită pe o mulţime de funcţii M. Vom spune că funcţionl I[y(x)] re minim (mxim) pe mulţime M 0 M în y 0 (x) M 0 dcă pentru orice y(x) M 0 re loc relţi I[y(x)] I[y 0 (x)] 0( 0). Dcă funcţionl I[y(x)] re minim (mxim) pe mulţime M 0 M în y 0 (x) M 0 tunci e re minim (mxim) în y 0 (x) pe orice mulţime mi mică M 1 M 0, y 0 (x) M 1. Fie I[y(x)] o funcţionlă definită pe o mulţime de funcţii M. Vom spune că funcţionl I[y(x)] re un minim (mxim) tre în y 0 (x) C[, b] M dcă există o vecinătte tre V (y 0 (x)) stfel încât funcţionl re un minim (mxim) pe V (y 0 (x)) M în y 0 (x). Anlog, vom defini minimul (mximul) slb cu derivtă discontinuă. Dcă funcţionl I[y(x)] definită pe mulţime de funcţii M re un minim ( mxim) pe M în y 0 (x) M vom spune că e re un minim (mxim) bsolut pe M în y 0 (x). Definiţiile dte mi sus se extind în mod nturl tât în czul funcţionlelor cre depind de o funcţie de mi multe vribile 12

13 definită pe un domeniuşi de derivtele prţile le cestei cât şi în czul funcţionlelor cre depind de mi multe funcţii de o vribilă definite pe un intervl şi de derivtele cestor. In ultimul cz, în locul funcţiei y(x) putem consider că vemde- fce cu o funcţie vectorilă y(x) cu n componente funcţii de o singură vribilă. 2.4 Condiţii necesre de extremum Orice condiţie necesră de extremum v fi şi o condiţie necesră pentru extremum bsolut. Exct c în czul extremelor funcţiilor de mi multe vribile vem următorele teoreme: Teorem 2.1. Dcă funcţi y 0 (x) relizeză extremul funcţionlei I[y(x)] tunci derivt s de ordinul întâi este nulă. Teorem 2.2. Dcă funcţi y 0 (x) relizeză minimul (mximul) funcţionlei I[y(x)] tunci derivt s de ordinul doi este pozitivă (negtivă). Avem şi o teoremă cre dă condiţii suficiente de extremum. Teorem 2.3. Dcă funcţi y 0 (x) este o extremlă funcţionlei I[y(x)] şi dcă există constnt C stfel încât d 2 I[y 0 (x); η(x)] = 2 t 2I[y 0(x) + tη(x)] > C η(x) 2 t=0 pentru orice η(x) M 0 = {η(x) η(x) C 1 [, b], η() = 0, η(b) = 0}, tunci funcţi y 0 (x) relizeză minimul funcţionlei. 13

14 Demonstrţie. În devăr, cum I[y(x) + η(x)] I[y(x)] = 1 2 δ2 I[y 0 (x); η(x)] + o( η(x) 2 ) rezultă că fiind dt ε > 0 există δ(ε) stfel încât pentru η(x) < δ(ε) vem I[y(x)+η(x)] I[y(x)] == 1 2 δ2 I[y 0 (x); η(x)]+θε( η(x) 2 )cuθ [ 1, 1]. Atunci pentru ε < C 2 vem I[y(x) + η(x)] I[y(x)] η(x) 2 ( C 2 + θε ) > 0 pentru η(x) 0. Condiţi nu pote fi înlocuită cu condiţi mi slbă δ 2 I[y 0 (x); η(x)] = 0 cum se vede în czul funcţionlei 1 I[y(x)] = y 2 (x)(x y(x))dx pentru cre funcţi identic nulă extremlă, 0 1 δ 2 I[0; η(x)] = xη(x) 2 dx 0, dr funcţionl nu re extremum pentru că pentru o funcţie { e x pentru x < e y ε (x) = 0 pentrux = e 0 14

15 i vlori negtive I[y ε (x)] = ε4. Din cest motiv cestă 6 teoremă este greu de plict în prctică. În prticulr vom ve: Teorem 2.4. Dcă funcţi y 0 (x) relizeză extremul funcţionlei I[y(x)] = F (x, y(x), y 0 (x))dx pe mulţime funcţiilor dmisibile M = {y(x) y(x) C 1 [, b], y() = y 1, y(b) = y 2 } tunci vriţi întâi funcţionlei este nulă. Altfel spus, dcă funcţi F re derivte prţile de ordinul întâi continue tunci re loc relţi δi[y 0 (x); η(x)] = pentru orice funcţie [F y (x, y 0 (x), y 0(x))η(x)+F y0 (x, y 0 (x), y 0(x))η (x)]dx = 0, η(x) M 0 = {η(x) η(x) C 1 [, b], η() = 0, η(b) = 0}. Dcă funcţi F re derivte prţile de ordinul doi continue şi dcă funcţiile dmisibile sunt cu derivtă de ordinul doi tunci re loc relţi δi[y 0 (x); η(x)] = pentru orice funcţie F y (x, y 0 (x), y 0(x)) d dx F y (x, y 0(x), y 0(x))η(x)dx = 0 η(x) M 0 = {η(x) η(x) C 1 [, b], η() = 0, η(b) = 0}. 15

16 Acestă condiţie este numi necesră pentru relizre extremului, nu şi suficientă. Definiţi 2.1. Dcă pentru funcţi y0(x) prim derivtă funcţionlei este nulă δi[y 0 (x); η(x)] = 0 pentru orice vriţie η(x) M 0 = {η(x) η(x) C 1 [, b], η() = 0, η(b) = 0} se spune că funcţionl este stţionră de- lungul lui y 0 (x). Teorem 2.5. Dcă funcţi y 0 (x)relizeză minimul (mximul) funcţionlei y(x)] = pe mulţime funcţiilor dmisibile F (x, y(x), y ( x))dx = y(x) y(x) C 1 [, b], y() = y 1, y(b) = y 2 tunci derivt dou funcţionlei este pozitivă (negtivă) pentru orice funcţie δ 2 I[y 0 (x); η(x)] 0( 0) η(x) M 0 = {η(x) η(x) C 1 [, b], η() = 0, η(b) = 0}. Deci dcă funcţi F re derivte prţile de ordinul doi continue, tunci δ 2 I[y 0 ; η] = pentru orice funcţie {F yy (x, y 0, y 0)η 2 +2F yy (x, y 0, y 0)ηη +F y y (x, y 0, y 0)η 2 }dx 0( 0) η(x) M 0 = {η(x) η(x) C 1 [, b], η() = 0, η(b) = 0}. Teoreme de genul celor de mi sus u loc evident şi în czul celorllte funcţionle din exemplele de mi sus. 16

17 2.5 Lemele fundmentle le clculului vriţionl Condiţiile necesre de extremum slb stbilite mi sus conţin în enunţul lor funcţiile rbitrre η(x) su δy(x). Pentru stbili condiţii necesre de extremum slb cre să conţină numi funcţiile cre relizeză extremul vom d în prelbil câtev propoziţii jutătore, cunoscute sub numele de lemele fundmentle le clculului vriţionl. Lem 1. (lem lui Lgrnge, prim lemă fundmentlă)fie funcţi continuă f(x) C 0 [, b]. Dcă f(x)η(x)dx = 0 pentru orice funcţie η(x) C k [, b], k N cre verifică condiţiile η() = η(b) = 0, tunci f(x) = 0 pentru orice x [, b]. Dcă f nu r fi identic nulă în [, b] tunci r exist un punct c [, b] unde f(c) 0. În virtute continuităţii lui f putem presupune că punctul c este punct interior intervlului. Dr tunci, tot în virtute continuităţii, există un întreg intervl (α, β) cre îl conţine pe c şi unde funcţi nu se nuleză, este de exemplu strict pozitivă. Dcă considerăm funcţi η(x) =???(x )2(x β)2, x?(, β), 0, x/?(, β) e stisfce condiţiile lemei şi vem f(x)η(x)dx = β f(x)(x α) 2 (x β)2dx > 0 şi jungem l o contrdicţie cu ipotez lemei. α 17

18 O lemă semănătore vem în czul funcţiilor de mi multe vribile: Lem 2. (lem lui Lgrnge pentru funcţii de mi multe vribile) Fie funcţi f(x) C 0 ( D) unde D este un domeniu mărginit din R n şi D = D D este închidere s. Dcă f(x)η(x)dx = 0 D pentru orice funcţie η(x) C1( D) cre verifică condiţi η(x) D = 0, tunci funcţi f este nulă în D. Aici m nott prin x punctul x = (x 1, x 2,..., x n ) din R n şi dx = dx 1 dx 2...dx n. Demonstrţi este identică celei de sus. Lem 3. (lem lui Pul Du Bois Rymond) Fie funcţi g(x) C 0 [, b]. Dcă g(x)η (x)dx = 0 pentru orice funcţie η(x) C 1 [, b] cre verifică condiţiile η() = η(b) = 0, tunci g(x) =constnt în [, b]. Demonstrţie. Într-devăr, funcţi η(x) = x g(t)dt C(x ) prţine lui C 1 [, b], este nulă în şi putem determin constnt C = 1 g(x)dx b 18

19 stfel încât şi η(b) = 0. Dr tunci vem g(x)η (x)dx = g(x)(g(x) C)dx = g(x)[g(x)(g(x) C) C(g(x) C)]dx = (g(x) C) 2 dx = 0 şi deci g(x) = C ( )x [, b]. Lem 4. ( dou lemă fundmentlă) Fie funcţiile f(x), g(x) C 0 [, b]. Dcă η(x) + g(x)η (x)]dx = 0 pentru orice funcţie η(x) C 1 [, b] cre verifică relţiile η() = η(b) = 0, tunci funcţi g este derivbilă pe [, b] şi verifică relţi g (x) = f(x) ( )x [, b]. Demonstrţie. Într-devăr, considerând funcţi F (x) = x integrând prin părţi putem scrie f(x)η(x)dx = F (x)η(x) f(t)dt, F (x) = f(x), f(x)η (x)dx = f(x)η (x)dx. 19

20 Relţi din lemă devine şi după Lem 3 rezultă că [g(x) F (x)]η (x)dx = 0 g(x) = F (x) + C. Cum membrul l doile este o funcţie derivbilă, rezultă că şi membrul întâi este derivbil şi g (x) = f(x). 2.6 Ecuţiile lui Euler-Lgrnge Fie y 0 (x) funcţi cre relizeză extremul funcţionlei I[y(x)] = F (x, y(x), y 0 (x))dx pe mulţime funcţiilor dmisibile M = {y(x) y(x) C 1 [, b], y() = y 1, y(b) = y 2 }. Atunci conform teoremei 6., dcă funcţi F re derivte prţile de ordinul întâi continue, tunci re loc relţi I[y 0 (x); η(x)] = pentru orice funcţie [F y (x, y 0 (x), y 0(x))η(x)+F y (x, y 0 (x), y 0(x))η (x)]dx = 0, η(x) M 0 = {η(x) η(x) C 1 [, b], η() = 0, η(b) = 0}. 20

21 Conform celei de dou leme clculului vriţionl funcţi F y (x, y 0 (x), y 0(x)) este derivbilă pe [, b] şi re derivt F y (x, y 0 (x), y 0(x)), ltfel spus re loc ecuţi lui Euler- Lgrnge: d dx F y (x, y 0(x), y 0(x)) = F y (x, y 0 (x), y 0(x)), ( )x [, b] su ecuţi lui Euler-Lgrnge sub formă integrlă există C stfel încât oricre r fi x [, b] F y (x, y 0 (x), y 0(x)) = x F y (t, y 0 (t), y 0(t)) + C. Definiţi 2.2. Orice funcţie y 0 (x) cre verifică ecuţi lui Euler- Lgrnge se numeşte extremlă funcţionlei I[y(x)]. Teorem 2.6. Dcă y 0 (x) este funcţi cre relizeză extremul slb l funcţionlei I[y(x)] = F (x, y(x), y 0 (x))dx pe mulţime funcţiilor dmisibile M = {y(x) y(x) C 1 [, b], y() = y 1, y(b) = y 2 } şi dcă funcţi F re derivte prţile de ordinul întâi continue tunci e este o extremlă funcţionlei cre verifică l cpetele intervlului condiţiile dte. Vom observ că dcă funcţi F re derivte prţile de ordinul doi şi dcă funcţi y 0 (x) re derivtă de ordinul doi, prim din ecuţiile lui Euler-Lgrnge rezultă din dou formă vriţiei de ordinul întâi şi din lem fundmentlă clculului 21

22 vriţionl (lem lui Lgrnge). În ceste condiţii, prim ecuţie lui Euler-Lgrnge este o ecuţie diferenţilă de ordinul doi: F xy (x, y 0, y 0)+F yy (x, y 0, y 0)y 0+F y y (x, y 0, y 0)y 0 F y (x, y 0, y 0) = 0. Dcă funcţi F re derivte prţile de ordinul doi continue, folosind teorem funcţiilor implicite se pote răt că în tote punctele în cre F y y (x, y 0, y 0) 0 funcţi y 0 (x) dmite derivte de ordinul doi şi verifică ecuţi diferenţilă de ordinul doi de mi sus. Teorem 2.7. Dcă y 0 (x) este o extremlă funcţionlei I[y(x)] = F (x, y(x), y 0 (x))dx pe mulţime funcţiilor dmisibile M = {y(x) y(x) C 1 [, b], y() = y 1, y(b) = y 2 } şi dcă funcţi F re derivte prţile de ordinul doi continue, tunci în tote punctele în cre F y y (x, y 0, y 0) 0 funcţi y 0 (x) re derivtă de ordinul doi şi verifică ecuţi lui Euler-Lgrnge de ordinul doi: F xy (x, y 0, y 0)+F yy (x, y 0, y 0)y 0+F y y (x, y 0, y 0)y 0 F y (x, y 0, y 0) = 0. Vom observ că l fel c în czul extremelor funcţiilor de mi multe vribile, ecuţiile lui Euler-Lgrnge reprezintă numi condiţii necesre pentru funcţi cre relizeză extremul funcţionlei. Cu lte cuvinte, funcţi cre relizeză extremul trebuie căuttă printre funcţiile cre verifică ecuţiile lui Euler- Lgrnge. 22

23 Repetăm, funcţiile cre relizeză extremul funcţionlei se cută printre extremlele funcţionlei; nu orice extremlă relizeză extremul funcţionlei, o extremlă pote fi numi bănuită că r pute reliz extremul. De- lungul unei extremle putem scrie d dx F (x, y 0(x), y 0(x)) = F x (x, y 0, y 0) + F y (x, y 0, y 0)y00 + F y (x, y 0, y 0)y 0 = F x (x, y 0, y 0) + d dx F y (x, y 0, y 0)y 0 + F y (x, y 0, y 0)y 0 = F x (x, y 0, y 0) + d dx (F y (x, y 0, y 0)y 0) dică ecuţiile lui Euler-Lgrnge sunt echivlente şi cu ecuţiile oricre fi x? [, b] F (x, y 0 (x), y 0(x)) F y (x, y 0 (x), y 0(x))y 0(x)) = F x (x, y 0 (x), y 0(x)) ( )x [, b] su există C stfel încât oricre r fi x [, b] F (x, y 0 (x), y 0(x)) F y (x, y 0 (x), y 0(x))y 0(x) = x F x (t, y 0 (t), y 0(t))dt+C. Observăm că există situţii când ordinul ecuţiilor lui Euler- Lgrnge se reduce cu o unitte, dică există integrle prime: Teorem 2.8. Dcă funcţi F nu depinde de y, F y = 0, tunci ecuţi lui Euler- Lgrnge dmite o integrl primă: există C stfel încât oricre r fi x [, b] F y (x, y 0 (x), y 0(x)) = C. Teorem 2.9. Dcă funcţi F nu depinde de x, F x = 0, tunci ecuţi lui Euler- Lgrnge dmite o integrlă primă: 23

24 există C stfel încât oricre r fi x [, b] F (x, y 0 (x), y 0(x)) F y (x, y 0 (x), y 0(x))y 0(x) = C. Exemplul 2.1. Fie funcţionl I[y(x)] = x 2 x y (x) 2 dx din problem geodezicelor în pln definită pe mulţime M = {y(x) : [, b] R y(x) C 2 [, b], y() = y, y(b) = y b }. Funcţi de sub integrlă F = 1 + y (x) 2 nu depinde de y, deci vom ve integrl primă F y = C, dică y 1 + y (x) 2 = C, su renotând constnt, y = C, de unde y = Cx + C 1. Constntele C,C 1 se determină din condiţiile y() = y, y(b) = y b, dică extreml este segmentul de dreptă cre uneşte cele două puncte. În cest cz, ştim din geometrie că extreml chir relizeză minimul funcţionlei. 24

25 Exemplul 2.2. Fie funcţionl 1 + y (x) 2 I[y(x)] = 2g(h y(x)) dx din problem brhistocronei definită pe mulţime 0 M = {y(x) : [0, b] R y(x) C 2 [0, b], y(0) = h, y(b) = 0}. Funcţi de sub integrlă 1 + y (x) 2 F = 2g(h y(x)) nu depinde de x deci vom ve integrl primă F y F y = C, dică, lăsând l o prte fctorul constnt 1 2g, 1 + y (x) 2 = h y(x) y 2 (h y)(1 + y 2 ) = C, de unde Punând vem y = h Din relţi dy = tn udx găsim C 1 + y 2. y = tn u, y = h C cos 2 u. dx = 2Ccos 2 u = C(1 + cos 2u) 25

26 şi obţinem ecuţiile prmetrice le extremlei x = C (u + 12 ) sin 2u + C 1 y = h C (1 + cos 2u). 2 Extreml este un rc de cicloidă. Constntele C, C 1 se determină din condiţiile l cpete Fie funcţionl I[y(x)] = y(0) = h, y(b) = 0. F (x, y(x), y (x),..., y (m) (x))dx definită pe mulţime funcţiilor dmisibile M = {y(x) y(x) C 2m [, b], y (i) () = y i, y (i) (b) = y ib, i = 0, 1,..., m 1} şi unde presupunem că funcţi F re derivte prţile de ordinul 2m în rport cu tote rgumentele continue într-un domeniu din R m+2. Funcţi y 0 (x) este extremlă cestei funcţionle dcă stisfce ecuţi lui Euler-Poisson F y d dx F dm y ( 1)m dx mf y (m) = 0. Fie czul unei funci onle I[y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)] = F (x, y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x), y 1(x), y 2(x),..., y n(x))dx, definite pe o mulţime de n funcţii de obilă derivbile pe intervlul [, b] : M = {y i (x), i = 1, 2,..., n y i (x) C 1 [, b], y i () = y i, y i (b) = y ib }, 26

27 funcţi F fiind definită într-un domeniu şi cu derivtele prţile de ordinul doi continue în cel domeniu. Funcţiile y 10 (x), y 20 (x),..., y n0 (x) constituie extreml cestei funcţionle dcă stisfc sistemul de ecuţii le lui Euler F (y i0 (x), y y i0(x)) d F i dx y i (y i0 (x), y i0(x)), i = 1, 2,..., n. Dcă se introduc opertorii diferenţili y = y 1., = y y n y 1. y n tunci cest sistem se scrie exct c ecuţi lui Euler pentru funcţionl I[y(x)] = F (x, y(x), y (x))dx : F y (y(y 0(x), y 0(x)) d F dx y (y 0(x), y 0(x)) = 0. În czul unei funcţionle l cărui rgument este o funcţie de două vribile definită pe un domeniu D din plnul xoy I[z(x, y)] = F (x, y, z(x, y), z x (x, y), z y (x, y))dxdy D definită pe mulţime funcţiilor dmisibile M = {z(x, y) z(x, y) C 2 (D), z(x, y) D = dt} 27

28 presupunând că funcţi F re derivte prţile de ordinul doi continue în rport cu tote rgumentele sle într-un domeniu mărginit din expresi vriţiei de ordinul întâi rezultă că funcţi z 0 (x, y) este extremlă funcţionlei dcă e verifică ecuţi lui Euler- Ostrogrdski 2.7 Exerciţii F z x F z x y F z y = Să se determine extremlele următorelor funcţionle cu condiţiile l cpete dte: ) I[y(x)] = 2 R.y = x 6 (1 x2 ). b) I[y(x)] = (y 2 2xy)dx; y(1) = 0, y(2) = 1. (3x y)ydx; y(1) = 1, y(3) = 9 2. R. nu există extremlă. 2π c) I[y(x)] = (y 2 y 2 )dx; y(0) = 1, y(2π) = 1. 1 R. o infinitte de extremle y = cos x + C sin x. d) I[y(x)] = R. y = x 3. e) I[y(x)] = (12xy y 2 )dx; y( 1) = 1, y(0) = 0. yy 2 dx; y(0) = 1, y(1) = 4 1/3. R. două extremle y = (x + 1)2/3, y = (3x 1)2/3. f) I[y(x)] = 1 0 (y 2 y 2 y)e 2x dx; y(0) = 0, y(1) = e 1. R.y = 1 2 [e x + (1 + e)xe x 1]. 28

29 g) I[y(x)] = 1 1 R.y = 7 6 x 1 6 x3. h) I[y(x)] = 1 R.y = e 2(1 x). i) I[y(x)] = 0, y (1) = (y 2 2xy)dx; y( 1) = 1, y(1) = 1. (y 2 + 4y 2 )dx; y(0) = e 2, y(1) = 1. (360x 2 y y 2 )dx; y(0) = 0, y (0) = 1, y(1) = R. y = 1 2 x x3 3x 2 + x. j) I[y(x)] = 1 1, y (1) = sinh 1. R. y = (1 x) sinh x. k) I[y(x)] = (y 2 + 2y 2 + y 2 )dx; y(0) = 0, y(1) = 0, y (0) = (240y y 2 )dx; y( 1) = 1, y(0) = 0, y ( 1) = 4.5, y (0) = 0, y ( 1) = 16, y (0) = 0. R. y = x3 6 (x3 + 6x + 1). l) I[y(x)] = 1 R. y = 1 2 x2. m) I[y(x), z(x)] = 0 y 2 dx, y(0) = 0, y(0) = 0, y (1) = (y 2 + z 2 + z 2 )dx; y(1) = 1, y(2) = 2, z(1) = 0, z(2) = 1. sinh(x 1) R.y = x, z =. sinh1 π n) I[y(x), z(x)] = π(2yz 2y 2 +y 2 z 2 )dx; y(0) = 0, y(π) = 0 29

30 1, z(0) = 0, z(π) = 1. R.y = C sin x x π cos x, z = C sin x + 1 (2 sin x x cos x),c π rbitrr. π 2 o) I[y(x), z(x)] = (y 2 + z 2 2yz)dx; y(0) = 0, y(p/2) = 1, z(0) = 0, z(p/2) = 1. R. y = sin x, z = sin x. p) I[y(x), z(x)] = 0 1 3/2, z(0) = 1, z(1) = 1. R. y = x2 2, z = 1. 0 (y 2 + z 2 + 2y)dx; y(0) = 1, y(1) = 2.8 Condiţii nturle, condiţii de trnsverslitte Fie y 0 (x) funcţi cre relizeză extremul slb l funcţionlei I[y(x)] = F (x, y(x), y (x))dx pe mulţime funcţiilor dmisibile M = y(x) y(x) C 1 [, b], y() = y1, dică numi cpătul din stâng este fixt, cpătul din drept putându-se mişc pe verticl x = b. Reltiv l funcţi F, presupunem că re derivte prţile de ordinul doi continue. Funcţi y0(x) este evident o extremlă funcţionlei I[y(x)] pentru că e relizeză minimul cestei funcţionle pe mulţime funcţiilor cre u celeşi cpete cu e. E verifică deci ecuţi 30

31 lui Euler-Lgrnge d dx F y F y = 0. Vom ve prim vriţie δi[y 0 ; η] = F y (x, y 0, y 0) d dx F y (x, y 0, y 0)ηdx++F y (x, y 0 (b), y 0(b))η(b). Cum y 0 (x) relizeză extremul, trebuie să vem δi[y 0 ; η] = 0 pentru orice funcţie η(x) M 0 = {η(x) η(x) C 1 [, b], η() = 0, η(b)rbitrr}. Cum primul termen este nul pentru că y 0 (x) este extremlă, rezultă că în cpătul mobil în mod necesr trebuie să ibă loc ş numit condiţie nturlă F y (b, y 0(b), y 0(b)) = 0. Condiţiile nturle sunt importnte în rezolvre numerică ecuţiilor diferenţile su cu derivte prţile considerte c ecuţii Euler-Lgrnge unei numite funcţionle. În cest cz nu trebuie să se ţină sem în mod specil de condiţiile nturle pentru că ele se relizeză utomt dcă se rezolvă direct problem de extremum. Să considerăm cum problem mi generlă extremului funcţionlei I[y(x)] = F (x, y(x), y (x))dx 31

32 pe mulţime funcţiilor M = {y(x) y(x) C 1 [, B], y() = y1, y c (b) = y(b), b B} dică pe mulţime funcţiilor l căror grfic re cpătul din stâng fixt, ir cpătul din drept se pote depls pe o curbă cu ecuţi explicită y = y c (x), x B. Dcă y 0 (x) relizeză cest extremum, evident e este o extremlă funcţionlei, dică verifică ecuţi Euler-Lgrnge d dx F y F y = 0. ţinând cont că y 0 (x) este extremlă rezultă δi[y 0 (x); δy(x)] = F (b, y y 0 (b), y 0(b))δy(b)+ ( + F (b, y 0 (b), y 0(b)) y 0(b) F ) y (b, y 0(b), y 0(b)) δb = 0. Punctul (b, y(b)) flându-se pe curb y = y c (x) vem δy(b) = y c(b)δb şi deci vom ve condiţi F (b, y 0 (b), y 0(b)) (y 0(b) y c(b)) F y (b, y 0(b), y 0(b)) = 0. Dcă punctul (b, y(b)) se deplseză pe curb cu ecuţi explicită τ(x, y) = 0 vând în vedere relţi vom ve condiţi δy(b) δx(b) = τ x(b, y 0 (b)) τ y (b, y0(b)) F (b, y 0 (b), y 0(b)) F y (b, y0(b), y 0(b))y 0(b) τ x (b, y 0 (b)) 32 = F y (b, y0(b), y 0(b)). τ y (b, y 0 (b))

33 Aceste condiţii se numesc condiţii de trnsverslitte. Ele trebuie verificte în cpătul mobil. În czul în cre curb pe cre se mişcă cpătul din drept este x = b regăsim condiţi nturlă. Exemplul 2.3. Fie funcţionl opticii geometrice în pln Cum F = I[y(x)] = 1 + y (x) 2, F y = v 1 + y (x) 2 v(x, y(x)) dx. y v 1 + y 2, F y F y = y 2 condiţi de trnsverslitte devine su 1 v 1 + y 2 τ x = 1 τ x = y τ y, y 1 + y 2 τ y dică extremlele şi curb t(x, y) = 0 se tie ortogonl. 2.9 Exerciţii 1. Să se găsescă distnţ ce mi scurtă între prbol y = x 2 şi drept x y 5 = 0. Ind. Problem revine l găsi minimul funcţionlei I[y(x)] = 1 + y (x) 2 dx 33

34 cu condiţiile y() = 2, y(b) = b 5. Extremlele sunt dreptele y = C 1 x+c 2. Condiţiile l cpete du C 1 +C 2 = 2, C 1 b+c 2 = b 5. Condiţiile de trnsverslitte du 1 + C1 2 + (2 C C 1 1) = C C1 2 + (1 C C 1 1) = C 2 1 Rezultă C 1 = 1, C 2 = 3 4, = 1 2, b = 23. Deci extreml 8 este y = x + 3 şi distnţ este ( 1)2 dx = Să se găsescă distnţ ce mi scurtă dintre punctul A(1, 0) şi elips 4x 2 + 9y 2 36 = 0. 4 R

Integrale cu parametru

Integrale cu parametru 1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii

Seminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur

Διαβάστε περισσότερα

Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi

Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu

Διαβάστε περισσότερα

sin d = 8 2π 2 = 32 π

sin d = 8 2π 2 = 32 π .. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

CURS I II. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1 Integrabilitate Riemann. Criterii de integrabilitate

CURS I II. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1 Integrabilitate Riemann. Criterii de integrabilitate Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC CURS I II Cpitolul I: Integrl

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

EcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau

EcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x

Διαβάστε περισσότερα

Lucian Maticiuc SEMINAR 1 3. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1. Să se arate că. f (x) dx = 0. Rezolvare:

Lucian Maticiuc SEMINAR 1 3. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1. Să se arate că. f (x) dx = 0. Rezolvare: Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC. Să se rte că Rezolvre: SEMINAR

Διαβάστε περισσότερα

TITULARIZARE 2002 Varianta 1

TITULARIZARE 2002 Varianta 1 TITULARIZARE 2002 Vrint 1 A. Omotetii plne: definiţie, oricre două triunghiuri omotetice sunt semene, mulţime omotetiilor de celşi centru formeză un grup belin izomorf cu grupul multiplictiv l numerelor

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

2 Ecuaţii diferenţiale Ecuaţia diferenţială de ordinul n... 55

2 Ecuaţii diferenţiale Ecuaţia diferenţială de ordinul n... 55 Cuprins 1 Integrl definită şi generlizări 3 1.1 Definiţie, proprietăţi, formule de clcul............... 3 1. Integrl curbilinie......................... 17 1.3 Integrl improprie.........................

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE

TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 35 TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE Obiective: Deinire principlelor proprietăţi mtemtice le uncţiilor, le itelor de uncţii şi le uncţiilor continue Deinire principlelor

Διαβάστε περισσότερα

Integrale generalizate (improprii)

Integrale generalizate (improprii) Integrle generlizte (improprii) Fie f : [, ] R, definită prin =, α > 0. Pentru u, funţi α f este integrilă pe intervlul [, u] şi u ln α+ α+ u u = ( α)u α α, α = ln u, α =. Dă treem l limită pentru u oţinem

Διαβάστε περισσότερα

Anexa B2 Elemente de reprezentare grafică în plan şi în spaţiu.

Anexa B2 Elemente de reprezentare grafică în plan şi în spaţiu. Anex B Elemente de reprezentre grfică în pln şi în spţiu. 1. Tipuri de sisteme de coordonte. Coordonte crteziene Fie xoy un sistem de coordonte crteziene în pln. Fie P un punct în pln vând coordontele

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

ME.09 Transformate Fourier prin sinus şi cosinus

ME.09 Transformate Fourier prin sinus şi cosinus ME.9 Trnsformte Fourier prin sinus şi cosinus Cuvinte cheie Trnsformre Fourier prin cosinus, trnsformre Fourier prin sinus, trnsformt Fourier prin sinus, trnsformt Fourier prin cosinus, formule de inversre,

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ

CAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ CAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ În teori Integrlei definite numită şi Integrl Riemnn, s- urmărit c, l numite funcţii rele de o vriilă relă, dte pe mulţimi din R, după o schemă

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA FINALĂ - 22 mai 2010

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI ETAPA FINALĂ - 22 mai 2010 ETAPA FINALĂ - mi 00 BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A. Pe o dreptă se consideră 00 puncte, cre formeză 009 segmente, fiecre de cm. Pe primul segment, desupr dreptei, construim un pătrt, pe l doile segment,

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE explicaţii teoretice, interpretări fizice, aplicaţii tehnice, exemple, exerciţii VOLUMUL II VALERIU ZEVEDEI

MATEMATICI SPECIALE explicaţii teoretice, interpretări fizice, aplicaţii tehnice, exemple, exerciţii VOLUMUL II VALERIU ZEVEDEI MATEMATICI SPECIALE explicaţii teoretice, interpretări fizice, aplicaţii tehnice, exemple, exerciţii VOLUMUL II VALERIU EVEDEI April 1, 25 2 CUPRINS III ELEMENTEDECALCULVARIAŢIONAL 9 11 ELEMENTE DE CALCUL

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 6 FORME LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE. 6.1 Forme liniare

CAPITOLUL 6 FORME LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE. 6.1 Forme liniare Algebră liniră CAPITOLUL 6 FORME LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE 6 Forme linire Fie V un spţiu vectoril peste un corp K Definiţi 6 Se numeşte formă liniră su funcţionlă liniră o plicţie f : V K cre stisfce

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

GHEORGHE PROCOPIUC ANALIZĂ MATEMATICĂ

GHEORGHE PROCOPIUC ANALIZĂ MATEMATICĂ GHEORGHE PROCOPIUC ANALIZĂ MATEMATICĂ IAŞI, 2002 Cuprins 1 ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE 6 1.1 Introducere................................... 6 1.1.1 Elemente de teori teori mulţimilor.................

Διαβάστε περισσότερα

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn. 86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 4. Matrice. Rangul unei matrice. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare. Metoda eliminării a lui Gauss

Cursul 4. Matrice. Rangul unei matrice. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare. Metoda eliminării a lui Gauss Lector univ dr Cristin Nrte Cursul 4 Mtrice Rngul unei mtrice Rezolvre sistemelor de ecuţii linire Metod eliminării lui Guss Definiţie O mtrice m n este o serie de mn intrări, numite elemente, rnjte în

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate. Mircea Olteanu

ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate. Mircea Olteanu @ ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvte Mirce Oltenu Cuprins Integrle improprii şi cu prmetri 5. Noţiuni teoretice......................... 5. Integrle improprii.........................3

Διαβάστε περισσότερα

Tit Tihon CNRV Roman FISA DE EVALUARE A UNITATII DE INVATARE. Caracteristici vizibile observate PUNCTAJ ACORDAT

Tit Tihon CNRV Roman FISA DE EVALUARE A UNITATII DE INVATARE. Caracteristici vizibile observate PUNCTAJ ACORDAT Tit Tihon CNRV Romn FISA DE EVALUARE A UNITATII DE INVATARE Nr. crt 5 6 7 8 9 0 Nr. crt Nr. crt Crcteristici vizibile observte PUNCTAJ ACORDAT preciere D+ Nu Observţii privind preciere folosire mnulului

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

π } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.

π } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1. Trigonometrie FuncŃii trigonometrice. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic b c b sin B, cos B, tgb c C c ctgb, sin B cosc, tgb ctgc b b. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice. sin:r [-,] A c B sin(-x)

Διαβάστε περισσότερα

METODE ŞI ETAPE NECESARE PENTRU DETERMINAREA

METODE ŞI ETAPE NECESARE PENTRU DETERMINAREA ETOE ŞI ETAPE ECESARE PETRU ETERIAREA UGHIULUI A OUĂ PLAE PROF. IACU ARIA, ŞCOALA ROUL LAEA, ORAVIłA, CARAŞ- SEVERI (). Unghi diedru. Fie α şi β două semiplne vând ceeşi frontieră (muchie)d. Se numeşte

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Calcul diferenţial şi integral (notiţe de curs)

Calcul diferenţial şi integral (notiţe de curs) Clcul diferenţil şi integrl (notiţe de curs) Şt. Blint E. Kslik, L. Tǎnsie, A. Tomoiogă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mriş Cuprins 0 L ce pote fi util un curs de clcul diferenţil şi integrl pentru un student

Διαβάστε περισσότερα

Ioan ROŞCA CALCUL NUMERIC. Elemente de teoria aproximarii

Ioan ROŞCA CALCUL NUMERIC. Elemente de teoria aproximarii Ion ROŞCA CALCUL NUMERIC Elemente de teori proximrii P R E F A T A In ultimul timp, u pǎrut nevoi enorme de modele mtemtice tot mi sofisticte şi simulǎri pe clcultor tot mi vste şi complexe. In cest mod,

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

CINEMATICA RIGIDULUI

CINEMATICA RIGIDULUI CNEMATCA GDULU CNEMATCA CPULU GD CNEMATCA CPULU GD 8.. Elementele generle le mişcării corpului rigid 8.. Problemele cinemticii corpului rigid Corpul rigid este un element importnt în tehnică şi semnifică

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE ANALITICĂ. Capitolul 5 VECTORI LIBERI. #1. Spaţiul vectorial al vectorilor liberi

GEOMETRIE ANALITICĂ. Capitolul 5 VECTORI LIBERI. #1. Spaţiul vectorial al vectorilor liberi GEOMETRIE ANALITICĂ Cpitolul 5 VECTORI LIBERI # Spţiul vectoril l vectorilor liberi Fie E spţiul tridimensionl l geometriei elementre orientt Definiţii Pentru oricre două puncte A B E considerăm segmentul

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM

Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM IAŞI 27 2 Cuprins 1 Integrle improprii 9 1.1 Introducere............................ 9 1.2 Definiţi integrlei improprii................... 1 1.3

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEŢEANĂ 8 mrtie 04 Profil rel, specilizre ştiinţele nturii FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Utilizarea algebrelor Boole în definirea şi funcţionarea. Circuitelor combinaţionale cu porţi; Circuitelor combinaţionale cu contacte.

Utilizarea algebrelor Boole în definirea şi funcţionarea. Circuitelor combinaţionale cu porţi; Circuitelor combinaţionale cu contacte. Prelegere 6 În cestă prelegere vom învăţ despre: Utilizre lgerelor Boole în definire şi funcţionre Circuitelor cominţionle cu porţi; Circuitelor cominţionle cu contcte. 6.1 Circuite cominţionle Vom defini

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

5.6. Funcţii densitate de probabilitate clasice

5.6. Funcţii densitate de probabilitate clasice Elemente de sttistică 5.6. Funcţii densitte de probbilitte clsice 5.6.. Introducere L or ctulă eistă un număr mre de funcţii msă de probbilitte şi funcţii densitte de probbilitte ce crcterizeză diferite

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y). Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI. 1. Elipsa. Cadrul de lucru al acestui curs este un plan an euclidian orientat E 2 =

CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI. 1. Elipsa. Cadrul de lucru al acestui curs este un plan an euclidian orientat E 2 = CONICE. DEFINITII CA LOCURI GEOMETRICE SI PROPRIETATI 1. Elips Cdrul de lucru l cestui curs este un pln n euclidin orientt E = ( ( E ) ) E,, , Φ. Denition 1.1. Se consider dou puncte distincte F, F

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ALGEBRA

CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ALGEBRA CAPITOLUL. ELEMENTE DE ALGEBRA. Mulţimi Definiţi.. (Cntor) Prin mulţime se înţelege un nsmlu de oiecte ine determinte şi distincte, cre formeză o entitte. Oiectele cre formeză o mulţime se numesc elementele

Διαβάστε περισσότερα

1Ecuaţii diferenţiale

1Ecuaţii diferenţiale 1Ecuaţii diferenţiale 1.1 Introducere Definitia 1.1 Se numeşte ecuaţie diferenţială ordinarădeordin1: y 0 (x) =f (x, y (x)) (EDO) unde y este funcţia necunoscută, iar f este o funcţie de două variabile

Διαβάστε περισσότερα

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Prof. ION CĂLINESCU,CNDG, Câmpulung Voi prezenta o abordare simplă a determinării cercului lui Euler, pe baza unei probleme de loc geometric. Preliminarii:

Διαβάστε περισσότερα

Punţi de măsurare. metode de comparaţie: masurandul este comparat cu o mărime etalon de aceeaşi natura;

Punţi de măsurare. metode de comparaţie: masurandul este comparat cu o mărime etalon de aceeaşi natura; Punţi de măsurre metode de comprţie: msurndul este comprt cu o mărime etlon de ceeşi ntur; punte: reţe complet cu 4 noduri: brţe: 4 impednţe digonl de limentre: surs (tensiune, curent) digonl de măsurre:

Διαβάστε περισσότερα

Axiomele geometriei în plan şi în spańiu

Axiomele geometriei în plan şi în spańiu xiomele geometriei în pln şi în spńiu 1 xiomele geometriei în pln şi în spńiu unoştinńele de geometrie cumulte în clsele gimnzile pot fi încdrte într-un sistem logic de propozińii mtemtice: xiome, definińii,

Διαβάστε περισσότερα