Po načinu rada razlikujemo volumetrijske i kompresore građene na strujnom (dinamičkom) principu rada.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Po načinu rada razlikujemo volumetrijske i kompresore građene na strujnom (dinamičkom) principu rada."

Transcript

1 . UVOD Komresori su radi strojevi ili uređaji koji komrimiraju eki li ili aru a viši tlak, odoso liovima ili arama ovisuju eergetsku raziu. Primjea komrimiraog zraka i drugih liova ili ara u suvremeoj roizvodji i životu uoće široko je zastuljea, a ovdje se avode eke ajvažije rimjee. Komrimirai zrak se uotrebljava kao rijeosik eergije otrebe za rovedbu mehaičkih radih zadataka, a uz to se često uotrebljavao i jegov sadržaj kisika da bi se omogućile određee kemijske reakcije. Stlačei zrak uotrebljava se za ogo eumatskih čekića, bušilica i ostalih alata, eumatski trasort rastresitih materijala, eumatski trasort kaljevia i drugih liova, miješaje i rasršivaje kaljevia, miješaje i dovođeje kisika biološkim susezijama, filtriraje od tlakom ili vakuumom, ogo visokih eći za roizvodju sirovog željeza, ogo metalurških eći u roizvodji čelika i obojeih metala, ujeje kesoa i dizaje otoulih brodova, vetilaciju rudičkih rostora i uređaja, ogo liskih turbia i avioskih mlazih motora, ukaljivaje zraka o Joule - homso-ovom rigušom efektu. Uz zrak i ostali komrimirai liovi i are veoma su važi u moderoj rocesoj i roceso kemijskoj roizvodji. Povišei tlak, r., ovećava sosobost kaljevia da asorbiraju liove. Povišei tlak i temeratura liova omogućuju i ubrzavaju odvijaje jihovih međusobih kemijskih reakcija. U tehici hlađeja komrimiraje ara radih tvari rashladim komresorima omogućuje rovedbu lijevih kružih rocesa i ostvarivaje hlađeja isod okoliše temerature, sve do ekstremo iskih temeratura. Lijevi kruži rocesi u odručju temeratura izad okoliše - ogrjevi rocesi ili rocesi dizalice tolie omogućuju da se rasoloživa toliska eergija iz okolie komrimirajem are rade tvari rocesa diže a višu eergetsku raziu, a višu temeraturu, i tako služi za grijaje uz razmjero vrlo mali utrošak eergije. U rocesoj tehici komrimiraje različitih liova i ara koristi se kod ujeja i trasorta komrimiraih liova u čeličim bocama i sremicima, komrimiraja liova ri trasortu liskim dalekovodima, ukaljivaja i razdvajaja liskih smjesa, siteze metaola (CO + H CH OH) od tlakom r. od 850 bara uz rimjeu katalizatora, siteza amoijaka (N + 6H NH ) od tlakom oko 000 bara uz rimjeu katalizatora, roizvodja etilea, te klora i viil-klorida u roizvodji moderih lastičih masa, katalitičko hidriraje ugljee rašie i masti ri tlakovima bara i temeraturama C, r. ri roizvodji sitetičog bezia, komrimiraje ugljikovodika u aftoj roizvodji, krekiraje u rafiaciji afte, komrimiraje radih tvari u sustavima rashladih uređaja, komrimiraje CO u rehrambeoj idustriji, ivarstvu i roizvodji gaziraih aitaka, te roizvodji krutog CO (suhog leda) itd... PODJELA PO NAČINU RADA Po ačiu rada razlikujemo volumetrijske i komresore građee a strujom (diamičkom) riciu rada. Volumetrijski se rici rada sastoji u tome da se omoću kostrukcijskih elemeata ostvari u komresoru takav rostor koji osigurava smajeje volumea lia ili are a utu od ulaza do izlaza iz komresora. Na volumetrijskom riciu rada grade se stai (komresori s oscilirajućim staom) i rotori (azivaju se još i komresori s rotirajućim staovima, a tu sadaju lameli, s ekscetričim rotorom, vijčai i komresori sa zavojicom - " scroll").

2 Na strujom (diamičkom) riciu rada grade se turbokomresori i ejektori. Pli se komrimira a diamičkom strujom riciu, ri čemu se koristimo silama i ojavama koje se javljaju kod ubrzavaja i usoravaja liske struje. Prema ačiu vođeja liske struje turbokomresori se izvode kao radijali i aksijali. Ejektori - mlazi komresori također sadaju u komresore koji rade a strujom riciu rada. Komresori Struji (diamički) Volumetrijski Ejektor Radijali Aksijali Rotori Stai Jeda rotor Dva rotora Lameli ekućiski rste Vijčai Vijčai Root Klijača Labirit Križa glava Membraa Sl... Podjela komresora o ačiu rada.. PODJELA PO IZVEDBI KUĆIŠA Vrlo česta odjela komresora, osebo oih koji se koriste u tehici hlađeja je a tzv. otvoree, oluhermetičke i hermetičke izvedbe, oviso o ačiu ugradje ogoskog motora. Kod otvoreog komresora ogoski je motor odvoje od komresora, hlađe zrakom, a komresor treba imati brtveicu vratila, kako bi se sriječio izlaz rade tvari iz komresora. Kod hermetičkih i oluhermetičkih komresora elektromotor i komresor ugrađuju se u isto zabrtvljeo kućište, a amotaji elektromotora hlađei su strujom rade tvari koja ulazi u komresor. Zbog dobrog hlađeja elektromotori su maji ego li je to slučaj s motorima otvoreih komresora. Kod oluhermetičkog komresora kućište je zatvoreo rirubicom koja se može rastaviti za otrebe servisa, dok je kod hermetičkih komresora kućište zavareo.

3 Sl... Otvorea izvedba rashladog komresora Sl... Poluhermetička izvedba rashladog komresora Sl..4. Hermetička izvedba rashladog komresora

4 .. PODJELA PO DOBAVI Po dobavi se komresori grubo mogu odijeliti a male (do 0 m /mi), sredje (0 do 00 m /mi) i velike (izad 00 m /mi). Dobava se, ukoliko to ije drukčije rečeo, odosi a staje lia a usisom riključku..4. PODJELA PO RADNIM LAKOVIMA U ovisosti o koačom tlaku za koji je komresor građe, mogu se razlikovati: vakuum crke koje služe za trasort liova i ara iz rostora u kojima vlada odtlak uhaljke za koače tlakove do bar, čija je amjea r. za isiraje kod dvotaktih motora, dobava zraka za visoke eći i sl. iskotlači komresori za koače tlakove koji se kreću u ribližim graicama od do bar (eumatski alati, automatska regulacija, rashladi uređaji i sl.). sredjetlači komresori za koače tlakove koji se kreću u ribližim graicama od 0 do 50 bar (kemijska i afta idustrija, okretaje razi mehaizama i uređaja i sl.). visokotlači komresori za koače tlakove koji se kreću u ribližim graicama od 00 do 500 bar (kemijska idustrija - siteza liova od tlakom, ujeje boca sa stlačeim liovima i sl.)..5. GRANICE PRIMJENE Stai komresori grade se i rimjejuju oda kada je otrebi komresijski omjer s obzirom a dobavljeu količiu lia velik, a turbokomresori, oda kada je otrebo dobavljati vrlo velike količie lia uz relativo mali komresijski omjer. Na Sl..5. rikazae su ribliže graice odručja rada za stae, lamele i vijčae komresore, te radijale i aksijale turbokomresore. lak [bar] Dobava [m /s] Sl..5. Dobave i tlakovi kod rimjee staih, lamelih, vijčaih i turbokomresora 4

5 Na ordiati je aese ostizivi tlak P [bar], a a ascisi dobava komresora V [m /s]. Oko graice između odručja rimjee staih komresora s oscilirajućim staom i turbokomresora alaze se odručja rada lamelih i vijčaih komresora. Prikazaa odručja rada odose se a komresore jedokrate i višekrate komresije.. ERMODINAMIČKE OSNOVE KOMPRESIJE.. PROMJENE SANJA I RAD KOMPRESIJE Proces komresora može rikazati u,v-dijagramu kao roces koji se odvija između dva stala tlaka i. Stali tlakovi mogu se održati za slučaj beskoačo velikih sremika. Kod komresora s oscilirajućim staom se kretajem staa uutar cilidra od GM ka DM usisava li iz rostora u kojem vlada stali tlak (romjea a-), zatim se kretajem staa od DM ka GM li komrimira (romjea -) i istiskuje (romjea -b) u rostor u kojem vlada stali tlak. U sljedećem okretaju vratila ove se ojave oavljaju, a ih se aziva teoretskim ciklusom komresora. o ije kruži roces u termodiamičkom smislu, već se ovim azivom želi istakuti cikličost ojava. Razmatraja koja su ovdje rikazaa a rimjeru staog komresora odose se i a vijčae, lamele i turbokomresore, samo što se kod jih rocesi usisavaja, istiskivaja i komresije odvijaju istovremeo, dok se kod komresora s oscilirajućim staom ti rocesi odvijaju u odvojeim vremeskim itervalima. b a Sl...,V- dijagram rocesa i shematski rikaz cilidra jedostuajskog staog komresora 5

6 Ovako redoče roces je ideala roces. Zaemare je šteti rostor i jegov utjecaj, ije uzeta u obzir tromost vetila i stvara brzia jihova otvaraja. Kad se usviji olitroska romjea staja, zaemarea je i izmjea tolie između lia i stijeke cilidra. Za trasort i komresiju lia otrebo je utrošiti rad, koji u slučaju staog komresora obavlja eka eriodički romjejiva sila F koja djeluje a ovršiu staa A savladavajući romjejivi tlak lia u cilidru, a vrijedi F A Kako je rad rodukt sile i uta, tj. W Fx, za eki elemetari omak staa x d s vrijedi d W F d s Ad s Kako je rodukt Ad s jedak romjei volumea cilidra dv za omak d s, vrijedi d W dv Itegracijom se iz gorjeg izraza dobiva W V V dv Ovaj je rad u,v-dijagramu a slici.. rikaza ovršiom a---b-a i redstavlja rad rocesa između dva stala tlaka (tehički rad). Da bi se odredila zakoitost romjee tlaka u cilidru tijekom jedog ciklusa komresije koristi se jedadžba staja V MR ili jezi diferecijali oblik d V + V d MRd + R d M akođer je za određivaje rada tijekom jedog ciklusa otrebo koristiti jedadžbu romjee staja, koja za olitrosku romjeu staja glasi V kost Kod izoterme romjee staja vrijedi, kod izetroske romjee staja vrijedi κ. 6

7 Rad usisavaja Prilikom usisavaja lia u cilidar u skladu s rocesom rikazaim a sl... mijejaju se volume i masa lia u cilidru, dok su tlak i temeratura stali, tj d 0 i d 0. Diferecijali oblik jedadžbe staja je tada dv R d M a kada se gorji izraz uvrsti u izraz za rad W dv dobije se V V W u V V R Va M d M a d M Kod idealog je komresora a očetku usisavaja masa lia u cilidru M 0, a volume cilidra je također V 0, a vrijedi W u R M, a kad se uzme u obzir jedadžba staja V MR, može se gorji izraz isati u obliku W u V Rad istiskivaja Za rad istiskivaja vrijedi aalogo W i Vb M b dv R d M RM, V M a slijedi kao i raije W i V Rad komresije Diferecijali oblik jedadžbe olitroske romjee staja glasi V dv + V Dijeljejem s d 0 V dobiva se 7

8 d V V d Uvrštejem u jedadžbu staja (diferecijali oblik) uz d M 0 (jer su vetili zatvorei i masa lia u cilidru se e mijeja), dobiva se d V dv MRd Sređivajem slijedi d V dv MRd i dalje dv MR d Kako je za olitrosku romjeu staja ajčešće > (tolia se odvodi od lia) iše se dv MR d ada je rad olitroe W MR d Itegracijom slijedi W MR MR ( ) Kako su običo kod komresora ozati tlakovi a usisu i u tlačom vodu, uvrštejem jedadžbe za romjeu temerature kod olitroske romjee staja dobiva se W V 8

9 Kod komresije lia ili are od tlaka (staje ) i (staje ) romjea staja može biti: izoterma (rilikom komresije radoj se tvari odvodi tolia tako da je, a karakterističa jedadžba glasi kost ). Za izotermu je V MR kost a ako difereciraja dobiva se diferecijali oblik (uz R kost, M kost, kost ) d V Vd Iz gorjeg izraza i jedadžbe staja slijedi d V MR d a je rad izoterme komresije W iz V d dv MR V MR l izetroska s kost ; izmijejea tolia q 0 ; a omjer temeratura a kraju i rije komresije dobiva se iz κ κ Rad izetroske komresije je, aalogo izrazu za rad olitroske komresije W is V κ κ κ olitroska s kost ; izmijejea tolia q cδ može biti veća ili maja od 0; a omjer temeratura a kraju i rije komresije dobiva se iz rad za olitrosku komresiju je ; c c v κ. Kao što je raije rečeo, 9

10 W V Na slici.. rikazae su odgovarajuće romjee staja u,v-dijagramu. Očigledo je da je rad za izotermu komresiju ajmaji, a rad za izetrosku kmresiju ajveći, što je i logičo jer se kod izoterme komresije odvođejem tolie dodatmo smajuje volume lia u cilidru, a je i otreba rad za komresiju maji. Kod izetroske komresije ema odvođeja tolie, a je otreba veći rad. iz ol is ol <<κ is iz v Sl... Izoterma, izetroska i olitroska komresija s <<κ u,v-dijagramu Ukui rad utroše ri jedom ciklusu idealog komresora (sl...) dobiva se zbrajajem radova usisavaja, komresije i istiskivaja W + W Wu + Wiz / / is i Kako su radovi komresije i istiskivaja o usvojeoj koveciji egativog redzaka (troši se rad) a rad usisavaja ozitivog, suma radova može se odrediti kao egativa vrijedost ovršie između krivulje romjee staja i osi tlaka W teh V d S diferecijalim oblikom jedadžbe olitroe teh V W d V W V d V V d, slijedi 0

11 ehički rad i odvedea tolia ri olitroskoj komresiji, teh ol R V W ( ) c Q c c v κ kost ehički rad i odvedea tolia ri izetroskoj komresiji aalogo rethodom izrazu, slijedi, κ κ κ κ κ κ κ κ R V W teh is 0 Q kost ehički rad i odvedea tolia ri izotermoj komresiji Za izotermu je, l l R V W W iz teh iz W iz Q ; kost Često se u literaturi egativi redzak isred gorjih izraza izostavlja, odrazumijevajući da se za komresiju uvijek troši rad. Proces komresije u,s-dijagramu Izoterma komresija - iz Rad o kg rade tvari (ideali li) je ( ) s s l.

12 Rad je redoče ovršiom a-- iz -b-a a slici.. iz l b a s Sl... Izoterma komresija u,s-dijagramu Izetroska komresija - is Rad o kg rade tvari je l h is h Rad je redoče ovršiom a-- is - iz -b-a a slici.4. is iz l b a s Sl..4. Izetroska komresija u,s- dijagramu

13 Politroska komresija - ol Kod olitroske komresije vrijedi < < κ. Što je odvođeje tolie ri komresiji veće, liija romjee staja ri komresiji biti će oložitija, a temeratura a kraju komresije iža. Rad o kg rade tvari je l h ol h. Rad je redoče ovršiom a-- ol - iz -b-a is iz ol <<κ l b a s Sl..5. Politroska komresija s <<κ u,s-dijagramu Politroska komresija - ol Kad se rilikom komresije još i dovodi tolia, vrijedi > κ. Rad za olitrosku komresiju biti će veći ego za izetrosku, a temeratura a kraju komresije viša. Rad o kg rade tvari je l h ol h. Rad je redoče ovršiom a-- ol - is - iz -b-a a slici.6. ol is >κ iz l b a s Sl..6. Politroska komresija s >κ u,s-dijagramu

14 Politroska komresija - U stvarom komresoru odvija se izmjea tolie sa stijekom cilidra koja je u očetku više temerature a se liu dovodi tolia ( > κ ) a a kraju komresije iže temerature od lia, a se liu odvodi tolia ( < < κ ). Rad o kg rade tvari je l h h. Rad je redoče ovršiom a--- iz -b-a a slici.7. iz l b a s Sl..7. Politroska komresija s romjejivim u,s-dijagramu 4

15 .. VIŠEKRANA KOMPRESIJA Porastom komresijskog omjera x /, raste ri izetroskoj i olitroskoj komresiji koača temeratura komrimiraog lia. Ukoliko ova temeratura rekorači dozvoljeu temeraturu (ograičeje temerature je zbog oasosti od romjee svojstava ulja za odmazivaje), treba rimijeiti višekratu komresiju. Višestuajski komresori imaju hladjak are ili lia ako svakog stuja komresije. Kod višekrate je komresije koača temeratura zato iža ego je to kod jedosteee. Višekrata komresija daje uštedu a radu, i što komresor ima više stujeva, to je ribližeje izotermoj komresiji veće (od uvjetom da se li ili ara ohlade a očetu temeraturu iza svakog stuja). Povećaje komresijskog omjera utječe a smajeje stuja dobave (utjecaj a λ i λ ). Kod višestuajskih je komresora stuaj dobave λ viši ego kod jedostuajskih koji bi radili između istih tlakova. sremik, hladjak iza drugog stuja - ije uvijek otreba II,, hladjak, I, Sl..8. Dvostuajska (dvokrata) komresija Pli se u hladjaku iza rvog stuja ohladi a temeraturu. Hlađeje a iza drugog stuja e utječe a roces komresije, a ije i otrebo osim kod osebih zahtjeva a staje lia a ulazu u sremik. Za komresiju lia od do rimijejea je dvosteea komresija. Za odabir tlakova u ojediim stujevima ostavlja se kriterij maksimale uštede a radu. 5

16 6 Ako je L I L II L +, odoso + P V PV L, i uz R V V dolazi se do izraza za rad + R L Iz gorjeg se izraza vidi da za kostate i vrijedi ( ) L L. Derivacijom ovog izraza o varijabli i izjedačejem s ulom dolazi se do zaključka da će miimali rad biti utroše kad je. U ovom će slučaju, usvoji li se da se eksoet olitroe e mijeja ( kost ), biti i rad u svakom stuju jedak, a također će i ovišeje temerature u svakom stuju biti jedako.

17 Ušteda a radu kod višekrate komresije is,ist iz Δl is is V Sl..9. Dvokrata komresija u,v-dijagramu - is,ist jedosteea izetroska komresija - - dvosteea izetroska komresija s hlađejem are iza rvog stuja a očetu temeraturu Δ l is - ušteda a radu is,ist 4 iz Δl is is Sl..0. rokrata komresija u,v-dijagramu - is,ist jedosteea izetroska komresija - - trosteea izetroska komresija s hlađejem are iza rvog i drugog stuja a očetu temeraturu Δ l is - ušteda a radu V 7

18 Δl is is,ist iz,ist Sl... Dvokrata izetroska komresija s hlađejem are iza rvog stuja a očetu temeraturu, rikazaa u,s- dijagramu s is,ist 4 Δl is iz,ist s Sl... rokrata izetroska komresija s hlađejem are iza rvog i drugog stuja a očetu temeraturu, rikazaa u,,s- dijagramu 8

19 Δl ol is,ist iz,ist s Sl... Dvokrata olitroska komresija s hlađejem are iza rvog stuja a očetu temeraturu, rikazaa u,s- dijagramu Ušteda a radu ri dvokratoj komresiji (olitroskoj) Komresija je između tlakova i. Potrebo je odrediti uštedu a radu u slučaju da se umjesto jedosteee rimijei dvosteea komresija. Ako je komresija između i jedokrata, vrijedi L PV Ako je komresija između i dvokrata, rad se dobiva kao suma radova komresije u rvom i u drugom stuju, a vrijedi L L I + L II, odoso L PV + PV Kako je V V R, a omjeri tlakova su odabrai tako da se ostvari maksimala ušteda a radu 9

20 0 dolazi se do izraza za rad V L Kao što je već rečeo, odabra je tlak tako da je: Možejem gorje jedadžbe s dobiva se i Uvrštejem gorjeg izraza u izraz za L dobiva se PV L Oduzimajem L od L dobiva se ušteda a radu PV L L

21 Kod razvoja avedeih izraza uzeto je da je koači tlak jedog stuja komresije jedak očetom tlaku sljedećeg stuja. o u stvarosti ije moguće, jer se kod rashladih uređaja javlja i ad tlaka u vetilima i hladjacima are. Ako je N + koači tlak a očeti tlak i N broj stujeva komresije, a omjer komresije u jedom stuju, 4 N + x... N oda je... i odatle je N + 4 N + N x N x N + N. Nr. za dvokratu je komresiju x. Pomožimo li rethodu jedadžbu s, dobivamo Zbog ada tlaka tlak a izlazu iz rethodog stuja razlikuje se od ulazog tlaka u slijedeći stuaj. Ozačimo li s ' tlak a izlazu iz rvog stuja, a s tlak a ulazu u drugi stuaj, ri čemu je >, komresijski je omjer za rvi stuaj x. x ', dok je Ozačimo li s k, i omožimo izraz za x s, dobiva se x kx. Ako se uzme da je k u svim stujevima isti, tada je

22 N + N. x k Za sredje komresijske omjere može se uzeti da je ad tlaka oko 0%, tj. k,. Za rimjer a slici.5. je N, bar a N 0bar. Usvojeo je k,. + 0 Komresijski je omjer x 5, 477. x kx, 5,477 6,0 5,477 5,477 bar 6,0 6,0bar x x 5,477 5,477 x x 6,07 5,477 0 bar bar sremik hladjak II hladjak I Sl..4. Dvokrata komresija s adom tlaka u hladjacima Miimali je broj stujeva ograiče dozvoljeom temeraturom koja se e smije rekoračiti. kako je već raije rečeo, ta se temeratura kreće oko ϑ > 5 40 o C. Običo kada je x > 8 0, trebamo uotrijebiti dvosteeu komresiju. 0

( ) Φ = Hɺ Hɺ. 1. zadatak

( ) Φ = Hɺ Hɺ. 1. zadatak 7.vježba iz ermodiamike rješeja zadataka. zadatak Komresor usisava 30 m 3 /mi zraka staja 35 o C i 4 bar te ga o ravotežoj romjei staja v kost. komrimira a tlak 8 bar. Komresor se hladi vodom koja tijekom

Διαβάστε περισσότερα

Kompresori su radni strojevi koji komprimiraju neki plin ili paru na viši tlak.

Kompresori su radni strojevi koji komprimiraju neki plin ili paru na viši tlak. 6. KOMPRESORI Komresori su radi strojevi koji komrimiraju eki li ili aru a viši tlak. Po ačiu rada razlikujemo volumetrijske i komresore građee a strujom (diamičkom) riciu rada. olumetrijski se rici rada

Διαβάστε περισσότερα

odvodi u okoliš? Rješenje 1. zadatka Zadano: q m =0,5 kg/s p 1 =1 bar =10 5 Pa zrak w 1 = 15 m/s z = z 2 -z 1 =100 m p 2 =7 bar = Pa

odvodi u okoliš? Rješenje 1. zadatka Zadano: q m =0,5 kg/s p 1 =1 bar =10 5 Pa zrak w 1 = 15 m/s z = z 2 -z 1 =100 m p 2 =7 bar = Pa .vježba iz Terodiaike rješeja zadataka 1. Zadatak Kopresor usisava 0,5 kg/s zraka tlaka 1 bar i 0 o C, tlači ga i istiskuje u eizolirai tlači cjevovod. Na ulazo presjeku usise cijevi brzia je 15 /s. Izlazi

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam

Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( ) Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

1 bar (-197 C) Sl Područja primjene plinskog i parnog rashladnog procesa Parni rashladni proces s jednostupanjskom kompresijom

1 bar (-197 C) Sl Područja primjene plinskog i parnog rashladnog procesa Parni rashladni proces s jednostupanjskom kompresijom .. ARNI RASHLADNI ROCESI Korištenjem višesteene komresije i eksanzije mogli smo ribližiti Jouleov roces Carnotovu rocesu. eđutim, kod zraka kao radne tvari, roces se odvija daleko u regrijanom odručju.

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

12. SKUPINA ZADATAKA IZ FIZIKE I 6. lipnja 2016.

12. SKUPINA ZADATAKA IZ FIZIKE I 6. lipnja 2016. 12 SKUPIN ZDK IZ FIZIKE I 6 linja 2016 Zadatak 121 U osudi - sremniku očetnog volumena nalazi se n molova dvoatomnog lina na temeraturi rema slici) Plin izobarno ugrijemo na temeraturu, adijabatski ga

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Centralni granični teorem i zakoni velikih brojeva

Centralni granični teorem i zakoni velikih brojeva Poglavlje 8 Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 8.1 Cetrali graiči teorem Lema 8.1 Za 1/ x 1 vrijedi Dokaz: Stavimo log1 + x x x. fx := log1 + x x, x [ 1/, 1]. Očito f0 = 0. Nadalje, po teoremu

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

=1), što znači da će duljina cijevi L odgovarati kritičnoj duljini Lkr. koji vlada u ulaznom presjeku, tako da vrijedi

=1), što znači da će duljina cijevi L odgovarati kritičnoj duljini Lkr. koji vlada u ulaznom presjeku, tako da vrijedi Primjer. Zrak (R=87 J/(kg K), κ=,4) se iz atmosfere ( =, bar, T =88 K) usisava oz cijev romjera D = mm, duljine L = m, rema slici. Treba odrediti maksimalno mogući maseni rotok m max oz cijev uz retostavku

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 26. jun Katedra za Računarsku tehniku i informatiku

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 26. jun Katedra za Računarsku tehniku i informatiku Elektrotehički fakultet uiverziteta u Beogradu 6. ju 008. Katedra za Račuarku tehiku i iformatiku Performae račuarkih itema Rešeja zadataka..videti predavaja.. Kretaje Verovatoća Opi 4 4 Kretaje u itom

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetički i geometrijski niz

Aritmetički i geometrijski niz Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje Katedra za strojeve i uređaje plovnih objekata

Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje Katedra za strojeve i uređaje plovnih objekata KOMPRESORI ZRAKA prof. dr. sc. Ante Šestan Ivica Ančić, mag. ing. Predložak za vježbe iz kolegija Brodski pomoćni strojevi Kompresori zraka Kompresor zraka je stroj koji nekom plinu povećava tlak. Pri

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi

MEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi MEHANIKA FLUIDA Prosti ceooi zaatak Naći brzin oe kroz naglaak izlaznog prečnika =5 mm, postaljenog na kraj gmenog crea prečnika D=0 mm i žine L=5 m na čijem je prenjem el građen entil koeficijenta otpora

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije 9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα