METODA SEČICE I REGULA FALSI

Transcript

1 METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)<0. Poželjo je da iterval (a,b) bude, što je moguće maji. F Proizvoljo biramo tačku (iz itervala (a,b)): // česta je situacija da su Koristimo formulu: 0 = a i F = b f( ) = ( ) + F f( F) f( ) METODA REGULA FALSI Ili formulu f( ) = ( ) + f( ) f( ) METODA SEČICE = a, = b Kod metode sečice se običo uzima da su 0 Niz tačaka,,..., k,... kovergira ka rešeju *, f(*)=0. OCENA GREŠKE M m * + + m M = ma f '( ) [ ab, ] m = mi f '( ) [ ab, ] KRITERIJUM ZAUSTAVLJANJA m m ε = r M

2 Zadatak br. Metodom REGULA FALSI odrediti sa tačošću 0 5 sva rešeja jedačie: ( ) = 0 e Rešeje: Aaliziramo fukciju f(). Zaima as da li je fukcija mootoa, da li raste/opada, da li je koveksa/kokava.. f = e = ( ) ( ) 0 f '( ) = e 4( ) f ''( ) = e 4 f ''( ) = 0 e 4 = 0 = l 4 prevoja tačka. (,l 4) f '' < 0 f ' opada za (,l 4) (l 4, ) f '' > 0 f ' raste za (l 4, ) fukcija je eprekida, opada do =l4 i raste od =l4, a kako je f (l4)=8(-l)=.4548>0 zaključujemo da je f >0 za svako ( ) y e f ( ) < 0 f ( + ) > 0 i f raste a (, + )! ula Dakle, uslovi su ispujei (ula fukcije postoji), ostalo je još da lociramo gde se ta ula alazi. Jeda ači za rešavaje je da acrtamo grafike fukcija e,( ) i da odredimo preseču tačku. Sa grafika vidimo da presek postoji i da je egde između (0, 0.5). Ovaj iterval uzimamo za početi iterval (a,b) Biramo tačke = 0.3 F 0 = 0. Kriterijum zaustavljaja je M = ma f '( ) = f '(0) = 5 [0,0.5] m = mi f '( ) = f '(0.5) = 3.65 [0,0.5] *

3 Radi bolje pregledosti, raču predstavljamo tabličo: br iteracije f() XF Dakle, u četvrtoj iteraciji dobili smo ulu fukcije f *=0.33 Račuali smo a 6 decimala, kriteriju zaustavljaja je ispuje = Zadatak br. Metodom SEČICE sa tačošću aći sva pozitiva rešeja jedačie 0 5 si = Pokušaćemo da lociramo tačo rešeje. Pokušaćemo grafički da proađemo ulu ove fukcije! Nula pripada itervalu (0,3.4). Fukcija je eprekida a R. f ()=cos- f ()=-si-<0 za svako (kokava) Kako bi izbegli veliki broj iteracija, pokušaćemo da smajimo iterval: f (0.5) =.9455 f () = f (.5) = Nulu tražimo u itervalu (,.5) 0 = =.5 Radi bolje pregledosti, zadatak rešavamo tabličo. Obzirom da je data tačost, radićemo sa 7 decimala (zbog deljeja). 3

4 br iteracije f() Dakle, ula fukcije je *=

5 NJUTNOVA METODA (METODA TANGENTE) Ova metoda je ajpozatija. Brže kovergira od prehode ali ima više uslova. Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Dovolji uslovi kovergecije:. Naći iterval (a,b) takav da je f(a)f(b)<0. f '( ) 0 a (a,b) 3. f () e meja zak a (a,b) 4. Proaći početu tačku 0 a (a,b) za koju je f( 0) f ''( 0) > 0 Dakle, početi vektor biramo proizvoljo ali tako da važi uslov 4.. Proveravamo da li je fukcija: moota, da li je f(a)f(b)<0 (dokaz da je rešeje uutar tog itervala) da li drugi izvod e meja zak (svuda je fukcija ili koveksa ili kokava) a zatim, koristimo formulu: = + f( ) f '( ) Koristeći gore avadeu formulu dobijamo iz tačaka,,..., k,... koji kovergira ka rešeju *, f(*)=0. OCENA GREŠKE M * m M = ma f ''( ) [ ab, ] m = mi f '( ) [ ab, ] KRITERIJUM ZAUSTAVLJANJA m ε r = M 5

6 5 Zadatak br3. Njutovom metodom, sa tačošću 0 aći sva rešeja jedačie: 3 Rešeje: Ove fukcije možemo i da acrtamo grafički i da lociramo ulu fukcije. e + e 4= 0 f = e + e 3 ( ) 4 Sa grafka vidimo da ova fukcija ima rešeja. Mi ćemo tražiti pozitivo rešeje (aalgoo se traži egativo rešeje). f (0) = < 0 f (.7) =.48 f () =.379 < 0 f () = > 0 * (,) f ''(.7) < 0 Sada proveravamo da li važe uslovi za primeu ove metode: ) f () f () < 0 ispujeo 3 ) f '( ) = e 3e > 0 a(, ) 0 =.7 f( 0) f ''( 0) > 0 3 3) f ''( ) = e 9e > 0 a(, ) 3 Kriterijum zaustavljaja: M = ma f ''( ) = f ''() = 7.43 [,] m = mi f '( ) = f '() =.5689 [,] ** = =.3* Zadatak rešavamo tabličo: br iteracije f() f'() X*=

7 KOMBINOVANA METODA SEČICE I TANGENTE Kombiovaa metoda se dobija kada se umesto vredosti u metodi Sečice koriste vredosti dobijee Njutovom metodom, tj. + = f( ) f '( ) f( ) = ( ) + f( ) f( ) Važe isti uslovi kao kod Njutove metode tagete! 5 Zadatak br4. Kombiovaom metodom odrediti ajmaje pozitivo rešeje jedačie tg= sa tačošću 0 Nacrtaćemo grafike fukcija f()=tg i g()=. U preseku grafika alaze se ule fukcije. Najmaje pozitivo rešeje se alazi a itervalu ( π,3 π /) Proveravamo da li važe uslovi Njutove metode: π π 3 7

8 F( ) = tg F( π ) F(3) = F (3 π / ) F(4.7) = ) F(3) F(4.7) < 0 ispujeo ) F'( ) = > 0 a(3,4.7) 0 = 4.5 f( 0) f ''( 0) > 0 cos si 3) F''( ) = > 0 a(3, 4.7) 3 cos Zadatak rešavamo tabličo: M = ma f ''( ) = f ''(4.7) = 4 [3, 4.7] m = mi f '( ) = f '(3) = [3, 4.7] *0.003*0.000 =.07*0 4 3 br iteracije X (Njut) X (metoda secice) F() (Njut) F() (Secica) F'() Dakle, ula fukcije je *=

9 METODA ITERACIJE I NJENA MODIFIKACIJA Rešavamo zadatak f()=0, odoso tražimo ulu fukcije f Metodom iteracije se početi zadatak prevodi u sledeći problem:. Naći iterval [a,b] uutar kojeg se alazi rešeje. ϑ( ) mora biti kotrakcija, odoso 3. ϑ([ ab, ]) [ ab, ] (e proveravamo) ϑ '( ) < = ϑ( ) OCENA TAČNOSTI GREŠKE: * 0 * KRITERIJUM ZAUSTAVLJANJA: ε Za početo se uzima proizvolja tačka iz itervala (a,b) 9

10 e ( ) = 0 Zadatak br5 Naći sva rešeja jedačie: Nacrtaćemo grafike ovih fukcija, tražeo rešeje alazi se u preseku grafika fukcija. Već možemo da pretpostavimo da je jeda ula *=0 Tražimo iterval za drugu ulu: F() = F() = Dakle, drugu ulu tražimo a itervalu (,) * [,] F( ) = e ( ) / / ( ) = e = e = e + Q / ( ) = e + Q e Q e e / '( ) = '( ) = = = < / /* Kriterijum zaustavljaja: r 0.3*0 ε = = = br iteracije ()-(-) Zadatak rešavamo tabličo radi bolje pregledosti: 0 = /0 = e + / = + e Tražea druga ula fukcije je *=

11 Tražimo i treću ulu fukcije: F( 3) = F( ) = * [ 3, ] Poavljamo postupak (moramo da tražimo ovu fukciju Q zato što a itervalu [-4,-3] fukcija Q koju smo malo pre proašli ije kotrakcija!!: br iteracije ()-(-) F( ) = e ( ) / ( ) = e = e l( ) = = l( ) Q ( ) =l( ) Q'( ) = Q'( ) = = / 3 = < Zadatak rešavamo tabličo radi bolje pregledosti Kriterijum zaustavljaja: /3 r 0 0.5*0 ε = = = /3 4 4 Posledja ula je *=