Pakiranje dolgega nematskega polimera v sferi

Transcript

1 Seminar I b - 1. letnik, II. stopnja Pakiranje dolgega nematskega polimera v sferi Rok Grah Mentor: doc. dr. Daniel Svenšek Ljubljana, maj 2014 Povzetek Seminar opisuje modeliranje kondenzata dolge nematske verige znotraj sfere. Na začetku bomo povedali nekaj o tekočih kristalih in nematikih ter o termodinamskih osnovah opisa nematikov. Nato si bomo ogledali dva modela; prvi je t.i. minimalni model, ki za opis potrebuje samo eno spremenljivko in s pomočjo minimizacije proste energije pokaže bogato obnašanje različnih konfiguracij v faznem diagramu. Drugi model je nekoliko splošnejši, saj ne potrebuje nikakršnih nastavkov ali posebnih začetnih pogojev. Vpelje tudi kiralnost. Pogledali si bomo rezultate, pridobljene s pomočjo simulacij; vpliv kiralnosti, različnih robnih pogojev in povprečne gostote na dobljen kondenzat polimera.

2 Kazalo 1 Nematiki Tekoči kristali Nematski ureditveni parameter Frankova elastična energija Disklinacije Minimalni model Termodinamika pakiranja Koaksialno navitje Prepleteni solenoid Vpliv zvojne in upogibne deformacije Kiralni nematiki v sferi 8 4 Zaključek 11 Uvod Virusi so eni izmed najpreprostejših živih organizmov. Njihova uspešna replikacija temelji na rešitvi relativno zahtevnega geometrijskega problema: kako se dolga veriga oblikuje znotraj zaprte sfere. Omenimo, da je veriga približno tri velikostne razrede daljša od prečne dimenzije sfere. Opis strukture, kinematike in mehanike našega problema je torej ključen za razumevanje virusnega življenskega cikla [1-3]. Preden se lotimo razlage dveh modelov, ki opisujeta kondenzate dolge verige nematika v zaprti sferi, pa razložimo nekaj osnovnih pojmov, pomembnih za nadaljno obravnavo. 1 Nematiki 1.1 Tekoči kristali Tekoči kristali so tekočine, ki kažejo makroskopsko urejenost oziroma tvorijo makroskopsko anizotropno fazo. Po urejenosti bi jih lahko uvrstili nekam med navadne tekočine in kristale zato se jim reče tudi mezofaze ali vmesne faze. Orientacijski red lahko opišemo s t.i. direktorjem n, ki opisuje povprečno molekularno orientacijo. Je vektor posebne vrste, ki ima lastnost, da sta pozitivna in negativna smer enakovredni oziroma n n. Obstaja več vrst tekočih kristalov (slika 1 levo), opišimo nekaj najbolj pogostih: Nematiki - so tekočine z makroskopskim orientacijskih redom. Sestavljeni so iz podologovatih paličastih molekul in so najmanj urejena vrsta tekočih kristalov. Nematiki, sestavljeni iz kiralnih molekul, tvorijo tudi kiralno (holesterično) fazo [1]. Smektiki - so nematiki, ki so dodatno urejeni še v plasti. Vsebujejo paličaste molekule, ki so urejene v plasti, ki tvorijo 2D tekočino. V smektični A (Sm A) fazi je direktor pravokoten na plasti, v smektični C (Sm C) fazi pa je direktor nagnjen glede na normalo plasti [1]. 1

3 Kolumnarni tekoči kristali - je faza, kjer se molekule združujejo v cilindrične stolpce (podobno kot kovanci). Pozicijski red dolgega dosega znotraj stolpcev ne obstaja, delci pa vendar imajo orientacijski red. Obstaja tudi 2D pozicijski red stolpcev [1]. 1.2 Nematski ureditveni parameter Nematski ureditveni parameter opisuje stopnjo orientacijske urejenosti molekul. Definiran je na osnovi časovnega in prostorskega povprečja drugega Legendrovega polinoma P xp 2 pcos θqy B 3 cos 2 θ 1 2 F, (1) kjer je θ kot med molekulo in direktorjem (spomnimo, direktor predstavlja povprečno smer molekul). Če so vse molekule usmerjene v smeri direktorja, tako da imamo θ 0 za vse molekule, sledi S 1. To pomeni popolno nematsko urejenost. Za popolnoma izotropno orientacijo molekul imamo xcos 2 θy 1{3 in S 0; izotropna faza. V primeru, ko so vse molekule pravokotne na direktor (takrat imamo θ π{2 za vse molekule), dobimo S 1{2. Realni nematiki dosežejo urejenost nekje do S 0.6 [1]. 1.3 Frankova elastična energija Zunanje sile lahko privedejo do neurejenosti nematskih molekul. Za parameter, ki ga bomo uporabljali pri opisu teh neurejenosti, si izberemo kar najbolj naravno izbiro, to je direktor n. Za opis uporabimo Frankovo teorijo elastične energije, kjer preučujemo prostorske spremembe v direktorju n. Poudarimo, da so te spremembe majhne, saj L n! 1, kjer je L dolžina molekul. Privzeli smo naslednje predpostavke o deformacijski elastični energiji F d [1]: F d je soda v n, saj sta n in n neločljiva; F d lahko zapišemo kot potence n, tako da v uniformnem nematiku F d izgine; F d ne vsebuje linearnih členov v n; dva potencialna tipa členov bi bila možna, n (ki spremeni predznak, ko gre n Ñ n in je torej prepovedan) ter n n (ki spremeni predznak, kot gre r Ñ r in je torej tudi prepovedan); ne vsebuje členov oblike u, kjer je u poljuben vektor; v takem primeru bi lahko integral po volumnu transformirali na integral po površini, kjer F d ni več odvisna od prostornine, temveč samo od površine. Iz teh predpostavk lahko dobimo deformacijsko elastično energijo na enoto volumna f d : f d K 11 2 p nq2 K 22 2 pn nq2 K 33 2 pn nq2. (2) Zgornji členi predstavljajo pahljačno deformacijo (splay), zvojno deformacijo (twist) in upogibno deformacijo (bend) (slika 1 desno) [1]. 2

4 Slika 1: Levo: Shematični prikaz preprostih faz tekočih kristalov; zgoraj levo izotropna tekočina, sledi nematična faza, nato zgoraj desno smektična A faza. Spodaj vidimo shemo kolumnarnih tekočih kristalov [2]. Desno: prikaz deformacij, (a) pahljačna, (b) zvojna in (c) upogibna deformacija [1]. 1.4 Disklinacije V strukturi tekočih kristalov se velikokrat pojavijo območja, kjer je direktor lokalno nedefiniran. Tam se pojavijo hitre spremembe v izgledu in optičnih lastnostih materiala. Točke in linije, kjer je direktorsko polje nedefinirano, imenujemo defekti oziroma disklinacije. Moč linijskega defekta k je definirana s številom, ki opiše, kolikokrat se direktor zavrti, če defekt obkrožimo. Ker velja, da je n n, je lahko ta sprememba orientacije direktorja polceli večkratnik 2π: ¾ dθ ds 2πk, (3) ds kjer je k 1{2, 1, 3{2.... Lahko imamo tudi k 0, ki predstavlja konfugiracijo brez defektov [1]. 2 Minimalni model Prvi od modelov opisa pakiranja dolgega nematskega polimera v sferi je minimalni model. To je model, ki opisuje polimerni nematik nematik v obliki dolge verige sestavljen iz monomerov. Minimalni model je preprost model, ki za opis potrebuje samo eno spremenljivko. Za opis konfiguracije dolge verige znotraj sfere uvedemo nov parameter; vektorsko polje t, ki opisuje lokalni tok polimera. t ρprqnprq, (4) kjer nprq predstavlja lokalno smer polimera in ρprq ravninsko gostoto verig v ravnini, pravokotni na n. ρprq vsebuje informacije o povprečni gostoti verig ter o ureditvenem parametru [2], [3]. Ohranitev mase neposredno nič ne omenimo. V našem modelu opisujemo dolge polimere, kjer so konci redki. Tako lahko predpostavimo, da v limiti konci izginejo, tok verige se ohranja: t 0. (5) 3

5 Pravtako robni pogoj ob predpostavki dolgega polimera zahteva, da je smer toka v radialni smeri enaka nič: Zapišimo brezdivergenčni tok t kot ˆr tpr Rq 0. (6) t t φ pr, θq ˆφ Ψpr, θq r sin θ ˆφ, (7) kjer smo t zapisali v sfernih koordinatah pr, θ, φq. t φ pr, θq v splošnem nima omejitev, medtem ko mora funkcija Ψpr, θq zadostiti določenim pogojem opisanim spodaj. Hitro lahko vidimo, da je t 0 [2]. Kot prvo možno konfiguracijo si oglejmo koaksialno navitje (slika 2 a), kjer imamo t φ 0 in Ψ 0. Kot je razvidno s slike 2 a, se tu veriga navija samo okoli polarne osi. Zaradi potrebnega pogoja o tangentnosti toka na sfero pri r R, topologija problema zahteva prisotnost disklinacij z močjo k 2 za aksialno simetrične probleme kot je naš, dobimo dve disklinaciji na polu, vsaka z močjo k 1, torej skupna moč disklinacij je res 2. Zaradi polarne simetrije orientacije verige v koaksialnem navitju, se ti disklinaciji razširita v disklinacijsko linijo, ki poteka po polarni osi. Znotraj disklinacij pa mora biti tok t 0, da je tok sploh lahko definiran [2], [4]. Slika 2: Tri topologije nematika znotraj sfere, ki so azimutalno simetrične: (a) koaksialno navijte, (b) preprosti solenoid in (c) prepleteni solenoid. Tokovnice kažejo orientacijo direktorja v posamezni topologiji: (a) nematik se navija le okoli polarne osi, ima le φ komponento; (b) nematik se navija le okoli komponent pravokotnih na φ; (c) nematik se navija v vseh treh smereh (r, φ, θ), ta konfiguracija je superpozicija prvih dveh [2]. Druga možna kofiguracija je preprosti solenoid (slika 2 b). Tu definiramo t φ 0 in Ψ 0. Ψpr, θq je poznana Stokes-ova tokovna funkcija, ki jo lahko zapišemo kot t r pr, θq r 1 B θ Ψ r sin θ, t θpr, θq B rψ r sin θ. (8) Hitro lahko vidimo, da robni pogoji podajo močno omejujejo Stokesovo tokovno funkcijo Ψ. Iz enačbe (8) sledi, da se mora v limiti r sin θ Ñ 0 tokovna funkcija obnašati kot 4

6 Ψ 9 r 2 sin 2 θ, da lahko ohranimo definirano vrednost tprq. Dobimo torej Ψ Ñ 0 na polarni osi. Dodaten pogoj za t r pr Rq iz enačbe (6) pomeni konstantno vrednost Ψ na površini. Ker pa se površina in polarna os srečata na polih (kjer imamo zaradi zgoraj opisanega robnega pogoja vrednost toka enako nič), dobimo ničelno vrednost Ψ 0 na površini sfere in na polarni osi, ki povezuje disklinacije na polih spomnimo, da je tudi preprosti solenoid aksialno simetričen problem z disklinacijo na vsakem od polov [2]. Možne netrivialne konfiguracije Ψ lahko opišemo s ploskvami konstantne funkcije Ψ, ki se ne sekajo in torej tvorijo set gnezdenih torusov (slika 2 b). Dobljena konfiguracija tvori zaprti solenoid, ki ima tok po vertikalni osi znoraj sfere t 0 in torej reducira disklinacijsko linijo celotne osi, ki smo jo imeli pri koaksialnem navitju, na dva točkasta defekta na polih. Vendar, tokrat pride do nastanka disklinacijske zanke, ki se navija po notranjosti solenoida, kar privede do ničelnosti Ψ 0 Ñ tprq 0 vzdolž zanke [2]. Kot smo videli, topološke zahteve disklinacijskih linij v prvih dveh možnih konfiguracijah privedejo do lokalne ničelnosti toka tprq po volumnu sfere. Ali je mogoče dobiti konfiguracijo, kjer dobimo neničeln tok znotraj celotne sfere? Odgovor leži v tretji možni konfiguraciji, to je superpozicija koaksialnega navitja in preprostega solenoida. Tedaj dobimo t φ 0 in Ψ 0, kar imenujemo prepleteni solenoid (slika 2 c) [2]. V prepletenem solenoidu dobimo direktor t, ki teče enako kot pri preprostem solenoidu, z izjemo, da se tu tok navija tudi okoli polarne osi, podobno kot pri koaksialnem navitju. Razlika od koaksialnega navitja pa je, da je t}ẑ vzdolž polarne osi. Pri prepletenem solenoidu dobimo ničeln tok tprq 0 samo pri defektih na polu, saj koaksialno navijte in preprosti solenoid zapolnita nastalo praznino, ki jo naredi ena od teh dveh konfiguracij [2], [5]. 2.1 Termodinamika pakiranja Ogledali si bomo konfiguracije polimera znotraj sfere z iskanjem minimalne proste energije. V duhu Landauove teorije, lahko zapišemo gostoto proste energije f v najnižjem netrivialnem redu kot f κ 2 p t 2 t 0 q 2 K 2 p tq2, (9) kjer prvi člen opiše termodinamiko pakiranja s stisljivostjo κ in preferirano velikostjo toka t 0. Drugi člen enačbe (9) pa predstavlja elastično energijo z elastično konstanto K. Tu je pahljačna deformacija enaka nič zaradi pogoja o ničelnosti divergence (enačba 5). Vidimo tudi, da v zgornji enačbi ne ločimo med zvojno in upogibno deformacijo [2]. Iščemo torej najbolj ugodno konfiguracijo; znotraj tega modela lahko dobimo tudi (lokalno ali globalno) prazno konfiguracijo. Gostota toka se spreminja zvezno Koaksialno navitje Za začetek si oglejmo, kakšna je termodinamika koaksialnega navitja. Iz [2] sledi, da na stabilnost dobljene konfiguracije vpliva en sam parameter, R{λ, kjer je λ K κt 2 0 1{2. (10) λ predstavlja velikostno skalo oziroma razmerje med elastično energijo in potrebno energijo pakiranja. Na majhnih skalah, t.j. R! λ, prevladuje elastična energija konfiguracije in koaksialno navitje se izkaže za neugodno. Na večjih skalah, t.j. R " λ, pa prevladuje 5

7 energija pakiranja in t se asimptotično približuje preferirani vrednosti t 0. Prehod iz prazne konfiguracije v konfiguracijo navitja naj bi se zgodil pri R prazno{nav 2.3λ, kar je v dobrem ujemanju z numerično minimizacijo enačbe (9), ki kažejo prehod pri R prazno{nav 2.0λ [2]. Vendar za dovolj velike skale R " λ, ponovno nastane praznina. Čeprav se konfiguracija stabilizira, ko se tok približuje svoji preferirani vrednosti, zaradi večanja volumna sfere nastane praznina in koaksialno navijte ni več najbolj ugodna konfiguracija [2] Prepleteni solenoid V prejšnjem poglavju smo pokazali, da preprosti solenoid in koaksialno navitje skupaj tvorita t.i. prepleteni solenoid, ki najbolj enakomerno zapolni prostor od vseh treh možnih topologij. Kot smo že omenili, za velika razmerja R{λ koaksialno navitje ni več najbolj ugodna konfiguracija in dobimo strukturni prehod koaksialno navitje Ñ prepleteni solenoid. Da bi to pokazali, uvedemo nov nastavek: Ψpr, θq r 2 sin 2 πr θ ψ ps prq cos, (11) 2R kjer kosinus zagotavlja, da izpolnjujemo pogoj o tangencialnosti toka na površini iz enačbe (6), podpisano ime ps pa predstavlja ime konfiguracije prepleteni solenoid [2]. Tok prepletenega solenoida lahko zapišemo kot superpozicijo navitja in preprostega solenoida, t ps prq Φt sol prq t nav prq, (12) kjer t ps predstavlja tok prepletenega solenoida, t sol predstavlja tok preprostega solenoida in t nav predstavlja tok koaksialnega navitja. Φ predstavlja tok v središču sfere in služi kot parameter spremembe simetrije iz koaksialnega navitja (Φ 0) k prepletenemu solenoidu (Φ 0). Na sliki 3 levo vidimo konfiguracije danega nastavka iz enačb (11) in (12) za Φ P r0, 1s [2]. Če sedaj vstavimo naš nastavek za tok t ps v enačbo (9), dobimo prosto energijo prepletenega solenoida: F ps g 0 pr{λq g 2 pr{λqφ 2 g 4 pr{λqφ 4, (13) kjer vidimo, da je prosta energija soda v parametru simetrije Φ. Člena g 0 in g 4 sta oba pozitivno definitna in monotoni funkciji R{λ, medtem ko funkcija g 2 (ki vsebuje prispevka elastične energije in energija pakiranja k prosti energiji) zavzema pozitivne in negativne vrednosti, odvisno od velikosti parametra. Pokazati se da, da je g 2 pr{λq 0 za majhne vrednosti R{λ tam prevladuje elastična prosta energija in dobljena konfiguracija je koaksialno navitje. Z večanjem parametra R{λ pride do strukturnega prehoda drugega reda, ko dobimo prehod iz navitja v prepleteni solenoid. Kritična vrednost, kjer se prehod zgodi, je R nav,ps 4.7λ. Na kratko omenimo, da v odsotnosti kiralnosti ta stukturni prehod prikazuje spontan zlom simetrije in ga torej lahko opišemo z eksponenti povprečnega polja [2]. Slika 3 desno prikazuje odvisnost parametra simetrije Φ od velikosti R{λ, kjer primerjamo rezultate dobljene z nastavki enačb (11) in (12) in numerično minimizacijo enačbe (9). Čeprav pride do razlik v točki prehoda, obe metodi pokažeta strukturni prehod drugega reda konfiguracij koaksialno navitje Ñ prepleteni solenoid. Z dobljeni rezultati smo zadovoljni, saj je naša teorija resnično minimalna, vendar vseeno prikaže lastnosti strukturnega prehoda relativno dobro [2]. 6

8 Slika 3: Levo: Konfiguracije tokovnic za prepleteni solenoid za različne vrednosti parametra Φ. Barvna skala prikazuje magnitudo toka od modre ( tprq 0) do rdeče ( tprq t 0 ) [2]. Desno: Ravnovesne vrednosti toka v središču sfere v odvisnosti od velikostne skale R{λ. Rdeča krivulja prikazuje rezultate dobljene z variacijskim računom, medtem ko črne, zapolnjene točke prikazujejo rezultate dobljene z numeričnimi simulacijami. Obe metodi uporabita enačbo 9 in prikazujeta strukturni prehod drugega reda iz konfiguracij koaksialno navitje Ñ prepleteni solenoid. Notranji graf prikazuje graf x tprq y Ω p4πq 1 ³ dω tpr, Ωq, za vsako konfiguracijo tokovnic v levi sliki [2] Vpliv zvojne in upogibne deformacije V najnižjem netrivialnem redu proste energije v enačbi (9) opišemo elastično energijo z enim samim parametrom, t.j. elastična konstanta K. To je v nasprotju s Frankovo elastično energijo (enačba (2)), ki v splošnem razlikuje med zvojno (twist, t t 0) in upogibno (bend, t t 0) deformacijo. Spomnimo, da pahljačne deformacije v našem modelu nimamo, saj smo predpostavili odsotnost divergence (enačba 5). Prosti energiji obeh deformacij sta v splošnem neodvisni in drugi člen v prosti energiji iz enačbe (9) lahko zapišemo kot δf K 2 2 rt p tqs2 K 3 2 rt p tqs2, (14) kjer sta K 2 in K 3 ustrezni elastični konstanti zvojne in upogibne deformacije. Z uporabo enakih parametrov in nastavkov kot pri prejšnjem poglavju (enačbe (10), (11), (12)), dobimo še vpliv zvojne in upogibne deformacije na dobljeno konfiguracijo [2]. Ta ločitev prispevkov k prosti energiji močno spremeni termodinamsko obnašanje našega modela. Z upoštevanjem upogibne deformacije destabiliziramo konfiguracijo navitja, kar privede do monotone odvisnosti R prazno{nav od K 3. Izkaže se, da se za K 3 6K{t 2 0 vzpostavi območje stabilnosti za preprosti solenoid in prehod iz prazne konfiguracije v preprosti solenoid se zgodi pri R prazno{sol 3.8λ [2]. Upoštevanje zvojne deformacije vodi k pozitivnemu prispevku g 2 pr{λq za velike vrednosti pr{λq to vodi k eksponentni odvisnosti kritične velikosti, kdaj pride do strukturnega prehoda iz koaksialnega navitja v preprosti solenoid, R nav{ps exp pk 2 {κq [2]. 7

9 Na sliki 4 prikažimo dobljeni fazni diagram za nematike brez koncev, ki ga opišemo s tremi parametri R{λ, K 2 t 2 0 {K in K 3t 2 0 {K. Vidimo, da praznina, navitje in prepleteni solenoid skupaj eksistirajo vzdolž prve trojne črte; praznina, preprosti solenoid in prepleteni solenoid pa eksistirajo vzdolž druge trojne črte. Fazno zaporedje praznina Ñ navitje Ñ prepleteni solenoid, ki je predvideno vzdolž K 2 K 3 0, se ohrani za dovolj majhne vrednosti K 3 ; seveda se kritična točka prehoda R{λ premakne. Ob dovolj veliki prisotnosti upogibne deformacijske energije pa za srednje velike vrednosti R{λ navitje izgine zaradi bolj ugodne konfiguracije preprostega solenoida [2]. Slika 4: Fazni diagram za vse tri opisane topologije nematika znotraj sfere v odvisnosti od velikostne skale sfere λ{r ter elastičnih modulov za zvojno (K 2 ) in upogibno deformacijo (K 3 ) [2]. 3 Kiralni nematiki v sferi V naslednjem poglavju si poglejmo kondenzacijo dolgih kiralnih nematskih polimerov znotraj zaprte sfere. Model, ki ga bomo opisali, je sposoben opisati kondenzacijo, kar je največja razlika med tem in minimalnim modelom. Tu nimamo nikakršnih nastavkov ali posebnih začetnih pogojev celotna struktura se zgradi sama iz začetnega šuma. Sistem sam definira površino kondenzata in s tem tudi obliko direktorskega polja t.i. samousklajeni robni pogoj. Z bolj splošnim nastavkom si sedaj oglejmo kako na dobljene konfiguracije vplivajo različni robni pogoji in kiralnost, ki je pri minimalnem modelu nismo upoštevali. Model, ki ga bomo opisovali, se razlikuje od zgornjega v nekaj fundamentalnih predpostavkah. Parameter, ki ga bomo uporabili, je ponovno tok t. Tokrat s to razliko, da imamo dve glavni spremenljivki, ki obe nastopata znotraj toka polimera, tprq ρprql 0 aprq, (15) kjer je ρprq povprečen tok verig polimera; aprq ne-enotski direktor, ki opisuje orientacijo in ureditvenost nematika (pomembna razlika od direktorja v minimalnem modelu je, da je v tem modelu direktor pravi vektor, ki loči med a in a); l 0, dolžina posameznih segmentov verige, ki jo opisujemo [6]. 8

10 Prosto energijo zapišimo z nastavkom, kjer parametri v elastični prosti energiji niso odvisni od stopnje urejenosti (v prejšnjem, minimalnem modelu smo prosto energijo zapisali s standardnimi Frankovimi prispevki za pahljačno, zvojno in upogibno deformacijo direktorja, ki pa ne opisujejo kiralnega nematika). Dobljena prosta energija ima člene, ki zagotovi, da [6], [7] nematska urejenost ostane omejena, a 1, je ureditvena prosta energija sorazmerna številu molekul oziroma gostoti ρ, je elastična prosta energija sorazmerna ρ 2, kot velja za energijo interakcij, je upoštevana kontinuitetna enačba, gostota ostane pozitivna in manjša od maksimalne gostote ρ c. Z minimizacijo proste energije ob fiksirani dolžini nematika lahko dobimo ravnovesne konfiguracije, ki so opisane z gostoto polimera in nematskim direktorjem. Ogledali si bomo dobljene numerične rezultate za dva različna robna pogoja. Prvi pogoj predpostavlja, da ne prihaja do stika polimera s površino sfere, kar kaže na odbojno interakcijo kratkega dosega tu je gostota na površini enaka nič. Drugi pogoj pa postavlja gostoto polimera na površini sfere na povprečno gostoto znotraj sfere, kar posnema privlačno interakcijo kratkega dosega [6]. Z vsemi parametri simulacij se v seminarju ne bomo ukvarjali, več o tem v [6]. Za začetek si oglejmo gostoto in urejenost nematika v odvisnosti od kiralnosti (slika 5). Upoštevali smo prvi robni pogoj, torej odbojno površino sfere oziroma ničelno gostoto na površini sfere. Odsotnost kiralnosti kaže na torusno obliko nematika (slika 5 a), majhna kiralnost povzroči zvijanje orientacijskega reda znotraj torusa, kjer se direktor polimera zvija okoli središča sfere v polarni smeri. Večanje kiralnosti veča zvojno deformacijo torusa (slika 5 a, b), primarna oblika torusa se ne spremeni. Z dodatnim večanjem kiralnosti se tudi torus začne zvijati (slika 5 c), medtem ko direktor v centru ostaja poravnan s simetrijsko osjo nekiralnega torusa. Z dodatnim večanjem kiralnosti opazimo spremembo zvitega torusa v strukturo, podobno členu verige (slika 5 d). Pri velikih kiralnosti se pojavi nova konfiguracija nematika (slika 5 e-h), kjer direktor teče vzdolž vsake od cevk in se navija vijačno okoli nje [6]. Da bi bolje razumeli prehod iz izotropne v nematsko fazo, si oglejmo lokalno gostoto in urejenost polimera za različne vrednosti povprečne gostote oziroma dolžine polimera (slika 6). Tudi tu upoštevamo prvi robni pogoj, to je ničelna gostota na površini sfere. Vidimo, da prehod vodi k zlomu sferične simetrije lokalne gostote in urejenosti, kar takoj vodi v urejeno obliko kondenzata torus. Torus se najprej izogiba površini sfere, nato se spremeni v nekakšen sferoid z večanjem gostote se približuje pravilni obliki krogle [6]. Drugačne rezultate dobimo, če upoštevamo drugi robni pogoj, t.j. privlačna interakcija med površino sfere in polimerom (slika 7). Tu pride do zloma simetrije na drugačen način, kot pri primeru prvega robnega pogoja (slika 6). Kondenzat tu sili k površini, kar vodi k zlomu sferne simetrije. Torusna oblika kodenzata se prilepi na površino, kar deformira osnovno torusno obliko (slika 7 a, b, c). Za večje gostote se del simetrije ponovno vzpostavi, nastane kondenzat čašaste oblike. V limiti velikih gostot, se kondenzat bliža sferni obliki, kar vodi v enako obliko kot pogoj odbojne interakcije (slika 6 d) [6]. Zmerna kiralnost ne spremeni oblike kondenzata drastično, vpliva pa na smer direktorja znotraj toroida. Oglejmo si dobljen kondenzat za spreminjajočo se gostoto nematika pri zmerni kiralnosti q in fiksno povprečno gostoto ρ na površini sfere (drugi robni pogoj). 9

11 Slika 5: Zaporedje naraščujoče kiralnosti polimera v sferi. Povprečna gostota je bila v brezdimenzijskih enotah postavljena na ρ 1, gostota prehoda ρ 0.5 in maksimalna gostota ρ c 5. Uporabljen je prvi robni pogoj, t.j. ničelna gostota na površini sfere oziroma odbojna interakcija med polimerom in površino sfere. Za boljšo prikaznost je direktor v slikah (e)-(h) prikazan samo lokalno [6]. Slika 6: Zaporedje naraščujoče povprečne gostote polimera v sferi. Gostota prehoda je bila v brezdimenzijskih enotah postavljena na ρ 0.5, maksimalna gostota ρ c 5 in kiralnost na nič. Uporabljen je prvi robni pogoj, t.j. ničelna gostota na površini sfere oziroma odbojna interakcija med polimerom in površino sfere [6]. Slika 7: Zaporedje naraščujoče povprečne gostote polimera v sferi. Gostota prehoda je bila v brezdimenzijskih enotah postavljena na ρ 0.5, maksimalna gostota ρ c 5 in kiralnost na nič. Uporabljen je drugi robni pogoj, t.j. povprečna gostota na površini sfere oziroma privlačna interakcija med polimerom in površino sfere [6]. 10

12 Na sliki 8 vidimo vijačno navijanje direktorja po torusu, kar pa še zmeraj ne spremeni splošne oblike kondenzata velika podobnost kondenzata pri odsotnosti ali zmerni kiralnosti ostaja. Kot zanimivost omenimo, da so konfiguracije v kondenzatu vedno toroidalne oblike [6]. Slika 8: Zaporedje naraščujoče povprečne gostote polimera v sferi. Gostota prehoda je bila v brezdimenzijskih enotah postavljena na ρ 0.5, maksimalna gostota ρ c 5 in kiralnost q Uporabljen je drugi robni pogoj, t.j. povprečna gostota na površini sfere oziroma privlačna interakcija med polimerom in površino sfere. Vpliv kiralnost je viden samo v smeri direktorja, ki se sedaj vijačno navija po torusu [6]. 4 Zaključek Ogledali smo si dva modela opisa kondenzata dolge verige nematika v zaprti sferi. V prvem minimalnem modelu smo pokazali kako velikostna skala problema vpliva na dobljene konfiguracije. Z ločitvijo zvojne in upogibne deformacije smo dobili celoten fazni diagram vseh možnih konfiguracij. Drugi model, ki je bil bolj realističen, je pokazal, kako kiralnost, robni pogoji in dolžina polimera vplivajo na dobljene konfiguracije v sferi. Iskanje rešitev našega problema je zelo aktualna tema, ki pa ni nujno vezana samo na viruse, temveč lahko opiše katererekoli nematike znotraj zaprte sfere in ima torej potencialno široko uporabo. Literatura [1] P. Ziherl, Physics of Soft Matter ( ziherl/smt.pdf, ). [2] H. Shin in G. M. Grason, EPL, 96 (2011) [3] D. Svensek, G. Veble in R. Podgornik, Phys. Rev. E, 82 (2010) [4] W. C. Earnshaw, J. King, S.C. Harrison in F. A. Eiserling, Cell, 14 (1978) 559. [5] M. Kleman in O. D. Lavrentovich, Soft Matter Physics: an introduction (Springer- Verlag, New York, 2003). [6] D. Svenšek in R. Podgornik, EPL, 100 (2012) [7] C. Blanc, D. Svenšek, S. Žumer in M. Nobili, Phys. Rev. Lett., 95 (2005)