Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko ELASTOMERI. seminar. Tadeja Polach. Mentor: dr.
|
|
- Ἰσμήνη Παπαϊωάννου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko TEKOČEKRISTALNI ELASTOMERI seminar Tadeja Polach Mentor: dr. Primož Ziherl Ljubljana,
2 Kazalo 1 UVOD 2 2 TEKOČI KRISTALI 2 3 TEKOČEKRISTALNI POLIMERI 3 4 ELASTOMERI 5 5 TEKOČEKRISTALNI ELASTOMERI 7 6 ZAKLJUČEK 18 7 LITERATURA 19 1
3 1 UVOD Tekočekristalni elastomeri nastanejo, ko se medseboj povežejo verige tekočekristalnih polimerov. Ustvari se elastomer z enako simetrijo kot jo imajo posamezne verige pri dani temperaturi- nematsko, smektično in kiralno nematsko. Snov zadrži tudi lastnosti elastomera. Tako najdemo v eni snovi 1. orientacijski red, 2. odzivno molekularno obliko in 3. topološko omejeno obliko. To ustvari veliko novih fizikalnih lastnosti. Pri navadnih tekočih kristalih spremembe povprečne molekularne oblike, ki jih povzročijo spremembe v orientacijskem redu, ne spremenijo bistveno materiala. Posebne lastnosti tekočekristalnih elastomerov izhajajo iz njihove zmožnosti, da lahko spremenijo molekularno obliko, medtem ko so v trdnem stanju. Njihove fizikalne lastnosti lahko spreminjamo s toplotnimi, svetlobnimi ali mehanskimi spremembami, zato so se izkazali uporabni kot mehanski prožilniki [1]. 2 TEKOČI KRISTALI Leta 1888 je avstrijski botanik Friedrich Reinitzer hotel ugotoviti formulo za molekulsko maso holesterola. Opazil je, da ima snov holesteril benzoat dve tališči nad prvim tališčem pri temperaturi C je snov postala tekoča in motna, nad drugim tališčem pa je motnost izginila. Vmesno fazo so kasneje poimenovali tekočekristalna faza (slika 1) [2]. Slika 1: Trdna faza (a), tekočekristalna faza (b), tekoča faza (c) [3]. Značilna lastnost tekočekristalne faze je orientacijski red molekul, ki v povprečju kažejo v skupno smer v smer direktorja n. Stopnjo urejenosti snovi izrazimo s količino S: 2
4 S = 1 3 cos θ 2 1, (1) 2 kjer je θ povprečna vrednost kota med direktorjem in daljšo osjo molekule (slika 2) [2]. Slika 2: Naklon mezogena glede na direktor [3]. Različne razporeditve molekul ustvarjajo pozamezne mezofaze (slika 3): Slika 3: Nematska faza (levo), smektična faza (sredina), kiralno nematska faza (desno) [4]. 3 TEKOČEKRISTALNI POLIMERI Tekočekristalni polimeri so snovi, ki zdužujejo lastnosti polimerovi in tekočih kristalov. To povzroči povezava mezogenov v verige. Lega mezogenov močno vpliva na vrsto tekočekristalnega polimera. Mezogeni se lahko vežejo v glavno verigo (slika 4 zgoraj) ali pa se vežejo prečno kot stranske verige (slika 4 spodaj). 3
5 Slika 4: Mezogeni na polimerni verigi - vezani v glavno verigo (zgoraj), vezani na stransko verigo (spodaj) [3] Togi mezogeni, vključeni v osnovno polimerno verigo, se lahko orientirajo podobno kot navadni tekoči kristali in tako se obdržijo tudi njihove lastnosti. Polimerne verige so lahko sestavljene ali iz samih aromatskih obročev togih delov (slika 5) ali pa so togi deli v glavni verigi med seboj sklopljeni z gibljivimi vezmi. Slika 5: Polimerna veriga iz aromatskih obročev [3] Na sliki 6 je ta vez metilen. Gibljive vezi med mezogeni omogočajo lažjo razporeditev polimerov v tekočekristalne faze [3]. Slika 6: Gibljiva polimerna veriga [3]. Polimeri z mezogeni, vezanimi v glavni verigi, imajo pogosto tekočekristalno območje nad temperaturo, pri kateri se polimeri že razkrojijo. Temperaturno 4
6 območje tekočekristalnih lastnosti je veliko širše, če so mezogeni vezani prečno kot stranske verige na glavni verigi. Pri tovrstnih polimerih je zelo pomembna tudi oblika glavne verige. Polimeri s togimi glavnimi verigami imajo visoke temperature steklastega prehoda in tako je težko opazovati tekočekristalne lastnosti snovi. Temperatura steklastega prehoda je tem nižja, čim bolj gibljiva je glavna veriga [3]. Nad temperaturo steklastega prehoda so polimeri viskozne tekočine, pod njo pa so trdni, vendar v tistem temperaturnem območju nimajo nobenega dolgosežnega molekulskega reda [5]. Mezogen je sestavljen iz dveh ali več aromatskih obročev in povezan na glavno verigo z metilensko vezjo (slika 7) Temperatura steklastega prehoda je v večini primerov odvisna od dolžine vezi t.j. od števila metilenskih grup. Snovi s kratkimi vezmi tvorijo nematske faze, tiste z daljšimi vezmi pa smektične [3]. Slika 7: Gibljiva metilenska vez med togimi aromatskima obročema [3]. Trdna in stabilna struktura tekočekristalnih polimerov omogoča izdelavo industrijskih materialov, ki so zelo stabilni v skrajnih razmerah. Primer je kevlar, iz katerega izdelujejo neprebojne jopiče, nomex, ki je negorljiv, najlon, ki prenese velike obremenitve [6], gore-tex, ki je vodoodporen [7]... 4 ELASTOMERI Elastomeri so amorfni polimeri, ki se lahko raztezajo in nato sprostijo v začetno obliko nad temperaturo steklastega prehoda, pod njo pa so trdni. Polimerne verige so med seboj povezane s kovalentnimi mostovi. nenapetem stanju so verige naključno zvite (slika 8a) in se zravnajo, ko elastomer raztegnemo (slika 8b). V Slika 8: Elastomerne verige nenapete (a), napete (b), Črne pike ponazarjajo kovalentne mostove To povzroči manj naključno razporeditev verig in s tem manjšo entropijo snovi. Zaradi zmanjšanja entropije pa nastopi sila, ki vrne predmet v začetno obliko. Mehanizem elastičnosti elastomerov je odvisen samo od velikosti sile, ki se je pojavi zaradi spremembe entropije. To pokaže enostaven izračun. 5
7 Zunanja sila F opravi delo, ko raztegne elastomer za dolžino dl pri konstantni temperaturi T: dw = Fdl. (2) V prvi zakon termodinamike du = dw +TdS vstavimo izraz (2) in ga odvajamo po dolžini l pri konstantni temperaturi T: ( ) ( ) U S = F + T l l T T Iz diferenciala proste energije F = U TS: sledi ter (3) df = du SdT TdS = Fdl SdT, (4) F = ( ) F l T in S = ( ) F T l (5) ( ) ( ) S F =, (6) l T T l ( ) ( ) U F = F T. (7) l T T Meritve so pokazale, da sila, ki je potrebna, da zadržimo elastomer pri stalni napetosti, sorazmerna z absolutno temperaturo. Izraz (8) vstavimo v izraz (7) ( ) U l T = F T l F = αt (8) ( ) F = F αt = 0. (9) T l Notranja energija je pri konstantni temperaturi neodvisna od dolžine elastomera [8]. Kovalentni mostovi preprečijo gibanje verig ene mimo druge, ko je snov raztegnjena in tako zvišajo mejno napetost, pri kateri nastopi plastična deformacija. Ob ohlajanju postanejo elastomeri steklasti in delno kristalizirajo, vendar samo za nekaj odstotkov, saj je neurejenost verig ena njihovih ključnih značilnosti. Pri ohladitvah pod temperaturo steklastega prehoda pa postanejo drobljivi. Ob segrevanju se ne morejo utekočiniti zaradi povezav med verigami. V industriji izkoriščajo velike razteznosti elastomerov in jih tudi ojačajo z vulkanizacijo (slika 9). Vulkanizacija je ojačanje elastičnih lastnosti elastomerov v širokem temperaturnem območju z ustvarjanjem mrežnih povezav 6
8 med verigami. Te se lahko tvorijo s perokosidi, ioniziranim sevanjem, najbolj običajno pa z žveplom ali žveplenimi spojinami [9]. Slika 9: Primerjava med elastičnostjo vulkanizirane in nevulkanizirane gume [9] 5 TEKOČEKRISTALNI ELASTOMERI V naslednjih odstavkih bomo opisali nekaj značilnih fizikalnih lastnosti za posameznih vrst tekočekristalnih elastomerov. NEMATSKI ELASTOMERI Nematski elastomeri so elastične snovi z makroskopskimi lastnostimi nematskih tekočih kristalov (slika 10). So amorfne trdne snovi. Zanimiva značilnost nematskih elastomerov je, da mikroskopske spremembe lahko povzročijo makroskopske, kar je ravno obratno od tistega, kar je velja za običajne elastomere [1].V naslednjih odstavkih so našteti trije pojavi, ki nastanejo zaradi povezav med nematsko orientacijo in elastičnostjo. Slika 10: Nematski elastomer mezogeni na osnovni verigi so vsi orientirani v eno smer, rdeče črte so kovalentne povezave med verigami [10]. 7
9 TOPLOTNO-MEHANSKI POJAV Ureditev tekočih kristalov na molekularnem ravni v enodomenskem nematskem elastomeru ustvari anizotropno obliko makroskopskega vzorca snov se enoosno raztegne tudi do 400% (slika 11) [1]. Anizotropija je prisotna, dokler mezogeni tvorijo nematsko fazo, ki izgine pri temperaturi T ni, T ni 79 C pri azobenzenu, kjer je fazni prehod iz nematske in izotropno fazo. Razmerje med dolžino polimera v izotropni fazi L 0 in v nematski fazi L označuje λ = L/L 0. Temperaturna odvisnost λ(t) je prikazana na sliki 12 levo in jo opisuje zveza λ = 1 + α [1 T/T ni ] ξ, (10) kjer sta α in ξ snovni konstanti. Kritični eksponent ξ je za večino nematskih elastomerov med 0.1 in 0.4 [12]. Slika 11: Ob segrevanju se elastomer razširi, ker se mezogeni orientirajo v smer direktorja n [1] Če nematski elastomer togo vpnemo, ob spremembah temperature ne spreminja oblike, ampak deluje s silo na stene, med katere je vpet. Potem pri nizkih temperaturah opazimo, da snov deluje na stene s silo, ki je sorazmerna notranjim napetostim v snovi, ki se prosto razteguje. V bližini faznega prehoda to sorazmerje izgine, ker izginja tudi nematska ureditev, ki prispeva, k sili, ki deluje na stene. Levi graf na sliki 12 opisuje relativni raztezek nematskega elastomera ob segrevanju. V nematski fazi se raztegne v tisto smer, kamor kaže direktor nematske orientacije, pri temperaturi prehoda v izotropno fazo, ki je označeno s puščico, pa se zelo hitro skrči. Desni graf na sliki 12 opisuje silo, s katero deluje vpet nematski elastomer na stene, tanjša črta opisuje negativno vrednost iz grafa na levi. Primerjava teh dveh črt pokaže, da velja sorazmerje pri nizkih temperaturah, ki izgine blizu faznega prehoda [7,8]. 8
10 Slika 12: Levi graf opisuje relativni raztezek nematskega elastomera ob segrevanju. V nematski fazi se raztegne v tisto smer, kamor kaže direktor nematske orientacije, pri temperaturi prehoda v izotropno fazo, ki je označeno s puščico, pa se zelo hitro skrči. Desni graf opisuje silo, s katero deluje vpet nematski elastomer na stene, tanjša črta opisuje negativno vrednost iz grafa na levi. Primerjava teh dveh črt pokaže, da velja sorazmerje pri nizkih temperaturah, ki izgine blizu faznega prehoda [11]. Ta toplotnomehanski pojav, ko v bližini faznega prehoda tekočekristalna snov izgubi anizotropijo in se skrči, se je izkazal kot praktično uporaben na več področjih. Kompozit nematskega elastomera in navadnega izotropnega elastomera, ki je na nematskega nanešen kot prevleka, se toplotnih spremembah ukrivlja podobno kot bimetalni trak (slika 13) [13]. S segrevanjem se nematski elastomer približuje izotropni fazi, tekočekristalna urejenost začne izginjati in se vzorec začne krčiti. Slika 13: Kompozit nematskega elastomera in navadnega izotropnega elastomera se ob segrevanju ukrivlja [13]. 9
11 Hitre spremembe v velikosti pri faznem prehodu iz nematske v izotropno fazo in dejstvo, da se ta prehod da vzbuditi na tudi z obsevanjem s svetlobo in z zunanjim električnim poljem, pomenita, da so nematski elastomeri primerni za izdelavo umetnih mišic. Izdelujejo jih iz tribločnega kopolimera RNR [14], ki je sestavljen iz nematskega elastomera v sredini (N) in dveh izotropnih elastomerov ob straneh (R) (slika 14). Tribločna struktura je pomembna, da se obdrži enodomenska nematska struktura, saj bi molekule ob krčenjih in širjenjih lahko zdrsele in se tako naključno orientirale po snovi. Slika 14: Polimerna umetna mišica (b) sestavljena s tribločnimi kopolimernimi verigami, ki jih sestavlja nematski elastomer (N) in izotropen elastomer (R) [14]. Poskusi z vzrocem velikosti 1, 5 3 cm in debelino µm so pokazali, da se umetna mišica skrči okoli 35-45% v smeri direktorja in se je ustvari tlak 210 kpa [14]. SVETLOBNO-MEHANSKI POJAV Za nematske elastomere so značilni tudi izraziti svetlobno-mehanski pojavi, ki vplivajo na nematsko ureditev s spreminjanjem izomerije. Paličasti mezogeni se lahko ukrivijo, ko absorbirajo foton ustrezne valovne dolžine [12]. Fotoizomerizacija je proces, ko se po absorbciji svetlobe zamenjata cis in trans izomeriji (slika 15). Pri tekočih kristalih se najpogosteje spreminja orientacijo dvojne dušikove vezi. 10
12 Slika 15: Prehod med cis in trans izomerijo na dvojni dušikovi vezi se zgodi pod vplivom svetlobe z določeno frekvenco [12]. Ko je dušikova vez v trans stanju, so mezogeni ravni. Sprememba izomerije v cis stanje zmanjša nematski red (slika 16) v snovi in zniža temperaturo faznega prehoda. Resonančna valovna dolžina za prehod trans cis je 365 nm in za prehod cis trans pri azobenzenu je 465 nm. Slika 16: Fazni prehod iz nematske faze v izotropno po spremembah izomerije snovi nastopi pri nižji temperaturi zaradi večjega nereda v sistemu [12]. Amplituda odziva svetlobno vzbujene trans cis izomerizacije je tem bolj strma, čim bližja je njegova temperatura temperaturi faznega prehoda T ni (slika 17 levo). Pravtako je hitrejša relaksacija nazaj v trans stanja pri višjih temperaturah (slika 17 desno) [11]. 11
13 Slika 17: Raztezanje nematskega elastomera ob osvetljevanju (levo), relaksacija po prenehanju osvetljevanja (desno). Pri raztezanju in relaksaciji je potrebno več deset minut, da snov doseže končno obliko [11]. MEHKA ELASTIČNOST Rotacije nematskega direktorja povzročijo pojav, ki se imenuje mehka elastičnost. Tekočekristalni elastomeri so zelo gibljivi na molekularni ravni, zato se direktor lahko obrne že pri majhnih mehanskih napetostih. Rotaciji direktorja sledijo tudi verige. Vendar oblika porazdelitve verig in s tem entropija ostane nespremenjena. Prosta energija se ne poveča, kljub temu da je prišlo do netrivialne deformacije (slika 18)[1]. Slika 18: Direktor n 0, označen s puščico, v nematskem elastomeru (paralelpiped) se obrne za π/2 v lego n in verige (elipsoid) mu sledijo [1]. SMEKTIČNI ELASTOMERI Vse smektične mezofaze tekočih kristalov (slika 19) najdemo tudi v obliki elastomerov. Plastovita struktura smektičnih tekočekristalnih polimerov vpliva na makroskopske lastnosti snovi. 12
14 Slika 19: Smektični elastomer povezava plastovite strukture smektičnih tekočih kristalov v polimerne verige, ki so medseboj povezane s kovalentnimi mostovi, ki so na sliki označeni rdeče [15]. ELASTIČNE LASTNOSTI V smektičnih A elastomerih odziv na zunanje sile ni izotropen kot pri navadnih elastomerih. Elastični modul v smeri normalno na smektične plasti je zelo majhen, zato so deformacije prisotne samo v dveh dimenzijah. Raztezanje v smeri vzporedno s smektičnimi plastmi se zato kompenzira samo s tanjšanjem smektičnih plasti (slika 20), kar potrdi sprememba barve filma, ki se spremeni zaradi različnih odbojev na tanki plasti [15]. Slika 20: Smektični A elastomer neraztegnjen (a), raztegnjen za 43%, kar pokaže tudi sprememba barve (b), raztegnjen smektični film med dvema prekrižanima polarizatorjema, ker skoznje ne gre nič svetlobe, sklepamo da anizotropija v raztegnjenem stanju izgine (c in d) [15] Izotropni elastomeri so nestisljivi, zato je njihovo Poissonovo število ν = 1/2. Podobno velja za smektične elastomere, kar se vidi tudi grafa na sliki 21, ki primerja relativno tanjšanje filma v odvisnosti od raztezkov, izmerjenih na dveh delih filma, s teoretičnim rezultatom z idealno nestisljivo snovjo, ki ima Poissonovo število ν = 1/2 [16]. 13
15 Slika 21: Tanjšanje smektičnega filma v odvisnosti od raztezanja [16]. Lastnost je reverzibilna, zato je najverjetnejša razlaga, da se ob krčenju mezogeni naključno nagnejo (slika 22a) ter smektične plasti se medseboj prepletejo (slika 22b). Anizotropija v raztegnjenem stanju izgine, saj snov ni več dvolomna, kot pokaže pregled snovi med dvema prekrižanima polarizatorjema (slika 20c, d). Slika 22: Ob raztegovanju smektičnega filma v smeri vzporedno s smektičnimi plastmi se debelina filma stanjša. Deformacije so reverzibilne, zato sta tanjšanje najverjetneje povzročita naslednja dva mehanizma povečanje naklona mezogenov (a), prehodi med smektičnimi plastmi ob raztegovanju smektičnega filma (b) [15] ELEKTROKLINIČNI POJAV S segrevanjem smektičnega elastomera se v smektični C fazi debelina vzorca začne povečevati. To razloži dejstvo, da je naklon mezogenov odvisen od temperature, ki se manjša s približevanjem smektični A mezofazi, kjer so mezogeni razporejeni pravokotno glede na plast (slika 23) [17]. Zaradi feroelektričnih lastnosti smektične C faze se lahko naklon mezogenov spreminja tudi z zunanjim električnim poljem (slika 24) in posredno debelina snovi. 14
16 Slika 23: Temperaturna odvisnost debeline smektičnega elastnomernega filma, ob prehodu iz SmC v SmA fazo se debelina poveča, ker se mezogeni razporedijo pravokotno na plast [17]. Elastični moduli smektičnih elastomerov so veliko manjši od keramičnih piezoelektrikov, kar bi se dalo ugodno izkoristiti, saj bi tako bile mehanske spremembe neprimerno večje. Meritve so pokazale, da se je pri 75 nm debelem vzorcu pod vplivom zunajega električnega polja 1.5 MV/m spremenila debelina vzorca za 3%, kar je veliko več, kot zmorejo aktualni piezoelektriki [19]. Slika 24: Elektroklinični pojav pod vplivom zunanjega električnega polja se mezogeni nagnejo [18]. Snov je najbolj občutljiva za zunanje vplive pri temperaturi, ki je blizu prehoda iz smektične C v smektično A fazo. Debelina smektične plasti d je odvisna od naklona direktorja glede na normalno plast. Nakloni so zelo majhni, zato si lahko pomagamo s približkom: d(θ) = d 0 cos θ d 0 ( θ2 ) (11) Elektrostrikcijo težko izmerimo, saj so vzorci zelo tanki, zato z Michelsonovim interferometrom merijo fazne zamike svetlobe, ki gre skozi vzorec. Sprememba naklona je linerno odvisna od spremembe jakosti zunanjega električnega polja, θ = αe, (12) δd d = 1 2 θ2 = α 2 E2, (13) kar potrdijo tudi meritve (slika 25). 15
17 Slika 25: Relativna sprememba debeline in širine smektičnega elastomera je kvadratno odvisna od jakosti zunanjega električnega polja, kar pokaže linearen odziv, če na absciso nanesemo kvadrat jakosti električnega polja [18]. KIRALNO NEMATSKI ELASTOMERI Kiralno nematski elastomeri imajo zelo zanimive optične lastnosti. V kiralno nematskem tekočem kristalu dve značilni lastnosti: periodičnost vijačne strukture nematskih plasti, ki jo opišemo z naklonom p in dvolomnost n, ki sta hkrati značilni za to snov, onemogočata prehod krožno polarizirane svetlobe pri dani valovni dolžini [20]. λ odboj = p n (14) Selektivno odbojnost λ odboj lahko nastavimo z mehanskimi deformacijami snovi. Ta lastnost je uporabna za izdelavo optičnih filtrov in ogledal. Mehanski raztegi pravkotno na smer vijačnice spremenijo valovno dolžino svetlobe, ki jo sistem odbije (slika 26). Slika 26: Odboji različnih valovnih dolžin svetlobe od kiralno nematskega elastomera, pri različnih napetostih. Mehanski raztegi pravkotno na smer vijačnice spremenijo valovno dolžino svetlobe, ki jo sistem odbije. [21] 16
18 Vnos barvil (dichroic dye) v kiralno nematske elastomere povzroči, da se spremeni naklon vijačnice in s tem valovna dolžina odbite svetlobe (slika 27), ko so izpostavljeni UV svetlobi ali zunanjemu električnemu polju. To lasnost so izkoristili pri izdelavi samo zameglitvenih vizorjev za pilote reaktivcev, danes pa so na voljo že v prostem trgu. Nekateri primeri so samozatemnitvena očala, feroelektrične zaslonke, okna z UV zaščito, oblačila, s tkanino, ki spremeni barvo ob spremembi osvetlitve (sliki 28, 29) [22]. Slika 27: Prepustno stanje (zgoraj), zatemnejeno stanje (spodaj), kiralno nematski elastomer je rumene barve, barvilo rdeče [23]. Slika 28: Samozatemnitvena očala [22] Slika 29: Rob obleke iz tekočekristalnega elastomera sprememni barvo iz svetle v temno ob spremembi osvetlitve [22]. 17
19 6 ZAKLJUČEK V tem seminarju smo opisali nekaj fizikalnih značilnosti tekočekristalnih elastomerov. Obstaja jih še veliko več. Nekatere lastnosti se že na veliko izkoriščajo v industriji, nekatere pa je potrebno še natančneje raziskati. Največji potencial tekočekristalnih elastomerov je v njihovi vlogi kot aktuator, saj se na mnogo različnih zunanjih vplivov odzovejo z mehanskimi spremembami. Centimetrski vzorci so požročili tlake reda sto kpa, kar pomeni velike sile. Vendar pa ti fazni prehodi potekajo večinoma pri temperaturah veliko nad sobno, stalno segrevanje pa zahteva veliko energije in lahko slabo vpliva na delovanje ostalih členov sistema. Ker kot aktuatorji tudi ne potrebujejo nobenih dodatnih napajanj, preizkušajo njihovo uspešnost delovanja v na mikrometrskem nivoju, posebno pri mikroelektronskih mehanskih sistemih (MEMS). 18
20 7 LITERATURA [1] M. Warner in E. M. Terentjev, Liquid Crystal Elastomers (Oxford University Press, Oxford, 2003). [2] Liquid Crystals [3] Liquid Crystals Virtual Textbook maj 2008 [4] %20mayeefr.htm, maj 2008 [5] The Glass Transition in Polymers, Department of Materials Science and Metallurgy, University of Cambridge maj 2008 [6] DuPont maj 2008 [7] Gore-Tex maj 2008 [8] D. Bower, An Introduction To Polymer Physics (Cambridge University Press, Cambridge, 2002). [9] W.D Callister, Materials Science and Engineering, An Introduction (John Wiley and Sons, New York, 1999). [10] Universal states in nematic elastomers maj 2008 [11] J. Cviklinski, A. R. Tajbakhsh in E. M. Terentjev, Eur. Phys. J. E 9, 427 (2002). [12] P. M. Hogan, A. R. Tajbakhsh in E. M. Terentjev, Phys. Rev. E 65, (2002). [13] N. Assfalg, H. Finkelmann, KGK Kautschuk Gummi Kunststoffe 52. Jahrgang, 679 (1999) [14] M. H. Li, P. Keller, Phil. Trans. R. Soc. A 364, 2763 (2006). [15] R. Stannarius, V. Aksenov, J. Blaesig, A. Krost, M. Roessle in R. Zentel, Phys. Chem. Chem. Phys. 8, 2293 (2006). [16] V. Aksenov, J. Blaesing, M. Roessle, R. Stannarius, R. Zentel, Strain Induced Compression of Smectic-A Layers in Free Standing Liquid Crystalline Elastomer Films maj 2008 [17] R. Stannarius, R. Koehler, U. Dietrich, M. Loesche, C. Tolksdorf in R. Zentel, Phys. Rev. E 65, (2002). [18] Smectic Elastomers maj 19
21 2008 [19] R. Koehler, R. Stannarius, C. Tolksdorf, R. Zentel, Appl. Phys. A 80, 381, (2005). [20] P. Cicuta, A. R. Tajbakhsh in E. M. Terentjev, Phys. Rev. E 65, (2002). [21] The Finkelmann group, Albert-Ludwigs Universtaet Freiburg maj 2008 [22] AlphaMicron maj 2008 [23] ChemFiles maj
Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Tretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Kotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 12. junij 2015 SPLOŠNA MATURA
Državni izpitni center *M543* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek,. junij 05 SPLOŠNA MATURA RIC 05 M543 M543 3 IZPITNA POLA Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor
Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM
Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Fakulteta za elektrotehniko 1 Slika 7. 2: Principielna shema regulacije AM v KSP Fakulteta za elektrotehniko 2 Slika 7. 3: Merjenje komponent fluksa s
8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Fazni diagram binarne tekočine
Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,
TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ ( )
TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ (17. 12. 03) Pazljivo preberite besedilo vsake naloge! Naloge so točkovane enakovredno (vsaka 25%)! Pišite čitljivo! Uspešno reševanje! 1. Deformiranje telesa je podano s poljem
p 1 ENTROPIJSKI ZAKON
ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:
Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Univerza v Novi Gorici Fakulteta za znanosti o okolju Okolje (I. stopnja) Meteorologija 2013/2014. Energijska bilanca pregled
Univerza v Novi Gorici Fakulteta za znanosti o okolu Okole (I. stopna) Meteorologia 013/014 Energiska bilanca pregled 1 Osnovni pomi energiski tok: P [W = J/s] gostota energiskega toka: [W/m ] toplota:q
Osnove elektrotehnike uvod
Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.
Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare
Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo Laboratorij za termoenergetiko Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare po modelu IAPWS IF-97 izračunano z XSteam Excel v2.6 Magnus Holmgren, xsteam.sourceforge.net
Numerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
PROCESIRANJE SIGNALOV
Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:
IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
POROČILO. št.: P 1100/ Preskus jeklenih profilov za spuščen strop po točki 5.2 standarda SIST EN 13964:2004
Oddelek za konstrkcije Laboratorij za konstrkcije Ljbljana, 12.11.2012 POROČILO št.: P 1100/12 680 01 Presks jeklenih profilov za spščen strop po točki 5.2 standarda SIST EN 13964:2004 Naročnik: STEEL
Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA
Državni izpitni center *M16141113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek, 1. junij 16 SPLOŠNA MATURA RIC 16 M161-411-3 M161-411-3 3 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
2.1. MOLEKULARNA ABSORPCIJSKA SPEKTROMETRIJA
2.1. MOLEKULARNA ABSORPCJSKA SPEKTROMETRJA Molekularna absorpcijska spektrometrija (kolorimetrija, fotometrija, spektrofotometrija) temelji na merjenju absorpcije svetlobe, ki prehaja skozi preiskovano
Pakiranje dolgega nematskega polimera v sferi
Seminar I b - 1. letnik, II. stopnja Pakiranje dolgega nematskega polimera v sferi Rok Grah Mentor: doc. dr. Daniel Svenšek Ljubljana, maj 2014 Povzetek Seminar opisuje modeliranje kondenzata dolge nematske
+105 C (plošče in trakovi +85 C) -50 C ( C)* * Za temperature pod C se posvetujte z našo tehnično službo. ϑ m *20 *40 +70
KAIFLEX ST Tehnični podatki Material Izjemno fleksibilna zaprtocelična izolacija, fleksibilna elastomerna pena (FEF) Opis Uporaba Temperaturno območje Toplotna prevodnost W/(m K ) pri različnih srednjih
Kotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II
Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.
MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Logatherm WPL 14 AR T A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013
WP 14 R T d 9 10 11 53 d 2015 811/2013 WP 14 R T 2015 811/2013 WP 14 R T Naslednji podatki o izdelku izpolnjujejo zahteve uredb U 811/2013, 812/2013, 813/2013 in 814/2013 o dopolnitvi smernice 2010/30/U.
VEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25
1 2 3 4 5 6 7 OFFMANAUTO CM707 GR Οδηγός χρήσης... 2-7 SLO Uporabniški priročnik... 8-13 CR Korisnički priručnik... 14-19 TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 ENG User Guide... 26-31 GR CM707 ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ Περιγραφή
NAVOR NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU
NAVOR NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU Equatio n Section 6Vsebina poglavja: Navor kot vektorski produkt ročice in sile, magnetni moment, navor na magnetni moment, d'arsonvalov ampermeter/galvanometer.
Snov v električnem polju. Električno polje dipola (prvi način) Prvi način: r + d 2
Snov v lktričnm polju lktrično polj ipola (prvi način) P P - Prvi način: z r = r Δr r = r Δr Δr Δ r - r r r r r r Δr rδr =, = 4πε r r 4πε r r r r = r cos, r r r = r cos. r Vlja: = cos, r r r r r = cos,
vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov. 6. vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov. 6. vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov
28. 3. 11 UV- spektrofotometrija Biuretska metoda Absorbanca pri λ=28 nm (A28) UV- spektrofotometrija Biuretska metoda vstopni žarek intenziteta I Lowrijeva metoda Bradfordova metoda Bradfordova metoda
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov
GEL ELEKTROFOREZA. Seminar pri predmetu Molekularna Biofizika. Avtorica: Tjaša Parkelj
GEL ELEKTROFOREZA Seminar pri predmetu Molekularna Biofizika Avtorica: Tjaša Parkelj Povzetek: V tem seminarju bom predstavila fizikalno ozadje elektroforeze. Začela bom z opisom gibanja nabitega delca
11. Valovanje Valovanje. = λν λ [m] - Valovna dolžina. hitrost valovanja na napeti vrvi. frekvence lastnega nihanja strune
11. Valovanje Frekvenca ν = 1 t 0 hitrost valovanja c = λ t 0 = λν λ [m] - Valovna dolžina hitrost valovanja na napeti vrvi frekvence lastnega nihanja strune interferenca valovanj iz dveh enako oddaljenih
Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE
Reševanje mehanskih problemov z MKE primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE p p RAK: P-XII//74 Reševanje mehanskih problemov z MKE primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE L
3. VAJA IZ TRDNOSTI. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e Pomik v prostorskem opisu: u = ey e. e y,e z = e z.
3. VAJA IZ TRDNOSTI (tenzor deformacij) (pomiki togega telesa, Lagrangev in Eulerjev opis, tenzor velikih deformacij, tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji) NALOGA 1: Gumijasti
IZRAČUN MEHANSKIH PARAMETROV NADZEMNEGA VODA
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko IZRAČUN MEHANSKIH PARAMETROV NADZEMNEGA VODA Seminar pri predmetu Razdelilna in industrijska omrežja Maja Mikec Profesor: dr. Grega Bizjak Študijsko leto
MERITVE LABORATORIJSKE VAJE. Študij. leto: 2011/2012 UNIVERZA V MARIBORU. Skupina: 9
.cwww.grgor nik ol i c NVERZA V MARBOR FAKTETA ZA EEKTROTEHNKO, RAČNANŠTVO N NFORMATKO 2000 Maribor, Smtanova ul. 17 Študij. lto: 2011/2012 Skupina: 9 MERTVE ABORATORJSKE VAJE Vaja št.: 4.1 Določanj induktivnosti
IZRAČUN MEHANSKIH LASTNOSTI IN DEFORMACIJ ENOSTRANSKO IN DVOSTRANSKO VPETEGA NOSILCA
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko IZRAČUN MEHANSKIH LASTNOSTI IN DEFORMACIJ ENOSTRANSKO IN DVOSTRANSKO VPETEGA NOSILCA Seminarska naloga pri predmetu Razdelilna in industrijska omrežja Maks
Polarizacija laserske svetlobe
Polarizacija laserske svetlobe Optični izolator izvedba z uporabo λ/4 retardacijske ploščice Odboj polarizirane svetlobe na meji zrak-steklo; Brewster-ov kot Definicija naloge predstavitev teoretičnega
vaja Izolacija kromosomske DNA iz vranice in hiperkromni efekt. DNA RNA Protein. ime deoksirbonukleinska kislina ribonukleinska kislina
transkripcija translacija Protein 12. vaja Izolacija kromosomske iz vranice in hiperkromni efekt sladkorji deoksiriboza riboza glavna funkcija dolgoročno shranjevanje genetskih informacij prenos informacij
Če je električni tok konstanten (se ne spreminja s časom), poenostavimo enačbo (1) in dobimo enačbo (2):
ELEKTRIČNI TOK TEOR IJA 1. Definicija enote električnega toka Električni tok je gibanje električno nabitih delcev v trdnih snoveh (kovine, polprevodniki), tekočinah ali plinih. V kovinah se gibljejo prosti
reologija Andreja Zupančič Valant UL FKKT Katedra za kemijsko biokemijsko in ekološko inženirstvo
reologija Andreja Zupančič Valant UL FKKT Katedra za kemijsko biokemijsko in ekološko inženirstvo 1 Modul 2 Viskoelastično obnašanje strukturiranih tekočin Določanje viskoelastičnih lastnosti tekočin in
Matematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
diferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Termodinamika vlažnega zraka. stanja in spremembe
Termodinamika vlažnega zraka stanja in spremembe Termodinamika vlažnega zraka Najpogostejši medij v sušilnih procesih konvektivnega sušenja je VLAŽEN ZRAK Obravnavamo ga kot dvokomponentno zmes Suhi zrak
l 5 Levo: Površinski profil referenčne dolžine in dolžina vrednotenja; Desno: srednja linija profila
referenčna linija profila l=l=l=l=l 1 2 3 4 5... referenčna dolžina l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l n dolžina vrednotenja Levo: Površinski profil referenčne dolžine in dolžina vrednotenja; Desno: srednja linija
Slika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici.
4. poglavje: Sile 5. Cestna svetilka visi na sredi 10 m dolge žice, ki je napeta čez cesto. Zaradi teže svetilke (30 N) se žica za toliko povesi, da pride sredina za 30 cm niže kot oba konca. Kako močno
VAJE IZ NIHANJA. 3. Pospešek nihala na vijačno vzmet je: a. stalen, b. največji v skrajni legi, c. največji v ravnovesni legi, d. nič.
VAJE IZ NIHANJA Izberi pravilen odgovor in fizikalno smiselno utemelji svojo odločitev. I. OPIS NIHANJA 1. Slika kaže nitno nihalo v ravnovesni legi in skrajnih legah. Amplituda je razdalja: a. Od 1 do
*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
MEHANSKE LASTNOSTI 1
MEHANSKE LASTNOSTI 1 MEHANSKE LASTNOSTI Mehanske lastnosti so tiste lastnosti snovi, ki določajo, kako se snov odzove na mehansko obremenitev. 4 najpogostejši poskusi za določanje mehanskih lastnosti snovi
17. Električni dipol
17 Električni dipol Vsebina poglavja: polarizacija prevodnika (snovi) v električnem polju, električni dipolni moment, polarne in nepolarne snovi, dipol v homogenem in nehomogenem polju, potencial in polje
OSNOVE POLIMERNEGA INŽENIRSTVA. Izr. prof. dr. Urška Šebenik
OSNOVE POLIMERNEGA INŽENIRSTVA Izr. prof. dr. Urška Šebenik urska.sebenik@fkkt.uni-lj.si VSEBINA PREDAVANJ Uvod v polimere (zgodovina, lastnosti, uporabnost) Porazdelitev molekulskih mas in povprečja molekulskih
Funkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Osnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Zaporedna in vzporedna feroresonanca
Visokonapetostna tehnika Zaporedna in vzporedna feroresonanca delovanje regulacijskega stikala T3 174 kv Vaja 9 1 Osnovni pogoji za nastanek feroresonance L C U U L () U C () U L = U L () U C = ωc V vezju
Vaje: Električni tokovi
Barbara Rovšek, Bojan Golli, Ana Gostinčar Blagotinšek Vaje: Električni tokovi 1 Merjenje toka in napetosti Naloga: Izmerite tok, ki teče skozi žarnico, ter napetost na žarnici Za izvedbo vaje potrebujete
1. Newtonovi zakoni in aksiomi o silah:
1. Newtonovi zakoni in aksiomi o silah: A) Telo miruje ali se giblje enakomerno, če je vsota vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo enaka nič. B) Če rezultanta vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo ni
Vaja: Odbojnostni senzor z optičnimi vlakni. Namen vaje
Namen vaje Spoznavanje osnovnih fiber-optičnih in optomehanskih komponent Spoznavanje načela delovanja in praktične uporabe odbojnostnega senzorja z optičnimi vlakni, Delo z merilnimi instrumenti (signal-generator,
- Geodetske točke in geodetske mreže
- Geodetske točke in geodetske mreže 15 Geodetske točke in geodetske mreže Materializacija koordinatnih sistemov 2 Geodetske točke Geodetska točka je točka, označena na fizični površini Zemlje z izbrano
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Praktična Matematika-VSŠ(BO) Komuniciranje v matematiki SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) Avtorica: Špela Marinčič Ljubljana, maj 2011 KAZALO: 1.Uvod...1 2.
VALOVANJE UVOD POLARIZACIJA STOJEČE VALOVANJE ODBOJ, LOM IN UKLON INTERFERENCA
VALOVANJE 10.1. UVOD 10.2. POLARIZACIJA 10.3. STOJEČE VALOVANJE 10.4. ODBOJ, LOM IN UKLON 10.5. INTERFERENCA 10.6. MATEMATIČNA OBDELAVA INTERFERENCE IN STOJEČEGA VALOVANJA 10.1. UVOD Valovanje je širjenje
Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Kvantni delec na potencialnem skoku
Kvantni delec na potencialnem skoku Delec, ki se giblje premo enakomerno, pride na mejo, kjer potencial naraste s potenciala 0 na potencial. Takšno potencialno funkcijo zapišemo kot 0, 0 0,0. Slika 1:
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
13. poglavje: Energija
13. poglavje: Energija 1. (Naloga 3) Koliko kilovatna je peč za hišno centralno kurjavo, ki daje 126 MJ toplote na uro? Podatki: Q = 126 MJ, t = 3600 s; P =? Če peč z močjo P enakomerno oddaja toploto,
Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Poglavje 10. Molekule Kovalentna vez
Poglavje 10 Molekule Atomi se vežejo v molekule. Vezavo med atomi v molkuli posredujejo zunanji - valenčni elektroni. Pri vseh molekularnih vezeh negativni naboj elektronov posreduje med pozitinvimi ioni
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Kvantni fazni prehodi
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar I a - 1. letnik II stopnja Kvantni fazni prehodi Avtor: Alen Horvat Mentor: prof. dr. Tomaž Prosen Ljubljana, 15. marec 2013 Povzetek V seminarju
1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Elektrooptični pojav
Elektrooptični pojav Uvod Močno zunanje električno polje znatno vpliva na strukturo snovi. V kristalih se denimo spremeni oblika osnovne celice, v tekočinah pride do orientacijskega urejanja molekul (podolgovate
Najprej zapišemo 2. Newtonov zakon za cel sistem v vektorski obliki:
NALOGA: Po cesi vozi ovornjak z hirosjo 8 km/h. Tovornjak je dolg 8 m, širok 2 m in visok 4 m in ima maso 4 on. S srani začne pihai veer z hirosjo 5 km/h. Ob nekem času voznik zaspi in ne upravlja več
DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
SLIKA 1: KRIVULJA BARVNE OBČUTLJIVOSTI OČESA (Rudolf Kladnik: Osnove fizike-2.del,..stran 126, slika 18.4)
Naše oko zaznava svetlobo na intervalu valovnih dolžin približno od 400 do 800 nm. Odvisnost očesne občutljivosti od valovne dolžine je različna od človeka do človeka ter se spreminja s starostjo. Največja