Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko ELASTOMERI. seminar. Tadeja Polach. Mentor: dr.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko ELASTOMERI. seminar. Tadeja Polach. Mentor: dr."

Transcript

1 Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko TEKOČEKRISTALNI ELASTOMERI seminar Tadeja Polach Mentor: dr. Primož Ziherl Ljubljana,

2 Kazalo 1 UVOD 2 2 TEKOČI KRISTALI 2 3 TEKOČEKRISTALNI POLIMERI 3 4 ELASTOMERI 5 5 TEKOČEKRISTALNI ELASTOMERI 7 6 ZAKLJUČEK 18 7 LITERATURA 19 1

3 1 UVOD Tekočekristalni elastomeri nastanejo, ko se medseboj povežejo verige tekočekristalnih polimerov. Ustvari se elastomer z enako simetrijo kot jo imajo posamezne verige pri dani temperaturi- nematsko, smektično in kiralno nematsko. Snov zadrži tudi lastnosti elastomera. Tako najdemo v eni snovi 1. orientacijski red, 2. odzivno molekularno obliko in 3. topološko omejeno obliko. To ustvari veliko novih fizikalnih lastnosti. Pri navadnih tekočih kristalih spremembe povprečne molekularne oblike, ki jih povzročijo spremembe v orientacijskem redu, ne spremenijo bistveno materiala. Posebne lastnosti tekočekristalnih elastomerov izhajajo iz njihove zmožnosti, da lahko spremenijo molekularno obliko, medtem ko so v trdnem stanju. Njihove fizikalne lastnosti lahko spreminjamo s toplotnimi, svetlobnimi ali mehanskimi spremembami, zato so se izkazali uporabni kot mehanski prožilniki [1]. 2 TEKOČI KRISTALI Leta 1888 je avstrijski botanik Friedrich Reinitzer hotel ugotoviti formulo za molekulsko maso holesterola. Opazil je, da ima snov holesteril benzoat dve tališči nad prvim tališčem pri temperaturi C je snov postala tekoča in motna, nad drugim tališčem pa je motnost izginila. Vmesno fazo so kasneje poimenovali tekočekristalna faza (slika 1) [2]. Slika 1: Trdna faza (a), tekočekristalna faza (b), tekoča faza (c) [3]. Značilna lastnost tekočekristalne faze je orientacijski red molekul, ki v povprečju kažejo v skupno smer v smer direktorja n. Stopnjo urejenosti snovi izrazimo s količino S: 2

4 S = 1 3 cos θ 2 1, (1) 2 kjer je θ povprečna vrednost kota med direktorjem in daljšo osjo molekule (slika 2) [2]. Slika 2: Naklon mezogena glede na direktor [3]. Različne razporeditve molekul ustvarjajo pozamezne mezofaze (slika 3): Slika 3: Nematska faza (levo), smektična faza (sredina), kiralno nematska faza (desno) [4]. 3 TEKOČEKRISTALNI POLIMERI Tekočekristalni polimeri so snovi, ki zdužujejo lastnosti polimerovi in tekočih kristalov. To povzroči povezava mezogenov v verige. Lega mezogenov močno vpliva na vrsto tekočekristalnega polimera. Mezogeni se lahko vežejo v glavno verigo (slika 4 zgoraj) ali pa se vežejo prečno kot stranske verige (slika 4 spodaj). 3

5 Slika 4: Mezogeni na polimerni verigi - vezani v glavno verigo (zgoraj), vezani na stransko verigo (spodaj) [3] Togi mezogeni, vključeni v osnovno polimerno verigo, se lahko orientirajo podobno kot navadni tekoči kristali in tako se obdržijo tudi njihove lastnosti. Polimerne verige so lahko sestavljene ali iz samih aromatskih obročev togih delov (slika 5) ali pa so togi deli v glavni verigi med seboj sklopljeni z gibljivimi vezmi. Slika 5: Polimerna veriga iz aromatskih obročev [3] Na sliki 6 je ta vez metilen. Gibljive vezi med mezogeni omogočajo lažjo razporeditev polimerov v tekočekristalne faze [3]. Slika 6: Gibljiva polimerna veriga [3]. Polimeri z mezogeni, vezanimi v glavni verigi, imajo pogosto tekočekristalno območje nad temperaturo, pri kateri se polimeri že razkrojijo. Temperaturno 4

6 območje tekočekristalnih lastnosti je veliko širše, če so mezogeni vezani prečno kot stranske verige na glavni verigi. Pri tovrstnih polimerih je zelo pomembna tudi oblika glavne verige. Polimeri s togimi glavnimi verigami imajo visoke temperature steklastega prehoda in tako je težko opazovati tekočekristalne lastnosti snovi. Temperatura steklastega prehoda je tem nižja, čim bolj gibljiva je glavna veriga [3]. Nad temperaturo steklastega prehoda so polimeri viskozne tekočine, pod njo pa so trdni, vendar v tistem temperaturnem območju nimajo nobenega dolgosežnega molekulskega reda [5]. Mezogen je sestavljen iz dveh ali več aromatskih obročev in povezan na glavno verigo z metilensko vezjo (slika 7) Temperatura steklastega prehoda je v večini primerov odvisna od dolžine vezi t.j. od števila metilenskih grup. Snovi s kratkimi vezmi tvorijo nematske faze, tiste z daljšimi vezmi pa smektične [3]. Slika 7: Gibljiva metilenska vez med togimi aromatskima obročema [3]. Trdna in stabilna struktura tekočekristalnih polimerov omogoča izdelavo industrijskih materialov, ki so zelo stabilni v skrajnih razmerah. Primer je kevlar, iz katerega izdelujejo neprebojne jopiče, nomex, ki je negorljiv, najlon, ki prenese velike obremenitve [6], gore-tex, ki je vodoodporen [7]... 4 ELASTOMERI Elastomeri so amorfni polimeri, ki se lahko raztezajo in nato sprostijo v začetno obliko nad temperaturo steklastega prehoda, pod njo pa so trdni. Polimerne verige so med seboj povezane s kovalentnimi mostovi. nenapetem stanju so verige naključno zvite (slika 8a) in se zravnajo, ko elastomer raztegnemo (slika 8b). V Slika 8: Elastomerne verige nenapete (a), napete (b), Črne pike ponazarjajo kovalentne mostove To povzroči manj naključno razporeditev verig in s tem manjšo entropijo snovi. Zaradi zmanjšanja entropije pa nastopi sila, ki vrne predmet v začetno obliko. Mehanizem elastičnosti elastomerov je odvisen samo od velikosti sile, ki se je pojavi zaradi spremembe entropije. To pokaže enostaven izračun. 5

7 Zunanja sila F opravi delo, ko raztegne elastomer za dolžino dl pri konstantni temperaturi T: dw = Fdl. (2) V prvi zakon termodinamike du = dw +TdS vstavimo izraz (2) in ga odvajamo po dolžini l pri konstantni temperaturi T: ( ) ( ) U S = F + T l l T T Iz diferenciala proste energije F = U TS: sledi ter (3) df = du SdT TdS = Fdl SdT, (4) F = ( ) F l T in S = ( ) F T l (5) ( ) ( ) S F =, (6) l T T l ( ) ( ) U F = F T. (7) l T T Meritve so pokazale, da sila, ki je potrebna, da zadržimo elastomer pri stalni napetosti, sorazmerna z absolutno temperaturo. Izraz (8) vstavimo v izraz (7) ( ) U l T = F T l F = αt (8) ( ) F = F αt = 0. (9) T l Notranja energija je pri konstantni temperaturi neodvisna od dolžine elastomera [8]. Kovalentni mostovi preprečijo gibanje verig ene mimo druge, ko je snov raztegnjena in tako zvišajo mejno napetost, pri kateri nastopi plastična deformacija. Ob ohlajanju postanejo elastomeri steklasti in delno kristalizirajo, vendar samo za nekaj odstotkov, saj je neurejenost verig ena njihovih ključnih značilnosti. Pri ohladitvah pod temperaturo steklastega prehoda pa postanejo drobljivi. Ob segrevanju se ne morejo utekočiniti zaradi povezav med verigami. V industriji izkoriščajo velike razteznosti elastomerov in jih tudi ojačajo z vulkanizacijo (slika 9). Vulkanizacija je ojačanje elastičnih lastnosti elastomerov v širokem temperaturnem območju z ustvarjanjem mrežnih povezav 6

8 med verigami. Te se lahko tvorijo s perokosidi, ioniziranim sevanjem, najbolj običajno pa z žveplom ali žveplenimi spojinami [9]. Slika 9: Primerjava med elastičnostjo vulkanizirane in nevulkanizirane gume [9] 5 TEKOČEKRISTALNI ELASTOMERI V naslednjih odstavkih bomo opisali nekaj značilnih fizikalnih lastnosti za posameznih vrst tekočekristalnih elastomerov. NEMATSKI ELASTOMERI Nematski elastomeri so elastične snovi z makroskopskimi lastnostimi nematskih tekočih kristalov (slika 10). So amorfne trdne snovi. Zanimiva značilnost nematskih elastomerov je, da mikroskopske spremembe lahko povzročijo makroskopske, kar je ravno obratno od tistega, kar je velja za običajne elastomere [1].V naslednjih odstavkih so našteti trije pojavi, ki nastanejo zaradi povezav med nematsko orientacijo in elastičnostjo. Slika 10: Nematski elastomer mezogeni na osnovni verigi so vsi orientirani v eno smer, rdeče črte so kovalentne povezave med verigami [10]. 7

9 TOPLOTNO-MEHANSKI POJAV Ureditev tekočih kristalov na molekularnem ravni v enodomenskem nematskem elastomeru ustvari anizotropno obliko makroskopskega vzorca snov se enoosno raztegne tudi do 400% (slika 11) [1]. Anizotropija je prisotna, dokler mezogeni tvorijo nematsko fazo, ki izgine pri temperaturi T ni, T ni 79 C pri azobenzenu, kjer je fazni prehod iz nematske in izotropno fazo. Razmerje med dolžino polimera v izotropni fazi L 0 in v nematski fazi L označuje λ = L/L 0. Temperaturna odvisnost λ(t) je prikazana na sliki 12 levo in jo opisuje zveza λ = 1 + α [1 T/T ni ] ξ, (10) kjer sta α in ξ snovni konstanti. Kritični eksponent ξ je za večino nematskih elastomerov med 0.1 in 0.4 [12]. Slika 11: Ob segrevanju se elastomer razširi, ker se mezogeni orientirajo v smer direktorja n [1] Če nematski elastomer togo vpnemo, ob spremembah temperature ne spreminja oblike, ampak deluje s silo na stene, med katere je vpet. Potem pri nizkih temperaturah opazimo, da snov deluje na stene s silo, ki je sorazmerna notranjim napetostim v snovi, ki se prosto razteguje. V bližini faznega prehoda to sorazmerje izgine, ker izginja tudi nematska ureditev, ki prispeva, k sili, ki deluje na stene. Levi graf na sliki 12 opisuje relativni raztezek nematskega elastomera ob segrevanju. V nematski fazi se raztegne v tisto smer, kamor kaže direktor nematske orientacije, pri temperaturi prehoda v izotropno fazo, ki je označeno s puščico, pa se zelo hitro skrči. Desni graf na sliki 12 opisuje silo, s katero deluje vpet nematski elastomer na stene, tanjša črta opisuje negativno vrednost iz grafa na levi. Primerjava teh dveh črt pokaže, da velja sorazmerje pri nizkih temperaturah, ki izgine blizu faznega prehoda [7,8]. 8

10 Slika 12: Levi graf opisuje relativni raztezek nematskega elastomera ob segrevanju. V nematski fazi se raztegne v tisto smer, kamor kaže direktor nematske orientacije, pri temperaturi prehoda v izotropno fazo, ki je označeno s puščico, pa se zelo hitro skrči. Desni graf opisuje silo, s katero deluje vpet nematski elastomer na stene, tanjša črta opisuje negativno vrednost iz grafa na levi. Primerjava teh dveh črt pokaže, da velja sorazmerje pri nizkih temperaturah, ki izgine blizu faznega prehoda [11]. Ta toplotnomehanski pojav, ko v bližini faznega prehoda tekočekristalna snov izgubi anizotropijo in se skrči, se je izkazal kot praktično uporaben na več področjih. Kompozit nematskega elastomera in navadnega izotropnega elastomera, ki je na nematskega nanešen kot prevleka, se toplotnih spremembah ukrivlja podobno kot bimetalni trak (slika 13) [13]. S segrevanjem se nematski elastomer približuje izotropni fazi, tekočekristalna urejenost začne izginjati in se vzorec začne krčiti. Slika 13: Kompozit nematskega elastomera in navadnega izotropnega elastomera se ob segrevanju ukrivlja [13]. 9

11 Hitre spremembe v velikosti pri faznem prehodu iz nematske v izotropno fazo in dejstvo, da se ta prehod da vzbuditi na tudi z obsevanjem s svetlobo in z zunanjim električnim poljem, pomenita, da so nematski elastomeri primerni za izdelavo umetnih mišic. Izdelujejo jih iz tribločnega kopolimera RNR [14], ki je sestavljen iz nematskega elastomera v sredini (N) in dveh izotropnih elastomerov ob straneh (R) (slika 14). Tribločna struktura je pomembna, da se obdrži enodomenska nematska struktura, saj bi molekule ob krčenjih in širjenjih lahko zdrsele in se tako naključno orientirale po snovi. Slika 14: Polimerna umetna mišica (b) sestavljena s tribločnimi kopolimernimi verigami, ki jih sestavlja nematski elastomer (N) in izotropen elastomer (R) [14]. Poskusi z vzrocem velikosti 1, 5 3 cm in debelino µm so pokazali, da se umetna mišica skrči okoli 35-45% v smeri direktorja in se je ustvari tlak 210 kpa [14]. SVETLOBNO-MEHANSKI POJAV Za nematske elastomere so značilni tudi izraziti svetlobno-mehanski pojavi, ki vplivajo na nematsko ureditev s spreminjanjem izomerije. Paličasti mezogeni se lahko ukrivijo, ko absorbirajo foton ustrezne valovne dolžine [12]. Fotoizomerizacija je proces, ko se po absorbciji svetlobe zamenjata cis in trans izomeriji (slika 15). Pri tekočih kristalih se najpogosteje spreminja orientacijo dvojne dušikove vezi. 10

12 Slika 15: Prehod med cis in trans izomerijo na dvojni dušikovi vezi se zgodi pod vplivom svetlobe z določeno frekvenco [12]. Ko je dušikova vez v trans stanju, so mezogeni ravni. Sprememba izomerije v cis stanje zmanjša nematski red (slika 16) v snovi in zniža temperaturo faznega prehoda. Resonančna valovna dolžina za prehod trans cis je 365 nm in za prehod cis trans pri azobenzenu je 465 nm. Slika 16: Fazni prehod iz nematske faze v izotropno po spremembah izomerije snovi nastopi pri nižji temperaturi zaradi večjega nereda v sistemu [12]. Amplituda odziva svetlobno vzbujene trans cis izomerizacije je tem bolj strma, čim bližja je njegova temperatura temperaturi faznega prehoda T ni (slika 17 levo). Pravtako je hitrejša relaksacija nazaj v trans stanja pri višjih temperaturah (slika 17 desno) [11]. 11

13 Slika 17: Raztezanje nematskega elastomera ob osvetljevanju (levo), relaksacija po prenehanju osvetljevanja (desno). Pri raztezanju in relaksaciji je potrebno več deset minut, da snov doseže končno obliko [11]. MEHKA ELASTIČNOST Rotacije nematskega direktorja povzročijo pojav, ki se imenuje mehka elastičnost. Tekočekristalni elastomeri so zelo gibljivi na molekularni ravni, zato se direktor lahko obrne že pri majhnih mehanskih napetostih. Rotaciji direktorja sledijo tudi verige. Vendar oblika porazdelitve verig in s tem entropija ostane nespremenjena. Prosta energija se ne poveča, kljub temu da je prišlo do netrivialne deformacije (slika 18)[1]. Slika 18: Direktor n 0, označen s puščico, v nematskem elastomeru (paralelpiped) se obrne za π/2 v lego n in verige (elipsoid) mu sledijo [1]. SMEKTIČNI ELASTOMERI Vse smektične mezofaze tekočih kristalov (slika 19) najdemo tudi v obliki elastomerov. Plastovita struktura smektičnih tekočekristalnih polimerov vpliva na makroskopske lastnosti snovi. 12

14 Slika 19: Smektični elastomer povezava plastovite strukture smektičnih tekočih kristalov v polimerne verige, ki so medseboj povezane s kovalentnimi mostovi, ki so na sliki označeni rdeče [15]. ELASTIČNE LASTNOSTI V smektičnih A elastomerih odziv na zunanje sile ni izotropen kot pri navadnih elastomerih. Elastični modul v smeri normalno na smektične plasti je zelo majhen, zato so deformacije prisotne samo v dveh dimenzijah. Raztezanje v smeri vzporedno s smektičnimi plastmi se zato kompenzira samo s tanjšanjem smektičnih plasti (slika 20), kar potrdi sprememba barve filma, ki se spremeni zaradi različnih odbojev na tanki plasti [15]. Slika 20: Smektični A elastomer neraztegnjen (a), raztegnjen za 43%, kar pokaže tudi sprememba barve (b), raztegnjen smektični film med dvema prekrižanima polarizatorjema, ker skoznje ne gre nič svetlobe, sklepamo da anizotropija v raztegnjenem stanju izgine (c in d) [15] Izotropni elastomeri so nestisljivi, zato je njihovo Poissonovo število ν = 1/2. Podobno velja za smektične elastomere, kar se vidi tudi grafa na sliki 21, ki primerja relativno tanjšanje filma v odvisnosti od raztezkov, izmerjenih na dveh delih filma, s teoretičnim rezultatom z idealno nestisljivo snovjo, ki ima Poissonovo število ν = 1/2 [16]. 13

15 Slika 21: Tanjšanje smektičnega filma v odvisnosti od raztezanja [16]. Lastnost je reverzibilna, zato je najverjetnejša razlaga, da se ob krčenju mezogeni naključno nagnejo (slika 22a) ter smektične plasti se medseboj prepletejo (slika 22b). Anizotropija v raztegnjenem stanju izgine, saj snov ni več dvolomna, kot pokaže pregled snovi med dvema prekrižanima polarizatorjema (slika 20c, d). Slika 22: Ob raztegovanju smektičnega filma v smeri vzporedno s smektičnimi plastmi se debelina filma stanjša. Deformacije so reverzibilne, zato sta tanjšanje najverjetneje povzročita naslednja dva mehanizma povečanje naklona mezogenov (a), prehodi med smektičnimi plastmi ob raztegovanju smektičnega filma (b) [15] ELEKTROKLINIČNI POJAV S segrevanjem smektičnega elastomera se v smektični C fazi debelina vzorca začne povečevati. To razloži dejstvo, da je naklon mezogenov odvisen od temperature, ki se manjša s približevanjem smektični A mezofazi, kjer so mezogeni razporejeni pravokotno glede na plast (slika 23) [17]. Zaradi feroelektričnih lastnosti smektične C faze se lahko naklon mezogenov spreminja tudi z zunanjim električnim poljem (slika 24) in posredno debelina snovi. 14

16 Slika 23: Temperaturna odvisnost debeline smektičnega elastnomernega filma, ob prehodu iz SmC v SmA fazo se debelina poveča, ker se mezogeni razporedijo pravokotno na plast [17]. Elastični moduli smektičnih elastomerov so veliko manjši od keramičnih piezoelektrikov, kar bi se dalo ugodno izkoristiti, saj bi tako bile mehanske spremembe neprimerno večje. Meritve so pokazale, da se je pri 75 nm debelem vzorcu pod vplivom zunajega električnega polja 1.5 MV/m spremenila debelina vzorca za 3%, kar je veliko več, kot zmorejo aktualni piezoelektriki [19]. Slika 24: Elektroklinični pojav pod vplivom zunanjega električnega polja se mezogeni nagnejo [18]. Snov je najbolj občutljiva za zunanje vplive pri temperaturi, ki je blizu prehoda iz smektične C v smektično A fazo. Debelina smektične plasti d je odvisna od naklona direktorja glede na normalno plast. Nakloni so zelo majhni, zato si lahko pomagamo s približkom: d(θ) = d 0 cos θ d 0 ( θ2 ) (11) Elektrostrikcijo težko izmerimo, saj so vzorci zelo tanki, zato z Michelsonovim interferometrom merijo fazne zamike svetlobe, ki gre skozi vzorec. Sprememba naklona je linerno odvisna od spremembe jakosti zunanjega električnega polja, θ = αe, (12) δd d = 1 2 θ2 = α 2 E2, (13) kar potrdijo tudi meritve (slika 25). 15

17 Slika 25: Relativna sprememba debeline in širine smektičnega elastomera je kvadratno odvisna od jakosti zunanjega električnega polja, kar pokaže linearen odziv, če na absciso nanesemo kvadrat jakosti električnega polja [18]. KIRALNO NEMATSKI ELASTOMERI Kiralno nematski elastomeri imajo zelo zanimive optične lastnosti. V kiralno nematskem tekočem kristalu dve značilni lastnosti: periodičnost vijačne strukture nematskih plasti, ki jo opišemo z naklonom p in dvolomnost n, ki sta hkrati značilni za to snov, onemogočata prehod krožno polarizirane svetlobe pri dani valovni dolžini [20]. λ odboj = p n (14) Selektivno odbojnost λ odboj lahko nastavimo z mehanskimi deformacijami snovi. Ta lastnost je uporabna za izdelavo optičnih filtrov in ogledal. Mehanski raztegi pravkotno na smer vijačnice spremenijo valovno dolžino svetlobe, ki jo sistem odbije (slika 26). Slika 26: Odboji različnih valovnih dolžin svetlobe od kiralno nematskega elastomera, pri različnih napetostih. Mehanski raztegi pravkotno na smer vijačnice spremenijo valovno dolžino svetlobe, ki jo sistem odbije. [21] 16

18 Vnos barvil (dichroic dye) v kiralno nematske elastomere povzroči, da se spremeni naklon vijačnice in s tem valovna dolžina odbite svetlobe (slika 27), ko so izpostavljeni UV svetlobi ali zunanjemu električnemu polju. To lasnost so izkoristili pri izdelavi samo zameglitvenih vizorjev za pilote reaktivcev, danes pa so na voljo že v prostem trgu. Nekateri primeri so samozatemnitvena očala, feroelektrične zaslonke, okna z UV zaščito, oblačila, s tkanino, ki spremeni barvo ob spremembi osvetlitve (sliki 28, 29) [22]. Slika 27: Prepustno stanje (zgoraj), zatemnejeno stanje (spodaj), kiralno nematski elastomer je rumene barve, barvilo rdeče [23]. Slika 28: Samozatemnitvena očala [22] Slika 29: Rob obleke iz tekočekristalnega elastomera sprememni barvo iz svetle v temno ob spremembi osvetlitve [22]. 17

19 6 ZAKLJUČEK V tem seminarju smo opisali nekaj fizikalnih značilnosti tekočekristalnih elastomerov. Obstaja jih še veliko več. Nekatere lastnosti se že na veliko izkoriščajo v industriji, nekatere pa je potrebno še natančneje raziskati. Največji potencial tekočekristalnih elastomerov je v njihovi vlogi kot aktuator, saj se na mnogo različnih zunanjih vplivov odzovejo z mehanskimi spremembami. Centimetrski vzorci so požročili tlake reda sto kpa, kar pomeni velike sile. Vendar pa ti fazni prehodi potekajo večinoma pri temperaturah veliko nad sobno, stalno segrevanje pa zahteva veliko energije in lahko slabo vpliva na delovanje ostalih členov sistema. Ker kot aktuatorji tudi ne potrebujejo nobenih dodatnih napajanj, preizkušajo njihovo uspešnost delovanja v na mikrometrskem nivoju, posebno pri mikroelektronskih mehanskih sistemih (MEMS). 18

20 7 LITERATURA [1] M. Warner in E. M. Terentjev, Liquid Crystal Elastomers (Oxford University Press, Oxford, 2003). [2] Liquid Crystals [3] Liquid Crystals Virtual Textbook maj 2008 [4] %20mayeefr.htm, maj 2008 [5] The Glass Transition in Polymers, Department of Materials Science and Metallurgy, University of Cambridge maj 2008 [6] DuPont maj 2008 [7] Gore-Tex maj 2008 [8] D. Bower, An Introduction To Polymer Physics (Cambridge University Press, Cambridge, 2002). [9] W.D Callister, Materials Science and Engineering, An Introduction (John Wiley and Sons, New York, 1999). [10] Universal states in nematic elastomers maj 2008 [11] J. Cviklinski, A. R. Tajbakhsh in E. M. Terentjev, Eur. Phys. J. E 9, 427 (2002). [12] P. M. Hogan, A. R. Tajbakhsh in E. M. Terentjev, Phys. Rev. E 65, (2002). [13] N. Assfalg, H. Finkelmann, KGK Kautschuk Gummi Kunststoffe 52. Jahrgang, 679 (1999) [14] M. H. Li, P. Keller, Phil. Trans. R. Soc. A 364, 2763 (2006). [15] R. Stannarius, V. Aksenov, J. Blaesig, A. Krost, M. Roessle in R. Zentel, Phys. Chem. Chem. Phys. 8, 2293 (2006). [16] V. Aksenov, J. Blaesing, M. Roessle, R. Stannarius, R. Zentel, Strain Induced Compression of Smectic-A Layers in Free Standing Liquid Crystalline Elastomer Films maj 2008 [17] R. Stannarius, R. Koehler, U. Dietrich, M. Loesche, C. Tolksdorf in R. Zentel, Phys. Rev. E 65, (2002). [18] Smectic Elastomers maj 19

21 2008 [19] R. Koehler, R. Stannarius, C. Tolksdorf, R. Zentel, Appl. Phys. A 80, 381, (2005). [20] P. Cicuta, A. R. Tajbakhsh in E. M. Terentjev, Phys. Rev. E 65, (2002). [21] The Finkelmann group, Albert-Ludwigs Universtaet Freiburg maj 2008 [22] AlphaMicron maj 2008 [23] ChemFiles maj

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a

Διαβάστε περισσότερα

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,

Διαβάστε περισσότερα

Tretja vaja iz matematike 1

Tretja vaja iz matematike 1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma

Διαβάστε περισσότερα

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK 1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24

Διαβάστε περισσότερα

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre

Διαβάστε περισσότερα

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 12. junij 2015 SPLOŠNA MATURA

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 12. junij 2015 SPLOŠNA MATURA Državni izpitni center *M543* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek,. junij 05 SPLOŠNA MATURA RIC 05 M543 M543 3 IZPITNA POLA Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor

Διαβάστε περισσότερα

Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM

Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Fakulteta za elektrotehniko 1 Slika 7. 2: Principielna shema regulacije AM v KSP Fakulteta za elektrotehniko 2 Slika 7. 3: Merjenje komponent fluksa s

Διαβάστε περισσότερα

8. Diskretni LTI sistemi

8. Diskretni LTI sistemi 8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.

Διαβάστε περισσότερα

Fazni diagram binarne tekočine

Fazni diagram binarne tekočine Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,

Διαβάστε περισσότερα

TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ ( )

TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ ( ) TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ (17. 12. 03) Pazljivo preberite besedilo vsake naloge! Naloge so točkovane enakovredno (vsaka 25%)! Pišite čitljivo! Uspešno reševanje! 1. Deformiranje telesa je podano s poljem

Διαβάστε περισσότερα

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu. Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Novi Gorici Fakulteta za znanosti o okolju Okolje (I. stopnja) Meteorologija 2013/2014. Energijska bilanca pregled

Univerza v Novi Gorici Fakulteta za znanosti o okolju Okolje (I. stopnja) Meteorologija 2013/2014. Energijska bilanca pregled Univerza v Novi Gorici Fakulteta za znanosti o okolu Okole (I. stopna) Meteorologia 013/014 Energiska bilanca pregled 1 Osnovni pomi energiski tok: P [W = J/s] gostota energiskega toka: [W/m ] toplota:q

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike uvod

Osnove elektrotehnike uvod Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.

Διαβάστε περισσότερα

Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare

Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo Laboratorij za termoenergetiko Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare po modelu IAPWS IF-97 izračunano z XSteam Excel v2.6 Magnus Holmgren, xsteam.sourceforge.net

Διαβάστε περισσότερα

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke

Διαβάστε περισσότερα

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d) Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2

Διαβάστε περισσότερα

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij): 4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n

Διαβάστε περισσότερα

1. Trikotniki hitrosti

1. Trikotniki hitrosti . Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )

Διαβάστε περισσότερα

PROCESIRANJE SIGNALOV

PROCESIRANJE SIGNALOV Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:

Διαβάστε περισσότερα

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor, Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),

Διαβάστε περισσότερα

POROČILO. št.: P 1100/ Preskus jeklenih profilov za spuščen strop po točki 5.2 standarda SIST EN 13964:2004

POROČILO. št.: P 1100/ Preskus jeklenih profilov za spuščen strop po točki 5.2 standarda SIST EN 13964:2004 Oddelek za konstrkcije Laboratorij za konstrkcije Ljbljana, 12.11.2012 POROČILO št.: P 1100/12 680 01 Presks jeklenih profilov za spščen strop po točki 5.2 standarda SIST EN 13964:2004 Naročnik: STEEL

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA Državni izpitni center *M16141113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek, 1. junij 16 SPLOŠNA MATURA RIC 16 M161-411-3 M161-411-3 3 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor

Διαβάστε περισσότερα

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva

Διαβάστε περισσότερα

2.1. MOLEKULARNA ABSORPCIJSKA SPEKTROMETRIJA

2.1. MOLEKULARNA ABSORPCIJSKA SPEKTROMETRIJA 2.1. MOLEKULARNA ABSORPCJSKA SPEKTROMETRJA Molekularna absorpcijska spektrometrija (kolorimetrija, fotometrija, spektrofotometrija) temelji na merjenju absorpcije svetlobe, ki prehaja skozi preiskovano

Διαβάστε περισσότερα

Pakiranje dolgega nematskega polimera v sferi

Pakiranje dolgega nematskega polimera v sferi Seminar I b - 1. letnik, II. stopnja Pakiranje dolgega nematskega polimera v sferi Rok Grah Mentor: doc. dr. Daniel Svenšek Ljubljana, maj 2014 Povzetek Seminar opisuje modeliranje kondenzata dolge nematske

Διαβάστε περισσότερα

+105 C (plošče in trakovi +85 C) -50 C ( C)* * Za temperature pod C se posvetujte z našo tehnično službo. ϑ m *20 *40 +70

+105 C (plošče in trakovi +85 C) -50 C ( C)* * Za temperature pod C se posvetujte z našo tehnično službo. ϑ m *20 *40 +70 KAIFLEX ST Tehnični podatki Material Izjemno fleksibilna zaprtocelična izolacija, fleksibilna elastomerna pena (FEF) Opis Uporaba Temperaturno območje Toplotna prevodnost W/(m K ) pri različnih srednjih

Διαβάστε περισσότερα

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotni funkciji sinus in kosinus Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje

Διαβάστε περισσότερα

Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II

Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH

Διαβάστε περισσότερα

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,

Διαβάστε περισσότερα

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor

Διαβάστε περισσότερα

Logatherm WPL 14 AR T A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013

Logatherm WPL 14 AR T A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013 WP 14 R T d 9 10 11 53 d 2015 811/2013 WP 14 R T 2015 811/2013 WP 14 R T Naslednji podatki o izdelku izpolnjujejo zahteve uredb U 811/2013, 812/2013, 813/2013 in 814/2013 o dopolnitvi smernice 2010/30/U.

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORJI. Operacije z vektorji

VEKTORJI. Operacije z vektorji VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,

Διαβάστε περισσότερα

CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25

CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 1 2 3 4 5 6 7 OFFMANAUTO CM707 GR Οδηγός χρήσης... 2-7 SLO Uporabniški priročnik... 8-13 CR Korisnički priručnik... 14-19 TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 ENG User Guide... 26-31 GR CM707 ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

NAVOR NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU

NAVOR NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU NAVOR NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU Equatio n Section 6Vsebina poglavja: Navor kot vektorski produkt ročice in sile, magnetni moment, navor na magnetni moment, d'arsonvalov ampermeter/galvanometer.

Διαβάστε περισσότερα

Snov v električnem polju. Električno polje dipola (prvi način) Prvi način: r + d 2

Snov v električnem polju. Električno polje dipola (prvi način) Prvi način: r + d 2 Snov v lktričnm polju lktrično polj ipola (prvi način) P P - Prvi način: z r = r Δr r = r Δr Δr Δ r - r r r r r r Δr rδr =, = 4πε r r 4πε r r r r = r cos, r r r = r cos. r Vlja: = cos, r r r r r = cos,

Διαβάστε περισσότερα

vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov. 6. vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov. 6. vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov

vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov. 6. vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov. 6. vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov 28. 3. 11 UV- spektrofotometrija Biuretska metoda Absorbanca pri λ=28 nm (A28) UV- spektrofotometrija Biuretska metoda vstopni žarek intenziteta I Lowrijeva metoda Bradfordova metoda Bradfordova metoda

Διαβάστε περισσότερα

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov

Διαβάστε περισσότερα

GEL ELEKTROFOREZA. Seminar pri predmetu Molekularna Biofizika. Avtorica: Tjaša Parkelj

GEL ELEKTROFOREZA. Seminar pri predmetu Molekularna Biofizika. Avtorica: Tjaša Parkelj GEL ELEKTROFOREZA Seminar pri predmetu Molekularna Biofizika Avtorica: Tjaša Parkelj Povzetek: V tem seminarju bom predstavila fizikalno ozadje elektroforeze. Začela bom z opisom gibanja nabitega delca

Διαβάστε περισσότερα

11. Valovanje Valovanje. = λν λ [m] - Valovna dolžina. hitrost valovanja na napeti vrvi. frekvence lastnega nihanja strune

11. Valovanje Valovanje. = λν λ [m] - Valovna dolžina. hitrost valovanja na napeti vrvi. frekvence lastnega nihanja strune 11. Valovanje Frekvenca ν = 1 t 0 hitrost valovanja c = λ t 0 = λν λ [m] - Valovna dolžina hitrost valovanja na napeti vrvi frekvence lastnega nihanja strune interferenca valovanj iz dveh enako oddaljenih

Διαβάστε περισσότερα

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva

Διαβάστε περισσότερα

primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE

primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE Reševanje mehanskih problemov z MKE primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE p p RAK: P-XII//74 Reševanje mehanskih problemov z MKE primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE L

Διαβάστε περισσότερα

3. VAJA IZ TRDNOSTI. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e Pomik v prostorskem opisu: u = ey e. e y,e z = e z.

3. VAJA IZ TRDNOSTI. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e Pomik v prostorskem opisu: u = ey e. e y,e z = e z. 3. VAJA IZ TRDNOSTI (tenzor deformacij) (pomiki togega telesa, Lagrangev in Eulerjev opis, tenzor velikih deformacij, tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji) NALOGA 1: Gumijasti

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUN MEHANSKIH PARAMETROV NADZEMNEGA VODA

IZRAČUN MEHANSKIH PARAMETROV NADZEMNEGA VODA Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko IZRAČUN MEHANSKIH PARAMETROV NADZEMNEGA VODA Seminar pri predmetu Razdelilna in industrijska omrežja Maja Mikec Profesor: dr. Grega Bizjak Študijsko leto

Διαβάστε περισσότερα

MERITVE LABORATORIJSKE VAJE. Študij. leto: 2011/2012 UNIVERZA V MARIBORU. Skupina: 9

MERITVE LABORATORIJSKE VAJE. Študij. leto: 2011/2012 UNIVERZA V MARIBORU. Skupina: 9 .cwww.grgor nik ol i c NVERZA V MARBOR FAKTETA ZA EEKTROTEHNKO, RAČNANŠTVO N NFORMATKO 2000 Maribor, Smtanova ul. 17 Študij. lto: 2011/2012 Skupina: 9 MERTVE ABORATORJSKE VAJE Vaja št.: 4.1 Določanj induktivnosti

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUN MEHANSKIH LASTNOSTI IN DEFORMACIJ ENOSTRANSKO IN DVOSTRANSKO VPETEGA NOSILCA

IZRAČUN MEHANSKIH LASTNOSTI IN DEFORMACIJ ENOSTRANSKO IN DVOSTRANSKO VPETEGA NOSILCA Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko IZRAČUN MEHANSKIH LASTNOSTI IN DEFORMACIJ ENOSTRANSKO IN DVOSTRANSKO VPETEGA NOSILCA Seminarska naloga pri predmetu Razdelilna in industrijska omrežja Maks

Διαβάστε περισσότερα

Polarizacija laserske svetlobe

Polarizacija laserske svetlobe Polarizacija laserske svetlobe Optični izolator izvedba z uporabo λ/4 retardacijske ploščice Odboj polarizirane svetlobe na meji zrak-steklo; Brewster-ov kot Definicija naloge predstavitev teoretičnega

Διαβάστε περισσότερα

vaja Izolacija kromosomske DNA iz vranice in hiperkromni efekt. DNA RNA Protein. ime deoksirbonukleinska kislina ribonukleinska kislina

vaja Izolacija kromosomske DNA iz vranice in hiperkromni efekt. DNA RNA Protein. ime deoksirbonukleinska kislina ribonukleinska kislina transkripcija translacija Protein 12. vaja Izolacija kromosomske iz vranice in hiperkromni efekt sladkorji deoksiriboza riboza glavna funkcija dolgoročno shranjevanje genetskih informacij prenos informacij

Διαβάστε περισσότερα

Če je električni tok konstanten (se ne spreminja s časom), poenostavimo enačbo (1) in dobimo enačbo (2):

Če je električni tok konstanten (se ne spreminja s časom), poenostavimo enačbo (1) in dobimo enačbo (2): ELEKTRIČNI TOK TEOR IJA 1. Definicija enote električnega toka Električni tok je gibanje električno nabitih delcev v trdnih snoveh (kovine, polprevodniki), tekočinah ali plinih. V kovinah se gibljejo prosti

Διαβάστε περισσότερα

reologija Andreja Zupančič Valant UL FKKT Katedra za kemijsko biokemijsko in ekološko inženirstvo

reologija Andreja Zupančič Valant UL FKKT Katedra za kemijsko biokemijsko in ekološko inženirstvo reologija Andreja Zupančič Valant UL FKKT Katedra za kemijsko biokemijsko in ekološko inženirstvo 1 Modul 2 Viskoelastično obnašanje strukturiranih tekočin Določanje viskoelastičnih lastnosti tekočin in

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Funkcije in enačbe

Matematika. Funkcije in enačbe Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana

Διαβάστε περισσότερα

diferencialne enačbe - nadaljevanje

diferencialne enačbe - nadaljevanje 12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne

Διαβάστε περισσότερα

Termodinamika vlažnega zraka. stanja in spremembe

Termodinamika vlažnega zraka. stanja in spremembe Termodinamika vlažnega zraka stanja in spremembe Termodinamika vlažnega zraka Najpogostejši medij v sušilnih procesih konvektivnega sušenja je VLAŽEN ZRAK Obravnavamo ga kot dvokomponentno zmes Suhi zrak

Διαβάστε περισσότερα

l 5 Levo: Površinski profil referenčne dolžine in dolžina vrednotenja; Desno: srednja linija profila

l 5 Levo: Površinski profil referenčne dolžine in dolžina vrednotenja; Desno: srednja linija profila referenčna linija profila l=l=l=l=l 1 2 3 4 5... referenčna dolžina l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l n dolžina vrednotenja Levo: Površinski profil referenčne dolžine in dolžina vrednotenja; Desno: srednja linija

Διαβάστε περισσότερα

Slika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici.

Slika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici. 4. poglavje: Sile 5. Cestna svetilka visi na sredi 10 m dolge žice, ki je napeta čez cesto. Zaradi teže svetilke (30 N) se žica za toliko povesi, da pride sredina za 30 cm niže kot oba konca. Kako močno

Διαβάστε περισσότερα

VAJE IZ NIHANJA. 3. Pospešek nihala na vijačno vzmet je: a. stalen, b. največji v skrajni legi, c. največji v ravnovesni legi, d. nič.

VAJE IZ NIHANJA. 3. Pospešek nihala na vijačno vzmet je: a. stalen, b. največji v skrajni legi, c. največji v ravnovesni legi, d. nič. VAJE IZ NIHANJA Izberi pravilen odgovor in fizikalno smiselno utemelji svojo odločitev. I. OPIS NIHANJA 1. Slika kaže nitno nihalo v ravnovesni legi in skrajnih legah. Amplituda je razdalja: a. Od 1 do

Διαβάστε περισσότερα

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:

Διαβάστε περισσότερα

MEHANSKE LASTNOSTI 1

MEHANSKE LASTNOSTI 1 MEHANSKE LASTNOSTI 1 MEHANSKE LASTNOSTI Mehanske lastnosti so tiste lastnosti snovi, ki določajo, kako se snov odzove na mehansko obremenitev. 4 najpogostejši poskusi za določanje mehanskih lastnosti snovi

Διαβάστε περισσότερα

17. Električni dipol

17. Električni dipol 17 Električni dipol Vsebina poglavja: polarizacija prevodnika (snovi) v električnem polju, električni dipolni moment, polarne in nepolarne snovi, dipol v homogenem in nehomogenem polju, potencial in polje

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE POLIMERNEGA INŽENIRSTVA. Izr. prof. dr. Urška Šebenik

OSNOVE POLIMERNEGA INŽENIRSTVA. Izr. prof. dr. Urška Šebenik OSNOVE POLIMERNEGA INŽENIRSTVA Izr. prof. dr. Urška Šebenik urska.sebenik@fkkt.uni-lj.si VSEBINA PREDAVANJ Uvod v polimere (zgodovina, lastnosti, uporabnost) Porazdelitev molekulskih mas in povprečja molekulskih

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije več spremenljivk

Funkcije več spremenljivk DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013 Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:

Διαβάστε περισσότερα

Osnove matematične analize 2016/17

Osnove matematične analize 2016/17 Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedna in vzporedna feroresonanca

Zaporedna in vzporedna feroresonanca Visokonapetostna tehnika Zaporedna in vzporedna feroresonanca delovanje regulacijskega stikala T3 174 kv Vaja 9 1 Osnovni pogoji za nastanek feroresonance L C U U L () U C () U L = U L () U C = ωc V vezju

Διαβάστε περισσότερα

Vaje: Električni tokovi

Vaje: Električni tokovi Barbara Rovšek, Bojan Golli, Ana Gostinčar Blagotinšek Vaje: Električni tokovi 1 Merjenje toka in napetosti Naloga: Izmerite tok, ki teče skozi žarnico, ter napetost na žarnici Za izvedbo vaje potrebujete

Διαβάστε περισσότερα

1. Newtonovi zakoni in aksiomi o silah:

1. Newtonovi zakoni in aksiomi o silah: 1. Newtonovi zakoni in aksiomi o silah: A) Telo miruje ali se giblje enakomerno, če je vsota vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo enaka nič. B) Če rezultanta vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo ni

Διαβάστε περισσότερα

Vaja: Odbojnostni senzor z optičnimi vlakni. Namen vaje

Vaja: Odbojnostni senzor z optičnimi vlakni. Namen vaje Namen vaje Spoznavanje osnovnih fiber-optičnih in optomehanskih komponent Spoznavanje načela delovanja in praktične uporabe odbojnostnega senzorja z optičnimi vlakni, Delo z merilnimi instrumenti (signal-generator,

Διαβάστε περισσότερα

- Geodetske točke in geodetske mreže

- Geodetske točke in geodetske mreže - Geodetske točke in geodetske mreže 15 Geodetske točke in geodetske mreže Materializacija koordinatnih sistemov 2 Geodetske točke Geodetska točka je točka, označena na fizični površini Zemlje z izbrano

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)

SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Praktična Matematika-VSŠ(BO) Komuniciranje v matematiki SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) Avtorica: Špela Marinčič Ljubljana, maj 2011 KAZALO: 1.Uvod...1 2.

Διαβάστε περισσότερα

VALOVANJE UVOD POLARIZACIJA STOJEČE VALOVANJE ODBOJ, LOM IN UKLON INTERFERENCA

VALOVANJE UVOD POLARIZACIJA STOJEČE VALOVANJE ODBOJ, LOM IN UKLON INTERFERENCA VALOVANJE 10.1. UVOD 10.2. POLARIZACIJA 10.3. STOJEČE VALOVANJE 10.4. ODBOJ, LOM IN UKLON 10.5. INTERFERENCA 10.6. MATEMATIČNA OBDELAVA INTERFERENCE IN STOJEČEGA VALOVANJA 10.1. UVOD Valovanje je širjenje

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,

Διαβάστε περισσότερα

Kvantni delec na potencialnem skoku

Kvantni delec na potencialnem skoku Kvantni delec na potencialnem skoku Delec, ki se giblje premo enakomerno, pride na mejo, kjer potencial naraste s potenciala 0 na potencial. Takšno potencialno funkcijo zapišemo kot 0, 0 0,0. Slika 1:

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:

Διαβάστε περισσότερα

13. poglavje: Energija

13. poglavje: Energija 13. poglavje: Energija 1. (Naloga 3) Koliko kilovatna je peč za hišno centralno kurjavo, ki daje 126 MJ toplote na uro? Podatki: Q = 126 MJ, t = 3600 s; P =? Če peč z močjo P enakomerno oddaja toploto,

Διαβάστε περισσότερα

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12 Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola

Διαβάστε περισσότερα

Poglavje 10. Molekule Kovalentna vez

Poglavje 10. Molekule Kovalentna vez Poglavje 10 Molekule Atomi se vežejo v molekule. Vezavo med atomi v molkuli posredujejo zunanji - valenčni elektroni. Pri vseh molekularnih vezeh negativni naboj elektronov posreduje med pozitinvimi ioni

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Kvantni fazni prehodi

Kvantni fazni prehodi Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar I a - 1. letnik II stopnja Kvantni fazni prehodi Avtor: Alen Horvat Mentor: prof. dr. Tomaž Prosen Ljubljana, 15. marec 2013 Povzetek V seminarju

Διαβάστε περισσότερα

1 Fibonaccijeva stevila

1 Fibonaccijeva stevila 1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1 Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Elektrooptični pojav

Elektrooptični pojav Elektrooptični pojav Uvod Močno zunanje električno polje znatno vpliva na strukturo snovi. V kristalih se denimo spremeni oblika osnovne celice, v tekočinah pride do orientacijskega urejanja molekul (podolgovate

Διαβάστε περισσότερα

Najprej zapišemo 2. Newtonov zakon za cel sistem v vektorski obliki:

Najprej zapišemo 2. Newtonov zakon za cel sistem v vektorski obliki: NALOGA: Po cesi vozi ovornjak z hirosjo 8 km/h. Tovornjak je dolg 8 m, širok 2 m in visok 4 m in ima maso 4 on. S srani začne pihai veer z hirosjo 5 km/h. Ob nekem času voznik zaspi in ne upravlja več

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA 29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,

Διαβάστε περισσότερα

SLIKA 1: KRIVULJA BARVNE OBČUTLJIVOSTI OČESA (Rudolf Kladnik: Osnove fizike-2.del,..stran 126, slika 18.4)

SLIKA 1: KRIVULJA BARVNE OBČUTLJIVOSTI OČESA (Rudolf Kladnik: Osnove fizike-2.del,..stran 126, slika 18.4) Naše oko zaznava svetlobo na intervalu valovnih dolžin približno od 400 do 800 nm. Odvisnost očesne občutljivosti od valovne dolžine je različna od človeka do človeka ter se spreminja s starostjo. Največja

Διαβάστε περισσότερα