Ακολουθίες και Σειρές Συναρτήσεων ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Εκπαιδευτικός Οργανισµός ΒΙΤΑΛΗ Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 10 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των α- κολουθιών και των σειρών πραγµατικών συναρτήσεων µίας πραγµατικής µεταβλητής. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. email: kkiritsis@vitali.gr 1
Κ. Κυρίτσης 2 Ακολουθίες και Σειρές Συναρτήσεων Περιεχόµενα 1 Ακολουθίες 3 1.1 Ορισµός.............................. 3 1.2 Οριο, Σύγκλιση, Οµαλή Σύγκλιση................ 3 1.3 Ιδιότητες............................. 3 1.3.1 Συνέχεια.......................... 3 1.3.2 Ολοκλήρωση....................... 3 1.3.3 Παραγώγιση........................ 4 2 Σειρές Συναρτήσεων 4 2.1 Ορισµός.............................. 4 2.2 Σύγκλιση, Οµαλή Σύγκλιση................... 4 2.3 Κριτήρια Σύγκλισης....................... 4 2.3.1 Κριτήριο του Weierstrass................. 5 2.3.2 Κριτήριο του Dirichlet.................. 5 2.4 Ιδιότητες............................. 5 2.4.1 Συνέχεια.......................... 5 2.4.2 Ολοκλήρωση....................... 6 2.4.3 Παραγώγιση........................ 6 3 υναµοσειρές 6 3.1 Ορισµός.............................. 6 3.2 Ακτίνα Σύγκλισης......................... 6 3.3 ιωνυµική Σειρά......................... 7 3.4 Παραγώγιση........................... 7 3.5 Ολοκλήρωση........................... 8
Κ. Κυρίτσης 3 Ακολουθίες και Σειρές Συναρτήσεων 1 Ακολουθίες 1.1 Ορισµός Οι ακολουθίες συναρτήσεων είναι ακολουθίες όπου πλέον ο κάθε όρος δεν είναι σταθερός αριθµός, αλλά συνάρτηση κάποιας (εν γένει πραγµατικής και συνεχούς) µεταβλητής x, f n (x). Θεωρούµε ότι οι συναρτήσεις f n (x) έχουν κοινό πεδίο ορισµού D. 1.2 Οριο, Σύγκλιση, Οµαλή Σύγκλιση Θα λέµε ότι η ακολουθία f n (x) συγκλίνει στην συνάρτηση f(x), εάν για κάθε ǫ > 0 υπάρχει αριθµός N, που εν γένει ϑα εξαρτάται τόσο από το ǫ, όσο και από το x, N = N(ǫ, x), έτσι ώστε για κάθε n > N, να είναι f n (x) f(x) < ǫ για κάθε x D. Θα λέµε ότι η ακολουθία f n (x) συγκλίνει οµαλά ή οµοιόµορφα στην συνάρτηση f(x) εάν το N του παραπάνω ορισµού εξαρτάται µόνο από το ǫ και όχι από το x. Ισοδύναµα η f n (x) ϑα συγκλίνει οµαλά αν και µόνο αν για κάθε ǫ > 0 υπάρχει N = N(ǫ) τέτοιο ώστε για κάθε n, m > N να είναι f n (x) f m (x) < ǫ για κάθε x D. 1.3 Ιδιότητες 1.3.1 Συνέχεια Αν η ακολουθία συναρτήσεων f n (x) ορισµένη στο D συγκλίνει οµαλά στην f(x) και lim f n(x) = a n x ξ για κάθε n, όπου ξ οριακό σηµείο του D, τότε lim f(x) = lim a n. (1) n x ξ Αν οι συναρτήσεις f n (x) είναι συνεχείς και συγκλίνουν οµαλά στην f(x), αυτή ϑα είναι συνεχής επίσης. 1.3.2 Ολοκλήρωση Αν οι συνεχείς συναρτήσεις f n (x) ορισµένες στο [a, b] συγκλίνουν οµαλά στην f(x), ϑα ισχύει ˆ b a f(x)dx = lim n ˆ b a f n (x)dx. (2)
Κ. Κυρίτσης 4 Ακολουθίες και Σειρές Συναρτήσεων 1.3.3 Παραγώγιση Εάν για την ακολουθία παραγωγίσιµων συναρτήσεων f n (x) στο [a, b] 1. η ακολουθία f n (ξ) συγκλίνει οµαλά για κάποιο ξ [a, b], 2. Η ακολουθία f n (x) συγκλίνει οµαλά στην g(x), τότε υπάρχει παραγωγίσιµη συνάρτηση f(x) στην οποία συγκλίνει οµαλά η f n (x) και g(x) = f (x). 2 Σειρές Συναρτήσεων 2.1 Ορισµός Εστω µια σειρά της οποίας κάθε όρος στο άθροισµα είναι συνάρτηση (εν γένει συνεχής) του πραγµατικού αριθµού x, f n (x). Αυτή η σειρά λέγεται σειρά συναρτήσεων. 2.2 Σύγκλιση, Οµαλή Σύγκλιση Ο ορισµός της σύγκλισης είναι ότι η σειρά ϑα συγκλίνει στην συνάρτηση S(x), και ϑα γράφουµε lim S n(x) = S(x), n όπου S n (x) = n k=1 f k(x) το n-µερικό άθροισµα, αν για κάθε ǫ > 0 υπάρχει N > 0, N = N(ǫ, x), τέτοιο ώστε S n (x) S(x) < N. Εάν το N του ορισµού εξαρτάται µόνο από το ǫ και όχι από το x, τότε λέµε ότι η σειρά συγκλίνει οµαλά ή οµοιόµορφα. 2.3 Κριτήρια Σύγκλισης Εφαρµόζονται τα ίδια κριτήρια σύγκλισης όπως και µε τις σειρές σταθερών όρων. Η διαφορά είναι ότι το αποτέλεσµα εξαρτάται από το x. Επιπλέον,
Κ. Κυρίτσης 5 Ακολουθίες και Σειρές Συναρτήσεων 2.3.1 Κριτήριο του Weierstrass Εστω µια ακολουθία ϑετικών αριθµών M n, τέτοια ώστε 1. f n (x) M n, n, 2. Τότε η σειρά συγκλίνει οµοιόµορφα. 2.3.2 Κριτήριο του Dirichlet Εστω ότι M n, συγκλίνει. a n (x) 1. a n ακολουθία ϑετικών σταθερών αριθµών, ϕθίνουσα και µηδενική, 2. υπάρχει σταθερά P τέτοια ώστε a x b Τότε η σειρά n f n (x) < P, n > N. k=1 a 1 f 1 (x) + a 2 f 2 (x) +... = συγκλίνει οµοιόµορφα στο [a, b]. a n f n (x) (3) 2.4 Ιδιότητες 2.4.1 Συνέχεια Αν η σειρά f n(x) συνεχών συναρτήσεων συγκλίνει οµαλά στην f(x), αυτή ϑα είναι συνεχής επίσης.
Κ. Κυρίτσης 6 Ακολουθίες και Σειρές Συναρτήσεων 2.4.2 Ολοκλήρωση Αν η σειρά f n(x) συνεχών συναρτήσεων ορισµένων στο [a, b] συγκλίνει οµαλά στην f(x), ϑα ισχύει 2.4.3 Παραγώγιση ˆ b a f(x)dx = ˆ b a f n (x)dx. (4) Εάν για την σειρά f n(x) παραγωγίσιµων συναρτήσεων στο [a, b] 1. η σειρά f n(ξ) συγκλίνει σε ένα (τουλάχιστον) ξ [a, b], 2. Η σειρά f n (x) συγκλίνει οµαλά, τότε και η σειρά f n(x) συγκλίνει οµαλά και είναι 3 υναµοσειρές 3.1 Ορισµός Μια σειρά της µορφής d dx f n (x) = df n dx. (5) a 0 + a 1 (x ξ) + a 2 (x ξ) 2 +... = a n (x ξ) n, όπου οι a 0, a 1, a 2,... είναι σταθερές, λέγεται σειρά δυνάµεων ή δυναµοσειρά µε κέντρο ξ. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας ϑα επικεντρωθούµε σε δυναµοσει- ϱές µε κέντρο ξ = 0. 3.2 Ακτίνα Σύγκλισης Μια δυναµοσειρά συγκλίνει για x < R και αποκλίνει για x > R, όπου R κάποιος πραγµατικός αριθµός ή άπειρο. Η περίπτωση x = R πρέπει να εξεταστεί ξεχωριστά για κάθε δυναµοσειρά. Ο αριθµός R λέγεται ακτίνα σύγκλισης. Για την ακτίνα σύγκλισης ισχύει ότι 1 R = lim sup n a n n=0
Κ. Κυρίτσης 7 Ακολουθίες και Σειρές Συναρτήσεων και R = lim n a n a n+1 Κάθε δυναµοσειρά συγκλίνει οµοιόµορφα και απόλυτα στο διάστηµα σύγκλισής της. Ισχύουν δε όλα τα παραπάνω περί σειρών. 3.3 ιωνυµική Σειρά Είναι η δυναµοσειρά µε a 0 = 1, a n =. m(m 1) (m n + 1). n! Αν m N τότε πρόκειται για το διώνυµο του Νεύτωνα. Η ακτίνα σύγκλισης της διωνυµικής σειράς είναι R = 1. Ισχύει ότι (1+x) m = 1+ m m(m 1) x+ x 2 m(m 1) (m n + 1) + + x n +. 1! 2! n! (6) 3.4 Παραγώγιση Είναι d dx a n x n = d dx (a nx n ) = na n x n 1 (7) για κάθε x ( R, R). R η ακτίνα σύγκλισης. Αυτό επεκτείνεται και σε ανώτερης τάξης παραγώγους, d m a dx m n x n d m = dx m(a nx n ) = n(n 1) (n m + 1)a n x n m (8) Για την δυναµοσειρά ισχύει ότι f(x) = a n x n a n = f(n) (0). (9) n! Αν για δύο συγκλίνουσες δυναµοσειρές είναι a n x n = b n x n για κάθε x ( r, r), τότε είναι a n = b n, n N.
Κ. Κυρίτσης 8 Ακολουθίες και Σειρές Συναρτήσεων 3.5 Ολοκλήρωση Για την σειρά f(x) = είναι ˆ β α f(x)dx = β n+1 α n+1 a n. (10) n + 1 για κάθε α, β ( R, R). R η ακτίνα σύγκλισης.
Κ. Κυρίτσης 9 Ακολουθίες και Σειρές Συναρτήσεων ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.
Κ. Κυρίτσης 10 Ακολουθίες και Σειρές Συναρτήσεων Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )
Κ. Κυρίτσης 11 Ακολουθίες και Σειρές Συναρτήσεων Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας www.vitali.gr και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ