Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 1.1 Στοιχειώδεις παρατηρήσεις.................... 3 1.2 + Ορισµός και άλγεβρα των µιγαδικών αριθµών........ 6 1.3 Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών αριθµών......... 11 1.4 Μέτρο και όρισµα του γινοµένου µιγαδικών αριθµών...... 14 1.5 Ρίζες µιγαδικών αριθµών..................... 16 1.6 Ακολουθίες µιγαδικών αριθµών. Το σηµείο άπειϱο ( ).... 17 1.6.1 Ακολουθίες µιγαδικών αριθµών.............. 18 1.6.2 Το κατ εκδοχή σηµείο άπειρο ( )......... 23 1.7 Ασκήσεις Κεφαλαίου 1...................... 25 1.7.1 Ανασκόπηση - Παρατηρήσεις............... 25 1.7.2 Λυµένες ασκήσεις..................... 26 1.7.3 Άλυτες ασκήσεις..................... 29 2 ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 33 2.1 Χρήσιµοι ορισµοί......................... 33 2.2 Ορισµός και παραδείγµατα συναρτήσεων µιας µιγαδικής µετα- ϐλητής.............................. 36 2.3 Στοιχειώδεις συναρτήσεις..................... 38 2.3.1 Πολυωνυµικές και ϱητές αλγεβρικές συναρτήσεις.... 38 2.3.2 Εκθετικές συναρτήσεις.................. 39 2.3.3 Τριγωνοµετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις..... 41 2.3.4 Λογάριθµοι........................ 43 2.3.5 Μη ϱητές δυνάµεις µιας µιγαδικής µεταβλητής..... 44 2.4 Σηµεία διακλαδώσεως, τοµές, επιφάνεια Riemann........ 45 2.4.1 Εισαγωγικά παραδείγµατα και ϐασικοί ορισµοί..... 45 2.4.2 Μονοσηµαντοποίηση πλειότιµων συναρτήσεων. Επιφάνειες Riemann................... 48

viii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2.4.3 Επιπρόσθετα παραδείγµατα............... 51 2.5 Χρησιµότητα των µιγαδικών αριθµών και συναρτήσεων..... 55 2.5.1 Μιγαδική παράσταση κύµατος.............. 56 2.5.2 Μιγαδική συχνότητα, κυµατοδιάνυσµα και δείκτης δια- ϑλάσεως.......................... 57 2.5.3 Η κυµατοσυνάρτηση ενός σωµατίου........... 58 2.5.4 Μιγαδική ενέργεια και µιγαδικό δυναµικό........ 59 2.6 Εφαρµογή στη Φυσική : Κύκλωµα συντονισµού σε σειρά... 62 2.7 Ασκήσεις Κεφαλαίου 2...................... 64 2.7.1 Ανασκόπηση - Παρατηρήσεις............... 64 2.7.2 Λυµένες ασκήσεις.................... 65 2.7.3 Άλυτες ασκήσεις..................... 68 3 ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 73 3.1 Παράγωγος µιγαδικής συναρτήσεως............... 73 3.2 Συνθήκες Cauchy - Riemann.................. 77 3.3 Παραδείγµατα αναλυτικών συναρτήσεων............ 82 3.4 Αρµονικές συναρτήσεις...................... 83 3.5 Εφαρµογή στη Φυσική - Τετραπολικός ϕακός......... 84 3.6 Ασκήσεις Κεφαλαίου 3...................... 86 3.6.1 Ανασκόπηση - Παρατηρήσεις............... 86 3.6.2 Λυµένες ασκήσεις..................... 88 3.6.3 Άλυτες ασκήσεις..................... 91 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 95 4.1 Ταξινόµηση των καµπυλών στο µιγαδικό επίπεδο........ 95 4.2 Ορισµός του ολοκληρώµατος µιγαδικής συναρτήσεως..... 96 4.3 Απλά παραδείγµατα υπολογισµού ολοκληρωµάτων....... 100 4.4 Θεώρηµα του Cauchy...................... 102 4.4.1 Θεώρηµα του Cauchy για απλά συνεκτικό τόπο..... 102 4.4.2 Θεώρηµα του Cauchy για πολλαπλά συνεκτικό τόπο.. 104 4.5 Τύπος του Cauchy........................ 105 4.6 Ολοκληρωτική παράσταση παραγώγου n-τάξεως........ 107 4.7 Θεώρηµα του Morera....................... 110 4.8 Πορίσµατα του τύπου του Cauchy................ 111 4.9 Ασκήσεις Κεφαλαίου 4...................... 113 4.9.1 Ανασκόπηση - Παρατηρήσεις............... 113 4.9.2 Λυµένες ασκήσεις.................... 116 4.9.3 Άλυτες ασκήσεις..................... 118

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ix 5 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 121 5.1 Σειρές Taylor........................... 121 5.2 Σειρές Laurent.......................... 124 5.3 Συµπληρωµατικές παρατηρήσεις πάνω στις σειρές....... 128 5.4 Εφαρµογή στη Φυσική : Παράδειγµα από την Οπτική..... 129 5.5 Ασκήσεις Κεφαλαίου 5...................... 131 5.5.1 Ανασκόπηση - Παρατηρήσεις............... 131 5.5.2 Λυµένες ασκήσεις.................... 132 5.5.3 Άλυτες ασκήσεις..................... 140 6 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ 145 6.1 Είδη ανώµαλων σηµείων..................... 145 6.2 Ολοκληρωτικό υπόλοιπο µιας συναρτήσεως........... 153 6.3 Θεώρηµα των υπολοίπων..................... 157 6.4 Κατηγορίες µιγαδικών συναρτήσεων............... 160 6.5 Ασκήσεις Κεφαλαίου 6...................... 163 6.5.1 Ανασκόπηση - Παρατηρήσεις............... 163 6.5.2 Λυµένες ασκήσεις..................... 166 6.5.3 Άλυτες ασκήσεις...................... 170 7 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ175 7.1 Λήµµα του Jordan........................ 176 7.2 Γενικευµένα ολοκληρώµατα................... 178 7.2.1 Κύρια τιµή γενικευµένου ολοκληρώµατος........ 180 2π 7.3 Ολοκληρώµατα της µορφής R(sin θ, cos θ) dθ........ 182 0 7.4 Ολοκληρώµατα της µορφής f(x) dx............ 183 7.5 Ολοκληρώµατα της µορφής f(x) eimx dx.......... 187 7.6 Ολοκληρώµατα της µορφής 0 x α 1 R(x) dx.......... 191 7.7 Παραµόρφωση του δρόµου. Μετακίνηση των πόλων...... 193 7.8 Σχέσεις Kramers Kronig (σχέσεις διασποράς)......... 197 7.9 Εφαρµογή στη Φυσική..................... 200 7.9.1 Υπολογισµός της συναρτήσεως Green στην Κβαντοµηχανική µελέτη του ϕαινοµένου της σκεδάσεως....... 200 7.9.2 Ολοκληρώµατα του Fresnel της ϑεωρίας περιθλάσεως. 204 7.9.3 Υπολογισµός ενός χρήσιµου ολοκληρώµατος και χρησι- µοποίησή του στην Κβαντοµηχανική........... 206 7.10 Ασκήσεις Κεφαλαίου 7...................... 208 7.10.1 Ανασκόπηση - Παρατηρήσεις.............. 208 7.10.2 Άλυτες ασκήσεις..................... 209

x ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 8 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΠΕΚΤΑΣΗ 215 8.1 Εισαγωγικό παράδειγµα..................... 215 8.2 ιαδικασία αναλυτικής επεκτάσεως............... 216 8.3 Χρήσιµες προτάσεις. Θεώρηµα ταυτότητας........... 221 8.4 Θεώρηµα µονοδρόµου. Πλειότιµες πλήρεις αναλυτικές συναρτήσεις............................... 224 8.5 Αρχή ανακλάσεως του Schwarz................. 226 8.6 Τρόποι αναλυτικής επεκτάσεως................. 228 8.6.1 Μέθοδος δυναµοσειρών.................. 228 8.6.2 Μέθοδος ολοκληρωτικής παραστάσεως......... 229 8.6.3 Μέθοδος συναρτησιακών σχέσεων............ 230 8.7 Παραδείγµατα.......................... 230 8.7.1 Περίπτωση µη αναλυτικά επεκτάσιµης δυναµοσειράς.. 230 8.7.2 Αναλυτική επέκταση της συναρτήσεως Γ(z)....... 231 8.8 Ασκήσεις Κεφαλαίου 8...................... 233 9 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 235 9.1 Γεωµετρική παράσταση µιγαδικών συναρτήσεων µιας µιγαδικής µεταβλητής............................ 235 9.2 Παραδείγµατα µετασχηµατισµών................ 237 9.2.1 Η συνάρτηση w = z + z 0................ 237 9.2.2 Η συνάρτηση w = z 0 z.................. 237 9.2.3 Η συνάρτηση w = z.................. 238 9.2.4 Η συνάρτηση w = 1 z................... 238 9.2.5 Η συνάρτηση w = z 2.................. 239 9.2.6 Η συνάρτηση w = e z.................. 240 9.2.7 Η συνάρτηση w = ln z................ 242 9.3 Συµπληρωµατικοί ορισµοί. Μερικοί ειδικοί µετασχηµατισµοί. 243 9.3.1 Συµπληρωµατικοί ορισµοί................ 243 9.3.2 Μερικοί ειδικοί µετασχηµατισµοί............. 244 9.4 Σύµµορφοι µετασχηµατισµοί.................. 249 9.5 Εφαρµογές των σύµµορφων απεικονίσεων............ 253 9.6 Εφαρµογή στη Φυσική...................... 258 9.6.1 Παράδειγµα από τη ϱοή ϑερµότητας........... 258 9.6.2 Παράδειγµα από τον Ηλεκτρισµό............. 260 9.7 Ασκήσεις Κεφαλαίου 9...................... 262

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xi II ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER 265 10 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 267 10.1 Γενικοί ορισµοί και ϑεωρήµατα................. 267 10.1.1 Ορθογώνιες συναρτήσεις................. 267 10.1.2 Ανάπτυγµα συναρτήσεως σε σειρά συναρτήσεων.... 269 10.1.3 Οµοιόµορφη σύγκλιση και µέση σύγκλιση....... 272 10.1.4 Ασκήσεις......................... 276 10.2 Περιοδικές συναρτήσεις..................... 278 10.3 Σειρές Fourier.......................... 279 10.3.1 Σειρές Fourier συµµετρικών συναρτήσεων...... 281 10.3.2 Παραδείγµατα σειρών Fourier.............. 283 10.3.3 Μιγαδική µορφή της σειράς Fourier........... 287 10.3.4 Σειρές Fourier και σειρές Laurent............ 289 10.3.5 Θεωρήµατα σειρών Fourier............... 290 10.3.6 Πολλαπλές σειρές Fourier................ 292 10.4 Εφαρµογές των σειρών Fourier................. 293 10.4.1 Εφαρµογή στη ϑεωρία των ηλεκτρικών κυκλωµάτων.. 293 10.4.2 Λύση διαφορικών εξισώσεων µε µερικές παραγώγους. Μέθοδος χωρισµού των µεταβλητών............ 296 10.4.3 Λύση διαφορικών εξισώσεων µε µερικές παραγώγους. Μια άλλη προσσέγγιση.................. 302 10.5 Πίνακας ορισµών και ιδιοτήτων των σειρών Fourier...... 305 10.6 Ασκήσεις Κεφαλαίου 10..................... 306 11 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER 311 11.1 Γενικά.............................. 311 11.2 Μετασχηµατισµοί Fourier................... 313 11.2.1 Μετασχηµατισµός Fourier της συναρτήσεως του Gauss 317 11.2.2 Μετασχηµατισµός Fourier ορθογώνιου παλµού..... 319 11.2.3 Μετασχηµατισµός Fourier πεπερασµένου συρµού κυµάτων322 11.2.4 Μετασχηµατισµός Fourier ϱητών συναρτήσεων..... 323 11.3 Ηµιτονοειδής και συνηµιτονοειδής µετασχηµατισµός Fourier. 325 11.4 Θεωρήµατα µετασχηµατισµών Fourier............. 327 11.4.1 Μετασχηµατισµός Fourier παραγώγων......... 330 11.4.2 Θεώρηµα διπλώσεως................... 335 11.5 Πολλαπλοί µετασχηµατισµοί Fourier............. 337 11.6 Χρήσιµοι πίνακες των µετασχηµατισµών Fourier....... 339 11.7 Ασκήσεις Κεφαλαίου 11..................... 340

xii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Αʹ 345 Αʹ.1 Η σύγκλιση των σειρών Fourier................. 345 Αʹ.2 Φαινόµενο Gibbs......................... 348 Βʹ Η γενικευµένη συνάρτηση δέλτα 353 Βʹ.1 Ορισµός και ιδιότητες της συναρτήσεως δέλτα.......... 353 Βʹ.2 Παραστάσεις της συναρτήσεως δέλτα.............. 357 Βʹ.3 Ασκήσεις συναρτήσεως δέλτα................... 359

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xiii Πίνακας µερικών χρήσιµων συµβολισµών φ Υπάρχει Για κάθε `Επεται ότι Αν και µόνο αν : `Ετσι ώστε `Ενωση δύο συνόλων Τοµή δύο συνόλων Το κενό σύνολο {α : P } Το σύνολο όλων των στοιχείων για τα οποία ισχύει η ιδιότητα P α S α / S A = B A B A / B ρ(α 1, α 2 ) d(α 1, α 2 ) N (ή Φ) R (ή Π ) C(ή M ) Το στοιχείο α ανήκει στο σύνολο S Το στοιχείο α δεν ανήκει στο σύνολο S Το σύνολο A ταυτίζεται µε το σύνολο B Το σύνολο A είναι υποσύνολο του συνόλου B Το σύνολο A δεν είναι υποσύνολο του συνόλου B Απόσταση µεταξύ δύο σηµείων Απόσταση µεταξύ δύο σηµείων Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών (natural numbers) Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών (real numbers) Το σύνολο των µιγαδικών αριθµών (complex numbers) που έχουν πεπερασµένο µέτρο C (ή M ) Το σύνολο των µιγαδικών αριθµών που περιέχει και το : D D Re z Im z C = C { } Τόπος (ανοιχτός) Το κλείσιµο ενός ανοιχτού τόπου Το πραγµατικό µέρος (real part) του z Το ϕανταστικό µέρος (imaginary part) του z