Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 000 Ζήτηµα ο Α.. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0,y 0 ) και ακτίνα ρ. (Μονάδες ) Α.. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ 0 παριστάνει κύκλο; Ποιο είναι το κέντρο του και ποια η ακτίνα του; (Μονάδες 4,5) Α.3. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη ε του κύκλου C: x + y ρ σε ένα σηµείο του Α(x, y ) έχει εξίσωση xx + yy ρ. (Μονάδες 6) Β.. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ίνεται κύκλος x + y 0 και το σηµείο του Μ(, -3). Η εφαπτοµένη του κύκλου στο σηµείο Μ έχει εξίσωση: Α. x + 3y 0 Β. 5x - y 8 Γ. x - 3y 0. 3x + y 3 Ε. (/)x + y 5 (Μονάδες 4) Β.. Στη στήλη Α δίνονται οι εξισώσεις που παριστάνουν κύκλους και στη στήλη Β τα κέντρα των κύκλων και οι ακτίνες τους. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή εξίσωση του κύκλου. Στήλη Α Στήλη Β α. x +y -6x+4y-30. Κ(0,-), ρ β. x +(y+) 4. Κ(3,-), ρ 3. Κ(3,-), ρ4 (Μονάδες 4) Β.3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετραδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone
α. Το σηµείο (,-) ανήκει στον κύκλο x + y. β. Ο κύκλος x + y 4 και η ευθεία y x εφάπτονται. γ. Η εξίσωση x + y + λ 0 όπου λ πραγµατικός αριθµός, είναι εξίσωση κύκλου. (Μονάδες 4,5) Απάντηση: Α.. Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο Κ(x 0, y 0 ) και ακτίνα ρ είναι (x x 0 ) + (y y 0 ) ρ. Α.. Η εξίσωση x + y Ax + By + Γ 0 παριστάνει κύκλο όταν Α + Β 4Γ > 0. Το κέντρο του τότε είναι το: και η ακτίνα του: ρ A B K, - Α + Β - 4Γ Α.3. α) Επειδή το Α(x,y ) είναι σηµείο του κύκλου, θα ισχύει ότι: x + y () ρ Έστω (ε) η εφαπτοµένη του κύκλου στο σηµείο Α(x,y ). Τότε: για κάθε x,y 0. (ε) ΟΑ λ λ λ ε y x ε ΟΑ λ ε y x Τεχνική Επεξεργασία: Keystone
Επειδή η ευθεία (ε) διέρχεται από το σηµείο Α, θα έχει εξίσωση: y y λ ε (x x ) y y - (x /y )(x x ) () y xx + x yy + xx y + x yy + xx ρ yy β) Αν x 0, τότε Α(0,ρ) ή Α(0,-ρ) οπότε η εξίσωση της εφαπτοµένης θα είναι: y ρ ή y -ρ y ρ ρ ή y (-ρ) ρ yy ρ ή yy ρ yy + xx ρ αφού x 0. γ) Αν y 0, τότε Α(ρ,0) ή Α(-ρ,0) οπότε η εξίσωση της εφαπτοµένης θα είναι: x ρ ή x -ρ x ρ ρ ή x (-ρ) ρ x x ρ ή x x ρ xx + yy ρ αφού y 0. Β.. Αφού το σηµείο Μ(,-3) επαληθεύει την εξίσωση του κύκλου x + y 0, η εφαπροµένη στο Μ θα έχει εξίσωση: xx + yy ρ x + y (-3) 0 x 3y 0 εποµένως σωστή είναι η απάντηση Γ. Β.. α. Ο κύκλος µε εξίσωση: x + y - 6x + 4y 3 0 έχει Α -6, Β 4, Γ -3, άρα: A B K, - δηλαδή Κ(3,-) και ακτίνα: ρ Α + Β - 4Γ 64 4 β. Ο κύκλος µε εξίσωση x + (y + ) 4 έχει κέντρο Κ(0,-) και ακτίνα ρ. Εποµένως έχουµε: α 3 και β Β.3. α. Το σηµείο (,-) είναι σηµείο του κύκλου x + y, αφού + (-). Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 3
β. Λύνουµε το σύστηµα: + y 4 x y x + 4x 4 4 x 5 y x y x x Επειδή έχουµε δύο λύσεις, ο κύκλος και η ευθεία τέµνονται. 5 x ± 5 4 5 y ± 5 γ. Η εξίσωση x + y + λ 0 γράφεται ισοδύναµα: x + y - λ < 0 Εποµένως δεν είναι εξίσωση κύκλου. Άρα: α Σ β Λ γ Λ. Ζήτηµα ο Θεωρούµε τους ακεραίους της µορφής α 6κ + υ, µε 0 υ 6 και κ ακέραιος. Να δείξετε ότι: α. Οι παραπάνω ακέραιοι που δεν είναι πολλαπλάσια του ή του 3 παίρνουν τη µορφή α 6κ + ή τη µορφή α 6κ + 5, όπου κ ακέραιος. (Μονάδες 0) β. Το τετράγωνο κάθε ακεραίου αριθµού της µορφής του ερωτήµατος (α) µπορεί να πάρει τη µορφή: α 3µ +, όπου µ ακέραιος. (Μονάδες 0) γ. Η διαφορά των τετραγώνων δύο ακεραίων του ερωτήµατος (α) είναι πολλαπλάσιο του 3. (Μονάδες 5) Απάντηση: α. Αφού α 6κ + υ µε 0 υ < 6, έχουµε ότι: Αν υ 0, α 6κ (3κ) πολ, απορρίπτεται. Αν υ, α 6κ +. Αν υ, α 6κ + (3κ + ) πολ, απορρίπτεται. Αν υ 3, α 6κ + 3 3(κ + ) πολ3, απορρίπτεται. Αν υ 4, α 6κ + 4 (3κ + ) πολ, απορρίπτεται. Αν υ 5, α 6κ + 5. Εποµένως α 6κ + ή α 6κ + 5. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 4
β. α 6κ + α (6κ + ) α 36κ + κ + α 3(κ + 4κ) + α 3µ +, µ κ + 4, κ Ζ. α 6κ + 5 α (6κ + 5) α 36κ + 60κ + 5 α 3(κ + 0κ + 8) + α 3µ +, µ (κ + 0 + 8) κ Ζ. γ. (6κ + 5) (6µ + 5) (6κ + 5 6µ - 5) (6κ + 5 + 6µ + 5) 6(κ µ) (6κ + 6µ + 0) πολ3. (6κ + 5) (6µ + ) (6κ + 5 6µ - ) (6κ + 5 + 6µ + ) (6κ 6µ + 4) (6κ + 6µ + 6) 6(6κ 6µ + 4) (κ + µ + ) πολ3 (6κ + ) (6µ + ) (6κ + 6µ - ) (6κ + + 6µ + ) 6(κ µ) (6κ + 6µ + ) πολ3. Ζήτηµα 3ο Για τα διανύσµατα α. Να δείξετε ότι: και α, β ισχύουν οι σχέσεις α + 3β (4,-), α 3β (-7,8) α (-,) β (,-) (Μονάδες 7) β. Να βρεθεί ο πραγµατικός αριθµός κ, ώστε τα διανύσµατα: κα + β και α + 3β να είναι κάθετα. (Μονάδες 8) γ. Να αναλυθεί το διάνυσµα: γ (3,-) σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο διάνυσµα α. (Μονάδες 0) Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 5
Απάντηση: α). Είναι: α 3β (4,- ( + + 3α (-3,6) α (-,) α - 3β (-7,8) ) Τότε: α + 3β (4,-) (-,) + 3β (4,-) 3 β (4,-) (-,4) 3β (6,-6) β (,-) β) (κα + β) (α + 3β) (κα + β) (α + 3β) 0 κα + 3καβ + αβ + 3β 0 () Όµως: και Τότε η () γίνεται: α ( ) β () + + ( ) 5 8 α β ( ) + ( ) 6 0κ 8κ + 4 0 8κ κ /8 κ 3/. γ. Έστω τα διανύσµατα δ, ε, όπου: δ // α και ε α. Τότε: και έστω Τότε θα πρέπει: δ λ α, λ R δ (-λ, λ), u (,) α ( u α 0) u // ε ε v u ε (v, v), λ R v R. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 6
Ακόµη πρέπει: γ δ + ε (3, -) (-λ, λ) + (v, v) 3 -λ + v 6 -λ + 4v 5 5v v - λ + v - λ + v λ v - 3 λ - Εποµένως: γ δ + ε, αν δ (, - ), ε (,) µε ε δ Ζήτηµα 4ο Σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Οxy, η εξίσωση ευθείας (λ )x + (λ + )y λ 3 0, όπου λ πραγµατικός αριθµός, περιγράφει τη φωτεινή ακτίνα που εκπέµπει ένας περιστρεφόµενος φάρος Φ. α. Να βρείτε τις συντεταγµένες του φάρου Φ. (Μονάδες 8) β. Τρία πλοία βρίσκονται στα σηµεία Κ(,), Λ(-,5) και Μ(,3). Να βρείτε τις εξισώσεις των φωτεινών ακτίνων που διέρχονται από τα πλοία Κ, Λ και Μ. (Μονάδες 4,5) γ. Να υπολογίσετε ποιο από τα πλοία Κ και Λ βρίσκεται πλησιέστερα στη φωτεινή ακτίνα που διέρχεται από το πλοίο Μ. (Μονάδες 6) δ. Να υπολογίσετε το εµβαδόν της θαλάσσιας περιοχής που ορίζεται από το φάρο Φ και τα πλοία Λ και Μ. (Μονάδες 6,5) Απάντηση: α. Ο φάρος (Φ) θα είναι το σταθερό σηµείο των ευθειών: (λ )x +(λ + )y λ 3 0 λx x + λy + y λ 3 0 λ(x + y ) + ( -x + y 3) 0 Το σταθερό σηµείο (αν υπάρχει) βρίσκεται από τη λύση του συστήµατος: Άρα: Φ(-, ). x + y - 0 y - 4 0 y - x + y - 3 0 x - y x - Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 7
β. ΚΦ: y y Φ λ ΚΦ (x x Φ ) - y - (x + ) y - 0 -- ΛΦ: Αφού x Λ x Φ, τότε η εξίσωση είναι η x - x + 0. ΜΦ: y y Φ λ ΜΦ (x x Φ ) - 3 y - (x + ) y - (x + ) y - x - 5 0 -- γ. d(k, ΦΜ) - - 5 + ( ) 3 5 3 5 5 d(λ, ΦΜ) 5 - (-) - 5 + ( ) 6 5 6 5 5 Επειδή d(λ, ΦΜ) d(k, ΦΜ), το Κ διέρχεται πιο κοντά στη φωτεινή ακτίνα ΦΜ σε σχέση µε το Λ. δ. Επειδή ΦΛ // yy και ΦΜ δεν είναι παράλληλη yy, τα Φ, Λ, Μ δεν είναι συνευθειακά και ορίζουν το τρίγωνο ΦΛΜ. Τότε: E ΦΛΜ ( ) ( ) 0 det( ΦΛ, ΦΜ) E ΦΛΜ 6 5 3 3 Ε ΦΛΜ 3 τετρ. µονάδες. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 8