Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017
ii
Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1
Notiuni teoretice: componentele unui vector AB in raport cu baza unui sistem cartezian de coordonate sunt date de formula: AB = (x B x A, y B y A, z B z A ) ecuatia parametrica a dreptei determinate de un punct A(x 0, y 0, z 0 ) si un vector director v = (l, m, n): x = x 0 + t l y = y 0 + t m, t IR z = z 0 + t n ecuatia carteziana va fi: x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n ecuatia parametrica a dreptei determinata de doua puncte A(x 1, y 1, z 1 ) si B(x, y, z ) este: x = x 1 + t(x x 1 ) y = y 1 + t(y y 1 ), t IR z = z 1 + t(z z 1 ) ecuatia carteziana va fi: x x 1 x x 1 = y y 1 y y 1 = z z 1 z z 1 ecuatia planului care trece printr-un punct A(x 0, y 0, z 0 ) si este paralel cu doua directii date v 1 = (l 1, m 1, n 1 ) si v = (l, m, n ): x x 0 y y 0 z z 0 α : l 1 m 1 n 1 = 0 l m n ecuatia planului care trece prin trei puncte necoliniare A(x A, y A, z A ), B(x B, y B, z B ) si C(x C, y C, z C ): x x A y y A z z A α : x B x A y B y A z B z A = 0 x C x A y C y A z C z A ecuatia carteziana a planului determinat de un punct A(x 0, y 0, z 0 ) si normala n = (a, b, c): α : a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0
daca MA = k MB atunci: x M = x A kx B 1 k Distante si unghiuri in spatiu:, y M = y A ky B, z M = z A kz B 1 k 1 k produsul vectorial a doi vectori v = (v 1, v, v 3 ) si w = (w 1, w, w 3 ) este dat de formula: i j k v w = v 1 v v 3 w 1 w w 3 produsul mixt a trei vectori u = (u 1, u, u 3 ), v = (v 1, v, v 3 ) si w = (w 1, w, w 3 ) este: u 1 u u 3 ( u, v, w) = v 1 v v 3 w 1 w w 3 unghiul format de doua drepte coplanare este unghiul θ format de catre doi vectori directori ai celor doua drepte: l 1 + m 1 + n 1 l + m + n cos θ = v 1, v v 1 v = l 1 l + m 1 m + n 1 n distanta de la un punct A(x 0, y 0, z 0 ) la un plan α : ax + by + cz + d = 0 este: dist(a, α) = ax 0 + bx 0 + cz 0 + d a + b + c distanta de la un punct A la o dreapta d: dist(a, d) = v M 0A v unde M 0 este un punct oarecare de pe dreapta si v este vector director al dreptei distanta dintre dreptele necoplanare d 1 si d : dist(d 1, d ) = (M 1M, v 1, v ) v 1 v unde M 1 d 1 si M d sunt puncte arbitrare de pe drepte iar v 1 si v sunt vectori directori ai dreptelor unghiul θ dintre o dreapta si un plan este determinat din: sin θ = v, n v n unde v este un vector director al dreptei si n normala la plan unghiul θ format de catre doua plane este determinant prin formula: cos θ = n 1, n n 1 n unde n 1, n sunt normalele celor doua plane. 3
Probleme rezolvate Problema 1. Un jucator de tenis serveste din coltul terenului: ridica mingea la.50 m si apoi in traiectoria sa mingea loveste banda de sus a fileului exact in mijlocul fileului. Daca nu intalnea fileul in calea sa mingea ar fi intrat in teren? Estimati locul (punctul) in care ar fi aterizat mingea trimisa de jucator. Ce unghi formeaza cu planul terenului traiectoria mingii? Solutie: Alegem un reper cartezian OXY Z cu originea in coltul de unde serveste jucatorul si cu axele OX si OY cele doua linii care se intersecteaza acolo. Identifica punctele J(0, 0,.5) si F (4.11, 11.9, 0.91) precum si ecuatia planului terenului: α : z = 0 scrie ecuatia dreptei JF si intersecteaza dreapta cu planul α al terenului penntru a afla punctul P (x P, y P, 0) unde mingea ar fi cazut in terenul advers mingea ar fi cazut in teren daca se obtine x P 8, 3 si y P 3.78 (se accepta si solutia x P 8.3 + 1.37 care poate proveni dintr-o interpretare diferita a problemei) se afla unghiul format de dreapta JF cu planul z = 0 folosind directia dreptei data prin vectorul JF = (xf x J, y F x J, z F z J ) si normala la plan n = (0, 0, 1) Problema. Spunem ca din punctul M vedem segmentul [AB] sub un unghi de θ grade daca m( AMB) = θ. Mai jos aveti descris un teren de fotbal de dimensiuni 50 m 100 m. Sub ce unghi vede un jucator de fotbal, avand inaltimea de 1.50 m, linia portii atunci cand acesta ajunge in coltul careului mare? 4
Soluţie: Consideram un reper cartezian OXY Z cu originea in coltul terenului, in locul indicat de unul dintre stegulete, astfel incat axa OX sa coincida cu linia portii si axa OY cu linia laterala de aut. Se afla coordonatele J(9.84, 16.5, 1.5) si A(46.34, 0, 0), B(53.66, 0, 0) apoi se determina vectorii si AJ = (x J x A, y J y A, z J z A ) BF = (x J x B, y J y B, z J z B ) care dau directiile dreptelor AJ si BJ. Se afla unghiul folosind formula cos θ =... 5
Probleme propuse Problema 1. Se dau punctele A(1, 1, ), B(, 1, 1) si dreptele: { x + y z 1 = 0. d 1 : d : x = y = z 1 x y z + = 0 1 1 1 Sa se scrie: i) Ecuatiile carteziene si parametrice ale dreptei AB. ii) Ecuatiile carteziene si parametrice ale dreptei d care trece prin A si este paralela cu dreapta d 1 Problema. Se dau punctele A(1, 1, 0), B( 1, 0, 1), C( 1, 1, 1) si dreapta: x 1 = y 1 = z 1. i) Sa se scrie ecuatia planului care contine punctele A, B, C ii) Ecuatia carteziana a planului care contine punctul A si este perpendicular pe dreapta d iii) Ecuatia carteziana a planului care contine dreptele d si AB. Problema 3. Sa se gaseasca coordonatele proiectiei ortogonale a punctului M(1,, ) pe planul α : x + y 3z + 1 = 0. Sa se gaseasca coordonatele simetricului lui M fata de acest plan. Problema 4. Sa se calculeze distanta dintre dreptele: d 1 : x 7 3 = y 1 4 = z 3 si d : x 3 = y + 1 4 = z. Problema 5. Sa se determine distanta de la punctul M(3, 1, ) la dreapta: { x y + z 4 = 0 x + y z + 1 = 0 Problema 6. Sa se studieze pozitia relativa a dreptei: { x y + z = 0 x y + 3 = 0 fata de planul α : x z + = 0. Sa se gaseasca ecuatia proiectiei ortogonale a dreptei d pe planul α 6
Problema 7. Se dau dreptele: d 1 : x 1 1 = y + si punctul M(1, 1, ). Se cere: = z + 1 si d : x + 1 1 = y = z 1 0 1 i) Sa se scrie ecuatiile perpendicularei comune dreptelor d 1 si d ii) Sa se calculeze distanta dintre dreptele d 1 si d Problema 8. Sa se gaseasca coordonatele simetricului punctului M( 1, 0, ) fata de dreapta: x = y + 1 1 = z 3 Problema 9. Sa se arate ca dreapta x+1 3x 3y + z 5 = 0 = y 3 4 = z 3 este paralela cu planul 7