VYŠROVAN PRUŽNJ DORMÁC eoetcký úvo: Mez hmotným elementam (atómam alebo ónm v kyštalckej mežke) pôsoba píťažlvé a opuvé sly, ktoé sú ba p učtej vzalenost častíc v ovnováhe. P zväčšovaní vzájomnej vzalenost častíc (ťah) pevlánu sly píťažlvé, p zmenšovaní tejto vzalenost (tlak) pevlánu sly opuvé. Ak sa obmezíme na veľm malé efomáce, bue výslená sla veľm pblžne úmená výchylke z ovnovážnej polohy. Uveené pepoklay spolu s požaavkou, aby efomovaná látka bola zotópna, bývajú obe splnené u polykyštalckých kovových mateálov. V oblast malých efomác je súvs mez účnkujúcm slam a efomácou, ktoú vyvolávajú, vyjaený Hookovým zákonom, ktoý hovoí: Defomáca pužných teles je úmená účnkujúcm slám a obátene. Pevátená honota tejto konštanty úmenost vystupujúcej v Hookovom zákone sa nazýva Youngov moul pužnost. Ak efomujúca sla pôsobí kolmo na povch telesa, vyvoláva efomácu ťahom alebo tlakom a vystupujúc moul v Hookovom zákone je moul pužnost v ťahu (značíme ). Ak efomujúca sla leží v ovne povchu telesa alebo je jej otyčncou vyvoláva efomácu šmykom a píslušný moul je moul pužnost v šmyku (značíme ). akéto efomáce (ťahom, šmykom) nazývame jenouché a možno ch využť na expementálne stanovene píslušných moulov a. V ďalšom ozobeeme metóy na učovane moulov a, ktoé sú založené na jenouchých zložtejších typoch efomácí.. MRAN MODUU PRUŽNOS V ŤAHU. Chaaktestka velčny: Moul pužnost v ťahu je mateálová konštanta vyjaujúca elastcké vlastnost látok. Závsí o uhu mateálu a o teploty. ak nap. pe oceľ má honotu 1 Pa, pe hlník 6 Pa, pe meď 8 Pa, pe um 53 Pa a po. O teploty závsí tak, že s astúcou teplotou jej honota klesá. Peto je potebné uávať aj teplotu, p ktoej bola píslušná honota matealovej konštanty nameaná. Jej fyzkálny význam s objasníme na nom meste. Metóy meana: V ďalšom uveeme a ozobeeme ve metóy učovana moulu pužnost v ťahu. Výbe metóy závsí o vyšetovaných vzoek, a to poľa toho, č e o vlákna, tenké ôty, pípane pásy, púty, alebo hubše tyče, esp. nosníky. V pvom pípae poobujeme píslušné mateály ťahovej efomác, v uhom pípae zasa ohybovej efomác. A. MRAN MODUU V ŤAHU Z PRDĹŽNA YČ (DRÔU) eoetcký úvo: Uvažujme napínane tyče (ôtu) na jenom konc upevnenej, ĺžky l a peezu S slou v smee os tyče (ob. 1). Po napätím pôsobacm v pečnom eze tyče ozumeme poel sly a peezu tyče S, kolmého na sme sly t.j. σ /S. Účnkom napäta sa nám tyč peĺž na ĺžku l, t.j. o honotu l l l. Petože táto honota je závslá o pôvonej ĺžky tyče, zavázame pe ďalší pops velčnu pomeovú anú vzťahom ε l /l a nazývame ju elatívne peĺžene. Relatívne peĺžene je bezozmené číslo. P pužných efomácach elatívne peĺžene ε je pamo úmené mechanckému napätu σ (Hookov zákon), v ktoom pevátená honota konštanty úmenost pestavuje moul pužnost v ťahu. Matematcké vyjaene Hookovho zákona je
σ ε alebo l l 1 S (1) l l Z Hookovho zákona je zejmé, že moul pužnost v ťahu má ovnaký fyzkálny ozme ako napäte N/m Pa a pestavuje také napäte, p ktoom by absolútne peĺžene l bolo ovné pôvonej ĺžke, alebo p ktoom by elatívne peĺžene bolo ovné jenej (za pepoklau, že by taká efomáca vôbec bola možná). Zo vzťahov (1) ostaneme pe l l S alebo σ. () ε l Stačí už teaz zvolť vhonú metóu na meane peĺžena l, petože ostatné velčny vystupujúce vo vzťahu () sú bežne meateľné. Na ob. je schematcky zobazené uspoaane expementu umožňujúce zmeať peĺžene l. Ob. 1 Pops zaaena a postup meana: Pe stanovene zmeny ĺžky l použjeme tzv. feencálny tansfomáto. U feencálneho tansfomátoa je možné využť pe meane ĺžky závslost výstupného napäta o polohy posuvného jaa tansfomátoa. D S mv Ob.
Pmáne vnute je napájané steavým púom zo stablzovaného zoja (ob. 3). Dve ovnaké sekunáne vnuta sú zapojené pot sebe, takže ak jao je uložené symetcky, je výstupné napäte Zoj stablzovaného napäta posuvné jao U U 1 Ob. 3 nulové. Ak sa však zmení poloha jaa, zmena sa ampltúy napäta oboch sekunánych vnutí a na výstupe tansfomátoa bue steavé napäte, ktoého ampltúa je úmená posunutu jaa. Meane ĺžky alebo jej zmeny sa takto peváza na meane napäta. Píslušnú ĺžku esp. jej zmenu zstíme z pevoovej kvky l f ( u), ktoú získame tak, že zmeny l ealzujeme pomocou mkometckej skutky a očítavame píslušné napäta. Úlohy: 1. Meaním peĺžena ôtu p jeho napínaní učť moul pužnost v ťahu pe va ôzne mateály.. Stanovť chybu výsleku na záklae pacálnych píspevkov meaných velčín. Postup meana: 1. Pamym meaním učíme ĺžku ôtu l.. Pomocou skutky S (Ob. ) napneme ôt tak, aby p záklanom zaťažení ukazoval mlvoltmete nulové napäte. 3. Zmeame teplotu mestnost. 4. Pávaním závaží zsťujeme píslušné peĺžene l. 5. Zostojíme gaf závslost l f () esp. l f (m). 6. Zostojíme kalbačnú kvku l f (U). 7. Zmeame opäť teplotu mestnost. 8. Výsleky pamych meaní osaíme o vzťahu () a vypočítame aný moul. 9. Učíme výslenú chybu meana. Pozn.: Nameané honoty zapsujeme o tabuľky, nap. poľa vzou ab.. Spacovane výslekov: Dĺžku ôtu l meame jeenkát, chybu l stanovíme ohaom. Peme ôtu meame 1-kát, učíme jeho pemenú honotu a stenú kvaatckú ochýlku. Pe 1 ôznych zaťažení ôtu meame opoveajúce napäte na výstupe feencálneho tansfomátoa. Honoty zapsujeme o mv
tabuľky. Pomocou mkometckej skutky k aným honotám napäta, zstíme píslušné peĺžene l. ab. l mm Č. m. m [g] U [mv] l [mm] k m ( k ) g k l Pe kažé meane (zaťažene) vypočítame koefcent k, učíme jej pemenú honotu aj m stenú kvaatckú chybu k. Z pemeu ôtu (pemenej honoty) vypočítame plochu peezu ôtu S aj jej chybu poľa vzťahu S ( S ). Dosaením honôt k, l, S o vzťahu () 1 l g vypočítame píslušný moul. Na záklae pacálnych píspevkov meaných velčín k S vypočítame chybu výsleku poľa vzťahu k l + +. (3) k l ( ) Výsleok uvázame v tvae ±. Kontolné otázky: 1. Vysvetlte obsah Hookovho zákona.. Defnujte elatívne peĺžene a mechancké napäte pe aný typ efomáce. 3. Posúďte, č sa jená o metóu pamu alebo nepamu. 4. Aký je fyzkálny význam moulu pužnost v ťahu? B. MRAN MODUU PRUŽNOS V ŤAHU Z PRHYBU YČ eoetcký úvo: V tejto metóe sa využíva efomáca teles ohybom. Defomáca ohybom je zložtejšou fomou efomáce ťahovej (tlakovej). Uvažujme ovnooú tyč s konštantným peezom po celej ĺžke, na jenom konc upevnenú a na uhom konc zaťaženú slou (ob. 4). Sla pôsobaca na jej uhom konc vyvoláva jej pehyb. Pehnute tyče vplyvom vlastnej váhy bue veľm malé a peto ho môžeme zanebať. V ohnutej tyč bue tzv. neutálne vlákno, ktoého ĺžka má ovnakú veľkosť ako v neefomovanej tyč. Vlákna na neutálnym vláknom sa p ohybe ťahom peĺža, vlákna po neutálnym vláknom sa v ôsleku tlaku skáta. Závslosť pehybu konca tyče o ohybovej sly stanovíme na záklae ozbou pomenky statckej ovnováhy sústavy. V stave statckej ovnováhy musí byť výslený moment síl na ktoúkoľvek časť tyče nulový. Analyzujme koncový úsek tyče ĺžky (l-x) (ob. 5). Výslený moment síl vzhľaom na os O je nulový, takže platí M ( l x ), (4) ke M je moment elastckých síl pôsobacch v ovne ezu. Pe ozbo tohto momentu skúmajme efomácu ĺžkového elementu tyče mez ezom AA a BB. lement tyče ozelíme na pozĺžne vlákna s peezom S. V ôsleku ohybu sú vlákna zakvené so spoločným steom kvost S. Ak je polome kvost neutálneho vlákna, je polome kvost ľubovoľného vlákna + u,
x A' M O u u x B' x - efomované vlákno neutálne vlákno x l O M x y φ Ob. 5 ke u je súanca vlákna vzhľaom na S vlákno neutálne (ob. 4), ktoého tva je Ob. 4 popísaný funkcou y f(x), ke x, y sú pozĺžna a pečna súanca bou neutálneho vlákna. Potom v malom úseku tyče pslúchajúcemu steovému uhlu ϕ má neutálne vlákno ĺžku ϕ. Vlákno, ktoé je vo vzalenost u na neutálnym vláknom, bue mať v úseku pslúchajúcemu steovému uhlu ϕ ĺžku (+u)ϕ. Jeho elatívne peĺžene bue a napäte vlákna bue ε ( + ) u ϕ ϕ uϕ ϕ ϕ u σ ε. Pomocou tohoto napäta môžeme slu pôsobacu na plošku o veľkost au vo vzalenost u o neutálneho vlákna (ob. 6), vyjať vzťahom a σ au uu. u Vo vzalenost u bue pôsobť na ovnakú plošku ovnaká sla, ale opačného smeu. Výslený otáčavý +u moment elementánych síl pôsobacch v eze A b vzhľaom na ohybovú os je u -u - + b / b / + b / M u au u, b / a Ob. 6 ke + b / 1 3 au u ab (5) 1 b / je plošný moment zotvačnost peezu tyče vzhľaom na ohybovú os. Nech sa pehnutím tyče zníž neutálne vlákno o y vo vzalenost x o upevneného konca. Polome kvost tohoto pehnuta môžeme obecne vyjať pomocou y v tvae
3 ( 1 + y ) y /, Ke y a y je pvá a uhá eváca funkce y. V pípae ak uvažujeme malé pehnute môžeme y zanebať voč 1. Pe polome kvost pehnuta tyče ostaneme potom vzťah 1 y, ktoý osaením o ovnce (4) áva feencálnu ovncu y x ( l x ). Dvojtou ntegácou tejto ovnce a uvážením, že v meste upevnena je y, upavíme ešene ovnce na tva 3 l x x y. 6 Znížene tyče y 1 na konc zaťaženou slou bue (x l) 3 l y1. (6) 3 Paktcky moul pužnost v ťahu meame na tyč, ktoá je na koncoch poopetá a v posteku zaťažená slou. Potom účnok sly v stee je ten stý, aký by mal sly / na koncoch tyče, keď by tyč bola upevnená v posteku (ob. 7). Ak osaíme o vzťahu (6) l /, mg/, g/ g/ 1 ab 3 ostaneme po úpave výslený vzťah 1 y pe moul pužnost g 3 g m, (7) 4ab y 3 Ob. 7 ke je vzalenosť pope. Zo vzťahu (7) vyplýva, že pehyb y je pamo úmený hmotnost záťaže m. Veľkosť pehybu tyče meame ochýlkomeom. Úlohy: 1. Zmeať moul pužnost v ťahu pe va ôzne mateály (oceľ, meď).. Stanovť chybu, s ktoou je aná velčna meaná. Postup meana: 1. Pamym meaním učíme vzalenosť pope a chaaktestcké ozmey peezu tyče vátane chýb meana.. Ochýlkome umestnme o steu mez ve popey a nastavíme ho tak, aby p záklanom zaťažení (ané záťažou msky, na ktoú klaeme závaža) tyče ukazoval nulu. 3. Zmeame teplotu mestnost.
4. Danú tyč postupne zaťažujeme a meame pehyb tyče y. 5. Zmeame opäť teplotu mestnost. 6. Výsleky pamych meaní osaíme o vzťahu (7) a vypočítame aný moul. 7. Zostojíme gaf závslost y f (m). 8. Učíme výslenú chybu meana. Spacovane výslekov: Vzalenosť mez popeam zmeame jeenkát, chybu stanovíme ohaom. Pečne ozmey tyče meame mkometom aspoň 1-kát, honoty zapsujeme o tabuľky. abuľka. Č. m. a [mm] ( a a) [mm] ( a a ) [mm ] b [mm] ( b b ) [mm] ( b b ) [mm ] Z nameaných honôt a, b učíme ch atmetcké pemey a, b a stanovíme ch kvaatcké ochýlky a, b. Pe 1 ôznych zaťažení tyče meame opoveajúc pehyb y. Honoty zapsujeme o tabuľky. abuľka. Č.m. m [g] y [mm] ky/m [kg/m] (k k [kg/m ] ) neatu závslost pehybu o zaťažena oveíme tak, že nameané honoty vyneseme o gafu y f (m). Pe kažé zaťažene učíme konštantu k y/m, jej atmetcký peme k a jeho náhonú chybu k. Získané atmetcké pemey pe pamo meané velčny osaíme o vzťahu (7), pčom pome m/y nahaíme konštantou 1 / k. Učíme výslenú chybu meanej velčny z pacálnych píspevkov chýb jenotlvých pamo meaných velčín esp. chyby vypočítanej konštanty k poľa vzťahu l k 3 + +, (8) l k a b ke + 3. a b Výsleok uvázame v tvae ±. Kontolné otázky: 1. Vysvetlte Hookov zákon.. Čo je to elatívne peĺžene a mechancké napäte? 3. Aký je fyzkálny význam moulu pužnost v ťahu? 4. Pečo je možné meať moul pužnost v ťahu z pehybu tyče? Je to metóa pama, č nepama? 5. Čo je to neutálne vlákno?
. MRAN MODUU PRUŽNOS V ŠMYKU. eoetcký úvo: Moul pužnost v šmyku (nekey ho nazývame moul toze), by sme mohl učť z konketzáce Hookovho zákona pe efomácu v šmyku u 1, (9) h S ke význam jenotlvých členov najlepše ukáže ob. 8. Poel /S τ pestavuje tangencálne napäte, u posunute honej záklane kváa voč olnej záklan, u /h tgγ γ pestavuje elatívne posunute honej záklane voč olnej. Hookov zákon je možné písať v tvae τ γ (1) moul pužnost v šmyku. Zo vzťahov (9), (1) veť, že má ozme napäta (N/m Pa) a pestavuje také napäte, p ktoom by absolútne posunute u bolo ovné výške hanola h, alebo p ktoom by elatívne posunute tgγ 1 (tea, aby uhol γ45 ). Pame využte Hookovho zákona na učene moulu pužnost v šmyku je pomene málo paktcké a píslušná metóa aj málo pesná. u u h S S Ob. 8 Ob. 9 Peto sa moul v šmyku najčastejše učuje z toze tyčí alebo ôtov. P toz je totž kažá časť vzoky namáhaná ba šmykom a ptom keď šmyk v kažej čast vzoky je pomene malý (leží hlboko po meou úmenost efomáce a napäta), výslený uhol stočena vzoky môže byť veľký a tea obe meateľný. ozná efomáca je zložtejším pípaom efomáce šmykovej. Jenotlvé pečne vstvy telesa sa kútením vzájomne natáčajú. Uvažujme tyč v tvae valca o ĺžke a pemee na jenom konc upevnenú. Na uhý konec pôsobíme kútacm momentom sly, ktoý vyvoláva šmykovú efomácu kažého
pozĺžneho vlákna ĺžky a peezu S (ob. 9). Sleované vlákno je vo vzalenost o toznej os, pestavovanej neutálnym vláknom, ktoé sa p kútení neefomuje. P natočení voľného konca tyče (vplyvom kútaceho momentu) o uhol ϕ sa posune voľný konec vlákna po kužnc polomeu o úsek u ϕ. Šmykový efomačný uhol α u / ϕ / súvsí poľa Hookovho zákona s tangencálnym napätím τ /S α. Sla ppaajúca na elementánu plošku S sleovaného vlákna pôsobí vzhľaom na toznú os momentom sly M α S ( ϕ / ).S ( / ) ϕ S. Celkový tozný moment sly ostaneme ntegácou elementánych momentov sly po celej ploche voľnej postavy M M S ( S) ϕ ( S) ϕ, (11) ke S je plošný moment zotvačnost peezu tyče vzhľaom na toznú os. Pe tyč ( S ) S s kuhovým peezom postupujeme p výpočte tak, že plochu kuhu ozelíme na elementy (ob.1), ktoé v polánych súancach naobúajú vyjaene S. β. u β a vypočítame píslušný ntegál π / 4 3 π β. (1) 3 Zo vzťahu (11) víme, že tozný uhol ϕ je pamo úmený toznému momentu M. Konštantu Ob. 1 M (13) nazývame ekčným momentom tyče. Metóy meana moulu pužnost v šmyku: A. SACKÁ MÓDA MRANA MODUU PRUŽNOS V ŠMYKU. Z m 1 Ob. 11 R m 1 Z Statcká metóa meana moulu pužnost v šmyku využíva tozu tenkej tyče (ôtu) zo skúmaného mateálu. yč je zavesená tak, že honý konec je upevnený v žaku a k olnému koncu tyče je ppevnený kotúč s uhlovou stupncou (ob. 11). Na obvoe kotúča pôsoba sly kolmé na toznú os, vyvolané cez klaky tažou závaží o hmotnostach m1 a m.
Výslený tozný moment týchto síl je (m1+m)gr, ke R je polome kotúča. Aby nevznkla sla vychyľujúca os kotúča volíme závaža tak, aby m1m. Uveený moment sly osaíme o vzťahu (11) spolu so vzťahom (1) a pe moul pužnost ostaneme vzťah. 3gR m1 + m. 4 (14) π ϕ Úlohy: 1. Zmeať moul pužnost v šmyku pe va ôzne mateály (oceľ, meď).. Stanovť chybu meana pe aný moul. Postup meana a spacovane výslekov: 1. Po upevnení tyče (ôtu) o píslušného zaaena učíme pamym meaním honoty velčín R,,. Dané velčny meame vackát (aspoň 1-kát) a učíme ch atmetcké pemey R,, a k ním píslušné náhoné chyby R,,.. Zmeame teplotu mestnost. 3. Danú tyč postupne zaťažujeme pklaaním závaží a meame jej uhol skútena ϕ. 4. Opäť zmeame teplotu mestnost. 5. Honoty zapsujeme o tabuľky. abuľka. ϕ Č. m. m1+m [g] ϕ [a] k ( k ) m + m k 1 6. Oveíme lneatu toznej efomáce tak, že nameané honoty ϕ vyneseme o gafu ϕ ϕ f (m). Pe kažé zaťažene učíme konštantu k, jej atmetcký peme k a k nej m píslušnú náhonú chybu k. Výsleky meané osaíme o vzťahu (14), v ktoom pome ( m1 + m )/ ϕ nahaíme konštantou 1/k. 7. Učíme chybu meana velčny vyplývajúcu z pacálnych chýb jenotlvých pamo meaných velčín esp. chyby vypočítanej konštanty k. Danú chybu stanovíme zo vzťahu R k + + + 4. (15) R k
B. DYNAMCKÁ MÓDA MRANA MODUU PRUŽNOS V ŠMYKU S POUŽÍM ORZNÉHO KYVADA. xpement uspoaajme poobne ako v pecházajúcej metóe, len namesto uhlomeného kotúča upevníme na olný konec tyče vhoné teleso (zotvačník), ktoého moment zotvačnost voč pozĺžnej os tyče je mnohonásobne väčší ako moment zotvačnost tyče samotnej. ak ostaneme ynamckú kmtavú sústavu, ktoá je schopná konať tozné kmty tozná tyč okolo toznej os (ob. 1) tozné kyvalo. P otáčaní telesa okolo toznej os pôsobí efomovaná tyč na teleso momentom sly poľa (11), ale opačného znamenka. Potom pohybová ovnca otačného pohybu okolo toznej os bue ε M, R Ob. 1 zotvačník ke je moment zotvačnost telesa vzhľaom na os otáčana ε ϕ /t je uhlové zýchlene. Po osaení za M zo vzťahu (1) a úpave ostane pohybová ovnca tva ϕ + ϕ t. (16) Rešením tejto feencálnej ovnce je hamoncká funkca tvau ( ω ψ ) ϕ ϕ sn t +, o čom sa môžeme pesvečť jej pamym osaením o ovnce (16), ke ω / je uhlová fekvenca kmtavého pohybu a súvsí s peóou vzťahom ω π /. Moul pužnost v šmyku potom vyjaíme vzťahom 4π (17) o ktoého za osaíme vzťah (1) a za moment zotvačnost zaveseného telesa (ak je telesom valec, potom mr /, ke m je hmotnosť valca a R jeho polome). Úlohy: 1. Zmeať moul pužnost v toz pe ôzne mateály.. Stanovť náholú chybu výsleku. Postup meana a spacovane výslekov: 1. Zostavíme tozné kyvalo a učíme pamym meaním honoty jeho paametov (ĺžku tyče, pečne ozmey tyče, ozmey a hmotnosťzaveseného telesa). Dané paamete meame vackát (aspoň 1-kát) stanovíme ch pemené honoty a píslušné náholé chyby.. Zmeame teplotu mestnost.
3. Kyvalo slabo ozkmtáme a postupnou metóou učíme peóu kmtov vátane chyby meana. Meame aspoň 1 peó. Úaje zapsujeme o tabuľky V. abuľka V. Počet pe. n n [s] Počet pe. (n+5) (n+5) [s] τ(n+5) - n 5 ( ) τ τ ke τ je atmetcký peme. Peóu učíme aspoň pe ve ôzne ĺžky kyvala. 4. Opäť zmeame teplotu mestnost. 5. Dosaením honôt pamo meaných velčín o vzťahu (17) vypočítame honotu meanej velčny. Učíme chybu meana (výsleku) s uvážením pacálnych píspevkov chýb jenotlvých pamo meaných velčín poľa vzťahu + + +, (18) v ktoom elatívne chyby momentov zotvačnost a učíme zo vzťahov 4 + ; R m R m. (19) Výsleok uveeme v tvae ±. Kontolné otázky: 1. Napíšte Hookov zákon pe efomácu v šmyku.. Napíšte vzťahy pe elatívne posunute a mechancké napäte p efomác šmykom. 3. Objasnte fyzkálny význam moulu pužnost v šmyku. 4. Pečo je možné meať moul pužnost v šmyku z toze ôtu (tyče)? 5. Čo je neutálne vlákno a kaaľ pecháza? 6. Popíšte metóu postupných meaní. 7. Ovoďte vzťahy pe výpočet chyby výsleku (15), (18), (19).