3 VLASTNOSTI RIEŠENÍ SCHRÖDINGEROVEJ ROVNICE

Transcript

1 LASTNOSTI RIEŠENÍ SCHRÖDINGEROEJ RONICE. ÚOD tejto katole s všmneme oobnejše nektoé všeobecné vlastnost ešení asovej Schöngeovej ovnce e jenú astcu v slovom ol oísanom otencálnou enegou. Postune sa bueme zaobea s ovncou kontnuty, s asovou závslosou stených honôt fyzkálnych velín a s Ehenfestovým vetam, ktoé ukazujú súvslos mez kvantovým a klasckým osom ohybu astce v slovom ol. Naokon sa ešte az ozeme na staconáne stavy a ukážeme, ako omocou nch možno fomálne oísa asový vývoj ubovoného stavu.. RONICA KONTINUITY Ak oznáme stav, t. j. vlnovú funkcu Φ uvažovanej sústavy v stom okamhu t 0, otom veme omocou Schöngeovej ovnce eovea, v akom stave sa bue sústava nacháza v ubovonom neskošom okamhu t. Stav v ase t je aný ešením ovnce. ψ ψ + ψ t m so zaatonou omenkou ψ Φ Teaz s ukážeme, že ešena ovnce, bez ohau na esný tva zaatonej omenky, sajú stý vzah, ktoý je fomálne úlne ovnaký ako ovnca kontnuty v hyoynamke. Postuova bueme sto fomálne. Rovnca komlene zužená k je ψ * ψ * + ψ * t m Násobme funkcou ψ* a funkcou ψ a ooítajme uhú ovncu o vej. P úave využjeme vzah ψ* ψ ψ ψ*.ψ* ψ ψ ψ* ' 7

2 známy z vektoovej analýzy. Dostávame ψ * ψ. ψ * ψ ψ ψ * t m ýaz ψ*ψ, ktoý má význam hustoty aveoobnost výskytu astce v okolí bou v ase t oznaíme ρ. alej zaveeme oznaene j ψ * ψ ψ ψ * 4 m a ovncu môžeme eísa o tvau ρ +. j 0 t Rovnca 5 má analogcký tva ako ovnca kontnuty v hyoynamke, nazývame ju tež ovncou kontnuty. Ako bue zejmé z alšeho výklau, fyzkálny zmysel tejto ovnce je analogcký jej významu v hyoynamke. Ak stav sústavy v ase t 0 bol aný nomovanou stavovou vlnovou funkcou Φ Φ* Φ 6 otom je ozené ožaova, aby asovom vývoj stavu bola celková aveoobnos výskytu astce v celom estoe v kažom ase t ovná jenej. Rešena SchR ané zaatonou omenkou by tea mal sa omenku 5 ψ * ψ 7 ktoá vyjauje tvalú estencu astce. Rešena SchR túto omenku skutone sajú. Možno to jenoucho ukáza omocou ovnce kontnuty. Ak estuje ntegál 7, otom honota výazu ψ* ψ klesá e ýchlejše ako. Peoklaajme alej, že aj výazy tyu ψ*ψ/ψ. klesajú ýchlejše ako. Potom z ovnce kontnuty vylýva ρ. j S j. S ke S je locha, ohanujúca objem. lmte lošný ntegál v ôsleku vyslovených eoklaov konveguje k nule. Dostaneme tea ntegovaní cez celý esto ρ 0 8 8

3 Integál v 7 je nezávslý na ase, a etože sa zaatonú omenku 6, je vzah 7 slnený. Platnos omenky 7 je v skutonost vem ôležtá. Ukazuje konzstentnos SchR ako ovnce uujúcej asový vývoj stavov s aveoobnostnou nteetácou vlnovej funkce ; omenka 8 je vlastne zákonom zachovana celkovej aveoobnost. Rovnca kontnuty má význam zákona zachovana aveoobnost v feencálnom tvae. Na záve lánku uobíme ešte t oznámky k ovnc kontnuty.. Je užtoné s všmnú, že ovnca kontnuty 5 latí nezávsle o tvau otencálu za eoklau, že otencál je eálny. Pe komlený otencál Re + Im ostaneme o oobných úavách ako ovoení 5 ovncu kontnuty v mofkovanom tvae Im ρ +. j ρ 9 ke ρ ψ*ψ a j je ané ovncou 4. Ak otencál má nenulovú magnánu as, tak avá stana 9 ukazuje, že v mestach, ke je Im > 0, vznkajú nové astce. Poobne v mestach, ke Im < 0 sú astce ohlcované. Tento uhý ía sa oužíva fenomenologckom ose oztylu astíc na jaách, ke jao ohlcuje oaajúce astce. Po ohltení vznkajú komlkované jaové eakce, ale oaajúca astca sa už nemusí objav; z haska užného oztylu je vtey statená.. Rovncu 8 možno ovo aj bez etalných eoklaov o oeátoe H. Pe jej latnos staí, aby oeáto H bol hemtovský. Skutone, zaíšme SchR v tvae ψ Hψ 0 t ψ * Hψ * t Násobme 0 ψ* a zase ψ a ooítajme uhú o vej. Po ntegovaní cez celý esto ostaneme : t ψ * ψ [ ψ * Hψ Hψ * ψ ] a e hemtovský oeáto H sa avá stana ovná nule.. Ak vlnová funkca ψ osuje astcu s nábojom e, zavázame hustotu náboja ρ' a hustotu úu náboja j' vzahm ρ' eρ e ψ 9

4 e j' ej ψ * ψ ψ ψ * m Pe teto velny latí tež ovnca kontnuty ρ +. j 0 t ktoá vyjauje zákon zachovana elektckého náboja.. ASOÁ ZÁISLOS STREDNÝCH HODNÔT Stená honota velny F, ktoej je aený oeáto F je v stave oísanom v ase t vlnovou funkcou ψ aná vzahom F ψ * Fψ ke sme elctne zaísal fakt, že stená honota velny F bue vo všeobecnost závse o asu. nektoých íaoch môže by užtoné vee vyoíta e aný stav ψ* amo evácu funkce F oa asu bez toho, aby sme najv oítal funkcu F Ak oeáto F nezávsí elctne o asu, ostaneme ostune o využtí SchR: F F ψ * ψ Fψ + ψ * F t t ψ * [ FH HF] ψ Ozname oeáto v oslenom ntegál 6 oznaení oa máme F [ F, H] FHHF F ψ * F ψ Poznamenajme, že oužté oznaene je z haska ncíu koešonence vem ozené. klasckom íae asová eváca velny F má oä význam 6 Zôaznme tu, že Ḟ je oeáto aený asovej evác velny F a ne eváca oeátoa F. 0

5 nejakej fyzkálnej velny G. Ako íkla uveme ía jenej astce a velny oloha astce. asová eváca má význam ýchlost v astce. Ak oznáme oeáto F íslušný velne F a haáme, aký oeáto slúcha klasckej velne Ḟ, otom je z haska ncíu koešonence ozené a velne Ḟ taký oeáto F, aby latl vzah F F es. s elctným vyísaním efníce stených honôt ψ * ψ ψ * Fψ F 4 Defníca oeátoa Ḟ omocou vzahu zabezeuje slnene vzahu 4, ožaovaného ncíom koešonence. Naíkla e oeáto aený k asovej evác súance máme oa vzahu [, H] 5a a oobne e oeáto aený k asovej evác -súance hybnost máme [, H] 5b Tým sme sa ale ostal o zaujímavej stuáce v otázke vzahu klasckej a kvantovej mechanky. Ak totž v klasckej mechanke osujeme ohyb jenej astce v slovom ol oísanom otencálnou enegou a ak za emenné chaaktezujúce klascký stav astce vybeeme a, otom máme klascké ohybové ovnce 6a m F 6b Pýtame sa, ozene, na to, aký je súvs ohybových ovníc 6 a vzahov 5 latných e oeátoy v kvantovej mechanke. 64 Ako uvíme v nasleujúcom 64 Súvs mez vzahm 5 a 6 musíme ove eto, lebo môže vznknú naíkla otázka tyu ako sávne efnova ovezme oeáto ýchlost astce. našom oteajšom výklae sme oužíval metóu, ktoej najv vyjaíme klasckú velnu ýchlos omocou klasckých velín súance a hybnost a otom v tomto vyjaení nahaíme a íslušným oeátom oovnaj... Takémuto ostuu ooveá efníca oeátoa ýchlost oa ooveajúceho vzahu 6a. zah 5a estavuje altenatívnu efnícu. Ako uvíme v nasleujúcom lánku, obe efníce sú ekvvalentné.

6 lánku, tento súvs je vem tesný a vzahy 5, ako sa ukáže, buú vlastne esom klasckých vzahov 6 o jazyka oeátoov. Fyzkálne má toto tvene, e náš jenouchý íkla astce v slovom ol, jasnú fyzkálnu nteetácu obsahnutú v Ehenfestových vetách lánok.4. nektoých íaoch môže oeáto F závse elctne o asu. Po mnmálnych mofkácách echázajúceho ostuu ostaneme v tomto íae F [ F, H]+ F 7 t Ak sa v klasckej mechanke ohybe sústavy nemení honota utej velny, otom túto velnu nazývame ntegálom ohybu. kvantovej mechanke je efníca analogcká: ak sa stená honota velny F nemení asovom vývoj ubovoného stavu sústavy, otom velnu F nazývame ntegálom ohybu. zhaom na ovncu je omenkou e to, aby velna F bola ntegálom ohybu slnene vzahu Ḟ 0 Ak sa obmezíme ba na také velny, ktoých oeátoy F nezávsa elctne o asu, otom velna F je ntegálom ohybu áve vtey, ak latí [F, H] 0 tea ke oeáto F aený tejto velne komutuje s hamltonánom H. Poznámka: Rovnca 7 omína ohybovú ovncu klasckej mechanky, zaísanú omocou Possonových zátvoek. Ak je sústava v klasckej mechanke oísaná zovšeobecneným súancam q q, q,..., q N a íslušným kanoncky zuženým hybnosam,,..., N, tak e asovú zmenu ubovonej fyzkálnej velny F Fq,, latí: 65 ke { F, H} F F { F, H}+ t N k F H qk k F k H qk P echoe o klasckej mechanky k mechanke kvantovej teba zamen klasckú Possonovu zátvoku za komutáto oeátoov oa vzahu { F, H} [ F, H ] 65 Poz na. Lanau, L. D. Lfšc, E. M.: Mechanka. Moskva 965.

7 Táto analóga ne je len fomálna, ale estavuje as najhlbší súvs mez klasckou a kvantovou mechankou EHRENFESTOE ETY klasckej mechanke lata e jenu astcu, ktoá sa ohybuje vo vonkajšom ol oísanom otencálnou enegou, Newtonove ovnce m la b Ehenfestove vety tva, že v kvantovej mechanke lata ovnce e stené honoty íslušných velín m a b Dokážeme teaz ovncu a e súancu. Poa echázajúceho lánku latí: [ H H] ýaz v hanatej zátvoke je oeáto. Aby sme ho uavl na ehanejší tva alkujeme ho na ubovonú funkcu. Za H osaíme známy výaz a využjeme jenouché vzahy H + m 0 0 y y z z 66 Na oobnejše štúum ooúame I. ka. Dacovej monogafe [4].

8 4 Dostaneme: m m H H Petože táto ovnca latí e kažú funkcu, môžeme ju eísa v oeátoovom tvae ako m H H Po osaení 4 o ostaneme ovncu a e zložky. P okazovaní ovnce b ostuujeme analogcky. yjeme zo vzahu vylývajúceho z lánku. ] [ t H H 5 Oeáto v hanatej zátvoke alkujeme otom na funkcu a ostune ostaneme: ] [ ] [ ] [ + H H Oa vylýva: ] [ H H a o osaení o 5 ostaneme ovncu b e, o sme chcel okáza. Ovoene vzahov a a b e zostávajúce zložky a je úlne entcké s echázajúcm ostuom a nebueme ho uváza. Fyzkálny význam Ehenfestových vet je v nasleujúcom. Pe stené honoty * * lata ovnce a a b. Pvá z nch vaví, že asová zmena je ovná stenej honote hybnost astce elenej m, o ooveá stenej honote ýchlost. Pe asovú evácu stenej honoty hybnost ostaneme oa b

9 * 7 ke na avej stane máme honotu zložky sly ôsobacej na astcu. Takto Ehenfestove vety ukazujú, že stené honoty fyzkálnych velín v kvantovej mechanke sajú vzahy, ktoé v klasckom íae sajú samotné fyzkálne velny. Tu víme ôvo, eo naše jenouché numecké a zväša ba áové ohay velín v atómovej fyzke, ktoé sme obl v vej katole, bol omene úsešné, hoc sme neoužíval úlný kvantovomechancký aaát. 67 P Ehenfestových vetách s ešte teba uveom, že vzahy ako 7 vava ba o tom, ako sa sávajú stené honoty fyzkálnych velín a nehovoa o tom, ako sa mení s asom tva vlnového balíka aeného stavu astce..5 STACIONÁRNE STAY Somez všetkých stavov sústavy význané mesto z haska asového vývoja zaujímajú vlastné stavy oeátoa enege 68 H. Ozname vlnové funkce slúchajúce vlastným stavom H ako Φ n. Platí tea eoklaáme skétne sektum: Haajme teaz ešena SchR ktoé sajú zaatoné omenky HΦ n E n Φ n ψ n Hψ n t ψ n t 0 Φ n Funkca ψ n je vzhaom na emennú t ešením lneánej feencálnej ovnce vého áu. Peto je ovncou a zaatonou omenkou uená jenoznane. ahko sa esveíme o tom, že ψ n E n t e Φ n 67 Hlbší oha na súvs mez kvantovou a klasckou mechankou vno z kvázklasckého blížena k ohybovým ovncam kvantovej mechanky. Poz na. Davyov A. S.: Kvantová mechanka, SPN, Paha Peoklaáme, že H nezávsí elctne o asu. 5

10 je haaným ešením. íme, že asová závslos staconáneho stavu vlastného stavu H je vem jenouchá a tom taká, že oas asového vývoja staconány stav ostáva vlastným stavom H slúchajúcm tej stej honote E n ako v ase t 0. Skutone, v kažom ase t je slnený vzah Hψ n E n ψ n Tea enega sústavy oísanej vlnovou funkcou ψ n má stále ostú honotu ovnú E n. Platí aj oané tvene. Ak nejaký stav ψ n má jenouchú asovú závslos anú vzahom ψ Et e Φ a záove je ešením Schöngeovej ovnce, otom Φ je vlastným stavom hamltonánu. Skutone, vlnová funkca musí sa SchR: ψ n Hψ n t Et e Φ H e t Et Ee Φ H e Et Et EΦ HΦ Φ Φ tea Φ je skutone vlastným stavom Hamltonánu. 69 Pomocou staconánych stavov možno ahko fomálne nájs asový vývoj ubovoného stavu, t. j. nájs ešene SchR sajúce ubovonú okajovú omenku ψ n Hψ n 4 t ψ n t 0 0 Φ 5 Ak eoklaáme, že staconáne stavy Φ n tvoa úlný systém stavov, otom funkcu Φ môžeme ozlož o au n Φ c Φ 6 n n 69 Tu víme ôvo, eo sa nám v vej katole oalo nájs možné skétne hlany sústav omocou mechanckej analóge s hamonckým kmtm, ktoých asová závslos bola aná jenou fekvencou ω a bola tvau e ω. 6

11 ke koefcenty c n sú ané vzahom cn Φ n Φ 7 * asový vývoj stavu Φ otom nájene omocou ncíu sueozíce. ahko sa možno esve o tom, že funkca n Ent n ψ t e c Φ 8 je haaným tom jenoznaným ešením ovnce 4 so zaatonou omenkou 5. Pomocou ovníc 7 a 8 môžeme osta ešte jeno vem ôležté vyjaene funkce ψ osujúcej stavy sústavy v ase t omocou stavu ψ n t 0 0 Φ. Ak o 8 osaíme koefcenty c n vyjaené omocou 7, ostaneme ψ n G t ;, t0 ψ n, t0 9 ke sme oznal N E tt G t t Φ n Φ * n /, ;, lm n e Θ t t 0 N n 0 Postuom mez ovncam 5 a 8 sme okázal vzahy 9, 0 e šecálny ía t 0 0, ale zovšeobecnene na stuácu, v ktoej je zaatoná omenka aná vzahom ψ n t 0 Φ e t 0 0, neestavuje ažkost a enecháme ho tateov. Na avej stane v ovncach 9 a 0 sa objavuje fakto, ktoý sa navzájom komenzuje, jeho ítomnos je len otázkou konvence. o vzahu 0 sa okem toho, o získame osaením zo vzahu 8 vyskytuje fakto t t', o je tzv. -funkca efnovaná vzahom e t > t Θ t t 0 e t t ýznam zaveena -funkce o vzahu 0 bue zejmý až neskô. Fyzkálny význam 9 je zaujímavý. Ak s totž estavíme, že v ase t 0 je stav oísaný vlnovou funkcou lokalzovanou vem slne v okolí bou 0 ; otom v ase t bue stav astce oísaný vlnovou funkcou G t; 0, t 0. Takto je G t; 0, t 0 vlnou, ktoá vznkla z boového zoja v ase t 0 v meste 0. Integál v 9 nám hovoí, že vlnová funkca v ase t je sueozícou ísevkov o jenotlvých boových zojov v ase t 0. stom zmysle je vzah 9 vyjaením kvantovomechanckého analógu Huygensovho ncíu, známeho z otky a všeobecne z teóe šíena vlnových ocesov. ýaz G t; ', t' sa nazýva oagátoom, alebo Geenovou funkcou a jeho elatvstcké zovšeobecnena hajú vem ôležtú úlohu v kvantovej teó olí, vo fyzke elementánych astíc v teó tuhých látok. tejto uebnc sa s oagátom G t; ', t' ešte stetneme v 6. katole. n 7

12 .6 PRÍKLADY A PROBLÉMY. Náje hustotu úu aveoobnost e ovnnú vlnu nomovanú na konený objem.. Ukážte, že v staconánom stave je stená honota velny eezentovanej oeátoom nezávslým elctne o asu, konštantná t. j. nezávslá o asu.. astca sa ohybuje v ol oísanom otencálom. staconánom stave je asová eváca stenej honoty ubovonej, o asu elctne nezávslej velny nulová. yužte. 0 a ovote oa vzah T. ke T oznauje stenú honotu knetckej enege astce. Ako môžeme eísa, ak C n? 4. Ukážte, že ak vlnová funkca ψ, ktoá je ešením SchR, je vlastnou funkcou oeátoa A v ase t t 0 a oeáto A nezávsí elctne o asu a komutuje s hamltonánom, otom je ψ vlastnou funkcou oeátoa A v ubovonom ase a íslušná vlastná honota sa s asom nemení. 8