Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 1. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: Ι ΑΠ. 36 2. Να δείξετε ότι: i) Για κάθε x (0, + ), 2x e x + e x -1 > 0 ii) Θεωρώ την συνάρτηση f(x) = 2x e x + e x - 1 iii. Αρκεί να δείξω. Θεωρώ την συνάρτηση η οποία είναι γνήσια φθίνουσα. 3. Να δειχθεί ότι: Αν 0<x<1 0< x 2 <1 4. Να δειχθεί ότι, αν 0<α<β τότε: Η συνάρτηση στο διάστημα [α, β] με 0<α<β είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής 5. Να δειχθεί ότι: Η συνάρτηση στο διάστημα [0, 1] είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής 6. Να δειχθεί ότι: Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο [0, π/2] 7. Να δειχθεί ότι:. Δίνεται ότι: Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο [0, π/4] 8. Αν i), να αποδείξετε ότι:, για κάθε t, x>0 ii) Δημήτριος Βαμβακίδης Σχολικός σύμβουλος ΠΕ03 Ν. Χανίων Σελίδα 1

i) Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, + ) ii) Για κάθε x και t ισχύει:, οπότε 0 ή 0 ή Εξάλλου είναι:, οπότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής 9. Να αποδειχθεί ότι: Θεωρώ την συνάρτηση, x η οποία είναι γνήσια φθίνουσα στο [0, 1]. Επομένως f(1) f(x) f(0). 10. Δίνεται η συνάρτηση F με F(x)=, x>0 α) Να υπολογιστεί η παράγωγος F (x) στο σημείο x β) Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της F και η ευθεία y=1 τέμνονται σε σημείο του διαστήματος ( ΑΠ. α) β) θεωρείστε την συνάρτηση g(x)= στο και Bolzano 11. Δίνεται η συνάρτηση F(x)=, x α) Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια και τη μονοτονία β) Να βρεθεί η μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο [-4, 4] γ) Να μελετηθεί ως προς τα κοίλα ΑΠ. α) γνήσια αύξουσα στο [-4, 4] β) Ελάχιστο F(-4)= dt = = = -10, Μέγιστο F(4) = = 6 γ) F (x) = -1 αν x<0 και F (x) = 1 αν χ>0 συνεπώς η F στρέφει τα κοίλα κάτω στο [-4, 0] και πάνω στο (0, 4] Δημήτριος Βαμβακίδης Σχολικός σύμβουλος ΠΕ03 Ν. Χανίων Σελίδα 2

12. Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο [0, 2], η οποία παραγωγίζεται δύο φορές και για την οποία ισχύουν f (0) = 0 και f(x) f (x)-2[f (x)] 2 =m f 3 (x), m (0, 2]. Έστω g μια συνάρτηση συνεχής για την οποία ισχύει για κάθε x [0, 2]. Να προσδιοριστεί το m ώστε η συνάρτηση u με u(x) = 2x-g(x) να είναι σταθερή στο [0, 2]. Να βρεθούν οι τύποι των u, g. ΑΠ. m=1, g(x) =, Αφού η συνάρτηση u είναι σταθερή για να βρούμε τον τύπο της αρκεί να υπολογίσουμε μια τιμή της. Για x=0 u(0) = 2 0 g(0) = 0 u(x)=0 και g(x)=2x 13. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και για κάθε x R ισχύει:, να βρείτε την τιμή f(9). ΑΠ. π/2 14. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και για κάθε x R ισχύει: f(x)=, να αποδείξετε ότι: f (x)=3g(3x+2)-g(x) 15. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: i) ii) ΑΠ. i) Αν f(x) =, τότε για κάθε x [0, + είναι f (x) = η f ως παραγωγίσιμη είναι και συνεχής, οπότε:. Επομένως = ii) συν5 16. Έστω η συνάρτηση f: (0, + με f(x)= i) Να βρεθεί η παράγωγος της f ii) Να βρεθεί η εφαπτομένη του διαγράμματος c της f στο =1 Δημήτριος Βαμβακίδης Σχολικός σύμβουλος ΠΕ03 Ν. Χανίων Σελίδα 3

iii) Να προσδιοριστεί ο μ R ώστε η ευθεία ε: y = ( να είναι κάθετη στην εφαπτομένη του ερωτήματος (ii). i) Έστω h(x) =, x R και g(x) =3, x (0, + Η h είναι παραγωγίσιμη στο R με h (x)= (0, + g g(a) Η g είναι παραγωγίσιμη στο (0, +, με g (x)=6x-2 και g(a)=[, η f=hog είναι f=hog h παραγωγίσιμη στο (0, + με f (x)=h (g(x)) g (x)= R ii) Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο x o με f (1) =8 και f(1)= η εξίσωση της εφαπτομένης του c f στο x o = 1 είναι: y-f(1)=f (1)(x-1) y=8x-8 iii) μ = 17. Έστω η συνάρτηση f: R R με f(x) =. Δείξτε ότι f(5)-f(3)< Η συνάρτηση g με g(x) = είναι συνεχής στο R άρα ολοκληρώσιμη, οπότε η f είναι παραγωγίσιμη στο R και εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. του διαφορικού λογισμού για την f στο [3, 5] έχουμε: f(5)-f(3) = f (x o ) (5-3) f(5)-f(3) = 2 f (x o ) (1) f (x) = ( ) = f (x o ) = (2), x o (3, 5) x o >3 +3>12 (3). Α ό f(5)- f(3) < = 18. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f(x) = ΑΠ. 19. Να προσδιορίσετε το όριο: ) ΑΠ. Δημήτριος Βαμβακίδης Σχολικός σύμβουλος ΠΕ03 Ν. Χανίων Σελίδα 4

20. Αν F(x) = να βρεθεί η F (1) Έστω h(x) =, x R και g(x) =, x R. Επειδή Η h είναι παραγωγίσιμη στο R με h (x) = Η g είναι παραγωγίσιμη στο R με g (x) = x Τότε η F = hog είναι παραγωγίσιμη στο R με F (x) = h (g(x)) g (x) = και F (x) =, οπότε F (1)=e 0 e 2 +e 0 (e+e)=e 2 +2e 21. Αν για κάθε x (0, + είναι g(x) =, να δείξετε ότι g(x) = 0, x>0 ΑΠ. Αφού δείξω ότι g (x) = 0 για κάθε x (0, + g(x) = c, c R. g(1) = 0, οπότε g(x) = 0, x>0 22. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο R και η g με τύπο:, να βρεθεί ο α R αν η κλίση της f στο x 0 = 1 είναι 2, f(1) = 3f (1) και η g στο x 0 = 1 παρουσιάζει καμπή. ΑΠ. α = -4/13 23. Ένα κινητό κινείται πάνω σε έναν άξονα συντεταγμένων, έτσι ώστε η ταχύτητα του σε m/sec να δίνεται κάθε χρονική στιγμή t από τον τύπο: V(t) = t 2 -t-6. Να υπολογιστεί το διάστημα που διανύει το κινητό από τη χρονική στιγμή t = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t = 4 α, όπου α είναι το ( ) ΑΠ. α = 1, S = = Δημήτριος Βαμβακίδης Σχολικός σύμβουλος ΠΕ03 Ν. Χανίων Σελίδα 5

24. Αν η f παραγωγίσιμη στο (0, + ), να βρεθεί α R ώστε η C f να διέρχεται από το σημείο Α(1, 5α+3) και ΑΠ. α=1 25. Να προσδιοριστούν οι κ, λ R ώστε η συνάρτηση f με: f(x)= { να είναι συνεχής στο [0, 2] ΑΠ. (λ, κ) = (4, 5-6e), ή (λ, κ) = (1, -1-6e) 26. Αν α = και β = να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: ΑΠ. α = 1/2, β =1/3, ολοκλ.= 27. Να βρεθεί το όριο: Υπολογίζω τα ολοκληρώματα και κανόνας DE L HOSPITAL ΑΠ. + 28. Έστω η συνάρτηση f με f(x) = αx 3 +βx 2 +5, όπου α, β R i) Να προσδιοριστούν οι α, β ώστε το C f να εμφανίζει καμπή στο (1, 2) ii) Για τις τιμές των α, β του i) ερωτήματος: α) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της f β) Δείξτε ότι:, όπου ρ η θέση του σημείου καμπής και ρ 1, ρ 2 οι θέσεις τοπικού ελαχίστου και τοπικού μεγίστου αντίστοιχα της f. ΑΠ. i) α = -1, β = 3 ii) Τ.Ε. στο 0, f(0)=5 και Τ.Μ. στο 2, f(2)=9 29. Να βρεθεί ο τύπος της πολυωνυμικής συνάρτησης f του μικρότερου βαθμού που έχει τοπικό μέγιστο 15 για x = 2 και τοπικό ελάχιστο 11 για x = 4. Η ζητούμενη συνάρτηση f σαν πολυωνυμική θα είναι παραγωγίσιμη στο R. Επομένως τα τοπικά ακρότατα θα παρουσιάζονται στα σημεία που μηδενίζεται Δημήτριος Βαμβακίδης Σχολικός σύμβουλος ΠΕ03 Ν. Χανίων Σελίδα 6

η πρώτη παράγωγος. Ακόμη η παράγωγος συνάρτηση f θα είναι πολυωνυμική. Συνεπώς θα είναι της μορφής f (x) = α(x-2)(x-4). f(x) = α f(x) = α( (1), f(4) = 11 (2), από (1), (2) α=3. Άρα η f θα έχει τύπο f(x) = x 3-9x 2 +24x+5 30. Έστω η συνάρτηση f για την οποία ισχύουν: f συνεχής στο [0, + ) και f(x)>0 για κάθε χ>0. i) Να δειχθεί ότι: για κάθε x>0 ii) Έστω η συνάρτηση Φ(x) =, x>0. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η Φ(x) στο (0, + ). i) Θεωρούμε την συνάρτηση Η(x) =, η Η(x) παραγωγίζεται Η (x) = γιατί f(x)>0 για κάθε x>0, οπότε η Η(x) γνήσια αύξουσα στο (0, + ). x>0 Η(x)>Η(0) =0 δηλαδή: ii) Η Φ(x) είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων Φ (x) = ( ) = [ ] (1) Από (i) Η(x)>0 για κάθε x>0 και από υπόθεση f(x)>0 για κάθε x>0, επομένως από (1) παίρνουμε: Φ (x)>0 για κάθε χ>0, άρα Φ(x) γνήσια αύξουσα στο (0, + ). 31. Αν η συνάρτηση h είναι συνεχής στο R και g(x) =, δείξτε ότι αν η h είναι γνησίως αύξουσα στο R τότε και η g είναι γνησίως αύξουσα στο R. Δημήτριος Βαμβακίδης Σχολικός σύμβουλος ΠΕ03 Ν. Χανίων Σελίδα 7

32. Να βρεθεί συνάρτηση f: R R παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει η σχέση: f(x) = x 3 για κάθε x R. Παρατηρούμε ότι όταν x = 0 έχουμε f(0)=0. Θέτουμε x-t = y t = x-y τότε dt = -dy. Επίσης όταν t = 0 τότε y = x και όταν τα t = x τότε y = 0 οπότε: f(x) = x 3 + f(x) f(x) (1) Αν παραγωγίσουμε την (1) έχουμε: - -, Άρα: Αλλά f(0) = 0 οπότε f(x) = 33. Η καμπύλη (c) βρίσκεται κάτω από τον άξονα των x στο διάστημα [α, β]. Αν η επιφάνεια που ορίζεται από την καμπύλη (c), τον άξονα των x και τις ευθείες x = α και x = β έχει εμβαδόν: Ε = (β-1)e β (α-1)e α τότε: i) Να βρεθεί η εξίσωση της καμπύλης (c): y = f(x) ii) Να υπολογιστεί το όριο: i) Ε = (β-1)e β (α-1)e α = (1) Επειδή η καμπύλη (c) βρίσκεται κάτω από τον άξονα των x θα έχουμε y = f(x)<0 και από (1) προκύπτει y = -xe x για κάθε x>0. ii) και = + Δημήτριος Βαμβακίδης Σχολικός σύμβουλος ΠΕ03 Ν. Χανίων Σελίδα 8

Δημήτριος Βαμβακίδης Σχολικός σύμβουλος ΠΕ03 Ν. Χανίων Σελίδα 9