Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες συνάρτησης Μονοτονία Συνάρτησης Ορισμοί Α) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα υποσύνολο Β του Πεδίου Ορισμού της όταν : για κάθε, B με < f( ) < f( ). Β) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα υποσύνολο Β του Πεδίου Ορισμού της όταν : για κάθε, B με < f( ) > f( ). Γ) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της, θα λέμε ότι είναι γνησίως μονότονη στο Β. Παραδείγματα Η συνάρτηση f() = 3 + είναι γνησίως αύξουσα στο R, ενώ η συνάρτηση g() = 3 + είναι γνησίως φθίνουσα στο R.
= 3 + = 3 + Η συνάρτηση f() = 6 + 5 είναι γνησίως αύξουσα στο [3,+ ) και γνησίως φθίνουσα στο (-, 3]. = 6 + 5
3 Η συνάρτηση f() = 3 + 3 7 + 36 είναι γνησίως αύξουσα στο (-, 6] [4,+ )και γνησίως φθίνουσα στο [-6,4]. = 3 + 3 7 + 36 = 3 + 3 7 + 36 3
4 Ακρότατα συνάρτησης Ορισμοί Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α, λέμε ότι έχει ολικό μέγιστο σε ένα σημείο 0 A, όταν ισχύει : f( ) f( 0 ) για κάθε Α. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α, λέμε ότι έχει ολικό ελάχιστο σε ένα σημείο 0 A, όταν ισχύει : f( ) f( 0 ) για κάθε Α Ολικό μέγιστο Ολικό ελάχιστο 4
5 Αρτια - περιττή Ορισμοί α) Κάθε συνάρτηση f : A R, όπου Α R για την οποία ισχύουν : I. A A και II. f( ) = f( ) λέγεται άρτια. β) Κάθε συνάρτηση f : A R, όπου Α R για την οποία ισχύουν : I. A A και II. f( ) = f( ) λέγεται περιττή. Παρατήρηση: Από τον ορισμό προκύπτει ότι μια άρτια συνάρτηση σε αντίθετες μεταβλητές έχει τις ίδιες τιμές άρα: Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον. π.χ. Ο π.χ. Τα σημεία Μ(, f()), Μ (-, f(-)) ανήκουν στην γραφική παράσταση και αφού f(-)= f() έχουν μορφή Μ(, ), Μ (-, ) 5
6 Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο(0,0). π.χ. Ο π.χ. Τα σημεία Μ(, f()), Μ (-, f(-)) ανήκουν στην γραφική παράσταση και αφού f(-)= -f() έχουν μορφή Μ(, ), Μ (-, -) Μεθοδολογία εξέτασης αν μια συνάρτηση είναι Άρτια ή Περιττή Για να εξετάσω αν μία συνάρτηση f/a, είναι άρτια ή περιττή εξετάζω τα εξής: i. Αν για κάθε A είναι και - A (Δηλαδή αν το Α είναι σύνολο συμμετρικό ως προς το Ο). ii. Σχηματίζω το f(-) και κατόπιν με πράξεις καταλήγω να έχω: f() = -f() (οπότε η f είναι άρτια) ή f(-) = -f() (οπότε η f είναι περιττή) Προσοχή! Το πεδίο ορισμού άρτιας ή περιττής συνάρτησης είναι κατ ανάγκη συμμετρικό σύνολο ως προς την αρχή Ο του άξονα χ χ των πραγματικών αριθμών. Τέτοια σύνολα είναι για παράδειγμα της μορφής: (-α,α), [-α,α], (-α,-β) (β,α), [-α,-β) (β,α] 6
7 Παραδείγματα α. f() = -3 Είναι A=R οπότε αν R και - R. Επίσης: f(-)=(-) -3 - = -3 =f() f(-)=f() Άρα η f είναι άρτια. β. f() = + Είναι A=IR-{0} Άρα: Αν IR-{0} τότε και - IR-{0} f(-) = (-) = - + - + - = + - = f() Δηλαδή f(-) = -f(). Άρα η f είναι περιττή. Σημείωση: Η μελέτη της άρτιας ή περιττής συνάρτηση γίνεται και εμπειρικά από την γραφική παράστασή της όπως αναφέρουν και οι παρατηρήσεις στους ορισμούς. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες είναι περιττές : 4 i) () = 3 + 5 ii) () = 3 + iii) f () = + f 3 5 iv) () = 3 v) f () = vi) () = f 4 Λύση 5 Το πεδίο ορισμού των δοσμένων συναρτήσεων, εκτός της, είναι το R. Οπότε, για κάθε R ισχύει και R. f 3 + f 5 f 6 + 7
8 i) f ii) f 4 4 ( ) = 3 ( ) + 5 ( ) = 3 + 5 = f () άρα f άρτια ( ) = 3 + = 3 + = f () άρα f άρτια iii) Είναι f3 ( ) = + = 0 και ± f 3 () = ± + = ± Άρα f3 ( ) ± f 3 (), άρα f3 ούτε άρτια ούτε περιττή iv) f 4 v) 3 ( ) = ( ) 3 3 5 = 3( ) 3 = + 3 3 5 = ( 3 ) = () άρα περιττή Πεδίο ορισμού είναι το Α = (, ) (, + ). Για κάθε A δεν ισχύει και Α, αφού Α και Α. Άρα vi) f 6 f 5 ούτε άρτια ούτε περιττή. ( ) ( ) = = = f (), άρα περιττή. 6 f6 ( ) + + Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες είναι περιττές : 5 5 ( ) f4 f4 i) () = ii) f () = iii) f () = + f 3 + iv) f () = 4 v) () = vi) () = f5 f6 + Λύση 8
9 i) Πεδίο ορισμού A = (, 0) (0, + ) Άρα για κάθε ισχύει και ( ) = = = () οπότε άρτια f ii) Πρέπει 0, επομένως A = [, + ) Επειδή το δεν είναι συμμετρικό ως προς την αρχή Ο, η f δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή iii) A 3 = R και βέβαια συμμετρικό ως προς την αρχή Ο. f (-) = + 3 iv) = ( + ) ( ) = + = ( ) = () Άρα περιττή. Πεδίο ορισμού = (, 0) (0, + ) Άρα για κάθε ισχύει και A A f f A 4 + f3 f3 A A A 4 4 + + ( ) = = = () Άρα περιττή f4 f4 ( ) + + f4 v) A 5 = R και βέβαια συμμετρικό ως προς την αρχή Ο. f5 vi) ( ) = = = f5 () Οπότε f5 άρτια Πρέπει 0, άρα f 6 A 6 = [, ] συμμετρικό ως προς την αρχή Ο ( ) = ( ) = = () Οπότε f άρτια f6 6 9
0 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω γραμμές είναι γραφικές παραστάσεις άρτιας και ποιες περιττής συνάρτησης. = f() = g() = h() Λύση H f είναι συμμετρική ως προς κέντρο Ο, άρα είναι περιττή. H g είναι συμμετρική ως προς τον άξονα, άρα είναι άρτια H h δεν είναι συμμετρική ούτε ως προς τον άξονα κέντρο την αρχή Ο, άρα δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. ούτε ως προς Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω γραμμές είναι γραφικές παραστάσεις άρτιας και ποιες περιττής συνάρτησης. - - = f() = g() = h() 0
Λύση H f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα H h δεν είναι συμμετρική ούτε ως προς τον άξονα κέντρο την αρχή Ο, άρα δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή., άρα είναι άρτια H g είναι συμμετρική ως προς κέντρο το Ο, άρα είναι περιττή. ούτε ως προς Να συμπληρώσετε τις παρακάτω γραμμές ώστε να παριστάνουν γραφικές παραστάσεις α) Άρτιας συνάρτησης και β) Περιττής συνάρτησης Λύση α) C C C 3 β) C 3 C C -
Μεθοδολογία μελέτης της μονοτονίας συνάρτησης ι) Για να μελετήσουμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε έναν από τους παρακάτω κανόνες : Αφαιρετική μέθοδος α) Θεωρούμε δύο τυχαία, Α δηλαδή στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης, ώστε χ < χ. Βρίσκουμε το πρόσημο της διαφοράς Δ = f( ) f( ). Αν Δ > 0, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα ή αν Δ 0, τότε η f είναι αύξουσα. Αν Δ < 0, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα ή αν Δ 0, τότε η f φθίνουσα. Αν f( ) - f( ) < 0 η f είναι γνησίως αύξουσα. Αν f( ) - f( ) > 0 η f είναι γνησίως φθίνουσα. Παράδειγμα: Για την f : f() = Έστω, 0 με < τότε f( ) - f( ) = - - = Επειδή - < 0 τότε: = - Ι. Αν < 0 > 0 οπότε f( ) - f( ) > 0. Άρα f γνησίως φθίνουσα στο (-,0). ΙΙ. Αν < 0 > 0 οπότε f( ) - f( ) > 0. Άρα f γνησίως φθίνουσα στο (0,+ ).
3 Άρα f γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα (-,0) και (0,+ ). Λόγος μεταβολής f( ) f( ) β) Δημιουργούμε το λόγο μεταβολής ως εξής : λ =, 0. Tότε : Αν λ > 0, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα ή αν λ 0, τότε η f αύξουσα. Αν λ < 0, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα ή αν λ 0, τότε η f φθίνουσα. με Συνθετική μέθοδος γ) Θεωρούμε, Α και προσπαθούμε να δημιουργήσουμε τα f( ) και τα f( ).Υποθέτουμε ότι < ή > και βρίσκουμε αν f f ( ) ( ) ή f( ) < f( ) κ.λ.π. με βάση τους ορισμούς κι έτσι βρίσκουμε τί είναι η δεδομένη συνάρτηση. Παρατήρηση Αν βάση του ορισμού της μονοτονίας υπάρχουν κάποια, που δεν ισχύει η διάταξη, τότε δεν μπορούμε να καταλήξουμε σε συμπέρασμα. π.χ. f( ) =, ενώ για = < = τότε f() = < f() = 4. Δεν ισχύει το ίδιο για : = > = 3 τότε f() f( 3) 9 = < =. 3
4 Από τη γραφική παράσταση δ) Η προβολή της συνάρτησης στον άξονα χχ δίνει το πεδίο ορισμού της, οπότε τα διαστήματα εκείνα όπου η γραφική παράσταση της f είναι γραμμή ανερχόμενη από αριστερά προς τα πάνω δεξιά η f είναι γνησίως αύξουσα, σε εκείνα που η γραφική παράσταση είναι παράλληλη στην χχ είναι σταθερή, και σε εκείνα που η γραφική παράσταση είναι γραμμή από άνω αριστερά προς τα κάτω δεξιά, η f είναι γνησίως φθίνουσα. Η προβολή της συνάρτησης στον άξονα δίνει το σύνολο τιμών της. 4
5 Συνάρτηση με κλάδους Όταν εξετάζουμε την μονοτονία σε μια συνάρτηση με κλάδους, πρέπει να εξετάζουμε την μονοτονία κατά κλάδους. Ακρότατα συνάρτησης Τα ακρότατα μιας συνάρτησης είναι η μεγαλύτερη ή η μικρότερη τιμή που ενδέχεται να έχει μία συνάρτηση όταν το διατρέχει το πεδίο ορισμού της. Ορισμοί Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 A όταν f ( ) f ( 0 ), για κάθε A. To f( 0 ) λέγεται ελάχιστο της f στο Α, που παρουσιάζεται στο 0 Το σημείο Μ( 0,f( 0 )) είναι το χαμηλότερο σημείο της γραφικής παράστασης. Η f παρουσιάζει μέγιστο στο 0 A όταν f() f( 0 ), για κάθε A To f( 0 ) λέγεται μέγιστο της f στο Α, που παρουσιάζεται στο 0 Το σημείο Μ( 0,f( 0 )) είναι το υψηλότερο σημείο της γραφικής παράστασης. Το μέγιστο της f και το ελάχιστο της f λέγονται ακρότατα της συνάρτησης f. 5
6 Για να μελετήσουμε μια συνάρτηση ως προς τα ακρότατα : α) Βρίσκουμε το πεδίο τιμών της συνάρτησης. Αν είναι της μορφής [α,β], τότε μέγιστο είναι το β και ελάχιστο το α. Αν είναι της μορφής (α,β], τότε μέγιστο είναι το β και ελάχιστο δεν υπάρχει κ.λ.π. β) Από τη μονοτονία : Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο ( a, ) και γνησίως αύξουσα στο ( β ), με πεδίο ορισμού (α,β), τότε έχει ελάχιστο στο 0 0,, όπου 0 ( αβ, ). Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ( a, ) και γνησίως φθίνουσα στο ( β ) με πεδίο ορισμού (α,β), τότε έχει μέγιστο στο 0 0,, όπου 0 ( αβ, ). γ) Ξεκινάμε από την ανισότητα που προκύπτει από το πεδίο ορισμού με στόχο να συνδυάσουμε ανισοτικά τις f() και f( 0 ). δ) Ξεκινάμε από μια γνωστή ανισοτική σχέση με σκοπό να συνδυάσουμε ανισοτικά τις f() και f( 0 ). Κάποιες από τις σχέσεις που τυχαίνει να χρησιμοποιούνται είναι: 0 0 (χ χ 0 ) 0, ± + f() 0 ε) Η μελέτη ως προς τα ακρότατα μιας συνάρτησης μπορεί να γίνει και εμπειρικά έχοντας υπόψη την γραφική παράσταση της f. 6
Παραδείγματα : Χρησιμοποιήσαμε ανισοτική σχέση. 7 Να βρεθούν τα ακρότατα των συνάρτησεων α. f() = +3 0 + 3 +3 3 0 = f (0) αφού f (0) = 0 δηλαδή f() f (0) Άρα η f έχει ελάχιστο στο 0 το f(0) = 3. β. f() = - + 3 f() = - +5 0+5= 5 = f(0) Άρα f() f(0) άρα η f έχει μέγιστο στο 0 το f(0) = Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f() = 4 5 στο [, 3] ος τρόπος Αφού [,3], έχουμε : - 3-4 4-9 4-5 7-9 f() 7, η συνάρτηση έχει ελάχιστο το -9 στο = - και μέγιστο το 7 στο = 3 Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι : α) γνησίως αύξουσα και β) γνησίως φθίνουσα -4 = g() - -3 = h() = f() 7
8 Λύση Το πεδίο ορισμού και των τριών συναρτήσεων είναι το R. f γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) g γν.αύξουσα στο διάστημα (, 0], γν. φθίνουσα στο [0, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) h γν. φθίνουσα στο διάστημα (, ], γν. αύξουσα στο [, 0], γν. φθίνουσα στο [0, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) Να προσδιορίσετε τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων της προηγούμενης άσκησης, καθώς και τις θέσεις των ακροτάτων αυτών. Λύση Το πεδίο ορισμού και των τριών συναρτήσεων είναι το. Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο = και είναι min f() = f() = 0 Η g δεν παρουσιάζει ολικά ακρότατα Η h παρουσιάζει ελάχιστο στο = και στο = και είναι min f() = f( ) = f() = 3 Να δείξετε ότι : i) Η συνάρτηση f() = 6 + 0 παρουσιάζει ελάχιστο για = 3. ii) Η συνάρτηση g() = παρουσιάζει μέγιστο για =. + Λύση i) D f = R Αρκεί να αποδείξουμε ότι f() f(3) για κάθε R 8
9 6 + 0 6. 3 + 0 6 + 0 9 8 + 0 6 + 9 0 ( 3 ) 0 που ισχύει 3 ii) D g = R Αρκεί να αποδείξουμε ότι g() g() για κάθε R + +. + + 0 + 0 ( ) που ισχύει. 9