I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.κυρτή 3.Κοίλη 4.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 5.Σημεία καμπής 6.Παραβολική προσέγγιση(επέκταση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 9.Δεύτερο διαφορικό ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Δεύτερη παράγωγος μιας συνάρτησης = f() καλείται η παράγωγος της (πρώτης) παραγώγου. Παριστάνεται μένα από τα σύμβολα: d d f() = f () ή = ή D = D f() d d Μετράει το ρυθμό μεταβολής της πρώτης παραγώγου καθώς το μεταβάλλεται. Γεωμετρικά: η πρώτη παράγωγος μετράει την κλίση της καμπύλης και αφορά τον (οριακό) ρυθμό μεταβολής των τιμών η δεύτερη παράγωγος μετράει την κυρτότητα (καμπυλότητα) της καμπύλης και αφορά τον (οριακό) ρυθμό μεταβολής της κλίσης, θετική αν η κλίση αυξάνει, αρνητική αν ελαττώνεται. Οι γραμμικές συναρτήσεις έχουν μηδενική η παράγωγο: { = m + β, = m, = } Oι παραβολικές συναρτήσεις έχουν σταθερή μη μηδενική η παράγωγο: { = α + β + γ, = α + β, = α} Παράδειγμα α α α α α α α α α α {, ( ) = α, ( ) = α(α ) } {e,(e ) = αe, (e ) = α e } / / 3/ {ln, ln = /, ln = / }, {f() = ( ),f () = (/ )( ), f () = (/ 4)( ) }, {sin, sin () = cos, sin = sin }, {cos, cos = sin, cos = cos } 3 {tan, tan = + tan, tan = tan tan = tan + tan }. Κυρτή καλείται μια συνεχής συνάρτηση f() αν η πρώτη παράγωγος f () είναι αύξουσα, και γνήσια κυρτή αν η πρώτη παράγωγος είναι γνήσια αύξουσα. Έχουμε: Αν η πρώτη παράγωγος f () είναι συνεχής (δηλαδή το γράφημα της συνάρτησης δεν έχει γωνίες), τότε η f() είναι κυρτή f () παντού στο διάστημα. Μια κυρτή συνάρτηση είναι γνήσια κυρτή αν το γράφημα της δεν έχει ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή μπορεί να έχει f () = σε πεπερασμένο πλήθος σημείων αλλά όχι σε ολόκληρο τμήμα. Αν μια συνάρτηση είναι κυρτή, τότε η πρώτη παράγωγος ως αύξουσα μπορεί να αλλάξει πρόσημο μόνο από αρνητικό σε θετικό, και επομένως: Μια κυρτή συνάρτηση θα είναι είτε μονότονη, είτε θα έχει δύο διαστήματα μονοτονίας οπότε θα είναι πρώτα φθίνουσα και μετά αύξουσα. Παράδειγμα α α α. =, = α, = α(α ) για. α> α< Είναι γνήσια κυρτή α(α ) >, δηλαδή α< ή α> Για α = {,} είναι γραμμική, επομένως κυρτή αλλά όχι γνήσια.. = ep(α), = αep(α), = α ep(α). Είναι γνήσια κυρτή α. Για α = είναι σταθερή γραμμική, επομένως κυρτή αλλά όχι γνήσια 3. = + ( ) = 3 +, = +, =. Είναι γνήσια κυρτή με δύο μονότονα τμήματα, πρώτα φθίνουσα και μετά αύξουσα. αν αν αν < 4. = ma{, } για = αν αν αν > Η η παράγωγος είναι παντού θετική (f ) εκτός του σημείου = όπου δεν ορίζεται διότι η η παράγωγος δεν είναι συνεχής σαυτό το σημείο. Δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο της ης παραγώγου διότι στο σημείο ένωσης: = η η παράγωγος δεν ορίζεται. Μπορούμε όμως να πάμε στον ορισμό. Στο σημείο ένωσης η πρώτη παράγωγος αυξάνει διότι έχει θετική βηματική ασυνέχεια: + ( ) ( ) = = Έτσι, η πρώτη παράγωγος είναι παντού αύξουσα και η συνάρτηση είναι κυρτή, όχι γνήσια κυρτή διότι είναι γραμμική στο διάστημα όπου η η παράγωγος είναι μηδενική. α> α<

αν αν αν < 5. = min{, } για αν αν αν > Το κάθε τμήμα είναι κυρτό, αλλά σε αντίθεση με το προηγούμενο παράδειγμα τώρα η συνολική συνάρτηση δεν είναι κυρτή διότι στο σημείο ένωσης: =, η η παράγωγος μικραίνει καθώς έχει αρνητική βηματική ασυνέχεια: ( + ) ( ) = = < 3. Κοίλη καλείται μια συνάρτηση f() αν η πρώτη παράγωγος f () είναι φθίνουσα, και γνήσια κοίλη αν η πρώτη παράγωγος είναι γνήσια φθίνουσα. Έχουμε: Αν η πρώτη παράγωγος f () είναι συνεχής (δηλαδή το γράφημα της συνάρτησης δεν έχει γωνίες), τότε η f() είναι κοίλη f (), σε όλα τα σημεία του διαστήματος. Μια κοίλη συνάρτηση είναι γνήσια κοίλη αν το γράφημα της δεν έχει ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή μπορεί να έχει f () = σε πεπερασμένο πλήθος σημείων αλλά όχι σε ολόκληρο τμήμα. Αν μια συνάρτηση είναι κοίλη, τότε η πρώτη παράγωγος ως φθίνουσα μπορεί να αλλάξει πρόσημο μόνο από θετικό σε αρνητικό και επομένως: Μια κοίλη συνάρτηση θα είναι είτε μονότονη, είτε θα έχει δύο διαστήματα μονοτονίας οπότε θα είναι πρώτα αύξουσα και μετά φθίνουσα. Παράδειγμα α α α. =, = α, = α(α ).Είναι γνήσια κοίλη α(α ) <, δηλαδή < α<.. = ln, = /, = / <. Είναι γνήσια κοίλη. 3. = ( ) = 3+ 4, = 4, = 4. Είναι γνήσια κοίλη με δύο μονότονα τμήματα, πρώτα αύξουσα και μετά φθίνουσα. αν αν αν < 4. = min{, }, 3/ αν / αν / 4 αν > Είναι κοίλη στο διάστημα, διότι το κάθε τμήμα είναι κοίλο και επιπλέον στο σημείο ένωσης = η + έχει αρνητική βηματική ασυνέχεια: ( ) ( ) = /. Δεν είναι γνήσια κοίλη διότι είναι γραμμική στο διάστημα. α : α< ln ( ) min{, } 4. Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων Οι κυρτές και οι κοίλες συναρτήσεις έχουν αντίστοιχη μαθηματική θεωρία, διότι συνδέονται μεταξύ τους ως εξής: μια συνάρτηση είναι κοίλη η αρνητική της είναι κυρτή. Λέμε ότι οι κυρτές έχουν θετική κυρτότητα, και οι κοίλες αρνητική κυρτότητα, οπότε ο όρος «κυρτότητα» καλύπτει και τις δύο έννοιες. Η γραμμική συνάρτηση θεωρείται και κυρτή και κοίλη, αλλά όχι γνήσια. Έχουμε και τις παρακάτω απλές ιδιότητες:. Το άθροισμα κυρτών (κοίλων) συναρτήσεων είναι κυρτή (κοίλη) συνάρτηση. Πολλαπλασιασμός με θετικό αριθμό διατηρεί την κυρτότητα, ενώ με αρνητικό την αντιστρέφει 3α.. ma κυρτών συναρτήσεων είναι κυρτή 3β. min κοίλων συναρτήσεων είναι κοίλη 5. Σημεία καμπής μιας συνάρτησης καλούνται τα σημεία στα οποία η κυρτότητα αλλάζει γνήσια, από γνήσια κοίλη σε γνήσια κυρτή ή αντίστροφα. Αν η δεύτερη παράγωγος είναι συνεχής τότε στο σημείο καμπής θα έχουμε f () =. Αντίστροφα ένα σημείο με f () = δεν είναι απαραίτητα σημείο καμπής. Θα είναι αν το πρόσημο της f () αλλάζει γνήσια.

Παράδειγμα. 4 3. f() =, f () = 4, f () = Έχουμε f () = όταν =, αλλά το = δεν είναι σημείο καμπής. Η συνάρτηση είναι γνήσια κυρτή. 3. f() = α + β + γ + δ, f = 3α + β + γ, f = 6α + β α> α< Με α, έχουμε f = όταν = β / 3α. Τώρα το = β / 3α είναι σημείο καμπής διότι η f ως γραμμική αλλάζει πρόσημο: Για α>, η f() είναι κοίλη αν f () β / 3α, κυρτή αν f () β / 3α. Για α< ισχύει το αντίστροφο. καλείται η 6. Παραβολική προσέγγιση ή επέκταση μιας συνάρτησης f() σε κάποιο παραβολική συνάρτηση η οποία στο έχει την ίδια τιμή και την ίδια η και η παράγωγο με τη συνάρτηση. Δίνεται από την παράσταση: f() f( ) + f ( )( ) + f ( )( ) για Καλείται και τετραγωνική προσέγγιση ή επέκταση. Παρατηρούμε ότι η παραβολική προσέγγιση αποτελείται καταρχήν από την γραμμική στην οποία έχει προστεθεί και ένας όρος δευτέρου βαθμού δίνοντας έτσι μια καλλίτερη προσέγγιση των τιμών της συνάρτησης στη γειτονιά του, διότι εκτός από την κλίση παίρνει υπόψη της και την κυρτότητα της συνάρτησης στο συγκεκριμένο σημείο. Παρατήρηση. Γενικότερα, όσο περισσότερες κοινές παραγώγους έχουν δύο συναρτήσεις σε ένα σημείο, τόσο πλησιέστερα βρίσκονται οι τιμές τους σε μια γειτονιά του σημείου. Η γραμμική και η παραβολική προσέγγιση αποτελούν τα δύο πρώτα μιας ακολουθίας προσεγγιστικών πολυωνύμων αυξανόμενου βαθμού, που καλούνται πολυώνυμα Talor. Παράδειγμα. Για : e + +, ln(+ ), + +, 8 + + α α(α ), (+ ) + α +, sin, cos Στον παρακάτω πίνακα δίνουμε τις προσεγγίσεις (γραμμική, παραβολική), και την πραγματική τιμή:...5. e.5, ln(.9).5,..4875.5.54.488 Παρατήρηση. Αντικαθιστώντας: = ( ) +, και αναπτύσσοντας τις δυνάμεις μπορούμε να εκφράσουμε ένα πολυώνυμο σε δυνάμεις του, για οιοδήποτε. Κρατώντας τις δυνάμεις μέχρι ου και ου βαθμού βρίσκουμε την γραμμική και παραβολική προσέγγιση αντίστοιχα, στο σημείο. Παράδειγμα. Σε δυνάμεις του ( + ), βρίσκουμε: 3 3 3 + = [ + ) ] + = [( + ) 3( + ) + 3( + ) + ] + = + 3( + ) 3( + ) + ( + ) 3 Πράγματι, οι προσεγγίσεις της συνάρτησης στο =, έχουν ως εξής: Γραμμική: + 3( + ), Παραβολική: ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση + 3( + ) 3( + ) Η η παράγωγος πλεγμένης συνάρτησης βρίσκεται παραγωγίζοντας δύο φορές πλεγμένα. Παράδειγμα. + = 5. Παραγωγίζουμε πλεγμένα ως προς, βρίσκουμε για την η παράγωγο: + () 5, ( ) + ( ) = 5 + = Παραγωγίζοντας εκ νέου πλεγμένα βρίσκουμε για την η παράγωγο: 3

( + ) = + + = Αντικαθιστώντας το από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε τελικά: 5 + =, = =, όπου αντικαταστήσαμε και + = 5 3 3 Συμπεραίνουμε ότι η πλεγμένη συνάρτηση είναι κοίλη στο πάνω ημιεπίπεδο όπου έχουμε, κυρτή στο κάτω όπου έχουμε, όπως φαίνεται και στο γράφημα. ρ ρ Παράδειγμα. + = c με ρ {,}, c >, στη θετική περιοχή: {, }. α) Παραγωγίζοντας πλεγμένα ως προς, βρίσκουμε για την η παράγωγο: ρ ρ ρ ρ ρ d ( ) + ( ) = c ρ + ρ = = ρ d Συμπεραίνουμε ότι όσον αφορά την μονοτονία είναι φθίνουσα. β) Παραγωγίζοντας εκ νέου πλεγμένα την εξίσωση, βρίσκουμε για την η παράγωγο: ρ ρ ρ ρ ρ + = (ρ ) + (ρ ) ( ) + = Λύνοντας ως προς βρίσκουμε για την η παράγωγο: ρ d ρ ρ = ( ρ) ρ ( + ) όπου: = ρ d O όρος στην παρένθεση είναι θετικός, και συμπεραίνουμε ότι ως προς την κυρτότητα η συνάρτηση είναι: γνήσια κυρτή για ρ> ρ<, όπως στο πρώτο σχήμα παρακάτω κοίλη για ρ< ρ>, όπως στο δεύτερο και τρίτο σχήμα παρακάτω γ) Στο κεφάλαιο εξετάσαμε και τις τομές με τους άξονες. Υπενθυμίζουμε τα γραφήματα: ρ> < ρ< ρ< 8. Χαρακτηρισμός κυρτών/κοίλων συναρτήσεων Οι κυρτές συναρτήσεις χαρακτηρίζονται από τις παρακάτω τρεις ισοδύναμες ιδιότητες:. Η η παράγωγος είναι αύξουσα, δηλαδή η η παράγωγος είναι θετική: f. Η καμπύλη βρίσκεται πάνω από τις εφαπτόμενες ευθείες της, δηλαδή οι τιμές της συνάρτησης είναι μεγαλύτερες από τις τιμές των γραμμικών της επεκτάσεων: f() f( ) + f ( )( ) 3. Η καμπύλη βρίσκεται κάτω από τις χορδές της, δηλαδή οι τιμές της συνάρτησης στα ενδιάμεσα σημεία είναι μικρότερες από τα αντίστοιχα ενδιάμεσα των τιμών της στα ακραία σημεία: tf( ) + tf( ) f(t + t ) με {t, t, t + t = } f( ) + f( ) + Π.χ. για t = t = / f Οι τρεις χαρακτηρισμοί διατυπώνονται υπό συνθήκες αυξανόμενης γενικότητας. Έτσι στο υποθέτουμε συνεχή δεύτερη παράγωγο, στο συνεχή πρώτη παράγωγο, και στο 3 μόνο συνεχή συνάρτηση. Για το λέμε ότι: η κυρτή συνάρτηση είναι πάνω περιβάλλουσα των γραμμικών επεκτάσεών της. Σχετικά με το 3, υπενθυμίζουμε καταρχήν ότι αν έχουμε δύο σημεία (, ) και (, ), τότε τα ενδιάμεσα βρίσκονται παίρνοντας κυρτούς συνδυασμούς των συντεταγμένων τους, οπότε όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, έχουμε: { c = t + t = tf( ) + tf( ) }, { f( c) = f(t + t ) } c f( c), που είναι η σχέση 3. Για το 3 λέμε ότι: η κυρτή συνάρτηση βρίσκεται κάτω από τις γραμμικές παρεμβολές των τιμών της. 3 c f( c ) c 4

Παρατήρηση. Αντίστοιχοι γεωμετρικοί χαρακτηρισμοί ισχύουν για τις κοίλες συναρτήσεις:. Η πρώτη παράγωγος είναι φθίνουσα: f.οι εφαπτόμενες ευθείες είναι πάνω από την καμπύλη, δηλαδή οι τιμές της συνάρτησης είναι μικρότερες από τις γραμμικές επεκτάσεις της: f() f( ) + f ( )( ) 3. Οι χορδές είναι κάτω από την καμπύλη, δηλαδή οι τιμές της συνάρτησης στα ενδιάμεσα σημεία είναι μεγαλύτερες από τα αντίστοιχα ενδιάμεσα των τιμών της στα ακραία σημεία: tf( ) + tf( ) f(t + t ) με {t, t, t + t = } f( ) + f( ) + Π.χ. για t = t = / f Ισχύουν και οι αντίστοιχες παρατηρήσεις όπως για τις κυρτές. 9. Δεύτερο διαφορικό Από κάποια αρχική τιμή θεωρούμε μια μεταβολή Δ και την αντίστοιχη μεταβολή στην τιμή της συνάρτησης: Δf() = f( + Δ) f() Στο προηγούμενο κεφάλαιο διαπιστώσαμε ότι, σε αντιστοιχία με την γραμμική προσέγγιση, μια πρώτη εκτίμηση της μεταβολής στην τιμή της συνάρτησης, για μικρές μεταβολές Δ, δίνεται από το πρώτο διαφορικό: Δf df = f ()d, όπου: Δ = d Μάλιστα αυτό καθορίζει το πρόσημο της μεταβολής, αν είναι μη μηδενικό, δηλαδή αν η παράγωγος είναι μη μηδενική. Ως δεύτερο διαφορικό της συνάρτησης ορίζεται το μέγεθος d f() = f ()d Σε αντιστοιχία τώρα με την παραβολική προσέγγιση, βρίσκουμε ότι μια καλλίτερη εκτίμηση της μεταβολής στην τιμή της συνάρτησης βρίσκεται αν στο πρώτο διαφορικό προσθέσουμε και το μισό του δεύτερου διαφορικού: Δf() df() + d f() = f ()d + f ()d Ειδικότερα, ο χαρακτηρισμός της κυρτότητας αφορά το πρόσημο της διαφοράς: Δf() df(), που σύμφωνα με τα παραπάνω καθορίζεται από το πρόσημο του ου διαφορικού, και επομένως από το πρόσημο της ης παραγώγου αν αυτή είναι μη μηδενική. Παρατήρηση. Για να ορίσουμε τη δεύτερη παράγωγο απευθείας από την αρχική συνάρτηση, παίρνουμε διαδοχικές μεταβολές, και υπολογίζουμε τον ρυθμό μεταβολής του ρυθμού μεταβολής στο όριο Δ :, + Δ, + Δ + Δ = + Δ Δf Δ f( + Δ) f( + Δ) f( + Δ) f() Δ Δ = Δ Δ Δ Δ Δ f( + Δ) f( + Δ) + f() Δ f() d f() = = Δ Δ d Ο λόγος Δ f() Δ μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως προσέγγιση της ης παραγώγου όταν έχουμε 3 διαδοχικές τιμές της συνάρτησης. Ο όρος στον αριθμητή καλείται δεύτερη μεταβολή της συνάρτησης: Δ f() = Δ(Δf) = [f( + Δ) f( + Δ)] [f( + Δ) f()], = f( + Δ) f( + Δ) + f() Προσεγγίζεται από το δεύτερο διαφορικό. 5

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ Ασκήσεις. Να διαπιστωθεί ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κυρτές στο θετικό διάστημα:, και να γίνουν τα γραφήματα. Σε κάθε περίπτωση να εξεταστεί αν είναι μονότονες ή έχουν δύο μονότονα τμήματα 3 +, +, + ln(+ ), ma{+, }, + + γ + δ. Να διαπιστωθεί ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κοίλες στο θετικό διάστημα:, και να γίνουν τα γραφήματα. Σε κάθε περίπτωση να εξεταστεί αν είναι μονότονες ή έχουν δύο μονότονα τμήματα /3, ln(+ ), ln(+ ), {pln(+ ) w με p >, w > }, min{, } 3. Να μελετηθεί η μονοτονία και η κυρτότητα και να γίνουν τα γραφήματα, των συναρτήσεων: 3 3 + +, +, e, e, ln 4. Να παρασταθεί το γράφημα παραπλεύρως με μια κυβική συνάρτηση, βρίσκοντας κατάλληλες συνθήκες για τους συντελεστές: 3 = α + β + γ + δ Σε κάθε περίπτωση να βρεθούν για, αναλυτικά και γραφικά, τα σημεία καμπής, κυρτότητας και κοιλότητας. Επίσης, για να βρεθούν γραφικά και αναλυτικά τα γραφήματα της μέσης τιμής A = / και του οριακού ρυθμού M =, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. 5. Να γίνουν στο θετικό διάστημα τα γραφήματα των συνεχών συναρτήσεων f() με f() =, των οποίων οι παράγωγοι f () έχουν τα παρακάτω γραφήματα. 6. Να βρεθούν η γραμμική και η παραβολική προσέγγιση των παρακάτω: α α) Στο = : e,( ), ( ), tan β) Στο = : ln, 7. Να διαπιστωθεί ότι το άθροισμα κυρτών (κοίλων) συναρτήσεων είναι κυρτή (κοίλη), και ότι το θετικό πολλαπλάσιο κυρτής (κοίλης) είναι κυρτή (κοίλη). Να γίνει εφαρμογή στις παραπάνω ασκήσεις {,}. 8α. Να βρεθεί ο παρακάτω τύπος για την αλυσωτή η παράγωγο: { = () και = (t)} = (t) με (t) = () (t) + () (t) Να επαληθευτεί για τις συναρτήσεις: = ln, = t 8β. Να διαπιστωθεί ότι η σύνθεση αύξουσας κυρτής με κυρτή είναι κυρτή, και η σύνθεση αύξουσας κοίλης με κοίλη είναι κοίλη. Να εφαρμοστεί στις συναρτήσεις: α + β+ γ e μεα>,(+ ),ln(α+ β), ln, α + β Τι θα ισχύει αν αντί "αύξουσας" έχουμε "φθίνουσα"? 9α. Να βρεθεί ο παρακάτω τύπος για την η παράγωγο αντίστροφης συνάρτησης: 3 = () = () με () = ()/ () Να επαληθευτεί για τις αντίστροφες των συναρτήσεων: = ln, = 9β. Να διαπιστωθεί ότι η αντίστροφη κυρτής συνάρτησης είναι κοίλη αν είναι αύξουσα, κυρτή αν είναι φθίνουσα. Αντίστοιχα για την αντίστροφη κοίλης. Να εφαρμοστεί στις συναρτήσεις: e,, e, 6