ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας ή δειγματοληπτικής μεταβλητότητας. Ο όρος αυτός χρηιμοποιείται για να αποδώει το γεγονός ότι επαναληπτική δειγματοληψία από ένα πληθυμό οδηγεί ε δείγματα διαφορετικής ύνθεης. Ένα κλαικό παράδειγμα την περιοχή των τυχερών παιχνιδιών είναι το εξής: Τα χαρακτηριτικά μίας δεμίδας τραπουλόχαρτων και ο μηχανιμός μοιράματος των χαρτιών μπορεί να είναι γνωτά, αλλά η ύνθεη μιας υγκεκριμένης μοιραιάς μεταβάλλεται μ έναν τρόπο ο οποίος καθιτά την πρόβλεψη της ύνθεής της αδύνατη. Στα επιτημονικά πειράματα, η δειγματοληπτική μεταβλητότητα τείνει να παραλλάει τα χαρακτηριτικά του πληθυμού τα οποία ενδιαφέρουν τον ερευνητή. Ένας τόχος κεντρικής ημαίας για την επαγωγική τατιτική είναι να διερευνήει αν οποιαδήποτε διαφορά μεταξύ του θεωρητικού μοντέλου και των δεδομένων μπορεί να εξηγηθεί ή να αποδοθεί ε δειγματοληπτική μεταβλητότητα και, γενικότερα, να ποοτικοποιήει την αβεβαιότητα που ειάγει η δειγματοληπτική μεταβλητότητα. Το πρώτο βήμα είναι να προδιοριθεί η μορφή της ανεξήγητης μεταβλητότητας που παρατηρείται την μέτρηη των χαρακτηριτικών των μελών του πληθυμού ή τα αποτελέματα της πειραματικής διαδικαίας. Αυτό, όπως έχουμε δει, μπορεί να γίνει το πλαίιο του τατιτικού μοντέλου μέω του οριμού της κατανομής υχνότητας ή της κατανομής πιθανότητας. Το δεύτερο βήμα είναι ο προδιοριμός της χέης μεταξύ αυτής της περιγραφής της μεταβλητότητας τον πληθυμό και του χήματος της αναμενόμενης μεταβλητότητας το δείγμα. Λόγω των επιδράεων της μεταβλητότητας που οφείλεται την τυχαιότητα, η μέτρηη του χαρακτηριτικού που μας ενδιαφέρει ε μια μονάδα του
δείγματος η οποία έχει επιλεγεί από τον πληθυμό δεν μπορεί, εν γένει, να προβλεφθεί. Παρ όλα αυτά, είναι δυνατόν να ποοτικοποιηθούν οι χετικές πιθανότητες των διαφορετικών δυνατών αποτελεμάτων. Αυτό οδηγεί τον οριμό της δειγματικής κατανομής (samplig distibutio) και της δειγματικής κατανομής δείγματος (samplig distibutio of a sample). Το τελευταίο βήμα είναι η κατακευή της δειγματικής κατανομής μιας τατιτικής υνάρτηης δείγματος (samplig distibutio of a statistic), η οποία αποτελεί την ύνδεη μεταξύ των θεωρητικών τατιτικών αποτελεμάτων και της επιτημονικής ερμηνείας αυτών. Η Έννοια μιας Δειγματικής Κατανομής Μία προϋπόθεη της εφαρμογής της επαγωγικής τατιτικής είναι η λήψη δείγματος από τον πληθυμό που ενδιαφέρει να μελετήουμε τα τοιχεία του οποίου θα χρηιμοποιηθούν για την τατιτική ανάλυη. Τα χαρακτηριτικά των δεδομένων του δείγματος προδιορίζονται εν μέρει από τα χαρακτηριτικά του πληθυμού και εν μέρει από την μέθοδο δειγματοληψίας. Ο υνδυαμός της υνειφοράς των δύο αυτών τύπων χαρακτηριτικών προδιορίζεται από μία δειγματική κατανομή. Για μία κατηγορική ή διακριτή μεταβλητή, αυτή η κατανομή ορίζει την πιθανότητα με την οποία η τυχαία μεταβλητή που περιγράφει τον πληθυμό θα έχει μία υγκεκριμένη τιμή για μία υγκεκριμένη μονάδα του δείγματος. Έτι, αν υπάρχουν k δυνατές τιμές, η δειγματική κατανομή θα είναι η εξής: Κατηγορία: k Πιθανότητα: π π π k Αν η μεταβλητή Υ είναι υνεχής, τότε υπάρχει μια δειγματική κατανομή με υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας π(.), η οποία μπορεί να χρηιμοποιηθεί για τον οριμό της πιθανότητας με την οποία η μεταβλητή θα πάρει μία τιμή μικρότερη ή ίη της τιμής y 0 για μία υγκεκριμένη μονάδα του δείγματος, ύμφωνα με τον τύπο y 0 P( y 0 ) = π(y)dy
Ας υποθέουμε, για παράδειγμα, ότι ένας φοιτητής επιλέγεται από τον πληθυμό των φοιτητών ενός πανεπιτημίου. Η πιθανότητα ότι ο φοιτητής αυτός προέρχεται από ένα υγκεκριμένο τμήμα του πανεπιτημίου εξαρτάται από την κατανομή υχνότητας του πληθυμού των φοιτητών τα διάφορα τμήματα και από τον τρόπο με τον οποίο η επιλογή του φοιτητή έγινε. Αν η επιλογή έγινε μεταξύ των φοιτητών ενός Τμήματος Α, τότε η πιθανότητα να έχει επιλεγεί ένας φοιτητής από ένα Τμήμα Β είναι 0. Εναλλακτικά, αν ακολουθήθηκε τυχαία δειγματοληψία με βάη δειγματοληπτικό πλαίιο που καλύπτει ολόκληρο τον φοιτητικό πληθυμό του υγκεκριμένου πανεπιτημίου, η πιθανότητα να επιλεγεί ένας φοιτητής από το Τμήμα Β είναι ακριβώς ίη με το ποοτό των φοιτητών του Πανεπιτημίου αυτού που είναι εγγεγραμμένοι το Τμήμα Β. Αυτή η υγκεκριμένη ιδιότητα της τυχαίας δειγματοληψίας, δηλαδή η εξίωη της δειγματικής κατανομής με την κατανομή υχνότητας του πληθυμού από τον οποίο λαμβάνεται το δείγμα, είναι εκείνη η οποία καθιτά την τυχαία δειγματοληψία τόο ημαντική. Δειγματοληπτική Κατανομή Δείγματος Για τις πρακτικές εφαρμογές, είναι αναγκαίο να επεκταθεί η ιδέα της δειγματικής κατανομής την δειγματική κατανομή ενός δείγματος. Αυτό απαιτεί τον προδιοριμό μιας δειγματικής κατανομής με υνάρτηη (πυκνότητας) πιθανότητας π s, η οποία αντιτοιχεί μία αριθμητική τιμή ε κάθε δυνατό αποτέλεμα οριζόμενο ως μία ακολουθία παρατηρήεων (y,y,...,y ) υνδεομένων με τις μονάδες ενός δείγματος. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η δειγματική κατανομή ενός δείγματος μεγέθους 3 για μία κατηγορική μεταβλητή, η οποία μπορεί να πάρει μόνο δύο δυνατές τιμές Ε (ελαττωματικό) και Ε (μη ελαττωματικό) το πλαίιο ενός προβλήματος ποιοτικού ελέγχου των μονάδων ενός προϊόντος, η γραμμή παραγωγής του οποίου παρουιάζει μία υχνότητα ελαττωματικών μονάδων ίη με %. 3
Πίνακας: Παράδειγμα δειγματικής κατανομής ενός δείγματος τριών μονάδων από την γραμμή παραγωγής ενός προϊόντος, όπου τα αποτελέματα είναι Ε (ελαττωματικό) ή E/ (μη ελαττωματικό) και τα ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα. Δείγμα ΕΕΕ ΕΕΕ ΕΕΕ ΕΕΕ Πιθανότητα 0.00000.000099 0.000099 0.000099 Δείγμα ΕΕΕ ΕΕΕ ΕΕΕ ΕΕΕ Πιθανότητα 0.00980 0.00980 0.00980 0.97099 Με την προϋπόθεη ότι θα υιοθετηθεί μία αξιόπιτη μέθοδος δειγματοληψίας, η πιθανότητα με την οποία μία μονάδα που επιλέγεται θα είναι ελαττωματική είναι 0.0 και η πιθανότητα με την οποία αυτή θα είναι μη ελαττωματική είναι 0.99. Δειγματική Κατανομή Στατιτικής Συνάρτηης Όπως έχει ήδη λεχθεί, η τατιτική υμπεραματολογία είναι η διαδικαία υναγωγής υμπεραμάτων για ένα πληθυμό με βάη τις πληροφορίες οι οποίες περιέχονται ε ένα δείγμα από τον πληθυμό αυτό. Επειδή οι πληροφορίες χετικά με τους πληθυμούς περιγράφονται υνήθως μέω των παραμέτρων των πληθυμών, οι τατιτικές τεχνικές που χρηιμοποιούνται υνίτανται την υναγωγή υμπεραμάτων για τις παραμέτρους του πληθυμού με βάη κατάλληλες τατιτικές υναρτήεις. (Υπενθυμίζεται ότι η παράμετρος ενός πληθυμού είναι μία υνοπτική μέτρηη για τον πληθυμό και η τατιτική υνάρτηη είναι μία υνοπτική μέτρηη για το δείγμα). Προκειμένου λοιπόν να μελετηθεί ο υνολικός πληθυμός ως προς το χαρακτηριτικό που η υγκεκριμένη παράμετρος εκφράζει, επιλέγεται ένα τυχαίο δείγμα και υπολογίζεται η τιμή της αντίτοιχης τατιτικής υνάρτηης. Παρά το ότι η τιμή αυτής της τατιτικής υνάρτηης και η τιμή της αντίτοιχης παραμέτρου του πληθυμού έχουν ελάχιτη πιθανότητα να υμπίπτουν, περιμένουμε ότι δεν θα διαφέρουν πάρα πολύ. Χρειαζόματε, επομένως, να μπορούμε να μετρήουμε πόο κοντά είναι πιθανό να βρίκεται η τιμή της τατιτικής υνάρτηης με 4
αυτήν της παραμέτρου του πληθυμού. Η δειγματική κατανομή της τατιτικής υνάρτηης μας δίνει αυτή την δυνατότητα. Για τον λόγο αυτό, η δειγματική κατανομή μιας τατιτικής υνάρτηης παίζει ημαντικό ρόλο την τατιτική, γιατί το μέτρο της εγγύτητας που παρέχει είναι κεντρικής ημαίας για την τατιτική υμπεραματολογία. Επανερχόμενοι το προηγούμενο παράδειγμα των μονάδων του προϊόντος που παράγονται από την υγκεκριμένη γραμμή παραγωγής, μία δυνατή τατιτική υνάρτηη θα μπορούε να είναι ο αριθμός Τ των ελαττωματικών μονάδων το δείγμα. Η τατιτική αυτή υνάρτηη θα αντιτοιχεί το ενδεχόμενο E E/ E/ την τιμή. Γενικότερα, η ύνδεη μεταξύ των δυνατών αποτελεμάτων (ενδεχομένων) του δείγματος και των δυνατών τιμών της τατιτικής υνάρτηης υνοψίζεται τον πίνακα που ακολουθεί: Ενδεχόμενο ΕΕΕ ΕΕΕ ΕΕΕ ΕΕΕ ΕΕΕ ΕΕΕ ΕΕΕ ΕΕΕ Τιμή 0 3 Είναι προφανές από τον παραπάνω πίνακα ότι μία ελαττωματική μονάδα ε ένα ύνολο τριών μονάδων του προϊόντος μπορεί να προκύψει αν το αποτέλεμα της λήψης ενός δείγματος τριών μονάδων είναι ΕΕΕ ή ΕΕΕ ή ΕΕΕ. Επομένως, η πιθανότητα μιας ελαττωματικής μονάδας ε ένα δείγμα τριών μονάδων του προϊόντος είναι ίη με την πιθανότητα εμφάνιης ενός από τα παραπάνω τρία δυνατά αποτελέματα. Χρηιμοποιώντας τα αξιώματα των πιθανοτήτων, είναι δυνατόν να κατακευαθεί η δειγματική κατανομή της τατιτικής υνάρτηης από την δειγματική κατανομή του δείγματος, όπως φαίνεται τον πίνακα που ακολουθεί. 5
Δειγματική Κατανομή Δείγματος Δειγματική Κατανομή της Στατιτικής Συνάρτηης Τ Δείγμα Πιθανότητα Τιμή της Στατιτικής Συνάρτηης (t i ) Πιθανότητα (π s ) (Αριθμός (π ) Τ Ελαττωματικών) E / EE / / 0.97099 0 0.97099 E / EE / 0.00980 E / EE/ 0.00980 0.09403 E EE / / 0.00980 E/ EE 0.000099 E EE / 0.000099 0.00097 EE E/ 0.000099 EEE 0.00000 3 0.00000 Είναι προφανές ότι πt (ti ) = πs (y, y,...,y ) για i =,..., k όπου το άθροιμα το δεξί μέλος της παραπάνω χέης εκτείνεται ε όλα τα δυνατά αποτελέματα τα οποία αντιτοιχείται η τιμή t i από την τατιτική υνάρτηη Τ. Στην υνέχεια, θα εξετάουμε την δειγματική κατανομή του μέου ενός δείγματος ανεξαρτήτων παρατηρήεων από μία οποιαδήποτε κατανομή καθώς και άλλες δειγματικές κατανομές τατιτικών υναρτήεων που υχνά χρηιμοποιούνται τις πρακτικές εφαρμογές, όπως η διαπορά ενός δείγματος παρατηρήεων ή ο λόγος των διαπορών δύο ανεξάρτητων δειγμάτων παρατηρήεων. Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΩΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Όπως ήδη αναφέρθηκε, η κανονική κατανομή χρηιμοποιείται για την περιγραφή πολλών ποοτικών φαινομένων. Αποτελεί όμως χρήιμο εργαλείο και την πειραματική έρευνα. Όπως αναφέρθηκε το προηγούμενο κεφάλαιο, μέω της χρήης του κεντρικού οριακού 6
θεωρήματος, η κανονική κατανομή μπορεί να χρηιμοποιηθεί για τη υναγωγή υμπεραμάτων όο αφορά την ακρίβεια με την οποία ο μέος Χ = Χ i ενός δείγματος ανεξαρτήτων παρατηρήεων i= Χ, Χ,..., Χ από μια οποιαδήποτε κατανομή εκτιμά την μέη της τιμή μ της κατανομής αυτής. Συγκεκριμένα, η χρήη της κανονικής κατανομής κάνει εφικτό τον προδιοριμό της πιθανότητας Ρ(-ε Χ-μ ε), δηλαδή της πιθανότητας με την οποία η εκτίμηη που παρέχει ο Χ δεν θα απέχει από την πραγματική αλλά άγνωτη τιμή της μέης τιμής μ περιότερο από ε. Από τον οριμό του, ο μέος Χ είναι μια τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί μια κατανομή που εν γένει είναι άγνωτη. Η κατανομή αυτή ονομάζεται δειγματική κατανομή του μέου. Ο καθοριμός της μορφής της κατανομής αυτής είναι προφανώς απαραίτητος για τον υπολογιμό της πιθανότητας Ρ(-ε Χ-μ ε) που αναφέραμε παραπάνω και γίνεται δυνατός, όπως είδαμε το προηγούμενο κεφάλαιο, με την χρήη του κεντρικού οριακού θεωρήματος. Πιο υγκεκριμένα την περιοχή της τατιτικής υμπεραματολογίας, υχνά ενδιαφερόματε να εκτιμήουμε την άγνωτη μέη τιμή μ μιας τυχαίας μεταβλητής Χ. Έτω ότι για το κοπό αυτό πραγματοποιήαμε ανεξάρτητες παρατηρήεις,,,, πάνω την τυχαία μεταβλητή Χ. (Υποθέτουμε δηλαδή ότι ελήφθηαν παρατηρήεις από ανεξάρτητες επαναλήψεις του τυχαίου πειράματος που παρήγαγε την τυχαία μεταβλητή Χ). Ένας φυικός και προφανής τρόπος εκτίμηης της μέης τιμής μ είναι με την χρήη του μέου των παρατηρήεων, που υνήθως ονομάζεται δειγματικός μέος: = i i= Επειδή από τον οριμό του ο δειγματικός μέος είναι μία τυχαία μεταβλητή, δεν θα μπορούε να περιμένει κανείς ότι η τιμή του θα είναι πάντα ίη με την άγνωτη τιμή μ, αφού κάθε ύνολο 7
ανεξάρτητων παρατηρήεων πάνω την Χ θα οδηγεί ε διαφορετική τιμή του. Μπορούμε όμως να μετρήουμε πόο κοντά γύρω από την άγνωτη τιμή μ κυμαίνονται οι τιμές του με τον υπολογιμό της πιθανότητας P( ε Χ μ ε). Η κατανομή του, επομένως, και η ζητούμενη πιθανότητα μπορεί να είναι δύκολο να προδιοριθούν κυρίως όταν η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Χ δεν είναι απλής μορφής. Από το κεντρικό οριακό θεώρημα προκύπτει ότι, ανεξάρτητα από την μορφή της κατανομής της τυχαίας μεταβλήτής Χ, καθώς ο αριθμός ανεξαρτήτων δοκιμών αυξάνει, η παραπάνω πιθανότητα μπορεί να προεγγιθεί από μια πιθανότητα που υπολογίζεται από την τυποποιημένη κανονική κατανομή: - ε ε P( ε Χ μ ε) P( Ζ ) ε = Φ( ), όπου Ζ είναι μία τυποποιημένη κανονική μεταβλητή, είναι η διαπορά της Χ. Γενικότερα, ιχύει ότι β α P(α Χ μ β) Φ ( ) - Φ ( ) Παράδειγμα: Ενας ατρονόμος χεδίαζει να πραγματοποιήει ανεξάρτητες μετρήεις,,,, της πραγματικής απόταης D ε έτη φωτός μεταξύ του ατεροκοπείου του και ενός απομακρυμένου ατέρα. Οι μετρήεις αυτές είναι γνωτό ότι έχουν μια κοινή κατανομή (είναι ιόνομες) με μέη τιμή μ = D και διαπορά = 4. Για να εκτιμηθεί η τιμή D με μία ακρίβεια ± 0.5 ετών φωτός, ο ατρονόμος ίως χρηιμοποιήει τον μέο = /00 εκατό παρατηρήεων. Τότε, θέτοντας ε = 0.5 και = 00, η πιθανότητα να επιτευχθεί η επιθυμητή ακρίβεια είναι 0.5 00 P(-0.5 Χ D 0.5) Φ ( ) - 4 = Φ(.5) = (0.89435) = 0. 7888 00 i= i 8
Εάν ο ατρονόμος χρηιμοποιήει = 400 παρατηρήεις, η πιθανότητα αυτή αυξάνει. Πράγματι 0.5 400 P(-0.5 Χ D 0.5) Φ ( ) - 4 = Φ(.5) = (0.9938) = 0.9876. Παρατήρηη: Είναι αφές ότι μόνο ε μία περίπτωη η τυχαία μεταβλητή Ζ (όπως και η και η ) έχει ακριβώς την κανονική κατανομή ανεξάρτητα από το πόες παρατηρήεις έχουν ληφθεί πάνω την τυχαία μεταβλητή Χ. Αυτή είναι η περίπτωη όπου οι,,,, έχουν μια κανονική κατανομή με μέη τιμή μ και διαπορά. Παράδειγμα: Για να μελετήουμε την υμπεριφορά μαθητών χολείων που παρουιάζουν μία δυκολία να υγκεντρωθούν (disuptive school childe), ένας ψυχολόγος θέλει να εκτιμήει τον μέο δείκτη νοημούνης μ αυτών των παιδιών με μία ακρίβεια ± 5. Με βάη την μελέτη του Tema, υποθέτει ότι οι μετρήεις του δείκτη νοημούνης Χ για τα παιδιά αυτά ακολουθούν μια κανονική κατανομή με μέη τιμή μ και διαπορά =63.66. Ο δειγματικός 0 μέος = /0 ενός δείγματος 0 παρατηρήεων,,,, i= i που ελήφθηαν ανεξάρτητα για 0 από τα παιδιά χρηιμοποιείται για την εκτίμηη της μέης τιμής μ. Επειδή οι παρατηρήεις,,, 0, είναι ανεξάρτητες και ιόνομες κανονικές μεταβλητές, ο μέος έχει ακριβώς την κανονική κατανομή με μέη τιμή μ και διαπορά ίη με 63.66/0, παρά το γεγονός ότι ο αριθμός των 0 παρατηρήεων που ελήφθηαν δεν είναι πολύ μεγάλος. Έτι, P(-5 Χ μ 5) = Φ 9 5 0-63.66 = Φ(.38) = 0.834 Δηλαδή με ένα δείγμα 0 παρατηρήεων η επιθυμητή ακρίβεια θα επιτευχθεί με πιθανότητα 83.4%. Όπως όμως παρατηρούμε τον
πίνακα της τυποποιημένης κανονικής κατανομής Φ(.00) =0.9545. Αν δηλαδή επιθυμούμε να επιτύχουμε μια εκτίμηη της μέης τιμής μ η οποία να βρίκεται ε διάτημα ± 5 γύρω από την πραγματική τιμή με πιθανότητα 95.45%, τότε θα πρέπει να διαλέξουμε το μέγεθος του δείγματος ώτε να ικανοποιεί την εξίωη 5 =.00 63.66 Δηλαδή θα πρέπει να μαζέψουμε τοιχεία για = 4.9 43 παιδιά για να εξαφαλίουμε την επιθυμητή ακρίβεια. Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ Χ Οριμός: Θα λέμε ότι η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κατανομή Χ με βαθμούς ελευθερίας και θα υμβολίζουμε με αν f(x) = Γ / e x x, 0 x<, θετικός ακέραιος. Ιδιότητες: E() = α =, Δ(Χ) = α =. Υπολογιμός πιθανοτήτων της κατανομής Χ Υπάρχουν πίνακες που δίνουν την υνάρτηη κατανομής της Χ. (Βλέπε παράρτημα). Η κατανομή παρουιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον την Στατιτική γιατί υνδέεται με την δειγματική κατανομή της εκτιμήτριας της διακύμανης ενός κανονικού πληθυμού. Αυτό προκύπτει από το θεώρημα που ακολουθεί. Το θεώρημα που ακολουθεί αναφέρεται την χέη της μέης τιμής και της διαποράς ενός δείγματος ανεξαρτήτων παρατηρήεων Χ, Χ,, Χ ( τυχαίων μεταβλητών) από ένα πληθυμό που ακολουθεί την κανονική κατανομή. Η χέη αυτή είναι θεμελιώδους ημαίας την Στατιτική Συμπεραματολογία. 0
Θεώρημα: Έτω Χ, Χ,..., Χ είναι ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους από ένα πληθυμό Ν(μ, ) με δειγματικό μέο Χ και δειγματική διαπορά όπου i i Χ i= i= Χ = και = Τότε, για τις τυχαίες μεταβλητές Χ και ιχύει ότι, α) Χ και είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές και β) Χ. ( ) Απόδειξη: Η απόδειξη είναι αρκετά πολύπλοκη και βρίκεται πέρα από τους κοπούς του βιβλίου αυτού. Παράδειγμα: Οι αφίξεις αυτοκινήτων ε ένα ταθμό διοδίων ακολουθούν την κατανομή Poisso με μέο ρυθμό 5 αυτοκινήτων ανά δεκάλεπτο. Να υπολογιθεί η πιθανότητα με την οποία ο υπάλληλος των διοδίων θα χρειαθεί να περιμένει περιότερο από 5 λεπτά και 30 δευτερόλεπτα μέχρις ότου περάουν 8 αυτοκίνητα. Λύη: Έτω Χ ο χρόνος αναμονής (ε λεπτά). Είναι γνωτό ότι το Χ ακολουθεί την κατανομή γάμμα με α==8 και θ= (διότι λ=/ μια και έχουμε 5 αυτοκίνητα ανά δεκάλεπτο). Επομένως Χ 6 και κατά υνέπεια P(>5.50) = -P( 5.50) -(0.95) = 0.05. Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ t Έτω Χ μια τυχαία μεταβλητή με υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας, + Γ f(x) = π Γ(/) ( x / ) ( +, - < x < +, =,,... + )/ όπου Γ() είναι η υνάρτηη γάμμα. Αν η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί μια κατανομή με υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας όπως η παραπάνω θα λέμε
ότι η Χ θα ακολουθεί την κατανομή t (ή κατανομή tudet) με βαθμούς ελευθερίας και θα υμβολίζουμε με Χ t. Ιδιότητες της κατανομής t. Η κατανομή t είναι υμμετρική γύρω από το μηδέν, επομένως, E() = 0, αν η μέη αυτή τιμή υπάρχει. (Αποδεικνύεται ότι η μέη αυτή τιμή υπάρχει για ).. Επίης, για τη διακύμανη έχουμε, V() = E( ) = /(-) 3 (για =, η V(Χ) δεν υπάρχει). Σημείωη: Υπάρχουν πίνακες που δίνουν τις πιθανότητες για τις διάφορες τιμές των βαθμών ελευθερίας. (Βλέπε παράρτημα). Για παράδειγμα για = 0 P ( 0 <.8) = F(.8) = 0.95 P (.37 < 0 <.8) = F(.8) - F(.37) = 0.975-0.90 = 0.075 Θεώρημα: Αν Ζ Ν(0,) και U Χ και οι τυχαίες μεταβλητές Ζ και U είναι ανεξάρτητες τότε η τυχαία μεταβλητή Z T = t U, δηλαδή η Τ ακολουθεί την t κατανομή με βαθμούς ελευθερίας. Σημείωη: Η κατανομή t είναι ιδιαίτερα χρήιμη τη Στατιτική γιατί εκφράζει την κατανομή του τυποποιημένου δειγματικού μέου ενός κανονικού πληθυμού όταν για την τυποποίηη χρηιμοποιείται η εκτιμήτρια του. Αυτό φαίνεται το θεώρημα που ακολουθεί. Θεώρημα: Έτω Χ,Χ,...,Χ ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους από μια κατανομή Ν(μ, ). Τότε η τατιτική υνάρτηη,
3 μ Χ μ Χ * t - όπου * είναι η θετική τετραγωνική ρίζα της ποότητας = = i i * ). )/( ( Απόδειξη: Δοθέντος ότι, μ Χ μ Χ * N(0,) και ότι Χ έχουμε, από το προηγούμενο θεώρημα (δοθέντος ότι και είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές), ( ) ( ). t μ μ μ * = Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ F Έτω W μια τυχαία μεταβλητή με υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας, ( ) ( ) ( ) < < + + = + w 0, w Γ Γ w Γ w h / όπου Γ(α) είναι η υνάρτηη γάμμα. Μια τυχαία μεταβλητή που έχει αυτή τη υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας λέμε ότι ακολουθεί την κατανομή F με και βαθμούς ελευθερίας και υμβολίζεται με Χ, F.
Σημείωη: Μπορεί να αποδειχθεί ότι αν W ακολουθεί μια κατανομή F με και βαθμούς ελευθερίας τότε, Ε( W) = και ( ) ( + ) V W = ( ) ( 4) Η κατανομή F είναι ημαντική τη Στατιτική λόγω του θεωρήματος που ακολουθεί. Θεώρημα: Αν U και V και U, V είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές τότε η τυχαία μεταβλητή, U F = V ακολουθεί μια κατανομή F με και βαθμούς ελευθερίας. Η κατανομή F είναι ημαντική για την τατιτική υμπεραματολογία διότι, όπως γνωρίζουμε, για τις δειγματικές διακυμάνεις ιχύει ότι, αν Χ, Χ,...,Χ είναι ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους από έναν κανονικό πληθυμό Ν(μ, ) και Υ,Υ,...,Υ m είναι ένα άλλο τυχαίο δείγμα μεγέθους m από έναν άλλο κανονικό πληθυμό Ν(μ, τότε, και ) ο οποίος είναι ανεξάρτητος από τον πρώτο * ( ) * ( m ) m m Επομένως ύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, 4
* * ( ) m ( m ) y F, m (, είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές δεδομένου ότι και Χ, Υ είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές). 5