ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos + isi ) i, π π π π 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, 5π 5π 6 6 6 z (cos + isi ) ( i ) i, 7π 7π 6 6 6 π z (cos + isi ) (cos + isi ) i 9π 9π π 4 6 6 z (cos + isi ) ( i ) i π π 5 6 6 6 Παρατηρούµε ότι: z z5, z z 4 και z z, β) ος τρόπος: Έστω z x+ iy, x, y Έχουµε: z i x ( y + ) και z ( ) x + y x + ( y ) ( x ) + y x + ( y ) ( x ) + y 4 4 x + y + y x + x+ y x + x+ y + y ( x ) + ( y+ ) που είναι η εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο (, ) i και ακτίνα ος τρόπος: Χρησιµοποιούµε την ταυτότητα: z w z + w zw zw ( z w ( z w)( z w) ( z w)( z w) zz + ww zw zw z + w zw zw ) Εποµένως, z i z z i z z + zi+ iz z + z z ( ) ( ) ( ) ( ) z z i z + i + z z i z i + i + i ( ) 4 ( ) z i + + z i γ) 6 6 6 6 π π 6 6 6π 6π (+ i ) ( + i ) (cos + isi ) (cos + isi ) A 5 6 5 (4 i) 4 i ( ) ( i ) ( ) cos(( π )) + i si(( π ))
Άσκηση Λύση: i) Έστω x, x [, +) µε f ( x) f( x) ( ) x x x η f είναι - Τότε ( ) x x x Έστω y [, +) Θέτουµε x y [, +) Προφανώς f ( x) x y y y η f είναι και επί Από τα προηγούµενα προκύπτει ότι f ( x) x για κάθε [, ) x + ii) Αν x (,) τότε x < x x g( x) < 4 g( x) ( 4,4) [ 4,4] Επίσης, επειδή το ( 4,4) είναι γνήσιο υποσύνολο του [ 4,4], η συνάρτηση δεν είναι επί Έστω x, x (, ) µε gx ( ) gx ( ) x x x x Τότε gx ( ) gx ( ) x x x x x x Αν x x τότε προφανώς x x Έστω x > Τότε gx ( ) gx ( ) x x x x x x η g είναι - x x x > iii) Η h δεν είναι - γιατί h() h() Αν ήταν επί τότε θα υπήρχε x, τέτοιο ώστε hx ( ) Αλλά η εξίσωση hx ( ) x x+ x x+ έχει διακρίνουσα < και συνεπώς δεν έχει πραγµατικές ρίζες η h δεν είναι επί iv) Η συνάρτηση s είναι επί, όπως προκύπτει από τη ακόλουθη γραφική παράσταση: y -π -π/ / O π/ π π/6 5π/6 - x Παρατηρούµε ότι s( π ) s() s( π ) και εποµένως η s δεν είναι - (Ή h( π /6) h(5 π /6) ) v) Η συνάρτηση c είναι γνησίως αύξουσα (άρα -) και επί, όπως προκύπτει από την ακόλουθη γραφική παράσταση: y π/ π O π/ π 5π/ x -
Εξ ορισµού, η συνάρτηση cos rccos έχει σύνολο τιµών το διάστηµα [, π ] Παρατηρούµε ότι π c os x [ π,π] και c(π cos x) cos(π cos x) cos( cos x) cos(cos x) x c ( x) π cos x Άσκηση α) 7,5, 4, 45,5, 48, 49,5, 49,875, 49,995 5 6 7 8 9 95 99 Από τους υπολογισµούς αυτούς φαίνεται ότι η ακολουθία συγκλίνει στο 5 Παρατηρούµε όµως ότι 7,5,, 5,5, 8, δηλαδή οι όροι της ακολουθίας αποµακρύνονται από το υποτιθέµενο όριο 5 Εποµένως δεν αρκεί να βρούµε όρους της ακολουθίας 5 6 7 8 ( ) (για µεγάλα ) που να απέχουν από έναν αριθµό µικρή απόσταση (αυθαίρετα εκλεγµένη, άρα οσοδήποτε µικρή), αλλά θα πρέπει και οι επόµενοι απ αυτούς όροι να απέχουν από τον ίδιο αριθµό την ίδια ή µικρότερη απόσταση β) b, 7, b, 9, b,5, b, 5 εν µπορούµε να βγάλουµε ασφαλές 5 7 9 95 συµπέρασµα για το αν η ακολουθία συγκλίνει ή όχι Παρατηρούµε ότι για > έχουµε b < + + + + ( )(99 ) 99 99 Έστω τώρα ε > Αν + ε, τότε > Θέτουµε mx{, } Για κάθε ε θα έχουµε: > < ε ε Επειδή > θα έχουµε b < < ε και εποµένως η ( b ) είναι ( + )(99 ) µηδενική Άσκηση 4 α) Προφανώς + + > για κάθε,, + + > δ + + > Από την ανισότητα του Beroulli παίρνουµε: ( ) + > δ δ + + + + (+ δ )
β) Από το α) παίρνουµε δ < + + δ < + + + + και + επειδή δ >, έπεται ότι δ + lim + + + lim δ Κατά + + συνέπεια ( lim + + lim + + ) + γ) ( ) + + + + + + + + + + + + ( + 4+ ) 4+ + 4+ 4+ lim lim lim + (4 ) + 4 + + + + 4 + 4 (/ ) lim + lim 4 + + 4 + (/ ) 4 4+ lim + lim + lim + lim + lim + + + + + + e e Άσκηση 5 α) Προφανώς + + +, δηλαδή A + + + Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Α είναι λ + λ + λ ( λ + )( λ ) λ Ιδιοτιµές είναι οι αριθµοί λ, λ Ιδιοδιανύσµατα: Για την ιδιοτιµή λ x x x+ y x + y x y y y x+ y x λ y y, y όπου y Με τον ίδιο τρόπο µπορεί να δείξει κανείς ότι το διάνυσµα ιδιοδιάνυσµα του Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ λ είναι ένα
Ο πίνακας P λ λ είναι αντιστρέψιµος (εφόσον η ορίζουσά του είναι ίση µε λ ) µε αντίστροφο λ P λ λ λ λ Εποµένως λ λ λ λ λ A P P λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λλ λ λ λ λ λ λ + + + + + + λ λ λ λ λ λλ λλ + + + + + + λ λ λλ λλ λ λ λ λ λλ λλ + + + + λ + λ + ( λ λ ) + ( λλ λλ ) λ λ λ + λ λ λ λ λ λ λ ( λ λ) + ( λλ λλ ) λ λ λ + λ λ λ λ λ + λ + λ λ λ λ λ Έστω, και, αντικαθιστώντας το µε το - παίρνουµε λ λ λ + λ λ λ λ λ Τότε λ λ 4 + + λ λ λ λ λ λ ( ) 4 lim 4 lim + + Έστω, Τότε λ λ + + λ λ λ λ λ λ ( ) ( ) + Προφανώς η ακολουθία ( ),,, δεν συγκλίνει, ενώ η ακολουθία,,, είναι µηδενική η ακολουθία ( ) δεν συγκλίνει
+ + β) Θα πρέπει να έχουµε: λ λ λ για κάθε,, Επειδή έπεται ότι λ λ + λ λ λ ή λ λ λ + λ + c c c( ) c Έστω, c c c + c + 5 4 4 Τότε παίρνουµε c c 4 c c 4c + c 4 6 Έστω, 4 c c c + c + 5 c 4 4 c c c 4c + c 4 6 ( ) + 4 Άσκηση 6 α) i) + +!!! Εφαρµόζουµε το κριτήριο λόγου στις σειρές και!! Παρατηρούµε ότι + /( + )! lim lim < και εποµένως η σειρά + /! + +! συγκλίνει Ο έλεγχος της σύγκλισης της σειράς είναι πανοµοιότυπος (και προκύπτει! + ότι και η σειρά αυτή συγκλίνει) η αρχική σειρά συγκλίνει! ii) Εφαρµόζουµε το κριτήριο ρίζας: lim lim < η σειρά + 5 + 5 5 συγκλίνει
+ /( + ) iii) Εφαρµόζουµε το κριτήριο λόγου: lim lim > + / + + και εποµένως η σειρά αποκλίνει iv) Παρατηρούµε ότι / / + > + + / για κάθε > Εφόσον η σειρά ζ (/ ) αποκλίνει, έπεται ότι και η σειρά αποκλίνει / β) Υπολογίστε τα αθροίσµατα: + + i) + 4 4 9 lim 9 + 4 5/9 9 9 5 ii) Θέτουµε b + (+ ) + b( ) (+ b) + b ( )(+ ) + + b b b b b m m Εποµένως ( )(+ ) + m+ m Κατά συνέπεια lim lim ( )( ) m m + + + + m+