11.6 Ελικοειδή θλιπτικά ελατήρια Στα προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε αναλυτικά τα ελικοειδή κυλινδρικά ελατήρια υμπίεης, κυκλικής διατομής ύρματος. Στο Σχήμα 11-7 φαίνονται (α) κυλινδρικό ελατήριο υμπίεης τετραγωνικής διατομής, και κωνικά ελατήρια υμπίεης (β) κυκλικής και (γ) ορθογωνικής διατομής ύρματος. Ο τρόπος υπολογιμού των τάεων, της μετατόπιης και της ταθεράς ελατηρίου είναι παρόμοιος με τα προαναφερθέντα. (α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών 11.7 Ελικοειδή ελατήρια εφελκυμού Τα ελικοειδή ελατήρια εφελκυμού διαφέρουν από αυτά του εφελκυμού το ότι μεταφέρουν εφελκυτικό φορτίο, χρειάζονται κατάλληλη διαμόρφωη των άκρων για τη παραλαβή της δύναμης και οι πείρες του αφόρτιτου ελατηρίου είναι αρχικά υμπιεμένες με πρόταη F i. Η αρχική αυτή πρόταη δημιουργείται όταν κατά την κατακευή του ελατηρίου το ύρμα τυλίγεται τον άξονα μήτρα με ταυτόχρονη τρέψη. Έτι όταν ένα ελατήριο εφεκλύεται χρειάζεται η εφαρμογή μιας αρχικής δύναμης ίης με F i για να αρχίει να μετατοπίζεται το ελατήριο. Έτι η δύναμη του ελατηρίου είναι: F F i + δ Αν ο αριθμός των πειρών του ώματος του ελατηρίου (χωρίς τα άκρα) είναι Ν b, τότε ο αριθμός των ενεργών πειρών του, Ν α, υπολογίζεται από τη χέη: G Na Nb + E Όπου G και E το μέτρο τρέψης και ελατικότητας του υλικού.
Σχήμα Error! No text of specified style in document.-: Ελικοειδές ελατήριο ε εφελκυμό Το κάθε άκρο του ελικοειδούς ελατηρίου εφελκυμού έχει δύο ακτίνες καμπυλότητας (r 1 και r ). Στο επίπεδο της καμπυλότητας r 1 η διατομή το ημείο Α του καμπύλου τμήματος υφίταται κάμψη και εφελκυμό, ενώ το επίπεδο της καμπυλότητας r η διατομή το ημείο Β η διατομή καταπονείται ε διάτμηη λόγω τρέψης. Η μέγιτη εφελκυτική τάη το ημείο Α λόγω αξονικού φορτίου F και καμπτικού φορτίου FD/, περιγράφεται από την χέη: 16D A F A + πd πd Όπου το A είναι ο υντελετής υγκέντρωης τάης λόγω της καμπυλότητας της δοκού και τη υγκεκριμένη περίπτωη ιούται με: C1 C1 1 r1 A με C 1 C1 d Η μέγιτη τρεπτική τάη το ημείο Β είναι: 8FD τ B B π d Όπου το Β είναι ο υντελετής υγκέντρωης τάης λόγω της καμπυλότητας της δοκού και τη υγκεκριμένη περίπτωη ιούται με: C 1 r B με C C d Ο έλεγχος των τάεων πρέπει να ικανοποιείται τα ημεία Α και Β καθώς και τις πείρες του κυρίως ώματος του ελατηρίου. 11.8 Ελικοειδή τρεπτικά ελατήρια Τα ελικοειδή ελατήρια ανήκουν ε δυο κατηγορίες: τα ελικοειδή (Σχήμα 11-9α) και τα πειροειδή ή πιράλ (Σχήμα 11-9β). Η κύρια φόρτιη ε ένα τρεπτικό ελατήριο είναι η κάμψη. Η καμπτική ροπή εξακείται τα άκρα του τρεπτικού ελατηρίου. Στα τρεπτικά ελατήρια ιχύει και εφαρμόζεται η θεωρία των καμπύλων δοκών.
Τάη ελικοειδούς τρεπτικού ελατηρίου ε καταπονούμενου ε κάμψη, για την εξωτερική και την εωτερική ίνα αντίτοιχα: M M o o i i π d π d Συντελετής υγκέντρωης τάεων 1 1 o C + C i C C CC ( + 1) CC ( 1) Από τις εκφράεις των o και i παρατηρούμε ότι πάντοτε o < i οπότε κάνουμε πάντα έλεγχο την εωτερική ίνα όπου παρουιάζεται η μέγιατη θλιπτική λόγω κάμψης τάη. Αντίτοιχες χέεις ιχύουν και για ορθογωνική διατομή, όπου οι υντελετές υγκέντρωης τάεων είναι: 0.8 0.8 o C + C i C C CC ( + 1) CC ( 1) Και η μέγιτη καμπτική (θλιπτική ) τάης είναι: 6a i i bh Όπου b x h είναι το πλάτος επί το ύψος της ορθογωνικής διατομής και α το μήκος του μοχλοβραχίονα της ροπής. Γωνία περιτροφής Σταθερά ελατηρίου ( π ) ML M DNa 6MDN α EI E Ed T ( π d /6) M Ed α 6DN a a (α) (β) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-: Στρεπτικά ελατήρια: (α) ελικοειδές με κυκλική διατομή, και (β) πειροειδές Στο πειροειδές ελικοειδές ελατήριο έχει ορθογωνική διατομή καταπονείται ε κάμψη. Η μέγιτη καπτική τάη εκφράζεται από την ανωτέρω χέη: 6a 6a o o i i bh bh
με Γωνία περιτροφής Σταθερά ελατηρίου o + CC ( + 1) CC ( 1) C C 0.8 0.8 C C i ( π ) ML M DNa 6MDN α EI E Ed T ( π d /6) M Ed α 6DN a a 11.9 Ελατήρια Belleville 1 Όταν από το ελατήριο απαιτείται μεγάλη δύναμη ε μικρό χώρο χρηιμοποιείται το ελατήριο Belleville (Σχήμα 11-10). Το ελατήριο αυτό αποτελείται από ένα δίκο πάχους t, εξωτερικής διαμέτρου D, εωτερικής διαμέτρου d, με μια εκ κατακευής κωνικότητα ύψους h. Το ελατήριο υμπιέζεται κατά την διεύθυνη του άξονα y με δύναμη F που ακείται την εωτερική και την εξωτερική περιφέρεια. Σχήμα Error! No text of specified style in document.-:γεωμετρία ελατηρίου Belleville Η χέη δύναμης-παραμόρφωης περιγράφεται από τη χέη: E δt h δ h δ F 1 1 ν KD + 1 t t t t ( ) όπου E το μέτρο ελατικότητας του υλικού ν ο λόγος oisson δ η υμπίεη (μετατόπιη) του ελατηρίου t πάχος ελατηρίου 1 Spring Design Manual, AE-1, nd Edition, SAE, Warrendale, A, 1996.
h ύψος του αφόρτιτου ελατηρίου D εξωτερική διάμετρος Κ 1 ταθερά εξαρτώμενη από το λόγο D/d (Πίνακας 11-) Η απαιτούμενη δύναμη για να γίνει το ελατήριο επίπεδο, δηλ. δ h, γίνεται: E ht Fflat ( 1 ν ) KD 1 Η μη γραμμική ταθερά ελατηρίου είναι: df E t h h δ δ 1 + + dδ ( 1 ν ) K1D t t t t Κρίιμα ημεία τάεων είναι τα ημεία Α (θλιπτικές τάεις) και Β (εφελκυτικές). Έχει όμως αποδειχθεί ότι η μέγιτη εφελκυτική τάη αναπτύεται το ημείο C και ιούται με: E tdδ h δ C K ( K K) + ( 1 ν ) KD 1 t t Όπου δ η υμπίεη (μετατόπιη) του ελατηρίου και Κ 1, Κ, Κ ταθερές εξαρτώμενες από το λόγο λ D / d (Πίνακας 11-) Πίνακας Error! No text of specified style in document.-1: Τιμές ταθερών K 1, K και K για τους υπολογιμούς των δυνάμεων και τάεων τα ελατήρια Belleville. λ D / d K 1 K K 1. 0.6 1.07 1.1 1.6 0.57 1.1 1. 1.8 0.65 1.17 1.0.0 0.69 1. 1.8. 0.7 1.6 1.5. 0.75 1.1 1.5.6 0.77 1.5 1.60.8 0.78 1.9 1.67.0 0.79 1. 1.7. 0.79 1.6 1.81. 0.80 1.50 1.87.6 0.80 1.5 1.9.8 0.80 1.57.00.0 0.80 1.60.07 Η επιτρεπόμενη τάη τα χαλύβδινα ελατήρια Belleville υπερβαίνει τα επ 100Ma. Στον Πίνακα 11-5 δίνονται διάφοροι χάλυβες με τις αντίτοιχες μηχανικές τους ιδιότητες. Πίνακας Error! No text of specified style in document.-: Αντοχή χαλύβων για ελατήρια Belleville.
ΥΛΙΚΟ Μέτρο Eλατικότητας, Ga Αντοχή θραύης, Ma Περιοχή Σκληρότητας, HRC Πάχη δίκων ελατηρίων Belleville, mm Θερμοκραία λειτουργίας, ο C Παρατηρήεις SAE 1050 έως 1095 07 100 1700 6 50 0.1 5.0 100 Πρότυπο SAE 6150 07 100 1700 0 9 0. 60 00 Πρότυπο SAE 001, 00 190 100 100 μέχρι.0 00 μέχρι 50 Αντοχή ε διάβρωη SAE 5100 ειρά 07 100 100 8 6 0. 6.0 00 Αντοχή ε διάβρωη και θερμοκραία 17 7 H 195 100 100 μέχρι.0 00 Αντοχή ε διάβρωη h Bz 115 600 700 0.1 5.0 100 Αντοχή ε διάβρωη, χωρίς Μαγνήιο Be Cu 10 170 150 μέχρι.0 00 μέχρι +00 Αντοχή ε διάβρωη INCONEL 750 10 1000 1100 μέχρι 5.0 600 Αντοχή ε διάβρωη, χωρίς Μαγνήιο Στον Πίνακα 11-6 μπορούμε να δούμε την τυποποίηη κατά DIN 09, των δίκων των ελατηρίων Belleville. Πίνακας Error! No text of specified style in document.-: Τυποποιημένες διατάεις ελατηρίων Belleville κατά DIN09 DIN09(GB/T197-005) Serial A D/t 18;h0/t 0.;E06000N/mm ;μ0.0 f 0.75h0 Q/KG/ Item no. D/mm d/mm t(t )/mm h0/mm H0/mm f/mm (H0-f)/mm F/N om/ Ⅱ Ⅲ 1000pcs N/mm /N/mm A1 8. 0. 0. 0.6 0.15 0.5 10-100 10* 0.11 A 10 5. 0.5 0.5 0.75 0.19 0.56 9-110 10* 0.5 A 1.5 6. 0.7 0. 1 0. 0.77 67-180 10* 0.508 A 1 7. 0.8 0. 1.1 0. 0.87 81-1190 10* 0.711 A5 16 8. 0.9 0.5 1.5 0.6 0.99 1000-1160 190* 1.05 A6 18 9. 1 0. 1. 0. 1.1 150-1170 100* 1.8 A7 0 10. 1.1 0.5 1.55 0. 1.1 150-1180 100*.01 A8.5 11. 1.5 0.5 1.75 0.8 1.7 1950-1170 10*.9 A9 5 1. 1.5 0.55.05 0.1 1.6 910-110 110*. A10 8 1. 1.5 0.65.15 0.9 1.66 850-1180 180* 5.9 A11 1.5 16. 1.75 0.7.5 0.5 1.9 900-1190 10* 7.8 A1 5.5 18. 0.8.8 0.6. 5190-110 10* 11. A1 0 0..5 0.9.15 0.68.7 650-110 10* 16. A1 5..5 1.5 0.75.75 770-1150 100*.5 A15 50 5. 1.1.1 0.8.7 1000-150 10*. A16 56 8.5 1.. 0.98. 1100-1180 180* A17 6 1.5 1..9 1.05.85 15000-110 100* 6.9 A18 71 6 1.6 5.6 1.. 0500-100 10* 91.8 A19 80 1 5 1.7 6.7 1.8 5. 700-160 160* 15 A0 90 6 5 7 1.5 5.5 100-1170 100* 18.5 A1 100 51 6. 8. 1.65 6.55 8000-150 10* 7.7 A 11 57 6.5 8.5 1.88 6.6 800-110 10*.8 A 15 6 8(7.5).6 10.6 1.95 8.65 85900-180 10* 5 A 10 7 8(7.5). 11.. 8.8 8500-160 180* 666.6 A5 160 8 10(9.).5 1.5.6 10.87 19000-10 10* 109 A6 180 9 10(9.) 1 11 15000-1180 100* 187 A7 00 10 1(11.5). 16..15 1.05 18000-110 10* 100 A8 5 11 1(11.5) 5 17.75 1.5 171000-110 110 60 A9 50 17 1(1.1) 5.6 19.6 1. 15. 9000-100 10 750
Τα ελατήρια μπορούν να χρηιμοποιηθούν ε παράλληλη διάταξη, δημιουργώντας κληρά ελατήρια, εν ειρά (μαλακά ελατήρια) ή ε μικτή δημιουργώντας ελατήρια ενδιάμεης ελατικότητας (Σχήμα 11-11). Σχήμα Error! No text of specified style in document.-5:ελατήρια Belleville, (α) ε παράλληλη, (β) ε ειριακή και (γ) ε μικτή διάταξη ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Ένα χαλύβδινο ελατήριο Belleville, έχει εξωτερική διάμετρο D0mm, εωτερική d100mm, πάχος δακτυλίου t.5mm και περιθώριο υμπίεης μέχρι την επιπεδότητα hmm. Να βρήτε την απαραίτητη δύναμη για πλήρη υμπίεη και η αντίτοιχη τάη το ημείο C. ΛΥΣΗ: Επειδή D/d0/100., από τον Πίνακα 11- βρίκουμε: K1 0.75, K 1.1, K 1.5 Οπότε η ζητούμενη δύναμη για πλήρη υμπίεη είναι: 5 E ht.1 10 Ma mm (.5mm) Fflat 15N ( 1 ν ) KD ( 1 1 0. ) 0.75 ( 0mm) Και η τάη το ημείο C, E tdδ h δ C K ( K K) + 1 ν KD 1 t t ( ) 10000.5 100 1.5 ( 1.5 1.1) + ( 1 0. ) 0.75 0.5.5 60.86Ma 11.10 Δακτυλιοειδή ελατήρια Τα δακτυλιοειδή ελατήρια αποτελούνται από αριθμό εωτερικών και εξωτερικών δακτυλίων που υναρμολογούνται όπως το Σχήμα 11-1. Η εφαρμογή της δύναμης προκαλεί εφελκυτικές τάεις τους εξωτερικούς και θλιπτικές τους εωτερικούς δακτυλίους.
Η τάη για τον εξωτερικό δακτύλιο είναι: o πb a h tan ( + ρ) Όπου tan ρ f, με f τον υντελετή τριβής ανάμεα τις τριβόμενες επιφάνειες των δακτυλίων. Μια υνήθης τιμή για τον υντελετή τριβής ε δακτυλιοειδή ελατήρια είναι f0.16. Η τάη του εωτερικού δακτυλίου είναι: i πb a+ ρ h tan ( ) o i α h i h i δ Lo b r s s b p D i D o h o h o Σχήμα Error! No text of specified style in document.-6:ελατήριο δακτυλίων: αφόρτιτο και φορτιμένο με δύναμη Ρ Πίνακας Error! No text of specified style in document.-: Τυποποιημένες διατάεις δακτυλιοειδών ελατηρίων Διατάεις δακτυλιοειδούς ελατηρίου Ma Μέγιτο φορτίο, N Α/Α Διάμετρος f.n 1/mm Με βήμα κύκλου h o h' o h i h' i b r S t S c Χωρίς τριβή τριβή D o D i p f0.16 SY1801 89 8.5 10.5 1.0 1.0 9.5 78.0 7.90 19.0 1998.0 SY180 91 1.8 8 19.5 10.5 17.0 8.0 6.5 6.5 790.0 16.0 SY180 1 7.8 66 15.5 8.0 1.5 6.0 50.0 5.00 50.0 806.0 SY180 50 18.6 5 1.5 6.0 11.0 5.0 0 1.6.90 0.0 58.0 SY1805 00 17.8 10.0 5.5 9.0.5 1. 90 1100.0 01.0.0 SY1806 160 10.5 8.5.0 7.0.0 6 1.0. 18.8.0 SY1807 18 111.6 7 6.5.0 5.5.5 1.10 89.0 1.0 SY1808 10 89.5 5.0.5.5.0 17 1.65 5.0 85.0 SY1809 8 7.1 18.0.0.5 1.5 1 1.5.7 55.5 Η υμπίεη του ελατηρίου δ, δίνεται από τη χέη: ( N 1 )( Do / ho + Di / hi) δ πbe tana tan( a + ρ) Όπου Ν ο υνολικός αριθμός των δακτυλίων και Ε το μέτρο ελατικότητας του Young. Η ταθερά ελατηρίου είναι από την προηγούμενη χέη:
δ π be tana tan( a + ρ ) ( N 1 )( D / h + D / h ) o o i i Στον Πίνακα 11-7, μπορούμε να δούμε την τυποποίηη των διατάεων των δακτυλιοειδών ελατηρίων. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να υπολογίετε την μετατόπιη δ του δακτυλιοειδούς ελατηρίου με τυποποίηη SY1805 (Πίνακας 11-7) κάτω από την επενέργεια του φορτίου 150 N, Επίης να υπολογίετε τις τάεις τους δυο δακτυλίους, και τη ταθερά ελατηρίου. Δίδεται ότι ο υντελετής τριβής είναι f 0.16. ΛΥΣΗ: Από τον Πίνακα 11-7 έχουμε: Do 00mm Di 17.8mm p mm b mm ho 10mm h o 5.5 hi 9mm h i.5 Από τα δεδομένα και από το Σχήμα 11-1 έχουμε: ( ho h o) ( 10 5.5) tan a 0.815 b 1 o a tan 0.815 15.708 ( ) 1 tan ( f ) 1 tan ( 0.16) o 9.090 ( a ρ ) ( ) ( ) ρ tan + tan 15.708 + 9.090 tan.798 0.6 Η υμπίεη του ελατηρίου δ, δίνεται από τη χέη: ( N 1 )( Do / ho + Di / hi) δ πbe tana tan( a + ρ) 150000N ( 15 1) ( 00 /10 + 17.8 / 9) 15mm π mm 10000Ma 0.815 0.6 Όπου Ν 15, ο υνολικός αριθμός των δακτυλίων και Ε 10000Ma το μέτρο ελατικότητας του Young. Η ταθερά ελατηρίου είναι: 150000N 10000 N / mm δ 15mm Η τάη του εξωτερικού δακτυλίου είναι: 150000N o Ma πbtan ( a+ ρ) h o π mm 0.6 10mm Η τάη του εωτερικού δακτυλίου είναι: 150000N i 59Ma πbtan ( a+ ρ) hi π mm 0.6 9 Από τον Πίνακα 11-7, η αντοχή του εξωτερικού δακτυλίου είναι S t 90Ma και του εωτερικού δακτυλίου S c 1100 Ma. Οι αντίτοιχοι υντελετές αφαλείας είναι: St 90Ma N o.86 Ma o
N i Sc 1100Ma.06 59Ma i 11.11 Φυλλωτά ελατήρια Τα φυλλωτά ελατήρια αποτελούνται από δοκούς ορθογωνικών διατομών. Στον Πίνακα 11-8 βρίκουμε υγκεντρωμένες τις κυριώτερες δοκούς με διάφορες φορτίεις και βέλη κάμψης. Έτω δοκός μήκους L και διατάεων διατομής b x h, πακτωμένη ελεύθερη με φορτίο το ελεύθερο άκρο (Σχήμα 11-1). Σχήμα Error! No text of specified style in document.-7: Φυλλωτά ελατήρια (ούτες) Η μέγιτη ροπή την πάκτωη είναι: M L Η μέγιτη καμπτική τάη είναι: 6 M ymax L ( h/) L I bh /1 bh Η μέγιτη βύθιη το ελεύθερο άκρο λόγω της δύναμης είναι (Πίνακας 11-8): δ L L L EI E( bh /1) Ebh Επίης αν εκφράουμε την μέγιτη βύθιη υναρτήει της μέγιτης τάης θα έχουμε: L L 6L L δ Ebh 6Eh bh Eh Έτω ότι τώρα έχουμε έναν αριθμό n από δοκούς ή λάμες ελατηρίων η μια πάνω την άλλη (Σχήμα 11-1):. Σχήμα Error! No text of specified style in document.-8: Φυλλωτά ελατήρια (ούτες) Η μέγιτη ροπή είναι η ίδια. Η μέγιτη καμπτική τάη την πάκτωη είναι:
6 M ymax L ( h/) L ni nbh /1 nbh Η μέγιτη βύθιη το ελεύθερο άκρο λόγω της δύναμης είναι: L L δ EI nebh L L 6L L δ nebh 6Eh nbh Eh Οι πιο πάνω χέεις δίνουν την τάη και βύθιη ενός φυλλωτού ελατηρίου με ομοιόμορφη διατομή. Η τάη ε τέτοια ελατήρια δοκούς είναι μέγιτη την πάκτωη. Αν χρηιμοποιήουμε τώρα ένα ελατήριο με τριγωνικό πλάτος όπως το Σχήμα 11-15α, τότε η τάη κατανέμεται ομοιόμορφα κατά το μήκος της δοκού. Αυτή η δοκός-ελατήριο είναι ιοδύναμη με το φυλλωτό ελατήριο του Σχήματος 11-15β και ονομάζεται υποκατάτατη δοκός. 6L nbh
(γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-9: Φυλλωτά ελατήρια (ούτες): (α) και (β) μοντέλο υπολογιμού και (γ) πραγματικό Και για να βρούμε τη βύθιη δ, επειδή η δοκός έχει μεταβλητό πλάτος κατά το μήκος της δοκού, χρηιμοποιούμε το θεώρημα του Castigliano. Η ενέργεια παραμόρφωης U που προκαλεί η δύναμη Ρ είναι: L L L 1 M ( x) 1 1 x 1 x L U dx dx dx EI ( x) E b( x) h Eh 0 0 0 ( xnb / L) nebh Οπότε η μετατόπιη του ημείου εφαρμογής της δύναμης Ρ θα είναι: U L 6L δ nebh nebh 6L L 6L L δ nebh Eh nbh Eh Παρατηρούμε ότι η μετατόπιη δ τ της δοκού με τριγωνικά μεταβαλλόμενο πλάτος προς τη μετατόπιη δ ο για ομοιόμορφη δοκό είναι: δτ 6L nebh δ nebh L ο Τα ελάματα των φυλλωτών ελατηρίων έχουν τις εξής τυποποιημένες διατάεις: Πίνακας Error! No text of specified style in document.-5: Τυποποιημένες διατάεις ελαμάτων φυλλωτών ελατηρίων Τυποποίηη ελαμάτων φυλλωτών ελατηρίων Πάχος (mm)..5 5.0 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 9.0 10.0 11.0 1.0 1.0 16.0 Πλάτος (mm).0 0.0 5.0 50.0 55.0 60.0 65.0 70.0 75.0 80.0 90.0 100.0 15.0 Διάμετρος άρθρωης (mm) 19.0 0.0.0.0 5.0 7.0 8.0 0.0.0 5.0 8.0 50.0 55.0 Πίνακας Error! No text of specified style in document.-6: Μηχανικές ιδιότητες υλικών φυλλωτών ελατηρίων
Υλικό Θερμική κατεργαία Όριο θραύης (Ma) Όριο διαρροής (Ma) Σκληρότητα Brinell 50 Cr 1 1680 00 150 1750 61 601 50 Cr 1 V Βαφή και επαναφορά 1900 00 1680 1890 5 601 55 Si Mn 90 180 060 1680 190 5 601 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να χεδιατεί ένα φυλλωτό ελατήριο με τις ακόλουθες προδιαγραφές: Συνολικό φορτίο 10 N, αριθμός ελατηρίων που υποτηρίζουν το φορτίο, Μ εγιτος αριθμός φύλλων ελατηρίου 10, μήκος ελατηρίου 1000 mm, επιτρεπόμενη μετατόπιη 80 mm. Λάβετε μέτρο ελατικότητας Ε 00 N/mm, και επιτρεπόμενη τάη του υλικού του ελατηρίου 600Mα. ΛΥΣΗ: Θα θεωρήουμε το μιό φυλλωτό ελατήριο L 500 mm, το φορτίο 10 / / 17.5 N, επ 600 Ma. Η τάη είναι: 6L επ nbh 6 17500N 500mm 600 N / mm n b h n b h 87500mm (1) Εφ όον η μετατόπιη του ελατηρίου πρέπει να είναι μικρότερη από 80mm: 6L δ δ επ nebh 6 17500N ( 500mm) nbh ( 10000 N / mm ) 80mm n b h 78150mm () Διαιρούμε την () με την (1): n b h 78150mm h 8.9mm n b h 87500mm Από Πίνακα 11-8 τυποποιούμε: h 9 mm. Από (1) και (): 87500mm 87500mm n b 1080mm h 9mm ( ) 78150mm 78150mm n b 1071.6mm h ( 9mm) Επομένως n b 1080mm, οπότε από τον Πίνακα 11-8 έχουμε: αν b 15 mm τότε n 9 αν b 100 mm τότε n 11 αν b 90 mm τότε n 1 αν b 80 mm τότε n 1
Επιλέγουμε b 15 mm και n 9. 11.1 Ιδιουχνότητα ελικοειδών ελατηρίων Όταν η υχνότητα του φορτίου ενός ελατηρίου υμπέει με την ιδιουχνότητα του ελατηρίου, τότε το ελατήριο υντονίζεται και ταλαντώνεται με μεγάλο εύρος ταλάντωης, που μπορεί να έχει ως αποτέλεμα την κρούη των πειρών μεταξύ τους. Για το λόγο αυτό πρέπει να υπολογίζουμε την ιδιουχνότητα του ελατηρίου και να τη υγκρίνουμε με την υχνότητα του φορτίου κατά τη λειτουργία. Αν το ελατήριο θεωρηθεί αβαρές ταθεράς που φέρει μια μάζα m τότε η ιδιουχνότητά του είναι: 1 ω n ( rad / s) ή fn ( Hz) m π m Αν το ελατήριο έχει υπολογίιμη μάζα, τότε θεωρείται ως υνεχές μέο, διαμέτρου ύρματος d και διαμέτρου ελίκωης R, ενεργού αριθμού πειρών Ν α, μέτρου τρέψης G, και πυκνότητας υλικού ρ, και έχει n ιδιουχνότητες που δίνονται από τη χέη: nd G nd G ωn ( rad / s) ή f n ( Hz) 8RN α ρ 16πRN α ρ 11.1 Ευτάθεια ελικοειδών ελατηρίων Ένα ελικοειδές ελατήριο ε θλίψη ενδέχεται να υποτεί λυγιμό. Είναι απαραίτητος ο προδιοριμός του κριίμου φορτίου λυγιμού, και η ύγκριή του με το μέγιτο επιβαλλόμενο φορτίο το ελατήριο. Το μήκος υπολογιμού του λυγιμού είναι το μήκος λειτουργίας. max L hf Η ιοδύναμη ροπή αδράνειας της διατομής του ελατηρίου δίνεται από τη χέη: I eq Ld 18NR1 / ενώ το κρίιμο φορτίο λυγιμού κατά Euler είναι: cr a π EI ( + v ) eq Leff Όπου Ε είναι το μέτρο ελατικότητας του υλικού του ελατηρίου, και Leff ml με m υντελετή εξαρτώμενο από τις οριακές υνθήκες του ελατηρίου (Σχήμα 11-16)
Ελεύθερο άκρο L Πάκτωη Άρθρωη m 1 m 0.5 m m 0.707 Σχήμα Error! No text of specified style in document.-10: Λυγιμός ελικοειδών ελατηρίων Στο χήμα 11-16 οι διαγραμμιμένες περιοχές που αναφέρονται αν πακτώεις είναι ταθερές (κάτω) ή μετακινούμενες κατακόρυφα (πάνω) αλλά όχι οριζόντια (εκτός αυτής με το ελεύθερο άκρο) και μη περιτρεφόμενες. Οπότε το κρίιμο φορτίο λυγιμού ελικοειδούς ελατηρίου γίνεται: cr π EI eq ( ml) Βεβαίως ο λυγιμός ενός ελικοειδούς ελατηρίου μπορεί να προληφθεί και με την τοποθέτηη το εωτερικό του, ενός άξονα που λειτουργεί ως οδηγός (πχ. ελατήριο ε τυλό, ε υρραπτικές μηχανές κλπ). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Δίνεται ένα χαλύβδινο ελατήριο με πείρες και πεπλατυμένα άκρα, με διάμετρο ύρματος d mm, και ακτίνα ελίκωης R 1 mm. Αν το φορτίο το οποίο το ελατήριο θα λειτουργήει είναι 100 N να γίνει έλεγχος λυγιμού του. ΛΥΣΗ: Ο αριθμός των ενεργών πειρών είναι: Na Nt 0 Επειδή το ελατήριο είναι χαλύβδινο θα έχει Ε.1x10 5 Ma και G 0.8x10 5 Ma και υνεπώς η ταθερά του θα είναι: 5 ( mm) ( 0.8 10 N / mm ) dg 6NR a 6 0 1.9 N / mm ( )( mm) Το μέγιτο εύρος λειτουργίας δ s του ελατηρίου πρέπει να είναι 0% μεγαλύτερο από το ονοματικό εύρος λειτουργίας /, ώτε αν το ελατήριο υπερφορτιτεί με φορτίο μικρότερο από το 0%, οι πείρες του να μην έρθουν ε επαφή. δ 100N s 1.0 1.0 1mm.9 N / mm
Το μήκος h s του πλήρως υμπιεμένου ελατηρίου είναι: hs Ntd mm 66mm Το μήκος h f του αφόρτιτου ελατηρίου είναι: hf hs + δ s 66mm + 1mm 107mm Άρα το μήκος του ελατηρίου ε λειτουργία είναι: 100N L hf 107mm 7.9mm.9 N / mm Η ιοδύναμη ροπή αδράνειας είναι: I eq ( ) ( 7.9mm)( mm) ( )( )( ) Ld 0.167mm 18NR1 + v/ 18 0 1mm 1+ 0./ a Και επομένως το ζητούμενο κρίιμο φορτίο λυγιμού είναι: cr ( ml) (.1 10 N / mm )( 0.167mm ) 5 π EI π eq 61N ( 0.5 7.9mm) ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Το φορτίο λειτουργίας του ελατηρίου είναι μικρότερο από το κρίιμο φορτίο λυγιμού. Κάθε δοκός μπορεί να θεωρηθεί και να λειτουργήει ως ελατήριο. Από τη θεωρία δοκών της αντοχής των υλικών γνωρίζουμε τη χέη ανάμεα τη δύναμη και την παραμόρφωη κάθε δοκού, απ όπου μπορούμε να προδιορίουμε τη ταθερά ελατηρίου. Στον Πίνακα 11-8 που ακολουθεί βρίκονται υγκεντρωμένες οι κυριώτερες περιπτώεις φορτίεων δοκών με τις υναρτήεις της παραμόρφωης και της ακούμενης δύναμης.