Ιδιότητες Συναρτήσεων Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες Συνάρτησης Πεδίο Ορισμού Το πρώτο βήμα για τη λύση μιας άσκησης που περιέει μια συνάρτηση είναι ο προσδιορισμός του πεδίου ορισμού της α) Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς, άρα π ο Α R () β) Για τη ρητή συνάρτηση, πρέπει : g() 0 Συνεπώς π ο g() A R R / g() 0 γ) Η συνάρτηση ν () ορίζεται όταν () 0 και πεδίο ορισμού είναι το σύνολο λύσεων της ανίσωσης Άρα π ο A / () 0 Μονοτονία συνάρτησης R ) Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισύει : ( ) ( ) ) Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισύει : ( ) ( ) Για να βρούμε τη μονοτονία μια συνάρτησης () ακολουθούμε ένα από τους παρακάτω τρόπους : α) Με βάση τον Ορισμό Θεωρούμε, D με και προσπαθούμε να σηματίσουμε τον τύπο της () Αν ( ) ( ) τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο D Αν ( ) ( ) τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο D β) Με τον λόγο μεταβολής ( ) ( ) Λόγος μεταβολής ονομάζεται η παράσταση λ, Αν λ 0 τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο D Αν λ 0 τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο D Για να δηλώσουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίως γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε Δ (αντιστοίως Δ) Ακρότατα συνάρτησης ) Μια συνάρτηση, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο 0 Α (ολικό) ελάιστο όταν : () ( 0), Α Το 0 Α λέγεται θέση ελαίστου, ενώ το ( 0) ολικό ελάιστο ή απλώς ελάιστο της συνάρτησης και το συμβολίζουμε με min () ) Μια συνάρτηση, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο 0 Α (ολικό) μέγιστο όταν : () ( 0), Α Το 0 Α λέγεται θέση μεγίστου, ενώ το ( 0) ολικό μέγιστο ή απλώς μέγιστο της συνάρτησης και το συμβολίζουμε με max () Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάιστο μιας συνάρτησης λέγονται ολικά ακρότατα αυτής ΣΕΛ 5
4 Μελέτη των Συναρτήσεων () α και (), 0 5 Μελέτη της Συνάρτησης () α βγ α 0 α 0 Η γραφική της παράσταση είναι μία παραβολή ρ, 0 και ρ, 0 Αν Δ 0 τέμνει τον άξονα στα σημεία Αν Δ 0 εφάπτεται του άξονα στο σημείο Αν Δ 0 δεν τέμνει τον άξονα Στρέφει τα κοίλα άνω (κυρτή) Τέμνει τον άξονα y y στο σημείο (0, γ) β,0 α Στρέφει τα κοίλα κάτω (κοίλη) β β Γνησίως φθίνουσα στο, Γνησίως αύξουσα στο, α α β β Γνησίως αύξουσα στο, Γνησίως φθίνουσα στο α, α Παρουσιάζει ελάιστο Παρουσιάζει μέγιστο β β στη θέση στη θέση α α Δ Δ με ελάιστη τιμή με μέγιστη τιμή 4α 4α ΣΕΛ 6
Έει άξονα συμμετρίας την κατακόρυφη ευθεία β Δ Κορυφή το σημείο, α 4α β α 6 Άρτια Συνάρτηση Μια συνάρτηση (), με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται άρτια, όταν Α ισύει : Α και ( ) () Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έει άξονα συμμετρίας τον άξονα y'y Δηλαδή αν το σημείο (α, β) ανήκει στη γραφική παράσταση της (), τότε θα ανήκει και το σημείο (α, β) 7 Περιττή Συνάρτηση Μια συνάρτηση (), με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται περιττή, όταν Α ισύει : Α και ( ) () Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έει κέντρο συμμετρίας την αρή των αξόνων Ο(0, 0) Δηλαδή αν το σημείο (α, β) ανήκει στη γραφική παράσταση της (), τότε θα ανήκει και το σημείο ( α, β) Οι άρτιες και οι περιττές συναρτήσεις έουν πεδίο ορισμού συμμετρικό ως προς το μηδέν, π R,,, 5,,5, R *, R, 8 Γραφική παράσταση Συνάρτησης ) Για να σεδιάσω τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, σηματίζω ένα πίνακα τιμών Απεικονίζω τις εικόνες των ζευγαριών που βρήκα στο Καρτεσιανό επίπεδο και ενώνω τα σημεία ) Η προβολή της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης στον άξονα ' είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Α D, ενώ η προβολή της στον άξονα y'y είναι το σύνολο τιμών της (A) ) Μια κάθετη στον άξονα σε οποιοδήποτε σημείο του πρέπει να τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μόνο σε ένα σημείο 4) Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης τέμνει τον άξονα y'y μόνο σε ένα σημείο όταν 0 (αν 0 D ), δηλ περνάει από το σημείο 0, (0) 5) Η συνάρτηση : ΑR τέμνει τον άξονα ' όταν y 0 () 0, D Λύνω την εξίσωση () 0 και βρίσκω λύσεις ρ, ρ, ρ Τότε η γραφική παράσταση της () ρ,0, ρ,0, ρ,0, δηλ στις ρίζες της τέμνει τον άξονα στα σημεία 6) Ένα σημείο Μ (α, β) με α D ανήκει στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης (), όταν (α) β Δηλ αν στη θέση του βάλω το α πρέπει να βρω y β, δηλαδή οι συντεταγμένες του σημείου Μ επαληθεύουν την εξίσωση : y () 7) Για να βρω τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων () και g(), λύνω την εξίσωση () g() στο D Dg Αν ρ, ρ, ρ είναι οι λύσεις, τότε ρ, ρ, ρ είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων και συνεπώς τα κοινά σημεία είναι τα : ρ, (ρ ), ρ, (ρ ), ρ, (ρ ) Προσοή: (ρ) g(ρ ), (ρ) g(ρ ), (ρ ) g(ρ ) 8) Για να βρω για ποια R η γραφική παράσταση της () βρίσκεται πάνω από τον άξονα ', λύνω την ανίσωση () 0, D ΣΕΛ 7
Για να βρω για ποια R η γραφική παράσταση της () βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g(), λύνω την ανίσωση () g(), D Dg 9) Για να σεδιάσω τη συνάρτηση (), σεδιάζω την () και κατόπιν μεταφέρω τα αρνητικά της τμήματα (αυτά που βρίσκονται κάτω από τον άξονα ') συμμετρικά ως προς τον άξονα ' προς τα πάνω 0) Για να σεδιάσω τη συνάρτηση (), διπλασιάζω τις τιμές της Αυτό σημαίνει ότι τα θετικά τμήματα παραμένουν θετικά (αντίστοια και για τα αρνητικά) και οι ρίζες της δηλαδή τα σημεία τομής με τον άξονα ' παραμένουν ίδια ) Μία άρτια ή μια περιττή συνάρτηση αρκεί να τη μελετήσω στο διάστημα 0, Η γραφική της παράσταση θα είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y'y αν είναι άρτια ή ως προς το Ο(0, 0) αν είναι περιττή ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης () είναι συμμετρική της () ως προς τον άξονα ' Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) είναι συμμετρική της () ως προς τον άξονα y'y Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) είναι συμμετρική της () ως προς την αρή των αξόνων Ο (ή αλλιώς βρίσκω τη συμμετρική της ως προς τον άξονα y'y και στη συνέεια τη συμμετρική της νέας συνάρτησης ως προς τον άξονα ') 9 Παρατηρήσεις για τη μονοτονία συναρτήσεων ) Η συνάρτηση () α β, με α 0 είναι γνησίως αύξουσα στο R Η συνάρτηση () α β, με α 0 είναι γνησίως φθίνουσα στο R, με α 0 είναι γνησίως φθίνουσα στο, 0 ) Η συνάρτηση () α στο 0, Ακριβώς τα αντίθετα ισύουν αν α 0 και γνησίως αύξουσα ) Η συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο () α β γ, με α 0 είναι γνησίως φθίνουσα στο β, α Ακριβώς τα αντίθετα ισύουν αν α 0, β α και 4) Αν μια μη σταθερή συνάρτηση είναι άρτια τότε σε συμμετρικά διαστήματα ως προς το μηδέν, θα έει αντίθετο είδος μονοτονίας, δηλαδή αν είναι γνησίως φθίνουσα στο [α, β], στο [β, α] θα είναι γνησίως αύξουσα Άρα : Αν άρτια συνάρτηση Η συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη 5) Αν μια μη σταθερή συνάρτηση είναι περιττή τότε σε συμμετρικά διαστήματα ως προς το μηδέν, θα έει το ίδιο είδος μονοτονίας, δηλαδή αν είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β), τότε θα είναι γνησίως αύξουσα και στο (β, α) 6) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (α, β] και [β, γ) τότε θα είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (α, γ) Αντίστοιο συμπέρασμα θα ισύει αν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα 0 Παρατηρήσεις για τα Ακρότατα συναρτήσεων ) Η συνάρτηση () α β με D R (ως πολυωνυμική), δεν παρουσιάζει ακρότατα ) Η συνάρτηση () α, με α 0 παρουσιάζει ελάιστο στη θέση 0 με ελάιστη τιμή (0) 0, ενώ με α 0 παρουσιάζει μέγιστο στη θέση 0 με μέγιστη τιμή (0) 0 ΣΕΛ 8
) Η συνάρτηση ελάιστη τιμή () α β γ, με α 0 παρουσιάζει ελάιστο στη θέση β Δ α, ενώ με α 0 παρουσιάζει μέγιστο στην ίδια θέση 4α β με α 4) Μία συνάρτηση () ορισμένη και γνησίως αύξουσα σ ένα κλειστό διάστημα [α, β] παρουσιάζει ελάιστο στη θέση α με ελάιστη τιμή (α) και μέγιστο στη θέση β με μέγιστη τιμή (β) Αντίστοια συμπεράσματα ισύουν αν η () είναι γνησίως φθίνουσα στο [α, β] 5) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα (α, β) τότε δεν έει ακρότατα 6) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα α, 0 και γνησίως φθίνουσα στο ( ) Αντίστοια αν μια 0, β τότε η στο διάστημα (α, β) έει για 0 μέγιστη τιμή την 0 συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0 τότε η στο διάστημα (α, β) έει για 0 ελάιστη τιμή την ( 0) 7) Αν το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης είναι το διάστημα : α) [m, Μ] τότε η έει ελάιστο το m και μέγιστο το Μ β) [m, Μ) τότε η έει ελάιστο το m και δεν έει μέγιστο γ) (m, Μ] τότε η έει μέγιστο το Μ και δεν έει ελάιστο δ) (m, Μ) τότε η δεν έει ακρότατα α, και γνησίως αύξουσα στο,β 8) Αν μια συνάρτηση είναι άρτια και παρουσιάζει ακρότατο στη θέση 0, τότε θα παρουσιάζει το ίδιο είδος ακροτάτου και στη θέση 0 Αν η συνάρτηση είναι περιττή τότε στη θέση 0 θα παρουσιάζει το αντίθετο είδος ακροτάτου 9) Αν μια συνάρτηση () παρουσιάζει μέγιστο το Μ και Μ 0 τότε () 0 για κάθε D Ενώ αν μια συνάρτηση () παρουσιάζει ελάιστο το m και m 0 τότε () 0 για κάθε D 0) Αν για μια συνάρτηση ισύει ότι () Μ για κάθε D και γνωρίζουμε επιπλέον ότι η εξίσωση () Μ έει λύση στο D δηλαδή 0 D : ( 0 ) Μτότε η θα παρουσιάζει μέγιστο στο 0 με μέγιστη τιμή το ( 0) Μ Αντίστοια ισύουν και για το ελάιστο δηλαδή αν () m Παραδείγματα 0 Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση Λύση : () 6 8 Η () έει πεδίο ορισμού Α R ως πολυωνυμική Είναι α 0 και σύμφωνα με τη θεωρία είναι : (, ] και [, ) β 6 α οπότε Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση () Λύση : Η παράσταση μηδενίζεται για, οπότε σύμφωνα με τον ορισμό της απολύτου τιμής ( ), αν έουμε : Άρα :, αν ( ), αν 5, αν () (), αν, αν ΣΕΛ 9
Για, (,) με έουμε : 5 5 ( ) ( ) Για, [, ) με έουμε : ( ) ( ) Άρα : (, ) και [, ) Αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή, να δείξετε ότι η συνάρτηση g() () άρτια Λύση : α) Έστω ότι η συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α είναι άρτια, τότε : για κάθε Α έουμε Α και ( ) () () Άρα : () g( ) ( ) () g() συνεπώς η g είναι άρτια β) Έστω ότι η συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α είναι περιττή, τότε : για κάθε Α έουμε Α και ( ) () () Άρα : () g( ) ( ) () () g() συνεπώς η g είναι άρτια Ασκήσεις είναι 7 Ο όγκος του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου εκφράζεται με τη συνάρτηση V() ( )( ) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι το διάστημα :, 0 Α 0, Β (0, ) Γ Δ [, ] Ε (0, ) 7 Στο παρακάτω σήμα το μήκος του τμήματος ΑΒ είναι : Α Β Γ Δ Ε 7 Το εμβαδόν του παρακάτω ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι 6 Η τιμή του κ είναι : Α 8 Β Γ 6 Δ 0 Ε 74 6 Στο παρακάτω σήμα έουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης () 6 Οι τιμές του για τις οποίες ισύει είναι : Α Β Γ Δ Ε ΣΕΛ 0
75 Να αρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις αν είναι Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ) Αν για μια συνάρτηση ισύει () (), τότε η είναι γνησίως αύξουσα Σ Λ Αν για μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και ισύει () (), τότε η είναι γνησίως αύξουσα Σ Λ Αν για τη συνάρτηση ισύει () 5 τότε η έει μέγιστο Σ Λ 4 Αν για τη συνάρτηση ισύει () και () τότε η έει ελάιστο Σ Λ 5 Αν για τη συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R ισύει ότι () 0 για κάθε R και γνησίως αύξουσα, τότε και η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R Σ Λ y 6 Η συνάρτηση, της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σήμα, είναι γνησίως αύξουσα 0 x Σ Λ 7 Αν οι συναρτήσεις, g είναι γνησίως φθίνουσες στο διάστημα Δ με κοινό σύνολο τιμών το (0, ), τότε και η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ Σ Λ 8 Αν οι συναρτήσεις, g είναι γνησίως αύξουσες στο διάστημα Δ, τότε και η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ Σ Λ 9 Αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή και έει ρίζα τον αριθμό ρ, τότε θα έει ρίζα και τον αριθμό ρ Σ Λ 0 Αν μία συνάρτηση είναι άρτια, τότε η είναι περιττή Σ Λ 76 Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι συναρτήσεις : 4 5 6 7 8 ΣΕΛ
9 0 77 Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις και να βρεθούν τα σημεία τομής τους με τους άξονες ' και y'y : () 5 () () 4 4 7 0 () α β, α R * 5 () 6 () 8 () () 6 8 9 () () 78 Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων και τα σημεία τομής τους με τους άξονες ' και y'y : () 4 () () 4 4 4 () 5 () 6 7 () 79 Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης 80 Να μελετήσετε την () () 4 6 ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα 8 Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις : () () 4 4 4 () Απαντήσεις : περιττή άρτια άρτια 4 8 Αν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο R α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ισύει : ( 5) ( ) β) Να συγκρίνετε τις τιμές (α ), (α) () 6 8 Απ:, 4 () 8 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης : RR όταν για κάθε R ισύει : ( ) 4 5 ( ) () Απαντήσεις : () 5 () () 7 ΣΕΛ
84 Δίνεται η συνάρτηση : RR για την οποία ισύει ( y) ( y) () (y), yr α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της περνά από την αρή των αξόνων β) Να αποδείξετε ότι η είναι άρτια γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε R () () 85 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρει συνάρτηση : RRμε την ιδιότητα () ( ), R R R ισύει : () ( ) ( ) 0 γιακάθε ότι η είναι περιττή και να βρείτε το τύπο της Απ: () 86 Για τη συνάρτηση : R Να αποδείξετε 87 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης : R * Rγια την οποία ισύει : για κάθε, y R * () y()(y) () 4 88 Δίνεται η συνάρτηση : RR η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σέση : () ( ) () α) Να αποδείξετε ότι () R β) Να βρείτε τη συνάρτηση 89 Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ οι πλευρές του είναι σε m α) Να εκφράσετε το εμβαδόν του Ε ως συνάρτηση του x Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Ε(x) ; β) Να εκφράσετε την περίμετρο Π του τραπεζίου ως συνάρτηση του x Ποιο είναι το π ορισμού της Π(x) ; γ) Να προσδιορίσετε τις δυνατές τιμές του x, αν η περίμετρος του ΑΒΓΔ είναι τουλάιστον m και το εμβαδόν του το πολύ 99 m ΣΕΛ
Κατακόρυφη Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης Μελέτη των Συναρτήσεων () α και () α Μετασηματισμοί γραφικών παραστάσεων Συνάρτηση Μετατόπιση Μετασηματισμός της () Αλλαγή στους άξονες () πάνω κάτω Συμμετρική της ως προς τον άξονα ' (πάνω κάτω) ( ) Συμμετρική της ως προς τον άξονα y'y (δεξιά αριστερά) ( ) Συμμετρική της ως προς την αρή των αξόνων Ο (0, 0) () Τα αρνητικά τμήματα της μεταφέρονται συμμετρικά ως προς τον άξονα ' () Σεδιάζω την για 0 Για 0 συμμετρική της ως προς τον άξονα y'y () Μετατοπίζω τον ' προς τα κάτω κατά () Μετατοπίζω τον ' προς τα πάνω κατά ( ) Μετατοπίζω τον y'y προς τα δεξιά κατά ( ) () () () () ( ),, Μετατοπίζω τον y'y προς τα αριστερά κατά Πολλαπλασιάζω όλες τις τιμές του y'y με το Τα σημεία τομής με τον άξονα ' παραμένουν ίδια Διαιρώ όλες τις τιμές του y'y με το Τα σημεία τομής με τον άξονα ' παραμένουν ίδια Διαιρώ όλες τις τιμές του ' με το Το σημείο τομής με τον άξονα y'y παραμένει το ίδιο Πολλαπλασιάζω όλες τις τιμές του ' με το Το σημείο τομής με τον άξονα y'y παραμένει το ίδιο Σεδιάζω την () Μετατοπίζω τον y'y προς τα αριστερά κατά Πολλαπλασιάζω όλες τις τιμές του y'y με το Μετατοπίζω τον ' προς τα κάτω κατά ΣΕΛ 4
Ασκήσεις 90 Στο διπλανό σήμα με συνεή γραμμή φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης () Η διακεκομμένη γραμμή παρουσιάζει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: Α g () Β g () Γ g () ( ) Δ g () ( ) Ε g () ( ) 9 Δίνεται η συνάρτηση () 8, 0, 0 α) Να βρεθεί η συνάρτηση () και το πεδίο ορισμού της β) Να βρεθούν τα σημεία που η () και η () τέμνουν τους άξονες 9 Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων : () () () 4 () 5 () 4 6 () 4 4 7 () 4 8 () 9 () 0 () () () () 4 () 5 () 6 9, 0 () 7 (), 0 () 0 8 (), 0 (), 0 () () () 4 4 () 6 5 () 6 8 4 () () () 7 () 9 () 0 () 5 () () (), 0 (), 0 9 Να κάνετε πρόειρες γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων και να βρείτε τα σημεία τομής τους με τους άξονες : () () () 4 4 () ( ) 5 94 Στο ίδιο σύστημα αξόνων, για 0, συναρτήσεων (),, y g() () ( ) 6 () ( ), να κάνετε πρόειρη γραφική παράσταση των, h() και να βρείτε τη σετική τους θέση ΣΕΛ 5
95 Να βρεθούν οι τιμές των α, β R ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων () α β και g() α β 4 να τέμνονται για και Απ: α,β 96 Να βρείτε τις τιμές του λr ώστε η γραφική παράσταση της () (λ ) (λ ) λ 5 : α) να τέμνει τον ' σε δύο διαφορετικά σημεία Απ: λ, λ β) να εφάπτεται στον άξονα ' Απ: λ 97 Έστω η συνάρτηση () ( ), [0, ] α) Να αποδείξετε ότι () 0 για κάθε D β) Να αποδείξετε ότι () ( ) και στη συνέεια να δείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [, 0] γ) Να κάνετε πρόειρη γραφική παράσταση της δ) Να βρείτε τις τιμές του όταν y 0 και όταν y 4 98 α) Να σεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης () 4 β) Να βρείτε τα σημεία που η τέμνει τους άξονες γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() () δ) Σε ποια σημεία τέμνει η g() τους άξονες; ε) Να σεδιάσετε τη συνάρτηση h() ( ) και να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες 99 Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι παραβολή και διέρεται από τα σημεία Α(, 6), Β(, 0) και Γ(, 0) Να βρεθεί : α) Ο τύπος της β) Τα διαστήματα στα οποία η C βρίσκεται κάτω από τον άξονα ' 00 Μια συνάρτηση : RRικανοποιεί τη σέση ( ) ( ) 4 5 () για κάθε R α) Να βρείτε τον τύπο της Απ: () β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() ( ) 0 Για την πενθήμερη εκδρομή της Γ τάξης ενός Λυκείου, ένα πρακτορείο έκανε την εξής προσφορά: Για τους πρώτους 50 μαθητές, 50 ανά μαθητή Για κάθε επόμενο μαθητή και μέρι τους 70, μείωση κατά 0 ανά μαθητή Αν η συμμετοή ξεπεράσει τους 70 και μέρι τους 00, 00 για κάθε μαθητή α) Να βρείτε τη συνάρτηση κόστους της εκδρομής, σύμφωνα με την προσφορά, για έως και 00 μαθητές β) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης γ) Να βρείτε το κόστος για 69 μαθητές και για 7 μαθητές ΣΕΛ 6