1. Συναρτήσεις. R όπου για κάθε χ Α, υπάρχει ένα μόνο y Β

. Συναρτήσεις. Η έννοια της Συνάρτησης. Ορισμός Συνάρτησης Η απεικόνιση (αντιστοίιση) : A B, A,B τέτοιο ώστε () D Α R όπου για κάθε Α, υπάρει ένα μόνο Β, λέγεται πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής. Α πεδίο ορισμού Β σύνολο αφίξεως (Α) σύνολο τιμών ( (Α)Β ) Μια σέση : A B, A,BR με Α,Β είναι συνάρτηση όταν και μόνο όταν : Αν ( ) ( ), Α Αν ( ) ( ), Α. Πολυωνυμική Είναι η συνάρτηση της μορφής ν ν α,α,...,α,α R, α, ν N * και έει πεδίο ορισμού Α R. ν ν- ν () α α... α α α όπου ν ν. Ρητή () Είναι μορφής, όπου (), g() πολυωνυμικές. Η συνάρτηση αυτή έει νόημα αν g(). g() Λύνω την εξίσωση g() και βρίσκω λύσεις (ρίζες) τις ρ,ρ,...,ρ ν. Οι τιμές αυτές μηδενίζουν τη A R ρ,ρ,...,ρ. g() και δεν τις θέλω στο πεδίο ορισμού. Συνεπώς π. ο. ν 4. Άρρητη Είναι μορφής ν (), όπου () πολυωνυμική, τότε πρέπει (). Λύνω αυτή την ανίσωση και οι λύσεις (το διάστημα ή η ένωση διαστημάτων) που θα βρω είναι το πεδίο ορισμού. 5. Εκθετική Είναι μορφής () () α, e, όπου () πολυωνυμική. Πρέπει α τότε πεδίο ορισμού Α R. 6. Λογαριθμική Είναι μορφής log(), ln(), όπου () πολυωνυμική, τότε πρέπει (). Λύνω αυτή την ανίσωση και οι λύσεις (το διάστημα ή η ένωση διαστημάτων) που θα βρω είναι το πεδίο ορισμού. 7. Τριγωνομετρικές α) Οι ημ() και συν() όπου () πολυωνυμική έουν πεδίο ορισμού Α R. π β) Η εφ ορίζεται για τα k π π, kz. Άρα έει πεδίο ορισμού A R k π, kz. k, k A R k π, kz. γ) Η σφ ορίζεται για τα π 8. Ίσες Συναρτήσεις Z. Άρα έει πεδίο ορισμού Θα λέμε ότι οι συναρτήσεις και g είναι ίσες (g) όταν έουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και D Dg Α Α ισύει () g(), δηλαδή : () g() Α Από τον ορισμό είναι φανερό ότι οι ίσες συναρτήσεις, g θα έουν και ίδια σύνολα τιμών. ΣΕΛ.

Αν οι συναρτήσεις και g ορίζονται σε ένα σύνολο Δ D Dg και για κάθε Δ ισύει () g(), τότε θα λέμε ότι οι, g είναι ίσες στο Δ αλλά, ωρίς απαραίτητα να είναι και ίσες στο πεδίο ορισμού τους. 9. Απόσταση σημείων A, και Β,. Τότε η απόσταση τους στο Καρτεσιανό επίπεδο είναι : Έστω τα σημεία Παρατήρηση : Επειδή (α (ΑΒ) A, και β) (β α) άρα και η απόσταση δύο σημείων Β, μπορεί να γραφεί και (ΑΒ). Άρτια Συνάρτηση Μια συνάρτηση (), με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται άρτια, όταν Α ισύει : Α και ( ) (). Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έει άξονα συμμετρίας τον άξονα. Δηλαδή αν το σημείο (α, β) ανήκει στη γραφική παράσταση της (), τότε θα ανήκει και το σημείο (α, β). Περιττή Συνάρτηση Μια συνάρτηση (), με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται περιττή, όταν Α ισύει : Α και ( ) (). Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έει κέντρο συμμετρίας την αρή των αξόνων Ο(, ). Δηλαδή αν το σημείο (α, β) ανήκει στη γραφική παράσταση της (), τότε θα ανήκει και το σημείο ( α, β). Οι άρτιες και οι περιττές συναρτήσεις έουν πεδίο ορισμού συμμετρικό ως προς το μηδέν, π.. R,, 5,,5.,. Περιοδική Συνάρτηση Μια συνάρτηση () με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρει πραγματικός αριθμός Τ τέτοιος, ώστε για κάθε Α να ισύει : α) ΤΑ, Τ Α και β) ( Τ) ( Τ) (). Ο πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης. Μια περιοδική συνάρτηση () αρκεί να τη μελετήσουμε σε διάστημα μιας περιόδου Τ. Σ όλο το υπόλοιπο πεδίο ορισμού της η () επαναλαμβάνεται.. Παρατηρήσεις ) Για να εξετάσουμε ότι ένας αριθμός κ είναι τιμή της, θα πρέπει η εξίσωση () κ να έει λύση στο D. ) Για να προσδιορίσουμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο Α, βρίσκουμε τους πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους η εξίσωση () με άγνωστο το έει λύση στο σύνολο Α. ) Σε επόμενα κεφάλαια θα προσδιορίζουμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης με πολύ πιο ευέλικτους τρόπους. Παραδείγματα ΣΕΛ.

. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης 7 () 5 και Β της συνάρτησης 6 6 g() 8 7 8. 4 Λύση : Και οι δύο συναρτήσεις είναι πολυωνυμικές συνεπώς έουν αντίστοια πεδία ορισμού ΑR και ΒR.. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης (). Λύση :. Άρα π. ο. Α R{} (, ) (, ).. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 6 7 (). 8 Λύση : 8 8 8 8 Άρα π. ο. A R,,. 4. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης () 6. Λύση : Πρέπει 6 6 6. Άρα π. ο. είναι το Α [, ). 5. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 5 (). Λύση : Πρέπει. Άρα π. ο. Α [, ). 6. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Λύση : (). Πρέπει. Άρα π. ο. Α [, ]. 7. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης () ( ) ( ) ( ). Λύση : Η υπόριζη ποσότητα γίνεται : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Άρα () 6 και πρέπει 6 Βρίσκω τις ρίζες του τριωνύμου 6, είναι α 6, β, γ, οπότε : Δ β 4αγ ( ) 4 ( 6) 4 5 και οι ρίζες του είναι : 5 6 β Δ ( ) 5 5 ρ, α ( 6) 5 4 ΣΕΛ.

Σηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών (προσήμου) για το τριώνυμο : Άρα 6 6 όταν,, το οποίο είναι το π. ο. της (). 8. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση () ημ συν είναι άρτια ή περιττή. Λύση : Το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων ημ και συν είναι το R. Άρα και το πεδίο ορισμού της () είναι το R. Τώρα έω : ( ) ημ( ) συν( ) ημ συν. Είναι ( ) () και ( ) (). Άρα η () δεν είναι άρτια, ούτε περιττή. 9. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης (). Λύση : Για να ορίζεται η () θα πρέπει :. Άρα και το πεδίο ορισμού της () είναι το ΑR. Λύνουμε την εξίσωση () στο Α, με άγνωστο το. () ( ) Α R () () Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις : Αν, τότε : () αδύνατη. Άρα (Α). Αν, τότε : () ( ) αδύνατη. Άρα κάθε είναι τιμή της. Οπότε το σύνολο τιμών της είναι : (Α) R. Ασκήσεις. Σκέψου έναν αριθμό. Ύψωσέ τον στο τετράγωνο. Πολλαπλασίασε το τετράγωνο με και πρόσθεσε 7. Αν ο αριθμός που σκέφθηκες είναι, ποιος από τους παρακάτω τύπους δίνει το αποτέλεσμα ; Α. () 7 Β. 7 Γ. ( 7) Δ. ( 7) Ε. 7. Αν, αν (), τότε ισύει :, αν Α. () Β. () Γ. Δ. () Ε. () () ΣΕΛ. 4

. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης () ln(9 ) είναι το σύνολο Α. R {, } Β. R {} Γ. [, ) Δ. (, ) Ε. (, ) (, ) 4. Δίνεται η συνάρτηση (). Να αντιστοιίσετε κάθε στοιείο της στήλης Α, με ένα μόνο στοιείο της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β Α. () Β. () Γ. ( )... ( ) ( ) ( ) 4. 6 Απάντηση : Α Β Γ Δ Δ. [ ()] 5. 5. Αν () 9 7 7, τότε το () είναι ίσο με : Α. B. 7 Γ. 7 Δ. E. 8 (β) (α) 6. Αν () και α β, τότε το πηλίκο είναι ίσο με : βα Α. α β Β. β α Γ. α Δ. α β Ε. β (α) (β) 7. Αν () και α β, τότε το είναι : αβ Α. (α β) Β. α αβ β Γ. α β Δ. α αβ β Ε. α 8. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης () είναι το σύνολο 4 Α. R {, } Β. R Γ. R { } Δ. [, ) Ε. R {} 4 9. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης () είναι το σύνολο Α. (, 4] Β. [4, ) Γ. R {, } Δ. (4, ) Ε. { 4 και, }. Δίνεται η συνάρτηση () κ λ 5. Αν () 8 και ( ) 4, η τιμή της παράστασης κλ είναι ίση με : Α. B. 8 Γ. Δ. E. 4. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης () είναι το σύνολο Α. (, 4] Β. [4, ) Γ. R {, } Δ. (4, ) Ε. { 4 και, } ΣΕΛ. 5

. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης () ln ( ) είναι το σύνολο Α. R Β. (, ) Γ. [, ) Δ. (, ) Ε. (, ) (, ). Δίνονται οι συναρτήσεις, (),,, g() και οι παρακάτω προτάσεις:, Ι. g ΙI. () g () III. () g () για κάθε R. Τότε ισύει : Α. μόνο η Ι Β. μόνο η ΙΙ Γ. μόνο οι Ι και ΙΙ Δ. μόνο η ΙΙΙ Ε. κανένα από τα παραπάνω 4. Η συνάρτηση () α α, α, έει πεδίο ορισμού τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους Α. Β. Γ. Δ. α Ε. 5. Δίνονται οι συναρτήσεις () και g(). Τότε ισύει : Α. () g () για B. () g () για Γ. () g () για Δ. () g () για (, 4) E. κανένα από τα παραπάνω 6. Να αρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις αν είναι Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Οι συναρτήσεις. Οι συναρτήσεις () () και g(), (), είναι το διάστημα (, ). είναι ίσες στο R. και 4, g() ( 6) είναι ίσες., 4. Η συνάρτηση () με είναι σταθερή. 5. Αν το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης είναι της μορφής [α, β], τότε η συνάρτηση έει ελάιστο α και μέγιστο β. 6. Δύο συναρτήσεις, g είναι ίσες, αν υπάρουν κάποια R, ώστε να ισύει () g(). 7. Οι συναρτήσεις () ημ και g() εφ συν είναι ίσες. 8. Αν Α {, }, τότε η αντιστοιία : Α {, } με, αν το είναι πρώτος αριθμός (), αν το είναι σύνθετος αριθμός είναι συνάρτηση. 9. Αν το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (α, β), τότε η δεν έει ελάιστο ούτε μέγιστο. () ln είναι το διάστημα (, ).. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Ο αριθμός είναι τιμή της συνάρτησης () e e.. Η συνάρτηση με () ln είναι άρτια.. Αν : R R συνάρτηση, τότε για κάθε R. 4. Αν : RRσυνάρτηση, τότε ισύει : αν τότε () () για κάθε,r. 5. Δίνεται η συνάρτηση () 9, τότε υπάρει R ώστε ( ). 6. Η ευθεία με εξίσωση τέμνει την γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο (). ΣΕΛ. 6

7. Το σύνολο των τετμημένων των σημείων της γραφικής παράστασης C μιας συνάρτησης () ln 6, που βρίσκονται πάνω από τον άξονα, είναι το διάστημα ( 6, 6). 8. Η συνάρτηση με τύπο () είναι άρτια. 9. Η συνάρτηση με τύπο () ημ συν είναι περιττή.. Αν τα σημεία Α(, ) και Β(, ) ανήκουν στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης (), τότε αυτή είναι άρτια.. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο () είναι το σύνολο (, ). ln. Αν υπάρει σύνολο Α D Dg ώστε () g() για κάθε Α, τότε οι συναρτήσεις και g είναι ίσες στο σύνολο Α.. Αν για κάθε D τα σημεία, () ανήκουν στη γραφική παράσταση της, τότε η είναι άρτια. 4. Η απόσταση των σημείων, () και, ( ) είναι () ( ). 5. Η απόσταση των σημείων Α, () και Α, ( ) μιας περιττής συνάρτησης () είναι (ΟΑ), όπου Ο η αρή των αξόνων. 7. Να βρεθούν οι ρίζες των παρακάτω παραστάσεων:.. 5. 4. 5. 6. 5 7. 8. 5 9... 5.. 5 4. 5. 6. 4 7. 4 8. 6 9. 4. 6. 9.. 4 4. 5. 6. 4 7. 6 8. 4 9. 9. 5. 6.. 4 4. 4 5. 6 6. 6 7. 6 8. 9. 4. 4. 4. 8 4. 44. 4 4 45. 9 46. 5 5 47. 48. 9 49. 5 5 5. 5 5. 6 5. 8. Να βρεθούν οι ρίζες των παρακάτω τριωνύμων ωρίς να λυθούν Εξίσωση Ρίζες Εξίσωση Ρίζες Εξίσωση Ρίζες. 5 6. 5 6. 6 4. 6 5. 5 6. 7 7. 8. 9. 7 8. 7 8. 9 8. 9 8. 7 4. 6 5 5. 6. 68 7. 6 9 8. 4 4 9.. 4 5. 9 4. 7 6. 8 5 4. 5 6 5. 5 6 6. 8 7. 4 8. 4 9.. Σ Σ Λ Λ ΣΕΛ. 7

. 4. 7. 4. 4. 9. 5. 6 6 8. 7 4. 6 44. 46. t t 47. 49. 6 5.. 6. 5 9. 6 4 5 5 4 4. 48 45. 7 6 48. 9 6 5. 9. Δίνεται η συνάρτηση (). Να λυθεί η εξίσωση : 6 56 4 4 () (4) 4 (). () () (4). Να βρεθεί το πεδίο ορισμού καθεμιάς από τις παρακάτω συναρτήσεις:. 5 (). () 6. 5 () 4. () 4 5. () 4 5 6. () 9 7. 4 () 7 8. () 4 9. () (). 7 6. 5 7 (). () ημ συν. εφ εφ () 4. () ημ συν 5. () 6. () 4 7. 9. () () 5 6 5 4 8.. ().. 4 () ( ) 5. () 7 6 6. 7. () 4 () 7 4. () () 4. () 8. () () 7 6 9. () log( ). () log( ln). () e. () ln 9 5 4 ΣΕΛ. 8

. () ln( ) ln 5. () e 7. () ln ln 9. 4. () e ln 6. () ln 8. () e e () log log 4. () ln 6log e 5 4. () log6 5ln ln 4. () lnlog log 4. () ln 5 45. 47. 44. () e e () ln () 49. () ln e e 5. 5. 55. 57. 46. () 6 48. 5. 4 () 5. ln () 54. π () εφ 6 () 4 56. 59. () 4 6. () () ( ) () () ( ) π () σφ 6 58. () ημ () 6. () 6. () ln(5 ) Απαντήσεις: R,. (, ) (,) (, ),7. R,. R, 4. R 5. R, 6. R, 4 7. R, 8. R, 9. R,, π. R,,. k π π R,kZ. R π k,kz 4. π π Rk,kZ 4. Rk,kZ 5. [, ) 6. (, 4] 7. (, 6] [, ) 8. [ 4,5) (5, ) 4,, 4. [ 5, ]. [, ] [,] 9. 4.. (,] (,) (, ). (,) (, ],, 5. [,] [, ) 6. (, ] [, ) 7. (,) (, 4] 8. (,) [, 4] [6, ) 9. (,]., e R. (, ) (,). R., 4. (, e] 5. ln 7. (, e ) (e, e) (e, ) 8. R 6. (, e e) (e e, ) R R * 9. [,] ΣΕΛ. 9

4. (,) (,e ] [e, ) 4. 4. (4, ) 44. 46. 6, 47. (, ],e 6 e 4. (,) (, ) ln, 45. (, ) 48. (, ) (, ) 49. (, ) 5. (,) 5. (,) (,7], 54. (, ) 5. R 5. π π π π R k,kz 57.,, 7 55. R k,kz 56. 58., 59., 6. R 6. [,] 6. [, 4]. Να εξετάσετε αν ο αριθμός είναι τιμή των παρακάτω συναρτήσεων :, α) () 6, β) () 5,,. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης : RR όταν R ισύει :. ( ) 4 5. ( ). Απαντήσεις :. () 5. (). () Απ: (), () () 7. Δίδονται οι συναρτήσεις () και g(). Να δειθεί ότι g και να βρεθεί το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο ισύει g. Απ: (, ) 4. Να εξετάσετε αν ο αριθμός είναι τιμή της συνάρτησης () (με τρόπους). 5. Δίνεται η συνάρτηση (). α) Να εξετάσετε ποιες από τις συναρτήσεις του παρακάτω πίνακα είναι ίσες με τη συνάρτηση.. (). (). () 4. () 4 5. () 5 lne ln( ) 6. () 6 e β) Να βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες. 6. Δίνονται οι συναρτήσεις :. (). (). () 4. () 4 ( ) 5. () 5 α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού καθεμιάς συνάρτησης. β) Να εξετάσετε αν υπάρουν ζεύγη ίσων συναρτήσεων. γ) Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες. ΣΕΛ.

7. Έστω η συνάρτηση (). α) Να βρείτε τις τιμές (), (), (), (). β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C με τους άξονες. γ) Να βρείτε τις τιμές (t), (t), ( h), με, t, h R. 8. Δίνονται οι συναρτήσεις: α) (), β) g() ln( ), γ) h() 4, δ) 9 φ() Να τις τοποθετήσετε σε μια σειρά ώστε το πεδίο ορισμού καθεμιάς να είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της επόμενης. 9. Δίνονται οι συναρτήσεις: α) (), β) g() ln, γ) h(), δ) φ() Να τις τοποθετήσετε σε μια σειρά ώστε το πεδίο ορισμού καθεμιάς να είναι ευρύτερο διάστημα από το πεδίο ορισμού της προηγούμενής της.. Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι παρακάτω συναρτήσεις :. (). 4. () 5. 7. () ln 4 () ημ. (),αν 4,αν 6. () ln () ln. Δίνονται οι συναρτήσεις () ln ln και g() ln. Να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ισύει () g(). Απ: (, ) (, ). Για την πενθήμερη εκδρομή της Γ τάξης ενός Λυκείου, ένα πρακτορείο έκανε την εξής προσφορά: Για τους πρώτους 5 μαθητές, 5 ανά μαθητή. Για κάθε επόμενο μαθητή και μέρι τους 7, μείωση κατά ανά μαθητή. Αν η συμμετοή ξεπεράσει τους 7 και μέρι τους, για κάθε μαθητή. α) Να βρείτε τη συνάρτηση κόστους της εκδρομής, σύμφωνα με την προσφορά, για έως και μαθητές. β) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης. γ) Να βρείτε το κόστος για 69 μαθητές και για 7 μαθητές.. Δίνεται η συνάρτηση β) Να αποδείξετε ότι () log. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. () () για κάθε, του πεδίου ορισμού της. 4. Να βρεθεί η τιμή του αr, για να ορίζεται η συνάρτηση (α ) () α 5. Αν e e () και e e g() να αποδείξετε ότι : ( ) () () g() g(). ΣΕΛ.

6. Δίνεται η συνάρτηση () e. Αν () () να δείξετε ότι :. 7. Για τη συνάρτηση () ln, να αποδείξετε ότι : αβ (α) (β). 8. Δίνεται η συνάρτηση :R R για την οποία ισύει ( ) ( ) () () για κάθε, R. α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της περνά από την αρή των αξόνων. β) Να αποδείξετε ότι η είναι άρτια. γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε R () (). α α 9. Δίνονται οι συναρτήσεις (), g(), α R,. ( ) α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των, g. β) Για ποια τιμή του α ισύει g; 4. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρει συνάρτηση : RRμε την ιδιότητα () ( ), R. 4. Αν οι συναρτήσεις, g είναι ορισμένες στο [, ], να αποδείξετε ότι υπάρουν, [, ] τέτοια, ώστε () g() (Υπόδειξη: Άτοπο) 4 R R ισύει : () ( ) ( ) γιακάθε ότι η είναι περιττή και να βρείτε το τύπο της. Απ: () 4. Για τη συνάρτηση : R. Να αποδείξετε 4. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης : R * Rγια την οποία ισύει : για κάθε, R *. () ()() () 4 44. Αν για τη συνάρτηση ισύει : () () (), για κάθε, R να δείξετε ότι () για κάθε R. 45. Η συνάρτηση έει την ιδιότητα () ( ) () για κάθε, R. Να αποδείξετε ότι : α) ( ) () για κάθε R β) Η είναι περιοδική γ) υπάρει οριζόντια ευθεία που τέμνει τη C σε τουλάιστον τρία σημεία. 46. Για μια συνάρτηση ισύουν οι σέσεις : () () και ( ) () () () για κάθε, R. Να αποδείξετε ότι : α) () β) () για κάθε R 47. Δίνεται η συνάρτηση : RRη οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σέση : () ( ) () α) Να αποδείξετε ότι () R β) Να βρείτε τη συνάρτηση 48. Δίνεται η συνάρτηση : RRγια την οποία ισύει : ( ) ()() () για κάθε, R. α) Να αποδείξετε ότι () ή () β) Να βρείτε την αν η C διέρεται από την αρή των αξόνων γ) Αν () να αποδείξετε ότι () R και να βρείτε τον τύπο της. Υπόδειξη: 49. Έστω η συνάρτηση : RR για την οποία ισύει : Να αποδείξετε ότι () για κάθε R. () () () για κάθε R. ΣΕΛ.

5. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης αν ισύει : ()() () () για κάθε, R. 5. Αν για τη συνάρτηση ισύει : ( ) (5), να βρεθούν τα (5), (4) και (). 5. Για να κατασκευάσουμε ένα μεταλλικό δοείο (ταψί) σήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, ρησιμοποιούμε ένα ορθογώνιο φύλο λαμαρίνας διαστάσεων 4 cm και 6 cm. Από κάθε κορυφή του ορθογωνίου, κόβουμε τετράγωνο πλευράς cm και μετά, τσακίζοντας τις πλευρές, σηματίζουμε ένα ανοικτό δοείο σήματος ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου α) Να εκφράσετε τον όγκο του δοείου V() ως συνάρτηση του. β) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ; γ) Να βρείτε τα V(), V(), V(). 5. Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ οι πλευρές του είναι σε m. α) Να εκφράσετε το εμβαδόν του Ε ως συνάρτηση του. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Ε() ; β) Να εκφράσετε την περίμετρο Π του τραπεζίου ως συνάρτηση του. Ποιο είναι το π. ορισμού της Π() ; γ) Να προσδιορίσετε τις δυνατές τιμές του, αν η περίμετρος του ΑΒΓΔ είναι τουλάιστον m και το εμβαδόν του το πολύ 99 m. 54. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς. Μια ευθεία ε που είναι κάθετη στη διαγώνιο ΑΓ, τέμνει τις πλευρές ΑΒ, ΑΔ στα σημεία Κ, Λ αντιστοίως Δ και έστω η απόσταση της ε από την κορυφή Α. Η ευθεία αυτή ωρίζει το τετράγωνο σε δύο ωρία. Λ α) Να εκφράσετε το εμβαδό Ε του ωρίου που περιέει την κορυφή Α, ως συνάρτηση του. β) Να βρείτε τις τιμές Ε(), Ε( ), Ε(), Ε. Α Κ ε Γ Β ΣΕΛ.

55.. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης. Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων ΣΕΛ. 4

Μερικές φορές αντί να μετατοπίσουμε τη συνάρτηση είναι προτιμότερο να μετατοπίσω τους άξονες κατά την αντίθετη φορά. ΣΕΛ. 5

Διάφορες Μετατοπίσεις Συναρτήσεων Συνάρτηση Μετατόπιση Μετασηματισμός της () Αλλαγή στους άξονες () πάνω κάτω Συμμετρική της ως προς τον άξονα (πάνω κάτω) ( ) Συμμετρική της ως προς τον άξονα (δεξιά αριστερά) ( ) Συμμετρική της ως προς την αρή των αξόνων Ο (, ) () Τα αρνητικά τμήματα της μεταφέρονται συμμετρικά ως προς τον άξονα () Σεδιάζω την για Για συμμετρική της ως προς τον άξονα () Μετατοπίζω τον προς τα κάτω κατά () Μετατοπίζω τον προς τα πάνω κατά ( ) Μετατοπίζω τον προς τα δεξιά κατά ( ) () () () () ( ),, Μετατοπίζω τον προς τα αριστερά κατά Πολλαπλασιάζω όλες τις τιμές του με το Τα σημεία τομής με τον άξονα παραμένουν ίδια Διαιρώ όλες τις τιμές του με το Τα σημεία τομής με τον άξονα παραμένουν ίδια Διαιρώ όλες τις τιμές του με το Το σημείο τομής με τον άξονα παραμένει το ίδιο Πολλαπλασιάζω όλες τις τιμές του με το Το σημείο τομής με τον άξονα παραμένει το ίδιο Σεδιάζω την () Μετατοπίζω τον προς τα αριστερά κατά Πολλαπλασιάζω όλες τις τιμές του με το Μετατοπίζω τον προς τα κάτω κατά Διάφορες Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Όλες οι παρακάτω συναρτήσεις έουν πεδίο ορισμού Α R ημ Μετατόπιση Περίοδος Σύνολο Τιμών Τ π (Α), ημ ημ( ) πάνω κάτω Τ π (Α), ημ Τ π ημ ημ ημ ημ ημ( ) ημ (Α), Τ π Τ π (Α), (Α), Τ 6π (Α), Τ π (Α), 4 Τ π (Α), π ημ τα κάτω του πάνω π π Τ π Τ (Α), (Α), 4 ΣΕΛ. 6

. Γραφική παράσταση Συνάρτησης ) Για να σεδιάσω τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, σηματίζω ένα πίνακα τιμών. Απεικονίζω τις εικόνες των ζευγαριών που βρήκα στο Καρτεσιανό επίπεδο και ενώνω τα σημεία. ) Η προβολή της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης στον άξονα είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Α D, ενώ η προβολή της στον άξονα είναι το σύνολο τιμών της (A). ) Μια κάθετη στον άξονα σε οποιοδήποτε σημείο του πρέπει να τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μόνο σε ένα σημείο. 4) Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης τέμνει τον άξονα μόνο σε ένα σημείο όταν (αν D, (). ), δηλ. περνάει από το σημείο 5) Η συνάρτηση : ΑΒ τέμνει τον άξονα όταν (), D. Λύνω την εξίσωση () και βρίσκω λύσεις ρ, ρ, ρ. Τότε η γραφική παράσταση της () ρ,, ρ,, ρ,, δηλ. στις ρίζες της. τέμνει τον άξονα στα σημεία 6) Ένα σημείο Μ(α, β) με αd ανήκει στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης (), όταν (α)β. Δηλ. αν στη θέση του βάλω το α πρέπει να βρω β, δηλαδή οι συντεταγμένες του σημείου Μ επαληθεύουν την εξίσωση : (). 7) Για να βρω τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων () και g(), λύνω την εξίσωση () g() στο D Dg. Αν ρ, ρ, ρ είναι οι λύσεις, τότε ρ, ρ, ρ είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων και συνεπώς τα κοινά σημεία είναι τα : ρ, (ρ ), ρ, (ρ ), ρ, (ρ ). Προσοή: (ρ) g(ρ ), (ρ) g(ρ ), (ρ ) g(ρ ). 8) Για να βρω για ποια R η γραφική παράσταση της () βρίσκεται πάνω από τον άξονα, λύνω την ανίσωση (), D. Για να βρω για ποια R η γραφική παράσταση της () βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g(), λύνω την ανίσωση () g(), D Dg. 9) Για να σεδιάσω τη συνάρτηση (), σεδιάζω την () και κατόπιν μεταφέρω τα αρνητικά της τμήματα (αυτά που βρίσκονται κάτω από τον άξονα ) συμμετρικά ως προς τον άξονα προς τα πάνω. ) Για να σεδιάσω τη συνάρτηση (), διπλασιάζω τις τιμές της. Αυτό σημαίνει ότι τα θετικά τμήματα παραμένουν θετικά (αντίστοια και για τα αρνητικά) και οι ρίζες της δηλαδή τα σημεία τομής με τον άξονα παραμένουν ίδια. ) Μία άρτια ή μια περιττή συνάρτηση αρκεί να τη μελετήσω στο διάστημα,. Η γραφική της παράσταση θα είναι συμμετρική ως προς τον άξονα αν είναι άρτια ή ως προς το Ο(, ) αν είναι περιττή. Μια περιοδική συνάρτηση αρκεί να τη μελετήσω στο διάστημα μιας περιόδου. Στο υπόλοιπο πεδίο ορισμού της θα είναι παρόμοια. ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης () είναι συμμετρική της () ως προς τον άξονα. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) είναι συμμετρική της () ως προς τον άξονα. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) είναι συμμετρική της () ως προς την αρή των αξόνων Ο (ή αλλιώς βρίσκω τη συμμετρική της ως προς τον άξονα και στη συνέεια τη συμμετρική της νέας συνάρτησης ως προς τον άξονα ). ΣΕΛ. 7

. Συνθήκες Παραλληλίας και Καθετότητας Ευθειών Αν οι ευθείες ε : λ β και ε : λ β έουν συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντιστοίως, τότε : ε / /ε λ λ και ε ε λλ 4. Κατακόρυφη ευθεία Η εξίσωση μιας κατακόρυφης ευθείας (είναι παράλληλη στον άξονα ), που διέρεται από το σημείο A(, ) είναι : 5. Οριζόντια ευθεία Αν μια ευθεία διέρεται από το σημείο A(, ) και είναι παράλληλη στον άξονα, δηλαδή είναι μια οριζόντια ευθεία, έει εξίσωση : Παραδείγματα. Να βρεθούν τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της () τέμνει τους άξονες. Λύση : Το πεδίο ορισμού της είναι το Α R διότι είναι πολυωνυμική. Η γραφική παράσταση της () τέμνει τον άξονα όταν. Έω : () (). Άρα η () περνάει από το σημείο (, ). Για να βρω σε ποια σημεία τέμνει η () τον άξονα λύνω την εξίσωση : () Συνεπώς η () περνάει από το σημείο (, ).. Να εξεταστεί αν το σημείο Μ (, 5) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης () 5 Λύση : Η () είναι πολυωνυμική άρα πεδίο ορισμού είναι το Α R. Είναι () 5 8 45 5 Άρα το σημείο Μ(, 5) ανήκει στη γραφική παράσταση της ().. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων () ( ) και g() 4 8. Λύση : Οι και g ως πολυωνυμικές έουν πεδίο ορισμού το Α R. () g() ( ) 4 8 4 4 4 8 4 4 4 4 ()( ) ή ή Άρα τα κοινά σημεία των και g έουν τετμημένες και. Τώρα έω : () ( ) 4 6 (είναι ίσο με το g() ) και ( ) ( ) g( ). Συνεπώς τα κοινά σημεία των () και g() είναι τα : (, 6) και (, ). 4 8 Ασκήσεις ΣΕΛ. 8

56. Να συμπληρώσετε τη στήλη Β του παρακάτω πίνακα με τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων που βρίσκονται στην αντίστοιη θέση της στήλης Α: Στήλη Α Στήλη Β γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων σημεία τομής τους 6 A 4 6 = α Γ Δ = α, > Ζ Ε 57. Στο παρακάτω σήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Να σεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : α) () β) () γ) () 58. Από τα παρακάτω διαγράμματα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το διάγραμμα : Α. B. Γ. Δ. Ε. 59. Αν για μια περιττή συνάρτηση ισύει D, να αποδείξετε ότι : (). ΣΕΛ. 9

6. Το σημείο (, α β) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης () α β γ. Τότε για τα α, β, γ ισύει Α. α β γ Β. α β γ Γ. α γ β Δ. α β γ Ε. α (β γ) 6. Από τα παρακάτω διαγράμματα δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης το διάγραμμα Α. B. Γ. Δ. Ε. 6. Να αντιστοιίσετε σε κάθε γραφική παράσταση της στήλης Α το σύνολο τιμών της συνάρτησης από τη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β... α. (, ) (, ) β. R Απάντηση : γ. (, ) δ. (, ] [, ) ε. (, ] 4 ζ. (, ] (, ) 4. - η. (, ) (, ] 6. Αν η πολυωνυμική εξίσωση () έει ρίζες τους αριθμούς,, τότε η εξίσωση () έει ρίζες τους αριθμούς : Α., Β., Γ., Δ., 6 Ε., 6 64. Η συνάρτηση που έει γραφική παράσταση τη συμμετρική ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της (), είναι η συνάρτηση : Α. ( ) B. () Γ. () Δ. () E. ( ) ΣΕΛ.

65. Αρίζουμε να φουσκώνουμε ένα άδειο μπαλόνι με σταθερή παροή αέρα. Τη ρονική στιγμή t το μπαλόνι σκάει. Η μορφή της καμπύλης της συνάρτησης που εκφράζει την ποσότητα Q (t) του αέρα στο μπαλόνι συναρτήσει του ρόνου t είναι Q (t) Q (t) Α. t t B. t t Q (t) Q (t) Γ. t Δ. t t t 66. Το πλήθος των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τον άξονα είναι : Α. 6 B. 5 Γ. 4 Δ. E. 6 4 () 67. Κάτω από κάθε γραφική παράσταση συμπληρώστε την κατάλληλη ιδιότητα: άρτια, περιττή, ούτε άρτια ούτε περιττή. 68. Μια μπάλα αφήνεται από ένα ύψος h και αναπηδά στο έδαφος. Η ταύτητα κατά την κάθοδό της έει μέτρο υ gt ενώ κατά την άνοδο έει μέτρο υ υ gt, όπου t η ρονική διάρκεια της αντίστοιης κίνησης. Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα εκφράζει το μέτρο της ταύτητας της μπάλας, κάθε ρονική στιγμή t; υ υ υ Α. t B. t Γ. t υ υ Δ. t Ε. t ΣΕΛ.

69. Κάτω από κάθε γραφική παράσταση συμπληρώστε την κατάλληλη ιδιότητα: περιοδική ή μη περιοδική. 4 4 5 4 4 7. Για τις συναρτήσεις και g που οι γραφικές τους παραστάσεις φαίνονται στο παρακάτω σήμα, είναι λάθος ο ισυρισμός C Α. () g () για κάθε R B. () g () αν Γ. () g () αν Δ. ( ) g ( ) E. η είναι γνησίως αύξουσα στο R και η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R Cg 7. Η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση δίνεται από το παρακάτω σήμα είναι :, Α. (),, Β., (), 4 4, Γ., (), ( ), Δ. () 7. Δίνονται οι συναρτήσεις () και g (). Οι τετμημένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων τους είναι οι αριθμοί : Α., Β., Γ. Δ., Ε.,, 7. Το σύνολο των σημείων που η γραφική παράσταση της συνάρτησης () τέμνει τον άξονα είναι : Α. {, } Β. {} Γ. {,, } Δ. {,, } Ε. {, } ΣΕΛ.

74. Λαμβάνοντας υπόψη τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις, να συμπληρώσετε τις ισότητες (όπου (D ) είναι το σύνολο των τιμών της ): i) D... =() (D )... ( )... - ()... - ()... ii) D g... =g() g (D g )... ( )... ()... ()... iii) D h... =h() h (D h )... h ()... h (,5)... h ()... 75. Η γραφική παράσταση C μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης στο R, φαίνεται στο διπλανό σήμα. Τότε η εξίσωση () έει Α. δύο τουλάιστον ρίζες B. μία μόνο ρίζα Γ. καμία ρίζα Δ. περισσότερες από δύο ρίζες E. μία ρίζα θετική 76. Η συνάρτηση, της οποίας η γραφική παράσταση δίνεται στο παρακάτω σήμα, είναι Α. (), αν [, ), αν (, ] Β. (), αν (, ) /, αν, αν / Γ. (), αν Δ. (), αν, αν [, ), αν [, ) 77. Η συνάρτηση g, της οποίας η γραφική παράσταση είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της συνάρτησης (), ως προς τον άξονα, έει τύπο : Α. g() Β. g() Γ. g() Δ. g() ln( ) Ε. g() ln( ) ΣΕΛ.

78. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο () 9. Τότε : Α. D (,] Β. () για κάθε D Γ. H είναι άρτια Δ. Η C είναι τμήμα παραβολής Ε. Η έει σύνολο τιμών το διάστημα [, ] 79. Δίνεται η συνάρτηση g() 9. Τότε ισύει ότι : Α. Dg [ 9, ] B. Dg R Γ. Η g είναι περιττή Δ. Η γραφική παράσταση της g είναι κάτω από τον άξονα E. Έει σύνολο τιμών το R 8. Να αρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις αν είναι Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον άξονα.. Η συνάρτηση () είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο (, ) (, ).. ν Η συνάρτηση (), ν Ν *, είναι : α) άρτια, αν ο ν είναι άρτιος. β) περιττή, αν ο ν είναι περιττός. 4. Η συνάρτηση () αημ(λ), α, λ, είναι περιοδική με περίοδο π Τ. λ 5. Για τη συνάρτηση () ln,, ισύει () () () για κάθε,. 6. Για τη συνάρτηση () e, R, ισύει ( ) () () για κάθε, R. 7. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης () βρίσκεται κάτω από τον άξονα. 8. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης () βρίσκεται κάτω από τον άξονα. 9. Δίνεται η συνάρτηση (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C με τον άξονα μπορούν να βρεθούν, αν θέσουμε όπου και λύσουμε την εξίσωση.. Η συνάρτηση () είναι γνησίως φθίνουσα στο σύνολο (, ).. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης () e διέρεται από το σημείο Μ (, ).. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g με () και g() τέμνονται σε τρία σημεία.. Δίνεται η συνάρτηση () 9, τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (,9]. 4. Δίνεται η συνάρτηση () ln( ). Η ευθεία με εξίσωση τέμνει την γραφική παράσταση C της συνάρτησης. 5. Η ευθεία με εξίσωση τέμνει την γραφική παράσταση της συνάρτησης () 5. 6. Το σύνολο των τετμημένων των σημείων της γραφικής παράστασης C μιας συνάρτησης με τύπο () ln είναι το διάστημα (, ). C 7. Στο διπλανό σήμα η λύση της ανίσωσης () g() είναι το διάστημα (, ). C g Σ Λ ΣΕΛ. 4

8. Δίνεται η συνάρτηση : RR ώστε () για κάθε R. Τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης βρίσκονται πάνω από τον άξονα. 9. Η συνάρτηση με τύπο () ημ έει γραφική παράσταση συμμετρική ως προς την αρή του συστήματος αναφοράς. Σ Σ Λ Λ. Στο διπλανό σήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Το σύνολο τιμών της συνάρτησης αυτής είναι το R.. Μια κατακόρυφη ευθεία μπορεί να έει δύο κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης.. Μια οριζόντια ευθεία μπορεί να έει δύο κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης.. Η προβολή της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης στον άξονα μας δίνει το σύνολο τιμών της (Α). 4. Μια περιοδική συνάρτηση μπορεί να είναι άρτια. α 5. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης (), α έει κέντρο συμμετρίας την αρή των αξόνων. 6. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μπορεί να μην τέμνει τον άξονα. 7. Αν () τότε οι γραφικές παραστάσεις των και ταυτίζονται. 8. Αν το σημείο Μ(α, β) ανήκει στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης τότε (β) α. 9. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης () α βρίσκεται κάτω από τον άξονα. 8. Να κάνετε πρόειρες γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :. (). () e. () e 4. () ln 5. () ημ 6. () ln( ) 7. () 4 8... 6. 9. () () 9.. (). () 4. () e () ημ 7. (). (). (). 5. () ln( ) 6. 8.. () 9. (). () π () ημ 5. () 6 () 8. () ημ (). () ln( ) () e 7. 4. () () (). () ln( ), (). (), Σ Σ Λ Λ ΣΕΛ. 5

4. () 5. () 6. () 7. () ημ 8. () ημ π 8. Να κάνετε πρόειρες γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων και να βρείτε τα σημεία τομής τους με τους άξονες :. (). (). () 4 4. () ( ) 5. () ( ) 6. 8. Για ποιες τιμές του R η γραφική παράσταση της συνάρτησης : ) () () ( ) βρίσκεται πάνω από τον άξονα. Απ: (,) (, ) βρίσκεται κάτω από την γραφική παράσταση της g(). Απ: (, ) βρίσκεται κάτω από τον άξονα. Απ: (, ) (, ) ) () ) 4) 5) 6) 7) () 4 () 4 βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της () 4 είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της () e βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της () βρίσκεται ανάμεσα στις οριζόντιες ευθείες g(). Απ: (,) (, ) g() 8. Απ: (,) (, ). Απ: (ln, ) g() e και. 84. Δίνεται η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι η παρακάτω: α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να εξετάσετε αν το είναι τιμή της. γ) Να βρείτε το (). δ) Να βρείτε το σύνολο των τιμών της. ε) Να επιλύσετε την εξίσωση (). ζ) Να επιλύσετε τις ανισώσεις () και (). 85. Δίνεται η συνάρτηση (), [, ]. Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : α) () () β) () () γ) () () δ) 4 () () 86. Να παραστήσετε γραφικά κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις : α) () ln β) g() ln( ) γ) φ() ln δ) () ln( ) 87. Δίνεται η συνάρτηση (). Να παραστήσετε γραφικά τις παρακάτω συναρτήσεις : α) () β) () γ) () δ) () ε) () 88. Δίνεται η συνάρτηση () ln. Να παρασταθούν γραφικά οι παρακάτω συναρτήσεις : α) () β) () γ) () δ) () ε) ) () ΣΕΛ. 6

89. Δίνονται οι συναρτήσεις () log(5 ) και g() log. α) Να εξετάστε αν η C τέμνει τους άξονες. Απ: (,log5),(4,) β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων C και C g. ΣΕΛ. 7 5 5 Απ:,log 9. Να βρεθούν οι τιμές των α, β R ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων () α β και g() α β 4 να τέμνονται πάνω στις ευθείες και. Απ: α,β 9. Να προσδιορίσετε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων : α) () ( ) και g() β) () 4 και g() 7 Απ: α)(,), β)(,),(, 4),(,) 4 9. Δύο κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων () (α ) β και g() (α ) (β), έουν τετμημένες και αντίστοια. Να βρείτε : α) τις τιμές των α και β β) τα άλλα κοινά σημεία των C και C g (Απ: αβ) 9. Να βρείτε τις τιμές του λr ώστε η γραφική παράσταση της () (λ ) (λ ) λ 5 : α) να τέμνει τον σε δύο διαφορετικά σημεία Απ: λ, λ β) να εφάπτεται στον άξονα. Απ: λ 94. Να βρείτε τα κοινά σημεία των συναρτήσεων () και g() 4 Απ: (, ) 95. Δίνονται οι συναρτήσεις : () και g() 5 6. Να βρεθούν : α) Τα κοινά σημεία των C και g Απ: (,),(, ),(,8) β) Τα σημεία τομής των C και C g με τους άξονες,. Απ: (,),(, ),(,),( 6,),(, 6) γ) Τα διαστήματα στα οποία η C είναι πάνω από τη δ) Τα διαστήματα στα οποία η g C. C g. Απ: (,) (, ) C είναι κάτω από τον. Απ: ( 6,) 96. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης (). Απ:, 4 97. Έστω η συνάρτηση (). Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις, και. Στη συνέεια να σεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων αυτών στο ίδιο σύστημα αξόνων. 98. Δίνεται η συνάρτηση () 8,,. α) Να βρεθεί η συνάρτηση () και το πεδίο ορισμού της. β) Να βρεθούν τα σημεία που η () και η () τέμνουν τους άξονες. 99. Έστω η συνάρτηση () ( ), [, ]. α) Να αποδείξετε ότι () για κάθε D. β) Να αποδείξετε ότι () ( ) και στη συνέεια να δείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [, ]. γ) Να κάνετε πρόειρη γραφική παράσταση της.

δ) Να βρείτε τις τιμές του όταν και όταν 4.. α) Να σεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης () 4 β) Να βρείτε τα σημεία που η τέμνει τους άξονες γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() () δ) Σε ποια σημεία τέμνει η g() τους άξονες; ε) Να σεδιάσετε τη συνάρτηση h() ( ) και να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες.. Η γραφική παράσταση C μιας συνάρτησης φαίνεται στο σήμα. Από αυτό να βρείτε : α) το πεδίο ορισμού της β) το σύνολο τιμών της γ) το διάστημα και το είδος μονοτονίας της δ) τα ακρότατα της ε) τον τύπο της, αν είναι γνωστό ότι : στο διάστημα [, ) είναι υπερβολή της μορφής στο διάστημα [, ) είναι παραβολή της μορφής α και α. 5 - - - 5. Δίνεται η συνάρτηση () ln. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να αποδείξετε ότι () e για κάθε του πεδίου ορισμού της. γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της.. Στο ίδιο σύστημα αξόνων, για, συναρτήσεων (),, g(), να κάνετε πρόειρη γραφική παράσταση των, h() και να βρείτε τη σετική τους θέση. 4. α) Το μέσο Μ μιας ορδής ΑΒ της καμπύλης μιας συνάρτησης βρίσκεται πάνω από το αντίστοιο σημείο της καμπύλης. Να εκφράσετε με τη βοήθεια μιας ανισότητας την παραπάνω πρόταση. β) Να εξετάσετε αν για τη συνάρτηση παραπάνω ιδιότητα. γ) Ομοίως για τη συνάρτηση g() e. () ισύει η A M +, 5. Δίνεται η συνάρτηση (). Να κάνετε πρόειρη γραφική παράσταση των παρακάτω, συναρτήσεων : α) () β) () γ) () δ) () ε) () στ) () ζ) () η) () θ) () () 6. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι παραβολή και διέρεται από τα σημεία Α(, 6), Β(, ) και Γ(, ). Να βρεθεί : α) Ο τύπος της. β) Τα διαστήματα στα οποία η C βρίσκεται κάτω από τον άξονα. B 7. Να κάνετε πρόειρη γραφική παράσταση της συνάρτησης () ημ π σύνολο τιμών και τη περίοδο της. και να βρείτε το ΣΕΛ. 8

() k. 8. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο α) Για ποιες τιμές του k ορίζεται η ; β) Να εξετάσετε αν υπάρουν τιμές του k για τις οποίες η είναι γνησίως αύξουσα. γ) Να βρείτε το k ώστε η γραφική παράσταση της () να περνάει από το σημείο P,. δ) Να βρείτε τις τιμές του k ώστε η γραφική παράσταση της () να περνάει από το σημείο Σ (, ). α 9. α) Να βρείτε το α (α 5) ώστε η () α5 5 β) Να βρείτε το α, (α ) ώστε η g() α. Μια συνάρτηση : RRικανοποιεί τη σέση να είναι γνησίως αύξουσα. να είναι γνησίως φθίνουσα. ( ) ( ) 4 5 () για κάθε R α) Να βρείτε τον τύπο της Απ: () β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() ( ).. α) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων της μορφής () ν, ν θετικός ακέραιος. β) Ομοίως των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων () ν, ν θετικός ακέραιος. ΣΕΛ. 9

. Πράξεις με Συναρτήσεις Σύνθεση Συναρτήσεων. Πράξεις με Συναρτήσεις Αν για δύο συναρτήσεις () και g() ισύει D Dg, τότε ορίζονται οι συναρτήσεις : ( g)() () g(), με D D D g g ( g)() () g(), με D D D g g ( g)() () g(), με D D D και g g () (), με D D Dg g() g g() g. Σύνθεση της με τη g ) Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού D,D g αντίστοια, τότε ορίζεται η σύνθεση της D με τη g : (g )() g(()) με Dg D () Dg ή αλλιώς Dg. () Dg Είναι φανερό ότι η g ορίζεται αν Dg, δηλαδή αν (Α) Dg. ) Αν η συνάρτηση g έει πεδίο ορισμού το R, τότε για κάθε D ισύει ()R. Τότε η σύνθεση της τυαίας συνάρτησης : A R με την g ορίζεται και έει για πεδίο ορισμού το D. ) Έστω : R R τυαία συνάρτηση και g(). Τότε g g, διότι : οι g, g έουν πεδία ορισμού το R και για κάθε R ισύει : g () g() () g () g() () Γι' αυτό το λόγο η g συμβολίζεται με Ι () και ονομάζεται ταυτοτική συνάρτηση. 4) Γενικά ισύει ότι : g g. Δηλαδή δεν ισύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στη σύνθεση g h () g h (). συναρτήσεων. Ισύει όμως η προσεταιριστική. Δηλαδή : 5) Πρέπει πρώτα να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της σύνθεσης και μετά τον τύπο. Είναι λάθος να βρούμε πρώτα τον τύπο της σύνθεσης και από τον τύπο να βρούμε το πεδίο ορισμού. Παραδείγματα. Αν (), R και (g )(), R, να βρείτε συνάρτηση g. Λύση : Είναι D R και Dg R. Οπότε R ισύει : () g () (g )() g () Θέτουμε : u () u () με ur () () g(u) (u ) g(u) (u 4u 4) g(u) u 4u 4 () g(u) u 4u,u g() 4, R R.. Αν (g )(), R και g(), να βρείτε συνάρτηση. ΣΕΛ.

Λύση : Είναι Dg R και Dg R. Οπότε ισύει : g(), () (), () () (g )() g() () () ( ) () () () 6 () 4 () () () 6 4 () () 6 6 ()( ) 6( ) 6( ) ()( ) 6( ) ()( ) 6( ) (), 6( ) 6( ) (), (),D R 6( ) Πρέπει όμως : () 6( ) ( ) 6 6 6 Ισύει. Ασκήσεις. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο (). Να αντιστοιίσετε κάθε στοιείο της στήλης Α με ένα και μόνο στοιείο της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β Α. (ημ). ln. Απάντηση : Β. (e ) Γ. (ln) Δ. ( ). 4. 5. ημ e συν Α Β Γ Δ 6. e 7. (ln). Αν είναι γνωστό ότι η είναι άρτια και η g περιττή, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα : g() () g () g() 5 4 4 5 ΣΕΛ.

4. Δίνονται οι συναρτήσεις () 7 και g(). Να αντιστοιίσετε κάθε συνάρτηση της στήλης Α, στο πεδίο ορισμού της που γράφεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β A. B. g Γ. g Δ. g Ε. g ΣΤ. Ζ. g g. R. (, 7]. [, 7] 4. (, 7] 5. [, 7) 6. (, 7) 7. [, ) Απάντηση : Α Β Γ Δ Ε ΣΤ Ζ 5. Δίνονται οι συναρτήσεις (), g(). Τότε η γραφική παράσταση της g είναι : Α. θ θ B. Γ. Δ. - 6. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g. ()=α ()=e. g()=α. Cg C. C C g ()= α + 4. C g()=log α Σε κάθε περίπτωση : α) Να βρείτε τους τύπους των, g. β) Να βρείτε τον τύπο της g γ) Να παραστήσετε γραφικά τη g. ΣΕΛ.

7. Να δημιουργήσετε τη σύνθεση g() των παρακάτω συναρτήσεων όπως στο παράδειγμα της πρώτης γραμμής : () g() g() ημ ημ ημ e συν ημ e συν ημ 5 5 5 e ln ln e e ημ ln ημ ln ΣΕΛ.

8. Να βρείτε ποιων συναρτήσεων είναι σύνθεση η g() που δίνεται σε κάθε μία περίπτωση όπως στο παράδειγμα της πρώτης γραμμής : g() g() () συν συν ημ συν ημ e 5 e e e 5e 6 ( ) ημ ln(ημ) ημ ημ ln ln 5ln ln 5 ΣΕΛ. 4

9. Αν () ln και g() 4, τότε το πεδίο ορισμού της g είναι : Α. (, ] B. [, ] Γ. (, ) (, ) Δ. (, ) E. (, ). Δίνονται οι συναρτήσεις και g με τύπους () και g(). Να αντιστοιίσετε κάθε συνάρτηση της στήλης Α με το πεδίο ορισμού της από την στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β Α. Β. g Γ. g Δ. g. [, ]. [, ). [, 9] 4. (, ] 5. [, ] Απάντηση : Α Β Γ Δ Ε Ε. g 6. [, ). Αν Α. 4 () 4 7 και g() 7, τότε η συνάρτηση g έει τύπο : 4 7 8 49 B. 4 4 Γ. 89 Δ. 7 E.. Να αρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις αν είναι Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).. Το γινόμενο δύο συναρτήσεων ορίζεται όταν τα πεδία ορισμού τους έουν κοινά στοιεία.. Δίνονται οι συναρτήσεις,g: RR. Τότε ισύει : α) g g, β) g g. ( 7). Έστω (), g () και h (). Τότε θα ισύει η ισότητα g h. 4. Για να ορίζονται το άθροισμα και η διαφορά δύο συναρτήσεων και g θα πρέπει τα πεδία ορισμού τους να έουν κοινά στοιεία. 5. Δίνεται μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημα Δ και μια συνάρτηση I, για την οποία ισύει Ι (), για κάθε Δ. Τότε ισύει ( Ι )() ( Ι )(), για κάθε Δ. 6. Αν το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι το σύνολο R, τότε το πεδίο ορισμού της g είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g. 7. Αν το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι το σύνολο Α, τότε η συνάρτηση g ορίζεται αν και μόνο αν (Α) D. 8. Δίνονται οι συναρτήσεις, g. Αν ορίζεται η συνάρτηση g και η συνάρτηση g είναι σταθερή συνάρτηση τότε και η συνάρτηση g είναι σταθερή συνάρτηση. 9. Αν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το διάστημα (, ] τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) είναι το διάστημα [, ). g. Έστω : RR τυαία συνάρτηση και g(), τότε g g. Δίνονται οι συναρτήσεις,g: RRώστε ( g)() για κάθε R τότε, g περιττές συναρτήσεις.. Αν ορίζονται οι συναρτήσεις ( g) h και (g h), τότε είναι ίσες.. Αν, g: Α R και ()g() για κάθε Α, τότε : () για κάθε Α ή g() για κάθε Α. Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Λ ΣΕΛ. 5

4. Αν,g: Α R με () g () για κάθε Α, τότε : () g() για κάθε Α ή () g() για κάθε Α. Σ Λ. Δίνονται οι συναρτήσεις () και 4. Δίνεται η συνάρτηση με g(). Να βρεθεί η συνάρτηση g. (). Να βρείτε τη συνάρτηση. 5. Δίνονται οι συναρτήσεις () και g(). Να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, g, /g,. 6. Δίνονται οι συναρτήσεις () και g(). Να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, ln g. 7. Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις g και g αν () και g() ημ. 8. Αν () και g() είναι άρτιες συναρτήσεις να αποδείξετε ότι και οι συναρτήσεις g, g, g,, g, g είναι άρτιες. Να εξετάσετε τις περιπτώσεις όπου και οι δύο είναι περιττές ή η μία είναι g άρτια και η άλλη περιττή. 9. Δίνονται οι συναρτήσεις () και g() 6. Να βρείτε τη συνάρτηση p g, καθώς και όλες τις τιμές της p για τις ακέραιες τιμές του στο πεδίο ορισμού της.,. Δίνονται οι συναρτήσεις () 5, Να βρείτε τον τύπο της F() () (). 4, και () 7 5,. Καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις μπορεί να γραφεί στη μορφή (g()) ή στη μορφή (g(h())). Να βρείτε σε κάθε περίπτωση κατάλληλες συναρτήσεις, g και h. α) φ() ημ () β) φ() 4( ) γ) φ() συν δ) φ() ημ ν ε) φ() στ) 5 φ() 9. Δίνονται οι συναρτήσεις, (), και ln, g(), Να βρείτε τις συναρτήσεις: α) g β) g γ) g. Δίνεται η συνάρτηση (). Να βρείτε μια συνάρτηση g ώστε g (). 4. Δίνονται οι συναρτήσεις (), g(). α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού τους. β) Να βρείτε τις συναρτήσεις g, g. γ) Χρησιμοποιώντας τις, g να δικαιολογήσετε ότι (g )() () g(). δ) Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις g και g είναι ίσες. ΣΕΛ. 6

5. Αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή, να δείξετε ότι η συνάρτηση g() () είναι άρτια. 6. Αν για μια συνάρτηση ισύει (),, να βρείτε το (). 7. Να προσδιορισθεί η συνάρτηση g όταν :. (), g().,. () ln, g(), 5. () 4, g() 4 6. 4. (), g() π (), g() συν 8. Να βρεθεί η συνάρτηση ώστε : ( ), R. 9. Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g() (), αν () ; 4. Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις g και g αν () και g() ln( ) 4. Δίνεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημα [, ]. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων : α) ( ) β) ( 4) γ) (ln) 4. Έστω η συνάρτηση () α β, η οποία ως γνωστόν ονομάζεται και γραμμική συνάρτηση. Να δείξετε ότι η σύνθεση δύο γραμμικών συναρτήσεων είναι γραμμική συνάρτηση. Να εξετάσετε αν το άθροισμα δύο γραμμικών συναρτήσεων είναι γραμμική συνάρτηση. Το ίδιο και για το γινόμενο. 4. Δίνονται οι συναρτήσεις,g: RR. Αν ορίζονται στο R οι συνθέσεις : g και g, να αποδείξετε ότι : α) Αν η g είναι άρτια, τότε και η g είναι άρτια. β) Αν οι, g είναι περιττές, τότε και οι g και g είναι περιττές. γ) Αν η είναι άρτια και η g περιττή, τότε οι g και g είναι άρτιες. 44. Να βρείτε τη συνάρτηση (), αν :. ( g)() 5 4, και g(), R R Απ: (), R Απ: () ln,, e. (g )() ln,, e και g(),,. (g )(), R και 4. 5. 6. 7. 8. 9. (g )(), ( g)(), g(), και g() ln, (, ) και g() ln,, e (g )() e, R και g(), R (g )() 5, R και g(), R (g )() ln( ) και g() ln ( g)(), R και g(), R Απ: (), Απ: () e, R e Απ: (), R e ΣΕΛ. 7

ln g(), και g(),.... ( g)(), και g() ln, ( g)(), και g() ln, (g )(), και g() ln, R Απ: () e 4e, R 45. Δίνεται η συνάρτηση () με g() (ln ) ( ). Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και ο τύπος της συνάρτησης g. Απ: D, 46. Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α[, ]. Να δείξετε ότι ορίζονται οι παρακάτω συναρτήσεις και να βρεθεί το πεδίο ορισμού τους : φ() 6 Απ: D 4, 9, D 7, α) g() β) g φ g 47. Δίνεται η συνάρτηση : RR. Να βρείτε : α) το () αν ( )() β) το γ) το (5) αν ( )() 9 5 δ) το () αν ( )() 4 () αν ( )() 48. Δίνονται οι συναρτήσεις,g: RR με () και g(). Να λύσετε την εξίσωση (g )() ( g g)() (Απ : ) 49. Δίνεται η συνάρτηση : RR. Να δείξετε ότι : () ( ) α) Η συνάρτηση g() είναι άρτια. () ( ) β) Η συνάρτηση h() είναι περιττή. γ) Κάθε συνάρτηση ορισμένη στο R γράφεται σαν άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης. (Υπόδειξη : gh) 5. Μια συνάρτηση : 5 5 ( ) () για κάθε R. () R R έει την ιδιότητα 5 για κάθε R. Να αποδείξετε ότι : 5. Δίνονται οι συναρτήσεις,g: RR για τις οποίες ισύει : ( g) () ( g) () 4 ( g)() ( g)() για κάθε R. Να αποδείξετε ότι g. 5. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης : RR που είναι περιττή με () και ικανοποιεί τη σέση : () () () (), για κάθε,. ΣΕΛ. 8

.4 Μονοτονία Συναρτήσεων Αντίστροφη Συνάρτηση. Μονοτονία Για να βρούμε τη μονοτονία μια συνάρτησης () ακολουθούμε ένα από τους παρακάτω τρόπους : α) Με βάση τον Ορισμό Θεωρούμε, D με και προσπαθούμε να σηματίσουμε τον τύπο της (). Αν ( ) ( ) τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο D. Αν ( ) ( ) τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο D. β) Με τον λόγο μεταβολής ( ) ( ) Λόγος μεταβολής ονομάζεται η παράσταση λ,. Αν λ τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο D. Αν λ τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο D. Για να δηλώσουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίως γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε Δ (αντιστοίως Δ).. Παρατηρήσεις για τη μονοτονία συναρτήσεων ) Αν μια μη σταθερή συνάρτηση είναι άρτια τότε σε συμμετρικά διαστήματα ως προς το μηδέν, θα έει αντίθετο είδος μονοτονίας, δηλαδή αν είναι γνησίως φθίνουσα στο [α, β], στο [β, α] θα είναι γνησίως αύξουσα. Άρα : Αν άρτια συνάρτηση Η συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη. ) Αν μια μη μηδενική συνάρτηση είναι περιττή τότε σε συμμετρικά διαστήματα ως προς το μηδέν, θα έει το ίδιο είδος μονοτονίας, δηλαδή αν είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β), τότε θα είναι γνησίως αύξουσα και στο (β, α). ) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα (ή γνησίως φθίνουσα) στα διαστήματα (α, β] και [β, γ) τότε θα είναι γνησίως αύξουσα (ή γνησίως φθίνουσα) στο διάστημα (α, γ). 4) Αν η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο Δ, τότε η C τέμνει τον άξονα το πολύ σε ένα σημείο με τετμημένη Δ, που σημαίνει ότι η εξίσωση () έει το πολύ μία λύση στο Δ. Επομένως, αν η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο Δ και η εξίσωση () έει μία λύση στο Δ, τότε αυτή θα είναι και μοναδική. 5) Αν για τις συναρτήσεις, g ισύει ότι : γνησίως φθίνουσα στο Δ και g γνησίως αύξουσα στο Δ τότε η εξίσωση ()g() έει το πολύ μία ρίζα (λύση) στο Δ. 6) Για κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση, η γραφική της παράσταση C τέμνει κάθε οριζόντια ευθεία ε : κ, κ R (ε / / ) το πολύ σε ένα σημείο. 7) Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έει μοναδική λύση, βρίσκουμε μία προφανή λύση και στη συνέεια μετασηματίζουμε την εξίσωση σε ισοδύναμη ώστε να προκύψει γνησίως μονότονη συνάρτηση (μας εξασφαλίζει τη μοναδικότητα της λύσης). 8) Η μονοτονία συναρτήσεων μελετάται πολύ πιο εύκολα σε επόμενα κεφάλαια με τη ρήση των παραγώγων. ΣΕΛ. 9

. Παρατηρήσεις για τα Ακρότατα συναρτήσεων ) Μία συνάρτηση () ορισμένη και γνησίως αύξουσα σ ένα κλειστό διάστημα [α, β] παρουσιάζει ελάιστο στη θέση α με ελάιστη τιμή (α) και μέγιστο στη θέση β με μέγιστη τιμή (β). Αντίστοια συμπεράσματα ισύουν αν η () είναι γνησίως φθίνουσα στο [α, β]. ) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα (α, β) τότε δεν έει ακρότατα. ) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα α, και γνησίως φθίνουσα στο ( ). Αντίστοια αν μια,β τότε η στο διάστημα (α, β) έει για μέγιστη τιμή την συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα τότε η στο διάστημα (α, β) έει για ελάιστη τιμή την ( ). 4) Αν το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης είναι το διάστημα : α) [m, Μ] τότε η έει ελάιστο το m και μέγιστο το Μ. β) [m, Μ) τότε η έει ελάιστο το m και δεν έει μέγιστο. γ) (m, Μ] τότε η έει μέγιστο το Μ και δεν έει ελάιστο. δ) (m, Μ) τότε η δεν έει ακρότατα. α, και γνησίως αύξουσα στο,β 5) Αν μια συνάρτηση είναι άρτια και παρουσιάζει ακρότατο στη θέση, τότε θα παρουσιάζει το ίδιο είδος ακροτάτου και στη θέση. Αν η συνάρτηση είναι περιττή τότε στη θέση θα παρουσιάζει το αντίθετο είδος ακροτάτου. 6) Αν η συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο Τ και παρουσιάζει ακρότατο στη θέση, τότε θα παρουσιάζει το ίδιο είδος ακροτάτου και σε κάθε θέση ντ, ν Ν * (άπειρα ακρότατα). 7) Αν μια συνάρτηση () παρουσιάζει μέγιστο το Μ και Μ τότε () για κάθε D. Ενώ αν μια συνάρτηση () παρουσιάζει ελάιστο το m και m τότε () για κάθε D. 8) Αν για μια συνάρτηση ισύει ότι () Μ για κάθε D και γνωρίζουμε επιπλέον ότι η εξίσωση () Μ έει λύση στο D δηλαδή D : ( ) Μ τότε η θα παρουσιάζει μέγιστο στο με μέγιστη τιμή το ( ) Μ. Αντίστοια ισύουν και για το ελάιστο δηλαδή αν () m. 4. Η συνάρτηση () α β γ, α β β Είναι γνησίως φθίνουσα στο, α και γνησίως αύξουσα στο, α. Παρουσιάζει β β Δ ελάιστο στη θέση με ελάιστη τιμή α α. Αν α ισύουν τα αντίστροφα. 4α 5. Συνάρτηση (Αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση) ) η : Α R είναι, Α αν ( ) ( ), Α αν ( ) ( ) ) α) Τον τρόπο επίλυσης με τη ρήση του ορισμού «αν ( ) ( )» τον ρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. β) Τον τρόπο επίλυσης με τη ρήση του ισοδύναμου ορισμού «αν ( ) ( )» τον ρησιμοποιούμε κυρίως όταν μας δίδεται ο τύπος της συνάρτησης. ) Μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν : α) Για κάθε στοιείο του συνόλου τιμών η εξίσωση () έει ακριβώς μια λύση ως προς. ΣΕΛ. 4

β) Δεν υπάρουν σημεία στη C με την ίδια τεταγμένη. Αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη C το πολύ σε ένα σημείο. 4) Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι και συνεπώς είναι αντιστρέψιμη. Το αντίστροφο δεν ισύει. 5) Μια συνάρτηση ΔΕΝ είναι, αν και μόνο αν : υπάρουν δύο τουλάιστον, Α με για τα οποία ισύει ( ) ( ). 6) Αν η :ΑR είναι και κ(a) τότε η εξίσωση () κ έει μοναδική λύση. 6. Αντίστροφη συνάρτηση ) Για να βρούμε την αντίστροφη μιας συνάρτησης, βρίσκουμε πρώτα το πεδίο ορισμού της, στη συνέεια αποδεικνύουμε ότι είναι άρα θα είναι αντιστρέψιμη. Για να βρούμε τον τύπο της αντίστροφης λύνουμε την εξίσωση () ως προς και στη λύση εναλλάσσουμε τις μεταβλητές και. ) Για κάθε αντιστρέψιμη συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α ισύει : () (Α) και () Α ) Αν η συνάρτηση είναι (αντιστρέψιμη), τότε : Μ(α,β) C Ν(β,α) C (α) β (β) α ή αλλιώς 4) Αν μία συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη, τότε : () (). 5) Αν η δεν είναι αντιστρέψιμη τότε δεν είναι και δεν είναι γνησίως μονότονη. 6) Η αντίστροφη μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης είναι γνησίως μονότονη με το ίδιο είδος μονοτονίας. 7) Μια συνάρτηση με πολλούς κλάδους αντιστρέφεται μόνο όταν Κάθε κλάδος της είναι και Τα σύνολα τιμών των επιμέρους κλάδων είναι ξένα μεταξύ τους. 8) Για να βρούμε το σύνολο τιμών της, λύνουμε την εξίσωση () ως προς. 9) Αν η είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση τότε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων της και της τα υπολογίζουμε από την λύση της εξίσωσης () ή της (). Στο σημείο αυτό να υπενθυμίσουμε ότι επειδή οι συναρτήσεις και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία ισύει η ισοδυναμία των δύο εξισώσεων : () () () ή () () (). Σε αυτή την περίπτωση προφανώς όλα τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων της και της βρίσκονται πάνω στην ευθεία. ) Αν η δεν είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση τότε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων της και της τα υπολογίζουμε από τη λύση του συστήματος : () () () () () () Σε αυτή την περίπτωση δεν είναι απαραίτητο ότι τα κοινά σημεία της και της να βρίσκονται επάνω στην ευθεία. ) Αν ένα σημείο του επιπέδου είναι κοινό της ευθείας και της C τότε ανήκει και στη C ΣΕΛ. 4