ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΘΕΙΕΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥΣ...5 7
8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ...65 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΌΡΙΑ...7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ...8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ...97 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ... 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ. ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ... 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΜΕΓΙΣΤΕΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ... 6
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ. ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ... 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ... 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ... 77 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ... 87 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΧΕΤΙΣΜΕΝΟΙ ΡΥΘΜΟΙ... 94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ NEWTON... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΙ... 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΜΙΑ ΚΑΜΠΥΛΗ... 7
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ... 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΦΥΣΙΚΟΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ... 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ... 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΟΥ L HÔPITAL... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΑΥΞΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΙΩΣΗ... 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Ι: ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ... 67 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΙΙ: ΌΓΚΟΣ... 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Ι: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ... 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΙΙ: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΕΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ... 99
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΙΙΙ: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΠΛΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ... 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΙΙΙ: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ... 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ... 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ... 59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ... 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ... 79
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΠΕΙΡΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ... 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΠΕΙΡΕΣ ΣΕΙΡΕΣ... 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 44 ΣΕΙΡΕΣ ΜΕ ΘΕΤΙΚΟΥΣ ΟΡΟΥΣ. ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ. ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ... 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 45 ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΥΣΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΛΟΓΟΥ... 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 46 ΔΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ... 49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 47 ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR ΚΑΙ MACLAURIN. Ο ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ TAYLOR ΜΕ ΥΠΟΛΟΙΠΟ... 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 48 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ... 45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 49 ΟΛΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ. ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ... 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΧΩΡΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ... 476
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΚΑΙ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ... 49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ. ΜΕΓΙΣΤΕΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 54 ΔΙΠΛΑ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ... 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 55 ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ ΚΑΙ ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 56 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΠΛΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ: ΟΓΚΟΣ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΜΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ EΜΒΑΔΟΝ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ... 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 57 ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ... 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 58 ΜΑΖΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ... 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 59 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ... 569 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ... 58
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Το ορισμένο ολοκλήρωμα. Εμαδόν κάτω από μια καμπύλη ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΣΙΓΜΑ. Το ελληνικό κεφαλαίο γράμμα Σ συμολίζει την επαναλαμανόμενη πρόσθεση. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : 5 (α) j = + + + 4 + 5 = 5 j = () ( i + ) = + + 5 + 7 i= (γ) i = + +... + ( ) (δ) i= 4 j = cos j π = cosπ + cosπ + cosπ + cos4π Γενικά αν f είναι μια συνάρτηση που ορίζεται στους ακέραιους και και είναι ακέραιοι τέτοιοι ώστε,: j= f ( j) = f ( ) + f ( + ) +... + f ( ) ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΜΙΑ ΚΑΜΠΥΛΗ. Έστω ότι η f είναι μια συνάρτηση τέτοια ώστε f() για κάθε σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη η οποία ρίσκεται επάνω από τον άξονα των. (Δείτε το Σχήμα.) Έχουμε ήδη μια διαισθητική αντίληψη του εμαδού Α του χωρίου R το οποίο ρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση, επάνω από τον άξονα των, και μεταξύ των κατακόρυφων ευθειών = και =. Θα περιγράψουμε μια μέθοδο για τον υπολογισμό του εμαδού Α. Επιλέγουμε τα σημεία,, μεταξύ των και. Έστω = και =. Άρα, (δείτε το Σχήμα ), = < < <... < < = Το διάστημα [, ] διαιρείται σε υποδιαστήματα [, ], [, ].[, ]. Συμολίζουμε το μήκος αυτών των υποδιαστημάτων με Δ, Δ,., Δ. Άρα, αν, Δ = 7
8 ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΜΙΑ ΚΑΜΠΥΛΗ [ΚΕΦ. Σχήμα Σχήμα Φέρουμε κατακόρυφα ευθύγραμμα τμήματα = από τον άξονα των μέχρι τη γραφική παράσταση. Με αυτόν τον τρόπο διαιρούμε το χωρίο R σε λωρίδες. Έστω ότι το Δ συμολίζει το εμαδόν της λωρίδας. Τότε A = = Μπορούμε να προσεγγίσουμε το εμαδόν Δ A με τον παρακάτω τρόπο. Επιλέγουμε οποιοδήποτε σημείο * στο υποδιάστημα [, ]. Φέρουμε ένα κατακόρυφο ευθύγραμμο τμήμα από το σημείο του άξονα των μέχρι τη γραφική παράσταση (δείτε τις διακεκομμένες γραμμές στο Σχήμα ) το μήκος αυτού του τμήματος * * * είναι f ( ). Το ορθογώνιο με άση Δ και ύψος f ( ) έχει εμαδόν f ( ) Δ, το οποίο είναι κατά προσέγγιση ίσο με το εμαδόν Δ της λωρίδας. A Δ A A *
ΚΕΦ. ] ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΜΙΑ ΚΑΜΠΥΛΗ 9 Σχήμα Επομένως, το συνολικό εμαδόν Α κάτω από την καμπύλη ισούται κατά προσέγγιση με το άθροισμα ( ) Δ = f ( ) Δ + f ( ) Δ +... + f ( ) Δ f (.) = Όσο περισσότερα υποδιαστήματα χρησιμοποιήσουμε στο διάστημα [, ] και όσο μικρότερο μήκος έχουν, τόσο πιο ακριής θα είναι η προσέγγιση. Αν μπορούμε να πραγματοποιήσουμε διαδοχικές προσεγγίσεις, με τον επιθυμητό αθμό ακριείας, σε ένα συγκεκριμένο αριθμό, τότε αυτός ο αριθμός συμολίζεται f ( ) d και ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της f από το στο. Ένας τέτοιος αριθμός δεν υπάρχει σε όλες τις περιπτώσεις, αλλά υπάρχει, για παράδειγμα, όταν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ]. Όταν το f ( ) d υ- πάρχει, η τιμή του ισούται με το εμαδόν Α κάτω από την καμπύλη. Στη σημειογραφία f ( ) d, το ονομάζεται άνω όριο και το κάτω όριο του ορισμένου ολοκληρώματος. Για κάθε συνάρτηση f στο [, ] (όχι απαραίτητα μη αρνητική), μπορούμε να ορίσουμε αθροίσματα της μορφής (.) χωρίς να χρησιμοποιήσουμε την έννοια του εμαδού. Αν υπάρχει κάποιος αριθμός τον οποίο μπορούμε να προσεγγίσουμε χρησιμοποιώντας αυτά τα αθροίσματα με τον επιθυμητό αθμό ακρίειας, καθώς το αυξάνεται και το μέγιστο μήκος Δ προσεγγίζει το, τότε αυτός ο αριθμός συμολίζεται ως f ( ) d και ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f στο διάστημα [, ]. Όταν υπάρχει το f ( ) d, τότε λέμε ότι η συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα [, ]. Θα υποθέσουμε, χωρίς να το αποδείξουμε, ότι το ολοκλήρωμα f ( ) d υπάρχει για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [, ]. Για να υπολογίσουμε το f ( ) d αρκεί να ρούμε το όριο μιας αλληλουχίας αθροισμάτων (.), για τα οποία το πλήθος των υποδιαστημάτων προσεγγίζει το άπειρο και τα μέγιστα μήκη τους προσεγγίζουν το. Το ορισμένο ολοκλήρωμα ονομάζεται και Ολοκλήρωμα Riem της συνάρτησης f, ενώ το άθροισμα (.) ονομάζεται Άθροισμα Riem της f στο διάστημα [α, ].
ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΜΙΑ ΚΑΜΠΥΛΗ [ΚΕΦ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : Ας αποδείξουμε ότι d = (.) Έστω = < < <... < < = μια υποδιαίρεση του [, ]. Τότε ένα αντίστοιχο άθροισμα (.) είναι = f ( ) Δ = = Δ = - (επειδή f() = για κάθε ) Αφού κάθε προσεγγιστικό άθροισμα είναι, d=. Ένας εναλλακτικός συλλογισμός θα χρησιμοποιούσε το γεγονός ότι το χωρίο κάτω από τη γραφική παράσταση της σταθερής συνάρτησης, επάνω από τον άξονα των, και μεταξύ των = και =, είναι ένα ορθογώνιο με άση και ύψος (δείτε το Σχήμα 4.) Έτσι, αφού το d είναι το εμαδόν αυτού του ορθογωνίου, α ισούται με. Σχήμα 4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : Ας υπολογίσουμε το d. α Έστω ότι το = < < <... < < = είναι μια υποδιαίρεση του [, ] σε ίσα υποδιαστήματα. Τότε, κάθε Δ = ( )/. Συμολίζουμε το ( )/ με Δ. Τότε, = + Δ, = + Δ και γενικά, = + Δ. Στο υποδιάστημα [ ] ως το δεξιό ακραίο σημείο. Τότε, ένα προσεγγιστικό άθροισμα (.) έχει τη μορφή,,, επιλέγουμε το ( ) ( ) f Δ = Δ = + Δ Δ = = = ( ( ) ) ( ) = Δ + Δ = Δ + Δ = = = ( + ) = ( Δ ) + ( Δ ) = + = + = ( ) + ( ) Εδώ χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι = = ( + ). (Δείτε το Πρόλημα 5.) Τώρα καθώς, ( + ) / = + / + =. Συνεπώς, το όριο των προσεγγιστικών αθροισμάτων μας είναι
ΚΕΦ. ] ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΜΙΑ ΚΑΜΠΥΛΗ Συνεπώς, = ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + = ( ) = ( ). d Στο επόμενο κεφάλαιο θα μάθουμε μια μέθοδο για τον υπολογισμό του f ( ) d η οποία αντίθετα με το προηγούμενο παράδειγμα δεν θα απαιτεί πολύπλοκους υπολογισμούς. ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ γf( ) d= γ f( ) d (.) Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι ένα προσεγγιστικό άθροισμα γf ( ) Δ για f ( d ) ισούται με γ φο- ρές το προσεγγιστικό άθροισμα f ( ) Δ = = για f ( ) d και ότι η ίδια σχέση ισχύει για τα αντίστοιχα όρια. f ( ) d= f ( ) d (.4) Αυτή είναι η ειδική περίπτωση του (.) όταν γ =. ( f ( ) + g( ) ) d= f ( ) d+ g( ) d (.5) Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι ένα προσεγγιστικό άθροισμα ( f ( ) + g( ) Δ ( f ( ) + g( ) ) d ισούται με το άθροισμα f ( ) Δ + g( ) Δ τα f ( ) d και g ( ) d. = = = γ για το των προσεγγιστικών αθροισμάτων για ( f ( ) g( ) ) d= f ( ) d g( ) d (.6) Καθώς f() g() = f() + ( g()), αυτό προκύπτει από τα (.5) και (.4). Αν < γ <, τότε η f είναι ολοκληρώσιμη στο [, ] αν και μόνο αν είναι ολοκληρώσιμη στο [, γ] και το [γ, ]. Επίσης, αν η f είναι ολοκληρώσιμη στο [, ], γ f ( ) d= f ( ) d+ f ( ) d (.7) γ Αυτό είναι προφανές όταν f () και ερμηνεύουμε τα ολοκληρώματα ως εμαδά. Το γενικό αποτέλεσμα προκύπτει από την εξέταση των αντίστοιχων προσεγγιστικών αθροισμάτων αν και στην περίπτωση κατά την ο- ποία ένα από τα υποδιαστήματα του [, ] περιέχει το γ, απαιτείται περισσότερη μελέτη. Έχουμε ορίσει το f ( ) d μόνο όταν <. Μπορούμε να γενικεύσουμε τον ορισμό για όλες τις πιθανές περιπτώσεις ως εξής: (i) f ( ) d= (ii) f ( ) d= f ( ) d Πιο συγκεκριμένα, πάντα έχουμε:
ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΜΙΑ ΚΑΜΠΥΛΗ [ΚΕΦ. δ γ f ( ) d= f ( ) d για κάθε γ και δ (.8) γ δ Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι οι κανόνες (.) (.6), η εξίσωση (.7), και το αποτέλεσμα του Παραδείγματος ισχύουν για αυθαίρετα άνω και κάτω όρια των ολοκληρωμάτων. Λυμένα προλήματα. Υποθέστε ότι ισχύει f() για κάθε στο [, ]. Έστω ότι Α είναι το εμαδόν του χωρίου μεταξύ της γραφικής παράστασης της f και του άξονα των, από το = έως το =. (Δείτε το Σχήμα 5.) Αποδείξτε ότι, f ( ) d = A. Σχήμα 5 Έστω ότι Β είναι το εμαδόν που ρίσκεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της f και του άξονα των, από το = έως το =. Από τη συμμετρία προκύπτει ότι Β = Α. Όμως, από την (.4), f ( ) d= f ( ) d. Καθώς f ( ) d = B, ( ) f d = B = A. Εξετάστε μια συνάρτηση f η οποία, μεταξύ των και, παίρνει και θετικές και αρνητικές τιμές. Για παράδειγμα, έστω ότι η γραφική της παράσταση είναι αυτή που φαίνεται στο Σχήμα 6. Τότε f ( ) d είναι η διαφορά μεταξύ του αθροίσματος των εμαδών επάνω από τον άξονα των και κάτω από την παράσταση, και του αθροίσμα- τος των εμαδών κάτω από τον άξονα των και επάνω από την παράσταση. Στην περίπτωση της γραφικής παράστασης του Σχήματος 6, f ( ) d = ( A + A + A 5) ( A A + 4) Σχήμα 6
ΚΕΦ. ] ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΜΙΑ ΚΑΜΠΥΛΗ Για να το διαπιστώσετε, εφαρμόστε το (.7) και το Πρόλημα : γ γ γ γ4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f d= f d+ f d+ f d+ f d+ f d= A A + A A + A γ γ γ γ4. Υποθέστε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ολοκληρώσιμες στο [, ]. Αποδείξτε ότι: (α) Αν f() στο [, ], τότε f ( ) d. () Αν f() g() στο [, ], τότε f ( ) d g( ) d. (γ) Αν m f() M για κάθε στο [, ], τότε mb ( ) f( ) d M( ). (α) Αφού κάθε προσεγγιστικό άθροισμα ( ) = f Δ, συνεπάγεται ότι ( ) f d 4 5 () g( ) f ( ) στο [, ]. Έτσι, από το (α) ( g( ) f ( ) ) d. Από την (.6), g ( ) d f ( ) d. Συνεπώς, ( ) ( ) f d g d (γ) Από το (), md f( ) d M d. Όμως από τις (.) και (.), md= m d= m( ) και Md= M d= M( ). Άρα, 4. Υπολογίστε το d. ( ) ( ) ( ) mb f d M Αυτό είναι το εμαδόν κάτω από την παραολή y = μεταξύ των = και =. Διαιρούμε το [, ] σε ίσα υποδιαστήματα. Έτσι, κάθε Δ = /. Στο υποδιάστημα,,, έστω ότι είναι το δεξιό ακραίο σημείο /. Επομένως, το προσεγγιστικό άθροισμα (.) είναι, Τώρα, Άρα, ( + )( + ) = (δείτε το Πρόλημα ). = 6 = ( ) f Δ = =, = = = ( )( ) + + + + f ( ) Δ = = 6 6 = + + 6 Έτσι, τα προσεγγιστικά αθροίσματα πλησιάζουν την τιμή ( )( ) + + = καθώς. Επομένως, 6 επόμενο κεφάλαιο, θα ρούμε μια απλούστερη μέθοδο για να υπολογίζουμε το ίδιο αποτέλεσμα. d=. Στο
4 ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΜΙΑ ΚΑΜΠΥΛΗ [ΚΕΦ. 5. Αποδείξτε τον τύπο = ( + ) = που χρησιμοποιήσαμε στο Παράδειγμα. Αν αντιστρέψουμε τη σειρά των προσθετέων στο άθροισμα θα πάρουμε, = = Η πρόσθεση των δύο εξισώσεων μας δίνει, = ( ) ( ) = + + +... + + + ( ) ( ) = + + +... + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + + +... + + + + + + = + καθώς το άθροισμα κάθε στήλης είναι +. Συνεπώς, διαιρώντας με το ρίσκουμε, = ( + ) = Περισσότερα προλήματα 6. Υπολογίστε τα (α) 4 d, () Απάντ. (α) (4 ) = 9, () ( ) 5 d, (γ) d. ( 5 ) = 7. Βρείτε το εμαδόν κάτω από την παραολή =. 4 Απάντ. [ ( )] + ( ) = 6 8. Υπολογίστε την τιμή του ( + ) 4 d. Απάντ. ( )( ) 6 + 4( 6 ) = 64, (γ) = y = +, επάνω από τον άξονα των, και μεταξύ των σημείων = και 9. Για τη συνάρτηση f, η γραφική παράσταση της οποίας φαίνεται στο Σχήμα 7, εκφράστε το f ( ) d εμαδών Α, Α, και Α. y συναρτήσει των A A A Σχήμα 7
ΚΕΦ. ] ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΜΙΑ ΚΑΜΠΥΛΗ 5 Απάντ. Α Α + Α 4. Αποδείξτε ότι d 9. [Συμουλή: Πρόλημα (γ).]. Υπολογίστε την τιμή του Απάντ. π/4 d. [Συμουλή: Βρείτε το αντίστοιχο εμαδόν με γεωμετρική απόδειξη.] ( )( ) + +. Χρησιμοποιήστε μαθηματική επαγωγή για να αποδείξετε τον τύπο = του Προλήματος 4. (Επαληθεύστε τον τύπο για =, και έπειτα αποδείξτε ότι αν ισχύει για, τότε ισχύει και για + = 6.). Υπολογίστε τα (α) jπ cos 6, () ( 4j + ) j = j =, (γ) j = 8 4 j, (δ) j. + Απάντ. (α), () 5, (γ), (δ) 48 4. Έστω ότι η γραφική παράσταση της f μεταξύ των = και = 6 είναι αυτή του Σχήματος 8. Υπολογίστε το 6 f ( ) d. j = Απάντ. + = Σχήμα 8 f d. 5. Αν η f είναι συνεχής στο [, ] και f() στο [, ], και f( ) > για κάποιο στο [, ], αποδείξτε ότι ( ) > [Συμουλή: Από τη συνέχεια της f, f ( ) f ( ) και το Πρόλημα (α, γ).] > > για κάθε σε κάποιο υποδιάστημα [γ, δ]. Χρησιμοποιήστε την (.7)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΓΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [, ]. Τότε υπάρχει στο [, ] ένας αριθμός γ τέτοιος ώστε, ( ) = ( ) ( γ) f d f (4.) Για να το διαπιστώσουμε, ας υποθέσουμε ότι m και Μ είναι η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της f αντίστοιχα στο [α, ], και ας εφαρμόσουμε το Πρόλημα (γ) του Κεφαλαίου για να πάρουμε, m( ) f ( ) d M( ), και επομένως, m f ( ) d M Έτσι, σύμφωνα με το Θεώρημα της Ενδιάμεσης Τιμής έχουμε f ( ) d= f ( γ) για κάποιο γ στο [α, ]. ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΕΝΑ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Έστω ότι η f ορίζεται στο [α, ]. Αφού η f μπορεί να πάρει άπειρο πλήθος τιμών στο [α, ], δεν έχει νόημα να εξετάσουμε τη μέση όλων των τιμών της f. Αντί γι αυτό, διαιρούμε το [α, ] σε ίσα υποδιαστήματα, κάθε ένα από τα οποία έχει μήκος Δ = f ( ) + f ( ) +... + f ( ) είναι. Επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο στο υποδιάστημα. Τότε, η μέση τιμή των τιμών f ( ) ( ) ( + f +... + f ) = f ( ) = Όταν το είναι μεγάλο, αυτή η τιμή είναι διαισθητικά μια καλή προσέγγιση της «μέσης τιμής της f στο [α, ]». Όμως, αφού = Δ, f ( ) f ( ) Δ = = Καθώς, το άθροισμα στα δεξιά προσεγγίζει το ( ) 6 = f d. Από αυτό συνεπάγεται ο παρακάτω ορισμός.
ΚΕΦ. 4] ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 7 f d. Ορισμός: Η μέση τιμή της f στο [α, ] είναι ( ) Έστω ότι η f είναι συνεχής στο [α, ]. Αν το ρίσκεται στο [α, ] τότε η f () t dt είναι συνάρτηση του και: D ( f () t dt) = f ( ) (4.) Για την απόδειξη δείτε το Πρόλημα 4. ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ. Έστω ότι η f είναι συνεχής στο [α, ] και έστω ότι F ) f ( ) ( = d, δηλαδή, η F είναι αντιπαράγωγος της f. Τότε, f ( ) d = F ( ) F ( ) (4.) Για να το διαπιστώσετε, προσέξτε ότι σύμφωνα με την (4.) οι f () t dt και F() έχουν την ίδια παράγωγο f (). Άρα, από το Πρόλημα 8 του Κεφαλαίου, υπάρχει μια σταθερά Κ τέτοια ώστε f () t dt = F ( ) + K. Όταν = α έχουμε F ( ) + K = f ( t) dt=. Έτσι, K = F( ) Συνεπώς, f () t dt = F ( ) F ( ). Όταν =, αυτό δίνει f () t dt = F ( ) F ( ) Η εξίσωση (4.) παρέχει έναν εύκολο τρόπο υπολογισμού του f ( ) d όταν μπορούμε να ρούμε μια α- ντιπαράγωγο F της f. Η έκφραση F() F(α), στο δεξιό μέρος της (4.), συχνά αναφέρεται για συντομία ως F ( ). Τότε, το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού μπορεί να γραφεί ως εξής: ] f ( ) d= f ( ) d] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (i) Ο πολύπλοκος υπολογισμός του d στο Παράδειγμα του Κεφαλαίου μπορεί να αντικατασταθεί με τον παρακάτω απλό υπολογισμό: α ( ) d = = = (ii) Ο ιδιαίτερα πολύπλοκος υπολογισμός του d στο Πρόλημα 4 του Κεφαλαίου μπορεί να αντικατασταθεί από d r+ r+ r r+ r+ r+ (iii) Γενικά, = = ( ) d= = =
8 ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ [ΚΕΦ. 4 ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΕ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. Κατά τον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος με το Θεμελιώδες Θεώρημα, απαιτείται η αντιπαράγωγος ( ) d αντικατάσταση μιας νέας μεταλητής u συχνά διευκολύνει τον υπολογισμό του ( ) f. Στο Κεφάλαιο, είδαμε ότι η f d. Όταν η αντικατάσταση γίνεται και στο ορισμένο ολοκλήρωμα, τα όρια ολοκλήρωσης πρέπει να αντικαθίστανται από τις αντίστοιχες τιμές του u. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : Υπολογίστε το 9 5+ 4 d. Έστω ότι u = 5 + 4. Τότε du = 5 d. Όταν =, u = 9 και όταν = 9, u = 49. Άρα, 9 49 49 / 5 + 4 = = 5 5 49 / = 5( u ) d u du u du 9 9 9 / / ( 49 9 ) ( 49 ) ( 9 ) = = 5 5 ( 7 ) ( 6) = = = 6 5 5 5 Για την αιτιολόγηση της μεθόδου δείτε το Πρόλημα 5.. Υπολογίστε την τιμή του Σύμφωνα με τον Άμεσο Τύπο Ι, (από το Θεμελιώδες Θεώρημα) Λυμένα προλήματα π / si cos d. si cos d = si. Συνεπώς, από το Θεμελιώδες Θεώρημα, π / / si cos d si ] π π = = si ( si) ( ) = =. Βρείτε το εμαδόν του χωρίου κάτω από τη γραφική παράσταση της f ( ), και μεταξύ του και του. π π = si si si 4 = =. 6 6 Το εμαδόν είναι d ( ) = ( ). Βρείτε τη μέση τιμή της f() = 4 στο [, ]. Η μέση τιμή είναι 8 8 = = f ( ) d= ( 4 ) d= 4 ( 8 ) ( ) ( ) ( ) 4. Αποδείξτε τον τύπο (4.): D f () t dt = f. Έστω ότι h( ) ( ) = f t dt. Τότε: =, επάνω από τον άξονα των 4
ΚΕΦ. 4] ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 9 Συνεπώς, +Δ ( +Δ ) ( ) = () () +Δ = () + () () +Δ = f () t dt h h f t dt f t dt ( +Δ ) ( ) h h Δ f t dt f t dt f t dt * ( ) = Δ f για κάποιο ανάμεσα στα + Δ (Από το Θεώρημα Μέσης Τιμής των Ολοκληρωμάτων) = f ( ) και άρα, ( () ) ( ( )) ( +Δ ) ( ) h h D f t dt = D h = lim = lim f ( ) Δ Δ Δ Όμως, καθώς Δ, + Δ, και έτσι * (αφού το * ρίσκεται μεταξύ των και + Δ). Καθώς η f είναι lim f = f( ). συνεχής, ( ) Δ 5. Αιτιολογήστε την αλλαγή μεταλητής σε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα με τον παρακάτω ακριή τρόπο. Με δεδομένο ότι f ( ) d, έστω ότι = g(u), όπου, καθώς το μεταάλλεται από το α στο, το u αυξάνεται ή μειώνε- ται από το γ στο δ. (Δείτε το Σχήμα 4 για την περίπτωση όπου το u αυξάνεται.) Αποδείξτε ότι: δ f ( ) d= f ( g( u) ) g ( u) du γ (Το δεξιό μέρος προκύπτει με αντικατάσταση = g(u), d = g'(u) du, και αλλαγή των ορίων ολοκλήρωσης από α και σε γ και δ αντίστοιχα.) Έστω ότι ( ) ( ) u Σχήμα 4 F = f d, δηλαδή, F () = f(). Από τον Κανόνα Παραγώγισης Σύνθετων Συναρτήσεων, ( ( )) = ( ( )) ( ) = ( ( )) ( ) Επομένως, f ( g( u) ) g ( u) du = F( g( u) ) D Fg u F g u g u f g u g u Έτσι, σύμφωνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα, δ γ δ ( ( )) ( ) = ( ( )) = ( ( )) ( ( )) γ = F( ) F( ) = f ( ) d f g u g u du F g u F g δ F g γ 6. (α) Αν η f είναι άρτια συνάρτηση, αποδείξτε ότι για α > f ( ) d= f ( ) d.
ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ [ΚΕΦ. 4 () Αν η f είναι περιττή συνάρτηση, αποδείξτε ότι για α > f ( ) d=. Έστω u =. Τότε du = d, και ( ) = ( )( ) = ( ) = ( ) f d f u du f u du f u du Αν ξαναγράψουμε το u ως στο τελευταίο ολοκλήρωμα, θα πάρουμε: Συνεπώς, f ( ) d= f ( ) d (*) ( ) ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( )) f d f d f d (από το (.7)) f d f d (από το (*)) f f d (από το (.5)) (α) Αν η f είναι άρτια, f ( ) + f () = f (), από όπου f ( ) d= f ( ) d= f ( ) d. () Αν η f είναι περιττή, f ( ) + f () =, από όπου f ( ) d = d d = =. 7. Ο Κανόνας του Τραπεζίου (α) Έστω ότι f() στο [α, ]. Διαιρούμε το [α, ], χρησιμοποιώντας τα σημεία,,,, σε ίσα μέρη, κάθε ένα από τα οποία έχει μήκος Δ =. (Δείτε το Σχήμα 4 (α).) Αποδείξτε τον παρακάτω Δ Κανόνα του Τραπεζίου: f ( ) d~ f ( ) f ( ) f ( ) + + = d () Χρησιμοποιήστε τον Κανόνα του Τραπεζίου με = για να προσεγγίσετε το. (α) Το εμαδόν της λωρίδας επάνω από το [, ] ισούται κατά προσέγγιση με το εμαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ του Σχή- ματος 4 (), Δ ( f ( ) + f ( ) ) προσεγγίζεται από το άθροισμα των εμαδών τραπεζίων,. (Θυμηθείτε ότι = α και =.) Έτσι, το εμαδόν κάτω από την καμπύλη Σχήμα 4 Θυμηθείτε ότι το εμαδόν ενός τραπεζίου με ύψος h και άσεις και, είναι ( + ) h.
ΚΕΦ. 4] ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Δ Δ { f ( ) f ( ) f ( ) f ( )... f ( ) f ( ) } f ( ) f ( ) f ( ) + + + + + + = + + = () Για =, α =, =, Δ =, και = /, παίρνουμε, 9 9 d~ + + = + = = = ( 85 ) (από το Πρόλημα του Κεφαλαίου ) + =.5 Η ακριής τιμή είναι (σύμφωνα με το προηγούμενο Παράδειγμα (ii)). Περισσότερα προλήματα Στα Προλήματα 8, χρησιμοποιήστε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού για να υπολογίσετε τα ορισμένα ολοκληρώματα. 8. ( ) 9... d 4 Απάντ. 4 d Απάντ. d Απάντ. 9 π /4 π si d Απάντ. /. ( ) + d Απάντ. 6. ( ) d 8 Απάντ. 4. ( + ) 5. ( t ) t dt d Απάντ. 9 9 Απάντ. 4 4 6. ( ) 7. u u du 6 Απάντ. 5 8 + d Απάντ. 6 8. ( + ) 9. d 4 Απάντ. d Απάντ. +. ( ). d Απάντ. 8 d Απάντ. 6 4 5. π si t dt Απάντ. 4