Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 4 / 7 / 8 Κατεύθυνση κεφάλαιο 4 8 ασκήσεις και τεχνικές σε 9 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Τα πάντα για τα ολοκληρώματα 44. Έστω Ανισώσεις ολοκληρωμάτων f, g i) Αν ii) δύο συναρτήσεις συνεχείς στο f ( ) g( ) για κάθε [ α, β] [ α, β]. Να αποδείξετε ότι: β, τότε ) d Αν m η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή της f στο β m ( β α) f ( ) d M ( β α) α α f ( g( ) d. α β [ α, β], τότε Ν.δ.ο. f ( ) d g( ) d Θέτω h()=f()-g() και έχω επιλογές : Βρίσκω το πρόσημο της h οπότε αν h() και το h ( ) d... Μελετώ την h ως προς ακρότατα για να πετύχω το παραπάνω iii) Με τη βοήθεια της ανισότητας εφ για κάθε, π, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ημ f ( ),, π είναι γνησίως φθίνουσα και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: ημ π π α) για κάθε π π, 6 και π / ημ β) d. 4 π / 6 Ν.δ.ο. f ( ) d Ξεκινώντας από το δεδομένο εξετάζω αν κατασκευαστικά μπορώ να δημιουργήσω σχέση :... f( )... και μετά ολοκληρώνω. Ψάχνω τα ακρότατα της f οπότε δημιουργώ τη σχέση m f ( ) M και μετά ολοκληρώνω. iv) Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ) και στη συνέχεια, με τη βοήθεια της ανισότητας για κάθε, να αποδείξετε ότι: α) για κάθε [,] και β) d. Ν.δ.ο. f ( ) d Αφού fσυνεχής θα πρέπει m f ( ) M οπότε f ( ) m, f ( ) M. Με γινόμενο των δύο σχέσεων δημιουργώ μία νέα ου βαθμού την οποία και ολοκληρώνω.
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Εμβαδό χωρίου 45. Να υπολογίσεις το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από 46. Να υπολογίσεις το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από f yy ( ) 8, ', ', 4 f ( ) ln, ',, 47. Ομοίως για f, 48. Ομοίως f ( ) ln,, ',, 49. Ομοίως 4. Ομοίως 4. Ομοίως ( ), ',, f ( ), ' f ( ), ', E ; 4 f ( ), g( ) 4,, f g 4. Ομοίως ( ) 4, ( ) 4 4. Ομοίως f ( ) 44. Ομοίως 4, g( ) f yy 4,, ( ), ', εφαπτομένη της στην κορυφή της 45. Ομοίως f, g, : f ''( ) g ''( ) 46. Ομοίως, f '() g '(), f () g() f ( ), g( ),,, να βρεις lim E ( ) Εμβαδό επίπεδου χωρίου Να θυμάσαι ότι με γραφική παράσταση μπορείς να αντιμετωπίσεις οποιαδήποτε άσκηση. Παρόλα αυτά μπορώ να διακρίνω περιπτώσεις : Χωρίο μεταξύ f και : Κάνω γραφική παράσταση ή Λύνω την f()= και κάνω πινακάκι. Το E f ( ) d, όπου τα α,β είναι τα κυκλάκια στο πινακάκι και το πρόσημο που υπάρχει ανάμεσα στα κυκλάκια. Χωρίο μεταξύ f και g Κάνω γραφική παράσταση ή Θέτω h()=f()-g(), λύνω την h()= και κάνω πινακάκι. Όπως και πριν το E h( ) d Χωρίο μεταξύ f,g, ή f,g,h Κάνω γραφική παράσταση. Προσοχή : στη γραφική παράσταση θα πρέπει να εντοπίζω το χωρίο και να εξετάζω αν χρειάζεται κόψιμο. Το κριτήριο είναι : πηγαίνω σε κάθε κορυφή του χωρίου και αν η κατακόρυφη ευθεία κόβει το σχήμα τότε τη φέρνω και δημιουργώ περισσότερα χωρία.αφού τελειώσω με το κόψιμο αθροίζω τα επιμέρους χωρία αθροίζοντας τα αντίστοιχα ολοκληρώματά τους. Το ολοκλήρωμα έχει τη μορφή : ά ά ά ή ά d ά 47. Ομοίως ελάχιστο 4 f ( ), ',,,. Να βρεις τοα ώστε το εμβαδό να γίνεται 48. Ομοίως f ( ) ln, yy ', y, y Χωρίο μεταξύ fκαι εφαπτομένης : Το νου σου, πέρα από τις στάνταρ διαδικασίες μπορεί να σου φανεί χρήσιμη η κυρτότητα.
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88, 49. Ομοίως f( ) και οριζόντια ασύμπτωτη, 44. Ομοίως f g ( ), ( ) 4 5, ' 44. Ομοίως f ( ) ln, ', εφαπτομένη στο Α(,) 44. Ομοίως 44. Ομοίως 444. Ομοίως f ( ),,, ασύμπτωτη στο y 9, f A και εφαπτομένες που διέρχονται από το Α ( ), (, ) 445. ln Ομοίως f ( ),,,, οριζόντια ασύμπτωτη 446. Ομοίως f ( ),, yy ', εφαπτομένη που διέρχεται από (,). Να υπολογίσεις 447. i) Να βρεθεί το εμβαδόν Ε(λ) lim E( ), lim E( ) ; του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ), τον άξονα των και τις ευθείες ii), λ, λ. Να βρεθούν οι τιμές του λ έτσι, ώστε Ε ( λ). iii) Nα βρεθούν τα lime( λ) και lim E( λ). λ λ Εμβαδό χωρίου που δεν κλείνει : Κάνω τη γραφική παράσταση και αφού εντοπίσω το χωρίο προς τη μεριά που δεν κλείνει θεωρώ την κατακόρυφη ευθεία χ=λ για να οριοθετήσω το χωρίο. Έτσι υπολογίζω το Ε(λ) που χαρακτηρίζει το εμβαδό του χωρίου μέχρι την ευθεία χ=λ.τότε το E lim E( ), &, 448. Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη και κοίλη στο [,]. Αν παρουσιάζει ακρότατο στο χ= με τιμή, f ( ) f (). Να υπολογίσεις το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από γραφική παράσταση της f ', ', yy ', 449. Να υπολογίσεις το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από f ( ) ln, ',, 45. Ομοίως f ( ), g( ), y 45. Ομοίως y, y, y Εμβαδό χωρίου που διαχωρίζεται Το νου σου : ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι ασκήσεις όπου διαχωρίζεται ένα χωρίο κατακόρυφα ή οριζόντια.
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 45. Ομοίως f ( ) 4, ', εφαπτομένη στο χ=5.να βρεις την ευθεία χ=λ που χωρίζει το προηγούμενο χωρίο σε δύο ισεμβαδικά χωρία 45. Ομοίως f. Να βρεις την ευθεία ( ) 6, ' y που χωρίζει το προηγούμενο χωρίο 6 σε δύο ισεμβαδικά 454. Ομοίως f. Να βρεις την ευθεία που ορίζει στο προηγούμενο χωρίο άλλα χωρία ( ), ' με λόγο E 7, y E 7 455. Το χωρίο που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) και την ευθεία y 5 χωρίζεται από την ευθεία y α, α, σε δύο ισεμβαδικά χωρία. Να βρείτε την τιμή του α. 456. Έστω η συνάρτηση f ( ) ( )( ). i) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f στα σημεία η C f τέμνει τον άξονα των. Α, Β που ii) Αν Γ είναι το σημείο τομής των εφαπτομένων, να αποδείξετε ότι η δύο χωρία που ο λόγος των εμβαδών τους είναι. C f χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ σε 457. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική πράσταση της συνάρτησης f ( ), την εφαπτόμενή της στο σημείο (,) και τον άξονα των. Να βρείτε την ευθεία α, η οποία χωρίζει το χωρίο αυτό σε δύο ισεμβαδικά χωρία. Εμβαδό χωρίου μεταξύ συνάρτησης και αντίστροφή της 458. Θεωρούμε τησυνάρτησηf()=+(-) με. α. Νααποδείξετεότι ηfείναι -. Χωρίο μεταξύ fκαι f E f ( ) f ( ) d αν μπορώ να βρω την αντίστροφη τότε ακολουθώ την περίπτωση χωρίου f,g. Αν όχι σχηματίζω τη διαφορά f()-.αν βγει θετική τότε f>δηλαδή f> f και υπολογίζεται το E f ( ) f ( ) d Το νου σου : θα χρειαστείς και την τεχνική υπολογισμού ολοκληρώματος αντίστροφης. β.νααποδείξετεότιυπάρχειηαντίστροφησυνάρτησηf - τηςfκαι να βρείτετον τύπο της. 4
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 γ. i. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεω ν f και f - με την ευθείαy=. ii. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεταιαπό τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεωνfκαι f -. Ασκήσεις επανάληψης 459. Ν.δ.ο. 4 d d 46. Να υπολογίσεις τα ολοκληρώματα : 46. Να υπολογίσεις τα ολοκληρώματα : d d d 4, ( ), (ln ) d, d, d 6 46. Να υπολογίσεις : d, d, d 6 6 46. Αν συνάρτηση παραγωγίσιμη με συνεχή πρώτη παράγωγο, με f(), f() f '( ) f ( ) f ( ) f '( ) d ;, d ; 464. Να υπολογίσεις τα ολοκληρώματα των ρητών συναρτήσεων : 8 d, d, d, d, d, 6 9 4 465. Να υπολογίσεις τα ολοκληρώματα (παραγοντική) : d, ln d, ln d, d, 4 o d d, ln d, d, ln d d, 466. Αν συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη με 467. Να υπολογίσεις τα τριγωνομετρικά ολοκληρώματα : f () f '(), f () f '' d ; 5 6 5 6,,, d d d d 5
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 468. Να υπολογίσεις τα ολοκληρώματα (θέτω) : d d d d 4,,, v 469. Με θέτω t d ; v v 47. Αν 5 f f ( ) d ; 47. Αν συνάρτηση συνεχής με c f ( ) d f ( c ) d 8 ln d, d, d, d, 47. Αν συνάρτηση συνεχής ( ) ( ) ( ) c c f d f f d 47. Αν συνάρτηση συνεχής f ( ) d f ( ) d 474. Να υπολογίσεις την ποσότητα : A f ( ) d για την περίπτωση που η συνάρτηση είναι άρτια και για την περίπτωση που είναι περιττή 475. Αν συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη με 476. Αν I v * v d, v N, να αποδείξεις ότι : v I I v v v Να υπολογίσεις το I f (), f ''( ) f ''( ) f ( ) d ;. Να υπολογίσεις το I 5 v 4 v 477. Αν Iv d Iv Iv 478. Αν f ( ) 5, ν.δ.ο. αντιστρέφεται και να υπολογίσεις το 4 f ( ) d 6
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 479. Αν συνάρτηση γνησίως μονότονη διέρχεται από Α(,8) και Β(,), να υπολογίσεις την ποσότητα ( ) ( ) 8 A f d f d 48. Ν.δ.ο. 4 d, 4 4d, d d χωρίς να υπολογίσεις τα ολοκληρώματα 48. Αν συνάρτηση συνεχής f ( ) d f ( ) d 48. Να υπολογίσεις το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ f ( ) 6 8, ',, 5 48. Ομοίως μεταξύ 484. Ομοίως μεταξύ 485. Ομοίως μεταξύ 486. Ομοίως μεταξύ 487. Ομοίως μεταξύ f ( ), ',, f ( ), ',, ln f ( ), ',, 4 f g ( ) 5, ( ) 4,, f g ( ), ( ) 488. Ομοίως μεταξύ f ( ), g( ), ' 489. Ομοίως μεταξύ f g ( ), ( ),, 49. Ομοίως μεταξύ f ( ) ln, y,επιμέλεια αποτελεσμάτων : Μάρθα 49. Ομοίως μεταξύ 6 y 4, 4y 49. Αν f ( ), να βρεις το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη συνάρτηση, την εφαπτομένη στο Α(5,) και τους άξονες 49. Αν f ( ) ln, να βρεις το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη συνάρτηση την εφαπτομένη στο χ= και τις ευθείες, 494. Να βρεις τις εφαπτόμενες της παραβολής 4y που άγονται από το Α(,-) και το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη συνάρτηση και τις εφαπτόμενες. 7
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 495. Να βρει το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ), στο σημείο που παρουσιάζει ακρότατο, το θετικό ημιάξονα Οy και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. 496. Αν f ( ), y,, να βρεις το α ώστε η ευθεία να χωρίζει σε δύο ισοδύναμα χωρία το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης και τον οριζόντιο άξονα. 4 497. Αν 4 f( ), να βρεις το εμβαδό Ε(α) που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τον οριζόντιο άξονα και τις ευθείες,,. Να υπολογίσεις τα όρια : lim E( ), lim E( ), 498. Αν f( ) ln,,, να βρεις το εμβαδό Ε(α) που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τον οριζόντιο άξονα και τις ευθείες,,. Να υπολογίσεις το lim E ( ) 499. Αν f ( ), να βρεις το εμβαδό που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης, τον οριζόντιο άξονα και την ευθεία = 5. Αν ( ) 5 9 4 f, να βρεις το εμβαδό που περικλείεται μεταξύ των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f, f 5 8