ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αγαπητοί μαθητές και μαθήτριες, Τα σας προτείνουν για άλλη μια χρονιά, ένα ολοκληρωμένο επαναληπτικό υλικό στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου, αποτελούμενο από: Διαγώνισμα με πλήρεις λύσεις. Προσομοιώσεις σε περιβάλλον gogbra για το Θέμα Γ. Vido με παρουσίαση και σχολιασμό των θεμάτων. Το διαγώνισμα ακολουθεί σε μορφή αρχείου pdf στο αρχείο που ήδη έχετε ανοίξει. Στις λύσεις στο θέμα Γ κατεβάζετε το gogbra (καλύτερα επιλέξτε το offlin installrs). Για να δείτε τις προσομοιώσεις, αφού κατεβάσετε το αρχείο πατάτε το play κάτω αριστερά στην οθόνη. Τέλος, το Vido με την παρουσίαση και το σχολιασμό των θεμάτων, υπάρχουν στο παρακάτω link: http://youtu.b/evuepmsnl8 Είμαι στη διάθεσή σας για απορίες, διευκρινίσεις και φυσικά κριτική και παρατηρήσεις. Καλό διάβασμα σε όλους και καλή επιτυχία στις εξετάσεις Φράγκος Ντίνος Υπεύθυνος Μαθηματικών στo παράρτημα Γλυφάδας
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα Α Α. Να αποδείξετε ότι αν f() στο (α, o) και f() στο ( o,β), τότε το f( o ) είναι τοπικό μέγιστο της f. (8 μονάδες) β Α. Να δώσετε τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος f()d της συνεχούς α συνάρτησης f από το α στο β. ( μονάδες) Α. Να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος Μέσης Τιμής. ( μονάδες) Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. zz Im(z). Σ Λ β. Στα σημεία καμπής η εφαπτομένη της C f διαπερνά την καμπύλη. Σ Λ γ. Η ευθεία y=λ+β λέγεται πλάγια ασύμπτωτη της f() στο αν lim[f () (λ β)]. Σ Λ o δ. To σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [α, β] είναι το διάστημα [m, M], όπου m, M η ελάχιστη τιμή και η μέγιστη αντίστοιχα τιμή της f. Σ Λ β α β ε. f ()g()d f()g() f()g ()d α. Σ Λ α β ( μονάδες ανά ερώτημα)
Θέμα B Β. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών C των εικόνων του μιγαδικού w για τον οποίο ισχύει w i καθώς και w i w τον μιγαδικό w του παραπάνω γεωμετρικού τόπου που έχει το ελάχιστο μέτρο. (7 μονάδες) i Β. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει ότι: w και w i, να βρείτε τον z γεωμετρικό τόπο C των εικόνων των μιγαδικών z. ( μονάδες) Β. Να αποδείξετε ότι z + w lim. z + w (5 μονάδες) Β. Αν u z, u z και u z όπου z, z, z μιγαδικοί που κινούνται στον C, να αποδείξετε ότι uu uu uu α. u u u β. R R u u u u u u ( μονάδες) (6 μονάδες) Θέμα Γ Κατά την πρόκληση ενός θερμού επεισοδίου μεταξύ δύο κρατών Α και Β, οι ειδικές δυνάμεις του κράτους Α έστειλαν ένα φουσκωτό σκάφος (σημείο Σ) στη βραχονησίδα του παρακάτω σχήματος. Η πορεία του σκάφους ακολουθεί την καμπύλη της συνάρτησης: ln( ) f (),. Ο στόχος είναι να αποβιβαστούν στο νοτιότερο σημείο της διαδρομής τους, δηλαδή στο σημείο Κ της βραχονησίδας και να εγκαταστήσουν ένα επίγειο ραντάρ ανίχνευσης σκαφών, με δυτική κατεύθυνση.
Γ. Ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης (t) του σημείου Σ δίνεται από τον τύπο: (t). (t) Να βρείτε: α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Κ. ( μονάδες) β. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας φ που σχηματίζει η εφαπτομένη της C f στο σημείο Σ με τον άξονα, τη χρονική στιγμή t o που το φουσκωτό σκάφος έχει τετμημένη 9 και να εξηγήσετε γιατί βγαίνει σχεδόν μηδέν. (7 μονάδες) γ. Το ραντάρ θα ανιχνεύει την περιοχή που περικλείεται από την C f, την ευθεία και έχει εμβέλεια 7 μίλια. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που θα καλύπτει το ραντάρ. y (6 μονάδες)
Γ. Το κράτος Β με τη σειρά του στέλνει ένα ανιχνευτικό σκάφος (Τ) το οποίο ακολουθεί την 6( ) 5 καμπύλη της συνάρτησης g(), > και κινείται βορειοανατολικά. ( ) α. Να εξηγήσετε γιατί το σκάφος (Τ) αν ακολουθήσει την πορεία του, κάποια χρονική στιγμή θα παραβιάσει τα χωρικά ύδατα του κράτους Α που προσδιορίζονται από την ευθεία y=6 6. ( μονάδες) β. Την χρονική στιγμή t o που το σκάφος (Τ) έχει ταχύτητα μίλια/min και η τετμημένη του ισούται με, ο στρατιώτης πυροβολεί με κατεύθυνση την κατεύθυνση του σκάφους Τ νομίζοντας ότι είδε ύποπτη κίνηση. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που ακολούθησε η σφαίρα. (5 μονάδες) Θέμα Δ Δίνεται η συνάρτηση: y g() f (y t)dt dy, R. Η f() συνεχής στο R,g()= και g() κυρτή για >. Δ. Αν η ευθεία y= + είναι εξίσωση της εφαπτομένης της C g στο Μ(,g()), να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Δ. Αν f (u)du f () f () πιθανή θέση σημείου καμπής. f (u)du.,να αποδείξετε ότι η g() έχει τουλάχιστον μία Δ. Αν επιπλέον η g () είναι γνησίως αύξουσα, να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ(,), με α. ξ ξ. f (u)du f (u)du ξ β. f (u)du f ( ) f () Δ. Να δείξετε ότι: g()d. Καλή Επιτυχία στις Εξετάσεις!!! (6 μονάδες) (5 μονάδες) ( μονάδες) ( μονάδες)
Απαντήσεις Διαγωνίσματος Θέμα Α Λύση Α. σχολικό σελίδα 6 Α. σχολικό σελίδα Α. σχολικό σελίδα 7 Α. α Λ ( zz Im(z) i) β Σ γ Λ ( lim [f () (λ β)] ) δ Σ ε Σ Θέμα Β Λύση Β. wi wi w wi wi w (i) wi wi () wi wi wi wi η οποία παριστάνει τον θετικό κλάδο (μιας υπερβολής με α=α= άρα η κορυφή της είναι το σημείο Κ(,). (Θυμίζω: ΜΕ = w i και ΜΕ= w i, άρα πρέπει ΜΕ >ΜΕ) Ε (-γ,) Μ w Ε(,γ) Κ Ε (,-γ) (ΜΕ ) (ΜΕ) =α και επειδή (ΜΕ ) (ΜΕ)=> (ΜΕ )>(ΜΕ) Προφανώς min w = με w=i
i iiz z Β. i i z z z z z z z Έστω z=+yi τότε: z z () y yi () y ( y ) y () y άρα ο z κινείται σε κύκλο με κέντρο (,) και ακτίνα ρ= Δηλαδή z. Β. z z z και w. Άρα w z και lim w w z w z + w z + w w w w w lim lim lim w + z w w z + w z z Β. α. u z u u άρα u u u u,u,u u u u uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu u uu uu uu u u u u u u uu uu uu u u u u u u uu uu uu uuu β. uu u u u u R R R uu u u u u u u u Αν p u u u τότε. p u u u yi Έστω p= +yi R(p), άρα R p yi y p y Άρα R R R(p) R( ) u u u uu u p y y
Θέμα Γ Λύση Γ. y=6-6 y=6-6 Σ K α. ln ( ) ln ( ) f(), f () ( ) ( ) f () ln( ) ln( ) ( ) f () + f() O.M.= f Για η f() παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το f.
Άρα K,. ln(t) ln ( ) β. εφθ f() εφ θ(t) f θ(t) ( ) (t) και την χρονική στιγμή t o. 9 ln ln(t ) ln εφ θ(t ) 6 Άρα o o (t o ) 9 (t) (t) ln (t) (t) (t) εφ θ(t) (t) ln (t) (t) (t) ln (t) (t) (t) (t) (t) εφθ(t) θ (t) εφ (t) θ (t) συν θ(t) 9 Την χρονική στιγμή t o (t o ) θα ισχύει: ln(t o) (t o) (t o) εφ θ(t o) θ (t o) (t o) 9 ln 6 9 9 9 9 6 9 6 (6 ) θ (t o) θ (t o ) 9 9 6 6 ln ( ) lim αφού lim ln( ) ( ) γιατί lim ( ), με ( ) και lim ( ) με Άρα η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. 9 δηλαδή η εφαπτομένη σχεδόν ταυτίζεται με την = και η γωνία δεν μεταβάλλεται! Για να δείτε τις παρακάτω εφαρμογές κατεβάστε από εδώ το gogbra. Κάντε κλικ εδώ για να δείτε γραφικά το παραπάνω συμπέρασμα. Κάντε κλικ εδώ για να δείτε γραφικά την συμπεριφορά της γωνίας όταν το σημείο διέρχεται από το σημείο καμπής.
γ. Η ευθεία y εφάπτεται στην C f στο Κ (το ολικό ελάχιστο της C f ). Η εμβέλεια είναι 7 μίλια. Άρα θέλουμε το εμβαδόν από = 7, μέχρι =. Άρα ln( ) ln( ) E f () ( )d ( )d d d I I ( ) ( ) ln ( ) I d θέτω u ln ( ), άρα du d και u, u ln 8 ( ) u (ln 8) I udu ln 8 ln 8 7 I d 6 (ln 8) 7 Τελικά Ε=Ι +Ι =,5 6 Γ. α. g() 6( ) 5 ( ) g() 6( ) 5 ( ) Θα βρούμε την πλάγια ασύμπτωτη της C g στο +. λ lim lim 6 (πηλίκο μεγιστοβάθμιων όρων) 6( ) 5 πράξεις 6 65 β lim g() λ lim 6 lim 6 ( ) H y=6 6 είναι πλάγια ασύμπτωτη της C g. Προφανώς 6 6> 6 6. Άρα κάποια χρονική στιγμή το σκάφος (Τ) θα παραβιάσει τα χωρικά ύδατα του κράτους Α. Κάντε κλικ εδώ για να δείτε γραφικά το παραπάνω συμπέρασμα.
((t) ) 6((t) ) 5 ε β. λ g(t) 8 (t) (t) ((t) ) (t) (t) 6((t) ) 5 ((t) ) Επομένως την χρονική στιγμή t o, u(t )= (t o )= και (t o )=. Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας της σφαίρας θα είναι 8(t ο) (t ο) ((t ο) ) (t ο) (t ο) 6((t ο) ) 5 λ ε ((t ) ) 8 () 6() 5 8 () ο Θέμα Δ Λύση Δ. θέτω u yt άρα du dt και u y, u y y y Άρα g() f(u)du dy y Δ. g() f(u)du και g () f (u)du και g() Άρα ε: y g()=g ()( )y = Tελικά f(u)du=. f(u)du y= g () f(u)du f(u)du f(u)du a a f(u)du f( ) f( ) Τελικά g() f(u)duf( ) f( ) g () f (u)du f () f (). Άρα το σημείο Α(,g()) είναι πιθανή θέση σημείου καμπής. f(u)du +
Δ. Για > g() κυρτή. Άρα g () γνησίως αύξουσα. g() f(u)du συνεχής στο [, ] ως γινόμενο των συνεχών και συνεχής ως εκθετική και f(u)du παραγωγίσιμη ως ολοκλήρωμα της συνεχούς f(u), άρα και συνεχής. g () παραγωγίσιμη στο (, ) με g () f(u)du f( ) f( ) Από Θ.Μ.Τ. για την g (), υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ(,) με g() g() g(ξ) f (u)du f(u)du f(u)du f(u)du α. g(). ξ ξ ξ ξ ξ ξ f(u)du. ξ g(ξ) g() f(u)du f(u)du f(u)du f(u)du ξ ξ και f (u)du f (u)du ξ g β. ξ g (ξ) g () f(u)du f(u)du f (u)du f () f ( ) f(u)du f() f( ) f(u)duf( ) f() Δ. Για > η g() είναι κυρτή, άρα βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτομένη της. g() g() g() d g()d ( )d ( ) g()d