Ασκήσεις εφαµογής ισοζυγίου οής γαµ. οµής Άσκηση Ακοφύσιο Α εκτοξεύει κυλινδική φλέβα νεού διαµέτου d c µε υθµό l/. H φλέβα του νεού εισέχεται σε ένα διαχύτη και χωίζεται σε κυλινδικές φλέβες µε διατοµές Α & Α (διαµέτων d c & d 5c) και µε ταχύτητες / και αντίστοιχα σύµφωνα µε τη γεωµετία ου αουσιάζεται στο σκαίφηµα. Υολογίστε την ταχύτητα εξόδου της φλέβας του νεού αό το ακοφύσιο την ταχύτητα και τις αντιδάσεις στη στήιξη του διαχύτη θεωώντας το βάος Β του διαχύτη αµελητέο. Α 5 o Α o Είλυση Το όβληµα θα λυθεί σε δύο στάδια. Πώτα θα υολογίσουµε τις ταχύτητες & µε τη βοήθεια του ισοζυγίου αοχών (εξίσωση συνέχειας) σε όγκο ελέγχου (CV) ου εικλείει το διαχύτη. Υολογίζουµε την ταχύτητα : Q Q / d ( ) 98 / (.) και µε ισοζύζιο αοχών (εξίσωση συνέχειας) την ταχύτητα ± Q ( Q ) ( 5) d Q / d ( ) / 67 / (.) Στη συνέχεια θα κάνουµε ισοζύγιο οής γαµµικής οµής στον ίδιο όγκο ελέγχου.. Μ. Βαλαβανίδης Εικ. Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας Mάϊος
Ασκήσεις εφαµογής ισοζυγίου οής γαµ. οµής Σχεδιάζουµε τα µοναδιαία εξωτεικά διανύσµατα των διατοµών Α Α Α αό τις οοίες ο όγκος ελέγχου ανταλάσσει οµή (µάζα ταχύτητα νεού) µε το ειβάλλον και οίζουµε σύστηµα αξόνων O µε τα µοναδιαία διανύσµατα. Α 5 o Α o Ισοζύγιο οής γαµµικής οµής στη διεύθυνση ( ) [ ( τ )] Το τελευταίο (δεξιά) άθοισµα του ααάνω ισοζυγίου ισούται µε γιατί κάθε όος του ισούται µε. Ας δούµε αναλυτικά γιατί. Ο ος όος του αθοίσµατος δίνει την -συνιστώσα του διανυσµατικού αθοίσµατος των δυνάµεων ίεσης στην ειφάνεια ελέγχου. Εειδή αντού στην ειφάνεια ελέγχου υφίσταται ατµοσφαιική ίεση (ακόµα και στις φλέβες εισοής και εκοής του νεού στον όγκο ελέγχου ου είναι οές µε ελεύθεη ειφάνεια άα σε αυτές εξασκείται η ίδια ίεση µε αυτή του ειβάλλοντος δηλ. η ατµοσφαιική) ο ος όος του αθοίσµατος γίνεται ( ) ( ) ( at at ) Αλλά για ακίνητες κλειστές ειφάνειες (στην είτωσή µας ολύγωνα) ισχύει ότι ( ) (µοείτε να το ειβεβαιώσετε για οοιοδήοτε κλειστό ολυγωνικό σχήµα). Έτσι ( ) Ο ος όος του αθοίσµατος δίνει την -συνιστώσα του διανυσµατικού αθοίσµατος των διατµητικών δυνάµεων στην ειφάνεια ελέγχου. ιατµητικές δυνάµεις ανατύσσονται στις υγές φλέβες εάν υάχει βαθµίδα ταχυτήτων (σχετική κίνηση µεταξύ στώσεων της υγής φλέβας). Εειδή όµως η κατανοµή ταχύτητας στις φλέβες ου εξετάζουµε στο συγκεκιµένο όβληµα είναι σταθεή (εειδή όκειται για οή «ανοικτού τύου» σε κάθε διατοµή όλα. Μ. Βαλαβανίδης Εικ. Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας Mάϊος
Ασκήσεις εφαµογής ισοζυγίου οής γαµ. οµής. Μ. Βαλαβανίδης Εικ. Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας Mάϊος τα υγά σωµατίδια έχουν την ίδια ταχύτητα) η βαθµίδα ταχύτητας είναι και εοµένως διατµητικές δυνάµεις δεν ανατύσσονται. Έτσι τ αντού και εοµένως ( ) τ Έτσι ( ) [ ] ( ) ( ) t t τ Αντικαθιστώντας στο ισοζύγιο και τα υόλοια γνωστά µεγέθη έχουµε: [ ] * (.) ( ) ( ) [ ] 6 (.) και µε αντικατάσταση των τιµών των µεγεθών 7 5 67 98 5 67 98 (.5) Ισοζύγιο οής γαµµικής οµής στη διεύθυνση ( ) ( ) [ ] τ
Ασκήσεις εφαµογής ισοζυγίου οής γαµ. οµής. Μ. Βαλαβανίδης Εικ. Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας Mάϊος Για τους λόγους ου αναφέθηκαν στο οηγούµενο ισοζύγιο ( ) [ ] ( ) ( ) at at τ Εοµένως το ισοζύγιο οής γαµµικής οµής στην -διεύθυνση γίνεται: (.6) ( ) ( ) 6 8 7 (.7) Είσης αµελώντας το βάος Β του διαχύτη ( ) και µε αντικατάσταση των τιµών των µεγεθών αίνουµε ( ) ( ) 7966 7966 5 67 (.8) όου το ανητικό όσηµο σηµαίνει ότι η φοά της είναι αντίθετη αυτής ου υοθέσαµε.
Ασκήσεις εφαµογής ισοζυγίου οής γαµ. οµής Άσκηση Μια σωληνοκαµύλη διαµέτου d6 και ακτίνας καµυλότητας r µεταφέει νεό µε αοχή 9 / και σχηµατίζει καµύλη 9 ο σε κατακόυφο είεδο. Ο συντελεστής τοικής αντίστασης για την καµύλη είναι Κ7. Η ίεση στην είσοδο της καµύλης είναι bar. Ποσδιοίστε την ολική δύναµη ου ασκεί το νεό στην καµύλη. Αµελήστε το βάος του νεού στην καµύλη και το βάος της καµύλης. r z z z d6 Για να υολογίσουµε τη δύναµη ου ασκεί το νεό στην καµύλη ακεί να υολογίσουµε τι αντιδάσεις έει να ανατύξουµε στην καµύλη εξωτεικά. Θα εφαµόσουµε ισοζ γιο αοχής γαµµικής οµής σε όγκο ελέγχου ου εικελείει την καµύλη. Για να γίνει αυτό έει ώτα να υολογίσουµε τις συνθήκες της οής στην είσοδο και έξοδο της καµύλης. Έτσι αχικά θα εφαµόσουµε ισοζύγιο ολικής υδαυλκής ενέγειας α.µ.β.υ. (εξίσωση roull) µεταξύ των διατοµών εισόδου () και εξόδου () της καµύλης. C P z γ g P H z C (.) γ g Εειδή η καµύλη έχει σταθεή διατοµή d / Q Q 9 / 8 / (.) d ( 6) H εξίσωση roull µετά τις αλοοιήσεις αό την καταγαφή των συνθηκών ου εικατούν τοικά όου γίνεται P P γ 8 / C C H ( ) H L και z z (.) ( 8 / ) H L K 7 88 (.) g 98 / ( z z ) H P P g[ ( z z ) H ] 5 L P γ 98 L 5 ( 88) 766 766bar (.5). Μ. Βαλαβανίδης Εικ. Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας Mάϊος 5
Ασκήσεις εφαµογής ισοζυγίου οής γαµ. οµής Με δεδοµένες λέον τις συνθήκες στον όγκο ελέγχου µοούµε να εφαµόσουµε ισοζύγιο οής γαµµικής οµής. Σχεδιάζουµε τα µοναδιαία εξωτεικά διανύσµατα των διατοµών Α Α αό τις οοίες ο όγκος ελέγχου ανταλάσσει οµή (µάζα ταχύτητα νεού) µε το ειβάλλον και οίζουµε σύστηµα αξόνων O µε τα µοναδιαία διανύσµατα. Α Ισοζύγιο οής γαµµικής οµής στη διεύθυνση Ο ( ) [ ( τ )] Το τελευταίο (δεξιά) άθοισµα του ααάνω ισοζυγίου αοτελείται αό όους. Ο ος όος του αθοίσµατος δίνει την -συνιστώσα του διανυσµατικού αθοίσµατος των δυνάµεων ίεσης στην ειφάνεια ελέγχου. Παντού στην ειφάνεια ελέγχου εκτός των διατοµών εισόδου (Α ) & εξόδου (Α )- υφίσταται ατµοσφαιική ίεση. Ειδικά στις διατοµές εισόδου (Α ) & εξόδου (Α ) υφίσταται εκτός της ατµοσφαιικής ίεσης και υδαυλικές ιέσεις &. Οι συνολικές ιέσεις στις διατοµές εισόδυ & εξόδου είναι ( at ) & ( at ). Εοµένως ο ος όος του αθοίσµατος γίνεται ( ) ( ( ) ) ( at at ) ( ) at Αλλά για ακίνητες κλειστές ειφάνειες (στην είτωσή µας ολύγωνα) ισχύει ότι ( ) σχήµα). Έτσι (µοείτε να το ειβεβαιώσετε για οοιοδήοτε κλειστό ολυγωνικό ( ) Ο ος όος του αθοίσµατος δίνει την -συνιστώσα του διανυσµατικού αθοίσµατος των διατµητικών δυνάµεων στην ειφάνεια ελέγχου. ιατµητικές δυνάµεις ανατύσσονται σε υγές φλέβες εάν υάχει βαθµίδα ταχυτήτων (σχετική κίνηση µεταξύ στώσεων της υγής φλέβας). Στην εξεταζόµενη είτωση έχουµε οή σε σωλήνα άα υάχει σχετική κίνηση. Μ. Βαλαβανίδης Εικ. Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας Mάϊος 6
Ασκήσεις εφαµογής ισοζυγίου οής γαµ. οµής. Μ. Βαλαβανίδης Εικ. Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας Mάϊος 7 λετότοιχων υγών κυλίνδων (υδάτινων στώσεων) οµοαξονικών µε το σωλήνα. Εειδή όµως η κατανοµή ταχύτητας στις φλέβες ου εξετάζουµε είναι αξισυµµετική οι βαθµίδες ταχύτητας σε κάθε σταθεή ακτίνα α ταχύτητας είναι ακτινικές και αλληλοαναιούνται. Εοµένως και οι διατµητικές δυνάµεις είναι ακτινικές και αλληλοαναιούνται (σε κάθε υγό κυλινδικό δακτύλιο). Έτσι ( ) τ Αντικαθιστώντας στο ισοζύγιο και τα υόλοια γνωστά µεγέθη έχουµε: [ ] (.6) ( ) ( ) (.7) [ ] (.8) και µε αντικατάσταση των τιµών των µεγεθών ( ) ( ) ( ) 5 5 6 9 6 8 d 87688 k 87688 (.9) Ισοζύγιο οής γαµµικής οµής στη διεύθυνση Ο ( ) ( ) [ ] τ Για τους λόγους ου αναφέθηκαν στο οηγούµενο ισοζύγιο αναφοικά µε το δεύτεο άθοισµα έχουµε ( ) [ ] τ και αντικαθιστώντας το ισοζύγιο γίνεται [ ]
Ασκήσεις εφαµογής ισοζυγίου οής γαµ. οµής ( ) ( ) ( ) (.) ( ) ( ) ( ) (.) και µε αντικατάσταση των τιµών των µεγεθών ( ) 5 8 766 5 9 766 ( 6) ( 6) 87 87 k (.). Μ. Βαλαβανίδης Εικ. Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας Mάϊος 8
Ασκήσεις εφαµογής ισοζυγίου οής γαµ. οµής Άσκηση Ακοφύσιο Α εκτοξεύει κυλινδική φλέβα νεού διαµέτου dc µε υθµό Q l/. H φλέβα του νεού οσκούει σε έναν αναστοφέα οής ηµισφαιικού σχήµατος (κύελο) σε ύψος h ψηλότεα αό το ακοφύσιο. Η φλέβα εξεχόµενη αό τον αναστοφέα αοκτά κωνικό σχήµα µε γωνία κώνου φ ο ως ος τον άξονα (βλέε σχήµα) διαµέτου Dc και µε άχος τοιχώµατος t. Να υολογισθεί η δύναµη ου έι να εφαµοσθεί στον αναστοφέα οκειµένου αυτός να διατηηθεί στη θέση του συνατήσει της γωνίας φ. Θεωήστε το βάος Β του αναστοφέα αµελητέο. D t d φ o h Q Είλυση Κατ αχάς η ταχύτητα εξόδου αό το ακοφύσιο είναι Q Q / 7 / d ( ) (.) Η ταχύτητα όσκουσης στον αναστοφέα δεν είναι ίση µε την ταχύτητα εξόδου αό το ακοφύσιο εειδή µεσολαβεί ένα ύψος h στο οοίο η φλέβα χάνει ταχύτητα. Η ταχύτητα όσκουσης στον αναστοφέα δίνεται αό την έκφαση [κάνοντας ισοζύγιο υδαυλικής ενέγειας α.µ.β.υ. roull µεταξύ των σηµείων () & ()]: C P z γ P H z C (.) g γ g H εξίσωση roull µετά τις αλοοιήσεις αό την καταγαφή των συνθηκών ου εικατούν τοικά P P at C C και z h (.) H ( ) z. Μ. Βαλαβανίδης Εικ. Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας Mάϊος 9
Ασκήσεις εφαµογής ισοζυγίου οής γαµ. οµής ( 7 / ) 98 / 97 / gh (.) Στη συνέχεια θα κάνουµε ισοζύγιο οής γαµµικής οµής σε όγκο ελέγχου ου εικλείει τον αναστοφέα οής. Εξ αιτίας της αξονικής συµµετίας και της όσκουσης της κυλινδικής φλέβας στον άξονα του αναστοφέα το ισοζύγιο οής γαµµικής οµής θα εξετασθεί µόνο για τον κατακόυφο άξονα (O). Σχεδιάζουµε τα µοναδιαία εξωτεικά διανύσµατα των διατοµών Α Α αό τις οοίες ο όγκος ελέγχου CV ανταλάσσει οµή (µάζα ταχύτητα νεού) µε το ειβάλλον και οίζουµε σύστηµα αξόνων O µε τα µοναδιαία διανύσµατα. Πέει ώτα να υολογισθεί η ταχύτητα εξόδου του νεού αό τον αναστοφέα. Αό την εξίσωση της συνέχειας έχουµε: Q / Q Dt Dt / (.5) D CV t o t Α d φ o Α Ισοζύγιο οής γαµµικής οµής στη διεύθυνση Ο ( ) [ ( τ )] d ( ) ( ) Dt ( ) ( ϕ) ( ) (.6) d Dt ϕ (.7) και µε αντικατάσταση των τιµών των µεγεθών. Μ. Βαλαβανίδης Εικ. Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας Mάϊος
Ασκήσεις εφαµογής ισοζυγίου οής γαµ. οµής d Dt 6 9 5 5 ( ) (.8). Μ. Βαλαβανίδης Εικ. Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας Mάϊος