ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή στο Δίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο R, για την οποία ισχύει : f()-3 6 +-3συν ημ=, για κάθε R α) Να υπολογιστούν τα : lim f () και lim f () β) Να βρεθεί το f() γ) Να δειχθεί ότι η εξίσωση f()= έχει πραγματική ρίζα -- f () 3 Έστω f: με f(+y)=f()f(y) για κάθε,y και lim α) Να δειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και f ()=α f() β) Αν η εφαπτόμενη της C f στο = σχηματίζει με τον άξονα γωνία, να δείξετε ότι α= και να 4 βρεθεί ο τύπος της f - 4 Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f: έχει την ιδιότητα f ()=e -f() για κάθε Αν η C f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι: α) η f είναι άρτια συνάρτηση, β) f()= γ) f()=, -- 5 Έστω συνάρτηση f()=e +, Α) Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε το πεδίο ορισμού της f - Β) Αν η συνάρτηση f - είναι παραγωγίσιμη τότε: α) Να βρεθεί η εφαπτομένη (ε) ευθεία της f C στο σημείο της o =e+ β) Να δείξετε ότι η f - είναι κοίλη γ) Να υπολογίστε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την C f την παραπάνω εφαπτομένη (ε) και τον άξονα χ χ δ) Να υπολογίσετε το όριο L lim f 7 ---

6 Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο με g(), ( ) ( ) και f g f g ( ) ( ) για κάθε α Να αποδείξετε ότι: i g( ) g( ) f ( ) για κάθε ii H g είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα,,, και έχει ακρότατο το β i Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της ii Nα γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (,) γ Αν είναι το εμβαδόν του χωρίου, που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες y,, να δείξετε ότι: ln g () 7 Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο με f ( ) g( ), f ( ) για κάθε Αν στο όριο g( ) L= lim f ( ) εφαρμόσουμε τον κανόνα του ορίου πηλίκου, παρουσιάζεται απροσδιόριστη μορφή α Να υπολογίσετε το όριο L β Να βρείτε τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f, g στο γ Να αποδείξετε ότι η g έχει το πολύ μία ρίζα δ Να αποδείξετε ότι f ( ) g( ) 4 --- 8 Μία συνάρτηση f :, Α Να αποδείξετε ότι: έχει την ιδιότητα: y ln( y) yf ( ) f ( y) f ( y) για κάθε, y i f () ii f f,, iii f ( ) ln, B Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες και e e ---

9 Δίνεται η συνάρτηση α f ( ) e, α α Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β Δείξτε ότι η συνάρτηση f έχει ένα μόνο ακρότατο το οποίο είναι μέγιστο γ Αν το μέγιστο της f είναι το e τότε: i να δείξετε ότι α= ii να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f στο δ να βρείτε το a lim ( ) f d a --- Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e α Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β Δείξτε ότι η εξίσωση e έχει μοναδική πραγματική ρίζα, την οποία και να βρείτε γ Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g( ) e και τις ευθείες y και ln --- Δίνεται η συνάρτηση f με α Να υπολογίσετε το όριο α, f ( ) e lim e ln,,, α β Να υπολογίσετε τον α ώστε η f να είναι συνεχής στο διάστημα, γ Για α =, να αποδείξετε ότι: i υπάρχει ένας τουλάχιστον πραγματικός αριθμός ξ, τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Aξ, f (ξ) να είναι παράλληλη προς τον άξονα ii υπάρχει τέτοιο ώστε: e ln --- 3

f α β με Θεωρούμε τη συνάρτηση 3 * α,β α Να βρεθούν τα α,β ώστε το σημείο, να είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f β Για α= και β=3 i Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Nα αποδείξετε ότι ρ ρ 9 f ( ) d f ( ) d 4, όπου ρ ρ,ρ οι θέσεις του τοπικού ελαχίστου και τοπικού μεγίστου της f αντίστοιχα 3 Μία συνάρτηση f : έχει την ιδιότητα f ( y) f ( ) f ( y) 3 y y, για κάθε, y α Να δείξετε ότι f () β Να βρείτε τον τύπο της f συν γ Να υπολογίσετε το lim f ( ) 4 Δίδονται οι συναρτήσεις f και g, δυο φορές παραγωγίσιµες στο και τέτοιες ώστε: f ( ) g( ) για κάθε και f () g() Α Έστω ότι η εξίσωση f ( ) έχει δυο λύσεις ρ ρ ) Να αποδείξετε ότι: α) η εξίσωση ( ) ρ,ρ g έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα β) υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ ρ,ρ τέτοιος ώστε να ισχύει ) Αν g g ξ για κάθε και η C g στρέφει τα κοίλα άνω στο, να αποδείξετε ότι: α) η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο β) η συνάρτηση f έχει ολικό ελάχιστο στο σημείο ξ του ερωτ Α β) Β Έστω ότι η ευθεία y 3 7 είναι ασύμπτωτη της γραφ παράστασης της f το ) Να βρείτε τα όρια: α) g( ) lim g( ) 3 ημ β) lim f ( ) 3 ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία µε εξίσωση y 5 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g στο 4

5 Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα, για την οποία ισχύει: f ( ) e, και lim f ( ) f ( ) e α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση β Δείξτε ότι f ( ) e, g( ) f ( ) e είναι σταθερή στο γ Δείξτε ότι η εξίσωση f ( ) έχει μοναδική ρίζα στο, δ Να δείξετε ότι συνάρτηση h( ) f ( ) 3e,, έχει ένα σημείο καμπής το οποίο και να βρεθεί --- 6 Mια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f ικανοποιεί τη συνθήκη: f() = f() d- f () για κάθε και f() = f e e α) Να δείξετε ότι: β) Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της C f όταν το + γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την C f, την παραπάνω ασύμπτωτη και τις ευθείες = και = --- 7 Έστω α,β και η συνάρτηση f : με τύπο f ( ) α β 4 3 η οποία έχει τρία διαφορετικά τοπικά ακρότατα, για,, 3, με 3 α Να σημειώστε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Το άθροισμα 3 είναι ίσο με: Α α Β α Γ 4α 3 Δ Ε 3α 4 β Να αποδείξετε ότι γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής γ Αν η γραφική παράσταση εφάπτεται σε δύο διαφορετικά σημεία στον άξονα, να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο το μηδέν --- 5

8 Έστω f: συνάρτηση παραγωγίσιμη με σύνολο τιμών και ισχύει : f 3 ()+f()=, () i Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα - κυρτά και σημεία καμπής ii Να βρεθεί η εφαπτομένη ευθεία στο σημείο καμπής της iii Δείξτε ότι η f αντιστρέφεται και να δείξετε ότι f - ()= 3 +, - f () iv Αν g()= 6 βρείτε την ασύμπτωτη της C g στο + και υπολογίστε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την C g την παραπάνω ασύμπτωτη και τις ευθείες = και = e --- 9 Έστω f συνεχής στο [,+ ) με f()=, f() και i) Να δείξετε ότι f 3 f () f(t) dt+ f () =, ii) Αν g() = f() + ln, > δείξτε ότι η C g τέμνει τον σ ένα ακριβώς σημείο iii) Aν < α < β συγκρίνετε τους αριθμούς a, ln 3 --- Έστω οι δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g: [α, β], για τις οποίες ισχύουν: f (α) = f ' (α) = και f " () g() = f () g"() για κάθε [α, β] α) Να αποδείξετε ότι f ' () g() = f () g'() για κάθε [α, β] β) Αν ισχύει g() για κάθε [α,β], να δείξετε ότι ισχύει f()= για κάθε [α,β ] --- Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] 3 = -e f(), α>,για κάθε α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης g()= f ( ) - Δίνεται η συνάρτηση f() = e + 3 +, α) Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να λύσετε την εξίσωση f () = γ) Θεωρώντας ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, να βρείτε την παράγωγο της f στο σημείο -- e

3 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου οι διαστάσεις μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου t Αν το μήκος και το πλάτος αυξάνονται με ρυθμό m/sec, m/sec αντιστοίχως, ενώ το ύψος ελαττώνεται με ρυθμό m/sec, να βρείτε τη χρονική στιγμή t o που το ύψος είναι ίσο με το πλάτος και ίσο με 4m : α) το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού της ολικής επιφάνειας του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου β) το ρυθμό μεταβολής του όγκου του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου 4 Δίνεται η συνάρτηση f() = 5 α +6 β +7 γ με f() 3, για κάθε Αποδείξτε ότι : 5 α 6 β 7 γ = 5 Δίνεται η συνάρτηση f() = 4 4 3 + 5 α, α > α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f() = 6 Έστω η συνάρτηση f τρεις φορές παραγωγίσιμη στο, τέτοια ώστε : f (5) + f () = f (35) + f () α) Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ (, 35) με ξ < ξ τέτοια ώστε f ( ξ ) = f ( ξ ) β) Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(, 35) τέτοιο ώστε f (3) (ξ) = - 7 α) Αν f είναι μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση και η εξίσωση f () = έχει το πολύ ν διακεκριμένες πραγματικές ρίζες (νν), τότε η εξίσωση f() = έχει το πολύ ν+ διακεκριμένες πραγματικές ρίζες β) Να λυθεί η εξίσωση : 4 = + 5 8 α) Έστω f μια συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση στο [α, β] Να δείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει λύση στο (α, β) αν και μόνο αν f(α)f(β) < β) Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 + 5 + λ = έχει λύση στο (-, ) αν και μόνο αν λ(- 4, 4) 9 Μια συνάρτηση g είναι συνεχής στο [,] και ισχύει ότι Δείξτε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε g( )= g( t) dt 7

3 Έστω g παραγωγίσιμη στο με g ()+3g ()=, g() για κάθε και g()= i) Να βρείτε τον τύπο της g ii) Να δείξετε ότι g( ) d 3 Να βρεθούν οι συναρτήσεις f:(,+ ) (,+ ) με f () = e οι οποίες έχουν αρχική τη συνάρτηση g()= f ( ), > ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 3 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [α, β], με f (α) = α και f (β) = β Να αποδείξετε ότι: α) υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f που είναι παράλληλη στην ευθεία y = + 6, β) αν α >, τότε υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, γ) η εξίσωση f (χ) = α + β έχει τουλάχιστον μία λύση στο διάστημα, (α, β), δ) υπάρχουν ξ, ξ με α < ξ < ξ < β τέτοια, ώστε να ισχύει f ( ) f ( ) - 33 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:, για την οποία ισχύει f () >, f () < και f () > Να αποδείξετε ότι: α) υπάρχει τουλάχιστον (, ) τέτοιο, ώστε f ' ( ) =, β) η εξίσωση f ' () + f () = + έχει τουλάχιστον μία λύση στο διάστημα (, ) 34 Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[,] με f()=f '()= και f()= α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) τέτοιο, ώστε f ' ( ) = β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) τέτοιο, ώστε f " ( ) = 8

35 Έστω η συνάρτηση f: [, ], η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [, ], με f () = και f ( l ) = α) Να βρείτε c τέτοιο, ώστε για τη συνάρτηση g() = f ( ) - c ( - )f( ) να ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [, ] β) Να αποδείξετε, για την τιμή του c από το (α) ερώτημα, ότι υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε f " ( ) = - 8f ( ) 36 Να βρεθούν οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f :, με f()=3, οι οποίες έχουν συνεχή παράγωγο και για κάθε ικανοποιούν τη σχέση: f () e f () ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 37 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : [,], με f ( ) = και f () = 4 Να αποδείξετε ότι υπάρχει: α) (, ) τέτοιο, ώστε f ( ) = 3, β) (, ) τέτοιο, ώστε f ( ) = 3, γ) 3 (, ) τέτοιο, ώστε f ( 3 ) = 3 f ( 4) δ) 4 (, ) τέτοιο, ώστε f ( 4 ) = 4 38 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [, ], για την οποία ισχύουν: Να αποδείξετε ότι: f ( )=f(l ) = ( ) και - < f ' () < για κάθε (, ) () α) υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε f ( ) + = β) f( ) - f ( ) < - για κάθε, [, ] με, γ) f () < για κάθε [, ] ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 9

39 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [, + ) με f () =, για την οποία ισχύει f ' () > f () για κάθε [, + ) α) Να αποδείξετε ότι f () e για κάθε [, + ) β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα γ) Να λύσετε στο διάστημα [, + ) την εξίσωση: f(t) dt = f(t) + f(- t) 4 Έστω η συνάρτηση f:, για την οποία ισχύει (f ()) -f() + συν = για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο = β) Να βρείτε το όριο lim f 4 Να βρείτε το όριο της συνάρτησης f() =, για τις διάφορες τιμές του λ(, + ) 3 4 Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:, για την οποία ισχύει f " () + 4f ' () + f () > για κάθε Να αποδείξετε ότι: α) η συνάρτηση g: με τύπο g() = f (χ) στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω στο R, β) η συνάρτηση g του ερωτήματος (α) έχει ελάχιστο, γ) f () > για κάθε 43 Αν η συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο να βρεθεί το όριο: 6f ( h) f ( h) 3f ( 3h) 8f ( h) A lim h 3 h 44 Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g: (, + ), για τις οποίες για κάθε > ισχύουν: g και g f e f και f()= g()= α) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h, με h() = e τύπο της συνάρτησης f e f, > είναι σταθερή και να βρείτε τον f ( ) f ( ) γ) Να βρείτε τα όρια: i) lim ii) lim -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

45 Έστω η συνάρτηση f:, για την οποία ισχύει ( f ( ) ) - (f( ) + χ) για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = f () lim β) Να βρείτε το γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () = 6 έχει λύση στο διάστημα [, ) - 46 Α) Δίνεται η συνάρτηση ln f ( ), > α) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και τα σημεία καμπής, β) Αποδείξτε ότι ( ) γ) Αποδείξτε ότι e π > π e,, για κάθε α>e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f τον άξονα χ χ και τις ευθείες =e και =e - 47 Α) Δίνεται η συνάρτηση h() = ln+,, α) Να αποδείξετε ότι η h αντιστρέφεται και να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln+= έχει μια ακριβώς ρίζα ρ, γ) Να υπολογίσετε τα όρια Β) Έστω η συνάρτηση lim h και lim h f ( ) ln, > α) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο ρ, του Αβ) ερωτήματος e h d β) Να εξετάσετε αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο (,f()) εφάπτεται στη γραφική της g, όπου g() = γ) Να υπολογίσετε το όριο 3 3 6 lim f, όπου ρ, του Αβ) ερωτήματος

48 Δίνεται συνάρτηση f : [α,β] Να αποδείξετε ότι: α) Αν η f έχει τοπικό ελάχιστο στο α και είναι παραγωγίσιμη στο α, τότε f a β) Αν η f έχει τοπικό ελάχιστο στο β και είναι παραγωγίσιμη στο β, τότε f γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [α, β] και f a f, τότε υπάρχει, τέτοιο, ώστε o f δ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [α, β] και f a f, τότε υπάρχει, τέτοιο, ώστε o f -, f e, α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = 49 Έστω η συνάρτηση f : με τύπο β) Να βρείτε την ασύμπτωτη της f στο + και να δείξετε ότι έχει άπειρα σημεία με τη C f γ) Αν g() = e f (), i) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τις γραφικές παραστάσεις των f και g και τις ευθείες = και = π ii) Να αποδείξετε ότι g() + g(-) = ημ, iii) Nα υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I= g d 5 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [-α,α], να δείξετε ότι : i) αν η f είναι περιττή, τότε : ii) αν η f είναι άρτια, τότε : f ()d = f ()d = f ()d 5 iii) να υπολογιστεί το d -5 4 5 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] και ισχύει f ()d =8, να δείξετε ότι υπάρχει ξ(,) τέτοιο, ώστε να είναι f(ξ)=ξ 3 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], να δείξετε ότι υπάρχει ξ[α,β] τέτοιο, ώστε να ισχύει: f ()d + f ()d =α+β-ξ

53 Έστω η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f και η ευθεία που ενώνει τα σημεία Α(α, f (α)) και Β(β, f (β)), <α<β της γραφικής παράστασης της f να διέρχεται από την αρχή των αξόνων Α Να δειχθεί ότι: f i) Ισχύει f ii) Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) με f (), για κάθε, εφαπτομένη της C f οποία περνά από την αρχή των αξόνων και η τότε υπάρχει C f να εφάπτεται μόνο μια φορά σε αυτήν B Αν η f είναι κοίλη στο (-, ] να δειχτεί ότι: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) i) Αν υπάρχει το lim τότε ισχύει ότι: lim lim f ( ) ii) Η συνάρτηση g, < με f()= είναι γνησίως φθίνουσα Γ Αν το σημείο Β(β, f(β)) ανήκει στην εφαπτομένη της C f στο Α(α, f(α)) να δείξετε ότι: i) Για τη συνάρτηση f f a a, a f a ii) Υπάρχει ξ, τέτοιο ώστε: f f f a εφαρμόζεται το Θ Rolle στο διάστημα [α, β] 54 α) Αν f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α, β] και f() g() για κάθε [α, β], να δείξετε ότι f ( ) d g ( ) d β) Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α, β] να δείξετε ότι f ( ) d f ( ) d 5 γ) Αποδείξτε ότι : ( ( e ) ) d δ) Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση φ με συνεχή παράγωγο στο [-α, α],α>, τέτοια ώστε : φ(-α) = 3α, φ(α) = 7α και φ () 4, για κάθε [-α, α] -- 55 Αν f,g είναι δύο συναρτήσεις συνεχείς στο [α,β], να δείξετε ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει: f(ξ) g()d - g( ) f()d -- 3

56 Να βρείτε το: t e dt lim t e dt -- 57 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο β α,β και f ( ) f (α+β ) 3 να αποδείξετε ότι: f ( ) d β α f f (α)+ f (β) α α+β β α για κάθε α,β, -- 58 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν: α Να δείξετε ότι f ( ) για κάθε f ( ) f ( ), για κάθε και f () β Να δείξετε ότι η συνάρτηση g( ) f ( ), είναι σταθερή f ( ) γ Να δείξετε ότι f ( ), δ Να λύσετε την εξίσωση: f (3 ) f (8 ) f (5 ) f ( ) ε Αν F( ) f ( t) dt να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη C F και τους άξονες και y y --- 5 9 Έστω η συνεχής στο συνάρτηση f και η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση g για τις οποίες ισχύουν: ( f f f )()= και ( f f )() =g (), για κάθε Αν η C g διέρχεται από τα σημεία Α(, 3) και Β(, 9 ), να δείξετε ότι : α) f ( g ( )) d = 3 β) ( f f f )( t) dt = ( η f εμφανίζεται στο ολοκλήρωμα 5 φορές ) --- t z 6 Δίνεται η συνεχής στο συνάρτηση f και η συνάρτηση: g() = ( α) Να βρείτε τις g, g, g (3) g( ) β) Να βρείτε το όριο : lim ( ) 3 αν είναι γνωστό ότι f() = 5 ( f ( u ) du ) dz ) dt γ) Αν για κάθε είναι f (), να δείξετε ότι η g είναι γνησίως μονότονη - 4