50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé 3çò ãùíßáò, áí êáé ìüíï áí ç ôåôìçìýíç ôïõ åíüò éóïýôáé ìå ôçí ôåôáãìýíç ôïõ Üëëïõ êáé áíôßóôñïöá. ÄçëáäÞ á = â êáé â = á. Èåùñßá Θεωρία 7. Áí A(xy) êáé B(xy ) åßíáé äýï óçìåßá óå Ýíá ïñèïêáíïíéêü óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí. Íá õðïëïãßóåôå ôçí áðüóôáóç (ÁÂ) ôùí óçìåßùí Á, Â ìå ôç âïþèåéá ôùí óõíôåôáãìýíùí ôïõò. Ëýóç: óôù üôé ôï åõèýãñáììï ôìþìá ÁÂ äåí åßíáé ðáñüëëçëï óôïõò Üîïíåò. Óôï ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÊ åöáñìüæïõìå ôï ðõèáãüñåéï èåþñçìá êáé Ý ïõìå: (ÁÂ) =(ÁÊ) + (ÂÊ) () üìùò: ( ΑΚ ) = ( Γ ) = x - x () (BK) (EZ) = = y - y (3) ñá: () () ( (3) ΑΒ) = x - x + y y ( x x ) + ( y ) ( ΑΒ) = (4) y
Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα ο 5. Èåùñßá Θεωρία 78. óôù ïé åõèåßåò å : y = áx + â, å : y = á x + â. Íá áðïäåßîåôå üôé: á) å //å á = á â) å á á = å ÁðÜíôçóç: á) å //å ù = ù åöù = åöù á = á â) Áò èåùñþóïõìå äõï êüèåôåò åõèåßåò å êáé å ìå å- îéóþóåéò y = á x êáé y = áx áíôßóôïé á. Ðñïöáíþò ôï óçìåßï A(,á ) áíþêåé óôçí åõèåßá y = áx êáé Â(,á) áíþêåé óôçí åõèåßá y = áx. Áöïý ïé åõèåßåò åßíáé êüèåôåò, ôï ôñßãùíï ÏÁ åßíáé ïñèïãþíéï åðïìýíùò, óýìöùíá ìå ôï ðõèáãüñåéï èåþñçìá, Ý ïõìå: (ÏÁ) + (ÏÂ) = (ÁÂ) á + + á + = = (á á ) + ( ) á + + á + = = á + á á á = á á á á = Áðü ôçí áðüäåéîç ãßíåôáé öáíåñü üôé éó ýåé êáé ôï áíôßóôñïöï. ÄçëáäÞ, áí á á = -, ôüôå ïé åõèåßåò y = áx êáé y = áx åßíáé êüèåôåò. Ãåíéêüôåñá, åðåéäþ ïé åõèåßåò y = áx + â êáé y = áx + â åßíáé ðáñüëëçëåò ðñïò ôéò y = áx êáé y = áx áíôéóôïß ùò, óõìðåñáßíïõìå üôé : Äõï åõèåßåò y = áx + â êáé y = áx + â åßíáé êüèåôåò áí êáé ìüíï áí éó ýåé á - á =
Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο 53. ÂÞìá 3 ÂÞìá ÂÞìá Ëýíïõìå ðåñéóóüôåñåò áóêþóåéò. ίνεται η συνάρτηση f ( x) = x+ α µε x R. i. Αν η τιµή της f για x= είναι διπλάσια της τιµής της f για x= ελαττούµενης κατά 7, βρείτε το α. ii. Λύστε (µε άγνωστο το y) την ανίσωση: f( 3) y f() + 5> 0. iii. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. i. Ισχύει: f () = f () 7 + α= (4+ α) 7 + α = 8+ α 7 = α Οπότε: f (x) = x +, µε x R ii. f( 3) y f() + 5> 0 5 y 3 + 5 > 0 5y 3> 5 y 3 < 3 3< y 3< 3 0 < y < 6 0< y< 3 iii. Η γραφική παράσταση της f είναι ευθεία µε εξίσωση y = x+ η οποία τέµνει τον άξονα xx : στο Α(0,) και τον yy στο B,0. ίνεται η συνάρτηση: f (x) = i. Βρείτε το πεδίο ορισµού της. 3 x 6 6 x + f(3) + f( ) ii. είξτε ότι: = 0 iii. Βρείτε τα σηµεία Α, Β στα οποία η γραφική παράσταση C f της f τέµνει
54. Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις τους άξονες x x και y y αντίστοιχα, καθώς και την απόσταση (ΑΒ). iv. Βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που ορίζουν τα σηµεία Α, Β. i. Λύνουµε την ανισότητα: 6 x > 0 x > 6 x < 3 3< x < 3 < x< 4 Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι το (,4) ii. Ισχύουν: Οπότε: 3 3 6 38 f(3) = = 6 4 + + και 3 ( ) 6 8 f( ) = = 6 4 + + ( ) ( )( ) 0 0 f(3) + f( ) = = = 0 + + ( ) ( ) Άρα: f(3) + f( ) 0 = 0 0 = iii. Για τον άξονα y y: Βρίσκουµε το f(0) = 6 6 6 =, άρα η C f τέµνει τον y y στο B 0, 4 + 3 3. Για τον άξονα x x: Λύνουµε την εξίσωση: f(x) = 0 x 3 6 = 0 x 3 = 8 x = 3 8 = Άρα η C f τέµνει τον x x στο Α(,0). Οπότε: 6 56 9 (AB) = ( 0) + 0 = 4+ = 3 9 3 iv. Έστω y = αx+ β η εξίσωση της ευθείας (ε) που ορίζουν τα Α,Β τότε: 6 6 Β 0, (ε) = β, 3 3 6 8 Α(, 0) (ε) 0 = α + β α = α = 3 3
Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο 55. Άρα η εξίσωση της ε είναι η 8 6 y = x. 3 3 3. ίνεται το σηµείο M( 6α 5α, α) +. i. Αν ξέρετε ότι ανήκει στον άξονα y y βρείτε το α R. ii. Για την µεγαλύτερη τιµή που βρήκατε για το α, βρείτε το β R, αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x 4x + 4 + β µε x R τέµνει τον y y στο Μ. iii. Βρείτε τα κοινά σηµεία Α, Β, της γραφικής παράστασης της f µε τον άξονα x x. i. Το M( 6α 5α,α) + ανήκει στον άξονα y y, αν και µόνον αν, ii. Για ( 5) ± 5± 6α 5α+ = 0 α= α= α= ή α= 6 3 α = έχουµε Μ(0,) το οποίο ανήκει στην γραφική παράσταση της f, οπότε: f (0) = 4 + β= + β= β= Άρα: f(x) = x 4x+ 4 ή f(x) = (x ) ή f(x) = x, µε x R iii. Λύνουµε την εξίσωση: f(x) = 0 x = 0 x = x = ή x = x = 3 ή x = Άρα τα κοινά σηµεία της C µε τον άξονα x x είναι τα Α(3,0) και Β(,0). f 4. ίνονται οι ευθείες (ε): y = λ x + 3λ (δ): y = 3x + i. Βρείτε για ποιες τιµές του λ R οι ευθείες ε, δ είναι παράλληλες. ii. Για την µεγαλύτερη τιµή που βρήκατε για το λ βρείτε το σηµείο τοµής
56. Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις των ευθείων (ε) και (ζ): y = x+ 5 το οποίο να ονοµάσετε Α. iii. Αν το Α ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x µx + µ µε x R, βρείτε το µ R. iv. Για την µικρότερη τιµή που βρήκατε για το µ βρείτε την απόσταση (ΑΒ) µε Β το κοινό σηµείο της γραφικής παράστασης της f και του άξονα y y. i. ε δ λ = 3 λ = 3 ή λ = 3 λ= 4 ή λ= λ= ή λ= ii. Εφόσον λ = η εξίσωση της (ε) γράφεται y = 3x+ 6 οπότε λύνουµε την έξισωση: 3x + 6 = x + 5 x = άρα y = 3 οπότε το κοινό σηµείο των (ε), (ζ) είναι το A(,3). iii. Το A(,3) ανήκει στην γραφική παράσταση της f άρα: iv. Εφόσον µ = έχουµε τον y y στο B(0, ) f ( ) 3 µ µ 3 µ µ 0 = + + = + = ± 9 ± 3 µ = µ = µ = ή µ = f(x) = x 4x οπότε f(0) =. Άρα η C τέµνει f, οπότε ( ) (AB) = ( 0) + 3 ( ) = 6. 5. i. ίνονται τα σηµεία A(,) και B(,). Βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από αυτά. ii. ίνεται τώρα και η ευθεία ( ) (δ): y = λ + 3λ 6 x + λ + πως είναι κάθετη µε την (ε) βρείτε το λ R. iii. Για την µεγαλύτερη τιµή που βρήκατε για το λ βρείτε το κοινό σηµείο των (ε), (δ) iv. Στο ίδιο σύστηµα αξόνων σχεδιάστε τις (ε), (δ). i. Έστω y = αx+ β η εξίσωση της ευθείας (ε) τότε το Α(,) (ε) = α + β, Β(,) (ε) = α + β.
Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο 57. Λύνουµε το σύστηµα: 3 β = α+ β= β= 3 α+ β= α= β α = Άρα η εξίσωση της (ε) είναι η 3 y = x+. ii. Ισχύει ε δ άρα: ( ) λ + 3λ 6 = λ + 3λ 6= 3± 5 λ + 3λ 4= 0 λ= λ = ή λ = 4 iii. Αν λ = η εξίσωση της (δ) γράφεται y = x+ 3 οπότε λύνουµε την εξίσωση: 3 3 9 x + 3 = x + 4x + 6 = x + 3 5x = 3 x =. Tότε y = 5 5 Άρα το κοινό σηµείο των ε, δ είναι το 3 9 K, 5 5. y å A B x x - 0 y 6. ίνεται η συνάρτηση f(x) = x x+ + x + 4x+ 4 µε x R i. Γράψτε τον τύπο της f σε πολλαπλή µορφή. ii. Κάντε τη γραφική της παράσταση. i. Είναι: f(x) = (x ) + (x + ) f(x) = x + x+ Από τον ορισµό της απόλυτης τιµής έχουµε: x, αν x 0 x x = x +, αν x 0 x
58. Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις x+, αν x + 0 x x+ = x,αν x + 0 x Από τα παραπάνω σχηµατίζουµε το επόµενο πίνακα: x + x x+ f(x) x+ x+ x x x+ x+ x+ x = x x+ + x+ = 3 x + x+ = x + x αν x Οπότε f(x) = 3 αν x x + αν x ii. Η γραφική παράσταση f αποτελείται από:. Την ηµιευθεία µε εξίσωση y = x, αν x µε αρχή το A(,3), ενώ περνάει και από το σηµείο B( 3,5).. Το ευθύγραµµο τµήµα µε εξίσωση y = 3, αν x που έχει άκρα τα A(,3) και Γ (,3). 3. Την ηµιευθεία µε εξίσωση y = x+, αν x που έχει αρχή το Γ(,3). 3 x + x 6 7. ίνονται η συνάρτηση f(x) = x + x+ και η ευθεία (ε): y = x 3 i. Βρείτε το πεδίο ορισµού της f ii. Βρείτε τα κοινά σηµεία της (ε) και της γραφικής παράστασης της f έστω Cf iii. Βρείτε την εξίσωση της ευθείας (δ) που τέµνει κάθετα την (ε) στο κοινό σηµείο της µε την C το οποίο έχει την µεγαλύτερη τετµηµένη. f i. Επειδή η εξίσωση x + x+ = 0 έχει διακρίνουσα = 36< 0 είναι αδύνατη, οπότε το πεδίο ορισµού της f είναι το R.
Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο 59. ii. Λύνουµε την εξίσωση: 3 x x 6 + = x 3 x + x+ 3 x + x 6 = (x 3)(x + x + ) 3 3 x + x 6 = x + x + x 3x 3x 3 ± 6 x + x 3= 0 x = ± 4 x = x = ή x = 3, Άρα τα κοινά σηµεία της ευθείας (ε) µε την C f είναι τα: Α(, ) και Β( 3,9). iii. Έστω y = αx+ β η εξίσωση της δ τότε: ε δ α= α= Το A(, ) ανήκει στην (δ) άρα Άρα η εξίσωση της (δ) είναι η = α+ β β= α= y = x 8. ίνονται τα σηµεία A(,3), B(, 3) και Γ(λ, 5) i. Βρείτε το λ R αν τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. ii. Βρείτε σηµείο Μ του άξονα x x το οποίο να ισαπέχει από τα Α, Γ. i. Έστω y = αx+ β η εξίσωση της ευθείας (ε) που ορίζουν τα Α,Β τότε: A(,3) (ε) 3 = α + β Β(, 3) (ε) 3 = α + β Λύνουµε το σύστηµα: α+ β= 3 α+ β= 6 β= α+ β= 3 α+ β= 3 α= Άρα η εξίσωση της (ε) είναι η y= x+. Τα Α,Β,Γ είναι συνευθειακά αν και µόνο αν το Γ(λ,5) ανήκει στην (ε): ηλαδή 5 = (λ ) + 4= λ 6= λ λ= 3, άρα Γ(,5)
60. Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις ii. Έστω Μ(α,0) σηµείο του άξονα x x ώστε: (ΜΑ) = (ΜΓ) (α ) + ( 3) = (α ) + ( 5) (α ) + 9 = (α ) + 5 α α + + 9 = α 4α + 4 + 5 9 9 α= 9 α= άρα Μ,0 9. ίνεται η εξίσωση x x = 0 που έχει ρίζες τους αριθµούς ρ, ρ καθώς και οι ευθείες ε : y = ( ρ + ρ ) x+ 0 και ( ) ε :y = (α ) + α x+ 6 i. Αν οι ε, ε είναι παράλληλες, βρείτε το α R. ii. Βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζει η ε µε τους άξονες. i. Ισχύουν ρ + ρ = = και ρρ = ρ + ρ = ρ + ρ ρρ = ( ) = 4+ = 6 Oπότε: ( ) Άρα y = 6x + 0 y = 3x + 0 είναι η εξίσωση της ε. Οπότε ε ε (α ) + α = 3 α + α 3= 0 Θέτουµε y = α και η εξίσωση γίνεται Είναι: y + y 3= 0 ± 6 ± 4 y + y 3= 0 y = y = y = ή y = 3 Άρα α = ή α = 3, που είναι αδύνατη α = α = ή α = α = ή α = 0 ii. Η εξίσωση της ε είναι η y = 3x+ 6 και αν x = 0 y= 6, δηλαδή τέµνει τον y y στο Α(0,6) αν y= 0 x =, δηλαδή τέµνει τον x x στο Β(-,0) Οπότε, E (OAB) = (OB)(OA) E(OAB) = 6 = 6τ.µ.
Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο 6. 0. ίνονται οι ευθείες ε : y (λ )x λ x y x+ y = +, ε : = 3 Βρείτε: i. Τους συντελεστές διεύθυνσης των ε, ε. ii. Το λ ώστε ε ε. iii. Το λ ώστε ε ε. iv. Το λ ώστε ε xx. v. Το λ ώστε η ε να περνάει από την αρχή των αξόνων. 7 vi. Το µ αν το σηµείο Μ µ 3, 5 ανήκει στην ε. vii. Τα σηµεία που η ε τέµνει τους άξονες. viii. Το κοινό σηµείο των ε, ε όταν τέµνονται κάθετα. i. Η εξίσωση της ε γράφεται α λ = Η εξίσωση της ε γράφεται ισοδύναµα: λ λ y = x+ άρα έχει συντελεστή διεύθυνσης x y x+ y = 3(x y) (x + y) = 6 3x 3y x y = 6 3 6 5y = x + 6 y = x 5 5 Άρα έχει συντελεστή διεύθυνσης α =. 5 λ λ ii. ε ε = = λ = 0 λ= 9 5 0 λ 7 iii. ε ε = 5λ 5 = 5λ = 7 λ = 5 5 λ iv. ε xx α = 0 = 0 λ = 0 λ= v. Η ε περνάει από το Ο(0,0) άρα λ λ λ 0 = 0+ = 0 λ= 0
6. Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 7 7 6 = 5 5 5 5 7= µ 3 6 µ = µ = vi. Το Μ µ 3, ε ( µ 3) 6 6 vii. Αν x = 0 y= η ε τέµνει τον y y στο Α 0, 5 5 Αν y= 0 x = 6 η ε τέµνει τον x x στο Β(6,0) viii. Οι ε,ε τέµνονται κάθετα όταν λ = 9 άρα η ε γράφεται 9 y = 5x οπό- τε λύνουµε την εξίσωση: Τότε 69 y =, άρα 5 6 9 x = 5x 5 5 x = 50x 45 5x = 33 33 x = 5 33 69 K, το κοινό τους σηµείο. 5 5. Βρείτε τον τύπο της συνάρτησης µε την διπλανή γραφική παράσταση.. Έστω y = αx+ β µε x η εξίσωση της ηµιευθείας Aρ α = εφ45 = το Α(,) ανήκει στην A ρ οπότε = α+ β β = 3 άρα η εξίσωση της Aρ είναι y = x+ 3 µε x.. Το τµήµα ΑΒ έχει εξίσωση y=, µε x 3. Έστω y = αx+ β µε x η εξίσωση της ηµιευθείας Βσ το το Β(,) Βσ = α + β Γ(3,0) Βσ 0 = 3α + β α+ β= α β= α= Λύνουµε το σύστηµα: 3α+ β= 0 3α+ β= 0 β= α= 6
Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο 63. Άρα y = x+ 6, µε x Οπότε x+ 3, αν x y= f(x) =, αν x x + 6, αν x η ζητούµενη συνάρτηση.. ίνεται η συνάρτηση f µε: αx + 3, αν x < = = γ, αν x > x y f(x) βx, αν x Αν τα σηµεία Α( 3,0), Β(,) και Γ(4,) ανήκουν στην γραφική παράσταση της f βρείτε τα α,β,γ R και µετά παραστήστε την γραφικά. Το Α( 3,0) Cf f ( 3) = 0 3α + = 0 α = 4 Το Το Άρα Β(,) Cf f () = β = γ Γ(4,) Cf f (4) = = γ = 8 4 4x +, αν x < = 8,αν x > x f (x) x, αν x Η γραφική παράσταση της f αποτελείται από: (I) την ηµιευθεία µε εξίσωση y= 4x+, µε x < στην οποία δεν ανήκει η αρχή της (,4) ενώ περνάει από το σηµείο Α( 3,0) (II) το τόξο της παραβολής µε εξίσωση τα σηµεία (,4) και Ε(,4). y = x αν x που έχει άκρα 8 (ΙΙΙ) το τόξο της υπερβολής µε εξίσωση y =, µε x > που έχει άκρο το σηx µείο Ε(,4) το οποίο βέβαια δεν ανήκει στο τόξο.
64. Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá ÂÞìá Ëýíïõìå ìüíïé ìáò. ίνεται η συνάρτηση f(x) = x x+ + x + 4x+ 4 µε x R i. Βρείτε τον τύπο της f χωρίς απόλυτα ii. Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση.
Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 65. 3 x + x 6. ίνονται η συνάρτηση f(x) = x + x+ και η ευθεία (ε): y = x 3 i. Βρείτε το πεδίο ορισµού της f ii. Βρείτε τα κοινά σηµεία της (ε) και της γραφικής παράστασης της f έστω Cf iii. Βρείτε την εξίσωση της ευθείας (δ) που τέµνει κάθετα την (ε) στο κοινό σηµείο της µε την C το οποίο έχει την µεγαλύτερη τετµηµένη. f 3. ίνονται τα σηµεία A(,3), B(, 3) και Γ(λ, 5) i. Βρείτε το λ R αν τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. ii. Βρείτε σηµείο Μ του άξονα x x το οποίο να ισαπέχει από τα Α, Γ.
66. Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 4. Να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση f(x) = x + + x
Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 67. 5. Ένα κινητό κ ξεκινά απ το σηµείο Α(-,-) ενώ ένα άλλο κινητό κ απ το σηµείο Β(-,-) όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. α) Να βρείτε την απόσταση των κ, κ προτού ξεκινήσουν. β) Τις εξισώσεις των τροχιών των κ, κ γ) Σε ποιο σηµείο διασταυρώνονται οι τροχιές των κινητών κ, κ ;
68. Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 6. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση: f(x) = ( λ ) x
Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5 ο 69. ÂÞìá 5 ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá ÂÞìá ÅëÝã ïõìå ôç ãíþóç ìáò ΘΕΜΑ ο Α..Να βρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: i) f(x) = x + ii) f(x) = 4 - x x iii) f(x) = x x x ΘΕΜΑ ο Β.. Να βρείτε το συµµετρικό του Α(, 3) i) ως προς τον άξονα x x ii) ως προς τον άξονα y y
70. Βήµα 5 ο Ελέγχουµε τη γνώση µας ΘΕΜΑ 3 ο Να βρεθούν οι τιµές του λ R ώστε οι ευθείες: i) :y = λ - x + και ε : y = x 3 να είναι παράλληλες ε + ii) :y λx 3 και ε : y ( λ ) x 7 ε 3 = + 4 = + να είναι κάθετες ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται η ευθεία ε:y = (λ + λ)x + λ -. Να βρεθούν οι τιµές του λ R ώστε: i) η ε να διέρχεται απ την αρχή των αξόνων ii) η ε να είναι παράλληλη στον άξονα x x. iii) η ε να είναι κάθετη στην ε : y - x = 00.