ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Τρόποι ολοκλήρωσης-θεµελειώδες θεώρηµα Θέµα lnx+, x > x ίνεται η συνάρτηση f(x) =. Να αποδειχθεί ότι η f είναι x, x x + ολοκληρώσιµη στο διάστηµα [,] και να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα I = f(x)dx. Μαύρος Γιάννης Σελίδα από
Θέµα Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα: 4 (i) xψωdω dψ dx (iii) 5 4 (ii) ( 6x+ ) ln x (ψ + )e dx dψ (iv) x ψ ψ dψ dx (6x+ 5ψ+ ω)dω dψ dx. Μαύρος Γιάννης Σελίδα από
Θέµα Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα: ln xdx x (i) (x+ )e dx (ii) (iii) π x συνxdx (iv) e x lnxdx. Μαύρος Γιάννης Σελίδα από
Θέµα 4 Σε καθεµία από τις παρακάτω ερωτήσεις να σηµειώσετε τη σωστή απάντηση, αιτιολογώντας την επιλογή σας..αν f (x) = x+, το ολοκλήρωµα f (x)df (x) είναι ίσο µε Α. Β. Γ.. 5 Ε. 6.. Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f : R R, το x f (x) x f (x) ολοκλήρωµα dx είναι ίσο µε f (x) Α. Β. Γ.. Ε. 5.. Αν α> και (α+ x) dx = 7, τότε το α είναι ίσο µε α α Α. 7 Β. 8 Γ. 9. Ε.. 4. Το ολοκλήρωµα Α. l n Β. dx είναι ίσο µε x + x 4 l n Γ. 5 l n. l n Ε. l n4. Μαύρος Γιάννης Σελίδα 4 από
Θέµα 5 Η συνάρτηση f : R (i) Αν [ ] R έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο. f(x) + xf (x) dx= 6, να βρεθεί η τιµή f (). π f(x) + f (x) συνxdx= και (ii) Αν [ ] εφαπτοµένης της C στο σηµείο ( ) f π f =, να βρεθεί η κλίση της M,f (). Μαύρος Γιάννης Σελίδα 5 από
Θέµα 6 (i) Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα: (iv) 5 x(x + ) dx (ii) π συν xηµxdx (v) 6 (x ) (x+ ) dx e + (iii) dx (vi) xln x e 4 x x + 8 dx x dx. + x Μαύρος Γιάννης Σελίδα 6 από
Θέµα 7 i) Να βρεθούν οι α,β,γ R ώστε: α β γ = + + x(x ) x x (x ) (ii) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα: 4 4, x,. x x x + x + I= dx. x x + x Μαύρος Γιάννης Σελίδα 7 από
Θέµα 8 (i) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,5], να αποδειχθεί ότι: (ii) Αν α,β>, να αποδειχθεί ότι: 5 5 f(5 x)dx= f(x)dx. 5 5 α β β α x (5 x) dx= x (5 x) dx. Μαύρος Γιάννης Σελίδα 8 από
Θέµα 9 Σε καθεµία από τις παρακάτω ερωτήσεις να σηµειώσετε τη σωστή απάντηση, αιτιολογώντας την επιλογή σας..το ολοκλήρωµα Α..Αν Β. Γ. α x β dx = x dx είναι ίσο µε x + x α x dx β x dx. Ε. 7 4., β τότε η διαφορά α β είναι: Α. Β. Γ.. Ε...Το ολοκλήρωµα x dx είναι ίσο µε x + Α. 4 Β. 7 Γ.. Ε. 4. 4. Το ολοκλήρωµα Α. 5ln 9ln 4 x + 4x+ 4 dx είναι ίσο µε x x+ + Β. ln+ ln Γ. ln ln. 5ln 9ln Ε.. 5. Το ολοκλήρωµα Α. Β. π π ηµx+ συνx dx συνx+ είναι ίσο µε Γ. l n. π n l Ε. π +l n. 4 ln8 ψ d x 6. Το ολοκλήρωµα e dx dψ dψ είναι ίσο µε 6 Α. Β. Γ.. Ε. +. ln t e 7. Το ολοκλήρωµα dx είναι ίσο µε t t e + e + Α. 9 l n Β. Γ. 8 8. Το ολοκλήρωµα 4 l n 5. l n 4 4x(x+ ) dx είναι ίσο µε Ε. l n. Α. 875 Β. 95 Γ. 955. 985 Ε. 99. Μαύρος Γιάννης Σελίδα 9 από
Θέµα Να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα. (i) (iv) π 4ηµ x dx (ii) + συνx e nx n( nx) l l l dx x 4 π 5 x l n dx x (v) ηµ xdx e (iii) e x + lnx (vi) ( ) e e dx ηµ l nx dx. \ Μαύρος Γιάννης Σελίδα από
Θέµα (x ) ίνεται η συνάρτηση f (x) =, x (, + ). x (i) Να δείξετε ότι f (x) = x 4+. x (ii) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα 4 I= f (x)dx. Μαύρος Γιάννης Σελίδα από
Θέµα Να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα. x (i) I= dx (ii) I= dx x + x 4x 4 x(x ) x (iii) I= dx x+ + x+. Μαύρος Γιάννης Σελίδα από
Θέµα Έστω π ηµx I= dx και ηµx+ συνx (i) Να δείξετε ότι I= J (ii) Να υπολογίσετε τα I και J. π συνx J= dx. ηµx+ συνx Μαύρος Γιάννης Σελίδα από
Θέµα 4 (i) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] και για κάθε x [α,β] ισχύει f (x) = f (α+ β x).να δείξετε ότι β α+ β xf (x)dx= f (x)dx. α (ii) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα I β α π xηµxσυν xdx =. Μαύρος Γιάννης Σελίδα 4 από
Θέµα 5 Έστω f συνάρτηση συνεχής στο R, να δείξετε ότι: (i) α f ( x)dx= f (x)dx. α (ii) Αν α α αf (x) + βf ( x) = xe x µε α+ β τότε f (x)dx=. e(α+ β) Μαύρος Γιάννης Σελίδα 5 από
Θέµα 6 H συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] µε f (x) > για κάθε x [,]. Να δείξετε ότι f (x) dx=. f (x) + f ( x) Μαύρος Γιάννης Σελίδα 6 από
Θέµα 7 (i) Να δείξετε ότι α α ν ν x (α x) dx= x (α x) dx. (ii) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα Ι= x ( x) dx. Μαύρος Γιάννης Σελίδα 7 από
Θέµα 8 e Αν ( ) ν ν = l, ν N Ι x nx dx Κατόπιν να υπολογίσετε το I. να δείξετε ότι για κάθε Ι + νι = e ν ν * ν N ισχύει: Μαύρος Γιάννης Σελίδα 8 από
Θέµα 9 Να δείξετε ότι π π π ( ηµx+ συνψ) dt dψ dx= π. Μαύρος Γιάννης Σελίδα 9 από
Θέµα (i) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα (ii) Να βρείτε το όριο E (t) lim. t l nt t + t E(t) = (x ) l nxdx, για κάθε t>. Μαύρος Γιάννης Σελίδα από
Θέµα t (i) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα = ( ) (ii) Να υπολογίσετε το όριο L= lim I(x). x I(x) e t t dt. x Μαύρος Γιάννης Σελίδα από