Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () = κ. Σ Λ. * Αν = x + (y - ) i και Ιm () = 0, τότε y =. Σ Λ 5. * Αν, C με Re ( + ) = 0, τότε Re ( ) + Re ( ) = 0. Σ Λ 6. * Οι εικόνες των φανταστικών αριθμών στο μιγαδικό είεδο βρίσκονται άνω στον άξονα y y. Σ Λ 7. * Αν i = - τότε i 00 = i. Σ Λ 8. * Οι εικόνες των αντίθετων μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό είεδο είναι σημεία συμμετρικά ως ρος τον άξονα x x. Σ Λ 9. * Για κάθε μιγαδικό αριθμό 0 ορίζεται =. Σ Λ 0. * Αν Μ, Μ είναι οι εικόνες των μιγαδικών και αντιστοίχως στο μιγαδικό είεδο και ο άξονας x x είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος Μ Μ, τότε είναι =. * Αν = α + βi, C, και + = α, τότε =. * Αν Re () = τότε οι εικόνες των μιγαδικών στο μιγαδικό. Σ Λ. Σ Λ είεδο βρίσκονται άνω στην ευθεία x =. Σ Λ. * Αν Ιm ( + i) = 8 τότε οι εικόνες των μιγαδικών στο μιγαδικό είεδο βρίσκονται στην ευθεία y = 8. Σ Λ. * Η εξίσωση x - x + λ = 0, λ R, μορεί να έχει ρίζες τους μιγαδικούς + i και - i. Σ Λ 5. * Αν η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, α, β, γ R έχει ρίζα τον + i θα έχει και τον 5 i. Σ Λ 6. * Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α, β, γ, R * έχει άντοτε λύση στο C. Σ Λ 59
7. * Αν Re ( ) = 0 τότε ισχύει άντα Re ( ) Re ( ) = 0. Σ Λ 8. * Για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει - =. Σ Λ 9. * Για κάθε, C ισχύει = +. Σ Λ 0. * Η εξίσωση - = -, C, αριστάνει στο μιγαδικό είεδο τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος ου έχει άκρα τα σημεία Α ( ) και B ( ). Σ Λ. * Η εξίσωση - = - με άγνωστο το C και, C έχει μόνο μια λύση. Σ Λ. * Η εξίσωση - 0 = ρ, ρ > 0 αριστάνει στο μιγαδικό είεδο κύκλο με κέντρο Κ ( 0 ) και ακτίνα ρ. Σ Λ. * Για το μιγαδικό αριθμό = (συν () + iημ ()) ισχύει Αrg () =. Σ Λ. * Αν = (συν 9 + iημ ) τότε ένα όρισμα του είναι το. Σ Λ 5. * Αν ένας μιγαδικός αριθμός ολλαλασιαστεί εί i τότε η διανυσματική του ακτίνα στρέφεται κατά γωνία 6. * Η ολική μορφή του μιγαδικού αριθμού = α + βi είναι. Σ Λ = ρ (συνθ + iημθ), όου ρ = και θ ένα όρισμά του. Σ Λ 7. * Για τους μιγαδικούς αριθμούς = ρ (συνθ + iημθ ), ρ > 0 και = ρ (συνθ + iημθ ), ρ > 0 ισχύει = ρ ρ (συν (θ θ ) + ημ (θ θ )). Σ Λ 8. * Αν τα ορίσματα δύο μιγαδικών διαφέρουν κατά κ, κ Ζ, τότε οι εικόνες τους στο μιγαδικό είεδο και η αρχή των α- ξόνων βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Σ Λ 9. * Το θεώρημα De Moivre ισχύει και για εκθέτη αρνητικό ακέραιο αριθμό. Σ Λ 60
0. * Ισχύει (συν + iημ) 5 = + i. Σ Λ. * Η εξίσωση 5 = έχει έντε ρίζες, των οοίων οι εικόνες στο μιγαδικό είεδο βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο το Ο (αρχή των αξόνων) και ακτίνα. Σ Λ. * Η εξίσωση + i = 0 έχει μοναδική ρίζα τον 0 = i. Σ Λ. * Οι εξισώσεις x ν = και x μ =, ν, μ Ν * έχουν τουλάχιστον μια κοινή ρίζα. Σ Λ. * Οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης ν = α, α 0 και ν Ν *, στο μιγαδικό είεδο είναι κορυφές κανονικού ν-γώνου. Σ Λ 5. * Αν η εξίσωση αx + βx + γx + δ = 0, α 0, έχει ραγματικούς συντελεστές, τότε αυτή έχει οωσδήοτε μια ραγματική ρίζα. Σ Λ 6. * Υάρχει εξίσωση με ραγματικούς συντελεστές ου βαθμού ου έχει ρίζες τους αριθμούς, + i, + i. Σ Λ 7. * Δύο ορίσματα ενός μιγαδικού αριθμού διαφέρουν κατά γωνία κ με κ Ζ. Σ Λ 8. * Στο μιγαδικό είεδο η εικόνα του μιγαδικού αριθμού + i είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου =. Σ Λ 9. * Όλα τα σημεία της ευθείας y = x στο μιγαδικό είεδο είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών = α + αi με α R. Σ Λ y 0. * Στο μιγαδικό είεδο του διλανού σχήματος η εξίσωση του κύκλου είναι - =. 0 6 x Σ Λ 6
. * Οι μιγαδικοί αριθμοί ου ικανοοιούν τη σχέση y Arg () - < έχουν εικό- νες στο μιγαδικό είεδο ου αεικονίζονται στο γραμμοσκιασμένο τμήμα του διλανού σχήματος. 0 x Σ Λ Ερωτήσεις ολλαλής ειλογής. * Η ισότητα x + (y - ) i = + i ισχύει αν και μόνο αν Α. x = ή y = 5 Β. x = και y = Γ. x = ή y = Δ. x = και y = 5 Ε. x + y = 7. * Αν i = - και είναι (i ) κ =, τότε η μικρότερη τιμή του θετικού ακεραίου κ Α. Β. Γ. 6 Δ. Ε. 5. * Η εικόνα κάθε φανταστικού αριθμού στο μιγαδικό είεδο βρίσκεται άνω στην ευθεία με εξίσωση Α. y = x Β. y = - x Γ. y = 0 Δ. x = 0 Ε. σε καμία αό τις ροηγούμενες.. * Οι εικόνες των μιγαδικών + i και + i στο μιγαδικό είεδο έχουν άξονα συμμετρίας την ευθεία Α. x = Β. y = Γ. y = x Δ. y = - x Ε. x = 0 6
5. * Αν η διανυσματική ακτίνα του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό είεδο έχει φορέα τη διχοτόμο της ης και ης γωνίας των αξόνων του μιγαδικού ειέδου, τότε ο μορεί να είναι ο Α. + i Β. - + i Γ. + i Δ. - - i Ε. - - i 6. * Αν η εικόνα του μιγαδικού στο μιγαδικό είεδο είναι σημείο της ευθείας x + y - = 0, τότε ο δεν μορεί να είναι ο Α. i Β. - i Γ. 5 - i Δ. i Ε. + 7. * Αν η εικόνα του μιγαδικού w = (x + ) + (y - ) i, x, y R, στο μιγαδικό είεδο είναι η αρχή των αξόνων, τότε ο = x + yi ισούται με Α. - i Β. + i Γ. - - i Δ. - + i E. + i 8. * Αν ν Ν, αό τις αρακάτω ισότητες δεν είναι σωστή η Α. i ν = Β. i ν+ = - i Γ. i ν+ = - Δ. i ν+ = i ν Ε. i ν+ = - i 9. * Αν = α + βi με αβ 0 και ο συζυγής του οια αό τις αρακάτω ροτάσεις δεν είναι σωστή; Α. + ραγματικός αριθμός Β. - φανταστικός αριθμός Γ. φανταστικός αριθμός Δ. - ραγματικός αριθμός Ε. ραγματικός αριθμός 0. * Στο μιγαδικό είεδο, οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι σημεία συμμετρικά Α. ως ρος τον άξονα y y Β. ως ρος τον άξονα x x Γ. ως ρος την ευθεία y = x Δ. ως ρος την ευθεία y = - x Ε. ως ρος την αρχή των αξόνων 6
. * Η εξίσωση - 6 + λ = 0, λ R, μορεί να έχει ρίζα τον αριθμό Α. i Β. - i Γ. + i Δ. - i Ε. + i. * Η εξίσωση x + αx + 5 = 0, α R μορεί να έχει ρίζα τον Α. - + i Β. - i Γ. - i Δ. - i Ε. - - i. * Αν η εξίσωση - κ + λ = 0, κ, λ Ζ έχει ρίζα τον + i τότε ισχύει Α. κ = 6 και λ = 5 Β. κ = και λ = Γ. κ = και λ = Δ. κ = και λ = 5 Ε. κ = 5 και λ =. * Αν = x + yi οια αό τις αρακάτω ισότητες δεν είναι άντα σωστή; Α. = Β. = - Γ. = Δ. = x (-y ) Ε. = 5. * Αν = και = + i τότε η μεγαλύτερη τιμή του είναι Α. 5 Β. 8 Γ. 9 Δ. Ε. 6. * Αν = και - = 5 τότε η ελάχιστη τιμή του είναι Α. B. Γ. 5 Δ. 7 E. 0 7. * Αν = + yi και = 5, τότε μια τιμή του y είναι η Α. 5 B. 5 Γ. - Δ. E. 6
8. * Αν οι εικόνες δύο μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών και στο μιγαδικό είεδο είναι στο ίδιο τεταρτημόριο, οια αό τις αρακάτω σχέσεις μορεί να ισχύει; Α. = - B. = Δ. Ιm ( ) + Im ( ) = 0 E. κανένα αό τα αραάνω Γ. = - 9. * Αν το σημείο Ρ (x, y) είναι εικόνα του μιγαδικού = x + yi στο μιγαδικό είεδο για τον οοίο ισχύει - = 5, το Ρ βρίσκεται άνω σε Α. ευθεία B. έλλειψη Γ. κύκλο Δ. αραβολή E. υερβολή 0. * Η εξίσωση - ( i) = αριστάνει στο μιγαδικό είεδο κύκλο με Α. κέντρο (-, ) και ακτίνα B. κέντρο (, - ) και ακτίνα Γ. κέντρο (, - ) και ακτίνα Δ. κέντρο (, ) και ακτίνα E. κέντρο (, ) και ακτίνα. * Θεωρούμε στο μιγαδικό είεδο τον κύκλο με κέντρο το Ο (αρχή των αξόνων) και ακτίνα 0. Αό τους αρακάτω αριθμούς έχει εικόνα άνω στον κύκλο ο μιγαδικός αριθμός Α. = + i B. = + i 7 Γ. = - i 8 Δ. = 8 + 6i E. = + i 8. * Ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό είεδο για τον οοίο ισχύει - = - i είναι Α. ο άξονας y y B. η ευθεία y = x Γ. ο άξονας x x Δ. η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία (, 0) και (0, ) E. η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία (0, ) και (, 0) 65
. * Στο μιγαδικό είεδο ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ (, ) και ακτίνα είναι ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του μιγαδικού για τον οοίο ισχύει Α. - (- i) = B. - ( i) = Γ. - ( i) = 9 Δ. - ( i) = E. ( i) =. * Οι μιγαδικοί αριθμοί ου οι εικό- y νες τους στο μιγαδικό είεδο βρίσκονται στο γραμμοσκιασμένο τμήμα του σχήματος είναι αυτοί για τους ο- οίους ισχύει Α. < και i < 0 x B. < και i < Γ. > και i > Δ. < και i < Ε. < και i < 5. * Οι μιγαδικοί αριθμοί ου οι εικόνες τους στο μιγαδικό είεδο βρίσκονται y στο γραμμοσκιασμένο τμήμα του σχήματος είναι αυτοί για τους οοίους ισχύει Α. < και < 0 x B. < και > Γ. < και > Δ. < και > Ε. > και < 6. * Αν η εξίσωση = κi εαληθεύεται αό τους μιγαδικούς αριθμούς ου η εικόνα τους στο μιγαδικό είεδο βρίσκεται στην ευθεία y = x, ο ραγματικός αριθμός κ ισούται με Α. B. - Γ. Δ. - E. 66
7. * Αν οι εικόνες των μιγαδικών,, στο μιγαδικό είεδο δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε το λήθος των λύσεων του συστήματος = = με άγνωστο τον είναι Α. B. Γ. Δ. Ε. 0 8. * Για το ρωτεύον όρισμα του μιγαδικού αό τις αρακάτω ροτάσεις δεν είναι σωστή η Α. Το Arg () βρίσκεται στο διάστημα [0, ) B. Το Arg () είναι η γωνία ου σχηματίζει η διανυσματική ακτίνα του στο μιγαδικό είεδο με τον άξονα x x και αίρνει τιμές στο [0, ) Γ. Αν Arg () = Δ. Αν Arg () = E. Αν Arg () = ο έχει ραγματικό μέρος ίσο με το φανταστικό ο είναι ραγματικός αριθμός τότε Re () = - Im () 9. * Αν = α +βi, αβ 0 και Αrg () = θ, θ (0, Α. α β = εφθ B. αβ = σφθ Γ. Δ. αβ = εφθ E. α + β = σφθ ) τότε άντοτε ισχύει β α = εφθ 0. * Αν Αrg () =, η εικόνα του στο μιγαδικό είεδο είναι σημείο της ευθείας με εξίσωση Α. y = x B. y = - x Γ. y = x Δ. y = - x E. y = x 67
. * Αν η εικόνα του μιγαδικού στο μιγαδικό είεδο βρίσκεται στην ευθεία y = - x, τότε αό τις αρακάτω γωνίες Arg () μορεί να είναι η Α. B. 9 Γ. Δ. E. 5. * Αν = όου = ρ (συνθ + iημθ), = ρ (συν + iημ ), ρ > 0, τότε η γωνία θ δεν μορεί να είναι Α. 0 B. 780 Γ. 0 Δ. 0 E. 500. * Το γινόμενο των μιγαδικών αριθμών = (συν0 + iημ0) και = 7 (συν0 + iημ0) είναι Α. (συν00 + iημ00) B. 9 (συν0 + iημ0) Γ. (συν0 + iημ0) Δ. 9 (συν00 + iημ00) E. 7 (συν + iημ). * Ο μιγαδικός αριθμός (συν + iημ) 5 ισούται με Α. - + i B. - - i Γ. + i Δ. - i E. με κανένα αό τους ροηγούμενους 5. * Αν = 0 (συν5 iημ5 ) 5 (συν iημ ) τότε ο ισούται Α. B. 5 (συν5 + iημ5) Γ. (συν + iημ) Δ. (συν5 + iημ5) E. 5 (συν + iημ) 6. * Αν = ρ (συν0 + iημ0), ρ > 0, τότε το Arg ( ) ισούται με 68
Α. ( 0 ) B. 70 Γ. ( 70 ) Δ. 60 E. 0 7. * Αν Α, Β είναι οι εικόνες στο μιγαδικό είεδο των μιγαδικών και i αντιστοίχως τότε η γωνία ΑΟΒ (Ο η αρχή των αξόνων) ισούται με Α. B. Γ. Δ. 5 6 E. 8. * Αν = συνθ + iημθ τότε ο Α. συνθ + i ημθ ισούται με B. συν θ + iημ θ Γ. - συνθ - iημθ Δ. συν (- θ) + iημ (- θ) E. - συνθ + iημθ 9. * Αν = συν + iημ, ο 000 ισούται με Α. + i B. Γ. - Δ. 0 E. - i 0. * Αν Ρ (x) ολυώνυμο τουλάχιστον ου βαθμού με ραγματικούς συντελεστές και η εξίσωση P (x) = 0 έχει ρίζα τον αριθμό - i, θα έχει οωσδήοτε και τον Α. + i 0 B. i 0 Γ. + i Δ. - i E. - i. * Αν η εξίσωση x + κx + λ = 0, κ, λ R, έχει ως λύση την x = + 5i, τότε αοκλείεται να έχει λύση την Α. x = 5 B. x = - 5i Γ. x = 0 Δ. x = + i E. x = - 69
. * Οι αριθμοί + i, - 5i, - + i, + 7i είναι ρίζες του ολυωνύμου f (x) = α ν x ν + α ν- x ν- + α ν- x ν- + + α x + α 0, α ν 0, ν Ν *, με ραγματικούς συντελεστές. Για το ν ισχύει Α. ν = B. ν = 6 Γ. < ν < 8 Δ. ν 8 E. 6 ν < 8 Ερωτήσεις συμλήρωσης. * Ο είναι μιγαδικός αριθμός. Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα: Re () Im () - - + i - i - 5 i. * Οι αριθμοί, είναι μιγαδικοί. Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα: μιγαδικός αριθμός = + i = - + i = = = Agr () τριγωνομετρική μορφή 70
Ερωτήσεις αντιστοίχισης. * Αν = α + βi, να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα ώστε κάθε αράσταση της στήλης Α να αντιστοιχεί στην ίση της ου βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Α.. α. α + β Β. +. α + βi Γ. -. α - βi Δ. 5. βi 6. α + i Α Β Γ Δ 7
. * Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα ώστε σε κάθε σχέση της στήλης Α να αντιστοιχεί ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του ου βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α σχέση ου ικανοοιεί ο μιγαδικός αριθμός Στήλη Β γεωμετρική εριγραφή των εικόνων του στο μιγαδικό είεδο Α. το ραγματικό μέρος του είναι Β. το ραγματικό μέρος του είναι ίσο με το φανταστικό μέρος του Γ. το ραγματικό μέρος του είναι αντίθετο του φανταστικού μέρους του. ο άξονας x x. η ευθεία y = x. η ευθεία y = - x. η ευθεία x = 5. η ευθεία y = - Α Β Γ 7
. * Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό είεδο είναι το σημείο Μ (, ), να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα ώστε κάθε μιγαδικός α- ριθμός της στήλης Α να αντιστοιχεί στην εικόνα του ου βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α μιγαδικός αριθμός Στήλη Β σημείο στο μιγαδικό είεδο Α.. (-, ). ( 5, - 5 ) Β. -. (, 5 ) Γ. i. (-, ) 5. ( 5, 5 ) Α Β Γ 7
. * Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα ώστε κάθε δύναμη του i ου υ- άρχει στη στήλη Α να αντιστοιχεί στην τιμή της ου βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α δύναμη του i Στήλη Β Α. i. - i. i Β. i. - Γ. i 5. 0 Δ. i 0 5. 6. i Α Β Γ Δ 7
5. * Αν = - + i, να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα ώστε κάθε στοιχείο της στήλης Α να αντιστοιχεί στο ίσο του ου βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Α.. 0. Β. - 0. Γ. () -. 5. Α Β Γ 75
6. * Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα ώστε ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του στο μιγαδικό είεδο της στήλης Α να αντιστοιχεί στη σχέση ου βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α γεωμετρική εριγραφή των εικόνων του στο μιγαδικό είεδο Στήλη Β σχέση ου ικανοοιεί ο μιγαδικός αριθμός. i = Α. κύκλος κέντρου Κ (, ) και ακτίνας. = Β. μεσοκάθετος του τμήματος με άκρα τα σημεία (, 0),. i = (0, - ) Γ. κύκλος κέντρου Ο (0, 0) και. = i ακτίνας 5. = i Α Β Γ 76
7. * Αν = x + yi, x, y 0 και c σταθερός ραγματικός αριθμός, διάφορος του μηδενός, να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα ώστε σε κάθε αράσταση της στήλης Α να αντιστοιχεί ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του ου βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α σχέση ου ικανοοιεί ο μιγαδικός αριθμός Στήλη Β γεωμετρικός τόος του στο μιγαδικό είεδο. y = x + c Α. Re () = c Β. Im () = c. y =. y = c c x Γ. Re () Im () = c. cx + y = 0 5. x = c Α Β Γ 77
8. * Στα σχήματα της στήλης Α φαίνονται τόξα κύκλων στα οοία βρίσκεται η εικόνα του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό είεδο. Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα ώστε σε κάθε σχήμα της στήλης Α να αντιστοιχεί η σωστή σχέση της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β y Α. 0 M() x. =, Im () 0 και Re () 0. - = και Im () 0 y M(). = και Re () 0 Β. 0 x. = και Re () < 0 y Γ. 0 x M() Α Β Γ 78
9. * Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα ώστε κάθε μιγαδικός αριθμός της στήλης Α να αντιστοιχεί στην εικόνα του στο μιγαδικό είεδο ου βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β. = (συν 6 + iημ 6 ) y Σ. = συν. = συν 5 6 9 6 + iημ + iημ 5 6 9 6 Ρ Δ Β Λ Θ Ζ M Í 6 6 E A Κ N Η Γ x. = (συν 6 - iημ 6 ) Τ 79
0. * Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα ώστε η εικόνα κάθε μιγαδικού αριθμού, το όρισμα του οοίου φαίνεται στη στήλη Α να βρίσκεται στην ευθεία ου ανήκει και γράφεται στη στήλη Β. Στήλη Α ρωτεύον όρισμα του μιγαδικού αριθμού Στήλη Β γεωμετρική εριγραφή των εικόνων του στο μιγαδικό είεδο. ο άξονας x x Α. Arg () =. ο άξονας y y Β. Arg () =. η ευθεία y = x Γ. Arg () =. η ευθεία y = - x 5. η ευθεία y = c (c σταθερός) Α Β Γ 80
Ερωτήσεις ανάτυξης. ** Να βρείτε τους ραγματικούς αριθμούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + yi = - i + - yi β) y + i = - ( + i) x γ) y - yi - x = - 5xi + 9i δ) (x + ) i + x = x - xi -. ** Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί = x - x - 9i και w = - y i, x, y R. α) Να βρείτε τους x, y ώστε = w. β) Να βρείτε τον.. ** Δίνεται ο μιγαδικός = 6i - ( - i) x - yi - (i - ) x + ( - yi), x, y R. α) Να γράψετε τον στη μορφή α + βi. β) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) Re () = 0 ii) Im () = 0 iii) Re () = Im () iv) = 0. ** Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = ( + i) x + (y - ) i - 5, x, y R. α) Να τον γράψετε στη μορφή α + βi. β) Να γράψετε τον συναρτήσει του x, αν Im () = 0. γ) Να βρείτε τη σχέση ου συνδέει τα x και y, αν Re () = Im (). 5. ** Δίνονται οι μιγαδικοί = + i, = + i, = + 9 i, = 8 + 7 i, 5 = 6 + 5 i, + Να βρείτε το άθροισμα των αείρων όρων w = + + + + 5 + 6. ** Να γράψετε στη μορφή α + βi τους μιγαδικούς αριθμούς: α) = 5 - i - i β) = i - i - (- i) 8
7. ** Να γράψετε στη μορφή α + βi τους μιγαδικούς αριθμούς: α) i (- 5i) β) ( + i) (- i + ) γ) δ) - i ε) - i - i ζ) i ( i) (-i ) - i 8. ** Να γράψετε στη μορφή α + βi τους μιγαδικούς αριθμούς: - i α) ( - i) ( - 5i) + 7i - β) i i i δ) i - i ε) ( - i) - γ) i 9. ** Να ροσδιορίσετε τους ραγματικούς αριθμούς α, β ώστε οι μιγαδικοί = α + βi και = 8i - i + 5 i i να είναι ίσοι. 0. ** Να βρεθούν οι ραγματικοί αριθμοί α, β ώστε να ισχύει: (α + βi) = 5i i.. ** Να υολογιστεί το x R ώστε να ισχύει: + i = xi - xi.. ** Να βρεθούν τα x, y R ώστε οι μιγαδικοί: = x + y - i και = - (x - y) i να είναι συζυγείς.. ** Αν φανταστικός αριθμός με - i να αοδείξετε ότι ο αριθμός ω = i - i είναι αρνητικός ραγματικός αριθμός. 8
. ** α) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς ου εαληθεύουν την ισότητα + ( - ) = + i. β) Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός ου ικανοοιεί την ισότητα =. 5. ** Για τις διάφορες τιμές του ν Ν να βρεθεί η τιμή της αράστασης f (ν) = ν i i. 6. ** Να αοδείξετε ότι για κάθε ν Ν ισχύει ( + i) 0ν = ( - i) 0ν. 7. ** α) Να δείξετε ότι κάθε ραγματικός αριθμός είναι ίσος με το συζυγή του και αντιστρόφως. β) Να δείξετε ότι αν ω = και ω R τότε ο είναι φανταστικός αριθμός. i 8. ** Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = x + yi, x, y R. α) Να γράψετε στη μορφή α + βi τον μιγαδικό w = 8i 6 β) Να βρείτε τη σχέση ου συνδέει τα x και y, αν Im (w) = 0. γ) Να βρείτε τη σχέση ου συνδέει τα x και y, αν Re (w) = 0. δ) Να δείξετε ότι η ροηγούμενη σχέση (γ) είναι εξίσωση κύκλου και να βρείτε το κέντρο του και την ακτίνα του. ε) Να δείξετε ότι ο ροηγούμενος κύκλος διέρχεται αό την αρχή των αξόνων.. 9. ** Η εξίσωση + α + β =0, α, β R έχει ρίζα τον μιγαδικό αριθμό - i. α) Να βρείτε την άλλη ρίζα. β) Να βρείτε τα α και β. 0. ** Να βρείτε τους μιγαδικούς = x + yi, x, y R, για τους οοίους ισχύει: + + = 0. 8
. ** Αν η εικόνα του μιγαδικού = λ + (λ - ) i στο μιγαδικό είεδο βρίσκεται στην ευθεία y = x +, να βρεθεί ο λ R.. ** Να συμληρώσετε το διλανό σχήμα y με το σημείο Μ (). Μετά να βρείτε τα σημεία Μ ( ), Μ (-) êáé Μ (- ). Να βρείτε το εμβαδόν του τετραλεύρου Μ Μ Μ Μ. 0 M() x. ** Ο μιγαδικός = + i να αναλυθεί σε άθροισμα δύο μιγαδικών, ου οι εικόνες τους βρίσκονται αντίστοιχα στις ευθείες y = x - και y = x -.. ** Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών αριθμών: α) = i - i β) = ( i) i + - i 5. ** Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών αριθμών: α) = i - i β) = i 5 ν, ν Ν. 6. ** Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός ου ικανοοιεί την ισότητα + = + i. 7. ** Αν C και 9 =, αοδείξτε ότι =. 8
8. ** Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός ω. α) Να δειχθεί ότι αν ω φανταστικός αριθμός, τότε ω = - ω και αντιστρόφως. β) Με βάση το ροηγούμενο ή με άλλο τρόο δείξτε ότι αν ο αριθμός ω = -, -, είναι φανταστικός, τότε =. 9. ** Να γράψετε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς αν ξέρουμε ότι η αόλυτη τιμή του ραγματικού μέρους του είναι και η αόλυτη τιμή του φανταστικού μέρους του είναι. Πού βρίσκονται οι εικόνες στο μιγαδικό είεδο των αραάνω μιγαδικών αριθμών; 0. ** Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οοίους ισχύει: = = -.. ** Να λυθεί στο C η εξίσωση: + + i = 0.. ** Αν για το μιγαδικό αριθμό ισχύει: - >, δείξτε ότι Re () <.. ** Να αοδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών στο μιγαδικό είεδο ου ικανοοιούν τη σχέση - = - βρίσκονται σε κύκλο κέντρου Ο (0, 0) και ακτίνας.. ** Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του στο μιγαδικό είεδο i αν ο αριθμός είναι ραγματικός. 85
5. ** Ο μιγαδικός αριθμός ικανοοιεί τις σχέσεις: - Re () () Im () () () Να γραμμοσκιάσετε στο μιγαδικό είεδο το χωρίο ου αντιροσωεύει το σύνολο των εικόνων του και να βρείτε το εμβαδόν του. 6. ** Να βρεθεί στο μιγαδικό είεδο ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του μιγαδικού για τον οοίο ισχύει: α) - i = β) -- i < γ) < - i < 7. ** Ο κύκλος του διλανού σχήματος εφάτεται του άξονα των τετμημένων και είναι ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού = x + yi, x, y R στο μιγαδικό εί- y K εδο. α) Αό τις αρακάτω εξισώσεις, να ειλέξετε δύο ου τον αντιροσω- 0 x εύουν: i) (x - ) + (y - ) = 9 ii) x + y = iii) - i = iv) x + y - 6x - y + 9 = 0 v) -- i = β) Να δικαιολογήσετε την ειλογή σας. 86
8. ** Στο διλανό σχήμα η μεσοκάθετος (ε) του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού = x + yi, x, y R στο μιγαδικό είεδο. α) Αό τις αρακάτω εξισώσεις, να ειλέξετε τρεις ου τον αντιροσωεύουν: i) x - i = y + ii) - i = - y 0 Α (ε) Μ Β x iii) - - iv) y = x - - 5 = 0 v) Re () = Im () vi) 8Re () = 5 + Im () β) Να δικαιολογήσετε την ειλογή σας. 9. ** Στο διλανό σχήμα το ΟΑΒΓ είναι τετράγωνο. Αν Α, Β και Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών = + i, = x + yi και = κ + λi αντιστοίχως στο μιγαδικό είεδο: α) Να δειχθεί ότι κ + λ = 0. β) Να βρεθούν οι και. y 0 Α x Β Γ 0. ** Να γραφούν στην τριγωνομετρική μορφή οι μιγαδικοί: α) i - 6 - i β) i i γ) συν - iημ 87
. ** Να γραφούν στην τριγωνομετρική μορφή οι μιγαδικοί αριθμοί: α) = - συνθ + iημθ β) = - συνθ - iημθ γ) = ημθ + iσυνθ. ** Αν = 5i i και = - (συν + iημ ), να γραφούν σε τριγωνομετρική μορφή οι αριθμοί: α) β). ** Να δείξετε ότι για κάθε ακέραιο ν ισχύει: - i ν =.. ** Να δείξετε ότι: ( + i) ν + ( - i) ν = ν συν ν, ν Ν. 5. ** Να βρείτε το μέτρο και το όρισμα του μιγαδικού αριθμού: = (ημθ- iσυνθ) (συνθ - iημθ). 6. ** Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = α) Να γράψετε τον στην τριγωνομετρική του μορφή. β) Αν ν θετικός ακέραιος να βρείτε τον w = ν. γ) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του ν ώστε ο w να είναι ραγματικός. δ) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του ν ώστε ο w να είναι φανταστικός. + i. 7. ** Στο μιγαδικό είεδο έστω OA η διανυσματική ακτίνα ενός μιγαδικού και OB η διανυσματική ακτίνα του = w, όου w = α) Να γράψετε τον w στην τριγωνομετρική του μορφή. β) Να δείξετε ότι w = -. γ) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόλευρο. δ) Να δείξετε ότι = - και + =. + i. 88
8. ** Δίνεται ο μιγαδικός = - συνα + iημα, α [0, ). α) Να δείξετε ότι = ημ α και Αrg () = - α β) Να γραφεί σε τριγωνομετρική μορφή ο αριθμός ω = + συνθ + iημθ. γ) Να βρεθεί ο ω = ( + συν 0 9 + iημ 0 9 ) 8.. 9. ** Να βρείτε το σύνολο των σημείων του μιγαδικού ειέδου ου είναι εικόνες των μιγαδικών για τους οοίους ισχύει η σχέση: Arg - i i =. 50. ** Να βρείτε το μιγαδικό αριθμό για τον οοίο ισχύουν οι σχέσεις: Arg ( - ) = και =. 5. ** Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί: = = - - - i = - i 5 = α) Να βρείτε τα μέτρα τους. β) Να βρείτε το ρωτεύον όρισμά τους. + i = γ) Να τους γράψετε σε μια σειρά ώστε να ροηγείται αυτός ου έχει το μικρότερο όρισμα. δ) Πού βρίσκονται οι εικόνες τους στο μιγαδικό είεδο; + i + i 89
5. ** Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί: = - = 5-5 i = i 5 = - - i = - α) Να γράψετε τους αραάνω μιγαδικούς αριθμούς στη μορφή κ ( - i + i i), κ R και να τους τοοθετήσετε σε μια σειρά, ώστε να ροηγείται αυτός ου έχει το μικρότερο μέτρο. β) Πού βρίσκονται οι εικόνες τους στο μιγαδικό είεδο; γ) Να βρείτε τον μιγαδικό έτσι ώστε η εικόνα του να συμίτει με την εικόνα του. y 5. ** Στο διλανό σχήμα το ΟΑΒΓ είναι αραλληλόγραμμο. Αν = κ + λi να δειχθεί ότι: λ = κ +. Α(κ,λ) 0 Γ Β 0 x 5. ** Η ευθεία (ε) είναι ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του μιγαδικού στο μιγαδικό είεδο. α) Να ειλέξετε δύο αό τις αρακάτω εξισώσεις ου δίνουν σημεία της ευθείας (ε) ου ανήκουν στο δεύτερο τεταρτημόριο x i) = - y ii) x = y (ε) y 0 0 x iii) Arg () = iv) β) Να δικαιολογήσετε την ειλογή σας. = v) x + y = 0 90
55. ** Να βρεθούν οι κυβικές ρίζες των αριθμών: α) - 8i β) + i 56. ** Να λυθεί στο σύνολο C η εξίσωση: 5 = + i. 57. ** Να λυθούν στο σύνολο C οι εξισώσεις: α) ( - ) = β) ( - ) = 58. ** Αν w είναι μια μη ραγματική κυβική ρίζα της μονάδας, να δείξετε ότι: α) + w + w = 0 β) ( + w) = - γ) ( + w ) = w δ) ( - w) ( - w ) ( - w ) ( - w 5 ) = 9 59. ** Αν w είναι μια μη ραγματική κυβική ρίζα της μονάδας να δείξετε: α) w = w β) ( + w w + w + w ) ( w + w ) = 8 γ) ( + w) ν+ + ( w ) ν+ =0 60. ** α) Να αραγοντοοιήσετε το ολυώνυμο Ρ () = - + -. β) Να λύσετε την εξίσωση: - + - = 0. γ) Να αραστήσετε στο μιγαδικό είεδο τα σημεία ου είναι εικόνες των ριζών. δ) Τι είδους τρίγωνο σχηματίζουν οι εικόνες των ριζών; Να βρείτε το εμβαδόν του. 6. ** Να βρεθεί για οιες τιμές των α, β R το ολυώνυμο f (x) = x - αx + 5x - 9x + β έχει αράγοντα το x +. Στη συνέχεια να βρεθούν όλες οι ρίζες του f (x). 6. ** Αν οι συντελεστές του ολυωνύμου f (x) = αx + βx + γx + δ είναι ραγματικοί αριθμοί και το x - i είναι αράγοντάς του, να αοδείξετε ότι το x + είναι αράγοντας του f (x). Στη συνέχεια να ροσδιορίσετε τα α, β, γ, δ γνωρίζοντας ακόμα ότι f (0) = και f () = 0. 9
6. ** Δίνεται η εξίσωση + + - 7 = 0. Να αοδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της στο μιγαδικό είεδο είναι κορυφές ισολεύρου τριγώνου. 6. ** Δίνεται η εξίσωση - ημ = 0, όου β ραγματική αράμετρος με β [0, ]. β συν β + ημ α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι οι ημ β συν β iημ β. β) Να γράψετε τις ρίζες αυτές στην τριγωνομετρική τους μορφή. β 65. ** Δίνεται η εξίσωση + β + γ = 0, C, με ρίζες τους συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς και. Να αοδείξετε ότι: α) οι αριθμοί β και γ είναι ραγματικοί β) η εξίσωση + β - γ = 0 έχει ρίζες ραγματικές. 66. ** Αν Ρ () = + + + 8 = 0: α) να λύσετε την εξίσωση Ρ () = 0 και να γράψετε τις ρίζες της σε τριγωνομετρική μορφή. β) να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ου ερνάει αό τις εικόνες των τριών ριζών του Ρ (). 67. ** Δίνεται η εξίσωση - = -i, C. α) Να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του στο μιγαδικό είεδο είναι η μεσοκάθετος (ε) του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με άκρα Α (, 0) και Β (0, ). β) Να δειχθεί ότι η εξίσωση της (ε) είναι x - y + = 0. γ) Να γίνει η γραφική αράσταση της (ε). δ) Να βρεθεί η εικόνα του για τον οοίο το είναι ελάχιστο. 9
68. ** Αν μιγαδικός και f (ν) = i ν, ν Ν * τότε: α) Να δειχθεί ότι f (λ) + f (λ + ) + f (λ + ) + f (λ + ) = 0, λ Ν *. β) Αν = ρ και Arg () = θ, να δειχθεί ότι: f (λ + ) = ρ [συν ( γ) Αν Arg () = και + θ) + iημ ( + θ)]. =, να σχεδιαστούν οι διανυσματικές ακτίνες των και f (λ + ) στο μιγαδικό είεδο και να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ου έχει κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών 0, και f (λ + ). 69. ** Αν μιγαδικός αριθμός με Re =, τότε: α) Να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του στο μιγαδικό είεδο είναι ο κύκλος με εξίσωση - =. β) Να δειχθεί ότι αν για τον ισχύει Im () =, τότε Re () = + Re () = -. γ) Να βρεθεί η εξίσωση ου βαθμού ου θα έχει ρίζες τους αριθμούς και τους μιγαδικούς του ερωτήματος (β). 70. ** Για τους μιγαδικούς και w ισχύουν αντιστοίχως Arg (w + ) =. Να δειχθεί ότι: ή + i ( - ) = και α) ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του στο μιγαδικό είεδο είναι κύκλος C με κέντρο Κ (0, ) και ακτίνα ρ = β) το σύνολο των σημείων των εικόνων του w στο μιγαδικό είεδο βρίσκονται στην ευθεία με εξίσωση y = x +. γ) η ευθεία (ε) του ερωτήματος (β) τέμνει τον κύκλο C του ερωτήματος (α) σε δύο σημεία αντιδιαμετρικά. δ) αν t, t είναι οι μιγαδικοί ου οι εικόνες τους στο μιγαδικό είεδο είναι οι τομές των (ε) και C, τότε ισχύει: ν t. ν t t + t = ν+. 9
9