ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περιέχει: Όλη την ύλη της Γ Λυκείου, σύµφωνα µε το αναλυτικό πρόγραµµα του Υπουργείου Παιδείας σε (0) ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα που το καθένα περιέχει: Α. Απαραίτητες γνώσης θεωρίας. Β. Λυµένα παραδείγµατα Γ. Λυµένες ασκήσεις. Προτεινόµενα θέµατα Ε. Το ξεχωριστό θέµα Θέµατα που κινούν τη σκέψη και βοηθούν στο σωστό τρόπο µάθησης.

Συγγραφική οµάδα: Πανελλαδικά Συνεργαζόµενα Φροντιστήρια Τµήµα Μαθηµατικών: ΑΓΑΛΙΩΤΗΣ Θ. ΑΓΓΕΛΑΚΗΣ Ι. ΑΘΑΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ Α. ΑΪΒΑΛΙΩΤΟΥ Ο. ΑΛΒΑΝΟΣ. Θ ΑΛΕΞΑΝ ΡΗΣ Α. ΑΛΕΞΑΝ ΡΗΣ Χ. ΑΝ ΡΟΝΙΚΙ ΗΣ Ι. ΑΝ ΡΟΥΛΙ ΑΚΗΣ Χ. ΑΝΤΩΝΕΑΣ Σ. ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ Β. ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ Ν. ΑΥΓΟΥΣΤΗΣ Α. ΒΑ ΑΛΟΥΚΑΣ Ι. ΒΑΪΟΣ Β. ΒΑΡΑΤΑΣΗΣ Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ Π. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ Σ. ΒΙ ΑΛΗΣ Ι. ΒΟΥ ΟΥΡΗΣ Σ. ΒΡΥΝΑΣ Γ. ΓΑΝΩΣΗΣ Ν. ΓΑΡΕΦΟΣ Θ. ΓΕΡΟΝΤΙΤΗΣ Ι. ΓΙΑΝΝΑΚΟΣ Π. ΓΙΑΝΝΟΥΣΗΣ Α. ΓΚΙΜΙΣΗΣ Β. ΓΟΥΜΕΝΑΚΗ Ε. Α ΙΩΤΗΣ Λ. ΑΜΒΑΚΑΚΗΣ Γ. ΗΜΗΤΡΙΟΥ Κ. ΙΑΚΑΚΗΣ Χ. ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ν. ΟΥΒΗΣ Χ. ΡΑΓΑΖΗΣ. ΖΑΡΚΑΝΙΤΗΣ. ΖΗ Β. ΖΩΓΡΑΦΟΣ Β. ΘΕΟ ΩΡΑΚΗΣ Ι. ΚΑΚΑΛΕΤΡΗΣ Κ. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΚΑΡΑΓΚΟΥΝΗΣ Λ. ΚΑΡΑΝΙΚΟΛΑΣ ΣΤ. ΚΑΡΑΦΟΥΛΙ ΗΣ Α. ΚΑΡ ΑΣΗΣ Χ. ΚΑΡΚΑΖΗΣ Ι. ΚΑΡΜΠΑ ΑΚΗΣ Γ. ΚΑΤΣΑΣ Ν. ΚΑΤΣΕΤΗΣ Θ. ΚΑΤΣΙΑΟΥΝΗΣ Χ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ Π. ΚΙΝΝΑΣ Κ. ΚΟΖΗΣ Χ. ΚΟΚΚΑΛΙ ΗΣ Ξ. ΚΟΝΤΙΖΑΣ Χ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗ Μ. ΚΟΡΕΛΗΣ Ι. ΚΟΣΚΙΝΑΣ Σ. ΚΟΣΜΑΣ Λ. ΚΟΣΜΙ ΗΣ Χ. ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΙ ΟΥ Ν. ΚΩΣΤΟΠΟΥΛΟΣ Χ. ΛΕΠΤΟΚΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Π. ΛΙΑΚΟΥΡΑ Ε. ΛΙΑΡΜΑΚΟΠΟΥΛΟΣ. ΛΙΑΡΜΑΚΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΛΙΑΤΣΟΣ Ε. ΛΙΟΝΑΣ Α. ΛΟΥΒΕΡ ΗΣ Γ. ΛΟΥΚΙΣΑΣ Φ. ΛΥΚΚΑΣ. ΛΥΚΙ ΗΣ Κ. ΜΑΓΑΛΟΥ Σ. ΜΑΖΑΡΑΚΗΣ Α. ΜΑΛΙΑΜΑΝΗΣ Θ. ΜΑΝΘΟΣ Γ. ΜΑΝΟΥΣΕΛΗΣ Ν. ΜΑΝΟΥΤΣΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΜΑΝΤΑΣ Γ. ΜΑΝΩΛΗΣ Ν. ΜΗΛΑΚΗΣ Μ. ΜΗΤΣΟΥ Γ. ΜΙΓΚΟΣ Μ. ΜΙΤΟΓΛΟΥ. ΜΟΙΡΑΣ Σ. ΜΠΑΚΟΘΑΝΑΣΗΣ Τ. ΜΠΑΛΑ ΗΜΑΣ Π. ΜΠΕΚΑΣ Π. ΜΠΕΚΡΗΣ Μ. ΜΠΟΓΙΑΤΖΑΡΑΣ Κ. ΝΑΣΙΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΞΕΝΑΚΗΣ Ν. ΟΙΚΟΝΟΜΙ ΗΣ. ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ Κ. ΠΑΝΟΥΤΣΑΚΟΠΟΥΛΟΥ Θ. ΠΑΠΑΡΑΣ Β. ΠΑΠΑΣΠΥΡΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΠΑΡΑΘΥΡΑ Μ. ΠΑΥΛΟΠΟΥΛΟΣ Π. ΠΕΠΟΝΗΣ Χ. ΠΕΠΟΝΗΣ ΣΠ. ΠΕΠΠΑΣ Ι. ΠΕΤΡΑΤΟΣ Γ. ΠΕΤΡΙ ΗΣ Π. ΠΙΣΤΟΦΙ ΗΣ Π. ΡΕΜΠΗΣ Θ. ΡΟΚΑ Μ. ΡΟΚΟΝΙ ΑΣ Κ. ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ Π. ΣΕΡΦΑΣ T. ΣΙΑΤΕΡΛΗΣ Α. ΣΙΝΑΝΗΣ Γ. ΣΤΑΥΡΟΥ Ν. ΣΤΕΦΑΝΟΥ Γ. ΣΥΓΛΕΤΟΣ Β. ΤΑΡΑΣΙ ΗΣ Ι. ΤΕΤΡΑ Η Κ. ΤΖΙΩΛΑ Μ. ΤΣΑΓΓΕΡΑΣ Γ. ΤΣΑΛΑΓΡΑ ΑΣ. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΣ Γ. ΦΑΚΟΣ Κ. ΦΑΣΙΤΣΑΣ Λ. ΦΕΤΣΗΣ Γ. ΦΙΛΙΠΠΙ ΗΣ Χ. ΦΡΑΓΚΙΑΣ Ν. ΦΡΑΓΚΟΣ Α. ΧΑΡΙΣΗΣ Μ. ΧΑΡΙΤΟΠΟΥΛΟΣ Ν. ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ. ΧΟΥΣΙΩΝΗΣ Κ. ΧΡΥΣΑΦΙ ΟΥ Α. ΨΙΑΚΙ ΗΣ. ΨΥΡΟΥΚΗΣ Γ.

Copyright Eκδοτικές Επιχειρήσεις Η. ΜΑΝΙΑΤΕΑ Α.Ε. Απαγορεύεται η αναπαραγωγή του παρόντος βιβλίου, µε οποιονδήποτε τρόπο, χωρίς την έγγραφη άδεια του Εκδοτικού Οίκου. / ΝΣΗ Εκπαιδευτικής σειράς: Α. ΖΥΡΜΠΑΣ Ηλ. Σελιδοποίηση - Γραφικά: Αχιλλιά Σουλτάνα Eκτύπωση Μάρτιος 003 Εκδοτικές Επιχειρήσεις Η. ΜΑΝΙΑΤΕΑ Α.Ε Λ. Ιωνίας 66 44 ΑΘΗΝΑ τηλ.: 0 95 46 000

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό Εξετάσεις της Ελευθεροτυπίας. Παρουσιάσαµε στην εφηµερίδα τα µαθήµατα, όπως γίνονται στον πίνακα, δηµιουργώντας για το σκοπό αυτό την πολυπληθέστερη συγγραφική οµάδα που έχει ποτέ συσταθεί, προσπαθώντας την εµπειρία της τάξης να την αποτυπώσουµε στο χαρτί. Τη συγγραφική οµάδα αποτελούν καθηγητές συγγραφείς καταξιωµένοι στη συνείδηση γονιών και µαθητών για την ποιότητα της δουλειάς τους. Η συλλογική αυτή προσπάθεια, εµπλουτισµένη, σε σχέση µε το υλικό που παρουσιάστηκε στην εφηµερίδα, απευθύνεται, αφενός στον καθηγητή που θέλει να παρουσιάσει το µάθηµά του στην τάξη µε µια µεθοδικότητα, αφετέρου στο φιλόπονο µαθητή που θέλει να διαβάσει, να µελετήσει και να κατανοήσει την ύλη, χωρίς να σπαταλήσει τον πολύτιµο χρόνο του. Γι αυτό κάθε µάθηµα ολοκληρώνεται σ έναν τόµο. Στο βιβλίο που κρατάτε στα χέρια σας περιέχονται µια σειρά από νέες, στην Ελληνική βιβλιογραφία, ασκήσεις καθώς και συνδυαστικά θέµατα. Ο σκοπός µας: να δηµιουργήσουµε ένα εργαλείο δουλειάς για όλους µας. Η ύλη χωρίστηκε σε 0 ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα που το καθένα περιέχει: Τις απαραίτητες γνώσεις θεωρίας, µε παρατηρήσεις για βαθύτερη κατανόηση. Λυµένα παραδείγµατα, στα οποία καταδεικνύεται η µεθοδολογία επίλυσής τους σε κίτρινο πλαίσιο. Λυµένες ασκήσεις. Τα προτεινόµενα θέµατα µε υποδείξεις - απαντήσεις σε µπλέ πλαίσιο. Το ξεχωριστό θέµα. Όσοι από τους συναδέλφους επιθυµούν να έχουν τις λύσεις των ασκήσεων, για έλεγχο των απαντήσεων, µε χαρά θα τις στείλουµε αν επικοινωνήσουν µαζί µας. Επίσης, θα θέλαµε κρίσεις, παρατηρήσεις, καθώς και επισηµάνσεις γι αυτή µας την προσπάθεια, ώστε η γόνιµη αυτή ανταλλαγή απόψεων να βοηθήσει στη βελτίωση των µελλοντικών µας εκδόσεων. Η συγγραφική οµάδα

Περιεχόµενα Κεφάλαιο ο Α Μέρος (Άλγεβρα) Μάθηµα ο: Μιγαδικοί αριθµοί... 3 Μάθηµα ο: Μέτρο µιγαδικού αριθµού... 9 Κεφάλαιο ο Β Μέρος (Ανάλυση) Μάθηµα 3ο: Συναρτήσεις... 45 Μάθηµα 4ο: Μονοτονία, Ακρότατα, -, Αντίστροφη συνάρτηση... 57 Μάθηµα 5ο: Όριο συνάρτησης... 73 Μάθηµα 6ο: Υπολογισµός ορίου συνάρτησης όταν x ±... 87 Μάθηµα 7ο: Συνέχεια συνάρτησης... 99 Μάθηµα 8ο: Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστηµα... Κεφάλαιο ο Μάθηµα 9ο: Ορισµός παραγώγου, Εξίσωση εφαπτοµένης... 35 Μάθηµα 0ο: Παράγωγος συνάρτησης, Κανόνες παραγώγισης, Εξίσωση εφαπτοµένης... 49 Μάθηµα ο: Ρυθµός µεταβολής... 69 Μάθηµα ο: Θεωρήµατα Rolle - Μέσης Τιµής, Συνέπειες του θεωρήµατος Μέσης Τιµής... 75

Μάθηµα 3ο: Μονοτονία, ακρότατα συνάρτησης... 99 Μάθηµα 4ο: Κυρτότητα, Σηµεία καµπής συνάρτησης... 09 Μάθηµα 5ο: Κανόνες De l Hospital... 9 Μάθηµα 6ο: Ασύµπτωτες... 7 Μάθηµα 7ο: Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης... 35 Κεφάλαιο 3ο Μάθηµα 8ο: Αόριστο ολοκλήρωµα, Μέθοδοι ολοκλήρωσης... 5 Μάθηµα 9ο: Ορισµένο ολοκλήρωµα συνάρτησης, x Η συνάρτηση f( x) = f() t dt... 65 α Μάθηµα 0ο: Εµβαδόν... 89 Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά - Συνδυαστικά Θέµατα Ασκήσεις κλειστού τύπου... 305 Ασκήσεις ανοιχτού τύπου... 33

Μιγαδικοί αριθµοί A. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η αδυναµία επίλυσης της εξίσωσης x + = 0 στο R δηµιούργησε ένα νέο σύνολο, υπερσύνολο του R, το σύνολο των µιγαδικών αριθµών C στο οποίο θεωρήθηκε η ύπαρξη ενός νέου στοιχείου του i µε την ιδιότητα i = και το οποίο ονοµάστηκε φανταστική µονάδα. Στο νέο σύνολο C οι βασικές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού που γνωρίσαµε στο R διατηρούνται µε τους κανόνες λογισµού (π.χ. επιµεριστική, αντιµεταθετική ιδιότητα) και επιπλέον κάθε στοιχείο του C γράφεται κατά µοναδικό τρόπο στην µορφή z = α+ βi όπου α,β R (κανονική µορφή). Το α λέγεται πραγµατικό µέρος και συµβολίζεται Re( z ) = α ενώ το β λέγεται φανταστικό µέρος και συµβολίζεται Im( z ) = β. Οι µιγαδικοί της µορφής z = α+ 0i αποτελούν το σύνολο R (πραγµατικοί αριθµοί). Οι µιγαδικοί της µορφής z = 0+ βi αποτελούν το σύνολο Ι (φανταστικοί αριθµοί). Είναι φανερό ότι τα σύνολα R,I είναι γνήσια υποσύνολα του συνόλου C (µιγαδικοί αριθµοί) Συζυγείς µιγαδικοί Έστω ο µιγαδικός z = α+ βi. Ονοµάζουµε συζυγή του z και συµβολίζουµε µε z τον z = α βi. Ισότητα µιγαδικών αριθµών Έστω δύο µιγαδικοί αριθµοί z = α+ βi και z = γ+ δi. Τότε: z = z α = γ και β = δ. Ειδικά: αν α+ βi = 0 α = β = 0 Πράξεις στο σύνολο των µιγαδικών z z α βi γ δi α γ β δ i. Πρόσθεση: + = ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) zz = α+ βi γ + δi = αγ + αδi + βγi+ βδi =. Πολλαπλασιασµός: ( )( ) = αγ + αδi + βγi βδ= ( αγ βδ) + ( αδ + βγ) i 3. ιαίρεση: Η διαίρεση εκτελείται µε τη βοήθεια του συζυγούς του µιγαδικού του παρονοµαστή. Έστω z = α+ βi, z = γ + δi 0. Τότε: ( α+ βi)( γ δi) ( )( ) z α+ βi αγ+ βδ βγ αδ = = =... = + i z γ+ δi γ+ δi γ δi γ + δ γ + δ

4. Μιγαδικοί αριθµοί ύναµη µιγαδικού αριθµού Όµοια όπως στο R ορίζουµε για τον µιγαδικό z = α+ βi: i. z = z 0 ii. z =, z 0 v iii. z = v z *, v N, z 0 v v iv. z = z z, v N, v > Για τις δυνάµεις του i ειδικά ορίζουµε: i = i, i 3 i i i i i Γενικότερα, =, = = ( ) =, 4 ( ) ( ) v 4π+ υ 4 ( ) π υ υ υ i i i i i i i = i i = = = = = = όπου π το πηλίκο και υ το υπόλοιπο της Ευκλεί-, αν υ = 0 i, αν υ δειας διαίρεσης του v µε το 4. Επειδή υ= 0,,,3 έχουµε: v υ = i = i =, αν υ = i, αν υ = 3 Ιδιότητες συζυγών Ι. Για τους συζυγείς µιγαδικούς αριθµούς z = α+ βi και z = α βi ισχύουν: = + ii. z+ z = α= Re( z) iii. = = ( ( )) i. zz α β z z βi Im z i ΙΙ. Έστω ο µιγαδικός αριθµός z = α+ βi. Τότε: i. Ο αριθµός z είναι πραγµατικός αν και µόνο αν z = z ii. Ο αριθµός z είναι φανταστικός αν και µόνο αν z = z III. Για τους µιγαδικούς z, z, z ισχύουν i. z = z ii. z + z = z + z και γενικότερα z + z +... + z = z + z +... + z v v iii. z z = z z και γενικότερα z z...z = z z...z για κάθε v v z z iv. = ( z 0 ) z z Γεωµετρική παράσταση µιγαδικών v v. ( ) ( ) v z v * N. = z για κάθε θετικό ακέραιο v. Έστω ο µιγαδικός z = α+ βi. Στο µιγαδικό αριθµό z µπορούµε να αντιστοιχίσουµε το σηµείο M( α,β ) ενός καρτεσιανού επιπέδου. Αλλά και αντιστρόφως σε κάθε σηµείο M( α,β ) του καρτεσιανού επιπέδου µπορούµε να αντιστοιχίσουµε το µιγαδικό αριθµό z = α+ βi. Το σηµείο Μ λέγεται εικόνα του µιγαδικού z συµβολίζεται τότε και µε Μ( z ) ή ακόµα µε την διανυσµατική ακτίνα OM M α,β. του σηµείου ( )

Μιγαδικοί αριθµοί 5. Ένα επίπεδο του οποίου τα σηµεία είναι εικόνες µιγαδικών αριθµών λέγεται µιγαδικό επίπεδο. Ο άξονας x'x λέγεται πραγµατικός άξονας, αφού σ αυτόν ανήκουν τα σηµεία Μα,0 ( ) που είναι εικόνες των πραγµατικών αριθµών z = α+ 0i = α ενώ ο άξονας y'y λέγεται φανταστικός άξονας, αφού σ αυτόν ανήκουν τα σηµεία M( 0,β ) που είναι εικόνες των φανταστικών αριθµών z = 0+ βi = βi. Στο µιγαδικό επίπεδο οι εικόνες των συζυγών µιγαδικών αριθµών z = α+ βi και z = α βi είναι αντίστοιχα τα σηµεία M( α,β ) και Λα, ( β) που είναι σηµεία συµµετρικά ως προς τον άξονα x'x. Στο µιγαδικό επίπεδο οι εικόνες των αντίθετων µιγαδικών αριθµών z = α+ βi και z = α βi είναι αντίστοιχα τα σηµεία M( α,β ) και Κ( α, β) των αξόνων. που είναι συµµετρικά ως προς την αρχή Ο Επίλυση της εξίσωσης αz + βz + γ = 0 () στο C µε α, β, γ R, και α 0 Είναι = β 4αγ (διακρίνουσα της ()) β± Αν > 0 η () έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες : z =, α Αν = 0 η () έχει µία διπλή πραγµατική ρίζα β z = α β± i Αν < 0 () έχει δύο ρίζες µιγαδικούς συζυγείς: z =, α β γ Ισχύουν οι τύποι Vieta, δηλαδή z + z = και zz = α α

6. Μιγαδικοί αριθµοί Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κατηγορία Μέθοδος Ασκήσεις που ζητείται να γραφεί στην κανονική µορφή α+ βi α,β R ένας µιγαδικός αριθµός. Εκτελούµε τις πράξεις όπως τις ορίσαµε στη θεωρία ( υνάµεις - Ταυτότητες κ.λ.π) Παράδειγµα 5 + i i Να γράψετε στη µορφή α+ βi το µιγαδικό z = + 6 i + i 5 + i i 5 ( + i) + ( i) 5 4 + 4i + 4 4i Είναι z = + = = = 6 i + i 6 ( i)( + i) 6 4+ 5 8 5 6 = = = = + 0i 6 5 6 5 Κατηγορία Μέθοδος Ασκήσεις που ζητείται να δείξουµε ότι δύο µιγαδικοί z,z είναι ίσοι ή ζητούνται οι συνθήκες ώστε να είναι ίσοι. Γράφουµε τους z,z στην κανονική τους µορφή z = α+ βi, z = γ + δi και διαπιστώνουµε ότι α = γ και β = δ ή απαιτούµε α = γ και β = δ όταν ζητούνται συνθήκες, ώστε να είναι ίσοι. Παράδειγµα z = α+ 3β + α+ β i και Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α, β ώστε οι µιγαδικοί ( ) ( ) ( ) z = 3 i i να είναι ίσοι. α+ 3β = β = β = Είναι z = ( 3 i) i = 3i + = + 3i, z = z α+ β = 3 α+ = 3 α = Κατηγορία Μέθοδος 3 Υπολογισµός παραστάσεων µε δυνάµεις του i (ακέραιος εκθέτης). Η παράσταση v υ i ισούται µε i όπου υ είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του v δια 4. v Εποµένως οι δυνατές τιµές της παράστασης i είναι 0 i =, i = i, i =, i 3 = i.

Μιγαδικοί αριθµοί 7. Παράδειγµα 3 Να υπολογίσετε τις τιµές της παράστασης Α για τις διάφορες τιµές του θετικού ακεραίου v µε 0 50 i + i A =. v i + 0 4 + 50 4 + v+ v 4π+ υ υ Είναι i = i = i =, i = i = i =, i = i i = i i = i i -Για υ= 0 -Για υ= -Για υ= -Για υ 3 ( ) i Α = = = = i i i i Α = = i Α = = = = i i i i Α = = = ii i = Κατηγορία Μέθοδος 4 Ασκήσεις όπου ζητείται να δείξουµε ότι δύο µιγαδικοί z,z είναι συζυγείς ή ζητούνται οι συνθήκες ώστε να είναι συζυγείς. Γράφουµε τους z,z στην κανονική µορφή z = α+ βi, z = γ + δi και διαπιστώνουµε α = γ ότι α = γ και β+ δ = 0 ή απαιτούµε το σύστηµα να έχει λύση στην περίπτωση β + δ = 0 συνθήκης ώστε οι z, z να είναι συζυγείς. Παράδειγµα 4 Να βρεθούν οι x, y R ώστε οι µιγαδικοί 3 z = + i ( ix y) και z = x + yi να είναι συζυγείς. 4 + 3 3 Είναι z = i( ix y) = ( + x) + yi και z = x + yi = x + yi = x yi. + x = x x x = 0 x = ή x = Απαιτούµε y y = 0 0y = 0 y R x, y,λ,λ R x, y =,κ,κ R Άρα ( ) = ( ) ή ( ) ( ) Κατηγορία Μέθοδος 5 Ασκήσεις όπου ζητείται να δειχθεί ότι ένας µιγαδικός έστω z είναι πραγµατικός ή φανταστικός ή ζητούνται οι συνθήκες ώστε να είναι z πραγµατικός ή z φανταστικός. α τρόπος: Γράφουµε τον z στη µορφή z = x+ yi και διαπιστώνουµε ότι y = 0 ή x = 0 αντίστοιχα.

8. Μιγαδικοί αριθµοί β τρόπος: ιαπιστώνουµε ότι z= z ή απαιτούµε z= z όταν ζητούνται οι συνθήκες, ώστε z R ή z= z, αν ζητείται ο z να είναι φανταστικός. Παράδειγµα 5 * i. Να δείξετε ότι για κάθε z R και v N ο ( ) v v z + z είναι πραγµατικός. 3 + αi ii. Να βρεθούν οι α,β R ώστε ο αριθµός ω = να είναι φανταστικός. β 3i v v v = +, τότε ( ) ( ) ( ) ( ) i. Έστω ( ) v v ω z z v v v ω= z + z = z + z = z + z = ω. Άρα ω R. ( )( ) ( )( ) 3 + αi 3 + αi β + 3i 3β 3α 9 + αβ ii. Είναι ω = = =... = + i β 3i β 3i β+ 3i β + 9 β + 9 3β 3α Ο ω είναι φανταστικός αν = 0 δηλαδή αν α = β. β + 9 Κατηγορία Μέθοδος 6 εξίσωσης της µορφής αz = β, α,β R ή αz + βz + γ = 0 µε α,β, γ R και α 0 ή άλλης µορφής. Η εξίσωση αz + βz + γ = 0 λύνεται µε τη βοήθεια της διακρίνουσας όπως αναφέραµε στη θεωρία. Για τις άλλες µορφές θέτουµε z = x+ yi, εκτελούµε τις πράξεις και καταλήγουµε στη µορφή α+ βi = 0. Στη συνέχεια λύνουµε το σύστηµα µπορεί να λυθεί όπως ακριβώς και στο R. Παράδειγµα 6 Να λυθούν οι εξισώσεις: i. ( + i)( i z) ( 4i 3)( iz) = + 7i ii. z 3 3 z+ 9= 0 iii. z = 3z i. Η εξίσωση γράφεται ισοδύναµα ( ) ( ) α = 0 β = 0. Επίσης η αz = β µε α,β C i z + i i z 4i 4i z 3 + 3iz = + 7i i z iz 4i 4z+ 3 3iz = + 7i 3i + 3 + z ( i 4 3i) = + 7i z( 5 5i) = 0i ( ) ( ) ( )( ) 0i i z = = i i i + i i 5 ( + i) + i z = = = + i i + 5z + i = 0i. Άρα z = i.

Μιγαδικοί αριθµοί 9. = β 4αγ = 3 3 4 9= 7 36= 9< 0 οπότε οι ρίζες της εξίσωσης είναι ii. Είναι ( ) 3 3± i 9 3 3± 3i 3 3 3 z, = = = ± i iii. Θέτουµε z = x+ yi. Η εξίσωση z 3z + x yi 3x 3yi = 0 x 4yi = 0 Άρα η λύση είναι z = x yi= 3 x+ yi = γίνεται ( ) x = 0 x =. 4y = 0 y = 0 Κατηγορία Μέθοδος 7 Ασκήσεις που ζητείται ο γεωµετρικός τόπος του µιγαδικού αριθµού z τα Re(z) και Im(z) του οποίου δίνονται παραµετρικά ή δίνεται ισότητα που µας οδηγεί σε παραµετρικά Re(z) και Im(z). Γράφουµε τον µιγαδικό z στην κανονική του µορφή και απαλείφουµε την παράµετρο από τα Re(z) και Im(z). Παράδειγµα 7 Να βρείτε στο µιγαδικό επίπεδο το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του z= ( + 5i) λ+ 3i,λ R. Ο µιγαδικός z γράφεται z = λ+ 5λi+ 3i= ( λ+ ) + ( 5λ 3) i. Αν z = x+ yi τότε x = λ+ και y= 5λ 3. Προκύπτει λοιπόν λ x y = 5x 3= 5x 3 = και ( ) ηλαδή ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία µε εξίσωση y = 5x 3. Κατηγορία Μέθοδος 8 Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να λυθούν οι ανισώσεις P( z) P( z) ή P( z) P( z) όπου P ( z ), P ( z ) παραστάσεις του z µε z C. Θέτουµε z = α+ βi. Φέρνουµε την ανίσωση στην µορφή x + yi 0 ή x + yi 0 και απαιτούµε y = 0 διότι η διάταξη δεν έχει νόηµα στο C. Παράδειγµα 8 Να λυθεί η ανίσωση 3z z + 7 (), z C. Αν z = x+ yi τότε 3x ( + yi) ( x+ yi) + 7 ( x 8) + yi 0 Πρέπει y = 0 και η ανίσωση () γράφεται x 8 0 x 4. Άρα λύση της () είναι z = x+ oi µε x 4.

0. Μιγαδικοί αριθµοί Κατηγορία Μέθοδος 9 Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να καταλήξουµε από ισότητα µιγαδικών σε ισοδύναµη ισότητα διανυσµάτων Παίρνουµε υπόψιν µας την εξής βασική πρόταση: Αν ο λόγος δύο µιγαδικών z, z είναι πραγµατικός τότε οι εικόνες τους Μ, Μ και η αρχή των αξόνων Ο είναι σηµεία συνευθειακά. z Απόδειξη: = k, k R z = kz OM = kom άρα τα Ο, Μ, Μ z συνευθειακά. Παράδειγµα 9 Αν οι εικόνες των z, z, z 3 στο µιγαδικό επίπεδο είναι τα συνευθειακά σηµεία Ρ, Ρ, Ρ 3 να z z δείξετε ότι w = R. z3 z Είναι ΡΡ = κρρ 3, κ R ΟΡ ΟΡ = κ ( ΟΡ3 ΟΡ) z z z = κ( z3 z) z = κ είναι προφανές ότι w R. z z 3 Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση Να παραστήσετε στο µιγαδικό επίπεδο i. τους µιγαδικούς: z = i, z = 3+ i ii. τους µιγαδικούς z µε Re( z) = iii. τους µιγαδικούς z µε Im( z) = iv. τους µιγαδικούς z µε ( ) Re z Οι µιγαδικοί µε Re () z = είναι οι αριθµοί της µορφής + yi, µε y R. Άρα, ανήκουν στην ευθεία x =

Μιγαδικοί αριθµοί. Οι µιγαδικοί µε Im( z) = είναι της µορφής x+ i, x R άρα παριστάνονται µε τα σηµεία ( x, ), όπου x R. Είναι δηλαδή τα σηµεία της ευθείας y =. Re( z) x. Εποµένως, οι εικόνες των µιγαδικών βρίσκονται µεταξύ των ευθειών x = και x = ή πάνω στις δύο ευθείες x = και x =. Άσκηση + αi Να υπολογίσετε τον α R ώστε να ισχύει: + i = 3. αi + αi ( + αi) Είναι + i = 3 + i= 3 αi ( αi)( + αi) α + αi 3 ( α ) 6α + i= 3 + i= + i + α + α + α 3 ( α ) = α 3 3α = + α + 4α = 6α 6α = + α = α 6α+ = 0 + α α =± α =± α 6α+ = 0 α = ή α = Άρα α =. Άσκηση 3 Αν z,z Cτότε z z = 0 αν και µόνο αν z = 0 ή z = 0 Έστω z z = 0. Αν z Επειδή z z 0 C και z 0 τότε ορίζεται ο z = z z = 0 = 0. =, έχουµε ( ) z z z.

. Μιγαδικοί αριθµοί Όµοια αν z 0 τότε z = 0. Άρα z = 0 ή z = 0. Αντίστροφα αν z = 0 ή z = 0 τότε προφανώς zz = 0. Άσκηση 4 Να δείξετε ότι ( α+ βi) 00 + ( β αi) 00 = 0 ( ) Προφανώς σε τέτοιες ασκήσεις πρέπει να αναζητηθεί κάποιος µετασχηµατισµός ώστε να δειχθεί ότι πρόκειται για άθροισµα αντίθετων αριθµών. Έχουµε: ( ) 00 ( ) 00 ( ) 00 ( ) 00 β αi = αi β = αi β = αi+ βi = 00 ( ) ( ) 00 00 00 000 4 i α βi i α βi Όµως ( ) 500 = + = + 00 00 Άρα ( β αi) ( α βi) = +. Οπότε η ισότητα () ισχύει. Άσκηση 5 0 3 i Να λυθεί η εξίσωση z = (), µε z C. 3 9i = +. Τότε η () γράφεται ( x yi) Έστω z x yi ( 0 3 i)( 3 + 9i) ( 3 9i)( 3+ 9i) + = x y xyi... i = i i = i i = i = 0 3 i + = 3 9i 3 4 x y = x = x x 3= 0 x y = x 3 ή ή 3 xy = 3 y = 3 y = x y = x x Οι λύσεις της 4 x x 3= 0 είναι x = 3 ή x = 3. Άρα x y + xyi= + 3i Εποµένως οι ζητούµενοι µιγαδικοί είναι: z = 3+ i ή z = 3 i Άσκηση 6 3 Αν z = + i και α,β R να δείξετε ότι ο z ( ) ( αz βz βz αz) x = 3 x = 3 ή. y = y = = + + είναι πραγµατικός. Είναι 3 3 3 3 z = + i i i z = = = 4 4

Μιγαδικοί αριθµοί 3. z αz βz βz αz αβz α zz β zz αβz Άρα, ( ) ( ) = + + = + + + = αβ( z + z ) + zz ( α + β )() z = z = z = z οπότε Όµως ( ) ( ) z + z = z+ z Αν z = x+ yi τότε z+ z = x R ενώ zz = x + y R Επειδή και αβ,α + β R από την () προκύπτει ότι ο z ανήκει στο R. Άσκηση 7 3 Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ(z) στο µιγαδικό επίπεδο αν ισχύει z. Έστω z x yi 3 3 3 3 = +. Τότε z ( x yi) x 3x yi 3x( yi) ( yi) = + = + + + = ( ) ( ) 3 3 3 3 x 3x yi 3xy y i x 3xy 3x y y i = + = + 3 3 Επειδή z απαιτούµε z R. Σχόλιο: Όπου τίθεται θέµα διάταξης γίνεται παραποµπή στο R αφού στο C δεν έχει νόηµα η διάταξη. Για να ισχύει 3 z i. Αν y = 0 τότε ii. Αν R πρέπει z 3 3 3 3x y y 0 = x και επειδή = ( ) y 3x y = 0 3 z πρέπει 3 x, άρα x. y = 0 ή3x y = 0. Άρα σ αυτήν την περίπτωση ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι η ηµιευθεία y = 0 µε x. 3x y = 0 τότε y = 3x (). Άρα y = 3x ή y = 3x και επειδή 3 x 3xy και λόγω () 3 3 x 9x 3. Άρα 8x, άρα x. Στην περίπτωση αυτή ο γεωµετρικός τόπος είναι οι ηµιευθείες y = 3x µε y = 3x µε x. Άσκηση 8 z Θεωρούµε το µιγαδικό ω = όπου z = x+ yi µε x, y R. z+ α. Να γράψετε τον ω στη µορφή α+ βi όπου α,β R 3 z πρέπει x και β. Να βρείτε το σύνολο των σηµείων Μ(z) του µιγαδικού επιπέδου για τα οποία i. ο ω είναι φανταστικός, ii. ο ω είναι πραγµατικός α. Για να γράψουµε τον ω στη µορφή α+ βi πολλαπλασιάζουµε και διαιρούµε µε το συζυγή του παρονοµαστή. Πρέπει z δηλαδή µε z = x+ yi είναι x ή y 0.

4. Μιγαδικοί αριθµοί ( ) ( ) + + + + + + ( + + )( + ) ( ) ( ) z x+ yi x+ yi x yi Έχουµε: ω + x y x y = = = = i z x yi x yi x yi x+ + y x+ + y β.i. Ο ω είναι φανταστικός αν Re( ω) = 0. Είναι ( ) ( ) Re ω = 0 x + y + x = 0 x + + y =. Άρα, ο ω είναι φανταστικός όταν η εικόνα του z ανήκει στον κύκλο ( ) x+ + y = µε κέντρο (, 0) και ακτίνα, από τον οποίο εξαιρείται το σηµείο (,0), διότι, αν x = και y = 0 είναι z =. ii. O ω είναι πραγµατικός αν Im( ω) = 0 y = 0 y = 0 δηλαδή η εικόνα Μ του µιγαδικού z ανήκει στην ευθεία y = 0 (ο άξονας x ' x ) µε εξαίρεση το σηµείο (,0). Άσκηση 9 Έστω το πολυώνυµο P ( z ) = α v v v z + α v z +... + α z + α 0. Να δείξετε ότι αν το Ρ(z) έχει ρίζα το z 0 τότε έχει ρίζα και το συζυγή του, δηλαδή τον z 0. Επειδή ο z 0 είναι ρίζα του P( z ) ισχύει P( z0 ) = 0. Έχουµε ( ) v 0 v 0 0 0 P z = α z +... + α z + α α v vz 0... αz0 α0 Άρα ο z 0 είναι ρίζα του P( z ). Άσκηση 0 = + + + ( ) = P z = 0 = 0. Έστω το τριώνυµο P( z) = αz + βz + γ µε α 0, διακρίνουσα < 0 και α, β, γ R ενώ ο z C. Αν z, P z = 0: z είναι οι λύσεις της ( ) α. Να δείξετε ότι ( z + z ) R. β. Να δείξετε ότι ( zv v + z) µε v N* είναι πραγµατικός αριθµός. γ. Με A( z ), B( z) οι εικόνες των z,z αντίστοιχα να δείξετε ότι d( A,B) =. α δ. Αν Γz ( + z) η εικόνα του z + z τότε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι: β E ( ΑΒΓ) =. 4α β α. Τρόπος : z+ z = που ανήκει στο R από υπόθεση α Τρόπος : Οι z,z είναι συζυγείς (δηλαδή z = z) άρα z+ z = z+ z = Re( z) 0

Μιγαδικοί αριθµοί 5. β. v v v v v v v ( ) z + z = z + z = z + z = Re z R β± i β z = άρα Α =, και α α α β Β =, α α συνεπώς γ., d( A,B) = = = α α α α β β β δ. z+ z = οπότε είναι Ε α ( ΑΒΓ) = ΑΒ ΚΓ = = α α 4α. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σ(σωστό) ή Λ(Λάθος). Α. Έστω z = α+ βi τότε ισχύουν i. z+ z = βi ii. z z α z = z = iii. ( ) iv. ( α+ βi) = i( β αi) v. ( α+ βi) = ( α βi) B. Αν z C και z+ i = 5+ λi, λ R τότε z = 5 και λ = Γ. i. i 003 = i ii. 3 i i + = iii. = 0 i v i (Απ: Α. i. Λ, ii. Λ, iii. Σ, iv. Λ, v. Λ, Β. Λ, Γ. i. Λ, ii.λ, iii. Σ) i. Ο µιγαδικός z = είναι ίσος µε: + i α. i β. i γ. i δ. i ε. 3i (Απ: γ.) 3. Οι εικόνες των z, z, z, z στο µιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές α. τετραγώνου β. ρόµβου γ. τραπεζίου δ. ορθογωνίου 4. Να γράψετε σε κανονική µορφή τους µιγαδικούς. α. 5 i β. + 3i γ. i 4+ i 3i i 7 (Απ: α. 9 + 8 i, β. + 0 i, γ. 5 5 7 7 (Απ: δ.) 3 i ) 50 50

6. Μιγαδικοί αριθµοί 5. Αν z = + i και z = 3 i να βρείτε τους µιγαδικούς: z + z ii. z z iii. z iv. z z z ( Απ: i. 5 i, ii. 8 i, iii. 4 + 7 i, iv. 3 3 i. 33 56 + i ) 69 69 6. Να υπολογίσετε τους α,β R είναι συζυγείς. 7. Αν z C και z ώστε οι µιγαδικοί ( ) = z να δείξετε ότι z I ή z R. z = 3+ α β i και w = α 5β 3i να (Απ: α=, β = ) 8. Να βρείτε τους,β R α ώστε να ισχύει ( ) ( ) i α i+ α + β+ =. i (Απ: α =, β = ) 4 9. Έστω z,z z Cµε z+ z 0 και z = z + z. Να δείξετε ότι z R z z R. = +, φ [ 0,π] 0. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών z 5συνφ 3ηµφi. (Απ: Έλλειψη x y + = ) 5 3 z 4i. Έστω z C µε z. Αν w = να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του z όταν z w R.. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z x yi (Απ: x + y = 4 εκτός του (,0 )) = + αν ( ) zz z + z + = 0. y (Απ: Υπερβολή x = ) 3 z+ 8i 3. ίνεται ο µιγαδικός z = x+ yi, x, y R. Αν w = και Re( w) = 0 να δείξετε ότι ο z+ 6 γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z είναι κύκλος που περνά από την αρχή των αξόνων. 4. Να βρεθούν οι µιγαδικοί αριθµοί z για τους οποίους ισχύει: z 0. (Απ: z R, z ή z )

Μιγαδικοί αριθµοί 7. Ε. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ Α. Έστω z C µε z εφθ i π π = + όπου θ, συνθ. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z. Β. Έστω z,z Cµε z = z +. Αν η εικόνα του µιγαδικού z ανήκει σε κύκλο µε z κέντρο το O0,0 ( ) και ακτίνα ρ τότε να δείξετε ότι η εικόνα του µιγαδικού z ανήκει σε έλλειψη, της οποίας να βρείτε τις εστίες. Γ. Αν z 3 = και z R τότε α. Να βρείτε τους µιγαδικούς αριθµούς z. β. Να δείξετε ότι ( )( z+ z + z z ) = 4 γ. Να δείξετε ότι ( )( )( 4)( 5 z z z z ) = 9 (Απ.: Α. Το τµήµα της ισοσκελούς υπερβολής y x = πάνω από τον x'x, x y Β. + =, E '(, 0 ), E (, 0) ρ + ρ ρ ρ, Γ. ± i 3 z = )