Παράγωγοι Κώστας Γλυκός Για αρχή 598 ασκήσεις και τεχνικές σε 4 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglyks.gr 8 / / 0 9 εκδόσεις Καλό πήξιμο
Τα πάντα είναι παράγωγοι Παραγώγιση συναρτήσεων.. Να υπολογίσεις τις παραγώγους των συναρτήσεων 4 f ( ). f ( ) 4. f ( ) 5. f ( ) 6. f ( ) 7. f ( ) 8. 9. 0. ln.. f ( ) f ( ) ln. ' 0 ' ' 0 a' 0 a' ' ' ' ' ' ' ' v v a ' v ln ' ' ' 4. f ( ) ln 5. 6. 7. f ( ) Κανόνες παραγώγισης f g' f ' g ' f g' f ' g f g ' f f ' g f g ' ' g g
8. 9. f ( ) 0.. f ( ).. 4. 5. ln 6. f ( ) ln 7. f ( ) f 8. ( ) 9. f ( ) ln 0.... f ( ) 4. 5. 6. f ( ) ln f ( ) 4
7. 8. f ( ) ln 9. f ( ) 40. 4. 4. 5 f ( ) 5 4 4. f ( ) 4 ln 44. 45. 46. 47. ln 48. 49. 9 5 50. f ( ) 5. 5. 5. 54. ln f ( ) ln f ( )
55. 5 56. f ( ) ln Παραγώγιση συναρτήσεων Να υπολογίσεις τη μονοτονία και τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων 57. f ( ) 4 58. 59. f ( ) ln 60. f ( ) 6. 6. 6. 64. 65. f ( ) ln f ( ) 8 f ( ) 7 f ( ) Μονοτονία Ακρότατα Υπολογίζω f '( ) Λύνω f '( ) 0 Φτιάχνω πινακάκι για f '( ) Πεδία Ορισμού 66. 67. 68. f ( ) f ( ) 4 4 g ( ) 0 g ( ) f ( ) f ( ) 0 ln f ( ) f ( ) 0 69. 70. 4 7. f ( ) 4
7. f ( ),, 7. 74. 75. 76. f ( ) f ( ) f ( ) 77. f ( ) 78. f ( ) ln 79. 80. 8. 8. f ( ) f ( ) f ( ) 6 f ( ) 6 5 8. f ( ) 84. f ( ) 4 85. 86. f ( ) ln 87. f ( ) 88. 89. 90. ln f ( ) ln 9. Το νου σου 0 0 0 0 P ( ) 0 P( ) Q( ) 0 Q ( ) 9. f ( ) ln 9. 94. 5
95. 96. 97. f ( ) ln 98. 99. 00. f ( ) ln f ( ) ln 0. 0. f ( ) 4 0. f ( ) ln 04. f ( ) 4 ln 05. 06. 07. 08. 09. 0... 9 5 ln 5 6
. 4. f ( ) 5. 6. 7. 8. f ( ) Σύνθετη παραγώγιση Να υπολογίσεις τις παραγώγους των συναρτήσεων 9. f ( ) 0. f ( ). f ( ) ln. f ( ). f ( ) 4. f ( ) 5 5. 6. f ( ) 4 f ( ) 6 5 7. f ( ) ln 8. f ( ) ln 9. f ( ) ln 0. f ( ) ( ). f ( ) f ( ) f ( ) f ' '( ) f ( ) ' f '( ) f ( ) ' f ( ) f '( ) f ( ) ' f ( ) f '( ) f ( ) ' f '( ) f ( ) ' f '( ) v v f ( ) v f ( ) f '( ) ln f ( ) ' f '( ). f ( ) ln 7
. f ( ) 4. f ( ) ln 5. f ( ) 6. f ( ) 7. f ( ) 8. f ( ) 9. 40. f ( ) f ( ) 4. f ( ) ln f ( ) 4. 4. f ( ) 44. 45. f ( ) 46. f ( ) 47. f ( ) ln 5 48. f ( ) ln 49. f ( ) 50. f ( ) ln 5. f ( ) ln 5 5. ln Το νου σου 5. f ( ) 54. f ( ) 55. f ( ) ln a ' a ln a ln ln ' ' '... f ( ) 56. 0 57. f ( ) 8
58. f ( ) ln 59. Να βρεις μονοτονία και ακρότατα 60. f ( ) 6. f ( ) ln 6. f ( ) ln 9 f ( ) 6. f ( ) 64. 4 f ( ) 65. 66. f ( ) 4 67. f ( ) ln 68. f ( ) 6 9 f 69. ( ) 70. 7. 7. 7. 74. f ( ) f ( ) f ( ) 5 7 4 8 f ( ) f ( ) 75. f ( ) 76. 77. 78. 79. f ( ) f ( ) f ( ) ln ln 9
80. 8. f ( ) Προβλήματα παραγώγων 8. Απ όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με εμβαδό 5, ποιο είναι εκείνο που έχει την ελάχιστη υποτείνουσα 8. Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 00 να βρεις εκείνο με το μέγιστο εμβαδό 84. Απ όλα τα ορθογώνια με εμβαδό 64 να βρεις εκείνο με την ελάχιστη περίφραξη 85. Ένα ορθογώνιο φύλλο με εμβαδό 600, έχει περιθώρια πάνω κάτω 4 ενώ δεξιά και αριστερά. Να βρεις τις διαστάσεις του φύλλου ώστε η ωφέλιμη επιφάνεια να γίνεται μέγιστη 86. Σε σφαίρα ακτίνας να εγγράψεις κύλινδρο με μέγιστο όγκο 87. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει περίμετρο 0 και χ μία οξεία του γωνία. Ν.δ.ο. η υποτείνουσα 0 a. Να βρεις το χ ώστε η υποτείνουσα να γίνεται ελάχιστη 88. Αγρότης δουλεύει στο χωράφι του που απέχει από το κοντινότερο σημείο Α του δρόμου που οδηγεί στο σπίτι του. Ενδιαφέρεται να φτάσει στον ελάχιστο δυνατό χρόνο στο σπίτι Σ που απέχει 0 από το Α, Ποια διαδρομή να ακολουθήσει αν στο χωράφι βαδίζει με ταχύτητα ενώ στο δρόμο με διπλάσια ταχύτητα 89. Κυλινδρικό δοχείο ανοικτό από πάνω έχει χωρητικότητα 6. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του να χρειαστεί για την κατασκευή του ελάχιστο υλικό Θυμίζω : τετμημένη, Μορφή εφαπτομένης (ε) y y y0 f f ' 90. Δίνεται f ( ) a, να βρεις το α ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο σημείο με τετμημένη να είναι 4 9. Δίνεται f ( ) Εφαπτομένη συνάρτησης, να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με τεταγμένη yy, (ε) διέρχεται από : (ε) στο :, y (ε) / / ' 0 y, (ε) / / y (ε) y (ε) σχηματίζει γωνία ω με ' ( ) 0
τετμημένη 0 9. Δίνεται 9. Δίνεται f ( ) 5 6, να βρεις την εφαπτομένη που είναι // στον οριζόντιο άξονα f ( ) a, να βρεις το α ώστε η εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη να σχηματίζει 45 με οριζόντιο άξονα 94. Να βρεις τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της 95. Να βρεις τα σημεία όπου οι εφαπτομένες της 96. Δίνεται f στο σημείο με τετμημένη ( ), ' f ( ) / / ' f ( ), να βρεις το λ των εφαπτομένων στα σημεία με τεταγμένη 6 4 97. Δίνεται η συνάρτηση f, να βρεις την εφαπτομένη που σχηματίζει 5 με οριζ. άξονα ( ) 98. Να βρεις την εφαπτομένη της 99. Να βρεις την εφαπτομένη της f ( ) που είναι / / y f ( ) που είναι 4y 0 00. Να βρεις τα α,β ώστε οι συναρτήσεις σημείο με τετμημένη χ= f ( ) a b, g( ), να έχουν κοινή εφαπτομένη στο 0. Να εξετάσεις αν η ευθεία y είναι εφαπτομένη της f ( ) Εφαρμογή «Frmat 0. Αν b f ( ) a f ''( ) f ( ). Να βρεις α,β όταν f(), f '() f ( ) a b f ''( ) a f ( ) 0 0. Αν 04. Αν f ( ) f ''( ) f '( ) f ( ) 0 05. Αν f f f ( ) ( ) ''( ) 0 b 06. Αν f ( ) a 4, να βρεις τα α,β ώστε να έχει μέγιστο στο - με τιμή FERMAT Έστω συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και παρουσιάζει ακρότατο στο εσωτερικό σημείο τότε f '( ) 0 07. Αν f ( ) a b, να βρεις τα α,β αν η συνάρτηση έχει στο τοπικό μέγιστο με τιμή 5 4 08. Αν f ( ) a b, να βρεις τα α.β ώστε να έχει ακρότατο στο και να διέρχεται από το Α(0,) 09. Αν f ( ) a, να βρεις το α ώστε η συνάρτηση να έχει ακρότατο στο π/
0. Να βρεις πολυώνυμο ου βαθμού με P''() 0, P(), P'() 0, P() a b. Να βρεις τα α,β για να έχει ακρότατο στο Α(,-) η συνάρτηση Όρια 0 0 και συνέχεια συναρτήσεων. Να υπολογίσεις τα όρια : 6., 8 5, 7 5 6 4 4. Να υπολογίσεις τα όρια : 5 5 5 5, 5. 4, 0 6. 4, 6 9 6 8 7. Να υπολογίσεις τα όρια :, 4 8. 9. 0.. 4 4, 4, 6, 0 0 4, 7 49 0. Να υπολογίσεις τα όρια :., 4 8 5 4 0 4, 5 4 5 5 5, 6 8 Σε όριο Α.Μ. 0 0 έχεις επιλογές Hrnrσε αριθμητή- παρονομαστή Συζυγή παράσταση σε άρρητες μορφές D l Hspital Σε ριζικά με το ίδιο υπόριζο διαφορετικών τάξεων βρίσκεις το ΕΚΠ των τάξεων και θέτεις f ( ) y Αν δίνεται όριο ποσότητας που περιέχει την f() και ζητείται το τότε ΘΕΤΩ βοηθητική συνάρτηση g(). Όριο που περιέχει απόλυτο : σε περίπτωση Α.Μ. κάνε το πινακάκι για το απόλυτο ώστε να δεις το πρόσημό του.στην χειρότερη περίπτωση μπορεί να χρειαστείς πλευρικά όρια Κριτήριο παρεμβολής : Αν για τη συνάρτηση fισχύει...... τότε οποιοδήποτε όριο το δουλεύεις κατασκευαστικά.
4. 5 h 4 5,,, h 5 0 5 h 6 a, 5. Αν, να βρεις το α ώστε να έχει όριο στο,, 6. Αν 5,, να βρεις τα όρια της συνάρτησης στους αριθμούς :,-,0,,, 7. Αν 8, 4 4 6, 4, να εξετάσεις αν είναι συνεχής στο 4 Η f είναι συνεχής στο f ( ) f ( ) f ( ) 8. Αν ( ), f, να εξετάσεις αν είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού 5, 9. Αν 5, a,, να βρεις την τιμή του α ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση a, 0. Αν, να βρεις την τιμή του α ώστε να υπάρχει το 5 a,. Να βρεις τα όρια : ( a ) a,, a a. Να υπολογίσεις :. Να υπολογίσεις :,, 9 4 a, a a 4 5 4. Να υπολογίσεις :, 0 4 5, 5. Αν f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f ( ) 5, a, 6. Αν, να υπολογίσεις, 0 f ( ), f ( ) 7. Υπολόγισε τα όρια : 6 9 6,, 4 4 f ( ) f ( ) f ( ) 8. Η f είναι συνεχής, στο, 0 g ( ) ( ), ( ) ( ),, 0 0 0 0 f ( ) 0 g( ) 9. Αν f g f
40. Να εξετάσεις τη συνέχεια της συνάρτησης, 5, στο χ= και στο πεδίο ορισμού της 4. Να εξετάσεις τη συνέχεια της συνάρτησης 9, 0 9, στο χ= και στο πεδίο ορισμού της 4. Αν 4. Αν f ( ) f ( ) ;, f ( ) ; 9 f f f h f ( h) f () f ( h) f () h h ( ) (), ( ),, ; h0 44. Να υπολογίσεις τα όρια : 6 6, 45. 9 7, 0 46. 4, 6 9 6 8 5 47. Να υπολογίσεις τα όρια :, 5 4 5 48. 4, 8 4 a, 49. Αν, να βρεις το α ώστε να έχει όριο στο,, 50. Αν 5,, να βρεις τα όρια της συνάρτησης στους αριθμούς :,-,0,,, 5. Αν 8, 4 4 6, 4, να βρεις το όριο της συνάρτησης στο και στο 4 5. Αν ( ), f, να βρεις το όριο στο, στο και στο 5 5, 5, 5. Αν, να βρεις την τιμή του α ώστε να έχει όριο στο a, a, 54. Αν, να βρεις την τιμή του α ώστε να υπάρχει το 5 a,, 55. Αν f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f ( ) 5, a, 56. Αν, να υπολογίσεις, 0 f ( ), f ( ) 4
57. Στην παραπάνω να βρεις την τιμή του α ώστε να υπάρχει το όριο 58. Δίνεται συνάρτηση, 5,, να βρεις : f (), f (), f (), f ( ) 59. Δίνεται συνάρτηση 9, 0 9, να βρεις f (0), f (), f (), f ( ) 60. Δίνεται συνάρτηση 6. Δίνεται συνάρτηση f ( ) a b η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(0,) και Β(,5), να βρεις α,β, να βρεις τα α,β όταν f ( ), f ( ) 4 f ( ) a b 0 a 6. Δίνεται συνάρτηση, να βρεις α,β ώστε b και να διέρχεται από Α(,) 5