ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο : Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)- Ρ( Α Β ). Μονάδες 7 Α. Πότε δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα; Μονάδες Α. Τι εκφράζει η σχετική συχνότητα f i μιας παρατήρησης x i ενός δείγματος. Μονάδες Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα, στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η διακύμανση εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. Μονάδες β) Σε μία κανονική κατανομή το εύρος ισούται περίπου με έξι φορές τη μέση τιμή, δηλαδή R = 6x. Μονάδες γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f (g(x)))' = f '(g(x)) g'(x) Μονάδες δ) Πάντοτε ένα μεγαλύτερο δείγμα δίνει πιο αξιόπιστα αποτελέσματα από ένα μικρότερο δείγμα. Μονάδες ε) Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές, αν ο συντελεστής μεταβλητότητας δεν ξεπερνά το 0%. Μονάδες
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΘΕΜΑ Β Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και μαύρες σφαίρες. Παίρνουμε τυχαία μια σφαίρα. Η πιθανότητα να είναι μαύρη είναι ΡΜ ( ) =, η πιθανότητα να είναι άσπρη είναι Ρ(Α)=λ και η πιθανότητα να είναι 7 κόκκινη είναι ΡΚ ( ) = λ+, όπου λ R. Αν για το πλήθος Ν(Ω) των σφαιρών που υπάρχουν στο κουτί ισχύει 6<Ν(Ω)<7, τότε Β. Να δείξετε ότι Ν(Ω)=68 Μονάδες 6 Β. Να υπολογιστεί η τιμή του λ. Μονάδες 8 Β. Να βρείτε πόσες άσπρες, πόσες μαύρες και πόσες κόκκινες σφαίρες υπάρχουν στο κουτί. Μονάδες 6 Β. Παίρνουμε τυχαία μία σφαίρα. Να βρεθεί η πιθανότητα αυτή να είναι άσπρη ή μαύρη. Μονάδες ΘΕΜΑ Γ Οι πωλήσεις, σε χιλιάδες ευρώ, που έγιναν από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους ομαδοποιήθηκαν σε πίνακα συχνοτήτων με κλάσεις ίσου πλάτους. Το αντίστοιχο πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων fi% έχει διαδοχικές κορυφές τις: Α(8, 0) Β(0, 0) Γ(, 0) (, y ) Ε(6, y Ε ) Ζ(8, 0) Η(0, 0) όπου y, y Ε οι τεταγμένες των κορυφών και Ε του πολυγώνου ΑΒΓΕΖΗ. Γ. Να υπολογιστούν οι τεταγμένες y και y Ε των κορυφών και Ε, αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή των πωλήσεων στη διάρκεια του έτους είναι 00 ευρώ και το ευθύγραμμο τμήμα Ε είναι παράλληλο προς τον οριζόντιο άξονα. Μονάδες 7 Γ. Να σχεδιαστεί το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων fi%. Μονάδες
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 Γ. Να κατασκευαστεί ο πίνακας των σχετικών συχνοτήτων fi% της κατανομής των πωλήσεων που έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Μονάδες 7 Γ. Η διεύθυνσης της εταιρείας αποφάσισε τη χορήγηση ενός επιπλέον εφάπαξ ποσού σε όσους πωλητές έχουν κάνει ετήσιες πωλήσεις τουλάχιστον 000 ευρώ. Να υπολογιστεί το ποσοστό των πωλητών που θα λάβουν αυτό το ποσό. Μονάδες Γ. Το εμβαδόν το χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανομής των πωλήσεων οι οποίες έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους και του οριζόντιου άξονα είναι 80. Να βρείτε τον αριθμό των πωλητών που δικαιούνται το εφάπαξ ποσό που αναφέρεται στο Γ ερώτημα. Μονάδες ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση x(x x + ) 0 f(x) = e,x R. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. Μονάδες 8. Αν Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Α Β και Ρ(Α), Ρ(Β) είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f να υπολογιστούν οι πιθανότητες ΡΑ Β ( ), ΡΑ Β ( ), ΡΑ Β ( ), ΡΒ Α. ( ). ίνεται η συνάρτηση x x( x ) Μονάδες 8 h(x) = e,x R. α) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=h(x). Μονάδες β) Αν x <x <x οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και v i =x i +, i=,, οι συχνότητες των παρατηρήσεων x i τότε να βρείτε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων. Μονάδες 6
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 Α. α) Λ, β) Λ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. PM NM ( ) ( ) = = Ν( Ω ) = Ν( Μ) N( Ω) 6 <ΝΩ ( ) < 7 6 < ΝΜ ( ) < 7 6 <ΝΜ ( ) < 8 άρα Ν(Μ) = 7 αφού ΝΜ ( ) N *, οπότε Ν(Ω) = 68 7 Β. Έχουμε PA ( ) + PK ( ) + PM ( ) = λ λ+ + = λ λ+ = 0 Άρα λ = ή λ = Για λ = είναι P(A) = άτοπο Για λ = έχουμε: PA= ( ) και PK ( ) =. Οπότε λ = ΝΑ ( ) ΝΑ ( ) Β. PA ( ) = = = Ν( Α ) = 7 ΝΩ ( ) 68 NK ( ) ΝΚ ( ) PK ( ) = = = Ν( Κ ) = N( Ω) 68 Άρα υπάρχουν: 7 άσπρες, 7 μαύρες και κόκκινες σφαίρες Β. PA ( M) = PA ( ) + PM ( ) = + = ΘΕΜΑ Γ Το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων σχηματίστηκε ενώνοντας τα μέσα των άνω βάσεων του ιστογράμματος σχετικών συχνοτήτων. Το πλάτος c = των κεντρικών τιμών ισούται με το πλάτος των c κλάσεων, οπότε τα άκρα των κλάσεων θα είναι σε απόσταση ± =± από κάθε κεντρική τιμή.
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 Γ. Έχουμε f % = 0, f % = 0, f % = y, f % = ye, f % = 0. Επειδή Ε παράλληλο προς τον οριζόντιο άξονα, y y =. E f % f % f % f % f % 00 0 0 y 0 00 y 0 + + + + = + + + = = και άρα y = 0 Παρατήρηση: Ο υπολογισμός των Έχουμε i i i= y, ye θα μπορούσε να γίνει ως εξής: x = x f 0 0, + 0, + 0,0y + 6 0,0y + 8 0, =, 0,0y = 9 y = 0, οπότε y E = 0 Ε E Γ. f i % 0 0 Γ Ε 0 Β Ζ Α 8 0 6 8 0 Η Πωλ. Σε χιλ. Ευρώ Γ. Κλάσεις [, ) Κεντρικές τιμές x i Σχετικές συχνότητες f i % 9-0 0-0 - 0-7 6 0 7-9 8 0 Σύνολο - 00 Γ. Τουλάχιστον 000 Ευρώ θα λάβουν το 0% 0% 0% + = των πωλητών Γ. Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα ισούται με το μέγεθος ν του δείγματος, οπότε ν = 80 Άρα το εφάπαξ ποσό το δικαιούνται 0 80 00 = πωλητές
ΘΕΜΑ. Έχουμε Επειδή ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 + + = x x 0 x + = x x 0 x f () x e x x x e x x+, x R 0 x x x+ 0 0, e > x Rτότε: f ( x) = 0 x x+ = 0 x x+ = 0 x= ή x = x - f (x) + + f(x) Γνησίως Γνησίως αύξουσα φθίνουσα Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,. Στο παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο Επειδή A Bτότε P(A) P(B) και άρα Γνησίως αύξουσα +, και, + x = η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και στο x = η f PA ( B) = PA ( ) = PA ( B) = PA ( ) PA ( I B) = 0 PA ( B) = PB ( ) = P( B A) = P( B) P( B A) = =. α) Για κάθε x R έχουμε PA ( ) =, PB ( ) = x x x x x x + x 0 fx () = hx () e = e x x x+ = x x 0 x x + x= x= 6 0 0 ή x = ή x = β) Έχουμε x = 0, x =, x =. Οπότε v v v x xv = 0 + + 7 7 i i i = = = v + v + v + + =, =, = 7
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 Επιμέλεια: Κούσης Π. Σιφναίος. Τζωρτζίνης Ι. ΦιλιόγλουΒ. Φλωρόπουλος Α.