ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d F F F d Αν d, d και d, να βρείτε τα ολοκληρώματα : i. d i iv. d d d i. d d i iv. d d d d d d d d d d d d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pittragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pittragono.gr Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i. d d i d iv. d i. 8 d 8 d i d d iv. d d d
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pittragono.gr Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i. d d i d iv. d v. d i. d d d d d d i d d ln ln ln d iv. d d 8 d v. d d d ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ I. d II. d III. ln d IV. d V. d ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Αν το ολοκλήρωμα μας θυμίζει κάποια από τις παραπάνω μορφές ολοκληρωμάτων σύνθετων συναρτήσεων, τότε εφαρμόζουμε απευθείας τον αντίστοιχο τύπο. Συνήθως όμως οι συναρτήσεις μοιάζουν πολύ αλλά δεν είναι ίδιες. Τότε φτιάχνουμε την με κάποια απλή πράξη π.χ. πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας με ένα αριθμό ώστε να αναχθούμε σε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ όπου και g g g d g d είναι συνεχής συναρτήσεις στο [α,β] Για να εφαρμόσουμε παραγοντική ολοκλήρωση, πρέπει το ολοκλήρωμα να έχει τη μορφή g d ή να το φέρουμε εμείς στη μορφή αυτή η προς ολοκλήρωση συνάρτηση να μπορεί να πάρει τη μορφή γινομένου δυο συναρτήσεων και στη συνέχεια η μια από τις δυο συναρτήσεις να γραφεί με τη μορφή παραγώγου. Ουσιαστικά χρειαζόμαστε την παράγουσα μιας εκ των δυο συναρτήσεων ώστε το ολοκλήρωμα να πάρει την επιθυμητή μορφή. Με παραγοντική ολοκλήρωση υπολογίζονται ολοκληρώματα της μορφής : η Περίπτωση : d εδώ χρησιμοποιούμε την παράγουσα της η Περίπτωση : d, d παράγουσα της και της αντίστοιχα. εδώ χρησιμοποιούμε την η Περίπτωση : ln d εδώ χρησιμοποιούμε την παράγουσα της η Περίπτωση : d, d εδώ χρησιμοποιούμε την παράγουσα της. Σε αυτή την περίπτωση εμφανίζεται η ιδιομορφία ότι κατά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος εμφανίζεται σε κάποιο στάδιο ξανά το αρχικό ολοκλήρωμα. Έτσι θέτουμε το αρχικό ολοκλήρωμα με ένα γράμμα π.χ. Ι και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει ως προς Ι. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i. d d i. d d d d d d d d d d d d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pittragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : d d d d d d Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i. ln d d ln i. ln d ln d ln ln d 8 ln d ln d ln ln ln ln d ln d ln ln d ln ln d d Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : d Έχω : I d d d d d d d d I Άρα : I I I I ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pittragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ g g d όπου και g g, g d και g, g. είναι συνεχής συναρτήσεις, Με τη μέθοδο αυτή υπολογίζουμε ολοκληρώματα που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή g g d 8 Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i. d d i d ln i. d θέτω άρα d d Για είναι Για είναι. άρα έχω : d 8 d θέτω ln άρα d d ln Για είναι Για είναι άρα έχω : d ln i d θέτω άρα d Για είναι άρα Για είναι Άρα d 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pittragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο Συνδυαστικό παραγοντικής αλλαγής μεταβλητής Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : ln d θέτω Για είναι άρα ln d. d d Για είναι άρα έχω : ln d ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Ε. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ d I η περιπτωση αν και τότε : I d d d d η περίπτωση αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος του και εκτελούμε την ευκλείδεια διαίρεση : γενικά αυτό γίνεται όταν ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος του βαθμού του παρανομαστή. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i. d d i. d Έχω άρα και Άρα d d d ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pittragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pittragono.gr 8 d Εκτελούμε τη διαίρεση : : και έχω :. Έτσι : d d d d ln ln ln ln. d d i Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : d d Έχω : - + Άρα : έστω,, Άρα : d d d d d 8 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Συνήθως συναντάμε τη μορφή d. Αρχικά λύνω την εξίσωση, βρίσκουμε το πρόσημο της με πινακάκι, βγάζουμε την απόλυτη τιμή, αν είναι απαραίτητο χωρίζουμε το [α,β], και υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8 : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων της μορφής : d, d o αν ν άρτιος, υποδιπλασιάζουμε τον βαθμό των δυνάμεων με τους τύπους αποτετραγωνισμου : και o αν ν περιττός, τότε γράφουμε ν=κ+ και έχουμε : π.χ. d = d = d συν= και δουλεύω με τη μέθοδο της αντικατάστασης π.χ = d ή και θέτω d = d = d = d και θέτω ημ= και δουλεύω με τη μέθοδο της αντικατάστασης. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : i. d i d iv. d d ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να υπολογίσουμε ολοκλήρωμα της μορφής βρούμε τον τύπο της, τότε εργαζόμαστε ως εξής : Δίνεται η συνάρτηση :, με τύπο :. i. Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d i. D, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο D, άρα η d, και δεν μπορούμε να i. Θέτουμε άρα είναι d Βρίσκουμε τα νέα άκρα ολοκλήρωσης και τελικά το ζητούμενο ολοκλήρωμα γίνεται : d [ ]... είναι - και άρα είναι και αντιστρέψιμη. Το πεδίο ορισμού της, είναι το ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pittragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο σύνολο τιμών της. Η είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο D, άρα lim, lim, lim lim lim lim lim lim Άρα, D Στο ολοκλήρωμα d θέτουμε άρα είναι : Για είναι : Για είναι Άρα : d d. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pittragono.gr