ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 1
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση f (X) λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το όριο f (x ) f (x h) f (x) lim h0 h και είναι πραγματικός αριθμός. 2
3 Συμβολισμός Δεύτερη παράγωγος df f( x)' dx df d( ) f( x)'' dx dx Στην ουσία ταυτίζεται με την εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο χ Όταν το h τείνει στο μηδέν το x+h τείνει να ταυτιστεί με το χ. Η τέμνουσα ΑΒ γίνεται εφαπτομένη στο σημείο Α 2 d f dx 2
Φυσικά μεγέθη -Παράγωγος (γιατί μας χρειάζεται) Η παράγωγος δίνει το ρυθμό μεταβολής ενός μεγέθους ως προς τον παράγοντα από τον οποίο εξαρτάται: Η ταχύτητα υ(t) είναι ο ρυθμός μεταβολής του διαστήματος ως προς το χρόνο Η επιτάχυνση α(t) είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ως προς το χρόνο Η ένταση ρεύματος Ι=dq/dt είναι ο είναι ο ρυθμός μεταβολής του φορτίου ως προς το χρόνο Η ισχύς P είναι ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας ως προς το χρόνο 4
Σταθερός ρυθμός μεταβολής Σε ίσους χρόνους ίσα διαστήματα Κλίση ευθείας = ταχύτητα (σταθερή) 5
Μεταβαλλόμενη κίνηση Πως μπορούμε να βρούμε την ταχύτητα σε κάποια χρονική στιγμή; 6
Ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση Χ(t):Η εφαπτόμενη της καμπύλης σε κάθε σημείο είναι διαφορετική και μας δίνει την τιμή της ταχύτητας στην αντίστοιχη χρονική στιγμή Δχ/Δt 7
Αποδεικνύεται ότι Πως υπολογίζω παραγώγους Π.χ Y(x)=x 2 Υ =2x Y=x 3 Υ =3x 2 Γενίκευση (Χ ν ) =ν Χ ν-1 Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση 2 at dx a.2t X t X '( t) 2 dt 2 at 8
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9
Πως υπολογίζω παραγώγους Αν έχω σύνθετη συνάρτηση y=f(g(x)) Μπορώ να εφαρμόσω αλυσιδωτή παραγώγιση. Θέτω g(x)=u 10 Πχ. Υ=ημ(χ 2 ) Υ =2Χ συν (χ 2 )
ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγου. Έτσι εάν π.χ. η F(x) είναι η παράγωγος της f(x) (δηλαδή F = df / dx) τότε η f(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωμα της F(x). παράδειγμα έστω f(x)=x 2 /2 F(x)= df / dx=x τότε f (x) F(x) dx xdx 2 x 2 11
ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Το αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης Χ είναι το Χ 2 / 2 Γεωμετρικά (ισοδυναμεί με το ποια συνάρτηση στο σημείο x έχει κλίση ίση με x; Αυτή είναι η συνάρτηση f(χ) = x 2 / 2. Όμως για να είμαστε απολύτως ακριβείς πρέπει να προσθέσουμε και μια σταθερά, δηλαδή το αόριστο ολοκλήρωμα του x είναι το x 2 / 2 + c όπου c είναι μια αυθαίρετη σταθερά. Αυτό γίνεται γιατί εάν μετατοπίσουμε μια καμπύλη κατά c, η κλίση της δεν αλλάζει. Η «οικογένεια καμπυλών» x 2 / 2 + c έχουν όλες την ίδια κλίση σε συγκεκριμένο σημείο. 12
ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ 13
ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ n n x(t) lim (t) t (t)dt i i t t o Γενικά n n I lim f (t) t f (t)dt i i b a 14
ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ: Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η διαφορά του αορίστου ολοκληρώματος σε δυο διαφορετικά σημεία x 1 και x 2. Συμβολίζεται ως εξής: f (x) x x 1 2 F(x) dx Έτσι εάν η f(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωμα της F(x), τότε x x 1 2 F(x) dx f (x ) f (x ) 2 1 15
ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Η φυσική σημασία του ορισμένου ολοκληρώματος είναι ότι αυτό ισούται με το εμβαδόν ανάμεσα στην καμπύλη F(x) και τον άξονα x μεταξύ των ορίων x 1 και x 2 : f (x) x x 1 2 F(x) dx F(x) 16
17
18