ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1

Συστήµατα αναµονής Οι ουρές αναµονής αποτελούν καθηµερινό και συνηθισµένο φαινόµενο και εµφανίζονται σε συστήµατα εξυπηρέτησης, στα οποία η ζήτηση για κάποια υπηρεσία δεν µπορεί να ικανοποιηθεί µερικές φορές άµεσα από τη δυναµικότητα του συστήµατος που παρέχει την εξυπηρέτηση, λόγω των τυχαίων διακυµάνσεων που παρατηρούνται τόσο στον ρυθµό προσέλευσης όσο και στον χρόνο εξυπηρέτησης κάθε πελάτη από το σύστηµα. Η γνώση των λειτουργικών χαρακτηριστικών των συστηµάτων εξυπηρέτησης και των ουρών αναµονής µπορεί να οδηγήσει σε θεαµατικές βελτιώσεις της απόδοσής τους. 2

Το πρόβληµα της αναµονής Ζήτηση: πιθανολογικό µέγεθος που χαρακτηρίζει το χρόνο, κατά τον οποίο ζητούνται οι υπηρεσίες του συστήµατος κατά την καθηµερινή του λειτουργία, καθώς και τη διάρκεια της εξυπηρέτησης της ζήτησης. Ο πελάτης που φθάνει για να εξυπηρετηθεί χρειάζεται να παραµείνει στο σύστηµα για χρόνο, που είναι κατά κανόνα µεγαλύτερος από το µέσο χρόνο που απαιτείται για να εκτελεστούν οι υπηρεσίες που παρέχει το σύστηµα. Αυτό οφείλεται στον τυχαίο τρόπο µε τον οποίο εκδηλώνεται η ζήτηση ή/ και στην τυχαία διάρκεια εξυπηρέτησης της. Παραδείγµατα συστήµατος αναµονής: τράπεζες, κυκλοφοριακά συστήµατα, νοσοκοµεία, υπεραγορές, πυροσβεστικοί σταθµοί, συνεργεία επισκευών κλπ. 3

Αξιολόγηση συστήµατος αναµονής Η απόδοση του συστήµατος αξιολογείται µε βάση τις τιµές ορισµένων βασικών δεικτών (δείκτες απόδοσης - µέτρα λειτουργικότητας), όπως για παράδειγµα ο µέσος χρόνος αναµονής ενός πελάτη στην ουρά, ο συνολικός µέσος χρόνος παραµονής ενός πελάτη στο σύστηµα, το µέσο πλήθος πελατών στην ουρά, το µέσο πλήθος πελατών στο σύστηµα, το ποσοστό απασχόλησης της θέσης εξυπηρέτησης ή των θέσεων εξυπηρέτησης, κλπ. Η δυναµικότητα ενός συστήµατος αναµονής συνήθως µετριέται είτε µε το πλήθος των παράλληλων σταθµών εξυπηρέτησης της ζήτησης είτε µε το µέσο ρυθµό εξυπηρέτησης (εξυπηρετούµενοι πελάτες ανά µονάδα χρόνου), που αντιστοιχεί σε ένα µέσο χρόνο εξυπηρέτησης. Στόχος της µελέτης ενός συστήµατος εξυπηρέτησης είναι ο προσδιορισµός της δυναµικότητας του ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος λειτουργίας του υπό τον όρο ότι οι τιµές των δεικτών απόδοσης του συστήµατος ικανοποιούν κάποιες ελάχιστες προδιαγραφές. 4

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 5

Κατανοµές Πιθανότητας Tυχαίας Μεταβλητής Ορισµός: Έστω Ω δειγµατικός χώρος. Μια συνάρτηση Χ: Ω R καλείται τυχαία µεταβλητή (τ.µ.) (σε κάθε δειγµατικό σηµείο ω Ω αντιστοιχεί έναν πραγµατικό αριθµό). Ορισµός : Έστω Χ µια τ.µ. ορισµένη στον δειγµατικό χώρο Ω. Η συνάρτηση F η οποία ορίζεται από τη σχέση λέγεται συνάρτηση κατανοµής (σ.κ.) ή αθροιστική συνάρτηση κατανοµής (α.σ.κ.) της τ.µ. Χ. Έστω F η σ.κ. µιας τ.µ. Χ. Τότε : P(α<Χ β)=f(β)-f(α), για κάθε πραγµατικούς αριθµούς α, β, α β. 6

Διακριτή τ.µ. Μια τ.µ. Χ καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει µε πιθανότητα 1 πεπερασµένο ή αριθµήσιµο σύνολο τιµών { x 0, x 1,x 2, }. Τότε η συνάρτηση f: f(x k )=P(X=x k ), k=0,1,2, καλείται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ή απλώς συνάρτηση πιθανότητας της τ.µ. Χ. Είναι φανερό ότι f(x k )>0, k=0,1,2, και Συνήθως οι τιµές που παίρνουν οι διακριτές τ.µ. είναι φυσικοί αριθµοί (0,1,2,...). Πως θα υπολογίσουµε την σ.κ. µίας διακριτής τ.µ.; 7

Συνεχής τ.µ. Μια τ.µ. Χ καλείται συνεχής αν υπάρχει µη αρνητική συνάρτηση f, δηλαδή f(x) µε τέτοια ώστε, µε + f(x)dx =1 Η f καλείται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ή απλώς συνάρτηση πυκνότητας της τ.µ. Χ. Είναι εµφανές ότι για συνεχή τ.µ. Χ µε συνάρτηση πυκνότητας f, η συνάρτηση κατανοµής F δίνεται από τον τύπο : 8

Συνεχής τ.µ. Παρατήρηση : Αν Χ συνεχής τ.µ. η έκφραση P(X=x) δεν έχει νόηµα. Τύπος : Αν η f παίρνει τιµές µόνο σ ένα διάστηµα [α,β] R, θέτω f(x)=0 για, και έχουµε : 9

Χρήσιµες κατανοµές πιθανοτήτων στα συστήµατα αναµονής Κατανοµή Poisson : Χ~P(λ) Όταν σε ένα πείραµα τύχης δίνεται ο µέσος όρος λ των συµβάντων σ ένα χρονικό ή χωρικό διάστηµα π.χ. ο αριθµός των κλήσεων σ ένα τηλεφωνικό κέντρο στο χρονικό διάστηµα 10 µε 11 το πρωί. Τότε αν η τ.µ. Χ συµβολίζει τον αριθµό των συµβάντων, η πιθανότητα να συµβούν κ γεγονότα δίνεται από την κατανοµή Poisson : Μέση τιµή : Ε(Χ)=λ Διασπορά : V(Χ)=λ 10

Κατανοµή Poisson Η κατανοµή αφορά τυχαία διακριτά γεγονότα ή στοιχεία που συµβαίνουν σπάνια ή εµφανίζονται µε πολύ µικρή συχνότητα σε ένα πληθυσµό, όπως το γεγονός: να περάσει ένα όχηµα από ένα σηµείο µιας οδού τη στιγµή t. να βρεθεί ένα σκάρτο δοκίµιο σε ένα δείγµα Ν προϊόντων. να γίνει κλήση σε τηλεφωνικό κέντρο τη στιγµή t - να συµβεί βλάβη σε µια µηχανή τη στιγµή t. να πουληθεί ένα προϊόν τη στιγµή t. να «χτυπηθεί» λάθος στοιχείο κατά τη δακτυλογράφηση ενός κειµένου από µια έµπειρη δακτυλογράφο. να συµβεί ατύχηµα σε ένα σηµείο µιας οδού. 11

Κατανοµή Poisson Η κατανοµή Poisson χαρακτηρίζεται από το ότι κάθε γεγονός συµβαίνει εντελώς τυχαία και ανεξάρτητα από τα άλλα γεγονότα. από το ότι η πιθανότητα να συµβούν δύο ή περισσότερα γεγονότα ταυτόχρονα ή σχεδόν ταυτόχρονα είναι αµελητέα. 12

Κατανοµή Poisson π.χ. Ο µέσος όρος των ατυχηµάτων σ ένα σταυροδρόµι είναι 3.5 ατυχήµατα το χρόνο. Οι πιθανότητες για κανένα, ένα, δυο, κοκ ατυχήµατα δίνονται από την κατανοµή Poisson και είναι: Ποια είναι η πιθανότητα να συµβούν: α) Το πολύ 2 ατυχήµατα σε ένα έτος; β) Περισσότερα από 5 ατυχήµατα σε δύο έτη; Συµβουλή : Ο µέσος όρος λ στο χρόνο ή στο χώρο µας οδηγεί στην κατανοµή Poisson. Προσέχουµε µήπως έχουµε πολλαπλάσιο ή υποπολλαπλάσιο χρόνο ή χώρο, οπότε και η σταθερή λ για το αντίστοιχο διάστηµα γίνεται αντίστοιχα πολλαπλάσιο ή 13 υποπολλαπλάσιο.

Κατανοµή Poisson ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1) Όταν για την τ.µ. Χ της οποίας ζητάµε την πιθανότητα έχουµε αναφορά σε µέσο όρο ή µέση τιµή λ, τότε οδηγούµαστε στην κατανοµή Poisson. 2) Ελέγχουµε αν ο δοσµένος µέσος όρος λ έχει την ίδια βάση αναφοράς µε το ζητούµενο (ίσο χρόνο ή χώρο). Αν όχι τότε κάνουµε αναγωγή του δοσµένου στον ζητούµενο. π.χ. Αν κατά µέσο όρο 3 ατυχήµατα συµβαίνουν στη διάρκεια 2 µηνών τότε ο µ.ο. των ατυχηµάτων λ για διάρκεια 30 ηµερών είναι: λ=1.5 (2 µήνες = 60 ηµέρες). 14

Εκθετική κατανοµή Εκθετική Κατανοµή: Χ~ε(λ) Όταν οι αφίξεις ακολουθούν την κατανοµή Poisson µε µέσο ρυθµό αφίξεων λ, τότε ο χρόνος µεταξύ διαδοχικών αφίξεων ακολουθεί την αρνητική εκθετική κατανοµή µε µέση τιµή 1/λ. Η συνεχής τ.µ. X ακολουθεί την εκθετική κατανοµή όταν η σ.π.π. για λ>0 είναι: Mέση τιµή : Διασπορά: Η συνάρτηση κατανοµής είναι : 15

Μορφή συστηµάτων αναµονής 16

Χαρακτηριστικά Συστηµάτων Ουρών Αναµονής Πηγή Πελατών: Ο πληθυσµός από τον οποίο προέρχονται οι αφίξεις των πελατών θεωρείται είτε άπειρος (πρακτικά πολύ µεγάλου µεγέθους) όπως π.χ. πελάτες τραπεζών, αυτοκίνητα σε σταθµούς διοδίων κλπ, ή πεπερασµένος όπως για παράδειγµα στην περίπτωση των µηχανών ενός εργοστασίου που αναµένουν επισκευή. 17

Αφίξεις στο Σύστηµα Σε κάθε σύστηµα ουράς αναµονής υπάρχουν "πελάτες" οι οποίοι προσέρχονται για εξυπηρέτηση. Με τον γενικό όρο "πελάτης" εννοούµε τα πρόσωπα, αντικείµενα ή συµβάντα που εισέρχονται στο σύστηµα για εξυπηρέτηση. 18

Κατανοµή Αφίξεων Οι "πελάτες" καταφθάνουν στο σύστηµα είτε σύµφωνα µε κάποιο γνωστό και σταθερό ρυθµό (π.χ. ένα προϊόν σε ένα σταθµό εργασίας ακριβώς κάθε 15 λεπτά) ή αλλιώς, όπως στις περισσότερες περιπτώσεις, σε «τυχαίες» χρονικές στιγµές (π.χ. ασθενείς σε εφηµερίες). Οι αφίξεις θεωρούνται τυχαίες όταν είναι ανεξάρτητες η µία από την άλλη (δεν επηρεάζεται µία άφιξη από κάποια προηγούµενη) και η χρονική στιγµή πραγµατοποίησης τους δεν µπορεί να προβλεφθεί ακριβώς. Στην περίπτωση αυτή ο µέσος ρυθµός των αφίξεων χαρακτηρίζεται από το µέσο αριθµό αφίξεων ανά µονάδα του χρόνου (π.χ. "πελάτες" ανά ώρα). Η τυχαία µεταβλητή «αριθµός των αφίξεων ανά µονάδα χρόνου», µπορεί πολλές φορές να προσεγγισθεί από την κατανοµή Ρoisson. Αν γίνει αυτό, τότε η µέση τιµή της Poisson αντιστοιχεί στη µέση τιµή των αφίξεων ανά µονάδα χρόνου, συµβολίζεται µε λ και αποτελεί το µέσο ρυθµό αφίξεων στην µονάδα του χρόνου. 19

Κατανοµή Αφίξεων Σηµειώνεται ότι όταν στη διαδικασία εισόδου παρατηρείται ότι ισχύει η κατανοµή Poisson µε µέσο ρυθµό αφίξεων ίσο µε λ, τότε ο χρόνος που µεσολαβεί ανάµεσα σε διαδοχικές αφίξεις ακολουθεί εκθετική κατανοµή µε µέση τιµή ίση µε 1/λ. Οι αφίξεις µπορεί να γίνονται είτε µία-µία είτε κατά οµάδες. 20

Χρόνος εξυπηρέτησης O χρόνος που απαιτείται για την εξυπηρέτηση του πελάτη µπορεί να είναι σταθερός ή όπως συµβαίνει και στα περισσότερα συστήµατα ουρών αναµονής, να παρουσιάζει µεταβλητότητα που οφείλεται σε διάφορους παράγοντες. Για πολλές περιπτώσεις συστηµάτων ουράς αναµονής, µπορεί να θεωρηθεί ότι ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί την εκθετική κατανοµή, µε µέση τιµή 1/µ. Οµοίως, όταν ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί εκθετική κατανοµή µε µέση τιµή 1/µ, τότε το πλήθος των πελατών που εξυπηρετούνται σε ένα χρονικό διάστηµα ακολουθεί κατανοµή Poisson µε µέση τιµή ίση µε µ. Η εξυπηρέτηση των πελατών µπορεί να γίνεται είτε συνεχώς είτε κατά ορισµένα χρονικά διαστήµατα. 21

Θέσεις εξυπηρέτησης Για τον πελάτη που αναµένει στην ουρά µπορεί να υπάρχουν περισσότερες από µία παράλληλες θέσεις εξυπηρέτησης (π.χ. ταµεία στην τράπεζα, διάδροµοι διοδίων, ταµεία σε υπεραγορές κλπ.). Στην περίπτωση αυτή ο πελάτης εξυπηρετείται από την πρώτη διαθέσιµη θέση εξυπηρέτησης. Επίσης, άλλες φορές για την πλήρη εξυπηρέτηση του πελάτη απαιτείται η διαδοχική προσέλευσή του σε περισσότερες από µία θέσεις εξυπηρέτησης, δηλαδή εξυπηρετείται σε διαδοχικές φάσεις (π.χ. η διεκπεραίωση κάποιας εργασίας που απαιτεί εγκρίσεις σε πολλά στάδια). 22

Λειτουργία της Ουράς Αναµονής Η ουρά σχηµατίζεται από «πελάτες» που αναµένουν τη σειρά τους να εξυπηρετηθούν. Ο τρόπος µε τον οποίο επιλέγεται ένας πελάτης που αναµένει στην ουρά για να εξυπηρετηθεί είναι ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά των συστηµάτων ουρών αναµονής και ονοµάζεται πειθαρχία. Οι µέθοδοι που εφαρµόζονται είναι κυρίως οι εξής: FIFO ή FCFS (First Ιn First Out, First Come First Served): Οι πελάτες εξυπηρετούνται µε βάση τη σειρά προσέλευσης. LIFO ή LCFS (Last Ιn First Out, Last Come First Served): Οι πελάτες εξυπηρετούνται αντίστροφα µε την σειρά προσέλευσης. Κανόνες προτεραιότητας Ένα ακόµη ενδιαφέρον στοιχείο που αφορά την ουρά αναµονής είναι η χωρητικότητά της. Η χωρητικότητα της ουράς µπορεί να είναι άπειρη (πρακτικά, όποιος προσέρχεται µπορεί να µείνει) ή πεπερασµένη (όταν κάποιος προσέρχεται αφού έχουν καταληφθεί όλες οι θέσεις αναµονής, δεν µπορεί να εισέλθει στο σύστηµα ή υπάρχουν αποθαρρυνόµενοι πελάτες). 23

Συµβολισµός µοντέλων Ανάλογα µε τα χαρακτηριστικά λειτουργίας ενός συστήµατος ουράς αναµονής χρησιµοποιείται και ένα διαφορετικό µοντέλο για την ανάλυσή του. Για τη διάκριση των µοντέλων ο D. G. Kendall πρότεινε έναν εύχρηστο συµβολισµό µε πέντε σύµβολα που έχει τη γενική µορφή «A/B/s/k/N», όπου τα σύµβολα παριστάνουν τα εξής: Α: θέση για το σύµβολο της κατανοµής εισόδου πελατών. Πιθανό σύµβολο για τη θέση Α είναι το Μ, που παριστάνει τη διαδικασία Poisson. Άλλα σύµβολα είναι το G που σηµαίνει γενική ή οποιαδήποτε κατανοµή, και το D που σηµαίνει προσδιοριστική διαδικασία εισόδου, δηλαδή µε γνωστό και σταθερό ρυθµό. 24

Συµβολισµός µοντέλων Β: θέση για το σύµβολο της κατανοµής του χρόνου εξυπηρέτησης. Χρησιµοποιούνται τα ίδια σύµβολα µε την περίπτωση Α. s: θέση για το πλήθος των παράλληλων θέσεων εξυπηρέτησης. k: θέση για τη χωρητικότητα του συστήµατος εξυπηρέτησης, όταν οι θέσεις στην ουρά αναµονής είναι περιορισµένες. Το k είναι το πλήθος των θέσεων αναµονής µαζί µε τις θέσεις εξυπηρέτησης. Ν: θέση για το πλήθος των πελατών στην πηγή, όταν είναι πεπερασµένο. Σχόλιο: Σε ορισµένες περιπτώσεις µετά το s δίνεται και το είδος της πειθαρχίας της ουράς. 25

Κατάσταση ισορροπίας Επίσης, είναι σηµαντικό να αναφερθούµε στην έννοια της κατάστασης ισορροπίας. Ένα σύστηµα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας, όταν η συµπεριφορά του δεν εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες που υπάρχουν κατά την έναρξη της λειτουργίας του. Δηλαδή, ένα σύστηµα εξυπηρέτησης φτάνει σε κατάσταση ισορροπίας, όταν παρέλθει ένα εύλογο χρονικό διάστηµα από την αρχική του κατάσταση, στη διάρκειά του οποίου εξαλείφεται η επίδραση των συνθηκών εκκίνησης. Η περίοδος που απαιτείται, ώστε το σύστηµα να µην εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες εκκίνησης και να συγκλίνει σε κατάσταση ισορροπίας, ονοµάζεται παροδική περίοδος. Τα µοντέλα που αναφέρονται παρακάτω και οι τύποι που χρησιµοποιούνται θεωρούν ότι το σύστηµα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας. 26

Μοντέλο Μ/Μ/1 Χρησιµοποιείται για την µελέτη ενός συστήµατος αναµονής όπου ισχύουν τα εξής: Η διαδικασία αφίξεων των πελατών ακολουθεί την κατανοµή Poisson µε µέσο ρυθµό αφίξεων ίσο µε λ ανά χρονική µονάδα. Η διαδικασία εξυπηρέτησης ακολουθεί κατανοµή Poisson µε µέσο πλήθος πελατών που εξυπηρετούνται ανά χρονική µονάδα ίσο µε µ. (ισοδύναµα ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί την εκθετική κατανοµή µε µέση τιµή 1/µ). Υπάρχει µία θέση εξυπηρέτησης. Το πλήθος των πελατών στην πηγή είναι άπειρο, οι πελάτες εξυπηρετούνται µε πειθαρχία FIFO, σχηµατίζουν µια ουρά η οποία έχει άπειρη χωρητικότητα και δεν αποχωρούν όσο µεγάλη και αν είναι η ουρά. Η θεµελιώδης σχέση που πρέπει να ισχύει για να µπορεί να υπάρξει κατάσταση ισορροπίας είναι λ<µ. 27

Μοντέλο M/M/s Χρησιµοποιείται για την µελέτη ενός συστήµατος αναµονής όπου ισχύουν τα εξής: Η διαδικασία αφίξεων των πελατών ακολουθεί την κατανοµή Poisson µε µέσο όρο αφίξεων λ ανά χρονική µονάδα. Υπάρχουν περισσότερες από µία παράλληλες θέσεις εξυπηρέτησης (s>1). Ο χρόνος εξυπηρέτησης σε κάθε θέση ακολουθεί την εκθετική κατανοµή µε µέσο πλήθος πελατών που εξυπηρετούνται σε κάθε θέση να είναι µ ανά χρονική µονάδα. Το πλήθος των πελατών στην πηγή είναι πρακτικά άπειρο, οι πελάτες εξυπηρετούνται µε βάση τη σειρά προσέλευσης (FIFO), σχηµατίζουν µια ουρά η οποία έχει άπειρη χωρητικότητα και δεν αποχωρούν όσο µεγάλη και αν είναι η ουρά και εξυπηρετούνται από την πρώτη διαθέσιµη µονάδα εξυπηρέτησης. Η θεµελιώδης σχέση που πρέπει να ισχύει για να µπορεί να υπάρξει κατάσταση ισορροπίας, είναι λ<sµ. 28

Βασικά µεγέθη Μ/Μ/1 : µέσο πλήθος πελατών που βρίσκονται σε κατάσταση εξυπηρέτησης ρ: Βαθµός απασχόλησης του συστήµατος εξυπηρέτησης (ποσοστό χρόνου απασχόλησης του συστήµατος) : µέσο πλήθος πελατών στην ουρά αναµονής 29

Βασικά µεγέθη Μ/Μ/1 L: µέσο πλήθος πελατών στο σύστηµα συνολικά : µέσος χρόνος αναµονής ενός πελάτη στην ουρά W: µέσος χρόνος παραµονής ενός πελάτη στο σύστηµα 30

Βασικά µεγέθη Μ/Μ/1 : πιθανότητα να µην υπάρχει κανένας πελάτης στο σύστηµα ή ισοδύναµα το ποσοστό του χρόνου που όλες οι θέσεις είναι αδρανείς : πιθανότητα ένας πελάτης που φθάνει στο σύστηµα να χρειαστεί να περιµένει 31

Βασικά µεγέθη Μ/Μ/1 : πιθανότητα να υπάρχουν n πελάτες στο σύστηµα : πιθανότητα να υπάρχουν περισσότεροι από κ πελάτες στο σύστηµα 32

Προσδιορισµός δυναµικότητας συστηµάτων εξυπηρέτησης Ο αντικειµενικός σκοπός της ανάλυσης των συστηµάτων αναµονής είναι συνήθως ο προσδιορισµός εκείνης της δυναµικότητας του συστήµατος, δηλαδή του πλήθους των θέσεων εξυπηρέτησης, για την οποία ελαχιστοποιείται το συνολικό προσδοκώµενο (=µέσο) µεταβλητό κόστος λειτουργίας του συστήµατος. Το κόστος αυτό για µία επιχείρηση αποτελείται από δύο επιµέρους στοιχεία κόστους, το κόστος από την αναµονή των πελατών και το κόστος δυναµικότητας από την παροχή της εξυπηρέτησης. Όταν αυξάνεται η δυναµικότητα του συστήµατος µε επιπρόσθετες θέσεις εξυπηρέτησης, ο µέσος χρόνος παραµονής των πελατών στο σύστηµα µειώνεται, µε αποτέλεσµα να µειώνεται και το κόστος από την αναµονή των πελατών. 33

Προσδιορισµός δυναµικότητας συστηµάτων εξυπηρέτησης Στην περίπτωση όµως αυτή, το κόστος παροχής της εξυπηρέτησης του συστήµατος αυξάνεται λόγω της προσθήκης θέσεων εξυπηρέτησης. Αντίθετα, όταν µειώνεται η δυναµικότητα του συστήµατος, το κόστος παραµονής των πελατών στο σύστηµα αυξάνεται λόγω αύξησης του χρόνου παραµονής τους, αλλά συγχρόνως µειώνεται το κόστος εξυπηρέτησης λόγω µικρότερου αριθµού θέσεων εξυπηρέτησης. Έτσι, το ερώτηµα είναι πώς µπορεί να βρεθεί ισορροπία ανάµεσα στο κόστος αναµονής των πελατών και στο κόστος εξυπηρέτησης από την πλευρά της επιχείρησης, σχεδιάζοντας µε τον πλέον κατάλληλο τρόπο το σύστηµα εξυπηρέτησης. 34

Προσδιορισµός δυναµικότητας συστηµάτων εξυπηρέτησης 35

Διαµόρφωση σχέσης κόστους λειτουργίας Το συνολικό µεταβλητό κόστος λειτουργίας του συστήµατος, που συµβολίζεται µε Κ, προκύπτει ως το άθροισµα δύο επιµέρους στοιχείων κόστους, του κόστους αναµονής των πελατών, που συµβολίζεται µε Κ α και του κόστους εξυπηρέτησης του συστήµατος, που συµβολίζεται µε Κ ε. Με k α παριστάνεται το κόστος αναµονής ενός πελάτη στη µονάδα χρόνου. Σηµειώστε, ότι όταν γίνεται αναφορά στο κόστος αναµονής, ουσιαστικά εννοούµε και το συνολικό χρόνο παραµονής του πελάτη στο σύστηµα. Κατά συνέπεια, αφού µε W έχει συµβολιστεί ο µέσος συνολικός χρόνος παραµονής ενός πελάτη στο σύστηµα, το (µέσο) κόστος από την αναµονή του πελάτη στη µονάδα του χρόνου είναι ίσο µε k α W. 36

Διαµόρφωση σχέσης κόστους λειτουργίας Όµως, η ποσότητα αυτή αναφέρεται σ' ένα µόνο πελάτη και δεν αντικατοπτρίζει το συνολικό κόστος αναµονής των πελατών. Για να υπολογιστεί το συνολικό προσδοκώµενο κόστος αναµονής των πελατών, πολλαπλασιάζεται η ποσότητα αυτή, µε το µέσο ρυθµό αφίξεων των πελατών στη µονάδα του χρόνου, δηλαδή µε το λ: (1) Κ α =k α λw= k α L 37

Διαµόρφωση σχέσης κόστους λειτουργίας Αναφορικά µε το κόστος εξυπηρέτησης τα πράγµατα είναι πιο απλά. Είδαµε ότι ο βασικός παράγοντας που καθορίζει το κόστος εξυπηρέτησης είναι το πλήθος των θέσεων εξυπηρέτησης, δηλαδή το s. Αν k ε παριστάνει το κόστος εξυπηρέτησης της µίας θέσης στη µονάδα του χρόνου, τότε το κόστος εξυπηρέτησης Κ ε για προσφερόµενη δυναµικότητα s είναι: Κ ε = k ε s (2) Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει η σχέση (3) που δίνει το συνολικό προσδοκώµενο (=µέσο) µεταβλητό κόστος λειτουργίας του συστήµατος στη µονάδα του χρόνου: Κ= k ε s+k α L (3) 38

Παράδειγµα βελτιστοποίησης συστήµατος αναµονής Η διανοµή προϊόντων µιας επιχείρησης χονδρεµπορίου στους πελάτες της γίνεται από µια αποθήκη που διαθέτει µια ράµπα, στην οποία προσεγγίζουν φορτηγά αυτοκίνητα για να παραλάβουν τα εµπορεύµατα. Τα φορτηγά φθάνουν µε ρυθµό 8 ανά ώρα και οι αφί-ξεις τους ακολουθούν κατανοµή Poisson. Η φόρτωση ενός φορτηγού διαρκεί κατά µέσο όρο 5 λεπτά, αλλά υπάρχει σηµαντική τυπική απόκλιση ίση µε 6 λεπτά. Οι οδηγοί των φορτηγών παραπονούνται ότι περισσότερο χρόνο περιµένουν παρά φορτώνουν. 39

Παράδειγµα βελτιστοποίησης συστήµατος αναµονής Πράγµατι, για λ = 8/ώρα, µ = 60/5 = 12/ώρα και σ = 6/60 = 1/10 της ώρας προκύπτει: δηλαδή ο µέσος όρος φορτηγών στην ουρά είναι 1.63 φορτηγά, L = L q + λ/µ = 1.63 + 8/12 = 2.3, δηλαδή ο µέσος όρος φορτηγών στο σύστηµα είναι 2.3 φορτηγά, W q = L q /λ = 1.63/8 = 0.204 της ώρας = 12.24 λεπτά, δηλαδή ο µέσος χρόνος αναµονής στην ουρά είναι 12.24 λεπτά, W = L/λ = 2.3/8 = 0.288 της ώρας = 17.28 λεπτά, δηλαδή ο µέσος χρόνος παραµονής στο χώρο της αποθήκης κάθε φορτηγού είναι 17.28 λεπτά, όταν ο µέσος χρόνος φόρτωσης είναι µόνο 5 λεπτά. 40

Παράδειγµα βελτιστοποίησης συστήµατος αναµονής Έστω ότι λόγω καλύτερης οργάνωσης της αποθήκης µειώνεται στο µισό η τυπική απόκλιση του χρόνου φόρτωσης. Αν υποτεθεί ότι ο µέσος χρόνος φόρτωσης παραµένει ίσος µε 5 λεπτά, προκύπτει ότι για σ = 3 λεπτά είναι: L q = 0.91 L = 1.57 W q = 6.8 W = 11.8 άρα ο µέσος χρόνος αναµονής ενός φορτηγού στην ουρά σχεδόν µειώνεται στο µισό ύστερα από τη µείωση της τυπικής απόκλισης στο µισό της τιµής της. 41

Παράδειγµα βελτιστοποίησης συστήµατος αναµονής Έστω ότι αποφασίζεται η προσθήκη µιας δεύτερης ράµπας. Αν δε-χθούµε ότι ο χρόνος φόρτωσης ακολουθεί εκθετική κατανοµή µε µέσο ρυθµό φόρτωσης µ = 12/ώρα (άρα και τυπική απόκλιση σ = µ), τότε για s = 2 µπορούν να υπολογιστούν τα επόµενα: L q = 0.085 W q = 0.0106 της ώρας = 0.64 λεπτά. Εποµένως, η προσθήκη δεύτερης ράµπας βελτιώνει δραστικά την κατάσταση, σε σηµείο που να µην υπάρχει πλέον σοβαρό πρό-βληµα αναµονής. Ο βαθµός απασχόλησης του συστήµατος είναι ρ = λ/sµ = 0.333. 42

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Στο σύστηµα αναµονής που περιγράφεται από το µοντέλο (Μ/Μ/1):(FCFS/ / ) οι πελάτες φτάνουν µε ρυθµό ένας κάθε 0.2 λεπτά κατά µέσο όρο, ενώ η µέση ικανότητα εξυπηρέτησης είναι 500 πελάτες/ώρα. Μελετάται το ενδεχόµενο προσθήκης ενός ακόµα σταθµού εξυπηρέτησης. Ως κριτήριο αποφασίζεται να χρησιµοποιηθεί το κριτήριο του επιπέδου εξυπηρέτησης και συγκεκριµένα ο µέσος χρόνος αναµονής στην ουρά W q : αν ο χρόνος αυτός µε το υπάρχον σύστηµα είναι µεγαλύτερος από 5 λεπτά, τότε πρέπει να προστεθεί ένας δεύτερος σταθµός. Πρέπει να προστεθεί δεύτερος σταθµός στο σύστηµα; Άσκηση 2 Σε µια επιχείρηση παραγωγής υπηρεσιών που παρέχονται από όµοιους παράλληλους σταθµούς εξυπηρέτησης είναι γνωστό ότι το κόστος λειτουργίας ενός σταθµού εξυπηρέτησης k ε ισούται µε 10,000 ευρώ/µήνα, το κόστος αναµονής ενός πελάτη k α ισούται µε 30 ευρώ/ ώρα, το µέσο πλήθος πελατών στο σύστηµα δίνεται από τη σχέση L = 30x0.7 s-1, οι υπηρεσίες παρέχονται 8 ώρες/ηµέρα, 12 µήνες (250 ηµέρες) το χρόνο. Η επιχείρηση διαθέτει ήδη s=6 σταθµούς εξυπηρέτησης. Μπορεί να µειώσει το µέσο πλήθος των πελατών στο σύστηµα µεταβάλλοντας τον αριθµό των σταθµών, χωρίς όµως να αυξήσει το συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήµατος; Να ληφθεί υπόψη η προσέγγιση, σύµφωνα µε την οποία, το συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήµατος που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί είναι K = k ε s + k α L. 43