ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [4] ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝAΡΤΗΣΗ Ορισµός Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ Αρχική ή ράγουσ συνάρτηση της f στο, ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F, ργωγίσιµη στο, τέτοι ώστε: F ()=f() γι κάθε Γι ράδειγµ η συνάρτηση F()= +συν είνι µι ρχική της f()= +ηµ γιτί F ()=( +συν) = +ηµ=f() Στο ράδειγµ υτό ν, ντί της F είχµε την συνάρτηση G()= +συν+c, όου c R, τότε G ()=( +συν+c) = +ηµ=f() ηλδή οι F κι G είνι κι οι δύο ρχικές ή ράγουσες της f Γενικά ισχύει το εξής: Θεώρηµ Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ Αν η F είνι µι ρχική της f στο, τότε: Όλες οι συνρτήσεις της µορφής G()=F()+c, c Rείνι ρχικές της f στο κι Κάθε άλλη ρχική συνάρτηση της f στο ίρνει τη µορφή F()+c, όου c R ΑΠΟ ΕΙΞΗ Κάθε συνάρτηση ου έχει τη µορφή G()=F()+c, c R, είνι µι ράγουσ της f στο γιτί: G ()=(F()+c) =F ()+c =f()+=f() γι κάθε στο Αν G µί άλλη ράγουσ της f στο τότε ισχύει: G ()=f() κι F ()=f() Εοµένως G ()=F () γι κάθε στο Άρ σύµφων µε γνωστό όρισµ, θ υάρχει στθερά c τέτοι, ώστε G()=F()+c, γι κάθε στο ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ H έννοι της ρχικής συνάρτησης είνι µί έννοι ου ορίζετι σε διάστηµ κι όχι σε ένωση διστηµάτων Αοδεικνύετι ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ έχει ρχική συνάρτηση στο διάστηµ υτό **************** ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [4] ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ Το σύνολο όλων των ργουσών της f στο ονοµάζετι όριστο ολοκλήρωµ της f στο κι συµολίζετι µε f()d ηλδή: f()d=f()+c, γι κάθε κι c R, όου F µι ράγουσ της f Πχ: ηµd=-συν+c, γιτί (-συν) =ηµ Προφνώς ισχύει ότι: Γι κάθε συνάρτηση f ργωγίσιµη σε έν διάστηµ ισχύει: f ()d=f()+c, c R Το «d» στην έκφρση f()d ονοµάζετι διφορικό του Γενικά µε df() συµολίζουµε το διφορικό µίς συνάρτησης f κι είνι: df()=f ()d Η διδικσί εύρεσης του όριστου ολοκληρώµτος είνι η ντίστροφη της διδικσίς της ργώγισης Τ όριστ ολοκληρώµτ µερικών σικών συνρτήσεων δίνοντι στον ρκάτω ίνκ: ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ d=c 6 ηµd=-συν+c d=+c 8 d=ln +c 4 + d= +c, - + 8 συν ηµ d=εφ+c d=-σφ+c d= +c 5 συν d= ηµ+ c d= +c ln 6 d= +c -συν ηµd= +c 7 ln + ηµ d= +c συνd= +c + Αοδεικνύοντι οι εξής ιδιότητες : λf()d=λ f()d, λ R ( f()+g() ) d= f()d+ g()d ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [4] Πράδειγµ: - - ++ d= -+ + d= d- d+ d+ d= -+ln - +c ΜΕΘΟ ΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Α) Μέθοδος ολοκλήρωσης κτά ράγοντες Αν f κι g δύο ργωγίσιµες συνρτήσεις έν διάστηµ τότε ισχύει: f( ) g'( ) d= f( ) g( ) f '( ) g( ) d ΠΑΡΑΤΗΡΉΣΕΙΣ Η µέθοδος χρησιµοοιείτι γι τον υολογισµό ολοκληρωµάτων γινοµένων συνρτήσεων κυρίως των εξής µορφών: ολυων εκθ d= ολυων ΕΚΘ d= ( ) ( ) ( ) ( ) ολυων ΤΡΙΓΩΝ d= ( ολυων) ( τριγων ) d= ( ) ( ) ( ολυων ) ( λογριθ) d= ( ) ( ) ΠΟΛΥΩΝ λογριθ d= ( εκθετ ) ( τριγων) d= ( ) ( ) EKΘΕΤ τριγων d (όου µε κεφλί σηµειώνετι η ρχική της ντίστοιχης συνάρτησης του ρώτου ολοκληρώµτος) Β) Ολοκλήρωση µε ντικτάστση µετλητής Με τη µέθοδο υτή υολογίζοντι ολοκληρώµτ ου έχουν ή µορούν ν άρουν τη µορφή f(g())g'()d Η µέθοδος κολουθεί την εξής διδικσί: f(g())g'()d= f(u)du όου θ έσµε g()=u οότε du=g'()d ΣΧΟΛΙΟ Οι δύο ράνω µέθοδοι χρησιµοοιούντι µε την ροϋόθεση ότι τ ολοκληρώµτ του δευτέρου µέλους είνι ευκολότερ στον υολογισµό ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [44] ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΛΥΣΗ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γι τον υολογισµό ολοκληρωµάτων της µορφής ( ) ν + + d, d, ηµ(+)d, συν(+)d d ν (+) κάνουµε την ντικτάστση u=+, d=du Aν το ολοκλήρωµ εριέχει άρρητη ράστση της µορφής A()τότε θέτω A() =u u =A() oότε udu=a ()d Γι τον υολογισµό ολοκληρωµάτων της µορφής ν+ ηµ ηµ d, ηµ συν d, d, κ, ν Ν κ συν ν+ ν+ κ * θέτουµε u=συν Γι τον υολογισµό ολοκληρωµάτων της µορφής ν+ συν συν d, συν ηµ d, d, κ, ν κ ηµ ν+ ν+ κ * N θέτουµε u=ηµ Γι τον υολογισµό ολοκληρωµάτων της µορφής κ+λ dµε -4γ> ++γ ν, οι ρίζες του τριωνύµου τότε νζητούµε ργµτικούς ριθµούς µ κ+λ µ ν κι ν τέτοιους, ώστε: = + κι χωρίζουµε το ++γ - - ολοκλήρωµ σε δύο λούστερ ολοκληρώµτ (Μέθοδος νάλυσης κλάσµτος σε άθροισµ λών κλσµάτων) Γι τον υολογισµό ολοκληρωµάτων της µορφής κ+λ dµε -4γ= ν ο η διλή ρίζ του τριωνύµου τότε ++γ νζητούµε ργµτικούς ριθµούς µ κι ν τέτοιους ώστε: κ+λ µ ν = + κι χωρίζουµε το ολοκλήρωµ σε δύο ++γ - (- ) λούστερ ολοκληρώµτ όως ροηγουµένως A() Αν το ολοκλήρωµ έχει τη µορφή d, -4γ> όου το ++γ ολυώνυµο Α() έχει θµό µεγλύτερο ή ίσο του τότε, κάνουµε ρώτ την διίρεση Α(): ++γ Αν () το ηλίκο κι υ()=κ+λ το υόλοιο τότε A() κ+λ έχουµε: =()+ Εοµένως ίρνουµε: ++γ ++γ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [45] Α() ++γ ροηγουµένως κ+λ ++γ d= ()d+ d κι συνεχίζουµε όως Γι τον υολογισµό ολοκληρωµάτων της µορφής ν ν ν ηµ ηµ d, συν d, d ρ συν οτετργωνισµού ό την τριγωνοµετρί -συν +συν ηµ =,συν = κι χωρίζουµε το ολοκλήρωµ σε άθροισµ λούστερων ολοκληρωµάτων χρησιµοοιούµε τους τύους κ+ κ+ ηµ d, συν d δισάµε τον εκθέτη κι κάνουµε ντικτάστση µετλητής Πχ στο Γι τον υολογισµό ολοκληρωµάτων της µορφής ρώτο κ k+ k κ ηµ d= ηµ ηµd= ( ηµ ) ηµd= ( -συν ) ηµd Θέτουµε συν=u (συν)'d=du ηµd=-duκι ίρνουµε ολοκλήρωµ ολυωνυµικής ου υολογίζετι εύκολ Γι τον υολογισµό ολοκληρωµάτων της µορφής v κ ηµ συν d : Αν οι ν, κ είνι άρτιοι, χρησιµοοιώ τους τύους οτετργωνισµού Αν ένς ό υτούς είνι εριττός χ ν=ρ+ τότε δισάµε τον εκθέτη όως ροηγουµένως κι κολουθούµε την ίδι διδικσί Γι τον υολογισµό ολοκληρωµάτων της µορφής ηµκσυνλd, συνκσυνλd, ηµκηµλd χρησιµοοιώ τους τύους µεττροής γινοµένων σε θροίσµτ: ηµσυν=ηµ(+)+ηµ,(-) συνσυν=συν(+)+συν(-) ηµηµ=συν(-)-συν(+) Αν έχουµε ολοκλήρωµ της µορφής + + + + f v, v,, v k dθέτουµε v =u, γ+δ γ+δ γ+δ γ+δ όου ν το ΕΚΠ των ριθµών ν, ν,,ν κ κι ίρνουµε ολοκλήρωµ ρητής συνάρτησης του u Αν έχουµε ολοκλήρωµ ρητής ράστσης των ηµ κι συν ή των ηµ κι συν τ µεττρέω όλ σε εφ ή εφ χρησιµοοιώντς τους τύους: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [46] εφ -εφ εφ ηµ=, συν=, ηµσυν= ηµ= +εφ +εφ εφ -εφ ηµ =, συν =, συν= +εφ +εφ +εφ +εφ κι κάνω λλγή µετλητής: εφ=u ή εφ =u Γι τον υολογισµό ολοκληρωµάτων µορούµε ν χρησιµοοιήσουµε τους ρκάτω τύους, φού ρώτ φέρουµε τη συνάρτηση στην ντίστοιχη µορφή: + f () f ()f '()d= +c, - + 8 f() f() f'()d= +c ln f '() d= f()+c f() f '() d=ln f() +c f() 4 ηµf()f '()d=-συνf()+c 9 f '() συν f() f '() ηµ f() ( ) 5 συνf()f '()d=ηµf()+c 6 d=εφf()+c d=-σ φ f()+c f '()±g'() d= f '()d± g'()d ( ) f '() f () d=- +c f() 7 f() f() f '()d= +c f '()g()+f()g'() d=f()g()+c f '()g()-f()g'() f() d= +c g() g () 4 ( ) ( ) g' f() f '()d=g f() +c ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [47] ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ορισµός εµδού είεδου χωρίου ψ ψ=f() Ο ξ ξ ξ κ- ξ κ κ ν- ξ ν ν= Έστω µι συνεχής συνάρτηση f σε έν διάστηµ [, ] µε f() γι κάθε [, ] κι Ω το χωρίο ου ορίζετι ό την C f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες = κι = Γι ν ορίσουµε το εµδόν του χωρίου Ω εργζόµστε ως εξής: Χωρίζουµε το διάστηµ [, ] σε ν ισοµήκη υοδιστήµτ ου το κθέν έχει µήκος = -, µε τ σηµεί = o < < < < ν = ν Σε κάθε υοδιάστηµ [ k-, k ], k=,,,,ν ειλέγουµε υθίρετ έν σηµείο ξ k κι σχηµτίζουµε τ ορθογώνι ου έχουν άση κι ύψη τ f(ξ k ) Το άθροισµ των εµδών των ορθογωνίων υτών ισούτι µε S v =f(ξ ) +f(ξ ) + +f(ξ v ) Aοδεικνύετι ότι το S v υάρχει κι είνι ργµτικός ριθµός (έστω Ι) lim+ v κι είνι νεξάρτητο ό την ειλογή των ενδιάµεσων σηµείων ξ k Το όριο υτό ονοµάζετι εµδόν του ειέδου χωρίου Ω κι συµολίζετι µε Ε(Ω) Είνι φνερό ότι Ε(Ω) Η έννοι του ορισµένου ολοκληρώµτος Έστω µι συνάρτηση f συνεχής στο [, ] Με τ σηµεί = ο < < < < ν = χωρίζουµε το διάστηµ [, ] σε ν ισοµήκη υοδιστήµτ µήκους = - ν ψ ψ=f() Ο ξ ξ ξ ξ κ ν- ξ ν ν= ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [48] Στη συνέχει ειλέγουµε υθίρετ έν ξ k [ k-, k ] γι κάθε κ=,,,,ν κι σχηµτίζουµε το άθροισµ: S v =f(ξ ) +f(ξ ) + +f(ξ v ) το οοίο συµολίζουµε, σύντοµ ως εξής: S = Αοδεικνύετι ότι: V v k= f(ξ ) k v f(ξ k ) υάρχει στο R v κι k= lim «Το όριο του θροίσµτος S v, δηλδή το είνι νεξάρτητο ό την εκλογή των ενδιάµεσων σηµείων ξ k» Το όριο υτό ονοµάζετι ορισµένο ολοκλήρωµ της συνεχούς συνάρτησης f ό το στο κι συµολίζετι µε το στο ηλδή: f()d κι διάζετι ολοκλήρωµ της f ό v f()d= lim f(ξ k ) v k= ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ Oι ριθµοί κι ονοµάζοντι όρι ολοκλήρωσης Η συνάρτηση f λέγετι ολοκληρώσιµη στο διάστηµ [, ] Όως ροκύτει ό τον ορισµό του ολοκληρώµτος, κάθε συνάρτηση f συνεχής στο [, ] είνι ολοκληρώσιµη στο [, ] Το ορισµένο ολοκλήρωµ είνι στθερός ριθµός, ν τ άκρ κι είνι στθερά Το γράµµ στην έκφρση f( )d είνι µί µετλητή (η µετλητή ολοκλήρωσης) ου µορεί ν ντικτστθεί ό οοιοδήοτε άλλο γράµµ Έτσι έχουµε: f( )d = f( )d = f( u ) du Ο ορισµός του ορισµένου ολοκληρώµτος εεκτείνετι κι ότν ως εξής: f()d =- f()d Είνι ροφνές ότι: f()d= Αό τους ορισµούς του εµδού κι του ορισµένου ολοκληρώµτος ροκύτει ότι: Αν f() γι κάθε [,] τότε, το f()d δίνει το εµδόν Ε(Ω) του ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [49] χωρίου ου ερικλείετι ό την C f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες = κι = ψ ψ=f() Ω Ο ηλδή f()d =Ε(Ω) Εοµένως ν f() γι κάθε [, ] τότε κι f()d φού Ε(Ω) (Το = ισχύει ότν η f είνι η µηδενική συνάρτηση στο [, ] Ιδιότητες του ορισµένου ολοκληρώµτος Με τη οήθει του ορισµού οδεικνύοντι τ εόµεν θεωρήµτ: Θεώρηµ ο Έστω f κι g συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] κι λ, µ R Τότε ισχύουν: λ f()d=λ f()d [ ] f()+g() d= f()d+ g()d [ ] κι γενικά λ f()+µ g() d=λ f()d+µ g()d Θεώρηµ ο Αν η f είνι συνεχής σε έν διάστηµ κι,, γ, τότε ισχύει: γ f()d= f()d+ f()d γ ( Το γ µορεί ν είνι κι εκτός του διστήµτος ου έχει άκρ τ κι ) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [5] Θεώρηµ ο Έστω f µί συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ [, ] Αν f() γι κάθε [, ] κι η συνάρτηση f δεν είνι ντού µηδέν στο διάστηµ υτό, τότε: f()d> Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F()= f()d Ο υολογισµός του ορισµένου ολοκληρώµτος f()d χωρίς τη χρήση του ορισµού (ου είνι µί ολύ δύσκολη διδικσί) θ γίνει µε το θεµελιώδες θεώρηµ του ολοκληρωτικού λογισµού ου θ νφέρουµε ρκάτω Η όδειξή του στηρίζετι στο εξής Θεώρηµ Αν f µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ κι είνι έν σηµείο του, τότε η συνάρτηση F()= f()d,, είνι µι ράγουσ της f στο ηλδή ισχύει: ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ' f()d =f(), γι κάθε Ο ορισµός της συνάρτησης F γεωµετρικά σηµίνει ότι: σε κάθε σηµείο ο του ντιστοιχεί έν χωρίο Ω( ο ) ου ερικλείετι ό την C f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες = κι = ο κι είνι: Ε( ο )=F( ο )= ψ f()d C f Ω( ) Ο ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [5] ' Το γεγονός ότι f()d =f(), γι κάθε σηµίνει ότι ο ρυθµός ύξησης του εµδού F() είνι ίσος µε την τιµή της f στο Αό το ροηγούµενο θεώρηµ κι το θεώρηµ σύνθετης συνάρτησης ' g() ροκύτει ότι: f()d =f(g()) g'() µε την ροϋόθεση ότι τ σύµολ ου χρησιµοοιούντι έχουν νόηµ Είσης ισχύει: f()d= f()d+c ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Έστω f µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ [, ] Αν G είνι µι ράγουσ της f στο [, ], τότε f()d=g()-g() ΑΠΟ ΕΙΞΗ Η συνάρτηση F()= f()d είνι µι ράγουσ της f στο [, ] Εειδή η G είνι είσης µι ράγουσ της f στο [, ] θ υάρχει c Rτέτοιο ώστε: G()=F()+c () Αό την () γι =, έχουµε G()=F()+c= f()d+c=+c=c Aρ c=g() Εοµένως G()=F()+G() Αυτή η σχέση γι = δίνει G()=F()+G() οότε G()= f()d+g() f()d=g()-g() ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [5] ΜΕΘΟ ΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ο τύος ολοκλήρωσης κτά ράγοντες γι το ορισµένο ολοκλήρωµ ίρνει τη µορφή: f() g'()d= [ f() g() ] - f '() g()d, όου f κι g συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] Ο τύος ολοκλήρωσης µε λλγή µετλητής γι το ορισµένο ολοκλήρωµ ίρνει τη µορφή: u f(g())g'()d= f(u)du, όου f κι g είνι συνεχείς u συνρτήσεις, u=g(), du=g ()d κι u =g(), u =g() ΠΕ ΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ- ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ g() F()= f()d (f συνεχής στο ορισµού της) h() Αν h()= κι g()= έχει τη µορφή F()= f()d Aν A f το εδίο ορισµού της f τότε το εδίο ορισµού της F είνι το ευρύτερο υοσύνολο του Α f στο οοίο ισχύει Af Αν το A f είνι ένωση υοδιστηµάτων τότε ρίσκουµε εκείνο το υοδιάστηµ στο οοίο νήκει το Αυτό θ είνι το ορισµού της F Η F()= f()d είνι ργωγίσιµη µε F ()=f() Με ργοντική ολοκλήρωση έχουµε [ F() ] F()d= - F'()d=F()-F()- f()d Αν h()= κι g() συνάρτηση του, έχει τη µορφή ()'F()d= F()= g() f()d Aν A f το εδίο ορισµού της f τότε το εδίο ορισµού της F είνι το ευρύτερο υοσύνολο του Α f στο οοίο ισχύει Af κι g() Af g() Η F()= f()d είνι ργωγίσιµη µε F ()=f(g())g () Αν h()=g () κι g()=g (), έχει τη µορφή F()= g () g () f()d Aν A f το εδίο ορισµού της f κι Α το ορισµού της F τότε: Αν το Α είνι ένωση διστηµάτων χ Α=, τότε, ειλέγουµε ένν ριθµό ό το Α, οότε ή κι η F γράφετι στη µορφή ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [5] g () g () Γι εκείν τ F()= f()d- f()d A g A ιτούµε όως g (g () κι g () ) ή (g () κι g () ) οότε ροσδιορίζουµε το Α Η ράγωγος της F είνι F'()=f(g ()) g '()-f(g ()) g '() 4 Αν η F έχει τη µορφή F()= h(,) f(g(,))d όου f, g, h συνεχείς στο Α τότε : γι ν ρούµε την ράγωγο της F, θέτουµε g(,)=u θεωρώντς το ως στθερά κι εφρµόζοντς µέθοδο ντικτάστσης ίρνουµε τελικά g () F( ) = φ( ) f(u)du οότε νγόµστε στην ροηγούµενη µορφή g () ΕΜΒΑ ΟΝ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Εµδόν χωρίου ου ορίζετι ό την C f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες = κι = ψ ψ=f() Ω O ψ Ο Σχήµ Ω Σχήµ ψ=f() Έστω µι συνάρτηση f συνεχής στο [, ] κι Ω το χωρίο ου ερικλείετι ό την C f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες = κι = Τότε: Αν f() στο [, ], θ είνι Ε(Ω)= f() d (σχήµ ) Αν f() στο [, ], θ είνι Ε(Ω)= - f() d (σχήµ ) Αν η f δεν διτηρεί στθερό ρόσηµο στο [, ], τότε Ε(Ω)= f()d ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [54] Εµδόν χωρίου ου ορίζετι ό τις γρφικές ρστάσεις δύο συνρτήσεων f κι g ψ C f ψ C f Ω C g Ω C g O Ο Σχήµ Σχήµ Έστω οι συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] κι Ω το χωρίο ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των f κι g κι τις ευθείες = κι = Τότε: Αν f() g() στο [, ], θ είνι Ε(Ω)= (f() g()) d (σχήµ ) Αν f() g() στο [, ], θ είνι Ε(Ω)= ( g() f() ) d (σχήµ ) Αν η διφορά f()-g() δεν διτηρεί στθερό ρόσηµο στο [, ], τότε Ε(Ω)= f() g() d Στην ερίτωση,λοιόν, ου ζητάµε το εµδόν χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις δύο συνρτήσεων κι τις ευθείες = κι = θ θεωρώ τη συνάρτηση φ()=f()-g() την οοί θ µελετώ ως ρος το ρόσηµό της κτσκευάζοντς τον ίνκ µετολής του ροσήµου τοοθετώντς άνω το διάστηµ [, ] Αν,,, ν οι ρίζες της φ() στο [, ] το ζητούµενο εµδόν θ είνι: Ε(Ω)= f() d+ f()d++ f()d ν Αν το Ω ερικλείετι ό την C f κι τον άξον χ χ χωρίς ν νφέροντι κτκόρυφες ευθείες τότε τ άκρ της ολοκλήρωσης θ είνι: = κι = ν Εµδόν χωρίου ου ορίζετι ό τις γρφικές ρστάσεις τριών ή ερισσοτέρων συνρτήσεων(ο άξονς χ χ θεωρείτι συνάρτηση µε τύο f()= ), τότε: Κτσκευάζουµε σχήµ υοχρεωτικά στο οοίο εµφνίζοντι οι σχετικές θέσεις των κµυλών των συνρτήσεων Βρίσκουµε τ κοινά σηµεί των κµυλών νά δύο λύνοντς τ ντίστοιχ συστήµτ Οι τετµηµένες των σηµείων υτών θ οτελέσουν τ άκρ της ολοκλήρωσης Βρίσκουµε το εµδόν του χωρίου µε ρόσθεση ή φίρεση των ολοκληρωµάτων στ ντίστοιχ διστήµτ ******************* ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [55] ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: i) A= -ηµ+συν d ii) B= 8 (+ ) d ( ) ( )( ) - iii) Γ= ( ++εφ )d iv) = - - d + d vi) Z= [ ηµ()+5συν()- ] d v) E= + Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: d συν -συν + i) A=,, ii) B= d ηµ συν συν 4 4 ηµ +συν iii) Γ= ηµ συν d iv) = d ηµ συν Ν υολογιστούν τ όριστ ολοκληρώµτ των συνρτήσεων: 4 +, ηµ+, i) f()= ii) f()= 6-, > +, > συν(), - iii) f()= -4 iv) f()= +, > - v) f()= vi) f()= *************** 4 Ν ρεθεί η συνάρτηση f γι την οοί ισχύει f ()=4 +6+ γι κάθε Rκι έχει στο σηµείο της Α(-, ) κλήση 5 Ν ρεθεί η συνάρτηση f γι την οοί ισχύουν: ) f ()=-5 γι κάθε Rκι ) ρουσιάζει στο ο = τοικό κρόττο το 8 6 Ν ρείτε όλες τις συνρτήσεις οι οοίες σε οοιοδήοτε σηµείο (, f()) της γρφικής τους ράστσης έχουν κλήση + γι κάθε R Ποι ό υτές έχει γρφική ράστση ου διέρχετι ό το σηµείο Α(-, ); 7 Ν ρείτε συνάρτηση f: (, + ) R ργωγίσιµη στο (, + ), ν η γρφική της ράστση διέρχετι ό το σηµείο Α(, ) κι η εφτόµενή της σε οοιοδήοτε σηµείο της Μ(, f()) έχει κλήση ίση µε 8 Ν ρείτε συνάρτηση f: R Rγι την οοί ισχύουν: f ()f()= +, γι κάθε Rκι f ()= 9 Ν ρείτε συνάρτηση f: R Rγι την οοί ισχύουν: f ( )=+, Rκι η γρφική της ράστση διέρχετι ό το σηµείο ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [56] Α(, ) Έειτ ν δείξετε ότι η γρφική ράστση της f δεν έχει σηµεί κµής Ν ρείτε συνάρτηση f: [, + ) Rν f '( )=, κι f()=4 Ν ρείτε συνάρτηση f: (, + ) R γι την οοί ισχύει: f() f '() =+ γι κάθε > κι η C f έχει κλήση στο σηµείο της Α(, f()) Ν ρείτε συνάρτηση f: (, + ) R γι την οοί ισχύουν: ) f ()=f() γι κάθε > κι ) f()> γι κάθε > κι f()= Ν ρείτε τους ργµτικούς ριθµούς κι ώστε η συνάρτηση F()=(ln+), > ν είνι ρχική της συνάρτησης f()= -ln γι κάθε > - 4 Έστω f κι g δύο συνρτήσεις ργωγίσιµες στο Rγι τις οοίες υοθέτουµε ότι: i) f()=g() ii) f()> γι κάθε στο R κι iii) f()g ()=f ()g(), στο R ) Ν οδείξετε ότι g()= f(), R ) Ν ρείτε τις ρχικές της συνάρτησης G()=f()g'() στο R **************** 5 Ο ρυθµός ύξησης της κτίνς R() µίς κυκλικής ετρελιοκηλίδς δίνετι ό τον τύο: R ()= -5 (8/-) όου χ η τχύτητ του νέµου σε km/h κι [, 5] ) Ν ρείτε την τχύτητ του νέµου ώστε ο ρυθµός µετολής της κτίνς R() ν γίνετι µέγιστος ) Ν ρείτε κτά όσ km θ υξηθεί η κτίν της ετρελιοκηλίδς, ν η τχύτητ του νέµου υξηθεί ό km/h ου είνι σε km/h 6 Ο ρυθµός ύξησης της ξίς ενός µηχνήµτος δίνετι ό τον τύο P - 4 P'()=- ln ευρώ νά έτος, όου Ρ ο είνι η ρχική τιµή του σε ευρώ κι ο χρόνος σε έτη ) Σε όσο χρόνο ερίου ο ρυθµός µετολής της ξίς του µηχνήµτος γίνετι ελάχιστος; ) Ν ρείτε την τιµή του µηχνήµτος µετά ό έτη 7 Μι ετιρί εισάγει µι νέ µέθοδο κτσκευής των ροϊόντων της Η οικονοµί ου θ έχει η ετιρί ό τη νέ µέθοδο µετάλλετι µε ρυθµό ου δίνετι ό τη συνάρτηση Ρ ()=(+) (σε ευρώ κι ο χρόνος ου η νέ µέθοδος είνι σε χρήση) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [57] ) Ν ρείτε τις συνολικές οικονοµίες κτά τη διάρκει i) του ρώτου χρόνου ii) των έξι ρώτων χρόνων ) Υοθέτουµε ότι η νέ µέθοδος κοστίζει 5 ευρώ Πότε ερίου θ γίνει η όσεση της νές µεθόδου; 8 Ένς γρότης χρησιµοοιεί έν νέο λίσµ ου δίνει έν κλύτερο οτέλεσµ Εειδή όµως εξντλεί το έδφος ό άλλ συσττικά, ρέει ν χρησιµοοιήσει άλλ λιάσµτ σε µεγάλες οσότητες, έτσι ώστε το κόστος ν νείνει κάθε χρόνο Το νέο λίσµ υξάνει το εισόδηµ µε ρυθµό ου δίνετι ό τη συνάρτηση f ()=- ++7 ( σε ευρώ κι ο χρόνος σε έτη) Ο ετήσιος ρυθµός του κόστους ό τη χρήση του νέου λιάσµτος δίνετι ό τη συνάρτηση g ()=+ (σε ευρώ) ) Πόσο χρόνο µορεί ο γρότης ν χρησιµοοιεί το νέο λίσµ; ) Ποιο είνι το κέρδος στο τέλος υτής της εριόδου; 9 Mί νέ γεώτρηση εξόρυξης ετρελίου έχει ρυθµό άντλησης ο οοίος δίνετι ό τον τύο R'()=+-, οου R() είνι ο ριθµός, σε χιλιάδες των 4 ρελιών ου ντλήθηκν στους τελευτίους µήνες λειτουργίς της Ν ρείτε όσ ρέλι θ έχουν ντληθεί στους 8 ρώτους µήνες λειτουργίς της γεώτρησης *************** Έστω f µι συνάρτηση συνεχής στο R κι F µι ρχική της f στο R Αν η συνάρτηση g()= - F(), Rδεν είνι συνάρτηση -, ν οδείξετε ότι: ) Μορεί ν εφρµοστεί το θ Roll γι την g σε κάοιο υοδιάστηµ του R ) Υάρχει ένς, τουλάχιστον, ο Rτέτοιος, ώστε: f( o )= g( ) Έστω f µι συνάρτηση συνεχής στο R κι F µι ρχική της f στο R Αν η f είνι εριττή ν οδείξετε ότι η F είνι άρτι κι ντιστρόφως Έστω f µι συνάρτηση συνεχής στο [-, ] κι F µι ρχική της f στο [-, ] γι την οοί ισχύει: F(-)=F() Ν οδείξετε ότι υάρχει ένς, τουλάχιστον, ο (-, ) τέτοιος, ώστε f( o )= o Έστω f µι συνάρτηση συνεχής στο R κι F µι ρχική της f στο R γι τις οοίες υοθέτουµε ότι ισχύει: f()=, F()> στο R κι f()f(-)= στο R ) Ν ρείτε το F() ) Ν δείξετε ότι η συνάρτηση g()=f()f(-) είνι στθερή στο R κι ν ρείτε τον τύο της γ) Ν ρείτε τον τύο της f *************** ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [58] Πργοντική ολοκλήρωση 4 Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: 5 ( ) ( ) i) συνd ii) d iii) +ηµ d - iv) lnd v) d vi) συνd ln vii) ηµd viii) + d i) d 5 Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: ( ) i) lnd ii) ln d iii) d συν - iv) d v) συνd vi) εφ d ηµ 6 Ν ρείτε συνάρτηση f µε εδίο ορισµού το διάστηµ (, + ) ν το σηµείο Α(, ¾) είνι σηµείο κµής της f κι γι κάθε > ισχύει: f ()=(+-ln), R 7 Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: + i) ln(+)d ii) ln d iii) ln(- )d +ln + ln iv) d v) d vi) d 8 Aν I= ηµ d κι J= συν d, ν υολογιστούν τ ολοκληρώµτ I+J, I-J, I, J 9 ) Ν ρείτε την ράγωγο της συνάρτησης f()=ln( + -4), > ) Ν υολογιστούν τ ολοκληρώµτ -4 **************** A= d κι Β= -4d Αντικτάστση µετλητής Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: ( ) 6 +5 5 ( )( ) i) + d ii) d iii) ηµ(-4)d - + iv) d v) 4- -+7 d vi) d ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [59] Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: + +ln i) d ii) d iii) συν d 5 +6 +ln ( ) σφ ln(ηµ) + iv) d v) d vi) -d Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: +εφ i) d ii) +d iii) συν ( +) d συν ln- ln iv) d v) d vi) d + ln vii) d viii) ηµ +d i) συν ln(ηµ)d ****************** Ολοκληρώµτ ρητών συνρτήσεων Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: +5-8 i) d ii) d iii) d + -4 - + -4 iv) d v) d vi) d +4 + + 4 Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: i) d ii) d iii) d -6 + -5+6 - -4 + iv) d v) d vi) d -+ -+ -4+ 5 +- vii) d viii) d i) d -+ -5+ -+ 5 Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: ηµ συν i) d ii) d συν -7συν+ ηµ +ηµ-5 6 Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: - i) d ii) d -4 + -4 7 Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: - +εφ i) d ii) d iii) d +5 +5 εφ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [6] Ολοκληρώµτ τριγωνοµετρικών συνρτήσεων 8 Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: 4 i) εφd ii) σφ d iii) εφ d iv) εφ d 4 5 v) ηµ d vi) συν d vii) ηµ d viii) συν d 9 Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: ηµ i) ηµ συν d ii) ηµ συν d iii) d 4 συν συν 4 iv) d v) ηµ συνd vi) ηµ συν d ηµ 4 Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: ηµ i) ηµ d ii) ηµ d iii) d συν ηµ -ηµ -συν iv) εφ d v) d vi) d 4 Αν, ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ A= ηµ ln(+ηµ)d ***************** Ανγωγικοί τύοι v * 4 Αν Iν = (ln ) d, v N ν οδειχθεί ότι: i) * I + ν v ( ν + ) I = + + ν (ln ), ν N ii) N υολογιστεί το ολοκλήρωµ I 4 i) Αν I v * v = συν d, v N ν οδειχθεί ότι: v+ v I v+ = ηµ + ( v+ ) συν v( v+ ) I v, v v N ii) N υολογιστούν τ ολοκληρώµτ I I,, I 5 v * v 44 Αν I v = εφ d, v N, ν οδειχθεί ότι: I v = εφ I v, v v * * * 45 Αν I v = d, v N,, ν οδειχθεί ότι I, v v+ = IV v N v v v v * v 46 Αν I v = ln d, v N ν δείξετε ότι Ι v = ln vi v, v κι ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ I = ln d ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [6] 47 Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: i) A= d ii) B= d iii) Γ= d +- + +5ηµ ηµ (-εφ) ++ 5 iv) = συν ηµ d v) E= d vi) Z= d 48 Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: +- + + 4 + + i) A= d ii) B= d iii) Γ= d +συν-ηµ + + 49 Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: i) ηµσυνd ii) συνσυνd iii) ηµηµd 5 Ν ρείτε τον τύο της συνάρτησης f γι την οοί ισχύει: i) f '()=-f(), R κι f()= ii) f '()=+f(), R κι f()= -f '() iii) f ''()=, > κι f '()=f()= f '() iv) f ''()= +, > κι f '()=, f()= 5 Έστω µι συνάρτηση f : (, + ) R µε f ()=, f()= η οοί είνι δύο φορές ργωγίσιµη κι γι κάθε > ισχύει: f ()=f() ) Ν δείξετε ότι η f είνι συνεχής ) Ν ρείτε τον τύο της f Ορισµένο ολοκλήρωµ ****************** 5 Αν f είνι συνεχής συνάρτηση στο R κι ισχύουν: 4 f ( ) d=, f ( ) d= 6, f ( ) d= 8, f ( ) d= 7 ν υολογιστούν τ ολοκληρώµτ: f ) d, f ( ) d, 9 4 9 ( f ( ) d 5 Αν f είνι συνεχής συνάρτηση στο R κι ισχύουν: 9 7 f ( ) d= f ( ) d= f ( ) d= ν υολογιστούν τ ολοκληρώµτ: f ( ) d κι f ( ) d 5 5 9 4 5 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [6] 54 Αν f είνι συνεχής συνάρτηση στο R κι ισχύουν: 7 f ( ) d= 5, f ( ) d= κι f ( ) d= ν υολογιστούν τ ολοκληρώµτ: 5 f ) d f ( ) d κι 7 5 5 ( f ( ) d 55 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R, ν γρφούν στη µορφή f ( ) d οι ρστάσεις: i) ii) 5 f ( ) d+ f ( ) d+ f ( ) d f ( ) d ( f ( ) ) 4 5 4 56 Ν οδείξετε ότι d 9 6 5 f ( ) d 6 d + 6 d= 4 + 9 + 9 57 Ν υολογίσετε την τιµή του κ Rγι την οοί ισχύει: κ 4 4 8 d = + + d κ 58 Αν οι συνρτήσεις f κι g είνι συνεχείς στο [, 5] κι ισχύουν: 5 f ( ) d= 5 κι g( ) d= 4, 5 ν υολογιστούν τ 5 5 ολοκληρώµτ: ) 4 ( ) ) ( 5 ( ) ( ) 8) i g d ii g f d 59 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R κι ισχύει: 5 δ ( ) d= f ( ) d ν οδείξετε ότι ( ) d= f, 6 Αν Α= d Β= + + γ 5 d, 5 5 4 + + 7 γ 4 f f ( ) d κι ν υολογίσετε το άθροισµ Α+Β Κτόιν δείξτε ότι d d δ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [6] 6 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστηµ [, ], ν οδείξετε ότι: + f ( ) d + f ( ) d f ( ) d = = f ( ) d f ( ) d f ( ) d (Υόδειξη: Χρησιµoοιείστε την τυτότητ Oulr : ν ++γ= τότε + +γ =γ) *************** Υολογισµός ορισµένων ολοκληρωµάτων 6 Ν υολογιστούν τ ολοκληρώµτ: 6 i) A= ηµlnd ii) B= d iii)γ= ηµd συν iv) = συν d v) E= ln d vi) Z= συνd 6 Ν υολογιστούν τ ολοκληρώµτ: 4 64 + 8 i) A= d ii) B= d iii) Γ= +d + 8 + + ln 5 iv) = d v) E= d vi) Z= d + +ln - 64 Ν υολογιστούν τ ολοκληρώµτ: + ηµ i) ( + + συν ( ) ) d ii) d iii) d + ηµ iv) d v) ηµ d vi) ηµ συν d 65 Ν υολογιστούν τ ολοκληρώµτ: 4 i) ηµ d ii) εφ d iii) εφ d 4 4 4 6 iv) d v) d vi) d ηµ συν ηµ συν ηµ 4 ηµσυν 6 vii) ηµ d viii) d i) d +ηµ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [64] 66 ίνοντι τ ολοκληρώµτ = A d κι Β= Ν υολογίσετε τ : Β+Α, Β-Α, Α κι Β ηµ συν d συν ηµ 4 4 67 ίνοντι τ ολοκληρώµτ A= d κι Β= d συν+ηµ συν+ηµ Ν υολογίσετε τ : Β+Α, Β-Α, Α κι Β, 68 ίνετι η συνάρτηση f ( ) = ln, > ) Ν δείξετε ότι είνι συνεχής στο εδίο ορισµού της ) Ν υολογίσετε το I = f ( ) d, < 69 ίνετι η συνάρτηση f ( ) = ln( + ), Ν υολογίσετε το I = f ( ) d 7 ίνετι η συνάρτηση Ν υολογίσετε το I εφ, f ( ) = ηµ, = 4 f ( ) d < 7 Ν υολογιστούν τ ολοκληρώµτ: i) iii) ( + ) d ii) ( + ) d iv) ( ln ) d d 7 Ν υολογιστούν τ ολοκληρώµτ: + i) d ii) d iii) d + ++5 + -+ - +4 iv) d v) d vi) d - -4 -+ -5+6 ***************** Θεωρητικές στην ργοντική ολοκλήρωση 7 Έστω συνάρτηση f µε f συνεχή στο διάστηµ [, ] κι f()=f() Ν οδειχθεί ότι: f ''( ) d= f '( ) f '( ) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [65] 74 Έστω δύο συνρτήσεις f κι g µε συνεχείς τις f () κι g () στο R Αν ισχύει ότι: f()=f()=g()=g()=, ν οδειχθεί ότι: f ''( ) g( ) d= f( ) g''( ) d 75 Η συνάρτηση f έχει συνεχή τρίτη ράγωγο στο [, ] κι ισχύει: f ()=f ()= Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: I [( f ''()) + f '()f '''()]d = 76 Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο ολοκλήρωµ : ( ηµ συν ) I = f '( ) f ''( ) d, κι f ()=- Ν υολογίσετε το 77 Η συνάρτηση f έχει συνεχή ράγωγο στο [, ] κι ισχύουν f()=f()= Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: i) I = ii) I = ( f ( ) + f '( ) ) o f ( ) f '( ) d d 78 Αν η συνάρτηση f έχει f συνεχή στο [, ] κι ισχύει f()=f ()= κι f()=, ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: = I f ''( ) d 79 Έστω µι συνάρτηση f µε f συνεχή γι την οοί ισχύει: (f()+f ''())συνd= Aν f( )= ν υολογίσετε την f () 8 Έστω µι συνάρτηση f µε f συνεχή στο RΑν οι εφτόµενες της C f στ σηµεί = κι = σχηµτίζουν µε τον άξον χ χ γωνί 5 ο, ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ I f '( )f ''( ) d = **************** Θεωρητικές στην ντικτάστση µετλητής 8 Έστω µι συνάρτηση f συνεχής στο R Ν οδειχθεί ότι: +γ i) f(-γ)d= f()d +γ γ ii) f d=γ f()d, γ γ γ iii) f(+-)d= f()d ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [66] 8 Ν οδείξετε ότι: f(ln) i) d= f() d ii) f( ) d= ln f( = ν υολογίσετε το Ι= 8 Αν )d, ln f()d f() d 84 Αν η συνάρτηση f : R Rείνι συνεχής κι ντιστρέψιµη κι θεωρήσουµε γνωστό ότι η f - είνι κι υτή συνεχής στο f( R ) = R, ν οδείξετε ότι: f '() d= f( ) f( ) f ( ) d 85 Έστω µι συνάρτηση f η οοί είνι ργωγίσιµη στο =[, ] κι γνησίως ύξουσ Αν f( ) =[, ] κι θεωρηθεί γνωστό ότι η f - είνι συνεχής στο [, ] ν οδείξετε ότι: f()d+ f ( ) d= 86 Έστω µι συνάρτηση f η οοί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ] γι την οοί υοθέτουµε ότι ισχύει: f()+f(+-)=c, [, ] όoυ c ργµτική στθερά Ν οδείξετε ότι: + f() d = ( ) f = [ f( ) + f( )] 87 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R κι ισχύει: f()+f(-)=, R, ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: f() d 88 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R κι ισχύει: f(-)+f(-)=, R, ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: f() d 89 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R κι ισχύει f()+f(-)=γ, -, ν οδείξετε ότι: γ f() d= + συν 9 ίνετι η συνάρτηση f()= + i) Ν δείξετε ότι: f()+f(-)=συν γι κάθε R ii) N υολογίσετε το ολοκλήρωµ: f() d ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [67] 9 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R κι ισχύει f()-f(+-)=, ν + δείξετε ότι: f() d = f() d κι µε τη οήθει της της σχέσης ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ = ηµ I d 4 συν 9 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, ισχύει: f(+ψ)=f()+f(ψ)+ηµψ+ψηµ I) Ν δείξετε ότι f()+f(-)=ηµ, R ii) N υολογίσετε το ολοκλήρωµ f() d κι γι κάθε κι ψ R 9 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R κι ισχύει f(-)+f(+)= γι κάθε R (, ργµτικοί ριθµοί) ν οδείξετε ότι: f() d= 94 Αν οι f κι g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] κι γι κάθε στο [, ] ισχύει: f()+f(+-)=g()+g(+-) ν οδείξετε ότι: f() d= g()d 95 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [-, ] κι άρτι, ν οδείξετε ότι: i) f( ηµ ) d = f( ηµ ) d = ii) f( συν ) d f( συν ) d 96 Αν οι συνρτήσεις f κι g είνι συνεχείς στο [-, ] τέτοιες ώστε η f ν είνι άρτι κι η g ν είνι εριττή στο [-, ] ν δείξετε ότι: i) f() d = f() d ii) g() d = 97 i) Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [-, ], ν οδείξετε ότι: f( ηµ )d = f( ηµ )d = f( ηµ )d ii) N υολογίσετε το ολοκλήρωµ ηµ d ηµ + συν ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [68] **************** Ανγωγικοί τύοι στο ορισµένο ολοκλήρωµ ν 98 Aν I v = ηµ d, ν δείξετε ότι ( ν + ) Ι = ν ( ν ) Ι ν κι ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ Ι 4 4 = ηµ d ν = ν ν, ν * 99 Αν I ln d, ν N, δείξτε ότι Ι = νι ν Αν = 4 ν * I ν εφ d, ν Ν, δείξτε ότι Ιν = Ιν, ν ν ν ν Aν I Ι ν ν = + νι ν ν * (ln ) d, ν Ν, ν δείξετε ότι γιν ισχύει = 4(ln ) ν κιν υολογίσετε το (ln ) d **************** Ανισότητες κι ορισµένο ολοκλήρωµ Έστω µι συνάρτηση f γι την οοί ισχύει f ()> στο διάστηµ [, ] Ν οδειχθεί ότι: ) f() f( ) f '( )( ) γι κάθε [, ] ) f()d f '( )( ) + f( )( ) Έστω µι συνάρτηση f, συνεχής στο [, ] γι την οοί ισχύει: f() d= κι <f()< γι κάθε [, ] Ν οδείξετε ότι: )[ f() ] ( + )f() + < κι ) [ ] f() d< 4 Έστω f κι g δύο συνρτήσεις συνεχείς στο [, ] κι γι κάθε [, ] ισχύει f() g() Aν υ άρχει [, ] τέτοιο ώστε f( ) g( ) ν δείξετε ότι: f() d> g() d 5 ) Έστω f µι συνεχής συνάρτηση στο [, ] Αν m η ελάχιστη κι Μ η µέγιστη τιµή της f στο [, ], ν οδείξετε ότι: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [69] m ( ) f()d M( ) ) είξτε ότι: + d 6 είξτε ότι : ) ηµ γι κάθε [,] ηµ ) d ln + 7 Ν οδείξετε ότι: i) ii) iii) o 4 + 9d, d, + 4 [,] 8 d, [, 4] [,] 8 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι δεν είνι στθερή σε υτό, ν οδείξετε ότι: [ f() ] d > f()d 9 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R, ν οδείξετε ότι: [ ] d f() + f() d Ν οδείξετε ότι: i) d, ii) ηµ d iii) iv) d 4 συν d 4 d < < Ν οδείξετε ότι: ln 7 7 i) γι κάθε χ > ii) d< d Αν = 5 συν f()d 4 f(),, 5 ν οδείξετε ότι: ***************** ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [7] Πεδίο ορισµού-πράγωγος-ολοκλήρωµ Ν ρείτε το εδίο ορισµού κι την ράγωγο των συνρτήσεων: i) F( ) = d ii) F( ) = d iii) F( ) = d ln( ) ln( ) vi) F( ) = ln d vii) F( ) = d viii) F( ) = d ln + iv) F( ) = d v) F( ) = + 4 d 4 ln 5 4 Αν F()= ( + ) f()d, R κι f συνάρτηση συνεχής στο R, ν ρείτε την F () 5 Έστω η συνάρτηση F()= ln( 4+ ) d, ) είξτε ότι η F είνι συνεχής στο ο = ) Βρείτε την ράγωγο της F 6 Ν ρείτε την δεύτερη ράγωγο των συνρτήσεων: ( ) ) ( ) = + + 7 ) ( ) = ( + 4) συν ) ( ) = + ( ) i f d ii f d iii f u u du d 7 Ν ρείτε την ράγωγο των συνρτήσεων: i) f ( ) = + ii) f ( ) = ( ) iii) f ( ) = ln + ηµ ( ) d, συν d, (, + ) ln() d, R (, + ) 8 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστηµ, ν ρείτε την ράγωγο των συνρτήσεων: i) h( ) = iv) h( ) = ii) h( ) = iii) h( ) = ln + f ( ) d, + d, f ( ) d+ =R f ( ) d, = [, + ) f = (, + ) f ( ) d, =R ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [7] 9 Έστω η συνάρτηση F()= d N ρείτε το ολοκλήρωµ Ι= F ( ) d Έστω η συνάρτηση F()= ηµ d N ρείτε το ολοκλήρωµ Ι= F ( ) d Ν υολογιστούν τ ολοκληρώµτ: i) A d d ii) B= + χ συν d d + ηµ = **************** Στθερή συνάρτηση-υολογισµός τιµής + ln N οδείξετε ότι η συνάρτηση F()= d + (, + ) κι ν ρείτε τον τύο της ln είνι στθερή στο, Rµε F( ) = είξτε ότι είνι στθερή κι ν ρείτε τον τύο της d+ ίνετι η συνάρτηση F: (+ + εφ σφ 4 Έστω f µί συνεχής συνάρτηση µε ορισµού το διάστηµ [, + ) τέτοι ώστε: f() d= f(), ) Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση g( ) = f() d είνι στθερή ) Ν ρείτε τον τύο της f 5 Έστω f µί συνεχής συνάρτηση µε ορισµού το διάστηµ [, + ) τέτοι ώστε: f(+)+f(-)= γι κάθε R ) Ν δείξετε ότι η συνάρτηση g()= + f() d ) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ A f()d = είνι στθερή 6 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο Rκιισχύει f() = f(u) du d, ν δείξετε ότι η συνάρτηση g( ) = (f '()) f ( ) είνι στθερή g( ) ηµ d ν οδείξετε ότι η F είνι στθερή στο διάστηµ (, + ) κι ν ρείτε τον τύο της 7 Αν g( ) = ηµ κι F( ) = g( ) d+ d ) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [7] + 8 Ν οδείξετε ότι συνάρτηση F()= + + d d στθερή στο R κι ν ρείτε την τιµή της είνι Εύρεση του τύου συνάρτησης ******************* 9 Έστω µί συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµ (, + ) Αν γι κάθε > ισχύει: f() d= + ln, ν ρείτε το f() Έστω µί συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµ [, + ) Αν ισχύει: + f() d= (+ )f(), ) Ν οδείξετε ότι η f είνι ργωγίσιµη στο διάστηµ [, + ) ) Ν ρείτε τον τύο της f Ν ρείτε την συνεχή συνάρτηση f: R R κι τον ριθµό ότν: i) ii) f() d = συν, [, ] f() d = + ίνετι συνάρτηση f µε f συνεχή στο, κι γι κάθε στο, ν ισχύει: f '()ηµd=- f ''()συνd Αν f()= κι f ()=, ν ρείτε τον τύο της f ίνετι συνάρτηση f µε f συνεχή στο, γι την οοί ισχύουν: f ''()συνd-συν =-+ f '()ηµd, f ()= κι f()= Ν ρείτε τον τύο της f 4 Ν ρείτε µί συνάρτηση f συνεχή στο (, + ) γι την οοί ισχύει: f() d= f() ln, > 5 Ν ρείτε µί συνάρτηση f συνεχή στο [, + ) γι την οοί ισχύει: [ f() ] = f() f() d, 6 ίνετι η συνεχής συνάρτηση f: (, + ) R γι την οοί ισχύει: f() f()=+ + d, > κι f()= ln Ν ρείτε τον τύο της f ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [7] 7 Ν ρείτε µί συνάρτηση f συνεχή στο R γι την οοί ισχύουν οι σχέσεις: f()> στο R κι f()=6+ f()d, R 8 Έστω µι συνάρτηση f συνεχής στο R Αν γι κάθε στο Rισχύει ότι f() d=, ν οδείξετε ότι η f είνι εριττή κι ντιστρόφως 9 Έστω µ συνάρτηση f συνεχής στο (,] µε f()<γι Αν ισχύει f() ότι: f ()=+ d, ν ρείτε τον τύο της f + 4 N ρείτε τη συνεχή συνάρτηση f γι την οοί ισχύει: - i) f()d= -f(), R f() ii) f()ln d=f()+ d, (, + ) 4 N ρείτε τη συνεχή συνάρτηση f: R R ότν: i) f()= f(-)d ii) f()= ηµ()d f(-) iii) f()= + f(-)d iv) f()= + d 4 Έστω µί συνάρτηση f : (, + ) R, συνεχής γι την οοί ισχύει: d f( )=+ f Ν δείξετε ότι η f είνι ργωγίσιµη κι ν ρείτε τον τύο της 4 Ν ρείτε τον τύο της συνεχούς συνάρτησης f : R R γι την οοί ισχύει: ( ) ( ) ( ) i) f() = f()d d-, R ii) f() = f()lnd d, R iii) f()=+ f()ηµd d, R Όρι +u 44 Αν F()= f()d, > κι f()= du, > u F''()- i)την F'() ii)το όριο lim + ηµ ν ρείτε: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [74] 45 Έστω µί συνάρτηση f µε f συνεχή στο R Αν f()=f ()-=, ν υολογίσετε το όριο: lim f()d -ηµ 46 Έστω µί συνάρτηση f ργωγίσιµη στο R γι την οοί ισχύουν: f()= κι f ()=6 Ν υολογίσετε τ όρι: i ) lim f() f() d ii) lim συν 47 Ν υολογίσετε τ όρι: - i) lim ( +-)d ii) d (-) lim ln iii) lim d iv) (συν-)d (-) lim 48 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R κι η ευθεί ε: ψ=- είνι εφτόµενη της C f στο o =, ν ρείτε το όριο: f() lim d -+ 49 Ν υολογίσετε τ όρι: - lim lim ln lim + + + + i) d, ii) d, iii) d ν υολογίσετε το 5 Αν F()= f()d, R κι f()= +u du, R όριο: lim + F''()- + + 5 Η συνάρτηση f: R Rείνι ργωγίσιµη µε συνεχή ράγωγο στο o = Αν ισχύουν f()= κι f ()=, ν υολογίσετε το όριο: lim ( d ) f()d Mελέτη συνάρτησης 5 Έστω συνάρτηση f ργωγίσιµη στο o = είνι σηµείο κµής της g, ν δείξετε ότι: f() d = g' () + f '() Αν το R κι g( ) = f() d, R ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [75] 5 ίνετι η συνάρτηση f() = -d, [,] ) Ν µελετήσετε την µονοτονί κι ν ρείτε τ τοικά κρόττ της f ) Ν ρεθεί το τιµών της γ) Ν ρείτε τ διστήµτ στ οοί η f είνι κοίλη ή κυρτή κι ν εξετάσετε ν η f έχει σηµεί κµής 54 Έστω µί συνεχής συνάρτηση f : R * Rµε f()> γι κάθε κι η συνάρτηση F()= f()d i) Ν ρείτε το ορισµού της F ii) Ν ρείτε τις ρίζες της F κι το ρόσηµό της iii) N µελετήσετε την συνάρτηση G()= f(u) du d ως ρος τη µονοτονί κι ν ρείτε τις θέσεις των τοικών κρόττων d 55 ίνετι η συνάρτηση f()= + ln ln i) Ν ρείτε το ορισµού της f ii) Ν µελετήσετε την f ως ρος τη µονοτονί, τ κρόττ, τ κοίλ κι ν εξετάσετε ν έχει σηµεί κµής 56 ίνετι η συνάρτηση f()= + d - i) Ν ρείτε το ορισµού της f ii) Ν µελετήσετε την f ως ρος τη µονοτονί iii)n δείξετε ότι: 57 Αν η συνάρτηση f: R R εξίσωση: - - f()d= 58 Αν η συνάρτηση f: R R οδείξετε ότι η - - + d -, γι κάθε < είνι συνεχής κι γνησίως φθίνουσ ν λύσετε την f()d είνι συνεχής, γνησίως ύξουσ κι εριττή, ν (-) f()d g()= είνι κυρτή 59 ίνετι η συνάρτηση f()= 4- d i) Ν ρείτε το ορισµού της f ii) N µελετήσετε την f ως ρος τη µονοτονί κι τ κρόττ 6 Aν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R, ν δείξετε ότι η g()= f()d είνι συνεχής στο 6 ίνετι η συνάρτηση f()= u -udu Α i) Ν ρείτε το εδίο ορισµού της f ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [76] ii) Ν µελετήσετε την f ως ρος τη µονοτονί κι τ τοικά κρόττ iii) N ρείτε τις ρίζες κι το ρόσηµο της f Β Ν µελετήσετε ως ρος τη µονοτονί κι τ κρόττ τη συνάρτηση: ( ) F()= u -udu d 6 Έστω f µι συνάρτηση ργωγίσιµη στο R, η οοί έχει κρίσιµο σηµείο το o = Θεωρούµε είσης την συνάρτηση Ν οδειχθεί ότι g ()= g()= (+ )f()d, R 6 Έστω f µι συνεχής συνάρτηση στο (, + ) η οοί ικνοοιεί τη σχέση: f() d = l n, > ) Ν ρείτε την εξίσωση της εφτοµένης της C f στο σηµείο Α(, f()) )Ν δείξετε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ κι στρέφει τ κοίλ κάτω στο (, + ) Συνάρτηση f() d κι υρξικά θεωρήµτ 64 Έστω f κι g συνεχείς συνρτήσεις στο διάστηµ [ ] γι τις οοίες υοθέτουµε ότι ισχύει: f()d= g()d Ν οδείξετε ότι: ) Aν F κι G είνι ρχικές των f κι g ντίστοιχ στο [, ], τότε, η συνάρτηση φ()=f()-g() ικνοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήµτος Roll στο διάστηµ [, ] ) Υάρχει ένς τουλάχιστον o (, ) τέτοιος, ώστε ν ισχύει f( o )=g( o ) 65 Έστω µι συνάρτηση f, συνεχής στο διάστηµ [, ] Αν ισχύει ότι f() d=, ν οδείξετε ότι η εξίσωση f()= έχει τουλάχιστον µί ρίζ στο διάστηµ (, ) 66 Έστω µι συνάρτηση f, συνεχής στο διάστηµ [, ] γι την οοί ισχύει: f() d= f()d Ν οδείξετε ότι η f έχει έν τουλάχιστον κρίσιµο σηµείο στο διάστηµ (, ) 67 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµ [λ, λ+], λ Rγι την οοί ισχύουν λ f(λ)< κι + f()d> Ν οδείξετε ότι: λ ) Υάρχει έν, τουλάχιστον, o (λ, λ+) τέτοιο, ώστε ν ισχύει f( o )> ) Υάρχει έν, τουλάχιστον ξ (λ, λ+) τέτοιο ώστε f(ξ)= 68 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµ [, 6] γι την οοί ισχύει: 6 6 f(6) + f()d= µε f(6) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [77] Ν οδείξετε ότι η εξίσωση f()= έχει µι, τουλάχιστον, ρίζ στο διάστηµ (, 6) 69 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµ [-, ] γι την οοί ισχύει ότι: f() d f() d> Ν οδείξετε ότι: ) Υάρχει ένς τουλάχιστον (-, ) τέτοιος, ώστε: f() d= ) Η εξίσωση f()= έχει τουλάχιστον µι ρίζ στο διάστηµ (-, ) 7 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµ [, ] γι την οοί ισχύει ότι: f() d f() d < Ν οδείξετε ότι: ) Υάρχει ένς τουλάχιστον (, ) τέτοιος, ώστε: f() d= ) Η εξίσωση f()= έχει τουλάχιστον µι ρίζ στο διάστηµ (, ) 7 Έστω συνάρτηση f η οοί έχει συνεχή δεύτερη ράγωγο στο [, ] κι ισχύει f()=f() Αν f ''( ) d=, ν δείξετε ότι η εξίσωση f ()+f ()= έχει τουλάχιστον µι ρίζ στο (, ) 7 Αν οι συνρτήσεις f κι g είνι συνεχείς στο [, ], ν δείξετε ότι υάρχει έν, τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε: ξ ξ g(ξ) f()d=f(ξ) g()d 7 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµ [, ] µε > κι f() d= Ν δείξετε ότι υάρχει έν, τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε: ξ f()d=ξ f(ξ) 74 Έστω µι συνάρτηση f: [-, ] R συνεχής µε f() d= κι η συνάρτηση = F ( ) ( ) f( )d µε [, ] Ν δείξετε ότι υάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f(-ξ)+f(ξ-)= 75 Έστω µι συνάρτηση f: [, ] R συνεχής µε f() d= ) Ν δείξετε ότι η εξίσωση d= f() έχει τουλάχιστον µι ρίζ στο (, ) ) Ν δείξετε ότι υάρχει έν τουλάχιστον o (, ) τέτοιο, ώστε: + f( ) f()d= *************** ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [78] ln 76 ίνετι η συνάρτηση f() = ( ) d, > ) Ν υολογιστεί η f () ) Ν οδείξετε ότι µορεί ν εφρµοστεί το θεώρηµ Roll γι την f στο [,] γ) Ν οδείξετε ότι υάρχει ένς τουλάχιστον o (, ) τέτοιος ώστε: - ln ln = d 77 Έστω f µι συνάρτηση συνεχής στο R γι την οοί ισχύει: + f() γι κάθε R Ν οδείξετε ότι: ) f()=, f ()= ) f() d lim = γ) Η εξίσωση + = f() d έχει κριώς µι ρίζ στο διάστηµ (, ) 78 Έστω f µι συνάρτηση συνεχής στο [, ] κι ισχύει f()< γι κάθε στο [,] N δείξετε ότι η εξίσωση f() d= έχει µονδική ρίζ στο (, ) 79 Έστω f συνάρτηση συνεχής στο [, ] γι την οοί ισχύει f()< γι κάθε [, ] κι g συνάρτηση τέτοι, ώστε g( ) f() d Ν δείξετε ότι η = ευθεί ψ=- τέµνει τη γρφική ράστση της g σε έν µόνο σηµείο 8 ίνετι η συνάρτηση f:[, ] R η οοί είνι συνεχής κι η συνάρτηση F()= f() d γι την οοί ισχύει: F()< N δείξετε ότι υάρχει έν τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο, ώστε: f(ξ)< 8 Έστω f συνάρτηση συνεχής στο R γι την οοί ισχύει: f(u) du d γι κάθε R Ν δείξετε ότι η εξίσωση f()= έχει µι τουλάχιστον ρίζ στο (, ) 8 ίνετι η συνάρτηση f()= d + ) Ν µελετήσετε την f ως ρος τη µονοτονί ) Ν δείξετε ότι υάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε: +ξ d= + ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [79] 8 Έστω f µι ργωγίσιµη στο [-, ] συνάρτηση µε f()d = f() Ν δείξετε ότι η γρφική ράστση της f έχει µι τουλάχιστον οριζόντι εφτόµενη 84 Έστω µι συνάρτηση f : R Rργωγίσιµη γι την οοί ισχύει: + )d f()d, R f( είξτε ότι υάρχει σηµείο Μ της C f µε τετµηµένη ξ (, ) ώστε η εφτόµενη σε υτό ν είνι ράλληλη στον άξον χ χ 85 ίνετι η συνεχής συνάρτηση f: R R γι την οοί ισχύουν: f()d= + κι ii) ln f() d γι κά > i) θε Ν ρείτε το σηµείο τοµής της C f µε την ευθεί = 86 ίνετι η συνεχής συνάρτηση f: R R της οοίς η γρφική ράστση διέρχετι ό την ρχή των ξόνων κι ισχύει: f() d + 5 γι κάθε R κι > Ν ρεθεί η τιµή του 87 Έστω µι συνάρτηση f ργωγίσιµη στο R τέτοι, ώστε ν ισχύει η σχέση -f() f '()= γικάθε R κι f()= + ) Ν δειχθεί ότι: f() = ln ) Ν ρεθεί το : lim f(-)d ηµ 7 γ) ίνοντι οι συνρτήσεις: 5 h()= f()d κι g()= - 7 είξτε ότι h()=g() γι κάθε R δ) είξτε ότι η εξίσωση 5 f()d= έχει κριώς µι λύση στο - 8 (,) ( 4 ο θέµ εξετάσεων 5) 88 Έστω f µι συνάρτηση ργωγίσιµη στο διάστηµ [, ] µε f ()< στο [, ] Ν οδείξετε ότι: ) f() + f(), [,] ) f()d + f() γ) Αν f()+=, ν οδείξετε ότι η εξίσωση + f() d= έχει κριώς µι ρίζ στο διάστηµ (, ) ****************** ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [8] Εφρµογή του ολοκληρώµτος στ εµδά ειέδων χωρίων 89 Ν υολογιστεί το εµδόν του χωρίου ού ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f()=, τις ευθείες =- κι = κι τον άξον χ χ 9 Ν υολογιστεί το εµδόν του χωρίου ού ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f()= -4, τις ευθείες =- κι =4 κι τον άξον χ χ, < 9 ίνετι η συνάρτηση f() = (+ )( ), Ν υολογιστεί το 4, > εµδόν του χωρίου ού ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες =- κι = 9 ίνετι η συνάρτηση f γι την οοί ισχύει: f() 9, = R Ν υολογιστεί το εµδόν του χωρίου ού ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f κι τον άξον χ χ 9 Ν υολογιστεί το εµδόν του χωρίου ού ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f κι τον άξον χ χ ν: ) f()= +, (-), ) f()=(-)(+), γ) f() = (4 ), > 94 Ν ρεθεί το εµδόν του χωρίου ού ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f κι την ντίστοιχη ευθεί ν: ) f()=- ++8 κι ψ=5, ) f()=4- κι ψ= 95 είξτε ότι το εµδόν του χωρίου ού ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f()=- +6-9+4, τον άξον χ χ κι τον άξον ψ ψ, είνι ίσο µε το εµδόν του χωρίου ού ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f κι τις ευθείες ψ=4 κι =4 96 Ν ρεθεί το εµδόν του χωρίου ού ερικλείετι ό τη γρφική ράστση των συνρτήσεων f κι g, ότν: + i) f() = + 4, g( ) = ii) f( ) =, g( ) = + 4 iii) f() = +, g( ) = + iv)f() =, g( ) = 4 + 5 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [8] 97 Έστω η συνάρτηση f η οοί είνι συνεχής στο R ίνετι ότι: f() d=, f()d=, f()d= κι Το ρόσηµο της συνάρτησης φίνετι στον ίνκ: - - - + f() - + - + - + f()d= ) Ν υολογιστεί το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες = - κι = ) Ν υολογιστεί το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες = - κι = 98 ίνετι η συνάρτηση f()= N ρεθεί το εµδόν Ε του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f, τον άξον χ χ, την εφτόµενη της C f ου διέρχετι ό την ρχή των ξόνων κι την ευθεί = - 99 ίνετι η συνάρτηση f()=+- + i) Ν ρεθεί η ευθεί (ε) ου είνι σύµτωτη της C f στο ii) Ν ρείτε το εµδόν του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό την C f, την (ε), τον άξον ψ ψ κι την ευθεί =, < iii) Ν ρείτε το όριο E ( ) lim iv) Αν το ελττώνετι µε ρυθµό µον/sc, ν ρείτε το ρυθµό µετολής του εµδού Ε () τη χρονική στιγµή ου είνι =-ln ίνοντι οι συνρτήσεις f()= κι g()= - N ρεθεί η ευθεί =, > τέτοι, ώστε το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των f κι g κι την ευθεί = ν είνι ίσο µε i) Ν ρεθεί το εµδόν Ε() του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f()= κι τις ευθείες ψ=, (, ), = κι = ii) Γι οι τιµή του (, ) το εµδόν Ε() γίνετι ελάχιστο κι οι είνι η ελάχιστη τιµή του;, Έστω η συνεχής συνάρτηση f() = ln +, > i) N ρείτε το ii) Ν ρείτε τις οριζόντιες σύµτωτες της C f iii) Ν υολογίσετε το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f, τις οριζόντιες σύµτωτες υτής κι τις ευθείες =- κι = **************** ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [8] Έστω συνάρτηση f µε συνεχή ρώτη ράγωγο στο (, + ) γι την οοί ισχύει: f() = + ( f '() f() ) d, > i) Ν ρείτε τον τύο της f() ii) Ν υολογίσετε το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f κι τις ευθείες =, = κι ψ=4 4 ίνετι η συνεχής συνάρτηση f() = + f( )d, R i) είξτε ότι f()=(+) ii) Ν υολογίσετε το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f, τους άξονες χ χ κι ψ ψ κι την ευθεί = 5 ίνετι η συνεχής συνάρτηση ( ) f() = + f() d,, f '() = κι f() > i) N ρεθεί το ii) Αν g( ) = +, ν υολογιστεί το εµδόν του χωρίου ου 4 ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των f κι g κι τις ευθείες = κι = 6 ίνετι η συνάρτηση f: R R µε f( )= γι την οοί ισχύει: συνf()=ηµf () γι κάθε (, ) ) Ν ρείτε τον τύο της f() ) Ν υολογίσετε το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες = κι = 6 7 ίνοντι οι συνεχείς συνρτήσεις f κι g: R R γι τις οοίες ισχύει: + f() d = συν (+ ) ηµ (+ ) g() d, R + Ν υολογίσετε το εµδόν του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των f κι g, τον άξον ψ ψ κι την ευθεί = f '() 8 A) Έστω συνάρτηση f: (, + ) (, + ) µε =, > f() κι f() = ) Ν ρεθεί ο τύος της f() ) Ν υολογίσετε το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C g, τον άξον χ χ κι τις ευθείες = κι = όου f() g( ) = B) Έστω συνάρτηση f: (, + ) ( + ) µε f() = lnf (), > κι f()= ) είξτε ότι f()=ln, > ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [8] ) Ν υολογίσετε το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες = κι = 9 Έστω συνάρτηση f : (, + ) R µε f '() = ( ), > κι f() = ) Ν ρεθεί ο τύος της f() f() ) Έστω g η συνάρτηση µε τύο g ( ) =, > Ν υολογίσετε το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C g, τον άξον χ χ κι τις ευθείες = κι = Έστω συνεχής συνάρτηση f: (, + ) R γι την οοί ισχύει: f() f() = + d, > ) Ν δείξετε ότι η f είνι ργωγίσιµη κι ν ρείτε τον τύο της ) Ν υολογίσετε το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες = κι = ίνετι η συνάρτηση f: R R µε τύο f() = + ηµ ( ) d Ν υολογίσετε το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f, τους άξονες χ χ κι ψ ψ κι την ευθεί = 4 ίνετι η συνάρτηση f: R R γι την οοί ισχύει f(+ψ)=f()+f(ψ)+, f(h) +,ψ R κι lim = h h ) Ν δείξετε ότι η f είνι ργωγίσιµη κι ν ρείτε τον τύο της ) Ν υολογίσετε το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες = κι = ίνετι η συνάρτηση f: R * R γι την οοί ισχύει lim f( + h) + * = κι f( ψ ) = f() + f( ψ ) + γι κάθε, ψ R h h i) N δείξετε ότι η f είνι ργωγίσιµη κι ν ρείτε τον τύο της ii) Ν υολογίσετε το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες = κι = 4 ίνετι η συνάρτηση f: R R γι την οοί ισχύει f()f ()=ηµ, R Aν f()= - τότε: ) Ν ρεθεί ο τύος της f ) Ν υολογίσετε το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C g, όου g()=f()ηµ, τον άξον χ χ κι τις ευθείες = κι = ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [84] 5 Έστω συνεχής συνάρτηση f: (, + ) R γι την οοί ισχύει: f( ) f() = d, > ) Ν ρεθεί ο τύος της f() f() ) Αν g() η συνάρτηση µε τύο g()= ν υολογίσετε το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C g, τις ευθείες = κι = κι την οριζόντι σύµτωτη της C g 6 Έστω συνεχής συνάρτηση f: (, + ) R γι την οοί ισχύει: f() f() κι f() = + d γι κάθε > Ν υολογίσετε το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης = κι = F( ) f() d, τον άξον χ χ κι τις ευθείες 7 ίνετι η συνάρτηση f: (, + ) (, + ) γι την οοί ισχύει ότι f '() = f (), > κι f() = ( + ) ) Ν οδείξετε ότι f() = + ) Ν υολογίσετε το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες = κι =6 = *************** 8 Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R R γι την οοί ισχύουν: f() κι f(u) du d γι κάθε R Ν υολογίσετε το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f, τους άξονες χ χ κι ψ ψ κι την ευθεί = 9 ) Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R R γι την οοί ισχύουν: f() κι ( f(u) du ) d γι κάθε R Ν υολογίσετε το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f, τους άξονες χ χ κι ψ ψ κι την ευθεί = ) Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R R γι την οοί ισχύουν: f() κι ( ) f(u)du d +, R Αν η f είνι άρτι συνάρτηση, ν υολογίσετε το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f, τον άξον χ χ µι τις ευθείες =- κι = ***************** ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [85] Γενικά θέµτ στ ολοκληρώµτ Έστω συνάρτηση f: R R δύο φορές ργωγίσιµη µε f ()> στο R ίνοντι είσης οι µιγδικοί z =+if (), Rµε R(z o z )> ) Ν δείξετε ότι υάρχει µονδικό o (,) τέτοιο ώστε f ( o )= ) Έστω ότι η f ρουσιάζει κρόττο το γι = Tότε: i) Ν ρείτε το είδος του κρόττου κι το ρόσηµο της f ii) Αν ειλέον το εµδόν Ε του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό την C f κι τους άξονες χ χ κι ψ ψ είνι τµ, ν δείξετε ότι υάρχει µονδικό ξ, τέτοιο, ώστε f(ξ)=4 Έστω ο µιγδικός z=+i,, R µε ου η εικόν του νήκει στο z + z µονδιίο κύκλο κι η συνάρτηση f() = + z lim + ) Ν ρεθούν τ όρι: f() κι lim f() ) Αν z < z+, τότε: i) Ν ρεθούν τ κρόττ της f κι το σύνολο τιµών της ii) Ν ρείτε το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f, τους άξονες χ χ κι ψ ψ κι την ευθεί = Έστω οι µιγδικοί z κι w µε w =, z R, z+ R κι η συνάρτηση z f() = z+ w, R ) Ν δείξετε ότι ο z κινείτι σε κύκλο κέντρου Ο(,) κι κτίνς ρ= ) Αν R ( z w) = τότε: i) Ν δείξετε ότι: f() = + ii) Ν ρείτε το εµδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την γρφική ράστση της συνάρτησης = F( ) f() d κι τους άξονες χ χ κι ψ ψ f() Έστω µι συνάρτηση f: (, + ) R µε f() = d ) N δείξετε ότι η συνάρτηση g () = f() είνι στθερή ) Ν ρείτε τον τύο της f γ) Ν ρείτε τ διστήµτ µονοτονίς κι κυρτότητς της f δ) Ν δείξετε ότι: f()d< < ε) Ν δείξετε ότι υάρχει έν, τουλάχιστον o (, ) τέτοιο ώστε: f() d = ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 697667