Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2018-2019 Η έννοια και χρήση των εσωτερικών δεσμεύσεων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ
Εισαγωγή Η συμβατότητα μεταξύ 2 σετ συντεταγμένων, x και x', ως προς το ΣΑ τους εξασφαλίζεται όταν οι παράμετροι μετασχηματισμού ομοιότητας μεταξύ τους είναι μηδέν. x x x x θ 0 θ 0
2Δ μετασχηματισμός ομοιότητας (γεωδαιτική γραμμικοποιημένη μορφή) x1 x1 1 0 y x y1 y1 0 1 x y x x 1 0 y x y y 0 1 x y x x 1 1 t x 1 1 t y s T G θ
3Δ μετασχηματισμός ομοιότητας (γεωδαιτική γραμμικοποιημένη μορφή) x1 x1 1 0 0 0 z y x y1 y 1 0 1 0 z 0 x y z1 z 1 0 0 1 y x 0 z x x 1 0 0 0 z y x y y 0 1 0 z 0 x y z z 0 0 1 y x 0 z x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T G t t t x y z x y z s θ
1Δ μετασχηματισμός ομοιότητας (γεωδαιτική γραμμικοποιημένη μορφή) H H 1 H H H 1 H x 1 1 1 H s x T G t θ
Να θυμάστε ότι Η χρήση του γραμμικοποιημένου μοντέλου του μετασχηματισμού ομοιότητας (μετασχ/μός Helmert) T x x G θ βασίζεται σε δύο σημαντικές προϋποθέσεις: o η διαφορά κλίμακας μεταξύ των ΣΑ/ΠΑ είναι σχετικά μικρή (π.χ. -10-4 < δs < 10-4 ). o η διαφορά προσανατολισμού μεταξύ των ΣΑ/ΠΑ είναι σχετικά μικρή (π.χ. -1' < ε < 1').
Παράμετροι μετασχ/σμού ομοιότητας μεταξύ δύο σετ συντεταγμένων ˆ T 1 ( ) ( ) θ GG G x x x Εκτίμηση (μέσω ΜΕΤ) των παραμέτρων μετασχηματισμού ομοιότητας. x Εκφράζουν το κατά πόσο τα δύο σετ συντεταγμένων υλοποιούν το ίδιο ΣΑ.
Παράμετροι μετασχ/σμού ομοιότητας μεταξύ δύο σετ συντεταγμένων ˆ T 1 ( ) ( ) θ GG G x x Αν ισχύει ότι G ( xx) 0 x θˆ 0 x Τα σετ συντεταγμένων x και x' υλοποιούν το ίδιο ΣΑ!
Συμπερασματικά Αν ισχύει η παρακάτω συνθήκη μεταξύ δύο διαφορετικών σετ συντεταγμένων x και x', G ( xx) 0 τότε αυτά αναφέρονται στο ίδιο σύστημα αναφοράς (ή, πιο σωστά, υλοποιούν το ίδιο σύστημα αναφοράς)!
Σε ποιες εξισώσεις δεσμεύσεων αντιστοιχεί η συνθήκη G ( xx) 0 ; i1 i1 x i y i x y i i 0 0 π.χ. για 2Δ δίκτυο o-net translation i1 i1 y ( x x ) x ( y y ) 0 i i i i i i x ( x x ) y ( y y ) 0 i i i i i i o-net rotation o-net scale difference
Σε ποιες εξισώσεις δεσμεύσεων αντιστοιχεί η συνθήκη G ( xx) 0 ; i1 x i x i 0 1 1 x i i1 i1 x i i1 y i y i 0 1 1 y i i1 i1 y i Διατήρηση του κέντρου βάρους του δικτύου
Τι σχέση έχουν τα προηγούμενα με τη συνόρθωση δικτύων;
Συνόρθωση δικτύου και μετασχηματισμός ομοιότητας Ο ορισμός του ΣΑ σε ένα δίκτυο μπορεί να γίνει μέσω δεσμεύσεων που εξασφαλίζουν τον μηδενισμό των παραμέτρων μετασχηματισμού μεταξύ των: o συνορθωμένων συντεταγμένων του δικτύου, και o κάποιων αρχικών γνωστών συντεταγμένων για τις κορυφές του. π.χ. o G ( xˆ x ) Gδxˆ 0 (*) οι παραπάνω δεσμεύσεις εξασφαλίζουν ότι το συνορθωμένο δίκτυο θα αναφέρεται στο ίδιο ΣΑ που υλοποιούν οι προσεγγιστικές συντεταγμένες σε όλες τις κορυφές του!
Συνόρθωση δικτύου και μετασχηματισμός ομοιότητας Ο προηγούμενος τύπος δεσμεύσεων μπορεί επίσης να εφαρμοστεί σε ορισμένα μόνο από τα σημεία του δικτύου (π.χ. μόνο στους σταθμούς αναφοράς) xˆ x ˆ xˆ 1 2 σταθμοί αναφοράς νέα σημεία 1 ˆ o ( 1 1 ) 1 ˆ1 G x x G δx 0 (*) οι παραπάνω δεσμεύσεις εξασφαλίζουν ότι το συνορθωμένο δίκτυο θα αναφέρεται στο ίδιο ΣΑ που υλοποιείται από τις προσεγγιστικές συντεταγμένες στους σταθμούς αναφοράς!
Δομή του πίνακα G x1 x2 G G G 1 2 θ - Οι γραμμές του πίνακα G αναφέρονται στις βασικές παραμέτρους του ΣΑ (μεταθέσεις, στροφές, κλίμακα). - Οι στήλες του πίνακα G αναφέρονται στις συντεταγμένες για τις κορυφές του δικτύου. - Οι υποπίνακες G 1 και G 2 αντιστοιχούν σε διαφορετικές ομάδες σημείων (π.χ. σταθμοί αναφοράς και νέα σημεία).
Δομή του πίνακα G (π.χ. οριζόντιο δίκτυο) G 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 y x y x y x y x 1 1 k k k+1 k+1 x y x y x y x y 1 1 k k k+1 k+1 G1 G2 1 η γραμμή: μετάθεση κατά x 2 η γραμμή: μετάθεση κατά y 3 η γραμμή: στροφή 4 η γραμμή: κλίμακα
Δομή του πίνακα G (π.χ. 3Δ δίκτυο) G 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 z y 0 z y 0 z y 0 z y 1 1 k k k+1 k+1 z 0 x z 0 x z 0 x z 0 x 1 1 k k k+1 k+1 y x 0 y x 0 y x 0 y x 0 1 1 k k k+1 k+1 x y z x y z x y z x y z 1 1 1 k k k k+1 k+1 k+1 G1 G2 1 η γραμμή: μετάθεση κατά x 2 η γραμμή: μετάθεση κατά y 3 η γραμμή: μετάθεση κατά z 4 η γραμμή: στροφή περί x 5 η γραμμή: στροφή περί y 6 η γραμμή: στροφή περί z 7 η γραμμή: κλίμακα
Δεσμεύσεις για τον ορισμό του συστήματος αναφοράς x1 x2 G G G 1 2 θ 1 xo 1 o 2 x 2 xˆ G 1 0 0 xˆ 1 xo 1 o 2 x 2 xˆ G 1 G2 0 xˆ χρήση ΟΛΩΝ των σημείων του δικτύου χρήση μόνο των σημείων της 1 ης ομάδας
Εποπτική αντίληψη y Gδxˆ 0 Μορφή ελεύθερου δικτύου yˆf x ˆ o ( δx ) x Οι παράμετροι μετασχηματισμού o ομοιότητας μεταξύ ˆx και x είναι μηδέν θέσεις σημείων με βάση προσεγγιστικές συντ/νες ˆ δx u
Εποπτική αντίληψη y C G 1 δxˆ 1 0 C Β Μορφή ελεύθερου δικτύου Α A B yˆf x ˆ o ( δx ) Οι παράμετροι μετασχηματισμού ομοιότητας μεταξύ ˆx και x είναι μηδέν 1 x θέσεις σημείων με βάση προσεγγιστικές συντ/νες 1 o ˆ δx u
Σχόλια Αν χρησιμοποιηθούν οι δεσμεύσεις Gδxˆ 0 ή G δxˆ 0 για τη συνόρθωση του δικτύου, τότε 1 1 - η απόλυτη θέση του δικτύου, - ο προσανατολισμός του δικτύου, - και η κλίμακα του δικτύου καθορίζονται εξ ολοκλήρου από τις γνωστές (προσεγγιστικές) συντεταγμένες των σημείων που συμμετέχουν στις εξισώσεις δεσμεύσεων.
Σχόλια Αν ορισμένα στοιχεία του ΣΑ του δικτύου καθορίζονται μέσω των παρατηρήσεων, π.χ. o κλίμακα/προσανατολισμός σε 3Δ δίκτυα GPS o κλίμακα σε 2Δ τοπογραφικά δίκτυα με μετρήσεις αποστάσεων o κλίμακα σε κατακόρυφα δίκτυα με μετρήσεις υψομετρικών διαφορών τότε ενδέχεται να μην θέλουμε να τα δεσμεύσουμε εκ νέου μέσω πρόσθετων δεσμεύσεων.
Εσωτερικές δεσμεύσεις o Είναι μια μικρή παραλλαγή των δεσμεύσεων Gδxˆ 0 ή G δx ˆ 0. 1 1 o Είναι ελάχιστες δεσμεύσεις δεν παραμορφώνουν το συνορθωμένο δίκτυο. o Εξασφαλίζουν το μηδενισμό των παραμέτρων μετασχ/μού μεταξύ του συνορθωμένου δικτύου και κάποιων γνωστών συντεταγμένων αναφοράς (μόνο για τις παραμέτρους του ΣΑ που εμπλέκονται στην αδυναμία βαθμού του δικτύου).
Πίνακας εσωτερικών δεσμεύσεων x1 x2 G G G 1 2 θ x1 x2 E E E 1 2 * θ Οι παράμετροι θ* αντιστοιχούν στις παραμέτρους του ΣΑ που συμμετέχουν στην αδυναμία βαθμού του δικτύου.
Πίνακας εσωτερικών δεσμεύσεων x1 x2 G G G 1 2 θ x1 x2 E E E 1 2 * θ Ο πίνακας Ε δημιουργείται μέσω των γραμμών του πίνακα G που αντιστοιχούν στην αδυναμία βαθμού του δικτύου.
Παράδειγμα Οριζόντιο δίκτυο με μετρήσεις αποστάσεων (αδυναμία βαθμού = 3) G 1 0 1 0 0 1 0 1 y x y x 1 1 x y x y 1 1 t x t y s E 1 0 1 0 0 1 0 1 y x y x 1 1 Πίνακας εσωτερικών δεσμεύσεων
Παράδειγμα 3Δ δίκτυο GPS με συνιστώσες βάσεων (αδυναμία βαθμού = 3) G 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 z y 0 z y 1 1 z 0 x z 0 x 1 1 y x 0 y x 0 1 1 x y z x y z 1 1 1 t x t y t z x y z s E 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 Πίνακας εσωτερικών δεσμεύσεων
Παράδειγμα 1Δ υψομετρικό δίκτυο (αδυναμία βαθμού = 1) G 1 1 H H 1 t H s E 1 1 Πίνακας εσωτερικών δεσμεύσεων
Συνόρθωση δικτύου με εσωτερικές δεσμεύσεις Βασικές σχέσεις: (ολικές) εσωτερικές δεσμεύσεις 1 xo 1 o 2 x 2 xˆ E 1 E2 0 xˆ E Eδxˆ 0 T 1 δxˆ ( E E) u ˆ ˆ o x x δx Θα ισχύει: Eδxˆ 0 ˆ δx u (*) Εξασφαλίζουν ότι το συνορθωμένο δίκτυο θα αναφέρεται στο ίδιο ΣΑ που υλοποιούν οι συντεταγμένες x ο
Συνόρθωση δικτύου με εσωτερικές δεσμεύσεις Βασικές σχέσεις: (μερικές) εσωτερικές δεσμεύσεις 1 xo 1 o 2 x 2 xˆ E 1 0 0 xˆ K Kδxˆ E δxˆ 0 1 1 T 1 δxˆ ( K K) u ˆ ˆ o x x δx Θα ισχύει: Kδxˆ 0 ˆ δx u (*) Εξασφαλίζουν ότι το συνορθωμένο δίκτυο θα αναφέρεται στο ίδιο ΣΑ που υλοποιούν οι συντεταγμένες x 1 ο
Συνόρθωση δικτύου με εσωτερικές δεσμεύσεις Μια πιο γενική μορφή: ext E ( xˆ x ) 0 ext Eδxˆ E( x x ) c όπου x ext είναι κάποιες γνωστές συντεταγμένες αναφοράς για τις κορυφές του δικτύου. T 1 T ˆ ( ) ( ) δx E E u E c ˆ ˆ o x x δx (*) Εξασφαλίζουν ότι το συνορθωμένο δίκτυο θα αναφέρεται στο ίδιο ΣΑ που υλοποιούν οι συντεταγμένες x ext o
Να θυμάστε ότι Αν σε ένα δίκτυο υπάρχουν διαθέσιμοι σταθμοί αναφοράς, τότε έχουμε διάφορες εναλλακτικές επιλογές δεσμεύσεων για να πάρουμε μια λύση συνόρθωσης που να αναφέρεται στο ίδιο ΣΑ με αυτό στο οποίο αναφέρονται οι σταθμοί αναφοράς. y 3 2 1 x